Teoria de Logaritmos

7/16/2019 Teoria de Logaritmos

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N a x N x

a

=⇔=og

...100102100log;82381

etcor ue porque ====

lnlo;logog10

N N N N ==

1.- DEFINICIÓNES.

Si a>0 y a≠1, se define el logaritmo en base a de un número N de la siguientemanera:

O sea, como el exponente al que hay que elevar "a" para obtener " N ".

Ejemplos:

Loslogaritmos más utilizados son los logaritmos decimales (de base 10) y los logaritmos

neperianos(de base el número e≅ 2'71828182....).Ambos tienen una notación especial:

Observación: Los logaritmos neperianos deben su nombre al matemáticoescocés John Neper (1550-1617) y fueron los primeros en ser utilizados. Al principio,

Neper llamó "números artificiales" a los exponentes, para más tarde decidirse por la palabra "logaritmo", compuesta por las palabras griegas logos (razón) y aritmos (números).

2.- PROPIEDADES.

2.1.- El logaritmo de la unidad es 0. O sea, loga1=02.2.- El logaritmo de la base es 1. O sea, logaa=1

2.3.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de losfactores. O sea, loga (N·M)=loga N + loga M

Demostración:

2.4.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos ellogaritmo del divisor. O sea, loga (N:M)=loga N - loga M

Demostración:

Logaritmos. Pág 1 de 4.

M N y x M N NM aSi

aaa M N

M a y M

N a x N

aaa

y x

y x y x

y

a

x

a

loglog)(log

·

log

log

+=+=⋅⇒=

==⋅⇒

=⇒=

=⇒=

+

+

M N y x M N M N aSi

aaa M N M a y M

N a x N

aaa

y x

y x y x

y

a

x

a

loglog):(log:

log

log

−=−=⇒=

=÷=÷⇒

=⇒=

=⇒=

−

−



M

N N a M

a

loglog =

⋅3

54

2

353og

2.5.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por ellogaritmo de la base de la potencia. O sea, loga (NM)= M·loga N

Demostración:

2.6.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por elíndice de la raíz.

O sea,

Demostración: Basta con hacer notar que, por ejemplo,

Ejemplo: Sabiendo que log 2 = 0'3010, log 3=0'4771 y que log 35=1'5441,desarrolla y calcula el siguiente logaritmo:

3.- LOGARITMOS DECIMALES.Observación: Lo que viene a continuación es pura nostalgia!!

Los logaritmos decimales se pueden escribir como suma de dos números: lacaracterística y la mantisa.

La característica de un logaritmo decimal es el número entero inmediatamenteinferior o igual a dicho logaritmo.

Ejemplo 1: Tomemos cualquier número con 3 cifras enteras, p.e. 362.100≤ 362<1000 ⇒ log 100 ≤ log 362 < log 1000 ⇒ 2 ≤ log 362 <3 ⇒ la

característica del log 362 es 2.

Ejemplo 2: Tomemos ahora un número comprendido entre 0 y 1, p.e. 0'00027.0'0001≤ 0'00027< 0'001 ⇒ log 0'0001 ≤ log 0'00027 < log 0'001 ⇒ -4 ≤ log

0'00027 < -3 ⇒ la característica del log 0'00027 es -4.

Resumiendo:

• La característica del logaritmo decimal de un número mayor que 1 con ncifras enteras es (n-1).


N M M x N N aSiaa N N a x N

a

M

a

M M x

M x M x M x

a

loglog)(log

⋅=⋅=⇒=

==⇒=⇒=

⋅

⋅

3

log

log3

1

loglog3

133

13 N

N N N quelocon N N =⋅===



5 2'673000137'0 ⋅= E

• La característica del logaritmo decimal de un número comprendido entre 0 y1 es (-n), siendo n el número de ceros que presenta la escritura decimal delnúmero (incluyendo al que precede a la coma decimal).

La mantisa de un logaritmo decimal es la diferencia entre el logaritmo y su

característica.Como la característica es siempre menor que el logaritmo → la mantisa es

siempre un número positivo menor que 1 (Ver Tablas).

Ejemplo 3: log 362 = 2'5587 (según tablas)Característica=2→ Mantisa= 2'5587-2=0'5587.

Ejemplo 4: log 0'00027 = -3'5686Característica=-4→ Mantisa= -3'5686-(-4) = 0'4314.

En los logaritmos de números menores que 1 se suele hacer lo siguiente:En lugar de escribir log 0'00027=-3'5686, se escribe log 0'00027=4'4314.4 indica que el signo menos solo afecta a la característica; en cambio , la mantisa

0'4314 es positiva.La razón de adoptar esta escritura es que las tablas de logaritmos solo

proporcionan la mantisa (siempre positiva) y no el logaritmo completo.

Propiedad de las mantisas (importante): La mantisa de log N es igual que lamantisa de log (N · 10m) siendo m un número entero cualquiera.

Según esta propiedad, conociendo log 362, también conocemos:* log 36200 =4'5587 (36200= 362 · 102)* log 3'62 =0'5587 (3'62= 362 · 10-2)* log 0'00362 =3'5587 (0'00362= 362 · 10-5)

Ejercicio 1: Utiliza logaritmos decimales (con tablas) para calcular el productoP=4729 · 1421.

Solución: Tomando logaritmos, tenemos log P = log 4729 + log 1421 = 3'6747+ 3'1526 = 6'8273.

P= [Número cuyo log vale 6'8273]=Antilog (6'8273)= 6.719.000 (7 cifras

enteras).

Ejercicio 2: Ídem, para calcular el cociente C= 6813 : 415.

Solución: log C = log 6813 – log 415 = 3'8332 – 2'6180 = 1'2152.C= [Número cuyo log vale 1'2152]=Antilog (1'2152)= 16'4 (2 cifras enteras).

Ejercicio 3: Ídem, para calcular el valor de la expresión

Solución: log E = log 0'000137 + ( log 673'2 ): 5 = 4'1367 + 2'8281 : 5 = -3'8633+0'5656 = -3'2977 = 4'7023.

E= [Número cuyo log vale 4'7023 ]=Antilog (4'7023)= 0'0005038 (nº menor que1 con 4 ceros delante de la primera cifra significativa, incluido el de la coma).




a N

a

y x

alog

oglog

log=⇒=

4.- RELACIÓN ENTRE LOGARITMOS DE DISTINTAS BASES.

¿Qué relación hay entre el logaritmo de un número en una base "a" y sulogaritmo decimal ?

De otra manera, ¿qué relación hay entre loga N y log N ? Fácil.

Llamamos x= loga N ⇒ ax=Ny=log N ⇒ 10y=N

⇒ ax = 10y. Tomando ahora logaritmos decimales,

log ax = log 10y ⇒ x · log a = y ⇒

Luego, sabiendo calcular logaritmos decimales, sabemos calcular logaritmos en

cualquier base.Ejemplos:

5.- ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como

exponente. En las logarítmicas, la incógnita aparece afectada por algún logaritmo. No hay regla general para resolverlas; normalmente, conviene tener en cuenta:

1) Propiedades de potencias y logaritmos.2) Inyectividad de potencias y logaritmos; esto quiere decir que:

Si loga X=loga Y, entonces X=Y.3) Se puede despejar una incógnita que esté como exponente tomando

logaritmos.

Practicaremos con numerosos ejercicios (propuestos en la relación).


64'63010'0

2

2log

100log100log)1

2≅== 12'6

4771'0

9175'2

3log

827log827log)2

3≅==

36990'0

0969'2

5log

125log125log)3

5≅==

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