UNIVERSIDAD MICHOACANA DE

SAN NICOLAS DE HIDALGO

U.M.S.N.H

FACULTAD DE ING. ELECTRICA

F.I.E

NOMBRE DEL ALUMNO: Felipe Armando González

Martínez

MATRICULA: 0906160d

NOMBRE DEL PROF: M.C. Raúl Pineda Salazar

NOMBRE DE LA MATERIA: Investigación de

operaciones

Grupo: 703

Teoría de juegos

Introducción

La teoría de juegos es una rama de la economía que estudia las decisiones en las

que para que un individuo tenga éxito tiene que tener en cuenta las decisiones

tomadas por el resto de los agentes que intervienen en la situación. La teoría de

juegos como estudio matemático no se ha utilizado exclusivamente en la

economía, sino en la gestión, estrategia, psicología o incluso en biología.

En teoría de juegos no tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer, tenemos

que preguntarnos qué vamos a hacer teniendo en cuenta lo que pensamos que

harán los demás, ellos actuarán pensando según crean que van a ser nuestras

actuaciones. La teoría de juegos ha sido utilizada en muchas decisiones

empresariales, económicas, políticas o incluso para ganar jugando al póker. La

teoría de juegos es nuestro Concepto de esta semana

Esta teoría está íntimamente relacionada con la teoría de la decisión. Lo que

diferencia una de otra es el rival contra el que se entra en juego. En la teoría de la

decisión el rival es la naturaleza, que se manifiesta de modo más o me nos

aleatorio y por tanto su influencia en las consecuencias de la decisión tomada no

es interesada. En la teoría de juegos sin embargo participan decisores (jugadores)

que tienen intereses encontrados. Por ejemplo diversas empresas han de tomar

decisiones sobre las prestaciones, precio, publicidad, etc. que han de

desarrollarse para determinado producto. Supondremos siempre que un jugador

se pone en la peor situación.

Definición

La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para

estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados

«juegos») y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las

estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de

individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos pueden, en

realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo tanto, se puede

representar mil veces conjuntamente un mismo juego.

Historia

Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el

comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en

muchos campos, como en la biología, sociología, politologia, psicología, filosofía y

ciencias de la computación. Experimentó un crecimiento sustancial y se formalizó

por primera vez a partir de los trabajos de John von Neumann y Oskar

Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a

la estrategia militar, en particular a causa del concepto de destrucción mutua

garantizada. Desde los setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta

animal, incluyendo el desarrollo de las especies por la selección natural. A raíz de

juegos como el dilema del prisionero, en los que el egoísmo generalizado

perjudica a los jugadores, la teoría de juegos ha atraído también la atención de los

investigadores en informática, usándose en inteligencia artificial y cibernética.

La primera discusión conocida de la teoría de juegos aparece en una carta escrita

por James Waldegrave en 1713. En esta carta, Waldegrave proporciona una

solución mínima de estrategia mixta a una versión para dos personas del juego de

cartas le Her. Sin embargo no se publicó un análisis teórico de teoría de juegos en

general hasta la publicación de Recherches sur les príncipes mathématiques de la

théorie des richesses, de Antoine Augustin Cournot en 1838. En este trabajo,

Cournot considera un duopolio y presenta una solución que es una versión

restringida del equilibrio de Nash.

Aunque el análisis de Cournot es más general que el de Waldegrave, la teoría de

juegos realmente no existió como campo de estudio aparte hasta que John von

Neumann publicó una serie de artículos en 1928. Estos resultados fueron

ampliados más tarde en su libro de 1944, “Theory of Games and Economic

Behavior”, escrito junto con Oskar Morgenstern. Este trabajo contiene un método

para encontrar soluciones óptimas para juegos de suma cero de dos personas.

Durante este período, el trabajo sobre teoría de juegos se centró, sobre todo, en

teoría de juegos cooperativos. Este tipo de teoría de juegos analiza las estrategias

óptimas para grupos de individuos, asumiendo que pueden establecer acuerdos

entre sí acerca de las estrategias más apropiadas.

En 1950 Albert W. Tucker planteó formalmente las primeras discusiones del

dilema del prisionero, y se emprendió un experimento acerca de este juego en la

corporación RAND. En ese año John Nash desarrolló una definición de una

estrategia óptima para juegos de múltiples jugadores donde el óptimo no se había

definido previamente, conocido como equilibrio de Nash, bajo la supervisión del

mencionado Tucker. Este equilibrio es suficientemente general, permitiendo el

análisis de juegos no cooperativos además de los juegos cooperativos.

La teoría de juegos experimentó una notable actividad en la década de 1950,

momento en el cual los conceptos base, el juego de forma extensiva, el juego

ficticio, los juegos repetitivos, y el valor de Shapley fueron desarrollados. Además,

en ese tiempo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría de juegos en la

filosofía y las ciencias políticas.

En 1965, Reinhard Selten introdujo su concepto de solución de los equilibrios

perfectos del subjuego y el concepto de equilibrio perfecto de mano temblorosa,

que más adelante refinaron el concepto de equilibrio de Nash. En 1967 John

Harsanyi desarrolló los conceptos de la información completa y de los juegos

bayesianos. Él, junto con John Forbes Nash y Reinhard Selten, ganaron el Premio

Nobel de Economía en 1994.

En la década de 1970 la teoría de juegos se aplicó extensamente a la biología, en

gran parte como resultado del trabajo de John Maynard Smith y su concepto

estrategia estable evolutiva. Además, los conceptos del equilibrio correlacionado,

equilibrio perfecto de mano temblorosa, y del conocimiento común fueron

introducidos y analizados.

En 2005, los teóricos de juegos Thomas Schelling y Robert Aumann ganaron el

premio Nobel de Economía. Schelling trabajó en modelos dinámicos, los primeros

ejemplos de la teoría de juegos evolutiva. Por su parte, Aumann contribuyó más a

la escuela del equilibrio.

En el 2007, Roger Myerson, junto con Leonid Hurwicz y Eric Maskin, recibieron el

premio Nobel de Economía por "sentar las bases de la teoría de diseño de

mecanismos."

En el 2012, Lloyd Stowell Shapley y Alvin E. Roth ganan el premio Nobel de

Economía por dar nombre dentro de este campo a media docena de teoremas,

algoritmos, principios, soluciones e índices.

Marco teórico

Juego de suma cero

El concepto fue desarrollado en la Teoría de juegos, por lo que a menudo a las

situaciones de suma cero se les llama "juegos de suma cero". Esto no implica que

el concepto, o la teoría de juegos misma, se aplique únicamente a lo que

normalmente se conoce como juegos. Las estrategias óptimas para juegos de

suma cero de dos jugadores suelen emplear estrategias minimax.

En 1944 John von Neumann y Oskar Morgenstern probaron que cualquier juego

de suma cero que involucre a n jugadores es de hecho una forma generalizada de

un juego de suma cero para dos personas, y que cualquier juego de suma no cero

para n jugadores puede reducirse a un juego de suma cero para n + 1 jugadores,

donde el jugador (n + 1) representa la ganancia o pérdida total (puede pensarse

en la banca de ciertos juegos). Esto sugiere que los juegos de suma cero para dos

jugadores forman el núcleo esencial de la teoría de juegos.

Tratar a una situación de suma no nula como una situación de suma cero, o creer

que todas las situaciones son de suma cero, se denomina falacia de suma cero.

En juegos cooperativos, existe un tipo de juegos íntimamente relacionados con

estos, más comúnmente llamados juegos decisivos o auto-duales.

Juegos de suma cero con dos jugadores

En teoría de juegos no cooperativos, un juego de suma cero describe una

situación en la que la ganancia o pérdida de un participante se equilibra con

exactitud con las pérdidas o ganancias de los otros participantes.

Denominaremos a uno jugador fila y al otro jugador columna. El primero ha de

elegir una de m estrategias y el jugador columna una de n estrategias. Se

supondría que si el primero elige i y el segundo j habría una ganancia de aij para

el primero y una pérdida de aij para el segundo. Esto se conoce como juego de

suma cero. Se podría decir que en un juego de suma cero con dos jugadores lo

que gana uno proviene del otro sin posibilidad de cooperación

entre ellos. Cuando uno gana el otro pierde la misma cantidad. Todo esto puede

representarse mediante una matriz de ganancias del jugador fila:

Hipótesis básica (condición de punto silla): Un juego de suma cero que

cumpla:

Se dice que el juego tiene punto silla y a este número se le llama valor (v) del

juego para el jugador fila. Una forma sencilla de determinar este punto es buscar

un número de la matriz que sea el menor en su fila y el mayor en su columna.

Ejemplo

Clásico ejemplo “El dilema del prisionero” en la película “Batman el

caballero de la noche”

En la película, El Joker propone la siguiente idea macabra para sembrar

el caos en la ciudad: dos ferrys están llenos de explosivos, en uno

viajan personas normales de la ciudad de Gotham huyendo del

desorden que creado y en el otro criminales y presos trasladados de la

prisión en la que estaban para evitar una posible fuga.

El juego que les propone El Joker, para demostrar que en cada ser

humano hay un ser malvado, es que dentro de los barcos deja el

detonador, pero del otro barco, dando la opción a la gente que está

dentro de cada ferry de salvarse si accionan el detonador y hacen

explotar el barco donde no están ellos. Para complicar más el juego, les

da un límite de tiempo de 30 minutos, pasado el cual, él explotaría

ambos ferrys si no explota uno antes. En la mente de El Joker, en el

momento que llegue el tiempo límite estima que ambos barcos

explotarán a la vez, presa de las ansias por salvar su vida de las

personas. Con lo que El Joker no contaba, era con la teoría de los

juegos y con las variables y los defectos existentes alrededor del dilema

del prisionero.

Punto 1: el juego del Ferry del joker

Embarque A

Embarque B Cooperar Detonar

Cooperar 0,0 0,1

Detonar 1,0 0,0

En el planteamiento del dilema del prisionero, El Joker estima un juego

en el que el beneficio de pulsar el detonador es mayor que no hacerlo.

Sobresale la idea de la supervivencia por encima de todo, eso es lo

único importante y que una vez que se juega, lo mejor para cualquiera

de los dos barcos es hacer explotar el otro. ¿Problema? Que en el

juego participan seres racionales que piensan y se plantean que pasa si

el otro no hace la detonación.

Punto 2: el juego del Ferry del joker Supervivencia > Mortalidad

Embarque A

Embarque B Cooperar Detonar

Cooperar 1,1 1,2

Detonar 2,1 0,0

Como al juego le ha puesto unas normas, el dilema real se plantea

sobre si las personas tienes sentido común y moralidad. Si entran en

juego esas reglas morales, se tiene que determinar si las mismas

superan o son más importantes que la idea de la supervivencia en sí.

Ahí es donde está la trampa de El Joker y su error, en pensar que los

humanos son racionales, pero actúan en su propio interés. En la era de

la sociedad de la información es complicado jugar a este dilema, que se

basa principalmente en que los jugadores no disponen de toda la

información posible (por eso les deja incomunicados en el mar), pero

hay una cosa llamada diversidad con personas con diferentes formas

de pensar, que valoran alternativas sobre lo que aún no ha ocurrido

(hay un momento en la película que un capitán de uno de los barcos

hace una reflexión sobre ello), y lo que podría ocurrir si se actúa de una

forma y otra. Mientras en el barco de los presos, es el director de la

prisión quien tiene que decidir qué hacer mientras se enfrenta al dilema,

en el barco de los habitantes, estos deciden votar (diversidad), y ver

que sale.

Punto 3: el juego del Ferry del joker Supervivencia < Moralidad

Embarque A

Embarque B Cooperar Detonar

Cooperar 2,2 2,1

Detonar 1,2 0,0

Y una vez que entramos de verdad en la teoría de los juegos y en el

dilema del prisionero con sus variables, entra en juego el Equilibrio de

Nash, donde se demuestra que la mejor opción para los jugadores es

cooperar, más cuando se cuenta con que los seres racionales tienen

moralidad, y buscarán la opción del juego en la que ambos salen

ganando. Es decir, no pulsando los detonadores de los ferrys. Si

piensan igual y no colaboran, pulsando el detonador ambos pierden, o

uno gana mucho y el otro pierde, y el juego consiste en que ninguno de

los dos deben perder, por eso la idea de escoger la opción menos mala

de entre todas las alternativas. El Joker no cree en la moralidad de las

personas, cosa que sí hace Batman, por eso el héroe sale victorioso.