Teoría de Galois, un primer curso. - pesmm.org. Textos_archivos/T14.pdf · PDF...

Click here to load reader

  • date post

    28-Sep-2018
  • Category

    Documents

  • view

    216
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of Teoría de Galois, un primer curso. - pesmm.org. Textos_archivos/T14.pdf · PDF...

  • Publicaciones Electrnicas Sociedad Matemtica Mexicana

    Teora de Galois, un primer curso.

    (Tercera Edicin)

    Flor de Mara Aceff Emilio Lluis-Puebla

    www.smm.org.mx

    Serie: Textos. Vol. 14 (2016)

  • Teora de Galois, un primer curso.

    Tercera Edicin

    Flor de Mara Aceff y

    Emilio Lluis-Puebla

    Universidad Nacional Autnoma de Mxico

    Publicaciones Electrnicas Sociedad Matemtica Mexicana

  • 2

  • ndice General

    Prefacio 5

    Introduccin 7

    I Teora de Anillos 9I.1 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.2 Propiedades elementales y

    Teoremas de Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.3 Polinomios y Campo de Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    II Teora de Campos yTeora de Galois 37II.1 Extensiones de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.2 Automorfismos y ms sobre extensiones . . . . . . . . . . . . . 49II.3 Teora de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    Bibliografa y Referencias 67

    Lista de Smbolos 69

    ndice Analtico 71

    3

  • 4

  • Prefacio

    La teora general de las estructuras es una herramienta muy poderosa. Siem-pre que alguien pruebe que sus objetos de estudio satisfacen los axiomas decierta estructura, obtiene, de inmediato para sus objetos, todos los resulta-dos vlidos para esa teora. Ya no tiene que comprobar cada uno de ellosparticularmente. Actualmente, podra decirse que las estructuras permitenclasificar las diversas ramas de la Matemtica.

    Este texto contiene el trabajo escrito a lo largo de varios aos del mate-rial correspondiente a nuestro curso sobre la materia (lgebra Moderna II)que hemos impartido en la Facultad de Ciencias de la Universidad NacionalAutnoma de Mxico. Despus de haber ofrecido por muchos aos el cursocon excelentes textos, algunos citados en la Bibliografa, y de los cuales hemossido inspirados, decidimos escribir uno que siga el enfoque de los libros [Ll1][Ll2] y [Ll3]. Es decir, escogimos una presentacin moderna donde introduci-mos el lenguaje de diagramas conmutativos y propiedades universales, tanrequerido en la Matemtica actual as como en la Fsica y en la Ciencia dela Computacin, entre otras disciplinas.

    Ha sido nuestra intencin la de llegar al Teorema Principal de la Teora deGalois de la manera ms corta y elegante posible. Hemos visto que el exponerdemasiado material hace muy tedioso el curso a los alumnos y al profesor,adems de que algunos alumnos pierden de vista el objetivo dentro de unmar de definiciones y proposiciones. Creemos haber logrado este propsito.

    El texto consta de dos captulos con tres secciones cada uno. Cada seccincontiene una serie de problemas que se resuelven con creatividad utilizandoel material expuesto, mismos que constituyen una parte fundamental deltexto. Tienen tambin como finalidad, la de permitirle al estudiante redactarmatemtica. El libro est diseado para un primer curso sobre la Teora de

    5

  • 6 Prefacio

    Galois el cual se cubre en su totalidad en cuarenta horas de clase. La primeraedicin sali publicada en el 2011, la segunda en el 2013 y la presente en el2016 conservando la estructura original con pequeos cambios y correccionestipogrficas que siempre aparecen a pesar de mltiples revisiones.

    Deseamos agradecer a nuestros alumnos y a los rbitros revisores el haberhecho oportunas y acertadas sugerencias para mejorar este texto. Cualquierfalta u omisin que an permanezca es de nuestra exclusiva responsabilidad.En particular, el segundo autor de este libro agradece y aprecia el enormeesfuerzo y dedicacin de su esposa, la Dra. Flor de Ma. Aceff quien apesar de su delicado estado de salud por varios aos, siempre mostr elprofesionalismo y amor a la Matemtica trabajando en el presente texto contodo su entusiasmo.

    Finalmente, comentamos que hemos decidido incluir este texto dentrode las Publicaciones Electrnicas de la Sociedad Matemtica Mexicana conel nimo de predicar con el ejemplo y mostrar la confianza en este tipo depublicaciones.

    Mayo de 2016.

  • Introduccin

    Como es frecuente en la Matemtica, los intentos por resolver un problemaespecfico dan lugar a una Teora Matemtica. En este caso, los intentospor encontrar soluciones por radicales de ecuaciones algebraicas dan comoresultado varias de las ramas de la Matemtica: la Teora de Grupos, laTeora de Anillos y la Teora de Galois entre otras. En [A-Ll1] y [A-Ll2] ellector puede encontrar otros ejemplos de esta situacin. La Teora de Galoises una interaccin entre grupos, campos y polinomios, entre el lgebra Linealy la Teora de Grupos.

    Se sabe de la escuela secundaria cmo encontrar por el mtodo de radi-cales las soluciones de un polinomio cuadrtico, con coeficientes en R, de laforma () = 2 + + con 6= 0 Esto lo saban los antiguos babilo-nios alrededor del ao 1600 A.C. Las races estn dadas mediante la frmula( 22 4)2 Esta solucin est en una tableta de barro que so-brevive hasta la fecha. Este mtodo es vlido para cualquier polinomio concoeficientes en un campo de caracterstica diferente de 2 cuyas races estnen la cerradura algebraica de ese campo. Lo mismo sucede para polinomiosde grado 3 y 4 (del Ferro, Tartaglia, Ferrari y Cardano en 1545) sobre losnmeros racionales. Los matemticos trataron por cientos de aos de encon-trar una frmula por radicales para polinomios de grado 5 (Lagrange en 1770y Ruffini en 1799 probaron que los mtodos para grados 3 y 4 fallan paragrado 5). Fue Abel en 1824 y 1826 quien prob que esto no puede necesaria-mente resolverse por radicales. En fin, la solucin de ecuaciones polinomialesha sido un problema matemtico por ms de 3500 aos.

    Galois asoci a cada ecuacin un grupo, llamado ahora, de Galois enhonor a l. Este grupo consiste de un subconjunto de permutaciones de lassoluciones. A partir de las propiedades del grupo de Galois se pueden deducirpropiedades de una ecuacin, sin hacer mencin de ella. Vagamente, la idea

    7

  • 8 Introduccin

    principal de la Teora de Galois es la de considerar las permutaciones de lasraces de un polinomio que tienen la caracterstica de que permutadas siguensatisfaciendo cualquier ecuacin algebraica que satisfagan originalmente. Es-tas permutaciones de las races forman un grupo, el grupo de Galois.

    El concepto que abarca a los polinomios y a los campos es el de anilloconmutativo. Comenzamos el Captulo I estudiando el sistema algebraico delos anillos. La palabra anillo fue introducida por David Hilbert. Alrededordel ao 1921, Emmy Noether fundamenta la Teora de Anillos Conmutativos.Tambin estudiamos dos tipos de anillos importantes, los dominios enteros ylos campos. El concepto de campo (o cuerpo) fue considerado por Dedekinden 1871, por Kronecker en 1881, y por ambos alrededor de 1850 en susclases. Pero fue Weber en 1893 quien provey de una definicin como laque actualmente usamos. El concepto de ideal fue introducido por Kummeralrededor de 1850 y utilizado como ahora lo conocemos por Dedekind.

    En 1881 Leopold Kronecker provey una extensin de un campo adjun-tado una raz de un polinomio irreducible. En 1894 Dedekind fue el primermatemtico en desarrollar el concepto de automorfismo de campos, lo llampermutaciones del campo. Fue Emil Artin en 1926 quien desarroll la relacinentre campos y grupos con mucho detalle y enfatiz que la Teora de Galoisno debera tener como meta la de determinar las condiciones de solubilidadde ecuaciones algebraicas sino la de explorar las relaciones entre las exten-siones de campos y los grupos de automorfismos y es esta ltima intencinla que se sigue en el presente texto.

    Con respecto a la notacin para una extensin de campos hemos preferidodenotar con 0 una extensin imitando una torre rotada 90 grados a laderecha, es decir, una torre acostada de campos ya que esto facilita visualizarespecficamente los campos y su respectiva inclusin en otros.

  • Captulo I

    Teora de Anillos

    I.1 Anillos

    En esta seccin definiremos varias estructuras algebraicas que son los objetosde estudio de la Teora de Anillos. Para un breve panorama de algunasestructuras algebraicas incluyendo las de los anillos vase [Ll3]. Supondremosque el lector ya conoce los fundamentos de la Teora de Grupos como en [Ll3]y utilizaremos la notacin que ah se expone.

    1.1 Definicin. Un anillo es una terna (+ ) donde es un conjuntono vaco, + y son operaciones binarias tales que(i) (+) es un grupo conmutativo(ii) ( ) es un semigrupo(iii) ( + ) = + y (+ ) = +

    La propiedad (iii) se llama ley distributiva.

    Ntese que se ha suprimido el smbolo , en , como es usual en lanotacin utilizada en la Teora de Grupos.

    1.2 Ejemplos. El lector podr comprobar que (Z+ ), (Z+ ), (Q+ ),(R+ ), (+ ), (+ ), ([]+ ), (C+ ) son anillos, (Problema1.1).

    Si un anillo (+ ) satisface

    9

  • 10 Captulo I. Teora de Anillos

    (iv) ( ) es un semigrupo conmutativo, entonces (+ ) se llamaranillo conmutativo.

    Si ( ) es un monoide, diremos que (+ ) es un anillo con identidado con uno. Denotaremos con 1 a este nico elemento neutro del monoide.

    Si consideramos un anillo con multiplicacin dada por ( ) 7 pero definimos su multiplicacin como ( ) 7 , obtendremos un anillollamado opuesto de , denotado , que tiene el mismo elemento cero yuno de . Dicho anillo coincide con solamente cuando es conmutativo.

    Si el producto de dos elementos distintos de cero de un anillo es el ele-mento cero del anillo, entonces esos dos elementos se dice que son divisoresde cero. Si un anillo conmutativo (+ ) con 1 6= 0 no posee divisores decero, se llamar dominio entero. Si un dominio entero posee un inversomultiplicativo para cada elemento no nulo, se dice que es un anillo condivisin.

    Observe que un anillo con uno es un anill