Teoria de Funciones
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Difinicion, dominio y rango de una funcionGrafica de una funcion
Funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectivaFunciones entre espacios vectoriales
Teorıa de Funciones
Por: SUAREZ AZPUR, Fredy R.
27 de abril de 2015
Por: SUAREZ AZPUR, Fredy R. Teorıa de Funciones
Difinicion, dominio y rango de una funcionGrafica de una funcion
Funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectivaFunciones entre espacios vectoriales
Definicion (funcion)
Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Una funcion de A en B es laasociacion de cada elemento de A con un unico elemento de B.
Observaciones
? A una funcion de A en B lo denotaremos por
A −→ B , Af−→ B , f : A −→ B.
? Sea la funcion f : A −→ B. Si x ∈ A, entonces existe un unicoy ∈ B que le corresponde a x , al cual lo denotaremos por f (x) yes llamado la imagen de x vıa la funcion f .
? Sea la funcion f : A −→ B. Si u ∈ A, w ∈ A, u = w , entoncesf (u) = f (w).
? Sea la funcion f : A −→ B. Si u ∈ A, w ∈ A, f (u) = f (w), nosiempre tenemos u = w .
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Difinicion, dominio y rango de una funcionGrafica de una funcion
Funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectivaFunciones entre espacios vectoriales
Graficamente
f
A B
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Graficamente
f
A B
x
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Funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectivaFunciones entre espacios vectoriales
Graficamente
f
A B
x
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Difinicion, dominio y rango de una funcionGrafica de una funcion
Funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectivaFunciones entre espacios vectoriales
Graficamente
f
A B
x f x( )
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Funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectivaFunciones entre espacios vectoriales
f
A B
x f x( )
? A es el dominio de la funcion f y se denotara por Dom(f ).
? B es el contradominio de la funcion f .
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Funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectivaFunciones entre espacios vectoriales
f
A
M
f M( )
B
Definicion
? Sea M ⊂ A, el conjunto f (M) = {f (x)/x ∈ M} es la imagen deM vıa la funcion f : A −→ B.
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f
A f A( ) B
Definicion
? El conjunto f (A) es el rango de la funcion f : A −→ B y sedenotara por Ran(f ).
? Ran(f ) ⊂ B, es posible que Ran(f ) = B.
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Definicion (Grafica de una funcion)
La grafica de la funcion f : A −→ B es el conjunto
Graf (f ) ={(
x , f (x))∈ A× B
/x ∈ A
}
B
A
A B×Graf ( )f Observacion
Cualquier recta vertical intersecaa lo sumo en un punto a lagrafica de una funcion.
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Difinicion, dominio y rango de una funcionGrafica de una funcion
Funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectivaFunciones entre espacios vectoriales
Definicion
Una funcion f : A −→ B es inyectiva si dados u ∈ A, w ∈ A,u 6= w , se tiene f (u) 6= f (w).
Una funcion f : A −→ B es inyectiva si dados u ∈ A, w ∈ A,f (u) = f (w), entonces u = w .
Definicion
Una funcion f : A −→ B es sobreyectiva si Ran(f ) = B.
Una funcion f : A −→ B es sobreyectiva si para cada y ∈ B existeun x ∈ A tal que y = f (x).
Definicion
Una funcion f : A −→ B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectivaa la vez.
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B
A
B
A
Observacion
Cualquier recta horizontalinterseca a lo sumo en un puntoa la grafica de una funcioninyectiva.
Observacion
Al proyectar horizontalmentecada punto de la graficasobreyecctiva se debe cubrir elcontradominio B.
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Funciones reales de variable real
Definicion
Sea ∅ 6= A ⊂ R, entonces f : A −→ R es denominada funcion realde variable real.
Definicion
Sea ∅ 6= A ⊂ R, entonces f : A −→ Rn es denominada funcionvectorial de variable real.
Definicion
Sea ∅ 6= A ⊂ Rn, entonces f : A −→ R es denominada funcionreal de variable vectorial.
Definicion
Sea ∅ 6= A ⊂ Rn, entonces f : A −→ Rm es denominada funcionvectorial de variable vectorial.
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Funciones reales de variable real
Funciones reales de variable real con varias reglas
Sea ∅ 6= A ⊂ R, si f : A −→ R es una funcion definida por:
f (x) =
f1(x) , si x ∈ A1;
f2(x) , si x ∈ A2;...
...fk(x) , si x ∈ Ak .
entonces Dom(f ) = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak .
Cada funcion fi : Ai −→ R esta definida de manera que susdominios son dos a dos ajenos, es decir, Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i 6= j .
El rango de f es Ran(f ) = Ran(f1) ∪ Ran(f2) ∪ · · · ∪ Ran(fk).
El grafico de f es Graf (f ) = Graf (f1) ∪ Graf (f2) ∪ · · · ∪ Graf (fk).
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Funcion inyectiva, sobreyectiva, biyectivaFunciones entre espacios vectoriales
Funciones reales de variable real
EJEMPLO
Sea la funcion f : A −→ R, definida por:
f (x) =
x2 − 2 , si x ∈ [−3, 0〉;
x − |x − 2| , si x ∈ [0, 4〉;√9− (x − 8)2 , si x ∈ [5, 11].
1 Halle su dominio.
2 Redefinir f y luego halle su rango en forma analıtica.
3 Presente su grafico.
4 De ser posible calcule f (0), f (4) y f (12)
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