Teoría de fracciones

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  Teoría de fracciones Fracciones: teoria 1. FRACCIONES 2. Para expresar partes de un todo se utilizan fracciones. Las fracciones se expresan mediante dos números: numerador y denominador. numerador denominador Número de partes que se toman Número de  partes en que se divide el todo 1/2 = 2/4 = 4/8 Estas fracciones son equivalentes ya que tienen el mismo valor Para calcular fracciones equivalentes se pueden emplear dos métodos: 1 - Ampliación : para ello se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número 1 - FRACCIONES EQUIVALENTES 2 - Simplificación : para ello se dividen el numerador y el denominador por el mismo número. La fracción que ya no puede seguir simplificándose es la irreducible 3. Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se pueden emplear dos métodos: 1 -Dividir el numerador entre el denominador y comprobar si los cocientes son iguales Ejemplos: 2/7 y 14/49 son fracciones equivalentes porque 2 · 49 = 7 · 14 5/8 y 15/ 16 no son fracciones equivalentes porque 5·16 no es igual a 8·15 Para calcular el valor de ?, como son fracciones equivalentes: 1 – Multiplicamos 5·60 = 300 2 – Como ? · 12 = 300 ( recuerda la propiedad de las fracciones equivalentes), entonces ? = 300: 12 ? = 25 2 - Multiplicar en cruz 5 12 ? 60 = 4. 2 – COMPARAR FRACCIONES 2.1 – con el mismo denominador Es mayor la que tiene mayor numerador 5. 2.2 – con el mismo numerador Es mayor la que tiene menor denominador 2 – COMPARAR FRACCIONES 6. 2 – COMPARAR FRACCIONES 2.3 – con distinto denominador Es necesario reducir las fracciones a un denominador común , es decir, convertirlas en fracciones equivalentes con un denominador común. 7. 3 - SIMPLIFICAR FRACCIONES Simplificar una fracción es convertirla en una fracción equivalente más sencilla , es decir, en una fracción cuyo numerador y denominador sean números más pequeños. La fracción que no se puede simplificar más es una fracción irreducible. Método para simplificar fracciones: 1  – Se descomponen tanto el denominador como el numerador en factores primos 12 36 12 2 6 2 3 3 1 12 = 2x2x3 36 2 18 2 9 3 3 3 1 12 = 2x2x3x3 2 – Se sustituyen tanto el numerador como el denominador por sus descomposiciones factoriales. 3 – Se dividen el numerador y el denominador por los mismos factores (en matemáticas esto se indica así: /.) = 4 – La fracción resultante es la irreducible. 2 x 2 x 3 2 x 2 x 3 x 3 = 1 3 ¡ATENCIÓN! Si en el numerador has tachado todos los factores, el numerador resultante es 1. 8. 4 - OPERACIONES CON FRACCIONES SUMAS Y RESTAS con = denominador se suman los numeradores y se deja el mismo denominador 1º Se halla el mcm de los denominadores + = 2º Se sustituyen los denominadores por el mcm 3º Se calcula por cuánto he multiplicado cada denominador para obtener el común denominador 4º Se multiplica cada numerador por el número correspondiente MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN Ejemplo número natural x fracción fracción x fracción Nº natural : fracción fracción : fracción 5º Se realiza la operación indicada con = denominador 1 8 5 8 6 8 9. + + SUMAR FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR 1º SE BUSCA UN DENOMINADOR COMÚN Recomendación : Busca el m.c.m. 3 7 7 21 1 6 =2 x3 21 = 7 x3 El m.c.m. es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente m.c.m = 2 2 x 3x7= 84 12 = 2 2 x3 = 2º Se sustituyen los denominadores por el mcm + + 3º Se Multiplica al numerador por el mismo número por el que se ha multiplicado al denominador X 14 Continúa tú, ¿vale? X 14 Tengo que multiplicar al numerador por el mismo número X 7 14 35 24 = 1 6 5 12 6 21 84 84 84 2 3 3 6 1 2 2 12 6 3 3 1 73 84 10. MULTIPLICACIÓN 1 – fracción x número natural / número natural x fracción Se multiplica el número por el numerador y se pone el mismo denominador 2 – Fracción x fracción = El resultado es una

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 Teoría de fracciones

Fracciones: teoria• 1. FRACCIONES

• 2. Para expresar partes de un todo se utilizan fracciones. Las fracciones se expresan mediante dosnúmeros: numerador y denominador. numerador denominador Número de partes que se toman Número

 partes en que se divide el todo 1/2 = 2/4 = 4/8 Estas fracciones son equivalentes ya que tienen el mismovalor Para calcular fracciones equivalentes se pueden emplear dos métodos: 1 - Ampliación : para ello smultiplican el numerador y el denominador por el mismo número 1 - FRACCIONES EQUIVALENTES- Simplificación : para ello se dividen el numerador y el denominador por el mismo número. La fracciónque ya no puede seguir simplificándose es la irreducible

• 3. Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se pueden emplear dos métodos: 1 -Dividir elnumerador entre el denominador y comprobar si los cocientes son iguales Ejemplos: 2/7 y 14/49 sonfracciones equivalentes porque 2 · 49 = 7 · 14 5/8 y 15/ 16 no son fracciones equivalentes porque 5·16 nes igual a 8·15 Para calcular el valor de ?, como son fracciones equivalentes: 1 – Multiplicamos 5·60 = 32 – Como ? · 12 = 300 ( recuerda la propiedad de las fracciones equivalentes), entonces ? = 300: 12 ? = 2 - Multiplicar en cruz 5 12 ? 60 =

• 4. 2 – COMPARAR FRACCIONES 2.1 – con el mismo denominador Es mayor la que tiene mayor numerador 

• 5. 2.2 – con el mismo numerador Es mayor la que tiene menor denominador 2 – COMPARAR FRACCIONES

• 6. 2 – COMPARAR FRACCIONES 2.3 – con distinto denominador Es necesario reducir las fracciones un denominador común , es decir, convertirlas en fracciones equivalentes con un denominador común.

• 7. 3 - SIMPLIFICAR FRACCIONES Simplificar una fracción es convertirla en una fracción equivalentmás sencilla , es decir, en una fracción cuyo numerador y denominador sean números más pequeños. Lafracción que no se puede simplificar más es una fracción irreducible. Método para simplificar fraccione

 – Se descomponen tanto el denominador como el numerador en factores primos 12 36 12 2 6 2 3 3 1 12 2x2x3 36 2 18 2 9 3 3 3 1 12 = 2x2x3x3 2 – Se sustituyen tanto el numerador como el denominador por sus descomposiciones factoriales. 3 – Se dividen el numerador y el denominador por los mismos factore(en matemáticas esto se indica así: /.) = 4 – La fracción resultante es la irreducible. 2 x 2 x 3 2 x 2 x 3 x 3= 1 3 ¡ATENCIÓN! Si en el numerador has tachado todos los factores, el numerador resultante es 1.

• 8. 4 - OPERACIONES CON FRACCIONES SUMAS Y RESTAS con = denominador se suman losnumeradores y se deja el mismo denominador 1º Se halla el mcm de los denominadores + = 2º Sesustituyen los denominadores por el mcm 3º Se calcula por cuánto he multiplicado cada denominador paobtener el común denominador 4º Se multiplica cada numerador por el número correspondienteMULTIPLICACIÓN DIVISIÓN Ejemplo número natural x fracción fracción x fracción Nº natural :fracción fracción : fracción 5º Se realiza la operación indicada con = denominador 1 8 5 8 6 8

• 9. + + SUMAR FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR 1º SE BUSCA UNDENOMINADOR COMÚN Recomendación : Busca el m.c.m. 3 7 7 21 1 6 =2 x3 21 = 7 x3 El m.c.m. el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente m.c.m = 2 2 x 3x7= 84 12 = 2 x3 = 2º Se sustituyen los denominadores por el mcm + + 3º Se Multiplica al numerador por el mismonúmero por el que se ha multiplicado al denominador X 14 Continúa tú, ¿vale? X 14 Tengo quemultiplicar al numerador por el mismo número X 7 14 35 24 = 1 6 5 12 6 21 84 84 84 2 3 3 6 1 2 2 12 63 1 73 84

• 10. MULTIPLICACIÓN 1 – fracción x número natural / número natural x fracción Se multiplica elnúmero por el numerador y se pone el mismo denominador 2 – Fracción x fracción = El resultado es un

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fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de losdenominadores = 7 = 8 X ; = X X 5 7 2 3 5x2 7x3 10 21 1 6 7 6 3 6 24 6

• 11. DIVISIÓN Se multiplica el dividendo por el inverso del divisor 2 – Fracción : fracción : = = 2 – número natural : fracción 1 – fracción : número natural : 7 = X ; X = 7 : = 7 X = Se multiplica el dividen por el inverso del divisor Se multiplica el dividendo por el inverso del divisor 5 7 2 3 5 7 15 14 1 6 1 6 11 42 5 6 6 5 42 5 3 2

Resolver las ecuaciones de primer grado

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Problemas de ecuaciones de primer grado

1 Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la e

del hijo?2Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?

3 La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

4En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres ymujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?

5 Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 parteCalcula la capacidad del bidón.

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6 Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

7Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que lequeda. Se pide:

1.Litros de gasolina que tenía en el depósito.

2. Litros consumidos en cada etapa.

8En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes dlo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?

9 La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. Elnúmero es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número?

10Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años laedad de la padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.

11Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro?

12Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° másque B.

ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO.

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnito variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas conincógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se

deben seguir los siguientes pasos:

1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los quecontengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en elderecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de laincógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnitaPara resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operadorinverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces parallevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es+3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

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Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

  2x = 53 + 3

  2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lopasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativde 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

  2x • ½ = 56 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

  x = 56 / 2

  x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Resolvamos otros ejemplos:

 

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y lostérminos independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicadooperaciones inversas donde era necesario).

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pacomo – 8x)

(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x)

(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”)

(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número

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negativo, el resultado es positivo)

(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pa

como – 1)

(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1)

(dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar 4/4 quede la xsola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derechacomo divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando.

 

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(léase, menos un tercio). La fracción es negativa pues se divide un positivo,1, con un negativo, el – 3.

Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signosPara resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupaciónconsiderando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentrhacia afuera las operaciones.

Veamos el siguiente ejemplo:

 

Primero quitamos los paréntesis.

Reducimos términos semejantes.

Ahora quitamos los corchetes.

 Transponemos los términos, empleando el criterio deoperaciones inversas.

Nuevamente reducimos términos semejantes

Despejamos x pasando a dividir a – 2, luego simplificamos

Advertencia

Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que:

a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo que esté dentrde este signo. Por ejemplo: +(3x – 5) = 3x – 5

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b) Si por el contrario, tenemos un signo – antes del signo de agrupación, este signo afectará a tolo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiará

de signo. Por ejemplo: –(3x – 5) = – 3x + 5

Resolución de ecuaciones con productos incluidosPara resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigel procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).

Observemos un ejemplo:

 

Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamoslos paréntesis.

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y lotérminos independientes al otro lado (empleamos operacionesinversas.)

Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad

Despejamos x pasando 3 a dividir.

Resolución de problemas mediante ecuacionesPara resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar lasoperaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer

Veamos un problema característico:

Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades delos tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?

Digamos que las edades de los tres son:

x edad de Pedroy edad de Álvaroz edad de María

Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menoque Álvaro):

y = x + 3

 También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 añmayor que María):

z = x – 7

Ahora tenemos que:

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edad de Pedro: x

edad de Álvaro: x +3

edad de María: x – 7

La suma de las tres edades es 38:

x + x +3 + x – 7 = 38

Resolviendo está última ecuación tendremos:

x = 14 (esta es la edad de Pedro)

Finalmente:

edad de Pedro: x = 14 años

edad de Álvaro: x + 3 = 17 años

edad de María: x – 7 = 7 años

Es propiedad: www.profesorenlinea.cl

Ecuaciones de primer grado

Concepto

Para que exista una ecuación tiene que haber algo igual a algo. Una ecuación es de primer gracuando la x (la variable) está elevada a uno.

Pasos para resolver una ecuación de primer grado

Si hay denominadores, los reducimos a común denominador (calculando el m.c.m ) y suprimimoslos denominadores.

Quitamos los paréntesis aplicando la regla de los signos.

Al final tendremos a ambos lados del =, sólo sumas y restas, unos términos llevaran x y otros no

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 Trasposición de términos: Pasamos todos los términos con x a un lado de la ecuación, los númeroal otro lado.

Agrupamos los términos semejantes y al final despejamos la x obteniendo la solución.

Comprobamos la solución sustituyendo el valor de la x obtenida en la ecuación. Nos tiene que dael mismo resultado a ambos lados de la ecuación.

Soluciones de una ecuación de primer grado

Un número real: es cuando normalmente decimos que nos da solución.

x + 3 = 5 x + 11 => x - 5 x = 11 - 3 => - 4 x = 8 => x = 8 / - 4 => x = - 2

Todo número real: no importa el valor de x, nos da => 0 x = 0

13 - 3 x - 9 = 8 x + 4 - 11 x => - 3 x - 8 x + 11 x = 4 + 9 - 13 => 0 = 0

Incompatible: se anulan las x y nos da => 0 x = número. No tiene solución.

6 + 5 x + 2 = 4 x - 2 + x => 5 x - 4 x - x = - 2 - 6 - 2 => 0 x = - 10

Ejercicios resueltos

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Resuelve:

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ECUACION DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0.

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

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Ecuaciones de segundo grado y una incógnitaSabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente setrabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita,haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0 

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la

solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de

segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porquepueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales quecorresponda en cada caso particular.

Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, dondeb, y c son números reales.

Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x

2

+ 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 103x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formasmostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

Solución por factorización 

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En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro ecero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que converten un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya quesabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

Si

2x − 3 = 0

2x = 3

Si

x + 4 = 0

x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x − 1) = 9

2x2 + 5x − 12 = 0

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2x2 + 5x = 12

2x2 − 12 = − 5x

En todos los casos la solución por factorización es la misma:

 

2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luegresolver en términos de x:

Ahora, six = 0

o si

x− 4 = 0

x = 4

Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:

Soluciones:

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Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadradogeométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicaque la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)2 = n

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un

binomio.

Partiendo de una ecuación del tipo

x2 + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuación

x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x2

+ 8x) le falta un término para completar el cuadrado de suma de un binomio del tipo(ax + b)2 

Que es lo mismo que

(ax + b) (ax + b)

Que es lo mismo que

ax2 + 2axb + b2

En nuestro ejemplo

x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese númerdebe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la sumde un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término(42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x2 + 8x + 16 = 48 + 16

x2 + 8x + 16 = 64

la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:

(x + 4) (x + 4) = 64

Que es igual a

(x + 4)2 = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

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Nos queda

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 − 4

x = 4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logrobtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.

Veamos otro ejemplo:

Partamos con la ecuación

x2 + 6x − 16 = 0

Hacemos

x2 + 6x = 16

Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener unaexpresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).

Para encontrar el término que falta hacemos

(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor realdel segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).

Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:

x2 + 6x = 16

x2 + 6x + 9 = 16 + 9

x2 + 6x + 9 = 25

factorizamos, y queda

(x +3) (x + 3) = 25

(x + 3)2 = 25

La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2

así la ecuación se resuelve con facilidad:

Extraemos raíz cuadrada

, y queda

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x + 3 = 5 y x + 3 = −5

(pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5

Entonces

x = 5 − 3

x = 2

 Y

x = − 5 − 3

x = − 8

La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.

Otro ejemplo para analizar y estudiar:

Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0 

Veamos: Con los términos x2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3)2 , pero nosfaltaría el término igual a 9, por lo tanto, dejamos las equis (x) a la izquierda y pasamos el 8 a laderecha de la igualdad:

x2 – 6x = − 8

y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado debinomio:

¿Cómo encontramos el término que falta?, haciendo

x2 – 6x = −8 /+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuación)

x2 − 6x + 9 = − 8 + 9

(x – 3)2 = 1

Extraemos las raíces cuadradas

y queda

x – 3 = 1 y x − 3 = −1

Si

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x – 3 = 1

x = 1 + 3

x = 4

Si

x – 3 = −1

x = −1 + 3

x = 2

Por lo tanto x1 = 4 y x2 = 2 

Debemos hacer notar que el método de completar cuadrados terminará en lo mismo que lafórmula general, porque es de este método de donde sale dicha fórmula, usada en el método quvemos a continuación.

Ver: PSU: Matematica; Pregunta 028_2010

Solución por la fórmula general 

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguient

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) ant

de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letrasb y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquierecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene quver con las técnicas de factorización.

Ejemplo: 

Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :

y también

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Así es que las soluciones son .

Aquí debemos anotar algo muy importante:

En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión . Es

raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b2 − 4ac) sea positivo o cero.

El radicando b2 – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de solucione(llamadas también raíces) depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes deresolver la ecuación.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de

soluciones que posee:

Si es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.Δ

Si es negativo, la ecuación no tiene solución.Δ

Si es cero, la ecuación tiene una única solución.Δ

En el ejemplo anterior el discriminante era = 49Δ , positivo, por eso la ecuación tenía dossoluciones.

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra

solución cuando restamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a.

Trabajando con ecuaciones de segundo grado

Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuación de segundo grado puede, mediantetransformaciones, expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, y b son los coeficient

de los términos x2 y x, respectivamente y c es el término independiente.

Ecuación de segundo grado completa 

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c sondistintos de cero.

Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es

ax2 + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta 

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero

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(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.)

La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.

ax2 + bx = 0; si c = 0.

ax2 + c = 0; si b = 0.

 

Algunos ejemplos, con soluciones

1) Resolver: − 5x2 + 13x + 6 = 0 

Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayomenor. Con esta condición tenemos: a = − 5; b = 13; c = 6.

Se aplica la fórmula:

Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −.

Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones, que serán:

 

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidaAl procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se ledenomina verficación.

Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0 , tal como seesperaba en el segundo miembro.

Probando con , se tiene

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Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y son las raíces de −

5x2 + 13x + 6 = 0 

2.- Resolver: 6x − x2 = 9 

Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo ycambiando de lugar resulta:

− x2 + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:

a = −1 ; b = 6 ; c = −9 ; y se aplica la fórmula:

El discriminante ( )Δ

es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 == 3.

Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con locual se ha comprobado la respuesta.

Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas

En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse comouna ecuación de segundo grado.

Para hacerlo, hay que entender la lógica del problema, identificando como x a una de las variablque el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo alplanteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuación.

Hay que destacar que sólo la experiencia mejora los resultados. Para practicar, los interesadospueden consultar el "Algebra" de Aurelio Baldor, que, para muchos, es la biblia del álgebra.

Problema 1

La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos número

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Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que sonambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x acualquiera de los dos, por ejemplo:

x = Primer número

Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será:

10 − x = Segundo númeroPara entenderlo mejor:

Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, ¿Cuánto tiene usted?,obviamente, restando el total menos 400, es decir 1.000 − 400 = $ 600. Si su amigo tiene $ x, lacuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene 1.000 −

La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resul58, entonces:

x2 + (10 - x)2 = 58

Esta es la ecuación a resolver

Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenamos para llega la fórmula conocida.

Vemos que la operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muycomún que los estudiantes escriban: (a − b)2 = a2 − b2, lo cual es incorrecto. La expresión correes: (a − b)2 = a2 − 2•a•b + b2 

Desarrollando la ecuación se tiene: x2 + 102 − 2•10•x + x2 = 58 = x2 + 100 − 20•x + x2 = 5

Ordenando y agrupando: 2x2 − 20•x+ 42 = 0;

Dividiendo entre 2 toda la ecuación:

 x2 − 10x + 21 = 0 

Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado yllegaremos a x1 = 7 y x2 = 3.

Veamos, si tenemos

a = 1, b = −10 c = 21

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Los números buscados son 7 y 3.

Problema 2

El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta

m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala. 

Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable x se asigne a cualquiera de lasdos incógnitas, largo o ancho.

Supongamos que:

x = ancho de la sala

El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que:

x + 3 = largo de la sala.

El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:

x • (x + 3 ) = área de la sala.

 Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.

Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta enmetros, así que, luego del aumento quedan:

x + 3 = nuevo ancho de la sala

x + 5 = nuevo largo de la sala

(x + 3 ) • (x + 5) = nueva área de la sala

Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación:

(x + 3 ) • (x + 5) = 2 • x • (x + 3)  

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Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x 

Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 − 2x2 − 6x = 0 

Se simplifica: − x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver.

Se aplica la fórmula conocida y resulta: x1 = 5 y x2 = −3.

La solución x = −3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma

como única respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.

Como el largo inicial x + 3 = 8 metros, el área original era 8m • 5m = 40 m2.

Problema 3

Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están e

metros 

Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de lahipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c2 = a2 + b2). La hipotenusa es elado mayor (2x − 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:

(x + 3)2 + (x − 4)2 = (2x − 5)2 

Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:

x2 + 2 • 3 • x + 32 + x2 − 2 • 4 • x + 42 = (2x)2 − 2 • (2x) • 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 − 8

+ 16 = 4x2 − 20x + 25

Reagrupando:

x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 − 4x2 + 20x − 25 = 0

Finalmente:

−2x2 + 18x = 0

Es la ecuación a resolver

Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9.

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La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería −4 m, lo cual no es posible. Lasolución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metry con hipotenusa 13 metros.

El área de un triángulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos queestán a 90° , por lo tanto el área es

El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.

Nota final:

Cada método de solución es aplicable según sea la naturaleza de la ecuación cuadrática, perosiempre es posible aplicar el método de completación de cuadrado de binomio y el de la aplicacide la fórmula de las soluciones generales de una ecuación cuadrática.