Teoria de Filtros 2011

SISTEMAS ELECTRNICOS DE CONTROL

TEORA DE FILTROS Introduccin

Diagramas de Bode Filtros Elctricos

Filtro Pasivos y Activos Analgicos Consideraciones Generales Sobre los Filtros

Diseo de un Filtro Pasa bajo Diseo de un Filtro Pasa alto

Diseo de un Filtro Pasa banda Diseo de un Filtro Elimina Banda

Tablas de Coeficientes

6 B ELECTRNICA 2011

2011

El filtro elctrico fue inventado de manera independiente en 1915 por Estados Unidos y por K. W. Wagner1910 1920, se cre la necesidad de reducir el efecto del ruido de la esttica en el radiorreceptor. Cuando surgieron las transmisiones regulares de radio en la dcada de 1920, Campbell y otros desarrollaron el estos filtros se les llama filtros pasivosdcada de 1930, S. Darlingtonnecesaria para disear filtros pasivos. El filtro Wireles Engineering en 1930.

Cuando se incorporan dispositivos activos, de manera tpica amplificadores operacionales, en un filtro elctrico, al filtro se le llama relativamente grandes y pesados, los filtros activos suelen construirse sin inductores utilizando, por ejemplo, slo amplificadores operacionales, resistencias y capacitares. Los primeros filtros activos RC prcticos se inventaron durante la Segunda Guerra Mundial y se documentaron en un escrito clsico de R. P. Sallen

Es comn usar grficas logartmicas de la respuesta en frecuencia en lugar de grficas lineales. Las grficas logartmicas se denominan quien las utiliz ampliamente en su trabajo con amplificadores en los laboratorios de la Telephone durante las dcadas de 1930 y 1940.

En los diagramas de Bode se represpuesta en frecuencia en ordenadas, en una escala lineal expresada en decibeles, y la frecuencia en abscisas en una escala logartmica, obtenindose as el diagrama de Bode de amplitud o mdulo. El diagrama de Bode de fase se obtiene llevando la fase en ordenadas, en grados sexagesimales en forma lineal, y la frecuencia en abscisas en escala logartmica.

Para representar grficamente los resultados, suele emplearse papel semilogartmico, en el cual la magnitud, expresada en decibeles y el ngulo de fase, expresado en grados, se representan como ordenadas en la escala lineal o rectangular, en tanto que la frecuencia se representa como abscisa en la escala logartmica. El uso de escalas logartmicas amplintervalo de las frecuencias representadas en el eje horizontal.

A continuacin se observa un filtro pasa bajo pasivo y su funcin de transferencia:

E.E.T N 460 Guillermo Lehmann Departamento de Electrnica

Sistemas Electrnicos de Control

6 B Electrnica

1. INTRODUCCIN El filtro elctrico fue inventado de manera independiente en 1915 por George Campbell

K. W. Wagner en Alemania. Con el surgimiento de la radio en el periodo 1920, se cre la necesidad de reducir el efecto del ruido de la esttica en el

radiorreceptor. Cuando surgieron las transmisiones regulares de radio en la dcada de 1920, Campbell y otros desarrollaron el filtro RLC utilizando inductores, capacitares y resistencias. A

filtros pasivos debido a que se componen de elementos pasivos. En la S. Darlington, S. Butterworth y E. A. Guillemin desarrollaron la teora

a para disear filtros pasivos. El filtro pasa bajo tipo Butterworth se di a conocer en en 1930.

Cuando se incorporan dispositivos activos, de manera tpica amplificadores operacionales, en un filtro elctrico, al filtro se le llama filtro activo. Puesto que los inductores son relativamente grandes y pesados, los filtros activos suelen construirse sin inductores utilizando, por ejemplo, slo amplificadores operacionales, resistencias y capacitares. Los primeros filtros

os se inventaron durante la Segunda Guerra Mundial y se documentaron en R. P. Sallen y E.L. Key (Sallen y Key, 1955).

2. DIAGRAMAS DE BODE Es comn usar grficas logartmicas de la respuesta en frecuencia en lugar de grficas

s. Las grficas logartmicas se denominan Diagramas de Bode en honor de quien las utiliz ampliamente en su trabajo con amplificadores en los laboratorios de la

durante las dcadas de 1930 y 1940. En los diagramas de Bode se representa en forma separada, el mdulo de la funcin de

respuesta en frecuencia en ordenadas, en una escala lineal expresada en decibeles, y la frecuencia en abscisas en una escala logartmica, obtenindose as el diagrama de Bode de

agrama de Bode de fase se obtiene llevando la fase en ordenadas, en grados sexagesimales en forma lineal, y la frecuencia en abscisas en escala logartmica.

Para representar grficamente los resultados, suele emplearse papel semilogartmico, en el magnitud, expresada en decibeles y el ngulo de fase, expresado en grados, se

representan como ordenadas en la escala lineal o rectangular, en tanto que la frecuencia se representa como abscisa en la escala logartmica. El uso de escalas logartmicas amplintervalo de las frecuencias representadas en el eje horizontal.


Figura 1.- Filtro pasa bajo pasivo de 1 orden.

ssCRsC

R

sCV

V

IN

OUT

.+11

=

..+11

=

.

1+

.

1

=

Electrnica 2

George Campbell en on el surgimiento de la radio en el periodo

1920, se cre la necesidad de reducir el efecto del ruido de la esttica en el radiorreceptor. Cuando surgieron las transmisiones regulares de radio en la dcada de 1920,

filtro RLC utilizando inductores, capacitares y resistencias. A debido a que se componen de elementos pasivos. En la

desarrollaron la teora tipo Butterworth se di a conocer en

Cuando se incorporan dispositivos activos, de manera tpica amplificadores operacionales, . Puesto que los inductores son

relativamente grandes y pesados, los filtros activos suelen construirse sin inductores utilizando, por ejemplo, slo amplificadores operacionales, resistencias y capacitares. Los primeros filtros

os se inventaron durante la Segunda Guerra Mundial y se documentaron en

Es comn usar grficas logartmicas de la respuesta en frecuencia en lugar de grficas en honor de H. W. Bode,

quien las utiliz ampliamente en su trabajo con amplificadores en los laboratorios de la Bell

resenta en forma separada, el mdulo de la funcin de respuesta en frecuencia en ordenadas, en una escala lineal expresada en decibeles, y la frecuencia en abscisas en una escala logartmica, obtenindose as el diagrama de Bode de

agrama de Bode de fase se obtiene llevando la fase en ordenadas, en grados sexagesimales en forma lineal, y la frecuencia en abscisas en escala logartmica.

Para representar grficamente los resultados, suele emplearse papel semilogartmico, en el magnitud, expresada en decibeles y el ngulo de fase, expresado en grados, se

representan como ordenadas en la escala lineal o rectangular, en tanto que la frecuencia se representa como abscisa en la escala logartmica. El uso de escalas logartmicas ampla el


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El mdulo de la funcin de transferencia es:

El mdulo INOUT VVaproximadamente igual a 0,1 cuando figura 2 para realizar una aproximacin asinttica del diagrama.

La curva asinttica aproximada de la ganancia est formada por dos rectas, una coincidente con el eje de frecuencias, y otra con una pendiente de frecuencia recibe el nombre de octava) o de abscisa 1= , llamada pulsacin de corte.

El diagrama de fase para el filtro calculado segn la siguiente ecuacin:

Figura 2

El diagrama de fase es mucho ms difcil de aproximar ylineal. Normalmente el clculo de fase se realiza para la frecuencia de corte.

Como regla general, todo polo real produce una cada de cambiado de signo, y todo cero real produce una elevacipartir de su valor cambiado de signo.



6 B Electrnica

Donde js = , 1-=j y =.CR

El mdulo de la funcin de transferencia es: 21

=INOUT VV

1 cuando 1,0= , es igual a 0,707 cuando e igual a 0,1 cuando 10= . Estos puntos son utilizad

para realizar una aproximacin asinttica del diagrama. La curva asinttica aproximada de la ganancia est formada por dos rectas, una coincidente

l eje de frecuencias, y otra con una pendiente de -6dB/octava (cada duplicacin de frecuencia recibe el nombre de octava) o -20dB/dcada la cual corta a la otra recta en el punto

, llamada pulsacin de corte.

e fase para el filtro pasa bajo o cualquier otra funcin de transferencia es calculado segn la siguiente ecuacin:

=

=

1.

ImRe 11 tgtg

Figura 2.- Diagrama de Bode de un filtro pasa bajo pasivo.

El diagrama de fase es mucho ms difcil de aproximar ya que la funcin tangente no es lineal. Normalmente el clculo de fase se realiza para la frecuencia de corte.

Como regla general, todo polo real produce una cada de -6dB/octava a partir de su valor cambiado de signo, y todo cero real produce una elevacin de la pendiente en +6dB/octava a partir de su valor cambiado de signo.

Electrnica 3

( )2.+1

, es igual a 0,707 cuando 1= y es . Estos puntos son utilizados en la grfica de la

La curva asinttica aproximada de la ganancia est formada por dos rectas, una coincidente 6dB/octava (cada duplicacin de

20dB/dcada la cual corta a la otra recta en el punto

o cualquier otra funcin de transferencia es

a que la funcin tangente no es lineal. Normalmente el clculo de fase se realiza para la frecuencia de corte.

6dB/octava a partir de su valor n de la pendiente en +6dB/octava a

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Se empieza considerando un filtro ideal. Por conveniencia, se supone que tanto la entrada como la salida de este filtro son voltajes. Este filtro ideal separa spartes. Una parte se deja pasar sin modificacin a la salida; la otra se elimina. En otras palabras, la salida de un filtro ideal es una copia exacta de parte de la entrada del filtro.entender cmo opera un filtro elctric

Esta entrada consiste en una suma de diferente. (Por ejemplo, los voltajes peridicos pueden representarse de esta manera utilizando la serie de Fourier). El filtro separa elcomo base de la separacin. Hay varias formas de separar esta entrada en dos partes y, consiguiente, son diversos los tipos de filtros idealestipos de filtros que existen.

Si tomamos como ejemplo el filtro pasa bajo ideal, que aparece en la figura 3, y planteamos su funcin de red obtenemos:

A la frecuencia c se la llama frecuencia de corte. La frecuencia de corte separa el intervalo de frecuencias en dos bandas, la banda de paso, en donde corte, en donde > c. Los componentes de la entrada cuyas frecuencias estn dentro dbanda de paso experimentan una ganancia unitaria y un desplazamiento de fase nulo. Estos trminos se dejan pasar, sin modificacin, a la salida del filtro. Los componentes de la entrada cuyas frecuencias estn en la banda de corte experimentan una gantrminos se eliminan o suprimen. Un filtro ideal separa su entrada en dos partes: los trminos cuyas frecuencias estn en la banda de paso y los trminos cuyas frecuencias estn en la



6 B Electrnica

3. FILTROS ELCTRICOS Se empieza considerando un filtro ideal. Por conveniencia, se supone que tanto la entrada

como la salida de este filtro son voltajes. Este filtro ideal separa su voltaje de entrada en dos partes. Una parte se deja pasar sin modificacin a la salida; la otra se elimina. En otras palabras, la salida de un filtro ideal es una copia exacta de parte de la entrada del filtro.entender cmo opera un filtro elctrico, considrese el siguiente voltaje de entrada

( ) ttttvent ++= 321 coscoscos Esta entrada consiste en una suma de seales senoidales, cada una en una frecuencia

diferente. (Por ejemplo, los voltajes peridicos pueden representarse de esta manera utilizando ). El filtro separa el voltaje de entrada en dos partes, utilizando la frecuencia

como base de la separacin. Hay varias formas de separar esta entrada en dos partes y, consiguiente, son diversos los tipos de filtros ideales. En la figura 3 se muestran los

.

Figura 3.- Filtros ideales.

Si tomamos como ejemplo el filtro pasa bajo ideal, que aparece en la figura 3, y planteamos su funcin de red obtenemos:

( )

>

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banda de corte. La salida del filtro consta dede paso. Desafortunadamente, los filtros ideales no existen, en realidad los filtros prcticos son aproximaciones a los ideales.

4. FILTROS PASIVOS Y ACTIVOS ANALGICOSUn filtro analgico, como su nombre l

analgicos, por lo que puede ser implementado fsicamente con elementos tales como resistencias, bobinas, capacitores y

Los filtros pasivos son conocidos por este nombre, pueutilizan dispositivos pasivos como lo son capacitores, bobinas y resistencias. La principal desventaja de estos filtros es el tamao de la bobina, las cuales llegan a ser muy voluminosas a bajas frecuencias, de all la nec

En los filtros activos se incluyen resistencias, capacitores y amplificadores operacioeliminndose las bobinas y obtenindose

La bobina es el elemento que ms aleja al filtro de bajas frecuencias, por lo que su eliminacin permite mejorar el comportamiento del mismo.

Generalmente tienen muy alta impedancia de entrada y muy baja de salida, presentando por lo tanto muy buena capacidad de aislamiede clulas de filtrado sin afectar la respuesta, ya que prcticamente es independiente de las impedancias de carga y fuente.

Posibilidad de amplificacin, tanto de tensin como de corriente, particularidad importante para seales de bajo nivel.

Factor de calidad relativamente grande, Facilidad de puesta a punto y regulacin contina de la banda pasante.

Por otro lado, los filtros activos presentan las siguientes desventajas respect Necesidad de una o dos fuentes de alimentacin que pueden introducir ruido. Limitacin del margen dinmico de salida, para valores mayores a 10 V de amplitud de

la seal de entrada el amplificador operacional puede saturarse, adems la cosalida se limita a algunos miliamperes. Con valores bajos de amplitud de la seal de entrada el ruido intrnseco del amplificador puede enmascarar la seal. El margen dinmico est limitado a unos 120 dB.

Muy sensibles a los cambios de temperatuproducen un considerable desplazamiento de los polos de la funcin de transferencia, con la posibilidad de tornar inestable al circuito.

Limitacin del rango superior de frecuencias, no utilizndoselos en general MHz.

En resumen, puede decirse que el campo de utilizacin reservado a los filtros activos es el de baja frecuencia, donde el filtro pasivo resulta muy costoso por la dificultad de construir bobinas de alto Q.



6 B Electrnica

banda de corte. La salida del filtro consta de los trminos cuyas frecuencias estn en la banda de paso. Desafortunadamente, los filtros ideales no existen, en realidad los filtros prcticos son aproximaciones a los ideales.

. FILTROS PASIVOS Y ACTIVOS ANALGICOSUn filtro analgico, como su nombre lo indica, es un filtro que funciona con componentes

analgicos, por lo que puede ser implementado fsicamente con elementos tales como istencias, bobinas, capacitores y amplificadores operacionales. Los filtros pasivos son conocidos por este nombre, puesto que para su implementacin se

utilizan dispositivos pasivos como lo son capacitores, bobinas y resistencias. La principal desventaja de estos filtros es el tamao de la bobina, las cuales llegan a ser muy voluminosas a bajas frecuencias, de all la necesidad de contar con filtros sin inductores.

En los filtros activos se incluyen resistencias, capacitores y amplificadores operacioeliminndose las bobinas y obtenindose las siguientes ventajas:

La bobina es el elemento que ms aleja al filtro de su comportamiento ideal, sobretodo a bajas frecuencias, por lo que su eliminacin permite mejorar el comportamiento del

Generalmente tienen muy alta impedancia de entrada y muy baja de salida, presentando por lo tanto muy buena capacidad de aislamiento, permitiendo la conexin en cascada de clulas de filtrado sin afectar la respuesta, ya que prcticamente es independiente de las impedancias de carga y fuente. Posibilidad de amplificacin, tanto de tensin como de corriente, particularidad

para seales de bajo nivel. Factor de calidad relativamente grande, alcanzando valores de hasta Q = 500.Facilidad de puesta a punto y regulacin contina de la banda pasante.

Por otro lado, los filtros activos presentan las siguientes desventajas respectNecesidad de una o dos fuentes de alimentacin que pueden introducir ruido.Limitacin del margen dinmico de salida, para valores mayores a 10 V de amplitud de la seal de entrada el amplificador operacional puede saturarse, adems la cosalida se limita a algunos miliamperes. Con valores bajos de amplitud de la seal de entrada el ruido intrnseco del amplificador puede enmascarar la seal. El margen dinmico est limitado a unos 120 dB. Muy sensibles a los cambios de temperatura y al envejecimiento de componentes, que producen un considerable desplazamiento de los polos de la funcin de transferencia, con la posibilidad de tornar inestable al circuito. Limitacin del rango superior de frecuencias, no utilizndoselos en general

En resumen, puede decirse que el campo de utilizacin reservado a los filtros activos es el de baja frecuencia, donde el filtro pasivo resulta muy costoso por la dificultad de construir

Electrnica 5

los trminos cuyas frecuencias estn en la banda de paso. Desafortunadamente, los filtros ideales no existen, en realidad los filtros prcticos son

. FILTROS PASIVOS Y ACTIVOS ANALGICOS o indica, es un filtro que funciona con componentes

analgicos, por lo que puede ser implementado fsicamente con elementos tales como

sto que para su implementacin se utilizan dispositivos pasivos como lo son capacitores, bobinas y resistencias. La principal desventaja de estos filtros es el tamao de la bobina, las cuales llegan a ser muy voluminosas

esidad de contar con filtros sin inductores. En los filtros activos se incluyen resistencias, capacitores y amplificadores operacionales,

su comportamiento ideal, sobretodo a bajas frecuencias, por lo que su eliminacin permite mejorar el comportamiento del

Generalmente tienen muy alta impedancia de entrada y muy baja de salida, presentando nto, permitiendo la conexin en cascada

de clulas de filtrado sin afectar la respuesta, ya que prcticamente es independiente de

Posibilidad de amplificacin, tanto de tensin como de corriente, particularidad

hasta Q = 500. Facilidad de puesta a punto y regulacin contina de la banda pasante.

Por otro lado, los filtros activos presentan las siguientes desventajas respecto a los pasivos: Necesidad de una o dos fuentes de alimentacin que pueden introducir ruido. Limitacin del margen dinmico de salida, para valores mayores a 10 V de amplitud de la seal de entrada el amplificador operacional puede saturarse, adems la corriente de salida se limita a algunos miliamperes. Con valores bajos de amplitud de la seal de entrada el ruido intrnseco del amplificador puede enmascarar la seal. El margen

ra y al envejecimiento de componentes, que producen un considerable desplazamiento de los polos de la funcin de transferencia,

Limitacin del rango superior de frecuencias, no utilizndoselos en general ms all de 1

En resumen, puede decirse que el campo de utilizacin reservado a los filtros activos es el de baja frecuencia, donde el filtro pasivo resulta muy costoso por la dificultad de construir

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Figura 4

5. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LOS El circuito RC que se observa en la figura 5

implementar.

Su funcin de transferencia es la siguiente:

La funcin de respuesta en frecuencia del circuito se obtiene reempleando

Con el objeto de analizar el problema de una forma de frecuencia compleja s

De donde:

La frecuencia de corte del circuit



6 B Electrnica

Figura 4.- Filtro pasa bajo de segundo orden pasivo y activo.

CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LOS RC que se observa en la figura 5, constituye el filtro pasa bajo ms simple de

Figura 5.- Filtro pasa bajo pasivo de 1 orden.

erencia es la siguiente:

CRsCR

s

CRsA

..+11

=

.

1+

.

1

=)(

La funcin de respuesta en frecuencia del circuito se obtiene reempleando

CRjjA ..+11

=)(

Con el objeto de analizar el problema de una forma ms general, normalizaremos la variable por la siguiente definicin:

c

n

ss

=

n

cc

sjffjj ===

La frecuencia de corte del circuito de la figura 5 viene dada por:

CRf c

...21

=

pi.

Electrnica 6

de segundo orden pasivo y activo.

CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LOS FILTROS , constituye el filtro pasa bajo ms simple de

La funcin de respuesta en frecuencia del circuito se obtiene reempleando s por j . As:

ms general, normalizaremos la variable

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Por lo tanto Rssn ..=manera:

Para el valor absoluto de la funcin de transferencia, es decir para la relacin de amplitud en las seales senoidales de entrada obtenemos:

Para >> 1, es decir parade -20dB por dcada de frecuencia o

Si se requiere un decrecimiento ms pronunciado de ganancia, se pueden conectar pasa bajo en cascada, como

Figura 6

La expresin de la funcin de transferencia queda, en forma general, de la siguiente forma:

A

donde los coeficientes 1, la ganancia disminuye entonces transferencia posee n polos negativos reales. sta es la caracterstica de los filtros pasaRC pasivos de orden n. Si se coneccorte desacoplados, se tiene:

Cada filtro paso bajo individual tiene entonces una frecuencia de corte que es igual filtro completo multiplicada

En la figura 7 se muestra se obtuvo de la conexin en cascada de cuatro filtros pasacada filtro individual es de llega a -80 dB/dcada (curva 2). Hay que tener en cuenta que en el eje de las abscisas se utiliza la frecuencia normalizada



6 B Electrnica

C. y la funcin de transferencia puede reescribirse de la siguiente

nssA

+11

=)(

Para el valor absoluto de la funcin de transferencia, es decir para la relacin de amplitud en idales de entrada obtenemos:

2+11

=)(

jA

es decir para f >> fc, |A| = 1/; esto corresponde a una reduccin de ganancia 20dB por dcada de frecuencia o -6dB por octava.

Si se requiere un decrecimiento ms pronunciado de ganancia, se pueden conectar pasa bajo en cascada, como se observa en la figura 6.

Figura 6.- Filtro pasa bajo pasivo de cuarto orden.


).+1)...(.+1).(.+1(1

=)(21 nnnn

n ssssA

, 2, 3 son reales y positivos. Para >> 1, |A| es proporcional ala ganancia disminuye entonces n x 20 dB por dcada. Se puede ver que la funcin de

polos negativos reales. sta es la caracterstica de los filtros pasa. Si se conectan en cascada filtros pasa bajo de idnticas frecuencias de

corte desacoplados, se tiene:

1-2==...== 21 nn

Cada filtro paso bajo individual tiene entonces una frecuencia de corte que es igual filtro completo multiplicada por el factor 1/.

se muestra la respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajo de 4 orden, que se obtuvo de la conexin en cascada de cuatro filtros pasa bajo de 1 orden. La atenuacin de cada filtro individual es de -20 dB/dcada (curva 1), mientras que la atenuacin total del filtro

80 dB/dcada (curva 2). Hay que tener en cuenta que en el eje de las abscisas se utiliza la frecuencia normalizada , es decir = f/fc.

Electrnica 7

y la funcin de transferencia puede reescribirse de la siguiente

Para el valor absoluto de la funcin de transferencia, es decir para la relacin de amplitud en

; esto corresponde a una reduccin de ganancia

Si se requiere un decrecimiento ms pronunciado de ganancia, se pueden conectar n filtros


es proporcional a 1/n; por dcada. Se puede ver que la funcin de

polos negativos reales. sta es la caracterstica de los filtros pasa bajo tan en cascada filtros pasa bajo de idnticas frecuencias de

Cada filtro paso bajo individual tiene entonces una frecuencia de corte que es igual a la del

de un filtro pasa bajo de 4 orden, que bajo de 1 orden. La atenuacin de

a atenuacin total del filtro 80 dB/dcada (curva 2). Hay que tener en cuenta que en el eje de las abscisas se

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Nota: Curva 1: filtro pasa bajo de 1 orden, Curva 2: fil tro pasa bajo de 4 orden, Curva 3: filtro pasa baj o de 4

Figura 7.- Respuesta

La funcin de transferencia de un filtro pasa bajo tiene la forma general:

=)(sA

Donde an y bn son reales y positivos. Para Existen diferentes aspectos tericos para los cuales la respuesta en frecuencia puede

optimizada. Cualquiera de tales aspectos conduce a un grupo diferente de coeficientesAl originarse polos complejos

pasivos RC. Una manera de obtenerfrecuencias altas, la realizacin de las bobinas necesarias no presenta usualmente dificultades, pero en el margen de baja frecuencia suelen ser necesarias inductancias grandes que, adems de ser difciles de obtener, tienen malas propiedadebobinas en bajas frecuencias se puede evitar por la adicin de elementos activos (por ejemplo amplificadores operacionales) a la

En los siguientes apartados se va aoptimizaciones ms importantes

5.1 FILTRO PASA BAJO DE BUTTERWORTHLos filtros pasa bajo de

frecuencia todo lo ancha posible y descienden bruscamente antes de la frecuencia de corte. Su respuesta muestra un considerable sobreimpulso que aumente en los filtros del orden ms alto.



6 B Electrnica

Curva 1: filtro pasa bajo de 1 orden, Curva 2: fil tro pasa bajo de 4 orden, Curva 3: filtro pasa baj o de 4 orden ideal.

Respuesta amplitud-frecuencia un filtro pasivo RC pasa bajo de 4 orden.

nsferencia de un filtro pasa bajo tiene la forma general:

++1)...(++1).(++1( 2222110

sbsasbsasbsaA

nn

son reales y positivos. Para n de orden impar, el coeficientediferentes aspectos tericos para los cuales la respuesta en frecuencia puede

optimizada. Cualquiera de tales aspectos conduce a un grupo diferente de coeficientescomplejos conjugados, stos no se pueden obtener con

. Una manera de obtener polos complejos conjugados es el uso defrecuencias altas, la realizacin de las bobinas necesarias no presenta usualmente dificultades, pero en el margen de baja frecuencia suelen ser necesarias inductancias grandes que, adems de ser difciles de obtener, tienen malas propiedades elctricas. Sin embargo, el uso de bobinas en bajas frecuencias se puede evitar por la adicin de elementos activos (por ejemplo amplificadores operacionales) a las redes RC. Tales circuitos se llaman filtros activos.

En los siguientes apartados se va a analizar brevemente la respuesta en frecuenciams importantes, cuyo diseo e implementacin se explicaran ms adelante.

.1 FILTRO PASA BAJO DE BUTTERWORTH Los filtros pasa bajo de Butterworth tienen una respuesta horizontal o plana

frecuencia todo lo ancha posible y descienden bruscamente antes de la frecuencia de corte. Su respuesta muestra un considerable sobreimpulso que aumente en los filtros del orden ms

Electrnica 8

Curva 1: filtro pasa bajo de 1 orden, Curva 2: fil tro pasa bajo de 4 orden, Curva 3: filtro pasa baj o de 4

bajo de 4 orden.

nsferencia de un filtro pasa bajo tiene la forma general:

)2s

de orden impar, el coeficiente b1 es cero. diferentes aspectos tericos para los cuales la respuesta en frecuencia puede ser

optimizada. Cualquiera de tales aspectos conduce a un grupo diferente de coeficientes an y bn. obtener con elementos

polos complejos conjugados es el uso de redes RLC. En frecuencias altas, la realizacin de las bobinas necesarias no presenta usualmente dificultades, pero en el margen de baja frecuencia suelen ser necesarias inductancias grandes que, adems

s elctricas. Sin embargo, el uso de bobinas en bajas frecuencias se puede evitar por la adicin de elementos activos (por ejemplo

RC. Tales circuitos se llaman filtros activos. la respuesta en frecuencia de las

se explicaran ms adelante.

tienen una respuesta horizontal o plana de amplitud-frecuencia todo lo ancha posible y descienden bruscamente antes de la frecuencia de corte. Su respuesta muestra un considerable sobreimpulso que aumente en los filtros del orden ms

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5.2 FILTRO PASA BAJO DE CHEBYSLos filtros pasa bajo de

los filtros pasa bajo de Butterworth. Sin embargo, en los filtros pasa banda la tiene una ondulacin o rizado de amplitud constante. Para un orden dado, la atenuacin por encima de la frecuencia de corte es ms acusada cuanto mayor sea la ondulacin permitida. El sobreimpulso en la parte inclinada de su respuesta es incluso mayor que en los Butterworth.




6 B Electrnica

Respuesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa bajo de Butterworth.

.2 FILTRO PASA BAJO DE CHEBYSHEV Los filtros pasa bajo de Chebyshev tienen una cada en su ganancia an ms abrupta que

los filtros pasa bajo de Butterworth. Sin embargo, en los filtros pasa banda la na ondulacin o rizado de amplitud constante. Para un orden dado, la atenuacin por

encima de la frecuencia de corte es ms acusada cuanto mayor sea la ondulacin permitida. El sobreimpulso en la parte inclinada de su respuesta es incluso mayor que en los

Respuesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa bajo de Chebys

Electrnica 9

tro pasa bajo de Butterworth.

tienen una cada en su ganancia an ms abrupta que los filtros pasa bajo de Butterworth. Sin embargo, en los filtros pasa banda la ganancia vara y

na ondulacin o rizado de amplitud constante. Para un orden dado, la atenuacin por encima de la frecuencia de corte es ms acusada cuanto mayor sea la ondulacin permitida. El sobreimpulso en la parte inclinada de su respuesta es incluso mayor que en los filtros de

de un filtro pasa bajo de Chebyshev.

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5.3 FILTRO PASA BAJO DE BESSELLos filtros pasa bajo de

subyacente es que el retardo de gposible, es decir, el deslizamiento de fase en este margen de frecuencia es proporcional a sta, La respuesta amplitud-frecuencia de los filtros de Bessel no desciende tan bruscamente como los filtros de Butterworth o Chebyshev.

La figura 7 muestra las respuestas amplitudsiendo todos ellos de 4 orden, mientras que en la figura 8 se observa su respuesta de fase. puede ver que el filtro pasa bajo de de paso a la banda de detencin. Esto es ventajoso, pero tiene el efecto adicional de una ondulacin en la banda de paso de la respuesta amplitudreduce gradualmente, el comportamiento del filtro de Chebychev se aproxima al del filtro de Butterworth. Por otra parte, los filtros de Bessel slo presentan un despreciable

Figura 10.- Comparacin de la respuesta amplitud



6 B Electrnica

.3 FILTRO PASA BAJO DE BESSEL Los filtros pasa bajo de Bessel dan la ptima respuesta de onda cuadrada. La condicin

subyacente es que el retardo de grupo es constante en el margen de frecuencia ms amplio posible, es decir, el deslizamiento de fase en este margen de frecuencia es proporcional a sta,

frecuencia de los filtros de Bessel no desciende tan bruscamente como de Butterworth o Chebyshev.

La figura 7 muestra las respuestas amplitud-frecuencia de los tres tipos de filtro descsiendo todos ellos de 4 orden, mientras que en la figura 8 se observa su respuesta de fase.

ue el filtro pasa bajo de Chebyshev tiene la ms abrupta transicin desde la banda de paso a la banda de detencin. Esto es ventajoso, pero tiene el efecto adicional de una ondulacin en la banda de paso de la respuesta amplitud-frecuencia. Como esta on

te, el comportamiento del filtro de Chebychev se aproxima al del filtro de Butterworth. Por otra parte, los filtros de Bessel slo presentan un despreciable

Comparacin de la respuesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa baj

Electrnica 10

dan la ptima respuesta de onda cuadrada. La condicin rupo es constante en el margen de frecuencia ms amplio

posible, es decir, el deslizamiento de fase en este margen de frecuencia es proporcional a sta, frecuencia de los filtros de Bessel no desciende tan bruscamente como

frecuencia de los tres tipos de filtro descritos, siendo todos ellos de 4 orden, mientras que en la figura 8 se observa su respuesta de fase. Se

hev tiene la ms abrupta transicin desde la banda de paso a la banda de detencin. Esto es ventajoso, pero tiene el efecto adicional de una

frecuencia. Como esta ondulacin se te, el comportamiento del filtro de Chebychev se aproxima al del filtro de

Butterworth. Por otra parte, los filtros de Bessel slo presentan un despreciable sobre impulso.

un filtro pasa bajo de 4 orden.

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Figura 11.- Comparacin de la respuesta

6. DISEO DE UN FILTRO La siguiente ecuacin representa la forma general de la funcin de transferencia de un filtro

pasa bajo.

=)(sA

Como ya se haba mencionada anteriormente, en un filtro de 1 orden el coeficiente siempre es cero, por lo que la ecuacin anterior la podemos reescribir de la siguiente forma:

Las etapas de 1 y 2 orden constituyen los blde un orden mayor.

La figura 12 muestra de que manera se construyen los filtros de orden superior, utilizando bsicamente filtros de 1 y 2 orden. Solo se muest ra hasta un filtro de 6 orden, pero el mismo criterio se utiliza para filtros de orden superior.



6 B Electrnica

Comparacin de la respuesta de fase de un filtro pasa bajo de 4 orden.

. DISEO DE UN FILTRO PASA BAJOLa siguiente ecuacin representa la forma general de la funcin de transferencia de un filtro

++1)...(++1).(++1( 2222110

sbsasbsasbsaA

nn

Como ya se haba mencionada anteriormente, en un filtro de 1 orden el coeficiente siempre es cero, por lo que la ecuacin anterior la podemos reescribir de la siguiente forma:

sa

AsA

1

0

+1=)(

Las etapas de 1 y 2 orden constituyen los bl oques bsicos para la construccin de filtros

muestra de que manera se construyen los filtros de orden superior, utilizando bsicamente filtros de 1 y 2 orden. Solo se muest ra hasta un filtro de 6 orden, pero el mismo

terio se utiliza para filtros de orden superior.

Electrnica 11

de un filtro pasa bajo de 4 orden.

PASA BAJO La siguiente ecuacin representa la forma general de la funcin de transferencia de un filtro

)2s

Como ya se haba mencionada anteriormente, en un filtro de 1 orden el coeficiente b siempre es cero, por lo que la ecuacin anterior la podemos reescribir de la siguiente forma:

oques bsicos para la construccin de filtros

muestra de que manera se construyen los filtros de orden superior, utilizando bsicamente filtros de 1 y 2 orden. Solo se muest ra hasta un filtro de 6 orden, pero el mismo

2011

Figura 12.- Conexin en cascada de filtros de 1 y 2 orden par a la obtencin de filtros de orden

6.1 FILTRO PASA BAJOLa figura 13 y 14 muestran un filtro

inversora, respectivamente.

Figura 13.-



6 B Electrnica

Conexin en cascada de filtros de 1 y 2 orden par a la obtencin de filtros de orden superior.

PASA BAJO DE 1 ORDEN muestran un filtro pasa bajo de 1 orden en s u configuracin

respectivamente.

- Filtro pasa bajo de 1 orden en configuracin no inversora

Electrnica 12

Conexin en cascada de filtros de 1 y 2 orden par a la obtencin de filtros de orden

u configuracin no inversora e

de 1 orden en configuracin no inversora .

2011

Figura 14

La funcin de transferencia de estos circuitos es:

sCRRR

sAc ...+1

+1=)(

11

3

2

El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180 en la seal de entrada. Es decir que a la salida obtendr

Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos:

3

20 +1= R

RA

111 ..= CRa c

Para el diseo del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (fcircuito (A0) y el valor de Ccalcular R1 y R2.

1

11

...2=

Cfa

Rcpi

)1-.(= 032 ARR

El coeficiente a1 se obtiene los tipos, este coeficiente toma el valor 1, sin embargo, para filtros de un orden superior este coeficiente toma valores diferentes a 1.

Ejemplo 1. Diseo de un filtro Disear un filtro pasa bajo

R =1



6 B Electrnica

14.- Filtro pasa bajo de 1 orden en configuracin inversora.


y sA+1

=)(

El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180 en la seal de entrada. Es decir que a la salida obtendremos la seal de entrada invertida.


y 0 -=A

y 1 =a c

Para el diseo del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (f) y el valor de C1 que ser definido de antemano. Con estos datos solo nos resta

y 2.2

=R

y 1 =R

se obtiene por tabla (ver apartado 10). Para los filtros de 1 orden de todos los tipos, este coeficiente toma el valor 1, sin embargo, para filtros de un orden superior este

valores diferentes a 1.

Diseo de un filtro pasa bajo de 1 orden con ganancia unitaria.pasa bajo de 1 orden con una frecuencia de corte f c = 1 kHz y C

pipi

kFHzCf

a

c

38,3=10.47.10.1..2

1=

...2 9-311

Electrnica 13

de 1 orden en configuracin inversora.

sCRRR

c ...+

-

12

1

2

El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180 en emos la seal de entrada invertida.


1

2-

RR

12 .. CRc

Para el diseo del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (fc), la ganancia del antemano. Con estos datos solo nos resta

1

1

... Cfa

cpi

0

2-=

AR

. Para los filtros de 1 orden de todos los tipos, este coeficiente toma el valor 1, sin embargo, para filtros de un orden superior este

de 1 orden con ganancia unitaria. = 1 kHz y C1 = 47 nF.

2011

Cuando la ganancia del amplificador esamplificador operacional se reduce a una configuracin seguidor de tensin, como se observa en la siguiente figura:

Figura 15.- Filtro

6.2 FILTRO PASA BAJOExisten dos topologas para los filtros

controlada, la cual siempre tiene ganancia positiva en la banda pasante y no invierte la fase a frecuencias bajas. La otra topologa de filtro emltiple, en la cual la ganancia en frecuencia cero, un desfasaje de 180 entre la salida y la entrada a frecuencias menores que la de corte. A continuacin analizaremos

6.2.1 Topologa SallenLa topologa Sallen-Key general, para un filtro

y su funcin de transferencia se muestra a continuacin:

+1=)(sA

c

Si el circuito de la figura 15obtenemos el circuito de la figura 1

)(sA

Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transde un filtro pasa bajo, podemos obtener los coeficientes

Definiendo C1 y C2 distintos, los valores de Recuaciones con dos incgnitas dado por



6 B Electrnica

Cuando la ganancia del amplificador es unitaria, la configuracin no inversora del amplificador operacional se reduce a una configuracin seguidor de tensin, como se observa

Filtro pasa bajo de 1 orden no inversor, con ganancia unitaria.

BAJO DE 2 ORDEN Existen dos topologas para los filtros pasa bajo de 2 orden, la Sallen -

controlada, la cual siempre tiene ganancia positiva en la banda pasante y no invierte la fase a frecuencias bajas. La otra topologa de filtro es la llamada de Rauch o de realimentacin mltiple, en la cual la ganancia en frecuencia cero, A0 es negativa, y por lo tanto, produciendo un desfasaje de 180 entre la salida y la entrada a frecuencias menores que la de corte. A continuacin analizaremos en detalle la topologa Sallen-Key.

.2.1 Topologa Sallen-Key Key general, para un filtro pasa bajo, se puede observar en la figura 1

y su funcin de transferencia se muestra a continuacin:

212

210211

0

...+]..).-1(+)+.(.[ CRRsCRARRCA

cc

a figura 15 lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitaria, obtenemos el circuito de la figura 16, cuya funcin de transferencia es la siguiente:

22121

2211 .....+).+.(.+1

1=)

sCCRRsRRC cc

Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de trans, podemos obtener los coeficientes A0, a1 y b1.

1=0A

)+.(.= 2111 RRCa c

21212

1 ....= CCRRb c

distintos, los valores de R1 y R2 se obtiene resolviendo el sistema de dos aciones con dos incgnitas dado por a1 y b1.

21

21122

2121

2,1....4

...4-..=

CCfCCbCaCa

Rcpi

Electrnica 14

unitaria, la configuracin no inversora del amplificador operacional se reduce a una configuracin seguidor de tensin, como se observa

de 1 orden no inversor, con ganancia unitaria.

-Key o red con fuente controlada, la cual siempre tiene ganancia positiva en la banda pasante y no invierte la fase a

s la llamada de Rauch o de realimentacin es negativa, y por lo tanto, produciendo

un desfasaje de 180 entre la salida y la entrada a frecuencias menores que la de corte. A

, se puede observar en la figura 15

221 .. sCC

lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitaria, , cuya funcin de transferencia es la siguiente:

Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general

se obtiene resolviendo el sistema de dos

2011

Para obtener valores reales dentro de la raz, C

Figura 1

Figura 17.- Filtro pasa bajo

Ejemplo 2. Diseo de un filtro Disear un filtro pasa bajo

y un ripple de 3 dB en la banda pasante. En primer lugar, de la tabla 1, obtenemos los coeficientes a

Chebyshev con 3 dB de ripple.

Si definimos C1 = 22nF

C2

Con el valor de C1 y C2



6 B Electrnica

Para obtener valores reales dentro de la raz, C2 debe satisfacer la siguiente condicin:

21

112

.4.

a

bCC

16.- Filtro pasa bajo de 2 orden de topologa Sallen- Key.

pasa bajo de 2 orden de topologa Sallen- Key con ganancia unitaria.

Diseo de un filtro pasa bajo de 2 orden con ganancia unitaria.pasa bajo de Chebyshev de 2 orden con una frecuencia de cort e f

y un ripple de 3 dB en la banda pasante. En primer lugar, de la tabla 1, obtenemos los coeficientes a1 y b

Chebyshev con 3 dB de ripple. 0650,1=1a

9305,1=1b = 22nF podemos determinar el valor de C2 como sigue:

nFnFa

bC 1500650,1

9305,1.4.10.22.4. 29-2

1

112 =

2 podemos determinar el valor de R1 y R2.

Electrnica 15

debe satisfacer la siguiente condicin:

Key.

Key con ganancia unitaria.

de 2 orden con ganancia unitaria. de Chebyshev de 2 orden con una frecuencia de cort e fc = 3 kHz

y b1 para un filtro de

2011

R10.150.0650,1

=

-9

1

R10.150.0650,1

=2

Con estos valores el circuito queda formado de la siguiente manera:

Figura 18.- Filtro

En la topologa Sallen-C. En tal caso, la funcin de transferencia queda de la siguiente

1)(sA

+=

Comparando esta funcin de transferencia con la funcin de transferencia general de un filtro pasa bajo, podemos obtener los coeficientes a

Dando un valor a C y resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtenemos el valor de R.



6 B Electrnica

pi 10.150.10.22.10.3..4150.10.22.9305,1.4-)10.150.0650,1(-

9-9-3

-92-9-9

pi 10.150.10.22.10.3..4150.10.22.9305,1.4-)10.150.0650,1(+10

9-9-3

-92-9-9

Con estos valores el circuito queda formado de la siguiente manera:

Filtro pasa bajo de Cebyshev de 2 orden con ganancia unitaria.

Tabla 1.- Coeficientes para un filtro de 2 orden.

-Key, puede darse el caso especial en el que R1 . En tal caso, la funcin de transferencia queda de la siguiente forma:

220

0

.)..().3.(.. sCRsACRA

cc + con 0 1=A

Comparando esta funcin de transferencia con la funcin de transferencia general de un , podemos obtener los coeficientes a1 y b1.

)3.(.. 01 ACRa c = 2

1 )..(= CRb c Dando un valor a C y resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtenemos el valor de

Cfb

Rc ...2

=1

pi y Qb

aA 13-31

10 ==

Electrnica 16

k26,1=10.150 -9

k30,1=10.150 -9

Cebyshev de 2 orden con ganancia unitaria.

= R2 = R y C1 = C2 =

3

4+1RR

Comparando esta funcin de transferencia con la funcin de transferencia general de un

Dando un valor a C y resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtenemos el valor de

2011

El circuito de la figura 1variando la relacin R4/R3.

Figura

6.3 FILTRO PASA BAJOPara necesidades en que la caracterstica de un filtro de 2 orden no sea lo suficientemente

abrupta en la regin de atenuacin de laque pueden lograrse conectando en cascada filtros de 2 orden para cascada uno de primer orden para producto de las respuestas en frecuencia de los filtros individuales. Dicho esto, podramos estar tentados a calcular un filtro de segundo orden, y, por ejemplo, para tres secciones idnticas, esto no es correcto porque el filtro resultante corte diferente a la de los filtros individuales como puede demostrarse si en un diagrama logartmico sumamos tres respuestas iguales.

Aqu es donde aparece la optimizacin de la respuesta frecuencial con los distintos tipos de filtros que conducen a grupos diferentes de coeficientes para los filtros individuales de tal modo que el producto de las respuestas frecuenciales de por resultado la respuesta con la frecuencia de corte y caractersticas deseadas.

Ejemplo 3. Diseo de un filDisear un filtro pasa bajo

kHz. En primer lugar hay que obtener el valor de los coeficientes para un filtro de Butterworth de

5 orden.

Filtro 1

Filtro 2

Filtro 3



6 B Electrnica

El circuito de la figura 19, permite cambiar el tipo de filtro ajustando el valor de R.

Figura 19.- Filtro pasa bajo de 2 orden con ganancia unitaria.

PASA BAJO DE ORDEN SUPERIOR Para necesidades en que la caracterstica de un filtro de 2 orden no sea lo suficientemente

abrupta en la regin de atenuacin de la banda debern emplearse filtros de un orden superior, que pueden lograrse conectando en cascada filtros de 2 orden para n par, y agregando a la cascada uno de primer orden para n impar. La respuesta en frecuencia del filtro total es igual al

las respuestas en frecuencia de los filtros individuales. Dicho esto, podramos estar tentados a calcular un filtro de segundo orden, y, por ejemplo, para n = 6, conectar en cascada tres secciones idnticas, esto no es correcto porque el filtro resultante tendr una frecuencia de corte diferente a la de los filtros individuales como puede demostrarse si en un diagrama logartmico sumamos tres respuestas iguales.

Aqu es donde aparece la optimizacin de la respuesta frecuencial con los distintos tipos de tros que conducen a grupos diferentes de coeficientes para los filtros individuales de tal modo

que el producto de las respuestas frecuenciales de por resultado la respuesta con la frecuencia de corte y caractersticas deseadas.

Diseo de un filtro pasa bajo de 5 orden con ganancia unitaria.pasa bajo de Butterwoth de 5 orden con una frecuencia de cor te f

En primer lugar hay que obtener el valor de los coeficientes para un filtro de Butterworth de

ai bi

Filtro 1 a1 = 1 b1 = 0

Filtro 2 a2 = 1,6180 b2 = 1

Filtro 3 a3 = 0,6180 b3 = 1

Electrnica 17

, permite cambiar el tipo de filtro ajustando el valor de R4, es decir

de 2 orden con ganancia unitaria.

Para necesidades en que la caracterstica de un filtro de 2 orden no sea lo suficientemente banda debern emplearse filtros de un orden superior,

par, y agregando a la impar. La respuesta en frecuencia del filtro total es igual al

las respuestas en frecuencia de los filtros individuales. Dicho esto, podramos estar , conectar en cascada

tendr una frecuencia de corte diferente a la de los filtros individuales como puede demostrarse si en un diagrama

Aqu es donde aparece la optimizacin de la respuesta frecuencial con los distintos tipos de tros que conducen a grupos diferentes de coeficientes para los filtros individuales de tal modo

que el producto de las respuestas frecuenciales de por resultado la respuesta con la frecuencia

de 5 orden con ganancia unitaria. de Butterwoth de 5 orden con una frecuencia de cor te fc = 50

En primer lugar hay que obtener el valor de los coeficientes para un filtro de Butterworth de

2011

A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitores, calculamos el valor de las resistencias en cada etapa. Recordemos la configuracin de un filtro orden.

Figura

Si establecemos el valor de C

=R.21 pi

Figura

Para la segunda etapa definimos C

CC 2

Con C1 y C2 calculamos el valor de R

R10.5,1.618,1

=1

R10.5,1.618,1

=2



6 B Electrnica

A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitores, calculamos el valor de las resistencias en cada etapa. Recordemos la configuracin de un filtro


Si establecemos el valor de C1 en 1nF.

== kFCf

a

c

16,318,310.1.10.50..2

1..

9-31

1

pipi


Para la segunda etapa definimos C1 = 820pF.

nFnFFa

bC 5,126,1618,1

1.4.10.820.4. 2

12-22

21 ==

calculamos el valor de R1 y R2 con la siguiente frmula:

21

21122

2121

2,1....4

...4-..=

CCfCCbCaCa

Rcpi

pi 10.5,1.10.820.10.50..410.5,1.10.820.1.4-)10.5,1.618,1(-10

9-12-3

-9-122-9-9

pi 10.5,1.10.820.10.50..410.5,1.10.820.1.4-)10.5,1.618,1(+10

9-12-3

-9-122-9-9

Electrnica 18

A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitores, calculamos el valor de las resistencias en cada etapa. Recordemos la configuracin de un filtro pasa bajo de 1


k16


nF

k87,1=-9

k42,4=-9

2011

Para el clculo de la tercera etapa se procede de la misma con la diferencia de que los coeficientes a utilizar sern aetapa definimos C1 = 330pF y obtenemos C

CC 2Con C1 = 330pF y C2 = 4,7nF, los valores de R

La figura 22 muestra el circuito definitivo.

Figura 22.- Filtro pasa bajo

7. DISEO DE UN FILTRO Los filtros normalizados

altos cambiando la variable normalizada sgrfico de Bode, por encima de la frecuencia de corte, dibujar la imagen especular de la respuesta amplitud-frecuencia del filtro ganancia A0 en bajas frecuencias se convierte en A

Figura 23.- Respuesta amplitud



6 B Electrnica

Para el clculo de la tercera etapa se procede de la misma manera que en la etapa anterior, con la diferencia de que los coeficientes a utilizar sern a3 y b3 en lugar de a

= 330pF y obtenemos C2.

nFnFFa

bC 7,446,3=

618,01.4

.10.330=.4

. 212-

22

21

= 4,7nF, los valores de R1 y R2 son:

kkR 47,145,1=1

kkR 53,451,4=2 muestra el circuito definitivo.

pasa bajo de Butterworth de 5 orden con ganancia unitaria y f

. DISEO DE UN FILTRO PASA ALTOLos filtros normalizados pasa bajos pueden ser convertidos en filtros normalizados s cambiando la variable normalizada sn por 1/sn. Este cambio de variable significa en el

grfico de Bode, por encima de la frecuencia de corte, dibujar la imagen especular de la cuencia del filtro pasa bajo, como se observa en la figura

en bajas frecuencias se convierte en A o ganancia en alta frecuencia.

Respuesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa alto comparada con la de un filtro

Electrnica 19

manera que en la etapa anterior, en lugar de a2 y b2. Para esta

nF

de Butterworth de 5 orden con ganancia unitaria y f c = 30kHz.

PASA ALTO pueden ser convertidos en filtros normalizados pasa

. Este cambio de variable significa en el grfico de Bode, por encima de la frecuencia de corte, dibujar la imagen especular de la

, como se observa en la figura 23. La o ganancia en alta frecuencia.

comparada con la de un filtro pasa bajo.

2011

La funcin de transferencia general de un filtro

)(sA

Como suceda en los filtros coeficiente b es cero, por lo que la ecuacin anterior la podemos reescribir de la siguiente forma:

7.1 FILTRO PASA ALTOLa figura 24 y 25 muestran un filtro


Figura 24.-

Figura 25


CR

RR

sA

c

1.

..

1+1

+1=)(

11

3

2



6 B Electrnica

La funcin de transferencia general de un filtro pasa alto queda de la siguiente forma:

)++1)...(++1).(++1(=)

2222

211

s

bs

a

s

bs

a

s

bs

a

Ann

Como suceda en los filtros pasa bajos de 1 orden, en un filtro pasa altoes cero, por lo que la ecuacin anterior la podemos reescribir de la siguiente

s

a

AsA

1

+1=)(

PASA ALTO DE 1 ORDEN muestran un filtro pasa alto de 1 orden en su configuracin no inversora e


- Filtro pasa alto de 1 orden en configuracin no inversora.

25.- Filtro pasa alto de 1 orden en configuracin inversor


s

1 y sA+1

=)(

Electrnica 20

queda de la siguiente forma:

pasa alto de 1 orden el es cero, por lo que la ecuacin anterior la podemos reescribir de la siguiente

de 1 orden en su configuracin no inversora e

de 1 orden en configuracin no inversora.

de 1 orden en configuracin inversor a.

sCR

RR

c

1.

..

1+

11

1

2

2011

El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180 en la seal de entrada. Es decir que a la salida obtendremos la seal de entrada invertida.


3

2 +1= R

RA

El coeficiente a1 es el mismo para ambos circuitos.

Para el diseo del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (fcircuito (A) y el valor de Ccalcular R1 y R2.

)1-.(= 32 ARR

7.2 FILTRO PASA ALTOPara un filtro pasa alto

pasa bajo de 2 orden, la SallenRauch o de realimentacin mltiple.

7.2.1 Topologa SallenLa topologa Sallen-Key gene

su funcin de transferencia se muestra a continuacin:

12

.

+.(+1

=)( CCRsA

c

Figura



6 B Electrnica

El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180 en entrada. Es decir que a la salida obtendremos la seal de entrada invertida.


y =A

es el mismo para ambos circuitos.

111

..

1= CRa c

Para el diseo del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (f) y el valor de C1 que ser definido de antemano. Con estos datos solo nos resta

111

....21

= CafR cpi

y 2 =R

PASA ALTO DE 2 ORDEN de 2 orden se utilizan las mismas dos topologas q ue para los filtros

de 2 orden, la Sallen -Key o red con fuente controlada y la topologa llamada de Rauch o de realimentacin mltiple.

.2.1 Topologa Sallen-Key Key general, para un filtro pasa alto, se puede observar en la figura 2

su funcin de transferencia se muestra a continuacin:

22121

22121

212 1.

....

1+

1.

....

)1(.+)sCCRRsCCRR

CRCc

con

Figura 26.- Filtro pasa alto de 2 orden de topologa Sallen

Electrnica 21

El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180 en entrada. Es decir que a la salida obtendremos la seal de entrada invertida.


1

2-

RR

Para el diseo del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (fc), la ganancia del no. Con estos datos solo nos resta

1.-R= A

de 2 orden se utilizan las mismas dos topologas q ue para los filtros Key o red con fuente controlada y la topologa llamada de

, se puede observar en la figura 26 y

con 3

4+1=RR

de 2 orden de topologa Sallen -Key.

2011

Si el circuito de la figura 21), y C1 = C2 = C obtenemos la funcin de transferencia que se muestra a continuacin.

A

Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencde un filtro pasa alto, podemos obtener los co

Definiendo previamente el valor de C, a partir del sistema de ecuaciones anteriores podemos encontrar el valor de R

Figura 27.- Filtro pasa alto

7.3 FILTRO PASA ALTOAl igual que los filtros

conectando en cascada etapmismos que para los filtros

Ejemplo 5. Diseo de un filtro Disear un filtro pasa alto

coeficientes del filtro se obtienen



6 B Electrnica

ito de la figura 26 lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitariaobtenemos la funcin de transferencia que se muestra a continuacin.

2221

21

1.

...

1+

1.

..

2+1

1=)(

sCRRsCR

sA

cc

Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferenc, podemos obtener los coeficientes A, a1 y b1.

1=A

CRa c ..2

=

11

221

21...

1=

CRRb

c

Definiendo previamente el valor de C, a partir del sistema de ecuaciones anteriores podemos encontrar el valor de R1 y R2.

11

...

1=

aCfR cpi

1

12

....4= bCf

aR

cpi

pasa alto de 2 orden de topologa Sallen- Key con ganancia unitaria.

PASA ALTO DE ORDEN SUPERIOR Al igual que los filtros pasa bajo, los filtros pasa alto de orden superior son diseados

conectando en cascada etapas de filtros de 1 y 2 orden. Los coeficientes utilizados son los que para los filtros pasa bajo, los que se obtienen por tabla (apartado 10).

Diseo de un filtro pasa alto de 3 orden con ganancia unitaria.pasa alto de Bessel de 3 orden con una frecuencia de corte f

coeficientes del filtro se obtienen por tabla (ver seccin 10).

Electrnica 22

lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitaria ( = obtenemos la funcin de transferencia que se muestra a continuacin.


Definiendo previamente el valor de C, a partir del sistema de ecuaciones anteriores

Key con ganancia unitaria.

de orden superior son diseados as de filtros de 1 y 2 orden. Los coeficientes utilizados son los

por tabla (apartado 10). orden con ganancia unitaria. orden con una frecuencia de corte f c = 1 kHz. Los

2011

Filtro 1

Filtro 2

A partir de estos coeficientes y especificando el valor de las resistencias en cada etapa.

Si establecemos el valor de C

=

CafR c ....21

11 pi

Para la segunda etapa definimos C = 100nF.

=

aCfR c ...1

1 pi

=

bCfa

Rc ....41

2 pi

La figura 24 muestra el

Figura 28.- Filtro pasa alto

8. DISEO DE UN FILTRO Un filtro pasa banda puede ser implementado conectando en serie un filtro

filtro pasa alto con frecuencias de corte fnormalizados pasa bajos pueden ser convertidos en filtros normalizados cambiando la variable normalizada s

En este caso, el filtro pasa bajodel filtro y luego es espejado para formar la mitad inferior de la banda pasante, como sobservar en la figura 29.



6 B Electrnica

ai bi

Filtro 1 a1 = 0,756 b1 = 0

Filtro 2 a2 = 0,996 b2 = 0,4772

A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitores, calculamos el valor de las resistencias en cada etapa.

Si establecemos el valor de C1 en 100nF.

==

kFHzC

105,210.100.756,0.10.1..2

193

1 pi

Para la segunda etapa definimos C = 100nF.

==

kFHza

18,3756,0.10.100.10.1.

193

1 pi

==

kFHzb

67,14772,0.10.100.10.1..4

9996,093

1 pi

La figura 24 muestra el circuito definitivo.

pasa alto de Bessel de 3 orden con ganancia unitaria y f

. DISEO DE UN FILTRO PASA BANDApuede ser implementado conectando en serie un filtro

ecuencias de corte f1 y f2, respectivamente. Asimismo, los filtros s pueden ser convertidos en filtros normalizados

cambiando la variable normalizada sn por:

+

ss

1.

1

pasa bajo es transformado en la mitad superior de la banda pasante del filtro y luego es espejado para formar la mitad inferior de la banda pasante, como s

Electrnica 23

de los capacitores, calculamos el valor

k1,2

k16,3

k65,1

de Bessel de 3 orden con ganancia unitaria y f c = 1kHz.

PASA BANDA puede ser implementado conectando en serie un filtro pasa bajo y un

, respectivamente. Asimismo, los filtros s pueden ser convertidos en filtros normalizados pasa banda

nsformado en la mitad superior de la banda pasante del filtro y luego es espejado para formar la mitad inferior de la banda pasante, como se puede

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Figura 29.- Transformacin de un filtro

La frecuencia de corte del filtro inferior y superior del filtro el ancho de banda normalizado:

En analoga con un circuito resonante, el factor de calidad Q es definido como la relacin entre la frecuencia media o mitad (f

Como se dijo anteriormente, la forma ms simple de implementar un filtro conectando en cascada un filtro la implementacin de filtros de banda ancha, es decir con un bajo valor de Q. Para valores de Q > 5 se recurre a circuitos resonadores.

Por otro lado, si conectaalto de 1 orden, obtendremos un filtro conectamos filtros pasa bajoorden.

8.1 FILTRO PASA BANDAPara obtener la respuesta de un filtro

transformacin antes mencionada sobre la funcin de transferencia de un filtro orden.

A(

De esta manera obtenemos la funcin de transferencia de un filtro



6 B Electrnica

Transformacin de un filtro pasa bajo en un filtro pasa banda

ecuencia de corte del filtro pasa bajo, se transforma entonces en la frecuencia de corte inferior y superior del filtro pasa banda. La diferencia entre ambas frecuencias es definida como el ancho de banda normalizado:

12 = n un circuito resonante, el factor de calidad Q es definido como la relacin

la frecuencia media o mitad (fm) y el ancho de banda (B).

=

=

==

111212 ff

fBfQ mm

Como se dijo anteriormente, la forma ms simple de implementar un filtro ctando en cascada un filtro pasa bajo y un filtro pasa alto, lo que es un criterio valido para

la implementacin de filtros de banda ancha, es decir con un bajo valor de Q. Para valores de Q > 5 se recurre a circuitos resonadores.

Por otro lado, si conectamos en cascada un filtro pasa bajo de 1 orden con un filtro de 1 orden, obtendremos un filtro pasa banda de 2 orden, de la misma forma, si

pasa bajo y pasa alto de 2 orden, obtendremos un filtro

PASA BANDA DE 2 ORDEN Para obtener la respuesta de un filtro pasa banda de 2 orden, aplicaremos la

transformacin antes mencionada sobre la funcin de transferencia de un filtro

s

As

+=

1)( 0 reemplazando s por

+

ss

1.

1

De esta manera obtenemos la funcin de transferencia de un filtro pasa banda

Electrnica 24

pasa banda.

, se transforma entonces en la frecuencia de corte . La diferencia entre ambas frecuencias es definida como

n un circuito resonante, el factor de calidad Q es definido como la relacin

Como se dijo anteriormente, la forma ms simple de implementar un filtro pasa banda es , lo que es un criterio valido para

la implementacin de filtros de banda ancha, es decir con un bajo valor de Q. Para valores de

de 1 orden con un filtro pasa de 2 orden, de la misma forma, si

de 2 orden, obtendremos un filtro pasa banda de 4

de 2 orden, aplicaremos la transformacin antes mencionada sobre la funcin de transferencia de un filtro pasa bajo de 1

pasa banda de 2 orden.

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Cuando diseamos un filtro son la ganancia en la frecuenciaselectividad del filtro pasa banday por 1/Q obtenemos:

8.1.1 Topologa SallenEl circuito pasa banda

siguiente funcin de transferencia:

Figura

Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general de un filtro pasa banda, podemos obtener las siguientes ecuaciones:

Frecuencia media:

Ganancia interna:

Ganancia en la frecuencia media:



6 B Electrnica

20

.1..)(

ss

sAsA

++

=

Cuando diseamos un filtro pasa banda, los parmetros a tener en cuenta para el diseo son la ganancia en la frecuencia mitad (Am) y el factor de calidad Q, el que representa la

pasa banda. Por lo tanto, reemplazando en la ecuacin anterior A

211)(

ssQ

sQA

sA

m

++=

.1.1 Topologa Sallen-Key pasa banda, de topologa Sallen-Key, que se observa en la figura 29

siguiente funcin de transferencia:

2222...).3.(..1

....)(sCRsGCR

sCRGsA

mm

m

++=

Figura 30.- Filtro pasa banda de topologa Sallen-Key.

Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general , podemos obtener las siguientes ecuaciones:

Frecuencia media: CR

fm...2

1pi

=

Ganancia interna: 1

21RRG +=

Ganancia en la frecuencia media: G

GAm

=

3

Electrnica 25

, los parmetros a tener en cuenta para el diseo ) y el factor de calidad Q, el que representa la

. Por lo tanto, reemplazando en la ecuacin anterior A0 por Am

, que se observa en la figura 29 tiene la


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Factor de calidad:

La configuracin Sallenvariado a travs de la ganancia interna (G) sidesventaja podemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Aindependientemente. Se debe tener cuidado cuando el valor de G se aproxima a 3, ya que la ganancia Am pasa a ser infinit

Para el diseo del filtro definimos la frecuencia media (fvalores calculamos el valor de R.

Debido a la dependencia entre Q y ADefinir el valor de la ganancia en la

O definir el valor de Q:

9. DISEO DE UN FILTRO DE ELIMINACIN DE BANDAUn filtro de eliminacin de banda o supr

un sumador analgico un filtro frecuencia de corte f2.

Al igual que para un filtro banda se puede hallar a partir de la respuesta una adecuada transformacin de frecuencia. Para este caso se reemplaza la variable normalizada sn por:

Donde tiene la misma definicique suprime.

Al igual que en el caso de un filtro orden del filtro. As, aplicando la transformacin a un filtro resultado la funcin de transferencia de un filtro supresor de banda que tiene la siguiente expresin:

En este caso, el filtro pasa bajodel filtro y luego es espejado parapuede observar en la figura 31



6 B Electrnica

Factor de calidad: G

Q

=

31

La configuracin Sallen-Key tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser variado a travs de la ganancia interna (G) sin modificar la frecuencia media (fdesventaja podemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Am no pueden ser ajustadas

Se debe tener cuidado cuando el valor de G se aproxima a 3, ya que la pasa a ser infinita, lo que provoca que el circuito comience a oscilar.

Para el diseo del filtro definimos la frecuencia media (fm) y el valor de C y a partir de estos valores calculamos el valor de R.

CfR m ...21

pi=

Debido a la dependencia entre Q y Am, existen dos posibilidades para el clculo de Refinir el valor de la ganancia en la frecuencia media:

m

m

AA

R+

=

11.2

2

QQR 1.22

=

. DISEO DE UN FILTRO DE ELIMINACIN DE BANDAUn filtro de eliminacin de banda o supresin de banda puede implementarse conectando a

or analgico un filtro pasa bajo con frecuencia de corte f1 y un filtro

Al igual que para un filtro pasa banda, el diagrama de Bode de un filtro de eliminacin debanda se puede hallar a partir de la respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajouna adecuada transformacin de frecuencia. Para este caso se reemplaza la variable

ss

1+

tiene la misma definicin que para un filtro pasa banda, referido aqu a la banda

Al igual que en el caso de un filtro pasa banda, la transformacin de frecuencia duplica el orden del filtro. As, aplicando la transformacin a un filtro pasa bajos de 1 orden da porresultado la funcin de transferencia de un filtro supresor de banda que tiene la siguiente

2

20

.1)1.()(ss

sAsA

+++

=

pasa bajo es transformado en la mitad inferior de la banda del filtro y luego es espejado para formar la mitad superior de la banda puede observar en la figura 31.

Electrnica 26

Key tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser n modificar la frecuencia media (fm). Como

no pueden ser ajustadas Se debe tener cuidado cuando el valor de G se aproxima a 3, ya que la

lo que provoca que el circuito comience a oscilar. ) y el valor de C y a partir de estos

os posibilidades para el clculo de R2.

. DISEO DE UN FILTRO DE ELIMINACIN DE BANDA esin de banda puede implementarse conectando a

y un filtro pasa alto con

, el diagrama de Bode de un filtro de eliminacin de pasa bajos utilizando

una adecuada transformacin de frecuencia. Para este caso se reemplaza la variable

, referido aqu a la banda

, la transformacin de frecuencia duplica el s de 1 orden da por

resultado la funcin de transferencia de un filtro supresor de banda que tiene la siguiente

de la banda suprimida de la banda suprimida, como se

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Figura 31.- Transformacin de un filtro

Tomando la funcin de transferencia anterior y reemplazando

9.1 FILTRO ELIMINA BANDA En la figura 32 se observa una red

incrementar el valor de Q, el filtro pasivo es implementado dentro del lazo de realimentacin de un amplificador, convirtindose as en un filtro elimina banda activo,figura 33.



6 B Electrnica

Transformacin de un filtro pasa bajo en un filtro elimina banda.

Tomando la funcin de transferencia anterior y reemplazando por 1/Q nos queda:

2

20

.

11

)1.()(ssQ

sAsA

++

+=

.1 FILTRO ELIMINA BANDA EN T PARALELO se observa una red T pasiva cuyo factor de calidad Q = 0,25. Para

incrementar el valor de Q, el filtro pasivo es implementado dentro del lazo de realimentacin de onvirtindose as en un filtro elimina banda activo, como se observa en la

Figura 32.- Seccin T pasiva.

Electrnica 27

en un filtro elimina banda.

por 1/Q nos queda:

T pasiva cuyo factor de calidad Q = 0,25. Para incrementar el valor de Q, el filtro pasivo es implementado dentro del lazo de realimentacin de

como se observa en la

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La funcin de transferen

Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general de un filtro elimina banda, podemos obtener las siguientes ecuaciones:

Frecuencia media:

Ganancia interna:

Ganancia en la frecuencia media:

Factor de calidad:

La configuracin anterior tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser variado a travs de la ganancia interna (G) sin modificar la frecuenpodemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Aindependientemente.

Para el diseo del filtro definimos la frecuencia media (fvalores calculamos el valor de R.



6 B Electrnica

Figura 33.- Filtro elimina banda activo.

La funcin de transferencia del circuito de la figura 32 es la siguiente:

2

2

).2.(21)1.()(

ssksk

sA++

+=

Si comparamos la funcin de transferencia anterior, con la funcin de transferencia general de un filtro elimina banda, podemos obtener las siguientes ecuaciones:

Frecuencia media: CR

fm...2

1pi

=

Ganancia interna: 1

21RRG +=

Ganancia en la frecuencia media: GA =0

Factor de calidad: )2.(21

GQ

=

La configuracin anterior tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser variado a travs de la ganancia interna (G) sin modificar la frecuencia media (fmpodemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Am no pueden ser ajustadas

Para el diseo del filtro definimos la frecuencia media (fm) y el valor de C y a partir de estos lor de R.

CfR m ...21

pi=

Electrnica 28


La configuracin anterior tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser variado m). Como desventaja

no pueden ser ajustadas

) y el valor de C y a partir de estos

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Debido a la dependencia entre Q y ADefinir el valor de la ganancia en la frecuencia media:

O definir el valor de Q:



6 B Electrnica

Debido a la dependencia entre Q y Am, existen dos posibilidades para el clculo de RDefinir el valor de la ganancia en la frecuencia media:

102 )1( RAR =

= QRR .2

11.12

Electrnica 29

, existen dos posibilidades para el clculo de R2.

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10. TABLAS DE COEFICIENTES PARA LOS DIFERENTES



6 B Electrnica

. TABLAS DE COEFICIENTES PARA LOS DIFERENTES FILTROS

Tabla 2.- Coeficientes de Butterworth.

Electrnica 30

. TABLAS DE COEFICIENTES PARA LOS DIFERENTES

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Tabla



6 B Electrnica

Tabla 3.- Coeficientes de Chebyshev para 0,5 dB de ripple.

Electrnica 31

hebyshev para 0,5 dB de ripple.

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Tabla



6 B Electrnica

Tabla 4.- Coeficientes de Chebyshev para 1 dB de ripple.

Electrnica 32

2011

Tabla



6 B Electrnica


Electrnica 33

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Tabla



6 B Electrnica


Electrnica

Teoria de Filtros 2011

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