Teoría de errores

Física I.

Cátedra: F. Parisi E. Vergini

Primer Cuatrimestre, año 2012.

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Lo que sigue es una breve introducción a la teoría de errores con las nociones básicas para poder realizar las prácticas de laboratorio de la materia. Se trata fundamentalmente de un resumen tendiente a unificar notación, ya que la misma difiere notablemente entre los distintos textos, lo que suele dar lugar a confusiones de parte de los alumnos a la hora de analizar los datos de laboratorio. Quien encuentre errores o desee dejar comentarios y opiniones sobre secciones faltantes (o sobrantes) puede enviar un mail a mquinter@cnea.gov.ar.

Mariano Quintero

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Medición. Una medición puede definirse como el proceso de cuantificación de una magnitud física o atribuible a un cuerpo (longitud, masa, velocidad, etc.). La magnitud se llama “mesurando”. Para conocer el mesurando es necesario disponer de:

Un instrumento. Un método. Unidades

El instrumento será aquella herramienta que nos permita comparar la propiedad del objeto que se desea medir con un determinado patrón. Para medir el tiempo se utilizará un reloj, un cronómetro o un metrónomo; para medir una longitud puede utilizarse una cinta métrica, un calibre, una regla o una barra de madera, dependiendo de la necesidad propia del problema. El método es el procedimiento que vamos a utilizar para realizar la medición. Para medir el periodo de un péndulo será necesario establecer cuando comenzar a medir el tiempo y cuando dejar de medirlo. También es posible medir varios periodos en lugar de uno o un semiperiodo y luego inferir cuanto dura un periodo completo. Si se quiere medir la longitud de una mesa habrá que definir si se medirá apoyando la cinta métrica, si se utilizará una barra y se contará cuantas veces entra completa en la longitud a medir. Las unidades serán la cantidad patrón que se utilizará para comparar y expresar el resultado obtenido. En el caso del periodo del péndulo, es posible utilizar como unidad los segundos si se utiliza un reloj, pero también podría utilizarse el beat del metrónomo. Lo mismo con la longitud de la mesa, puede utilizase al centímetro o al metro que figura en la cinta métrica o la regla. Pero también podría utilizarse como unidad la longitud de la barra de madera. Las mediciones están afectadas por errores o incertidumbres originados por limitaciones:

La precisión o exactitud del instrumento. La interacción entre el método y el mesurando. La definición del objeto a medir La influencia del observador que realiza la medición.

La precisión o exactitud del instrumento se encuentra relacionada con la cantidad mínima de variación que puede detectarse con el instrumento. La mínima cantidad que puede detectar un determinado instrumento se llama “apreciación nominal”. Por ejemplo, en el caso de una regla “común”, la apreciación nominal será de un milímetro, ya que es la mínima división que presenta. La interacción del instrumento o método de medición con el mesurando es otra posible fuente de errores a tener en cuenta.

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Si por ejemplo se quisiera medir la temperatura de un determinado objeto utilizando un termómetro, va a haber un intercambio de calor entre el termómetro y el objeto que dará como resultado un cambio de temperatura. Por lo tanto, el valor que se obtenga al medir la temperatura no será el del objeto asilado, sino que será el del sistema objeto-termómetro. Para disminuir ese error puede o bien utilizarse un termómetro mas pequeño, de modo que el calor que intercambie con el objeto sea muy pequeño, o bien aumentar la masa del objeto a medir, para que la perturbación no sea notoria. Cuando no es posible realizar ninguna de las dos modificaciones, es necesario tener en cuenta ese error. La definición del objeto a medir muchas veces trae aparejados errores en las mediciones. Por ejemplo, al intentar medir la longitud de la mesa, si no se definen con suficiente precisión los límites de la misma, habrá un error asociado a esa indeterminación. Finalmente, el error del observador afectará el resultado. Por ejemplo, en el caso de medir el período de un péndulo con un cronómetro, hay un tiempo asociado al tiempo que tarda el observador en apretar el botón del cronómetro desde que ve al péndulo pasar por un punto determinado. O si se utiliza una regla milimetrada pero el observador olvidó sus anteojos, sus lecturas probablemente no puedan determinar diferencias por debajo de medio centímetro (cuando las líneas son mas largas). Todo esto hace que sea imposible conocer con certeza absoluta una cantidad medida. El resultado de una medición es siempre un intervalo.

XXX 0

Dónde X0 es el valor que arroja como resultado el instrumento de medición y X es el error de la medición. La forma en la que en general se expresa una cantidad medida en un gráfico es o bien un intervalo o, en ejes cartesianos, una barra de error.

x

x

x

4

Figura 1: ejemplo de gráfico cartesiano en el cual se pueden observar las barras de error de los valores de x medidos. Error relativo y absoluto El error al que nos referimos antes como X es llamado error absoluto y es el error medido en las mismas unidades que el mesurando. A la hora de determinar si un método de medición es adecuado para realizar una cierta medida, es necesario saber si el error que tiene el método es grande o pequeño respecto de la cantidad que se desea medir. Para tener en cuenta dicha relación se define al error relativo como

0XX

X

De la misma manera se define al error relativo porcentual como

100.0

% XX

Observación: siempre que nos referimos al “error” sin aclarar de qué tipo, nos estaremos refiriendo al error absoluto. Discrepancia, repetibilidad y reproducibilidad. Si una magnitud física es medida en mas de una oportunidad con diferentes métodos y/o por diferentes observadores, es muy posible que los resultados que se obtengan en cada medición no coincidan. Esta discrepancia puede o no ser importante o significativa por lo que es necesario definir un criterio que nos permita discernir entre esos dos casos. Supongamos que se mide la misma magnitud física (X) en dos oportunidades Medición A: AAA XXX 0

Medición B: BBB XXX 0

La discrepancia va a ser una discrepancia significativa cuando se cumpla que

ABAB XXXX 00

No significativa

Significativa

X0B X0A X0B X0A

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Figura 2: resultados para dos mediciones (A y B) en los casos en que se observa una discrepancia no significativa (izq) y una discrepancia significativa. La presencia de una discrepancia no significativa nos indica que los resultados obtenidos en las dos mediciones concuerdan entre sí. Cuando hay concordancia (discrepancia no significativa) entre las dos mediciones y las mismas fueron realizadas por el mismo observador y utilizando el mismo método (es decir, sin cambiar las condiciones del experimento), decimos que se observa repetibilidad entre los resultados. Cuando las mediciones se llevan a cabo cambiando al observador y/o al método de medición, decimos que los resultados presentan reproducibilidad. Precisión y exactitud Al realizar una medición con un determinado instrumento o método, es posible introducir errores de naturalezas distintas. La precisión de un instrumento o método está asociada a la sensibilidad o a la menor variación de la magnitud que se pueda detectar con ese instrumento o método. Un cronómetro es mas preciso que un reloj, así como una regla milimetrada es más precisa que una cinta métrica con divisiones que lleguen hasta los centímetros. La exactitud de un instrumento o método en cambio está asociada a la calidad de la calibración del mismo. La exactitud es una medida de que tan bien calibrado se encuentra nuestro instrumento respecto de patrones de medida aceptados internacionalmente. Supongamos que para medir una longitud se utiliza una regla de algún material que presenta cambios notables en su longitud cuando varía la temperatura. Vamos a tener siempre resultados con la misma precisión (la mínima división de la regla) pero inexactos, ya que la longitud “real” de la regla (comparada con un patrón) va a depender de la temperatura. En la figura 3 se muestran resultados en los cuales la cantidad X se midió en función de algún otro parámetro utilizando diferentes métodos. La línea roja representa el “valor real” del mesurando.

6

100

200

300

400

500

50

100

150

200

250

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

100

150

200

250

300

350

400

X

X

d)c)

b)

Xa)

X

Figura 3: resultados de mediciones de X en función de algún parámetro. En los casos a y c el error es de 125, mientras que en b y d el error es de 25 (en las unidades en las cuales está medido X). La línea roja representa el “valor real” de X como función del parámetro

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Mediciones indirectas. Funciones de una variable Hasta el momento nos referimos a los errores que se producen cuando una cantidad es medida utilizando un determinado instrumento o método. Sin embargo, en el caso mas general, la cantidad que se desea conocer no es directamente el mesurando, sino una cantidad que puede calcularse una vez que se determina el mesurando. Es de esperar que el error que se tenga en el mesurando va a tener su reflejo en la cantidad que se desea determinar. En estos casos se suele hablar de mediciones indirectas, ya que si bien la cantidad que se desea no es el resultado obtenido de la lectura de un instrumento, es el resultado de hacer una operación matemática con la cantidad medida. Consideremos por ejemplo que tenemos una esfera sólida y que queremos determinar su volumen. Una manera de hacerlo puede ser midiendo el diámetro de la esfera con algún instrumento como una cinta métrica o una regla. Mesurando: ddd 0

Cantidad: Vd

V

3

23

4

A la hora de calcular el error de la variable indirecta (en volumen en nuestro caso) es necesario tomar una postura “pesimista” y suponer que el valor obtenido para le mesurando es el que se encuentra mas alejado del “valor real”. Esta postura pesimista seguramente nos llevará seguramente a sobreestimar los errores, pero es preferible contar con indeterminaciones que no nos permitan sacar conclusiones que con falsas certezas que nos lleven a conclusiones equivocadas. Para determinar V podemos intentar pensar cuanto cambia V cuando el diámetro pasa de valer d0 a valer d0 + d.

000 6)( ddVV

)3

1(26

)(6

)()(20

2

0

20

30

3000 d

ddd

ddddddVddVV

Consideremos ahora un caso más general, en el cual medimos X para determinar una cierta cantidad q(x). El error en la variable q puede estimarse a partir del error en la variable x conociendo la derivada de q respecto de x.

xdxdq

xqxxqqx

0

)()( 00

8

Este es un procedimiento que es relativamente sencillo y que funcionará bien en los casos en los cuales el planteamiento de diferencias finitas llevaría a una excesiva complejidad algebraica. En la figura 4 se muestra la diferencia que se obtiene al calcular por diferencias finitas y utilizando la derivada de la función.

Figura 4: comparación entre el error calculado por diferencias finitas y utilizando la derivada de la función. Se observa que dependiendo de las características de la función, el calcular utilizando derivadas puede llevar tanto a una subestimación como a una sobreestimación. Podemos ver que, dependiendo de la función, el cálculo mediante el uso de la derivada puede llevarnos a diferencias tanto por encima como por debajo del error estimado por diferencias finitas. Si volvemos al caso del cálculo del volumen de la esfera planteado mas arriba, es interesante que el error por diferencias finitas puede escribirse en función del error relativo como

)3

1(2

220

ddV

Si suponemos que el error relativo es muy pequeño ( 1 ) lo que se obtiene es que

ddV 202

que es el resultado que se obtendría al hacer el cálculo del error utilizando la derivada de la función. En el caso general, considerar un error relativo pequeño significa que no nos alejamos demasiado del punto x0, por lo que describir a la función a partir de la recta tangente en ese punto no va a ser una mala aproximación, y la descripción del error de la función por su derivada será válida. Consideremos el siguiente ejemplo para el cálculo del error utilizando la derivada de la función. Supongamos que tenemos

x0 x0+x

x

q0+q

q0

xdxdq

x

0

qq

x x0 x0+x

q0+q q xdxdq

x

0

q q0

x

x

9

nxxq )(

El error puede calcularse como

xnxxdxdq

q n

x

1

0

Lo interesante de éste caso se puede ver si se escribe la relación en términos del error relativo.

xq nx

xn

q

q

00

Por lo tanto, cuando se evalúan potencias, el error relativo del resultado es el error de la cantidad medida multiplicado por la potencia. Si medimos una cantidad con un error relativo del 10% y lo utilizamos para evaluar una función en la cual la cantidad medida aparece con una potencia de cinco, el error relativo de dicha cantidad será del 50%. Funciones de dos o más variables. Si el resultado debe calcularse a partir de dos o mas valores medidos, x, y , etc., el cálculo del error puede afrontarse de dos maneras posibles. Podemos ser tan pesimistas como podamos y considerar que los errores de las diferentes cantidades medidas se van a asociar de manera tal de dar como resultado el mayor error posible en la cantidad a determinar. Por el otro lado, podemos argumentar que es mas probable que los errores en las distintas variables hagan que el valor de la variable a medir aumente en un caso y disminuya en otro, por lo que el error obtenido en ese caso será menor que el error que se tenga siguiendo la suposición pesimista. Este argumento puede ser válido en alguna circunstancias, pero por ahora vamos a adoptar nuevamente la postura pesimista, a riesgo de sobreestimar el error, siguiendo nuestra premisa de que es preferible contar con indeterminaciones que no nos permitan sacar conclusiones que con falsas certezas que nos lleven a conclusiones equivocadas. Consideremos como ejemplo una variante del problema anterior en el cual queríamos medir el volumen de una esfera sólida. Supongamos que ahora utilizamos, en lugar de la cinta métrica anterior, un sistema un poco más. Tomamos una probeta cilíndrica y la llenamos hasta un cierto nivel con agua. Luego introducimos la esfera y vemos que el nivel del agua sube. El aumento del nivel corresponde a un incremento en el volumen contenido dentro de la probeta que es igual al volumen de la esfera. Luego, a partir de medir cuantos centímetros sube el nivel podemos determinar el volumen de la esfera. En este caso tendremos dos cantidades a medir: el radio del cilindro (r) y la variación en el nivel del agua (h)

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Mesurandos: hhh 0

rrr 0

Cantidad: VhrV 2

r

h

Figura 5: método experimental para medir el volumen de una esfera utilizando una probeta con agua. El cambio de volumen debido a la esfera se calcula midiendo la diferencia de altura del agua con y sin la esfera en su interior. El radio del cilindro también debe medirse para determinar el volumen. Para estimar el error en el volumen, vamos a tomar el enfoque pesimista del problema y determinar cual sería error si tanto h como r estuvieran lo mas lejos posible del “valor real”.

02

002

00000 )()(),(),( hrhhrrhrVhhrrVV

Desarrollando se llega a que

20

2

20

2

02

00

00 112r

rh

r

rhr

hh

rhrV

De la misma manera que en el caso de una variable, es posible utilizar herramientas del cálculo diferencial para obtener una simplificación al problema. Si consideramos que una cierta función q depende de las variables x e y

),( yxqq El error que se obtendrá en q al medir x e y con un cierto error será

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yy

qx

x

qq

yxyx

0000 ,,

En aquellas situaciones en las cuales alguna de las dos derivadas parciales fuera negativa, tomaremos la postura pesimista y consideraremos los valores negativos para o x y , de modo tal que el producto resultante sea positivo. En el caso del volumen de la esfera medido con la probeta, si se reescribe la expresión para el error del volumen en términos de los errores relativos se obtiene que

220

2000 112 rrh hhrrhrV

Si se considera que los errores relativos son pequeños se obtiene el resultado que se obtendría al realizar el cálculo del error a partir de las derivadas parciales. Para el caso general, cuando la función depende de mas de dos variables a medir, el tratamiento será el mismo, agregando un término por cada cantidad medida al cálculo del error. Así, si la cantidad q depende de n variables

),...,,( 21 nxxxqq

la expresión general será

n

ii

xxxi

xx

qq

n1 ,...,, 02010

con la salvedad de tomar el error de cada variable con el signo correspondiente para que cada término de la suma sea positivo. Variables independientes De acuerdo a lo que hemos visto, la última expresión para el error de una cantidad determinada a partir de la medición de más de una variable, está sobreestimando al error verdadero. Cuando hicimos la elección del enfoque más pesimista, mencionamos que podría suceder que los errores de las diferentes variables se compensaran para dar lugar a un error mas pequeño. En los casos en los que las variables xi son independientes entre sí, debería ser igualmente probable cometer un error de medición por exceso que por defecto. En esos casos es posible tomar una postura un poco menos pesimista y considerar que el error no es la suma, sino que

12

2

1 ,...,, 02010

n

ii

xxxi

xx

qq

n

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Estadística de la observación Hasta ahora nos ocupamos de las mediciones en las cuales el error podía estimarse utilizando un crtiterio personal, asociado al instrumento o método de medición. Sin embargo, en muchas oportunidades aparecen situaciones en las cuales necesitamos repetir las mediciones, lo que lleva a la necesidad de definir una técnica para procesar los resultados provenientes de dichas mediciones. Supongamos que realizamos una única medición y para confirmar que la cantidad medida es correcta, decidimos repetir la misma medida. Podría suceder o bien que el resultado coincida, lo que nos permite corroborar nuestra primera medición. Pero también podría suceder que el resultado fuera distinto. ¿Que deberíamos hacer en ese caso?. No podemos definir arbitrariamente que una medición fue “correcta” y otra fue “incorrecta”. Una opción sería realizar una tercera medición y ver si da el mismo resultado que alguna de las anteriores. Y lo mas probable es que al realizar esa tercera medición el resultado obtenido sea diferente a los otros dos, lo que nos genera una incerteza que antes de realizar la segunda medición no existía entre nosotros. Ante esta nueva situación que se nos plantea, una opción podría ser medir muchas veces, ya que la lógica nos indica que las cosas no deberían empeorar si realizo mas mediciones, sino que por el contrario deberían mejorar. Supongamos que hacemos 100 mediciones en total de la misma cantidad. Obviamente, todo el trabajo que realizado debería traducirse en alguna mejora en el conocimiento que tenía sobre el mesurando antes de comenzar a medir. ¿Como puedo utilizar ese trabajo de alguna manera útil?. Intentaremos analizar eso a lo largo de las próximas páginas. Histogramas y distribuciones Vamos a partir desde el momento en el cual terminamos de realizar las 100 mediciones mencionadas arriba. Si alguien nos hiciera la pregunta “¿cuanto te dio?”, la respuesta podría ser “esta lista de 100 resultados”. Si bien es correcta la respuesta, dificilmente pueda resultar de utilidad para algo esa lista. Hay que buscar alguna forma de presentar los resultados de manera que las características generales del grupo de mediciones sea rápidamente visible. La forma mas común de representar estos resultados es utilizando un histograma. Para construir un histograma, lo primero que se hace es dividir al rango de valores entre los cuales se encuentran los resultados en intervalos mas pequeños a los que llamaremos clase. Cada clase va a estar caracterizada por sus extremos y por su valor promedio. Luego se cuenta el número de mediciones que se dieron dentro de cada clase (a esto lo llamaremos frecuencia de clase) y se grafican dichos valores en el eje y en un gráfico de barras. En el eje x de cada barra pondermos al punto medio de clase que no es otra cosa que el promerio aritmético entre los extremos de la clase. Consideremos que nuestras mediciones arrojaron el siguiente conjunto de resultados:

48 38 33 43 47 30 38 43 35 50 51 48 31 40 42 17 44 33 51 36 43 53 42 40 69 45 41 42 42 32 53 23 28 53 31 32 43 33 28 16 37 48 35 19 32 43 30 43 40 20 46 31 29 48 35 41 42 39 29 39

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15 55 49 39 47 56 46 41 38 38 45 40 41 21 37 60 40 48 40 53 32 43 42 26 44 43 21 9 41 36 49 54 69 42 44 35 61 38 36 38

Analizando los datos vemos que todos los valores que tenemos están entre 9 y 69. Podemos tomar intervalos de 10 desde 0 hasta 70 para contener a todos los valores. Punto medio de clase

Frontera de clase

Frecuencia de clase

5 10 1 15 20 4 25 30 9 35 40 30 45 50 42 55 60 10 65 70 4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

fre

cuen

cia

Valor

Figura 6: histograma obtenido a partir de los datos presentados en la tabla 1 y utilizando las clases definidas en la tabla 2. Al observar los datos presentados de esta manera, podemos ver rápidamente que la mayor parte de las mediciones dieron resultados entre 40 y 50, y que a medida que nos alejamos de ese centro la cantidad de resultados obtenidos es menor.

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Valores centrales de las distribuciones. En algunas oportunidades es necesario profundizar un poco mas el conocimiento que se tiene sobre la medida realizada. Para eso se definen diferentes cantidades que caracterizarán a la distribución y que pueden ser mas o menos importantes de acuerdo a las particularidades que se presenten. a) Moda. La mayoría de las distribuciones tiene un punto máximo o pico, generalmente alrededor del centro. Cuando ese pico se encuentra bien definido, el valor sobre la escala horizontal en el cual ocurre se llama moda de la distribución. En algunos casos puede ocurrir que la distribución posea dos puntos máximos; en ese caso diremos que la distribución es bimodal. En la distribución que presentamos en la figura 6, podemos observar que el máximo valor de la frecuencia se observa para la clase cuyo promedio de clase es 45. En este caso diremos que la moda de la distribución es 45. b) La mediana Si colocamos todos los resultados obtenidos en orden creciente y los dividimos por la mitad en dos partes iguales, el valor correspondiente a esta línea divisoria se llama mediana. Si se ordenan los datos de la tabla 6 de manera creciente, vemos que dato cuyo número de orden es 50 (la mitad de los datos) vale 40 mientras que el siguiente vale 41. De esta manera, la línea que divide a los datos por la mitad es la mediana y vale 40.5 c) La media El tercer valor es el conocido como promedio o media aritmética. Para un grupo de N mediciones xi, la media se define como la suma de los datos medidos dividido el número de mediciones

N

xx

N

ii

1

Mas adelante veremos que para nuestros propositos la media es la mas útil de las tres cantidades que definimos. Es interesante observar que cuando la distribución que tenemos es simétrica, la media, la mediana y la moda coinciden todas en el centro de la distribución. En el caso de distribuciones que no son simétricas, los tres valores tienden a dar resultados distintos entre sí. Amplitud de las distribuciones Una vez que llegamos al punto en el cual determinamos un valor que define a mi distribución (moda, media o promedio) aparece la siguiente pregunta. ¿Qué tan bien

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representa ese valor a los valores obtenidos en mis mediciones?. ¿Dentro de que márgenes será válido representar a los valores medidos utilizando un único valor?. Surge aquí la necesidad de tener una cantidad capaz de describir que tanto se aleja la distribución obtenida de una “distribución” en la cual todos los valores obtenidos dieron como resultado un único valor. Es decir, necesitamos saber que tan “ancha” es la distribución. Es posible definir varias cantidades capaces de darnos esa información, pero la mas universalmente utilizada es la denominada desviación estándar que se define como

2

1

1

2)(

N

xxS

N

ii

Importancia de la media y la desviación estándar. En lo que sigue vamos a tomar como los parámetros característicos de las mediciones a la media y la desviación estándar. Ya que la presencia de fluctuaciones al azar nos ha impedido identificar un intervalo realista dentro del cual podemos estar seguros que se encuentra nuestro valor buscado, es necesario cambiar las expectativas que tenemos sobre el proceso de medición. Ya no tiene sentido realizar la pregunta ¿cuál es la respuesta correcta? Las preguntas sensatas tienen que ver no con la certeza sino con la probabilidad, y hay varias preguntas a realizar sobre probabilidades. Una posible pregunta podría ser ¿cuál es la probabilidad de que al realizar una nueva medición, ésta caiga dentro de un determinado rango de valores?. Mirando la distribución, uno podría aventurar que es mas probable que el nuevo valor se encuentre cerca de la media que lejos. Inclusive podríamos decir que es muy probable que el resultado se encuentre en el intervalo [X – S, X+S], ya que como vimos, S nos da una idea de que tan “alejadas” se encuentran las medidas del valor central. Surge sin embargo un problema con éste enfoque. Si se realizara una nueva serie de 100 mediciones, en las mismas exactas condiciones que la primera serie de datos, el histograma que se realice con esos datos no va a coincidir exactamente con el histograma de la primera serie. Tendría características semejantes al primer histograma respecto a su localización y a su amplitud, pero su estructura detallada sería diferente, por lo que obtendríamos respuestas diferentes a preguntas sobre probabilidades. ¿Como podemos entonces obtener información sobre las probabilidades a partir de los resultados obtenidos en nuestras mediciones?. Una solución consiste en abandonar la descripción de un histograma particular y comenzar a hablar sobre distribuciones teóricas definidas. Estas pueden no ser claramente significativas para nuestro problema en particular, pero tienen la enorme ventaja de ser construcciones teóricas ampliamente estudiadas, lo que hace que muchas de sus propiedades se encuentren claramente definidas y sean constantes. Existe una gran cantidad de distribuciones, algunas desarrolladas para propósitos especiales, pero en nuestro caso sólo nos referiremos a la distribución Gaussiana o “normal”.

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Distribución Gaussiana Para utilizar una distribución de Gauss para describir nuestros experimentos nos valdremos de un teorema matemático conocido como teorema del límite central. En forma muy general, el teorema dice que si Sn es la suma de n variables independientes, entonces la función de distribución de Sn “se aproxima bien” a una distribución gaussiana o normal cuando la suma de estas variables independientes es suficientemente grande. La forma matemática de una distribución de Gauss es

22 )()( XxhCexf En primer lugar podemos observar que la función va a ser simétrica alrededor de x=X, ya que la variable x aparece al cuadrado y está restado el valor X. El valor de la constante C da la altura de la distribución, ya que cuando x=X se obtiene el valor máximo, en el centro de la distribución. El parámetro h va a ser el responsable de cambiar el ancho de la distribución, ya que aparece multiplicando a x. Dado que lo que nos interesa es utilizar la distribución de Gauss para describir las distribuciones obtenidas al realizar una serie de mediciones, sería bueno contar con una relación entre h y la desviación estándard. Dicha relación es

h2

1

(nos referiremos a la desviación estándard como S cuando se trate de distribuciones de datos finitas y como cuando se trate de distribuciones definidas).

x

Fre

cuen

cia

Figura 7: tres ejemplos de distribuciones de Gauss para diferentes valores de h (y ) y C manteniendo la media constante.

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Dado que la distribución está asociada con la probabilidad de que una medición resulte en algún valor, la función debe cumplir la condición de estar normalizada. Esto determina el valor de C, por lo que la función distribución puede escribirse, en términos de la desviación estándar cómo

2

2

2

)(

2

1)(

Xx

exf

A la hora de comparar un histograma con una distribución de Gauss es necesario tener en cuenta la normalización. Como dijimos, la función expresada se encuentra normalizada, lo que significa que el área debajo de la curva vale uno. El área total del histograma va a ser igual al producto resultante de la cantidad de mediciones multiplicada por el ancho de clase. En el caso de los datos de la tabla 1 volcados en el histograma de la figura 6, dado que la cantidad de datos es 100 y el ancho de clase es 10, es necesario multiplicar a la función f(x) por 1000 para que coincida con la escala del histograma. En la figura 8 se muestra el resultado.

0 10 20 30 40 50 60 70 800

10

20

30

40

fre

cuen

cia

Valor

Figura 8: histograma con la distribución de Gauss superpuesta. Para que ambas escalas coincidieran fue necesario multiplicar a la función de Gauss por 1000 (100 mediciones con ancho de clase 10).

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Bibliografía.

D. C. Baird, “Experimentación. Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos”, Segunda Edición, Prentice Hall Hispanoamericana, Mexico, (1991).

S. Gil y E. Rodríguez, “Física Re-creativa”, www.fiscarecreativa.com

Filmus, Yuval (Enero/Febrero 2010) (en inglés). Two Proofs of the Central Limit

Theorem. pp. 1-3.

Problemas de Teoría de Errores

1) Se lanza una piedra hacia arriba con una velocidad inicial vo=(100±1)m/s. Se mide el tiempo que demora en llegar a una cierta altura h y resulta ser t=(5±1)s. Suponiendo que la aceleración de la gravedad tiene un error despreciable comparado con los errores de la velocidad y el tiempo, calcular la altura h con su error. 2) Un alumno mide dos magnitudes x, y obteniendo x=(10±1) m, y=(20±1) m. Determine el valor de la magnitud derivada q=xy. Usando el mayor valor más probable para x e y (11m y 21m) calcule el mayor valor para q. Lo mismo para el valor más pequeño para q. Comparar sus resultados con el error calculado según la regla de propagación de errores. Repetir para las mediciones de x=10±8, y=20±15.    

3) Suponga que medimos volúmenes de agua en 2 recipientes y obtenemos: V1 = 130 ± 6 ml and V2 = 65 ± 4 ml Luego cuidadosamente vertemos el contenido del primer recipiente en el segundo. ¿Cuál es la predicción del volumen V=V1 + V2 y su error si se supone que los errores originales son independientes y estadísticos. ¿Qué valor asignaría a ΔV si sospecha que los errores no son independientes? 4) Se quiere calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular cuyas aristas miden aproximadamente x=35cm, y=40cm y z=45cm; con un error menor que 50 cm3. ¿Con qué error deben medirse las aristas, sabiendo que se miden con el mismo instrumento? 5) Se desea calcular con un aproximación del 0.1% la superficie de un terreno circular cuyo radio mide aproximadamente 25 m. ¿Con qué error debe medirse el radio, y cuántas cifras decimales de π será necesario considerar? 6) Con el fin de encontrar la aceleración de un cuerpo un estudiante mide la velocidad inicial

vi y la velocidad final vf y determina la diferencia (vf - vi). Los datos que obtiene en dos

experimentos diferentes se muestran en la tabla, todos los errores son del 1%. vi (cm/s) vf (cm/s) Experimento 1 14.0 18.0 Experimento 2 19.0 19.6

a) Calcular los errores absolutos de las cuatro mediciones. Determinar (vf - vi) y su error absoluto en cada experimento. b) Calcular el error relativo para los dos valores de (vf - vi). Observe especialmente en el segundo caso los resultados de evaluar un número pequeño por diferencia de dos números grandes. 7) Suponga que mide las siguientes magnitudes con errores independientes y estadísticos: x = 200 ± 2, у = 50 ± 2, z = 40 ± 2. Determine la magnitud de q = x/(y — z) con su error.

8) Se determina la densidad del aluminio por dos métodos obteniéndose los valores: ρ1=(2.72±0.04)g/cm3 y ρ2=(2.74±0.07)g/cm3 Hallar el promedio con su error. (Promedio pesado) 9) Usando un cronómetro y un poco de práctica, usted puede medir tiempos desde un segundo hasta minutos con una precisión de 0.1 s aproximadamente. Suponga que desea obtener el período de un péndulo de aproximadamente 0.5s. Si se mide una oscilación, se tiene un error del 20%, pero midiendo varias oscilaciones juntas se puede disminuir este error porcentual en T. a) Si se miden 5 oscilaciones y se obtiene 2.4  ±  0.1  s,  ¿Cuál es el valor de T y su error absoluto y relativo? b) Si se miden 20 obteniendo 9.4  ±  0.1  s? c) ¿Puede mejorarse indefinidamente la precisión en T midiendo más y más oscilaciones? 10) a) Calcular la media y la desviación estándar de las siguientes 18 mediciones de un intervalo de tiempo t (en segundos).

8.16   8.24  8.14   8.16  8.12   8.14  8.16   8.17  8.18   8.18  8.18   8.22  8.18   8.12  8.24   8.17  8.1   8.06  

b) Se sabe que después de un número grande de mediciones el 68% de los valores observados están entre tt σ− y   tt σ+ .  Para las mediciones de la parte a) ¿Cuántas están comprendidas en el intervalo mencionado? c) Determine la mejor estimación del intervalo de tiempo y su error. Discuta si es necesario realizar un mayor número de mediciones para disminuir el error.

11) En un experimento con un péndulo simple, un estudiante decide verificar si el período T es independiente de la amplitud A (definida como el ángulo más grande que el péndulo forma con la vertical durante una oscilación). El estudiante obtiene los resultados que se muestran en la Tabla.

a) Graficar T vs A, con los errores. ¿Puede el estudiante concluir que T es independiente de A? b) Discutir cómo serían afectadas las conclusiones de la parte a) si el error en todos los valores medido de T fuera 0.3 s.

Amplitud (grados) Período (s) 5 ± 2

1.932 ± 0.005

17 ± 2

1.94 ± 0.01

25 ± 2

1.96 ± 0.01

40 ± 4

2.01 ± 0.01

53 ± 4

2.04 ± 0.01

67 6

2.12± 0.02

12) Un estudiante realiza N=20 mediciones del tiempo que tarda un cuerpo en caer a través del interior de un cilindro vertical lleno de aceite. El estudiante ordena sus resultados en orden creciente y registra cuántas veces obtuvo los diferentes valores:

Tiempo (s) 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0 Ocurrencias (nk) 2 0 3 5 4 1 3 1 0 1

a) Hacer un histograma con ancho de intervalo de 0.1 s empezando en 7.05 s. b) Idem a) con ancho de intervalo de 0.2 s. En los histogramas graficar en el eje vertical la cantidad fk=(nk/N)/Δt. c) Determine el valor medio y la desviación standard de los datos y agregue en los gráficos de los histogramas la distribución normal o gaussiana correspondiente. Utilice el programa EXCEL. 13)a) Determine el máximo y los puntos de inflexión de la distribución gaussiana o normal.

14) Sea x el valor medio y σx la desviación estándar de una serie de un número muy grande de mediciones. Hallar qué porcentaje de las mediciones estarán entre: a) x ±σx , b) x ±2σx , c) x ±3σx. Utilice la función estadística del programa EXCEL DIST.NORM o NORMDIST (en la versión en inglés) .

15) Un estudiante realiza una serie de mediciones de la longitud de una mesa y obtiene como resultado los valores: x =1.52 m y σx =0.04 m. ¿Qué fracción de sus mediciones usted esperaría encontrar entre: a)1.48 y 1.56 b) 1.48 y 1.52 c) 1.44 y 1.60 d) 1.60 1.90?

Utilice la función estadística del programa EXCEL DIST.NORM o NORMDIST (en la versión en inglés) . 16) Cuando se hace un ajuste de cuadrados mínimos, comparando el error Δy que se le asignó a las mediciones de y, con la estimación de σy (standard error x ) se puede decidir si los datos confirman la relación lineal esperada: у = b + ax . La cantidad σy es aproximadamente la distancia promedio de los puntos (xi,yi) a la recta de ajuste. Si σy es aproximadamente igual a

Δy los datos son consistentes con la predicción de una relación lineal. Si σy >> Δy hay una buena razón para dudar de la relación lineal. El siguiente problema ilustra esta idea. Un estudiante mide la velocidad de un planeador en una trayectoria horizontal, para ello mide la posición en función del tiempo, obteniendo los datos de la tabla.

Tiempo  t(s)  

Posición  s(cm)  

0   4.0  2   7.5  4   10.3  6   12.0  

Asumiendo que el planeador tiene velocidad constante, ajuste sus datos con una recta: s = so + vt.

a) Determine por el método de cuadrados mínimos so y v y el error standard en las mediciones de s. b) Suponga que el error en s es de 1cm. Comparando Δy =Δs con σy determine si los datos son consistentes con una velocidad constante. Grafique s en función de t con los errores en s. c) Suponga que Δs=0.1 cm, indique, en este caso si las mediciones son consistentes con una velocidad constante y describa el movimiento a partir de los datos medidos.

Física re-Creativa -S. Gil y E. Rodríguez 1

Introducción a las Ciencias Experimentales

Pautas y sugerencias para la redacción de informes Tomado de: Física re-Creativa -S. Gil y E. Rodríguez - Prentice Hall – Buenos Aires 2001

El informe de laboratorio es una acabada prueba de que hicimos un experimento, lo

analizamos y comprendimos. Cuando redactamos el informe es cuando terminamos de

ordenar nuestros datos, gráficos, anotaciones y sobre todo nuestras ideas. Debe ofrecer a los

lectores un recuento claro y completo de las actividades experimentales realizadas, nuestras

conclusiones y reflexiones de lo que hicimos. El informe debe ser, ante todo, claro, y, en lo

posible, breve. Debemos redactarlo en lenguaje preciso y ameno, tratando de atraer y

retener la atención de los lectores. Hagamos el siguiente ejercicio: Son las doce de la noche

y el lector de nuestro informe tiene también como opciones hojear el diario o ver televisión.

Nuestro trabajo entrará en competencia con estas alternativas solo si está cuidadosamente

redactado y si en él expresamos nuestras ideas con claridad y concisión. Esto podemos

lograrlo usando construcciones cortas y cuidando que las descripciones no den lugar a

interpretaciones ambiguas, de manera que el lector no se vea obligado a tener que volver

sobre lo leído. Recordemos que no estaremos al lado de nuestro lector para hacerle

aclaraciones a sus dudas y decirle que “donde escribimos una cosa”, en realidad, “quisimos

decir otra”.

El informe no debe ser considerado como un documento que se presenta con el solo

fin para que el profesor juzgue el trabajo realizado, sino que debe ser pensado como un

texto que sea capaz de mostrar que hemos ganado la habilidad de comunicar por escrito

nuestras ideas y resultados. Con esto en mente, los informes que se realizan en los cursos

básicos de laboratorio son un muy buen entrenamiento para mejorar nuestra redacción y

con ella nuestra capacidad de comunicar temas científicos y técnicos. Aquí damos algunas

pautas y sugerencias sobre cómo organizar un informe de laboratorio. En el sitio Física re-

Creativa: http://www.fisicarecreativa.com, se encuentran varios ejemplos de informes de

experimentos realizados por estudiantes de distintas universidades.

Organización del informe

El informe debe contar con secciones bien diferenciadas, que garanticen orden y

cohesión. Se sugiere el siguiente esquema para el texto del informe, que es usualmente

empleado en publicaciones científicas y técnicas. Formato

Extensión: La extensión de un informe puede variar según el tema tratado, pero como pauta

básica podríamos decir que un informe de laboratorio básico, no debería exceder una 4 o 5 carillas

en párrafos de espaciado simple y con letra tamaño 12 pts. Y hoja A4.

Organización: Incluya título, Autores, e-mails, filiación, resumen, desarrollo, conclusiones y

referencias de las fuentes consultadas.

Física re-Creativa -S. Gil y E. Rodríguez 2

Encabezamiento del informe

Título

Autoría (Nombre y apellido de los autores, e-mails, filiación, fecha)

Resumen

Cuerpo del informe

Introducción

Método experimental Resultados

Discusión

Conclusiones

Referencias

Apéndices (si fuese necesario)

Encabezamiento del informe

� Título: El título del trabajo debe ser específico e informativo, y en lo posible agudo y

provocador. Con él debemos dar una idea clara del tema estudiado.

� Autoría: Nombres de los autores incluyendo alguna vía de comunicación con los

mismos, por ejemplo dirección electrónica (e-mails), teléfono, dirección postal, etc.

� Resumen: El resumen del informe debe dar un adelanto de lo que se leerá en el cuerpo

del mismo, en lo posible en no más de 100 palabras. Aquí debemos indicar con

concisión el tema del trabajo, referirnos sucintamente a la metodología seguida y

destacar los resultados más importantes obtenidos.

Cuerpo del informe

� Introducción: En esta sección debemos orientar al lector hacia el tema de estudio y la

motivación por hacerlo elegido. Para esto es aconsejable que incluyamos un marco

teórico–experimental del tema que estudiamos, con referencias adecuadas (ver

Referencias) que lleven rápidamente a los antecedentes del problema y que destaquen la

conexión de esas ideas con el trabajo realizado. Estas referencias deben orientar al

lector hacia el “estado del arte” del tema. Asimismo debemos enunciar claramente el

propósito u objetivo del experimento.

Física re-Creativa -S. Gil y E. Rodríguez 3

� Método experimental (Procedimientos y métodos): En la sección describimos los

procedimientos seguidos y el instrumental usado. Es útil incluir un esquema del diseño

experimental elegido. Para esto puede recurrirse a diagramas esquemáticos que

muestren las características más importantes del arreglo experimental y la disposición

relativa de los instrumentos. Es una buena práctica indicar también cuáles variables se

miden directamente, cuáles se obtienen indirectamente y a cuáles tomamos como datos

de otras fuentes (parámetros físicos, constantes, etc.). También es aconsejable describir

las virtudes y limitaciones del diseño experimental, analizar las fuentes de errores e

individualizar las que aparezcan como las más críticas.

� Resultados: Los resultados deben presentarse preferiblemente en forma de gráficos. En

lo posible evitemos la inclusión de tablas de datos, a menos que sean sustanciales. Los

datos del experimento deben estar diferenciados de otros datos que puedan incluirse

para comparación y tomados de otras fuentes (se sugiere ver la Unidad 4 donde se dan

pautas para hacer gráficos). Como práctica invariante, debemos expresar resultados con

sus incertidumbres, en lo posible especificando cómo las calculamos.

� Discusión: En esta parte debemos explicitar el análisis de los datos obtenidos. Aquí se

analizan, por ejemplo, las dependencias observadas entre las variables, la comparación

de los datos con un modelo propuesto, o las similitudes y discrepancias observadas con

otros resultados. Si el trabajo además propone un modelo que trate de dar cuenta de los

datos obtenidos, es decir, si el modelo es original del trabajo, su descripción debe

quedar lo más clara posible; o bien, si se usó un modelo tomado de otros trabajos, debe

citarse la fuente consultada. Si fuera necesaria una comparación de nuestros resultados

con otros resultados previos, resaltemos similitudes y diferencias de los materiales,

métodos y procedimientos empleados, para así poner en mejor contexto tal

comparación.

� Conclusiones: En esta sección tenemos que comentar objetivamente qué hemos

aprendido del experimento realizado, y sintetizar las consecuencias e implicancias que

encontramos asociadas a nuestros resultados. Podemos decir que un buen informe es

aquel que demuestra el mayor número de conclusiones (correctas) alcanzadas a partir de

los datos obtenidos.

� Referencias: Las referencias bibliográficas se ordenan al final del informe. Deben

contener el nombre de los autores de las publicaciones (artículos en revistas o libros)

citados en el texto, el título de los trabajos; el nombre de la revista o editorial que los

publicó; además se debe incluir los datos que ayuden a la identificación de los mismos:

volumen donde están incluidos, capítulo, página, fecha de publicación, etc.

� Apéndices: Algunas veces son necesarios para la mejor comprensión de alguna parte

del informe. Por lo general no es conveniente distraer al lector con muchos cálculos,

despejes de términos y propagaciones de errores en la mitad del texto, así que este lugar

puede ser propicio para estas consideraciones. En el texto principal deberemos orientar

al lector para que consulte estos apéndices.

Comentarios finales

Nuestra experiencia nos enseña que no es fácil congeniar de primera con la

literatura científica, más aun si actuamos como escritores. Es cuestión de práctica lograr

que nuestra “narrativa descriptiva” sea desenvuelta y precisa.

Física re-Creativa -S. Gil y E. Rodríguez 4

No se debe de confundir el informe con la bitácora de laboratorio. Esta última es

donde se registraron todos los datos y detalles de experimento. La bitácora es

principalmente un cuaderno de uso personal donde en lo posible están documentados todos

los detalles del experimento. El informe es una versión final depurada y tiene como

destinatario un lector que no necesariamente realizó el experimento.

Una buena costumbre es pedir a algún par, un compañero de clase por ejemplo, que

lea nuestro informe y nos realice sugerencias y comentarios. De cualquier forma, una vez

redactado el informe, se debe realizar una atenta lectura antes de presentarlo. Finalmente,

queremos llamar la atención sobre el popular dicho “lo breve, si bueno, ¡dos veces bueno!”,

lo que deberíamos tener en mente a la hora de redactar nuestros informes.

Ejemplo

Título del trabajo

Julia Uno, Juan Dos y Andrés Tres

uno@udesa.edu.ar, dos@arnet.com, tres@hotmail.com

Turno Viernes 8-12 - Curso de Química 1- Universidad de San Pepe

Resumen

El resumen va aquí. Es un texto breve y claro, que describe lo que se hizo en el trabajo. Preferentemente, de nomás de 150 palabras.

Introducción

La introducción va aquí. Use en todo el texto: letra redonda Times New Roman de 12

pts., separación entre líneas de 1,5, y ambos bordes justificados. Destaque con negritas solo

los títulos.

Método Experimental

Aquí va la descripción del método experimental. Puede incluir un diagrama del

arreglo experimental si se considera pertinente.

Resultados y discusión

En esta sección se muestran los resultados. Los gráficos que se muestren deben estar

numerados y contener un epígrafe o leyenda.

Por ejemplo, si se midió la presión como función del tiempo, el gráfico podría ser

como el que se muestra en la figura 1.

Física re-Creativa -S. Gil y E. Rodríguez 5

10

100

0 10 20 30 40 50 60Tiempo [s]

P [

mb

ar]

Ajuste

P [mbar]

Figura 1. Esto es el epígrafe o leyenda que siempre debe acompañas al una figura, para explicar su significado. El mismo podría ser como sigue: Variación de la presión en función del tiempo en representación semilogarítmica. Los símbolos (cuadrados) representan los valores medidos de presión, la línea continua es un ajuste exponencial a los datos.

Conclusiones

Aquí se describen las conclusiones. Las conclusiones deben de referirse

fundamentalmente a las evidencias recogidas o encontradas en el experimento.

Referencias

Las referencias se citan del siguiente modo:

(Referencia de Libros)

[1] Nombre del los autores, Título del libro, Editorial, Lugar de publicación, Año

[2] J. L. Borges, Ficciones, Alianza Editorial, Madrid, 1998.

Autor, título del libro, editorial, lugar de publicación, año.

(Referencia de Revistas)

[3] I. Newton, “Simple Pendulum,” Am. J. Phys. 45, 1278 (2001)

Autor,”Titulo del trabajo,” Revista, Volumen, página, (año)

Sugerencias para la realización una monografía

de carácter científico

Objetivo

Demostrar la capacidad de realizar una lectura crítica y valorativa de un texto

científico, y de resumirlo en un texto personalizado.

Física re-Creativa -S. Gil y E. Rodríguez 6

Objetivos específicos

� Identificar los objetivos e hipótesis que se plantean en el trabajo, las mismas pueden ser

implícitas o explicitas.

� Reconocer supuestos, hechos, evidencias y resultados en los que se apoya.

� Valorar si el texto es de tono especulativo o se apoya en evidencias obsevacionales firmes.

� Analizar las implicaciones que los autores sugieren.

� Comparar con otras furentes fuentes de información. ¿Hay consenso en la comunidad

científica sobre el tema? ¿Hay autores que opinan radicalmente diferente? ¿Cuales son sus

objeciones a la tesis del artículo original?, ¿En que evidencias basan sus críticas?

� Analizar las conclusiones del trabajo. Incluir comentarios personales.

� Realizar una conclusión personalizada de la monografía.

� La monografía no debe ser una trascripción acritica y lineal del artículo leído, es decir no

limitarse a contar con otras palabras lo que dice el autor. Nuestra posición debe ser la de un

especia de "abogado del diablo".

� Se debe incluir un resumen, claro y conciso del contenido del artículo, pero el énfasis

debe ser el análisis crítico del mismo, siguiendo las pautas mencionada anteriormente.

� El formato debe ser el mismo que el usado en los informes de laboratorio.

� Indicar claramente la Bibliografía usada y en especial en la que se basa el trabajo.

� En lo posible usar revistas que tengan sistema de referato para la aceptación de los artículos.

En particular indagar en la misma revista acerca del modo de aceptación de los trabajos,

algunas revistas tiene un sistema de referato de pares, otras invitan a autores destacados.

� Si usa Internet, usar preferentemente información de sitios de reconocida autoridad

académica, como ser Universidades, institutos de investigación oficiales (Conicet, National

Cience Fundation, Nasa, Doe, etc)

� Nunca jamás, un trabajo puede ser un corte y pegue (cut & Paste) de otra fuente, revista, libro

o sitio de Internet. Esta práctica es inaceptable en toda institución académica y es además un

delito (Plagio). Esto anula totalmente el trabajo y la clasificación del trabajo e "Cero",

perdiéndose toda posibilidad de recuperación o consideraron. Además de las sanciones

administrativas correspondientes.

Fuente de la información

Un texto científico publicado en una revista de calidad reconocida. Se sugiere investigar en revistas

como: Scientific American, Physics Today, Ciencia Hoy, Physics Teacher, American Journal of

Physics, etc. Se busca que los estudiantes realicen una lectura crítica de dicho artículo. Tratando de

identificar los supuestos o paradigmas involucrados en los mismos, indagar en el grado de

confirmación obsevacional o experimental de dichos supuestos y paradigmas. Según el caso

también se espera que los estudiantes puedan identificar posibles aplicaciones o usos implicados de

dicho artículo como así también posibles inconvenientes surgido de dicho uso.

Lectura Critica

Un ejemplo de lectura o visión crítica en texto o evento, son las críticas que

regularmente pueden leerse el los diarios o revistas de espectáculos y otros eventos

culturales. En estos casos, esta claro que no esperamos que el crítico simplemente nos

cuente la película o la obra. De hecho esta no es su función. Si esperamos que nos ubique

Física re-Creativa -S. Gil y E. Rodríguez 7

en el tema o trama de la misma sin entrar en los detalles del argumento. También

esperamos que la critica nos presente una visión valorativa de la misma, analizando

cuestiones tales como por ejemplo: a) fueron las actuaciones son creíbles b) la dirección fue

adecuada c) fue la realización técnica correcta d) ¿qué elementos nuevos la obra aporta al

arte? e) etc. etc.

Cuidados y Recomendaciones

� Personalice su trabajo.

� Evite el “recorte y pegado”.

� Sea crítico de la información que recoja de Internet.

Formato

Extensión: Similar al de un informe de laboratorio (hoja A4, entre 4 y 5 carillas, letra 12 pts.).

Organización: Incluya título, resumen, desarrollo, conclusiones y referencias de las fuentes

consultadas.

Algunas Funciones de Excel

Funciones Estadísticas

MAX(número1; número2;...)

Devuelve el mayor valor de la lista de valores indicados.

MIN(número1; número2;...)

Devuelve el menor valor de la lista de valores indicados.

PROMEDIO(número1; número2;...)

Devuelve el promedio (media aritmética) de los argumentos.

Por ejemplo, si el rango A1:A20 contiene números, la fórmula PROMEDIO(A1:A20) devuelve el

promedio de dichos números. Si entre los argumentos hay celdas que contienen texto, valores lógicos o

que están vacías, estos valores se pasan por alto.

DESVEST(número1; número2;...) o DESVEST.M(número1; número2;...)

Calcula la desviación estándar de una muestra de acuerdo a la siguiente expresión: √∑

, donde

es el promedio de la muestra y N el tamaño de la muestra.

CONTAR(rango)

Cuenta cuántos números hay en el rango. Por ejemplo, si en el rango A1:A20 hay solo 5 números CONTAR(A1:A20) da como resultado 5.

CONTAR.SI(rango; condición)

Cuenta el número de celdas dentro del rango que cumplen la condición dada. Por ejemplo

CONTAR.SI(B2:B15;">55") devuelve el número de celdas del rango B2:B15 que tienen un valor superior

a 55.

FRECUENCIA(datos; clases)

Devuelve una matriz vertical que representa la distribución de frecuencia de los datos.

En el ejemplo, en C2:C11 están los datos. En D2:D5 los límites superiores de las clases. Las clases son

los intervalos (-∞,2.2], (2.2,2.3], (2.3,2.4], (2.4,2.5] y (2.5, ∞). La función frecuencia se debe

introducir seleccionando las celdas E2:E6, donde aparecerán los resultados (en general una celda

más que las celdas que contienen las clases) y escribiendo =FRECUENCIA(C2:C11;D2:D5) en la

barra de funciones.

Se finaliza con CTRL+MAYÚS+ENTRAR

(CTRL+SHIFT+ENTER en los teclados en

inglés). Esta secuencia de teclas se debe usar

siempre para funciones que devuelven una matriz

y no un único valor. Si se finaliza de la manera

normal con ENTRAR sólo aparecerá un resultado

en la celda E2.

El resultado contenido en las celdas E2:E6

corresponde al número de ocurrencias de los

datos en cada clase.

DISTR.NORM(x; media; desv_estándar; acum) o DISTR.NORM.N(x; media; desv_estándar; acum)

Devuelve la distribución normal o gaussiana para la media y desviación estándar especificadas.

x es el valor donde se evalúa la función.

media es la media aritmética de la distribución.

desv_estándar es la desviación estándar de la distribución.

acum es un valor lógico que determina la forma de la función.

Para acum=FALSO, se calcula el valor de la función de densidad de probabilidad normal o

gaussiana:

,

donde es la media y la desviación estándar.

Para acum= VERDADERO, se calcula: ∫

ESTIMACION.LINEAL(conocido_y; conocido_x; constante; estadística)

Utiliza el método de cuadrados mínimos para calcular la línea recta que mejor describe los datos y devuelve una matriz que describe la línea. conocido_y y conocido_x son los conjuntos de valores de y y de x vinculados por la relación y = a

x+b. Conviene disponerlos en columnas.

constante es opcional. Si es VERDADERO o se omite, la ordenada al origen se calcula

normalmente. Si es FALSO, la ordenada al origen se establece como igual a cero.

estadística es opcional. Si es FALSO o se omite solo devuelve el valor de pendiente y ordenada. Si

es VERDADERO devuelve también los errores de los parámetros del ajuste y otros datos estadísticos.

Como ESTIMACION.LINEAL devuelve una matriz se deben seleccionar previamente las celdas

donde aparecerán los resultados. En el caso de un ajuste lineal se deben seleccionar 5 filas x 2 columnas.

En el ejemplo siguiente se seleccionan las celdas F2:G6, se escribe en la barra de fórmulas

=ESTIMACION.LINEAL(B2:B9;A2:A9;VERDADERO;VERDADERO) y se finaliza con

CTRL+MAYÚS+ENTRAR. Esta secuencia de teclas es necesaria cuando una función da una matriz de

resultados. En la figura del ejemplo se muestran los resultados de la función (celdas F2:G6), se han

agregado carteles para indicar la ubicación de los resultados de interés. Las celdas F5, F6 y G6

contienen otros datos estadísticos que se emplean para analizar las bondades del ajuste.

Se puede usar ESTIMACION.LINEAL para ajustar los datos con un polinomio de grado n. Por ejemplo, ESTIMACION.LINEAL(A50:A58;B50:B58^{1;2;3};VERDADERO;VERDADERO) calcula el polinomio de grado 3 y = a1 x + a2 x

2 + a3 x

3 + b que mejor ajusta los datos. En este caso la matriz

de resultados es de 5 filas x 4 columnas.

Funciones Trigonométricas

SENO(angulo_r), COS(angulo_r), TAN(angulo_r)

Devuelven el seno, coseno y tangente de “angulo_r” respectivamente. Tanto para éstas como para

cualquier función trigonométrica, “angulo_r” debe estar dado en radianes. Para convertir un ángulo

dado en grados a radianes puede ser útil la función RADIANES(angulo_g) (ver más abajo), donde

“angulo_g” es el ángulo en grados. Así, si se quiere calcular el coseno de un ángulo, la forma de

hacerlo es:

COS(RADIANES(angulo_g)), si el ángulo se da en grados, o COS (angulo_r), si el ángulo se da en

radianes.

RADIANES(angulo_g)

Devuelve el valor en radianes de angulo_g, que es un ángulo dado en grados. Ej: RADIANES(180)= π

GRADOS(angulo_r)

Devuelve el valor en grados de angulo_r, que es un ángulo dado en radianes. Ej: GRADOS(π ) = 180

Herramientas de Análisis de Datos.

Excel también provee un complemento de Herramientas de Análisis de Datos. Para utilizarlo tiene que

estar activo. Para verificar que dicho complemento está activo ir a la pestaña Datos y ver que en el grupo

Análisis figura un ícono llamado Análisis de Datos. En caso de no encontrar el ícono se debe habilitar el

complemento mediante un procedimiento que varía según la versión de Excel.

Al elegir la opción “Análisis de Datos” aparece la siguiente ventana para acceder a las distintas

funciones:

“Estadística descriptiva” genera un informe estadístico de los datos de entrada: media, error estándar de

la media, mediana, moda, desviación estándar, varianza de la muestra, etc.

“Histograma” tabula y grafica la distribución en frecuencia para el rango de datos indicado. Si no se

ingresan las clases para agrupación de los datos Excel asigna una clasificación. “Regresión” utiliza el método de cuadrados mínimos para ajustar una serie de pares de datos x,y con

una recta o un polinomio de grado mayor.

La siguiente tabla es un ejemplo de tabla de salida de la regresión. En la tabla se indican mediante

flechas los coeficientes del ajuste lineal con sus errores.

FISICA I

TRABAJO PRÁCTICO NO 1

Medición de tiempos – Péndulo Simple

Objetivo Comparar distintos métodos para la medición del período del péndulo. Estudiar el movimiento del péndulo y la dependencia del período de oscilación con la longitud. Determinar la aceleración de la gravedad. Introducción Un péndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un hilo sin masa e inextensible. Si la masa se aparta de su posición de equilibrio oscilará alrededor de dicha posición. Las oscilaciones se llevan a cabo sobre un plano fijo. La Figura 1 muestra las fuerzas que actúan sobre la masa. La fuerza de restitución, Fθ , es la componente

tangencial de la fuerza neta. Esta fuerza es proporcional a senθ. Si el ángulo θ es pequeño se verifica: senθ≈θ y sin ~F mg mgθ θ θ= − ≈ − . Para pequeños apartamientos de la posición de equilibrio, la fuerza de restitución es proporcional al apartamiento y opuesta a éste. Este es el criterio del movimiento armónico

simple que en el caso del péndulo simple tiene un período: 2 LTg

π= (1).

Si la amplitud de la oscilación no es pequeña la divergencia respecto del movimiento armónico simple puede ser considerable. En general el período del péndulo puede expresarse como una serie infinita, donde θm es el desplazamiento angular máximo:

Compruebe que para θm=10o el período dado por (2) es más largo que la aproximación dada por (1) en menos de 0.2%. Todos los relojes mecánicos mantienen la hora exacta porque el período del elemento oscilante del mecanismo permanece constante. El período de cualquier péndulo cambia con las variaciones de la amplitud, pero el mecanismo que mueve el reloj de péndulo mantiene la amplitud constante.

Figura 1Procedimiento experimental: Construya un péndulo como se muestra en la Figura 2, asegúrese de darle al péndulo la mayor longitud (L) posible que es cercana a los 2 m. Los extremos del hilo penden de puntos separados aproximadamente 20 cm. Esto facilita que el péndulo oscile siempre en el mismo plano y evita que en las mediciones con fotointerruptor la masa oscilante golpee el fotointerruptor. Elija una pesa y cuélguela del extremo inferior del hilo.

(2)

I) Medición del período del péndulo simple usando distintos métodos e instrumentos

Recuerde que el período es el tiempo que tarda el péndulo en recorrer la distancia que va entre un apartamiento máximo hacia un lado hasta volver al mismo extremo. Para un ángulo θm≈5-10o mida el período del péndulo usando las técnicas a), b) y c) que se indican a continuación. Para medir el ángulo θm se puede utilizar un transportador o determinarlo por trigonometría.

Figura 2 Figura 3

a) Medición con cronómetro

Usando un cronómetro realice la medición de un intervalo de tiempo asociado a 1, 5, 20 y 50 períodos del péndulo. Determine en cada caso el período y su error absoluto y relativo. ¿Hay discrepancia significativa entre los distintos valores de T? Las principales fuentes de incerteza en la medición de los intervalos de tiempo, son el tiempo de reacción humana para disparar y detener el cronómetro y la determinación del instante en que el péndulo comienza y finaliza la oscilación. Asuma un error en la medición de los intervalos de tiempo de aproximadamente 0.15 s debido a todas estas incertezas. Estos errores son estadísticos y son mayores que el error de apreciación del cronómetro. Registre el error de apreciación del cronómetro que está utilizando.

b) Medición con Fotointerruptor • Monte el fotointerruptor en el soporte (ver Figura 2). Con el fotointerruptor va a poder medir tiempos

con muy alta precisión (0.1 ms). El fotointerruptor (Figura 3) contiene un LED ubicado en uno de sus brazos que emite un haz infrarrojo muy colimado dirigido hacia un fotosensor ubicado en el otro brazo. Este sensor entrega una señal de salida baja cuando detecta el haz (estado puerta 0 desbloqueado). Cuando un objeto bloquea el haz, la señal de salida cambia y se trata de una señal alta (estado puerta 1 bloqueado). Asegúrese que cuando el péndulo está en su posición de equilibrio la pesa está entre los brazos del fotointerruptor interrumpiendo el haz infrarrojo de modo que el fototinterruptor está en estado bloqueado.

• Conecte el fotointerruptor a la interfase Vernier LabQuest o LabQuest Mini. Si se trata de un

fotointerruptor con salida digital conéctelo al canal DIG/SONIC. La interfase tiene que estar conectada a la PC a través de un cable USB.

• Ejecute el programa Logger Pro. El fotointerruptor debe ser reconocido por el programa y su símbolo

debe aparecer debajo de la barra de herramientas. Observe la barra de estado del programa en la parte superior de la pantalla. Bloquee el fotointerruptor con su mano y verifique que Estado Puerta aparece bloqueado. Quite su mano y el estado debería pasar a desbloqueado. Observe también como cambia el LED rojo de test del fotointerruptor.

• Abra el archivo TP1.cmbl que se encuentra en la carpeta c:\Física I. Con este archivo se configura el

programa de adquisición para esta práctica estableciendo el modo Cronometraje de péndulo. En este modo el tiempo se comienza a medir cuando la masa del péndulo bloquea el paso del haz en el fotointerruptor. Se ignora la siguiente interrupción y se finaliza la medición del tiempo al comenzar la tercera interrupción. De esta manera se mide el tiempo correspondiente a una oscilación completa. Para los datos de tiempo en segundos proporcionados por el programa considere solo 4 decimales, que corresponden a la precisión de 0.0001 s.

Figura 4. Pantalla de Logger Pro

• Adquiera los datos correspondientes a N=50 oscilaciones del péndulo y extraiga datos estadísticos con Logger Pro. Para realizar estas 50 mediciones del periodo establezca el modo de finalización de la toma de datos, haciendo: Experimento, Toma de datos, y Finalizar toma: Después de 201 eventos (201=4*N+1). El programa Logger Pro devuelve datos en forma de tabla y gráficos (Figura 4). En la columna de tiempos se registran los instantes de tiempo en que cambia de estado el fotointerruptor (1 bloqueado, 0 desbloqueado). La columna Estado (Puerta) indica el estado del fotointerruptor. Con estas dos primeras columnas se obtiene la columna llamada Periodo_C. Obtenga el valor medio, también llamado promedio o media (aritmética), x y la desviación estándar, σx, de los datos de los periodos. Estas cantidades se pueden obtener con el Logger Pro. Sobre el gráfico de Periodo vs Tiempo seleccione los N datos (con el botón izquierdo del mouse presionado, desplace el mouse sobre la región de interés) y luego seleccione Análisis en la barra de herramientas y después Estadística. Calcule también el error de la media: 𝜎!/ 𝑁.

• Para el análisis posterior con el programa Excel copie la columna Periodo_C que contiene los

períodos sin las filas vacías y péguela en una hoja de Excel. • Las mediciones se realizaron considerando que el período de oscilación del péndulo no varía

con el tiempo. Repita la medición realizada en el punto b) pero esta vez para 100 y 200 oscilaciones y compare la variación en los 3 casos. ¿Resulta la variación comparable con los errores determinados anteriormente?

c) Medición utilizando la aplicación de Windows GetTickCount

Mida manualmente 50 periodos de oscilación del péndulo. Una forma de hacerlo es usando la aplicación de Windows GetTickCount que devuelve el número de milésimas de segundo que han pasado desde que se inició Microsoft Windows. Esta función se puede usar mediante la herramienta de Visual Basic de Excel, y con ella se creó una aplicación que actúa como un cronómetro. Para utilizar esta aplicación abra la planilla Cronometro-Excel que se encuentra en la carpeta c:\Física I. En la planilla encontrará un botón para iniciar la aplicación del cronómetro manual cuyo disparador (start-stop) es la barra espaciadora. Registre los tiempos correspondientes a 50 períodos. La precisión de este cronómetro es 1 ms. Obtenga la media x y la desviación estándar, σx, de los datos utilizando las funciones de Excel y calcule también el error de la media 𝜎!/ 𝑁. Determine la fracción de mediciones comprendidas entre xx σ− y xx σ+ y compare con el valor que espera si la distribución de datos es normal. Puede obtener la fracción mencionada con Excel mediante la siguiente fórmula: (contar.si(B4:B53;"<"&( xx σ+ ))-contar.si(B4:B53;"<"&( xx σ− )))/N, donde el rango B4:B53 corresponde a los datos del período medidos y N es el número de datos.

Con las N mediciones del período de los puntos b) y c) construya los correspondientes histogramas. Para esto, utilice la función FRECUENCIA de Excel. Superponga sobre los histogramas la distribución normal o gaussiana, convenientemente normalizada. Como parámetros de la distribución normal utilice x y σx. Evalúe la distribución normal en los puntos x, que corresponden al centro de cada uno de los intervalos del histograma. Utilice para esto la función Excel: DISTR.NORM(x; x ;σx;Falso). Para normalizarla multiplique la función por NΔx, donde N es el

número de datos y Δx el ancho del intervalo elegido para construir el histograma. Compare los valores medios y desviaciones estándar, y los histogramas obtenidos con los datos de b) y c). Del análisis de los datos del punto c) ¿Qué estimación puede obtener del tiempo de reacción del experimentador? Bibliografía S. Gil y E. Rodríguez, Física re-Creativa, Buenos Aires - Prentice-Hall, 2001. Parker Moreland, Improving Precision and Accuracy in the g Lab, Phys. Teach. 38, 367 (2000)

FISICA I

TRABAJO PRÁCTICO NO 2

Rozamiento estático y dinámico Objetivo Estudiar las fuerzas de rozamiento estático y dinámico. Determinar los coeficientes de rozamiento estático y dinámico. Introducción Cuando un cuerpo se desplaza sobre la superficie de otro cuerpo, los dos cuerpos ejercen una fuerza de rozamiento entre ellos, ésta es la fuerza de rozamiento dinámico. La fuerza de rozamiento sobre cada cuerpo es de sentido opuesto a su movimiento relativo al otro cuerpo y por tanto se opone a este movimiento. Aún cuando no exista un movimiento relativo pueden existir fuerzas de rozamiento, en este caso se trata de fuerzas de rozamiento estático. Desarrollo Parte I: Determinación del coeficiente de rozamiento estático utilizando un plano inclinado. En la Figura 1 se observan las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, considerado como una partícula, que se encuentra en reposo sobre un plano inclinado. Por la segunda ley de Newton, cuando el cuerpo está en reposo 𝐹=0. Tomando las direcciones x e y a lo largo del plano y normal al plano, respectivamente, obtenemos que: 𝐹! = 𝑀!𝑔 sin𝜃 − 𝑓! = 0 (1) y 𝐹! = 𝑁 −𝑀!𝑔 cos𝜃 = 0 (2).

Si se va aumentando el ángulo de inclinación del plano se llega a un ángulo θm para el cual la fuerza de rozamiento estático alcanza su valor máximo: 𝑓!  !"# = 𝜇!𝑁 = 𝑀!𝑔 sin𝜃! (3) y a partir de allí el cuerpo comienza a deslizar por el plano. De las ecuaciones (2) y (3), obtenemos: 𝜇! = tan𝜃! (4).

Figura 1 Procedimiento Realice el montaje de la Figura 1. Mida la masa del cuerpo M1. Coloque el cuerpo sobre la plataforma inicialmente horizontal y comience a levantar lenta y firmemente la plataforma de un extremo, hasta que el cuerpo comience a deslizar. Mida y anote el ángulo de inclinación. Repita este procedimiento tres veces. Realice el promedio de los tres ángulos medidos, 𝜃𝑝𝑟𝑜𝑚, y estime su error. La tangente de este

ángulo 𝜃𝑝𝑟𝑜𝑚 es igual al coeficiente de rozamiento estático según la ecuación (4). Determine el coeficiente de rozamiento estático con su error. Parte II: Determinación del coeficiente de rozamiento estático utilizando un cuerpo apoyado sobre una superficie horizontal al que se le aplica una fuerza horizontal a través de una masa colgante. Realice el montaje de la Figura 2.

• Disponga el cuerpo de masa M1 sobre la superficie horizontal en el extremo opuesto a la polea. • Elija la longitud del hilo adecuada y conecte el cuerpo de masa M1 con una masa colgante M2,

pasando el hilo sobre la polea. Esta masa M2 inicial debe ser pequeña para que el sistema se mantenga en equilibrio.

• Asegúrese que el hilo esté paralelo a la superficie horizontal, para ello regule la altura de la polea.

Varíe la masa colgante M2 (agregando pesas pequeñas) hasta que se inicie el movimiento. Mida el valor de esta masa M2. Determine el valor de la fuerza de rozamiento estático máxima:  𝑓!  !"# = 𝜇!𝑁 = 𝜇!𝑀!𝑔 = 𝑀!  𝑔 y del coeficiente de rozamiento estático: 𝜇! = 𝑀!/𝑀!, compare con el valor obtenido en la Parte I. Parte III: Determinación del coeficiente de rozamiento dinámico de un cuerpo que se mueve en una superficie horizontal a causa de una masa colgante. Considere la Figura 2 donde la masa colgante es suficiente para producir la aceleración del sistema y ponerlo en movimiento partiendo desde el reposo. Aplicando la segunda ley de Newton a los cuerpos de masas M1 y M2 y despreciando la masa de la polea, se determina el coeficiente de rozamiento dinámico, µd , mediante la ecuación: µd = fd /(M1  𝑔) (5) donde fd es la fuerza de rozamiento dinámico dada por: fd=M2  𝑔−(M1+M2)a (6) . En el dispositivo experimental (Figura 2) la polea se encuentra entre los brazos del fotointerruptor y según la posición de sus rayos bloquea o permite el paso del haz infrarrojo emitido desde uno de los brazos del fotointerruptor hacia el detector ubicado en el otro brazo. Cuando el sistema está en movimiento, con el programa de adquisición se registran los tiempos correspondientes a los bloqueos y desbloqueos del fotointerruptor. En particular el intervalo de tiempo Δt entre dos bloqueos sucesivos corresponde al tiempo que tarda la polea en girar un ángulo de 36o, que es el ángulo entre dos rayos consecutivos de la polea que posee 10 rayos equiespaciados. Este desplazamiento angular corresponde a un desplazamiento lineal del sistema de: ∆𝑥 = !"

!" que se produce en ese intervalo de tiempo Δt (donde d

es el diámetro que corresponde a la canaleta de la polea por donde pasa el hilo). Por lo tanto, la velocidad media de los cuerpos de masas M1 y M2 en ese intervalo de tiempo Δt es:      𝑣! = ∆!

∆!    .

La función Tiempo de derivada(“Distancia”,”Tiempo”) del programa de adquisición de datos hace el cálculo de la velocidad al tiempo t a partir de estas velocidades medias (ver The Physics Teacher, Vol 35, April 1997, p. 220 para los detalles de este cálculo), donde t es el tiempo transcurrido desde que se inició el movimiento.

Procedimiento

1) Mida, con un calibre, el diámetro d de la polea en el interior de la canaleta, y calcule ∆𝑥 = !"!"

. 2) Utilice el mismo montaje experimental que en la Parte II. Mantenga siempre la misma posición

inicial para el cuerpo de masa M1. Marque esta posición sobre la superficie horizontal. 3) Conecte el fotointerruptor a la interfase Vernier LabQuest o LabQuest Mini. La interfase debe

estar conectada a la PC a través de un cable USB. 4) Elija como masa colgante, M2, una masa mayor (30 o 50 g más) que la determinada en la Parte

II. Mida esta masa colgante M2. 5) Ejecute el programa Logger Pro. 6) Abra el archivo TP2.cmbl que se encuentra en c:\Física I. Mediante este archivo se configura el

programa de adquisición para esta práctica. 7) El archivo TP2.cmbl que está utilizando tiene Δx =0.015 m que es un valor apropiado si está

usando un hilo en la polea. Si usted obtuvo un valor diferente cámbielo haciendo doble click en la columna Distancia o columna d. Luego vaya a Definición Columna, Parámetros, Editar Parámetros, deltaX y reemplace por el nuevo valor.

8) Ubique la masa M1 en la posición inicial, cuelgue la masa M2 sosteniendo la masa M1 y verifique que el hilo esté paralelo a la superficie horizontal.

9) Inicie la adquisición y luego libere el cuerpo de masa M1. 10) Detenga la adquisición cuando la masa colgante llegue al piso. Evite que el cuerpo M1 choque

contra la polea o el fotointerruptor. 11) El programa Logger Pro devuelve datos en forma de tabla y gráficos.

Examine los gráficos de distancia, velocidad y aceleración en función del tiempo y los ajustes de los datos.

12) Copie las columnas t, x y v y péguelas en una hoja de Excel para realizar un posterior análisis completo de los datos. En estas columnas se han eliminado las filas vacías y los tiempos corresponden a estado de puerta bloqueado.

13) Repita los puntos 8) a 12) para valores diferentes de la masa colgante. En total elija 5 masas colgantes M2 diferentes, con valores de M2 distribuidos en forma lo más uniforme posible en el rango de 50 g (o un valor mayor al determinado en la Parte II) a 300 g.

14) Al completar las mediciones guarde la planilla Excel donde transfirió los datos en su pendrive.

Análisis con Excel Para cada una de las masas colgantes, grafique usando Excel, los datos de v vs t y seleccione los correspondientes al movimiento anterior a que la masa colgante llegue al suelo. Estos datos deben caer sobre una recta. Ajuste estos datos con una recta. La pendiente de la recta corresponde a la aceleración del sistema. Determine esta aceleración con su error. Utilice la función ESTIMACION.LINEAL de Excel. Con el valor de la aceleración obtenga la fuerza de rozamiento dinámico usando (6) y el coeficiente de rozamiento dinámico usando (5). Determine el error absoluto de la fuerza de rozamiento y del coeficiente de rozamiento dinámico. Obtenga valores promedio para la fuerza de rozamiento y el coeficiente de rozamiento dinámico y determine los correspondientes errores absolutos. En el informe represente v versus t para las distintas masas colgantes en el mismo gráfico.

Figura 2  La ecuación (6) se puede escribir de la forma 𝑎(𝑀! +𝑀!) = 𝑀!𝑔 − 𝑓!  , donde se puede ver que 𝑎(𝑀! +𝑀!) es una función lineal de 𝑀! con pendiente 𝑔 y ordenada al origen -fd. Grafique 𝑎(𝑀! +𝑀!) vs 𝑀! y realice el ajuste de los datos con una recta. Utilice la función ESTIMACION.LINEAL de Excel y obtenga los parámetros de la recta con sus respectivos errores absolutos. Compare el valor obtenido de la pendiente con el valor aceptado para la gravedad 𝑔 = 9.8 m/s2, un valor menor o mayor de la pendiente puede deberse a que se usó un valor incorrecto de Δx en la evaluación de las velocidades. Incremente o disminuya el valor usado de Δx tratando de obtener el valor correcto de 𝑔. A partir de fd determine el coeficiente de rozamiento dinámico con su error. Compare estos valores de fd y µd con los obtenidos a partir del promedio de la serie de mediciones como se indicó más arriba.

Bibliografía S. Gil y E. Rodríguez, Física re-Creativa, Buenos Aires - Prentice-Hall, 2001.

FISICA I

TRABAJO PRÁCTICO NO 3

Rotación de Cuerpos Rígidos

Objetivo Estudio de las leyes de la dinámica de los sistemas en rotación. Determinación del momento de inercia de un cuerpo rígido. Análisis de la conservación del momento angular. Estudio de la variación de la energía cinética de rotación. Introducción Para un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo, la segunda ley de Newton aplicada a la rotación establece:

𝜏 = 𝐼𝛼 (1)

en donde 𝜏 es el torque neto aplicado al cuerpo rígido alrededor del eje de rotación, I es el momento de inercia del cuerpo rígido alrededor del eje de rotación y α es su aceleración angular. Por lo tanto si se conoce el torque aplicado y se mide la aceleración angular del cuerpo rígido se puede determinar su momento de inercia utilizando la ecuación (1). En esta práctica se aplica un torque a un disco a través de un hilo que se enrolla en el borde del mismo o en un tambor fijo al disco (figura 1). El hilo pasa por una polea y se tensa colgando una pesa de masa 𝑚 de su extremo libre. El torque neto sobre el disco es:

𝜏 = 𝑇𝑟 − 𝜏! = 𝐼𝛼

en donde T es la tensión del hilo, r es el radio de la circunferencia donde se enrolla el hilo y 𝜏! es el torque de la fuerza de rozamiento entre el disco y su eje de rotación. Aplicando la segunda ley de Newton a la pesa se tiene:

𝑚𝑔 − 𝑇 = 𝑚𝑎 Y considerando que, por condición de rodadura, la aceleración de la pesa es:  𝑎 = 𝛼𝑟 reemplazando en (1) se tiene:

𝑇𝑟 = 𝑚 𝑔 − 𝑟𝛼 𝑟 = 𝐼𝛼 + 𝜏! (2)

El torque de rozamiento se puede determinar a partir del movimiento de frenado del disco. Si llamamos 𝛼! a la aceleración angular del disco cuando el hilo se ha desenrollado completamente, entonces −𝜏! = 𝐼𝛼! y reemplazando en (2) se obtiene,

𝑚 𝑔 − 𝑟𝛼 𝑟 = 𝐼(𝛼 − 𝛼!) (3) y

𝐼 = ! !!!" !(!!!!)

(4). En esta práctica se medirán 𝛼 y 𝛼! para distintos valores de m y se determinará el momento de inercia a partir de (4). Se realizará también el ajuste lineal del torque de la tensión, 𝑚 𝑔 − 𝑟𝛼 𝑟, en función de (𝛼 − 𝛼!) para las distintas masas colgantes y se hallará el momento de inercia a partir de la pendiente de la recta de ajuste. El momento de inercia así obtenido se va a comparar con el calculado. Para el caso de un disco de masa M y radio R el momento de inercia alrededor de su eje es:

𝐼 = !!!

!

Si el disco tiene un orificio central de radio ro, entonces su momento de inercia es:

𝐼 = !(!!!!!!)!

Por otra parte, para un cuerpo rígido en ausencia de un torque externo neto su momento angular L se mantiene constante. Este es el principio de conservación del momento angular. En el caso de los discos que colisionan en la situación de la figura 2, las fuerzas de rozamiento que aparecen entre los discos generan torques iguales en módulo y opuestos sobre cada disco, y por lo tanto el momento angular total se conserva. El principio de conservación del momento angular establece:

 𝐿! = 𝐿!  𝐼!𝜔! = 𝐼!𝜔!

con 𝐼! = 𝐼 + 𝐼!, 𝐼! = 𝐼 momento de inercia del disco inicialmente en rotación, 𝐼! el momento de inercia del segundo disco y 𝜔!  , 𝜔! las velocidades angulares del sistema antes y después de la colisión. En esta práctica se examinará una colisión entre dos discos y se analizará la validez de la hipótesis de que el momento angular se conserva. Se analizará también la variación de la energía cinética de rotación del sistema en la colisión.

                            Figura 1 Figura 2 Método experimental En este trabajo se utilizará un dispositivo experimental que consiste de un disco que puede girar alrededor de su eje que se mantiene fijo (figuras 1 y 2). Sobre la cara superior del disco se fija una lámina circular que presenta diez sectores circulares oscuros iguales y equiespaciados que al girar el disco bloquean el paso del haz del fotointerruptor. El fotointerruptor se conecta a través de una interfase a la computadora. Cuando el disco está en movimiento, con el programa de adquisición Logger Pro se registran los tiempos correspondientes a los bloqueos y desbloqueos del fotointerruptor. En particular el tiempo ∆𝑡 entre dos bloqueos sucesivos corresponde al tiempo que tarda el disco en girar un ángulo de ∆𝜃 = !!

!" rad que es el ángulo entre dos sectores oscuros consecutivos (figura 1) y por lo tanto la

velocidad angular media en ese intervalo de tiempo ∆𝑡 es: 𝜔! = ∆!∆!

. La función Tiempo de derivada(“Ángulo”, “Tiempo”) del programa de adquisición hace el cálculo de la velocidad angular al tiempo t a partir de estas velocidades angulares medias (ver The Physics Teacher, Vol 35, April 1997, p. 220 para los detalles de este cálculo), donde t es el tiempo transcurrido desde que se inició el movimiento. En las Tablas I y II se presentan los datos de los discos disponibles en el laboratorio.

Primera Parte Disco en rotación con torque externo. Determinación del momento de inercia del cuerpo rígido. Procedimiento a) Monte el dispositivo experimental que se muestra en la figura 1. b) Ejecute el programa de adquisición Logger Pro. c) Abra el archivo TP3.cmbl que se encuentra en la carpeta c:\Física I. Mediante este archivo se

configura el programa de adquisición para esta práctica. d) Enrolle el hilo, hágalo pasar por la polea y cuelgue una pesa de masa m del extremo libre del hilo. e) Inicie la toma de datos y luego libere el sistema desde el reposo. El sistema se acelera y el disco

aumenta su velocidad angular hasta que la pesa llega al piso. A partir de este instante el disco se empieza a frenar por la acción de la fuerza de rozamiento entre el disco y el eje de rotación. La Figura 3 muestra el gráfico de velocidad angular vs tiempo producido por el programa Logger Pro.

f) Detenga la adquisición de datos cuando el disco deje de girar. Copie las columnas t, θ y 𝜔 y péguelas en una planilla Excel para su análisis posterior.

g) Repita el experimento para distintas pesas. En total utilice 5 pesas diferentes en el rango de masas de 50 g a 300 g.

h) Superponga un disco sobre el primero y repita los pasos d) a f) para 2 pesas distintas. i) De las mediciones de la velocidad angular del disco en función del tiempo determine la aceleración

angular 𝛼 del disco mientras la pesa está cayendo. En el informe presente en un mismo gráfico 𝜔 vs t (para tiempos anteriores a que la pesa llegue al suelo) para las distintas pesas.

j) De las mediciones de 𝜔 vs t luego que la pesa llegó al piso, determine la aceleración de frenado del disco, 𝛼!, asuma que esta aceleración es constante. (¿Es válida esta suposición para el disco que está utilizando? ¿Es lineal la relación entre la velocidad angular y el tiempo, durante el frenado del disco?).

k) Determine el momento de inercia del disco con su error utilizando la expresión (4) para cada pesa utilizada. Obtenga el promedio con su error.

l) Represente gráficamente  𝑚 𝑔 − 𝑟𝛼 𝑟 vs (𝛼 − 𝛼!). Ajuste estos datos con una recta, y=ax. Utilice la función ESTIMACION.LINEAL de Excel y obtenga a con su error, que de acuerdo con la ecuación (3) corresponde al momento de inercia del disco I.

m) Compare el momento de inercia obtenido con el calculado a partir de la masa y geometría del disco. n) Analice la magnitud del torque de rozamiento y diga si es o no mucho menor que el torque de la

tensión del hilo. o) De las mediciones efectuadas con el sistema de dos discos determine las aceleraciones 𝛼 y 𝛼! y

obtenga el momento de inercia del sistema formado por los dos discos utilizando la expresión (4) para cada masa colgante elegida. Con el promedio de los valores hallados de momento de inercia determine, por diferencia, el momento de inercia del disco agregado. Compare el momento de inercia del disco agregado con el calculado para un disco con un orificio central.

Figura 3. Velocidad angular en función de tiempo del disco en rotación. Se observan los dos tipos de movimiento el primero de pendiente positiva mientras la pesa está cayendo y el segundo cuando la pesa llegó al suelo y el disco se va frenando por el rozamiento con el eje. En la figura se muestran los ajustes lineales realizados con el programa Logger Pro. Segunda Parte Conservación del momento angular. Variación de la energía cinética de rotación. Procedimiento a) Utilice el dispositivo experimental que se muestra en la figura 2 empleando los mismos discos de la

Primera Parte. b) Ejecute el programa Logger Pro. c) Abra el archivo TP3.cmbl que se encuentra en c:\ Física I. Mediante este archivo se configura el

programa de adquisición para esta práctica. d) Haga girar el disco con la mano y luego inicie la toma de datos. e) Cuando el disco rota con una cierta velocidad angular 𝜔! deje caer sobre el mismo el otro disco. f) Espere que el sistema se detenga y finalice la adquisición de datos. g) Del gráfico de ω vs t del programa Logger Pro determine la velocidad angular del sistema

inmediatamente antes, 𝜔! e inmediatamente después, 𝜔! de la colisión de los discos. Determine el intervalo de tiempo ∆𝑡 entre el choque de los discos y el acoplamiento total de los mismos (Figura 4).

h) Repita los puntos d) a g) para distintos valores de 𝜔! (5 en total). i) Calcule el momento angular antes, 𝐿! = 𝐼!𝜔! y después, 𝐿! = 𝐼!𝜔! de la colisión. Determine la

diferencia, 𝐿! − 𝐿!  y la diferencia porcentual, calculada como !!!!!!!

×100. Grafique esta

diferencia porcentual en función de 𝜔!. Discuta la conservación del momento angular. j) Calcule la energía cinética de rotación antes, 𝐸!" =

!!𝐼!𝜔!! y después, 𝐸!" =

!!𝐼!𝜔!! de la colisión.

Analice su conservación. Determine la variación de la energía cinética de rotación: 𝐸!" − 𝐸!" =!!𝐼!𝜔!! −

!!𝐼!𝜔!! (5) y grafíquela en función de 𝜔!!, observe que estas magnitudes están relacionadas

linealmente. Ajuste estos datos con una recta y=ax. Utilice la función ESTIMACION.LINEAL de Excel y obtenga la pendiente con su error. Compare el valor de la pendiente, con el valor esperado en

el caso de conservación del momento angular en la colisión. Si el momento angular se conserva, 𝐿! = 𝐿!, 𝜔! =

!!!!𝜔! y reemplazando en (5), se obtiene: 𝐸!" − 𝐸!" =

!!𝐼!(

!!!!− 1)𝜔!!, o sea 𝐸!" − 𝐸!" es

función lineal de 𝜔!! con pendiente !!𝐼!(

!!!!− 1).

k) Calcule el módulo del torque de la fuerza de rozamiento dinámico media entre los discos 𝜏!"#  !"#, para cada choque, a partir de la variación del momento angular de cada disco y el tiempo ∆𝑡 entre el choque de los discos y el acoplamiento total de los mismos. Considerando el disco que gira inicialmente de momento de inercia 𝐼!, se tiene: |𝜏!"#  !"#| =

|∆!!|∆!

= 𝐼!|𝜔! − 𝜔!|/∆𝑡. Grafique 𝜏!"#  !"# en función de 𝜔!, y discuta su dependencia con la velocidad angular.

 

Figura 4. Variación de la velocidad angular en función del tiempo en el choque de dos discos. Las velocidades angulares, 𝜔! =21.04 rad/s y 𝜔! =15.75 rad/s, se determinan usando la función estadística de Logger Pro. Del ancho de la zona sombreada se determina el intervalo de tiempo ∆𝑡=0.2754 s desde el inicio de la colisión hasta el acople completo de los discos.

Bibliografía S. Gil y E. Rodríguez, Física re-Creativa, Buenos Aires - Prentice-Hall, 2001.  

 

FISICA I

TRABAJO PRÁCTICO NO 4

Principio de Arquímedes

Objetivo

Aplicar el método de Arquímedes para determinar densidades de sólidos y líquidos. Caracterizar la composición de materiales midiendo sus densidades.

Introducción El principio de Arquímedes (siglo III A.C) establece que: Si un cuerpo está total o parcialmente sumergido en un fluido, el fluido ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Esta fuerza se denomina fuerza de flotación o empuje E. En términos matemáticos el módulo de esta fuerza es: 𝐸 = 𝜌!"#$%&𝑉!"#$%&'()𝑔 (1) Si el cuerpo está completamente sumergido en el fluido, 𝑉!"#$%&'() = 𝑉!"#$%& =

!!"#$%&

!!"#$%& y

reemplazando en (1) se tiene: 𝜌!"#$%& = 𝜌!"#$%&

!!"#$%&!!

= 𝜌!"#$%&!!"#$%&

! (2)

En esta práctica se va a usar el principio de Arquímedes para medir la densidad de un líquido (agua) y las densidades de distintos sólidos. La figura 1 muestra un cuerpo sumergido parcialmente en un fluido y suspendido mediante un hilo que se fija a un sensor de fuerza.

Figura 1   Figura 2

La fuerza que registra el sensor de fuerza es la tensión del hilo. La figura 2 muestra las fuerzas aplicadas al cuerpo cuando éste se sumerge en el fluido. Como el cuerpo está en equilibrio se cumple:

Paparente+E–Pcuerpo =0 De donde se puede determinar el empuje por diferencia de las medidas del sensor de fuerza: Pcuerpo,

cuando el cuerpo está completamente en el aire y Paparente cuando el cuerpo está sumergido: E= Pcuerpo– Paparente

Procedimiento

I) Determinación de la densidad de un fluido.    

1) Utilice un cilindro macizo. Mida con un calibre el diámetro del cilindro y adose al cilindro una escala lateral para luego medir la altura h del cilindro que se encuentra sumergida.

2) Monte el dispositivo experimental como se muestra en la figura 1. Coloque agua en el recipiente, asegúrese que el agua no se derrame cuando el cilindro se sumerge completamente.

3) Conecte el sensor de fuerza a la interfase LabQuest o LabQuest mini, y esta a su vez a la computadora a través del cable USB. Ejecute el programa Logger Pro. El sensor de fuerza tiene dos rangos de trabajo; utilice el rango de 10 N; en este rango no debe colgar cuerpos de peso mayor que 1 kg. La precisión en este rango es de 0.01 N.

4) Antes de medir con el sensor de fuerza este debe estar calibrado. Para ello en Experimento seleccione Calibrar. Elija como unidades Newton (N). Luego sin fuerzas aplicadas al sensor de fuerza (no debe estar colgado el cilindro al sensor) espere que se estabilice la lectura de voltaje y asigne 0 a la fuerza y haga click en conservar. Luego aplique una fuerza conocida al sensor colgando una pesa de masa conocida del gancho del sensor. Para la calibración en el rango de 10 N se recomienda el uso de una pesa de 200 g (1.96 N) o 300 g (2,94 N) para este segundo punto de calibración. Introduzca el valor de la fuerza aplicada en Newton y haga click en conservar. El sensor de fuerza queda calibrado en Newton.

5) Cuelgue el cilindro del gancho del sensor de fuerza, sin sumergirlo en el agua. Con el cuerpo en equilibrio el sensor de fuerza mide el peso del cuerpo, Pcuerpo.

6) Inicie la toma de datos y registre las lecturas del sensor durante un tiempo de 10 a 20 s. De los datos medidos elija una zona de lecturas estables y determine el promedio de las mismas aplicando Analizar y Estadísticas. Determine también el error de este promedio.

7) Sumerja el cilindro en el agua variando la altura sumergida, h, en pasos de aproximadamente 1 cm. Determine el error de h. Para cada valor de h determine el peso aparente del cuerpo Paparente con su error siguiendo el mismo procedimiento que en 6) y calcule el empuje, E= Pcuerpo– Paparente con su error. Obtenga en total 10 pares de datos h, E.

8) Analice los datos con Excel. Realice un gráfico de E vs h y discuta el significado físico de la pendiente en el caso que la relación entre las variables fuese lineal. Incluya en el gráfico los errores en los datos. Para el caso de observar un comportamiento lineal realice el ajuste de los datos utilizando la función ESTIMACION.LINEAL de Excel. De este análisis obtenga la densidad del líquido del recipiente con su error y compare con el valor esperado para la densidad del agua.

II) Medición de la densidad de un cuerpo más denso que el agua. Elija un cuerpo más denso que el agua. Mida en primer lugar el peso del cuerpo, Pcuerpo con su error, siguiendo los pasos I 5) y 6). Luego sumerja completamente el cuerpo en el agua y mida el peso aparente, Paparente, con su error y obtenga el empuje por diferencia, E= Pcuerpo– Paparente.

En total elija 5 cuerpos de distintos materiales y determine su densidad con su error utilizando la ecuación 2). En el caso de cuerpos de elementos puros compare las densidades medidas con las tabuladas en algún Handbook de química.

III) Medición de la densidad de un cuerpo menos denso que el agua. El cuerpo puede ser un trozo de madera o telgopor. Primeramente mida el peso del cuerpo, Pcuerpo con su error. Luego ate una pesa al cuerpo. Esta pesa tiene que ser capaz de hundir al cuerpo.

Cuelgue el conjunto del sensor de fuerza. Sumerja solamente la pesa en agua (Figura 3), y determine la lectura del sensor de fuerza, sea P1 esta lectura, entonces:

P1=Pcuerpo + Ppesa – Epesa , donde Epesa es el empuje que hace el agua sobre la pesa. A continuación sumerja también el cuerpo (Figura 4) y vuelva a medir con el sensor de fuerza, sea P2 esta última medida, entonces:

P2=Pcuerpo – E + Ppesa – Epesa , donde E= P1– P2 es el empuje que actúa sobre el cuerpo. Determine la densidad del cuerpo con su error utilizando la ecuación 2). Usando esta técnica determine la densidad de un trozo de madera o telgopor, u otro objeto menos denso que el agua. A lo largo de todas las mediciones evite que el cuerpo o la pesa toquen las paredes o el fondo del vaso.

Figura 3 Figura 4 Bibliografía

S. Gil y E. Rodríguez, Física re-Creativa, Cap. 4, Buenos Aires - Prentice-Hall, 2001.