UNIVERSIDAD ISRAELUNIVERSIDAD ISRAELMETODOS NUMERICOS

Carlos ArévaloJorge Mena

TEORIA DE ERRORES

Cuando se mide una cantidad, ya directa, ya indirectamente, la medida que se

obtiene no es necesariamente el valor exacto de tal

medida, ya que el resultado obtenido estará afectado por errores debidos a

multitud de factores.

En estos casos es necesario estimar el error cometido al efectuar una medida o serie de

medidas. El conjunto de reglas matemáticas dedicado a su estudio se conoce como teoría

de errores, y resulta imprescindible tanto para sacar todo el partido posible a un conjunto de

datos experimentales como para evaluar la

fiabilidad de éstos.

Error de truncamientoError de truncamientoSe originan al emplear al número Se originan al emplear al número finito de términos para calcular un finito de términos para calcular un valor que requiere un número valor que requiere un número infinito de términos. Por ejemplo, infinito de términos. Por ejemplo, una expresión que permite una expresión que permite determinar de forma exacta el valor determinar de forma exacta el valor del número de Euler (base de los del número de Euler (base de los logaritmos naturales) a través de logaritmos naturales) a través de una serie de MacLaurin esuna serie de MacLaurin es

Sin embargo, una aproximación a dicho valor, puede obtenerse a través de su expresión

finita:

Es claro que esta expresión finita es manejable computacionalmente hablando, al

contrario que la fórmula expresada en su forma infinita.

Error de redondeoError de redondeo

Se origina por el hecho de que una computadora sólo puede representar un número finito de términos. Para expresar una cantidad con un desarrollo decimal infinito, se tiene que prescindir de la mayoría de ellos. Por ejemplo, el número π = 3.14159265...., tiene un desarrollo decimal infinito no periódico. Por lo tanto, para fines de cálculo, sólo se toman algunos de sus dígitos. Esto se realiza a través de dos estrategias:

Redondeo. Prescinde de cierto número de cifras significativas y realiza un ajuste, sobre la última cifra

no descartada : π ≈ 3.1416 Corte o poda: Prescinde de cierto número de cifras

significativas sin realizar un ajuste sobre la última cifra no descartada π ≈ 3.1415

En aplicaciones actuariales, ciencias e ingeniería, se recomienda el redondeo, ya que el corte o

poda implica la pérdida de información.

Ejemplo.

Considere la aproximación de π ≈ 3.14159265. Realice el corte y redondeo a:

a) Dos dígitos significativos.

b) Tres dígitos significativos.

c) Cuatro dígitos significativos.

d) Cinco dígitos significativos.

e) Seis dígitos significativos.

f) Siete dígitos significativos.

g) Ocho dígitos significativos.

Solución:Solución:

No. de dígitos Corte Redondeo

Dos 3.1 3.1

Tres 3.14 3.14

Cuatro 3.141 3.142

Cinco 3.1415 3.1416

seis 3.14159 3.14159

Siete 3.141592 3.141593

ocho 3.1415926 3.1415927

Una vez que se ha establecido la clasificación del error (es decir, las dos fuentes de error en los métodos numéricos), se procede a

definir los conceptos de error absoluto verdadero, error absoluto relativo, error

absoluto aproximado y error relativo aproximado, todos ellos como una suma o consecuencia de los errores de redondeo y truncamiento. Los siguientes conceptos de error pueden emplearse como criterios de paro y medidas de precisión de los métodos

numéricos.

Error absoluto verdaderoError absoluto verdadero

Supóngase que es una aproximación a p. El error absoluto verdadero se define con la siguiente

expresión:

Esta definición de error, lo cuantifica en términos brutos. No obstante, una medida que puede describir con mayor detalle o proporción el error, es aquella

que lo expresa en términos porcentuales. Para ello se emplea el error verdadero relativo.

Error relativo verdaderoError relativo verdadero Supóngase que es una aproximación a p. El

error relativo verdadero se calcula con la siguiente expresión:

El resultado suele expresarse en términos porcentuales.