Teoría de Conjuntos

Definición

La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.

¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es la agrupación de objetos que se consideran agrupando formando un todo. Por ejemplo, conjunto de alumnos de una clase, conjunto de letras del abecedario.

Un conjunto puede ser determinado de 2 maneras. Por Extensión y por Comprensión

Por ExtensiónSe dice de un conjunto está determinado por extensión si y solo si se nombran todos los elementos que lo constituyen. En este caso solo se escriben los elementos entre 2 llaves.

Ejemplo:

El conjunto A= {2, 4, 6, 8,10} está escrito por extensión, ya que se pueden enumerar uno a uno todos los elementos del conjunto.

Por ComprensiónSe dice que un conjunto está determinado por comprensión so y solo si se da la propiedad que caracteriza a todos los elementos del Conjunto.Ejemplo:A = { x/x es una vocal }B = { x/x es un número par menor que 10 }

Clases de conjuntos

Conjunto Finito: Es el conjunto al que se le puede determinar su cardinalidad o puede llegar a contar su último elemento.

Ejemplo:

M= {*/x es divisor de 24}M= {1,2,3,4,6,8,12,24}

Conjunto Infinito: Es el conjunto que, por tener muchísimos elementos, no se le puede llegar a contar su ultimo elemento.

Ejemplo:

A= {*/x sea grano de sal}

Conjunto Vacío: Es el conjunto cuya cardinalidad es cero ya que carece de elementos. El símbolo del conjunto vacío O o { }.

Ejemplo:

C={*/x sea habitantes del sol}

Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un elemento. Su cardinalidad es uno (1).

Ejemplo:

D={*/x sea vocal de la palabra "pez"}

Operaciones con conjuntos

Unión de Conjuntos

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

A U B = {x / x € A o x € B}

Ejemplo:

Dados los conjuntos:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4} y C = {5, 6, 8}

Encontrar

a) A U C

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y C = {5, 6, 8}

A U C = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}

b) B U C

B = {0, 2, 4} y C = {5, 6, 8}

B U C = {0, 2, 4, 5, 6, 8}

Intersección de Conjuntos

La intersección es el conjunto formado por los elementos que son comunes entre dos o más conjuntos dados. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:

A B = {x / x € A y x € B}

Ejemplo:

Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 7} y C = {2, 4}

Encontrar

a) A C

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y C = {2, 4}

A C = {2, 4}

 a) B C

B = {3, 5, 7} y C = {2, 4}

C B C= {O}

Diferencia de Conjuntos

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.

La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:

A - B = {x / x € A y x B}

Ejemplos

Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e} y C = {d, f, g}

a) A - C

A = {a, b, c, d, e} y C = {d, f, g}

A - C = {a, b, c, e}

b) B - C 

B = {a, e} y C = {d, f, g}

B - C = {a, e} 

Propiedades de la teoría de Conjuntos

PROPIEDADES UNION INTERSECCION

1.- Impotencia A  A = A A  A = A

2.- Conmutativa A  B = B  A A  B = B  A

3.- Asociativa A  ( B  C ) = ( A  B )  C A  ( B  C ) = ( A  B )  C

4.- Absorción A  ( A  B ) = A A  ( A  B ) = A

5.- Distributiva A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )

6.- Complementariedad A  A' = U A  A' = 

Bibliografía

http://probabilidadzl.weebly.com/probabilidad/teoria-de-conjuntos http://probabilidadestadistic.blogspot.com/2010/08/teoria-de-

conjuntos.html http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/

marco_conjuntos.htm Libro “Algebra Moderna” de Sebastián Lazo Q