UASLP

FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA CIVIL

Estructuras de Acero

“TEORIA DE COLUMNAS (EULER)”

Torres Jara Ana Miguel 0162112

Fecha de Entrega: 08/Octubre/2012

Ing. Leopoldo Stevens Amaro

COLUMNAS

•Columnas: los miembros largos que soporta una carga de compresión axial.

a ) C a r g a   e s   c o n c é n t r i c a (aplicada a lo largo deleje centroidal).b ) C a r g a e x c é n t r i c a ( a p l i c a d a paralelamente al eje del miembro centroidal, pero a cierta distancia del mismo).

Si se aplicara una fuerza de compresión gradualmente creciente a la barra larga, fallaría porque se presentaría repentinamente una grande flexión lateral. Esta deflexión lateral llamado pandeo es producida por la inestabilidad de la barra cuando se alcanza una cierta carga critica.

Tipos de falla1. Las  co lumnas cor tas fa l lan por ap las tamiento del material.2 . L a s c o l u m n a s l a r g a s f a l l a n p o r p a n d e o .3 . L a s c o l u m n a s i n t e r m e d i a s f a l l a n p o r   u n a combinación de pandeo y aplastamiento.

Las columnas cortas pueden analizarse y diseñarse con la

formula elemental σ= PA

.

En las columnas largas e intermedias debe que considerar el fenómeno de pandeo.

Formula de Euler para columnas

•La base de la teoría de las columnas es la fórmula de Euler, que fue publicada en 1757por Leonardo Euler, un matemático suizo.•La formula de Euler es válida solamente para columnas largas.•La carga crítica de pandeo es la carga axial máxima que una columna puede soportar cuando está a punto de pandearse.

Suposiciones

Supongamos que esta columna inicialmente es• Recta, homogénea, y de sección transversal constante en toda su longitud.• Se aplica la ley de Hooke y los esfuerzos son inferiores al límite de proporcionalidad del material.• Cuando la columna es cargada con la carga crítica de pandeo.

Puede tener 2posiciones de equilibrio:1. La posición recta.2. La posición ligeramente deformada.

•Como una columna ideal (fig. a) es recta, teóricamente la fuerza axial P podría ser incrementada hasta que ocurra la falla, sea por fractura o por fluencia del material.

•Cuando se alcanza la carga critica Pcr, la columna está a punto de volverse inestable, de manera que una pequeña fuerza lateral (fig.b), ocasionara que la columna permanezca en la posición deflexionada cuando F deje de actuar (fig. c).

•Cualquier reducción leve de la carga axial P a partir de Pcr permitirá que la columna se enderece.•Cualquier incremento leve de P, más allá de la Pcr, ocasionara incrementos adicionales en la deflexión lateral.•Para determinar la carga critica y la forma pardeada de la columna, se aplicara la relación, el momento interno en la columna con su forma deflexionada.

Esta es una ecuación diferencial de segundo grado homogénea con coeficientes constantes. La solución general es:

v=C1 sin(√ PEI x)+C2cos (√ PEI x)cuando x=0 , v=0

0=C1 (0 )+C2 (1 )

C2=0

c uando x=L ,v=0

C1sin(√ PEI )L=0Este ecuación se satisface cuando C1 =0 en tal caso v=0, la cual es una solución trivial que requiere que la columna siempre permanezca recta, aun cuando la carga ocasione que la columna se vuelva inestable.

La otra posibilidad es que

sin(√ PEI )L=0La cual se satisface, cuando (√ PEI )L=nπP=n

2 π2EIL2

Donde n=1,2,3….

La carga critica (carga de Euler) para la columna es

Pcr=π 2EIL2

DondeE modulo de elasticidad del materialI menor momento de inercia de la sección transversal de la columna.L longitud no soportada de la columna, cuyos extremos están articulados.

La formula pandeada correspondiente

v=C1 sinπxL

Formulas de Euler para otras condiciones de los extremos

• La longitud efectiva es la distancia entre los puntos de inflexión de la curva deformada que adopta el eje de la columna.

Pcr=π 2EI(kL)2

Donde k es el factor de longitud efectiva.

Esfuerzo Crítico

I=Ar2DondeA área de la sección transversal r radio de giro de la sección transversal

Pcr=π 2E(A r2)

L2

( PA )cr

= π2E

( Lr )2

σ cr=π2E

(Lr )2

Donde

σ cr Esfuerzo critico, esfuerzo promedio en la columna precisamente antes de que se pandee. E modulo de elasticidad del material.L longitud no soportada de la columna cuyos extremos están articulados.

R radio de giro mínimo de la columna determinado por r=√ IA donde I es el

menor momento de inercia de la sección transversal de la columna. Lr

Relación de esbeltez, una medida de la flexibilidad de la columna, sirve para

clasificar a las columnas como largas, intermedias o cortas.

Los valores de los esfuerzos que son mayores que el límite de proporcionalidad no son validos.

Pcr=π 2Et I

L2

σ cr=π2E

(Lr )2

Et Es el modulo tangente de elasticidad, es la pendiente de la curva esfuerzo-deformación unitaria correspondiente al valor del esfuerzo donde ocurre el pandeo.

Las c o l u m n a s c o r t a s fallan por aplastamiento del material. La carga máxima que puede soportar,  P=σA.

Las c o l u m n a s l a r g a s   fallan por pandeo y sus cargas máximas

que puede calcular usando la ecuación de Euler, Pcr=π 2EI(kL)2

Las columnas intermedias  fallan por una combinación de pandeo y aplastamiento. La carga máxima que puede soportar es calculado usando las formulas empíricas.

Formulas para columnas intermedias

Las formulas de diseño se obtienen tomando las características de la curva σ

vs Lr

para el material que se está

considerando y escribiendo la ecuación de la curva, incluyendo un factor de seguridad adecuado en la expresión.

•Si se va a diseñar una columna de un edificio, las especificaciones del American Insitute of Steel Construction o las del  AmericanConcrete Institute proporcionan las formulas, así como las restricciones impuestas para su uso.•La formula de J.B.Johnson es usada para columnas en diseño de maquinas.

Formulas del AISC para columnas• El American Insitute of Steel Construction(AISC) en sus especificaciones establece las formulas siguientes para los esfuerzos admisibles en miembros a compresión cargados axialmente.

Cuando kLr

es menor que C cpara columnas cortas e intermedias, kLr

<120, el

esfuerzo admisible es,

σ a=[ 1−( kLr )

2

2Cc2 ]σ yFs

Donde

σ a Esfuerzo admisible, en lb

plg2 o en Pa.

σ y Esfuerzo al límite de fluencia, en lb

plg2 o en Pa.

Fs Factor de seguridad

Cuando kLr

excede a C cpara columnas largas, 121<kLr

<200, el esfuerzo

admisible es,

σ a=149000000

( kLr )2

Este es la ecuación de Euler con E=149000000 lbplg2

y un factor de seguridad

constante de 1.92.

Esfuerzo al límite de influencia para acero estructural dulce 36000lb

plg2.

Diseño de ColumnasProcedimiento•Se escogen las dimensiones de la columna.

•Se determina el esfuerzo en esta columna a partir de σ= PA

.

•Se calcula el esfuerzo admisible para esta columna mediante la fórmula usada para el esfuerzo de la columna.•Se comparan los esfuerzos de los pasos 2 y 3.Si el esfuerzo del paso 2 es mayor que el del paso 3, se rediseña, usando otros dimensiones (aumenta las dimensiones) para la columna. Si el esfuerzo del paso 2 es considerablemente menor que el del paso 3, se rediseña (con dimensiones reducida) para lograr una mejor aproximación.•Se continúa este procedimiento de tanteos hasta que se obtiene una sección satisfactoria.