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TEORIA DE COLAS

Investigación Operativa II

TEORIA DE COLAS

Las COLAS o LINEAS DE ESPERA son realidades cotidianas:

➢Personas esperando para realizar sus transacciones ante unacaja en un banco,

➢Estudiantes esperando por obtener copias en lafotocopiadora,

➢Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje ocontinuar su camino, ante un semáforo en rojo,

➢Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre lademanda del servicio y la capacidad del sistemapara suministrarlo.

TEORIA DE COLAS

Los Modelos de Colas son de utilidad tanto en las áreas de Producción como en las de Servicio.

Los Análisis de Colas relacionan:

La longitud de la línea de espera,

El promedio de tiempo de espera

y otros factores como:

La conducta de los usuarios a la llegada y en la cola.

Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento deestos sistemas (la atención de los cajeros de un banco, lasactividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, elcontrol de las operaciones en planta, etc.)

TEORIA DE COLAS

Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones,los pacientes que esperan a ser atendidos por el odontólogoo las máquinas dañadas esperando su reparación, tienenmucho en común.

Ambos (gente y máquinas) requieren de recursoshumanos y recursos materiales (como equipos dereparación), para que se los cure o se los haga funcionarnuevamente.

Costos de Servicio y Costos de Espera

Debe haber un equilibrio entre el COSTO deproporcionar un buen SERVICIO y el COSTO deltiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina a seratendidos.

Es deseable que las colas sean lo suficientemente cortascon la finalidad de que los clientes no se irriten o se retirensin utilizar el servicio, o lo usen pero no retornen más.

Es factible tener una longitud de cola razonable enespera, que sea balanceada, para obtener ahorrossignificativos en el COSTO DEL SERVICIO

Costos de Servicio vs Nivel de Servicio

Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejorael NIVEL DE SERVICIO. Ciertos centros de serviciopueden variar su capacidad teniendo personal omáquinas adicionales que son asignados para incrementarla atención cuando crece la cantidad de clientes.

En supermercados se habilitan cajas adicionalescuando es necesario.

En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, secontrata personal adicional para atender en ciertasépocas del día o del año.

Costos de Servicio vs. Nivel de Servicio

Cuando el servicio mejora, entonces, disminuye el costo de tiempo perdido en las líneas de espera.

Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas.

En ciertos servicios (ESSALUD, Hospitales, Bancos) el costo de la espera puede ser intolerablemente alto.


Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio

Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

Costo por TIEMPO DE ESPERA

Costo por proporcionar el SERVICIO

Costo

Costo Total Mínimo

COSTO TOTAL ESPERADO

Elementos de un Sistemas de colas

Un Sistema de colas está compuesto de tres elementos:

1. Las llegadas, arribos o ingresos al sistema

2. La cola

3. El servicio

Estos tres componentes tienen ciertas características quedeben ser examinadas antes de desarrollar el aspectomatemático de los modelos de cola.

La fuente de ingreso que genera las llegadas o arribos de clientes al servicio tiene tres características principales:

a. Tamaño de la población que arriba

b. Patrón de llegada a la cola

c. Comportamiento de las llegadas.

1.a.Tamaño de la Población:

El tamaño de la población puede ser:

infinito (ilimitado) o

limitado (finito).

Elementos de un Sistemas de colas1. CARACTERISTICAS DE LAS LLEGADAS:

1.b. Patrón de llegada al sistema:

Los clientes arriban para ser atendidos de una maneraprogramada (por ejemplo, un paciente cada 15minutos) o de una manera aleatoria.

Se consideran que los arribos son aleatorios cuandoéstos son independientes de otros y su ocurrencia nopuede ser predicha exactamente.

Frecuentemente, en problemas de colas, el número dearribos por unidad de tiempo puede ser estimado pormedio de la distribución discreta Poisson.


DISTRIBUCION POISSON:

P(x) = Probabilidad de x llegadas por unidad de tiempo

x= número de llegadas por unidad de tiempo

= tasa promedio de llegadas o arribos

e = 2.71828

,...4,3,2,1,0_!

xparax

exP

x


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

DISTRIBUCION 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.0120 0.0034 0.0009 0.0002

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

PR

OB

AB

ILID

AD

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TASA PROMEDIO DE LLEGADAS = 2


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

DISTRIBUCION 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954 0.1954 0.1563 0.1042 0.0595 0.0298 0.0132

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

PR

OB

AB

ILID

AD

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TASA PROMEDIO DE LLEGADAS = 4


1.c. Comportamiento de las llegadas:

La mayoría de los modelos de colas asume que los clientestienen mucha paciencia, que esperan en la cola hastaser servidos y que no se pasan entre colas.Desafortunadamente, en la vida real, esto no siempre secumple, mucha gente se impacienta por la espera y seretiran de la cola sin completar su transacción.

Esta situación sirve para acentuar el estudio de la teoríade colas y el análisis de las líneas de espera, ya que uncliente no servido es un cliente perdido y hace malapropaganda al negocio.


La LINEA DE ESPERA o COLA, es el segundo componente deun sistema de colas.

La característica principal de las colas es su longitud, la cualpuede ser limitada o ilimitada.

Otras característica de las colas se refiere a la disciplina de lacola mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayoríade los sistemas usan la regla FIFO:

Primero en Entrar Primero en Salir (PEPS o FIFO First In First Out).

Una alternativa es LIFO (Last In First Out)

Elementos de un Sistemas de colas2. CARACTERISTICAS DE LAS COLAS:

El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO.

En él son importantes dos propiedades básicas:

1. La configuración del sistema de servicio. Los sistemaspara el servicio son clasificados en función del numero decanales (servidores) y el número de fases (número deparadas o etapas que se deben realizar durante elservicio).

2. Los patrones de tiempos de servicio, son similares a lospatrones de llegada, pueden ser constantes oaleatorios.

Elementos de un Sistemas de colas3. CARACTERISTICAS DEL SERVICIO:


3.1. Configuraciones básicas para el Servicio

Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor.

Sistema de cola multicanal (múltiples servidores) : porejemplo, los cajeros de un banco en los cuales hay una solacola.

Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el clienterecibe el servicio en una sola fase, etapa ó estación y luegoabandona el sistema. Un restaurante de comida rápida en elcual el empleado que toma la orden también le entrega elalimento y cobra, es un sistema de una sola fase

Sistema multifase: por ejemplo, cuando se pone la orden enuna estación, se paga en una segunda y se retira lo adquiridoen una tercera.

3.2. Distribución del Tiempo de Servicio

Los patrones de tiempos de servicio son similares a lospatrones de llegada. Pueden ser constantes oaleatorios.

El tiempo de servicio distribuído aleatoriamente esel caso más común, se representa por la DISTRIBUCIONDE PROBABILIDAD EXPONENCIAL de la forma e-x

para x 0. Esta es una hipótesis matemática muyconveniente, cuando los llegadas siguen la distribuciónde Poisson.


Los modelos de colas ayudan a tomar decisiones parabalancear los costos de servicio con los costos de espera.

Estos son los principales factores que se evalúan:

1. Tiempo promedio en la cola

2. Longitud promedio de cola (cantidad de clientes)

3. Tiempo promedio en el sistema:(tiempo de espera en la cola + tiempo de servicio)

4. Número de clientes promedio en el sistema

5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío

6. Factor de utilización del sistema (de los servidores)

7. Probabilidad de la presencia de un número específico declientes en el sistema o en la cola.

Medición del Rendimiento de las Colas

Notación de los Modelos de Colas

Kendall (1953) propuso un sistema de notación que hasido adoptado universalmente.

Una versión resumida de esta notación está basada en elformato (A/B/s):(PEPS/N/K). Estas letras representanlas siguientes características del sistema:

A = Distribución de tiempo entre llegadas.

B = Distribución del tiempo de servicio

s = número de servidores paralelos

N = Capacidad del sistema

K = Tamaño de la población.

(A/B/s):(PEPS/N/K)

Los siguientes son símbolos comunes para A y B:

M = exponencial o Markoviano (1)

D = constante o determinística

G = General

A causa de las suposiciones de distribución exponencial en los procesos de llegada, éstos modelos son llamados MARKOVIANOS


➢ Por ejemplo: (M/M/1):(PEPS//) significa un solo servidor, capacidad de cola ilimitada y población de arribos potenciales infinita. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente.

➢ Cuando N y K son infinitos, pueden ser descartados de la notación. Así, (M/M/1):(PEPS//) es reducido a M/M/1.


Ejemplo (M/M/1):(PEPS/N/ )

➢ En una sala de espera que tiene capacidad para 3 personas.Las personas arriban al sistema de acuerdo con una tasa de 8por hora con distribución Poisson y son atendidas por unarecepcionista en promedio en 10 minutos con distribuciónexponencial. Si alguien llega y el sistema está lleno, se retirasin entrar.

➢ s=1 servidor

➢ N=3 (capacidad del sistema)

➢ K=

➢ En una sala de espera que tiene capacidad para 3 personas.Las personas arriban al sistema de acuerdo con una tasa de 8por hora con distribución de Poisson y son atendidas en unasola cola por dos recepcionistas en promedio 10 minutos condistribución exponencial para cada una de ellas. Si alguienllega y el sistema esta lleno, se retira sin entrar.

Ejemplo (M/M/s):(PEPS/N/ )

➢ s=2 servidores

➢ N=3 (capacidad del sistema)

➢ K=

➢ La llegada de barcos al muelle de un puerto, sigue unadistribución de Poisson con una tasa promedio de 20 barcospor semana. El muelle cuenta con 3 espacios, cada uno paraun barco, donde se realizan las labores de descarga con susrespectivas grúas en un tiempo con distribución exponencialde media 1 día. Si un barco llega y los espacios estánocupados, espera en mar abierto hasta que llegue su turnode ocupar un espacio para la descarga.

Ejemplo (M/M/s):(PEPS/ / )

o simplemente M/M/s

➢ s=3 servidores

➢ N= (capacidad del sistema)

➢ K=

Modelo M/M/1

➢ Asumimos que existen las siguientes condiciones:

1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada clienteque llega espera a ser servido sin importar la longitud de lacola.

2. Las llegadas son independientes de llegadas anteriores, pero elpromedio de llegadas es conocido.

3. Las llegadas son descritas mediante la distribución deprobabilidad de Poisson y proceden de una población muygrande o infinita.

4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y sonindependientes entre sí, pero su tasa promedio es conocida.

5. Los tiempos de servicio se representan mediante ladistribución de probabilidad exponencial.

6. La tasa de servicio es más rápida que la tasa de llegadas.

Modelo M/M/s

Asumimos que existen las siguientes condiciones:

1. Dos o más servidores o canales están disponibles para atender alos clientes que arriban.

2. Los clientes forman una sola cola y se los atiende deacuerdo al servidor que quede libre.

3. Las llegadas siguen la distribución de probabilidad dePoisson y los tiempos de servicio son distribuidosexponencialmente.

4. Los servicios se hacen de acuerdo a la política primero enllegar primero en ser servido (PEPS) y todos los

servidores atienden a la misma tasa.5. La tasa de servicio conjunta es más rápida que la tasa de

llegadas.

Fórmulas de Little

pλ/LW

pqq λ/LW

pSs λ/LW

W = Wq+Ws

L = Lq+ LS

/μλρ P

λλ: Pλλ P

n

1n

nnp

Subíndice q: queue Subíndice s: servicio Subíndice p: promedio

Subíndice n: cuando hay n clientes Sin subíndice: del sistema

Análisis Económico:


Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio

Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

Costo por TIEMPO DE ESPERA

Costo por proporcionar el SERVICIO

Costo

Costo Total Mínimo

COSTO TOTAL ESPERADO

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Análisis Económico de Colas

1. Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio y esmás sencillo de determinar. Está relacionado a la operación decada servidor. Podría incluir el salario, prestaciones de losservidores y cualquier otro costo directo asociado a losservidores.

2. Costo de espera: Representa el costo de oportunidad por eltiempo perdido del cliente. No es un costo directo para quienbrinda el servicio, sin embargo, si se ignora y se permiten colaslargas, los clientes se irán a otra parte, inclusive darán malasreferencias del servicio, lo cual, en realidad, será costoso paraquien brinda el servicio.

Objetivo : Minimizar el costo total

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Costo total = Costo del servicio + costo de espera

Considerando:

Cs = Costo de servicio por período de tiempo de cada servidor (service cost)s = Cantidad de servidores

Cw = Costo de esperar por período de tiempo de cada cliente (wait cost)

L = Cantidad promedio de clientes en el sistema

Nota:Cw es evaluado a priori por el analista.

Análisis Económico de Colas

Costo total = Cs*s + Cw*L

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Una pastelería que opera bajo el modelo M/M/1 analizó los datos sobre llegadas de clientes y concluyó que la tasa de llegadas es de 45 clientes por hora.Además, revisando el proceso de toma y entrega de pedido encontró que un despachador puede procesar un promedio de 60 pedidos por hora.

La pastelería paga al despachador $6 por hora.Se han analizado los costos de hacer esperar al cliente y se asignó un costo de $10 por hora de espera de un cliente.

Mediante un análisis económico de colas, la pastelería desea evaluar la cantidad óptima de despachadores, bajo modelos M/M/s.

Análisis Económico de Colas: Problema

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Problema:

Una empresa de alquiler de camiones de carga subcontrata elmantenimiento de sus vehículos, pero debido a los retrasos, se encuentraevaluando si brindar ellos el servicio de limpieza y mantenimiento en sutaller.El taller opera 42 horas por semana.Actualmente se encuentra evaluando las siguientes alternativas:i) Un operario que cobra 100 dólares a la semana y utiliza un equipo

especial a un costo de 60 dólares a la semana.El tiempo necesario para dar servicio a un camión tiene unadistribución exponencial con media de 3 horas.

ii) Contratar a dos operarios, cada uno cobra 100 dólares a la semana(sin equipo especial) y atiende cada uno a un vehículo por separado.El tiempo necesario para dar servicio a un camión tiene unadistribución exponencial con media de 5 horas.

Los camiones llegan según proceso Poisson con tasa media de llegada de0.3 camiones por hora. La empresa considera que si un camión no seencuentra disponible, representa un costo de 2.5 dólares por hora.Evalúe cuál es la mejor alternativa.

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