Teoria de Colas I.pptx

7/24/2019 Teoria de Colas I.pptx

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TEORÍA DE

COLASINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES



TEORÍA DE COLAS

Las COLAS o LÍNEAS DE ESPERA son parte de lavida, pero, aunue este!os a"ostu!#rados aellas, nos !olesta "uando las esperas son

$de!asiado lar%as&' E"on(!i"a!ente, tener ue esperar no es s(louna !olestia personal' La espera de laspersonas tiene "osto elevado para lase"ono!)as de un pa)s'



TEORÍA DE COLAS

La TEORÍA DE COLAS es el estudio de la esperaen las distintas !odalidades'

*tili+a ODELOS DE COLAS para representar lostipos de SISTEAS DE LÍNEAS DE ESPERA-siste!as ue involu"ran "olas de al%.n tipo/ue sur%en en la pr0"ti"a'



TEORÍA DE COLAS

Las 1(r!ulas para "ada !odelo indi"an "u0lde#e ser el dese!pe2o del siste!a"orrespondiente 3 se2alan la "antidad pro!edio

de espera ue o"urrir0 en diversas"ir"unstan"ias' Por lo tanto, estos !odelos de l)neas de espera

son !u3 .tiles para deter!inar "(!o operar unsiste!a de "olas de la !anera !0s e4"a+'



ESTR*CT*RA 56SICA DE

ODELOS DE COLAS

FUENTE DEENTRADA COLA MECANISMODE SERVICIO

Clientesservidos

Clientes

Sistema de Colas



7*ENTE DE ENTRADA

*na "ara"ter)sti"a es el ta!a2o o n.!ero de"lientes ue pueden reuerir un servi"io endeter!inado !o!ento'

Puede ser 7INITA o IN7INITA' Ta!#i8n de#e espe"i4"arse el patr(n

estad)sti"o !ediante el "ual se %eneran los"lientes en el tie!po'

Tiempo entre Llegadas9 Tie!po ue

trans"urre entre : lle%adas "onse"utivas'



COLA

Donde los "lientes esperan antes de re"i#ir unservi"io'

Se "ara"teri+a por el n.!ero !0;i!oper!isi#le de "lientes ue puede ad!itir9 Cola 7inita

Cola In4nita -es el est0ndar de la !a3or)a de los!odelos/



DISCIPLINA DE COLA

El orden en el ue sus !ie!#ros se sele""ionanpara re"i#ir el servi"io9 7I7O -PEPS/

Aleatoria

Se supone "o!o nor!al la dis"iplina 7I7O'



ECANISO DE

SERVICIO Consiste en una o !0s estaciones de

servicio, "on uno o !0s "anales deservi"io paralelos -servidores/'

Si e;iste !0s de < esta"i(n deservi"io, el "liente puede re"i#ir elservi"io de una se"uen"ia de ellas-"anales de servi"io en serie/'

El tie!po ue trans"urre desde elini"io del servi"io para un "liente =astasu ter!ina"i(n en una esta"i(n sella!a TIEMPO DE SERVICIO'



PROCESO DE COLAS

ELEENTAL El tipo de situa"i(n ue prevale"e en

el estudio de "olas es el si%uiente9

*na sola l)nea de espera -ue a ve"espuede estar va")a/ se 1or!a 1rente a unaesta"i(n de servi"io'

*no o !0s servidores se en"uentrandentro de la esta"i(n de servi"io'

Cada "liente %enerado por una 1uente deentrada re"i#e el servi"io de uno de losservidores, ui+0 despu8s de esperar unpo"o en la "ola'



PROCESO DE COLAS

ELEENTAL

C C C C C C C C C

C

C

C

C

C

S

S Instalación

S de

S Servicio

S

Cola

Sistema de Colas

Clientes

Clientes Atendidos

Clientes

Atendidos



PROCESO DE COLAS

ELEENTAL*n servidor no tiene ue ser

ne"esaria!ente un solo individuo, puedeser9 *n %rupo de personas ue "o!#ina 1uer+as para reali+ar,

de !anera si!ult0nea, el servi"io ue reuiere el "liente' *na !0uina *n ve=)"ulo *n dispositivo ele"tr(ni"o, et"'

Los "lientes no ne"esaria!ente tienen ueser personas' Pueden ser9 *nidades ue esperan ser pro"esadas Ve=)"ulos ue esperan pasar por una "aseta de "o#ro en

una esta"i(n de pea>e, et"'



PROCESO DE COLAS

ELEENTAL En un siste!a de "olas, no es ne"esario

ue se 1or!e una l)nea de espera 1)si"adelante de una estru"tura !aterial ue"onstitu3e la esta"i(n de servi"io'

Los !ie!#ros de la "ola pueden estardispersos !ientras esperan ue elservidor ven%a a ellos'

De todas !aneras, la teor)a de "olaspropor"iona entre otros datos "o!on.!ero pro!edio de "lientes en espera'



PROCESO DE COLAS

ELEENTAL El .ni"o reuisito esen"ial para poder apli"ar la

teor)a de "olas es ue los "a!#ios en el n.!erode "lientes ue esperan un servi"io o"urran

"o!o si prevale"iera la situa"i(n 1)si"a ue sedes"ri#e en el dia%ra!a !ostradoanterior!ente'



PROCESO DE COLAS

ELEENTAL Por "onven"i(n, los !odelos de

"olas se etiuetan de la si%uiente

!anera9

? @ ? @ ?Distri#u"i(n detie!pos entre

lle%adas

N.!ero deServidores

Distri#u"i(n detie!pos de

servi"io



PROCESO DE COLAS

ELEENTAL Donde, tanto para la distri#u"i(n de tie!pos de

servi"io "o!o para la distri#u"i(n de tie!poentre lle%adas9

Distri#u"i(n e;ponen"ial -arBoviana/ D Distri#u"i(n de%enerada EB Distri#u"i(n Erlan% -par0!etro de 1or!a B/

G Distri#u"i(n %eneral -per!ite "ualuierdistri#u"i(n ar#itraria/



TERINOLOGIA

NOTACIÓN A !enos ue se esta#le+"a otra "osa, la

ter!inolo%)a est0ndar es9 Estado del Siste!a9 n.!ero de "lientes en el

siste!a Lon%itud de Cola9 n.!ero de "lientes ue

esperan servi"io' Estado del siste!a !enosn.!ero de "lientes a uienes se les da elservi"io

N-t / n.!ero de "lientes en el siste!a de"olas en el tie!po t -t / Pn-t / pro#a#ilidad de ue e;a"ta!ente n

"lientes est8n en el siste!a en el tie!po t ,dado el n.!ero en el tie!po '



TERINOLOGIA


ter!inolo%)a est0ndar es9 s n.!ero de servidores -"anales de servi"io

en paralelo/ en el siste!a de "olas' Fn tasa !edia de lle%adas -n.!ero esperado

de lle%adas por unidad de tie!po/ de nuevos"lientes "uando =a3 n "lientes en el siste!a'

n tasa !edia de servi"io en todo el siste!a

-n.!ero esperado de "lientes ue "o!pletansu servi"io por unidad de tie!po/ "uando =a3 n "lientes en el siste!a'



TERINOLOGIA


ter!inolo%)a est0ndar es9 F tasa !edia de lle%adas -n.!ero esperado

de lle%adas por unidad de tie!po/ de nuevos"lientes "uando Fn es "onstante, sin i!portar eln.!ero de "lientes ue =a3an en el siste!a'

tasa !edia de servi"io en todo el siste!a-n.!ero esperado de "lientes ue "o!pletansu servi"io por unidad de tie!po/ "uando n porservidor o"upado es "onstante para toda n <'

H F@-s/ 1a"tor de utili+a"i(n de lainstala"i(n de servi"io'



TERINOLOGIA


ter!inolo%)a est0ndar es9 Condi"i(n Transitoria9 Cuando el estado del

siste!a se en"uentra #astante a1e"tado por elestado ini"ial 3 el tie!po ue =a pasado desdeel ini"io'

Condi"i(n de Estado Esta#le9 Cuando el estadodel siste!a se vuelve, en esen"ia,independiente del estado ini"ial 3 del tie!potrans"urrido 3 la distri#u"i(n de pro#a#ilidaddel estado se "onserva a trav8s del tie!po'



TERINOLOGIA


ter!inolo%)a est0ndar es9 Pn pro#a#ilidad ue =a3a e;a"ta!ente n

"lientes en el siste!a en estado esta#le' L n.!ero esperado de "lientes en el siste!a L lon%itud esperada de "ola tie!po de espera en el siste!a para "ada

"liente' E-/ tie!po de espera en la "ola para "ada

"liente E-/



RELACIONES ENTRE L, ,

L 3 Para F

n "onstante para toda n, en un pro"eso de

"olas en estado esta#le9 L F L F

Paras tie!po !edio de servi"io "onstante paratoda n <, en un pro"eso en estado esta#le setiene9

J <@



PAPEL DE LA DISTRI5*CION

EKPONENCIAL Las "ara"ter)sti"as operativas de los siste!as de

"olas est0n deter!inadas en %ran !edida por :propiedades estad)sti"as9

Distri#u"i(n de pro#a#ilidad de los tie!pos entrelle%adas Distri#u"i(n de pro#a#ilidad de los tie!pos de

servi"io Estas distri#u"iones pueden to!ar "asi "ualuier

1or!a, "on la .ni"a restri""i(n ue no pueden

presentarse valores ne%ativos' Para 1or!ular un !odelo de teor)a de "olas "o!o

una representa"i(n del siste!a real, es ne"esarioespe"i4"ar la 1or!a supuesta de "ada una de lasdistri#u"iones'




EKPONENCIAL Para ue sea .til, la 1or!a supuesta de#e ser9

Lo su4"iente!ente realista "o!o para ue el!odelo propor"ione predi""iones ra+ona#les'

Lo su4"iente!ente sen"illa para ue sea!ate!0ti"a!ente !ane>a#le' Considerando estos : supuestos

-su4"iente!ente realista 3 su4"iente!entesen"illa/, la distri#u"i(n de pro#a#ilidad !0s

i!portante en la teor)a de "olas es ladistribución exponencial'




EKPONENCIAL Se di"e ue una varia#le aleatoria tiene una distri#u"i(ne;ponen"ial "on par0!etro si su 1un"i(n de densidad depro#a#ilidad es9

1 T-t/

En este "aso, las pro#a#ilidades a"u!uladas son9PMT t < e?t

PMT Q t e?t

αe-αt ara t ! "

" ara t # "




EKPONENCIAL El Valor Esperado 3 la Varian+a de T son9 E-T/ <@ var-T/ <@:

Propiedades de la distri#u"i(n e;ponen"ial9<' 1 T-t/ es una 1un"i(n de t estri"ta!ente de"re"iente de t -t/

:' 7alta de !e!oria

' El !)ni!o de diversas varia#les aleatorias e;ponen"iales

independientes tiene una distri#u"i(n e;ponen"ial'' Rela"i(n "on la distri#u"i(n de Poisson

' Para todos los valores positivos de t, PMTt J Ut TQt WUt, para un Ut peue2o

X' No a1e"ta a%re%ar o desa%re%ar



PROCESO DE

NACIIENTO *ERTE La !a3or parte de los !odelos ele!entales de "olassuponen ue las entradas -lle%adas de "lientes/ 3 lassalidas -"lientes ue se van/ del siste!a o"urren dea"uerdo "on un pro"eso de na"i!iento 3 !uerte'

acimiento9 lle%ada de un nuevo "liente al siste!ade "olas

Muerte9 salida del "liente servido El estado del siste!a en el tie!po t -t/, denotado

por N-t/, es el n.!ero de "lientes ue =a3 en elsiste!a de "olas en el tie!po t' El pro"eso de Na"i!iento 3 uerte des"ri#e en

t8r!inos pro#a#il)sti"os "o!o "a!#ia N-t/ alau!entar t'



PROCESO DE

NACIIENTO *ERTE Los supuestos del pro"eso de Na"i!iento 3 uerteson9<' Dado N-t/ n, la distri#u"i(n de pro#a#ilidad a"tual del tie!po ue 1alta

para el pr(;i!o na"i!iento -lle%ada/ es e;ponen"ial "on par0!etro Fn -n <,:,,Y/

:' Dado N-t/ n, la distri#u"i(n de pro#a#ilidad a"tual del tie!po ue 1altapara la pr(;i!a !uerte -ter!ina"i(n de servi"io/ es e;ponen"ial "onpar0!etro n -n <,:,,Y/

' La varia#le aleatoria del supuesto < 3 la varia#le aleatoria del supuesto :son !utua!ente independientes' La si%uiente transi"i(n del estado delpro"eso es9

n n J < -un solo na"i!iento/

o

n n < -una sola !uerte/



PROCESO DE

NACIIENTO *ERTE An0lisis del pro"eso de Na"i!iento 3 uerte

Donde9 En-t/ n.!ero de ve"es ue el pro"eso entra al estado n =asta el tie!po t

Ln-t/ n.!ero de ve"es ue el pro"eso sale del estado n =asta el tie!po t

< :

F F< F: F

< :

$



PROCESO DE

NACIIENTO *ERTE Co!o los : tipos de eventos -entrar 3 salir/ de#enalternarse, estos dos n.!eros ser0n i%uales odi1erir0n en s(lo <, es de"ir9

En-t/ Ln-t/ <

Al dividir a!#os lados entre t 3 despu8s =a"er ue ttienda a in4nito, se o#tiene9

En-t/@t Ln-t/@t <@t

li!En-t/@t Ln-t/@t

t Z



PROCESO DE

NACIIENTO *ERTE Donde9En-t/@t 3 Ln-t/@t tasa real a la ue o"urren estos dos eventos'

li!En-t/@t tasa !edia a la ue el pro"eso entra al estado n

t Zli!Ln-t/@t tasa !edia a la ue el pro"eso sale del estado n

t Z

Lo ue "ondu"e a9

Tasa de entrada ! Tasa de salida

La e"ua"i(n ue e;presa este prin"ipio se lla!a9

Ecuación de "alance del Estado n



PROCESO DE

NACIIENTO *ERTE Para el estado - "lientes en el siste!a/, lae"ua"i(n de #alan"e es9

<P< FEPE

Deter!inadas las e"ua"iones de #alan"e para"ada estado, se lle%a a9

Pn CnPE

Donde9

Cn -Fn?< Fn?:Y F/@-n n?<Y </



RES*LTADOS DEL PROCESO

DE NACIIENTO *ERTE El reuisito9

Z

[ Pn < n

Se dedu"e ue9

ZP -[ Cn/?<

n



RES*LTADOS DEL PROCESO

DE NACIIENTO *ERTE Cuando un !odelo de l)neas de espera se #asa

en el pro"eso de na"i!iento 3 !uerte, de!anera ue el estado del siste!a n representael n.!ero de "lientes en el siste!a de "olas, las!edidas "lave de dese!pe2o del siste!apueden o#tenerse despu8s de "al"ular Pn !ediante las 1(r!ulas anteriores9

Z ZL [ nPn , L [-n s/Pn

n n s se tiene9 \ \ \ Z

L@F, L@ F 3 F [ FnCn n



ODELOS DE COLAS 5ASADOS EN ELPROCESO DE NACIIENTO *ERTE

odelo @@S Tasa de Servi"io del Siste!a9 La tasa del servi"io

del siste!a n representa la tasa !edia de los

servi"ios ter!inados de todo el siste!a de "olas"uando e;isten n "lientes en 8l' En el "aso de!]ltiples servidores 3 n Q <, n no es lo !is!oue , la tasa !edia de servi"io por servidoro"upado' En lu%ar de eso, se tiene9

n

n "uando n s n s "uando n s



ODELOS DE COLAS 5ASADOS EN ELPROCESO DE NACIIENTO *ERTE

odelo @@< P < H

Pn -< H/Hn

L H@-< H/ F@- F/ L F:@- F/ <@- F/ F@- F/ PM Q t e?-< H/t

PM P < H PM Q t He?-< H/t

PM Q t ^ Q e?-< H/t

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