TEORIA DE COLAS

Integrantes:Luis Sibaja

Edgar CastroOscar Hurtado

David RománJeison GonzalesMiguel Murillo

Concepto de la espera

Generalmente como clientes no queremos esperar y los gestores de los citados servicios no quieren que esperemos....

¿Por qué hay que esperar?

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Descripción de un sistema de colas

Un sistema de colas se puede describir como: “clientes” que llegan buscando un servicio, esperan si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido atendidos.

En algunos casos se puede admitir que los clientes abandonan el sistema si se cansan de esperar.

El término “cliente” se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano, puede significar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo esperando para imprimir en una impresora en red.

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Características de un Sistema de Colas

Seis son las características básicas que se deben utilizar para describir adecuadamente un sistema de colas:

1. Patrón de llegada de los clientes

2. Patrón de servicio de los servidores

3. Disciplina de cola

4. Capacidad del sistema

5. Número de canales de servicio

6. Número de etapas de servicio

Patrón de llegada de los clientes:En situaciones de cola habituales la llegada

depende de una cierta variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la distribución probabilística entre dos llegadas de cliente sucesivas.

Además habría que tener en cuenta si los clientes llegan independiente o simultáneamente. En este segundo caso (es decir, si llegan lotes) habría que definir la distribución probabilística de éstos.

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Patrón de llegada de los clientes:También es posible que los clientes sean

“impacientes”. Es decir, que lleguen a la cola y si es demasiado larga se vayan, o que tras esperar mucho rato en la cola decidan abandonar.

Por último es posible que el patrón de llegada varíe con el tiempo. Si se mantiene constante le llamamos estacionario, si por ejemplo varía con las horas del día es no-estacionario.

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Patrones de servicio de los servidores:

Los servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso hay que asociarle, para definirlo, una función de probabilidad. También pueden atender en lotes o de modo individual.

El tiempo de servicio también puede variar con el número de clientes en la cola, trabajando más rápido o más lento, y en este caso se llama patrones de servicio dependientes.

Al igual que el patrón de llegadas el patrón de servicio puede ser no-estacionario, variando con el tiempo transcurrido. 8

Disciplina de cola:La disciplina de cola es la manera en que los

clientes se ordenan en el momento de ser servidos de entre los de la cola.

Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO (atender primero a quien llegó primero). Sin embargo en muchas colas es habitual el uso de la disciplina LIFO (atender primero al último).

También es posible encontrar reglas de secuencia con prioridades, como por ejemplo secuenciar primero las tareas con menor duración o según tipos de clientes.

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Disciplina de cola:

En cualquier caso dos son las situaciones generales en las que trabajar. En la primera, llamada en inglés “preemptive”, si un cliente llega a la cola con una orden de prioridad superior al cliente que está siendo atendido, este se retira dando paso al más importante.

La segunda situación es la denominada “no-preemptive” donde el cliente con mayor prioridad espera a que acabe el que está siendo atendido.

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Capacidad del sistema:

En algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en la cola.

A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas.

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Número de canales del servicio:Es evidente que es preferible utilizar sistemas

multiservidos con una única línea de espera para todos que con una cola por servidor.

Por tanto, cuando se habla de canales de servicio paralelos, se habla generalmente de una cola que alimenta a varios servidores mientras que el caso de colas independientes se asemeja a múltiples sistemas con sólo un servidor.

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13

Número de canales del servicio: Estructura típica:

• Ejemplo: Una cafetería pequeña

Sistema de colas

Cola Servicio

Disciplinade la cola SalidasLlegadas

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Número de canales del servicio: Una línea, múltiples servidores

• Ejemplo: Un banco

Llegadas

Sistema de colas

Cola

Servidor Salidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Etapas de servicio:

• Un sistema de colas puede ser unietapa o multietapa:En los sistemas multietapa el cliente puede

pasar por un número de etapas mayor que uno.

Una peluquería es un sistema unietapa, salvo que haya diferentes servicios (manicura, maquillaje) y cada uno de estos servicios sea desarrollado por un servidor diferente.

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Nomenclatura básica

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M/M/1Llegadas aleatorias

EJEMPLO• Un lavacar puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media

de llegadas es de 9 autos por hora• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo

M/M/1• Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la

probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema

Solución:• = 9

La tasa media de llegadas la obtuvimos de la información• µ= 12

Número de servicios igual se obtuvo de la información (1 auto cada 5min), pero se va trabajar horas por lo que se hace la conversión (60/5=12)

• =0.75factor de utilización del sistema se obtiene mediante la formula = 18

= 9µ= 12 = 0.75

Ls = Número promedio de unidades que se encuentran en el sistema, ya sea esperando o siendo atendidas.

sL

Lq = Número promedio de unidades que esperan ser atendidas

= 9µ= 12 = 0.75

Ls = 3 clientes

)(

2

qL

= 9µ= 12 = 0.75

Ls = 3 clientesLq= 2.25 clientes

Ws = tiempo promedio de una unidad en el sistema

1sW

= 9µ= 12 = 0.75

Ls = 3 clientesLq= 2.25 clientesWs = 0.33 horas -> 20 min.

Wq = Tiempo esperado o promedio que una unidad tiene que esperar antes de ser atendida

)(

qW

= 9µ= 12 = 0.75

Ls = 3 clientesLq= 2.25 clientesWs = 0.33 horas -> 20 min.

Wq = 0.25 horas -> 15 min.

= Probabilidad de que el sistema no esté trabajando, o esté vacío

0P

00 )1( P

= 9µ= 12 = 0.75

Ls = 3 clientesLq= 2.25 clientesWs = 0.33 horas -> 20 min.

Wq = 0.25 horas -> 15 min. = 0.25

= Probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes

0P

13

13

= 9µ= 12 = 0.75

Ls = 3 clientesLq= 2.25 clientesWs = 0.33 horas -> 20 min.

Wq = 0.25 horas -> 15 min. = 0.25 = 0.32

= Probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola

0P13

te )1(

te )1(

= 9µ= 12 = 0.75Ls = 3 clientes

Lq= 2.25 clientesWs = 0.33 horas -> 20 min. Wq = 0.25 horas -> 15 min. = 0.25

= 0.32 = 0.22

= Probabilidad de esperar más de 30 minutos en el sistema

te )1(

te )1(

0P

13te )1(

= 9µ= 12 = 0.75Ls = 3 clientes

Lq= 2.25 clientesWs = 0.33 horas -> 20 min. Wq = 0.25 horas -> 15 min. = 0.25

= 0.32 = 0.22 = 0,17

• Ls = 3 clientes en la cola• Lq = 2.25 clientes en espera• Ws = 0.33 -> 20 min de espera de los clientes en el sistema• Wq = 0.25 -> 15 min de espera de los clientes para ser atendidos• = 0.25 -> Probabilidad de que el sistema no esté trabajando• = 0.32 -> Probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes• = 0.22 -> Probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola• = 0.17 -> Probabilidad de esperar más de 30 minutos en el sistema

13te )1( te )1(

0P

0P13

te )1(

te )1(

Modelo multicanal (M/M/S)

Dos o más servidores o canales están disponibles para atender los clientes que llegan.

Los clientes forman una sola cola y se atienden de acuerdo al servidor que quede libre.

Los tiempos de servicios son distribuidos exponencialmente.

Los servicios se hacen de acuerdo a la política primero en llegar primero en ser servido (PEPS).

Formulas y variables• λ = Promedio de llegadas (cliente/tiempo).• µ = Tiempo esperado de servicio

(cliente/tiempo).• S: Número de servidores.

• Probabilidad de que ningún cliente este en el sistema:

=

• Promedio de unidades en el sistema:

Ls = +

Formulas y variables

• Tiempo promedio de unidad dentro del sistema:

Ws =

• Número de unidades en la fila:

Lq =

• Tiempo de espera en la fila:

Wq =

EJEMPLO

A una tienda llegan 50 personas cada hora. En el momento de pagar, una caja puede atender 20 personas por hora. Si se tienen únicamente 3 puntos de pago.

Determinemos lo siguiente:

EJEMPLO

1. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente este en el sistema?

2. ¿Cuál es el promedio de clientes en el sistema?

3. ¿Cuál es el tiempo promedio de un cliente dentro del sistema?

4. ¿Cuál es el número de clientes en la fila?

5. ¿Cuál es el tiempo de espera en la fila?

1. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente este en el sistema?

• = λ=50, μ=20, s=3

2. ¿Cuál es el promedio de clientes en el sistema?

• Ls = + λ=50, μ=20, s=3, 0449

3. ¿Cuál es el tiempo promedio de un cliente dentro del sistema?

• Ws = λ=50, Ls=2,5003

4. ¿Cuál es el número de clientes en la fila?

• Lq = λ=50, μ=20, s=3, 0449

5. ¿Cuál es el tiempo de espera en la fila?

• Wq = λ=50, Lq=3,5111

Modelo M/G/1

Sistema con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución

general de tiempos de servicio, un canal de servicio y una línea de espera.

Características

Las formulas que se utilizan para calcular sus características de operación son bastantes simples.

No es posible calcular en forma directa el numero esperado de unidades en el sistema (L), primero debe de calcularse el numero de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq).

Características Posee un solo servidor.

Para que la cola alcance un régimen estacionario estable el tiempo medio de servicio sea inferior al tiempo medio entre llegadas o que la capacidad de servicio (µ) sea superior a la frecuencia de llegada (λ).

Formulas𝜆= Número de llegadas

𝜇= Número de servicios

𝜌= Congestión de un sistema

ρ=λ/μ ρ<1

𝐿= Número medio de clientes en el sistema

Formulas𝐿𝑞= Número medio de clientes en la cola

𝑊=Tiempo medio de espera de los clientes en el sistema

𝑊𝑞= Tiempo medio de espera de los clientes en la cola

FormulasPo = Probabilidad de que no haya unidades en el sistema

Ls = Número promedio de unidades en el sistema

Ws = Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema

EJEMPLO

Un lavacar puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.

σ = 2 min.

Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1

SoluciónLq: Número esperado de clientes en la cola

Ls: Número esperado de clientes en el sistema.

Wq: Tiempo esperado de espera en la cola.

Ws: Tiempo esperado de espera en el sistema.

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Modelo Servicio constante M/D/1

1 sistema, elen espera de promedio Tiempo

sistema, elen clientes de promedio Número

2 cola, laen espera de promedio Tiempo

2 cola, la de promedio Longitud

2

q

q

q

q

WW

LL

W

L

En este modelo los tiempos de servicio son determinísticos

EJEMPLO• Un lava car puede atender un auto cada 5 min.• La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el

modelo M/D/1

Solución:• = 9

La tasa media de llegadas la obtuvimos de la información• µ= 12

Número de servicios igual se obtuvo de la información (1 auto cada 5min), pero se va trabajar horas por lo que se hace la conversión (60/5=12)

• =0.75factor de utilización del sistema se obtiene mediante la formula =

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= 9µ= 12 = 0.75

• Lq : Número medio de clientes en la cola

)1(2

2

qL

• L : Número medio de clientes en el sistema

= 9µ= 12 = 0.75

Lq = 1.125 clientes

= 9µ= 12 = 0.75

Lq = 1.125 clientesL = 1.875 clientes

• Wq = Tiempo medio de espera de los clientes en la cola

= 9µ= 12 = 0.75

Lq = 1.125 clientesL = 1.875 clientesWq = 0.125 horas

W=Tiempo medio de estancia de los clientes en el sistema

= 9µ= 12 = 0.75

Lq = 1.125 clientesL = 1.875 clientes

Wq = 0.125 horasW = 0.21 horas

• Lq = 1.125 clientes en la cola• L = 1.875 clientes en el sistema• Wq = 0.125 = 7.5 min de espera de los clientes

en la cola• W = 0.21 = 12.5 min de espera de los clientes

en el sistema

Modelo M / Un tipo de sistemas de colas especialmente

interesante es aquél en el que las llegadas son de Poisson y la duración del servicio sigue una distribución de Erlang, también llamada distribución K.

Esta distribución resulta de sumar variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución exponencial de parámetro , y su función de densidad es:

ktk

k

X etk

ktf

1

!1)(

Modelo M /

Es decir, es una distribución gamma de parámetros .

Por tanto, si la distribución es estacionaria,

Este caso, es fácil demostrar que la intensidad de tráfico para el sistema es:

kk ,

K P A ne t

n

k

kt e dtn

t n kk k t

! !0

1

1

rk

Medidas del desempeño del sistema de colas

1. Número esperado de clientes en la cola Lq2. Número esperado de clientes en el sistema Ls3. Tiempo esperado de espera en la cola Wq

4. Tiempo esperado de espera en el sistema Ws

5. Tasa media de entradas 𝜆6. Probabilidad 𝜌

Medidas del desempeño del sistema de colas: fórmulas generales

𝜌=

M//1• Un servidor con tiempos entre llegadas

exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

EJEMPLO

• Un parqueo puede atender un auto cada 10 min.• La tasa media de llegadas es de 5 autos/hora.

Suponga = 3.5 min k=2.• Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo

con el modelo M/Ek/1

EJEMPLO

=5 (clientes que llegan por hora)

= (cuantos clientes se atienden por hora)𝜌= = 0,83𝜅=2

Resultados

0,6078 horas o 36,47 minutos