Teoria de Carteras

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Teoría de Portfolio Teoría de Portfolio Chile Escuela de Ingeniería Comercial K&E Design ® 2000

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  • Teora de Portfolio

  • Cartera y Cartera EficienteCartera, es la combinacin de activos o ttulos financieros.Cartera Eficiente, es el conjunto de inversiones eficientes que proporcionan el retorno esperado mas alto posible para cualquier nivel de riesgo o el nivel de riesgo ms bajo posible para cualquier retorno

  • Seleccin de Ttulos Bajo Condiciones de RiesgoSe seleccionan las alternativas de inversin en base a: Retorno Esperado, y Varianza o Desviacin Estndar.

    Y se eligen aquellos ttulos que no se dominan entre s.

  • Retorno Esperado y Riesgo

  • Rendimiento y Rendimiento Esperado de una Cartera de Dos Activos

    Rp = v Rs + (1- v)Rc

    E(Rp) = v E(Rs) + (1- v)E(Rc)

    Donde: v = Porcentaje a invertir en ACTIVO S (1 v) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C

  • Varianza de Una Cartera de Dos ActivosDonde: v = Porcentaje a invertir en ACTIVO S (1 v) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C

  • Varianza del Portfolio, sp2Es el valor esperado de las desviaciones al cuadrado de los retornos del portfolio respecto a los del retorno medio.

    sp2 = E (Rp Rp)2 _ _sp2 = E [X1(R1j Ri) + X2 (R2j R2)]2 _ _sp2 = X12 s12 + 2X1X2 E [(Rij Ri) (R2j R2)] +X22 s22

  • Perfecta Correclacin Positiva: r= +1Luego:sp2 = [X22 sc2 + (1 Xc)2 ss2 +2Xc (1 Xc) * 1 * sc * ss]1/2Esto es (Xcsc + (1 Xc) ss)2O sea, cuando r = +1 El Riesgo y Retorno son una Combinacin Lineal. En este caso de Perfecta Correlacin el R y s, de un Portfolio de 2 activos es Promedio Ponderado del Retorno y Riesgo de los activos individuales, o sea, no se Diversifica el Riesgo

  • Perfecta Correclacin Negativa: r= -1Luego:sp= [Xc2 sc2 + (1 Xc)2 ss2 -2Xc (1 Xc)sc ss]1/2El valor de sp ser siempre menor que cuando r = +1. Es mas, cuando r = -1 , se puede encontrar una combinacin con Cero Riesgo

  • No Correclacin entre Activos: r= 0El Retorno no vara, pero:

    sp = [Xc2 sc2 + (1 Xc)2 ss2]1/2Xc = ss2 - scss rcs _______________________ sc2 + ss2 2scssrcsEn esta situacin hay un punto donde el riesgo es menor. Esto puede obtenerse de:

    sp = [Xc2 sc2 + (1 Xc)2 ss2 + 2Xc (1-Xc) scssrcs]1/2Sacar la primera derivada e igualar a cero, (dsp/dXc=0)Igualando a cero:

  • Proporciones ptimas a Invertir a Invertir en una Cartera de 2 Activos

    vs = desv.C (desv.C coef.correl.(c,s) * desv.S)varianza S + varianza C 2Cov c,s

    Donde: v = Porcentaje a invertir en ACTIVO S (1 vs) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C

  • CovarianzaEs una medida de cmo los retornos de los activos o ttulos se mueven juntos. N _ _Clculo: ss,c = S (Rsj Rs)(Rcj Rc)*PjJ=1Donde: Rs = Retorno ttulo SRc = retorno ttulo CPj = Probabilidad de ocurrencia de los distintos retornos.

  • Varianza de una Cartera de N ActivosEn una cartera de N activos se tienen: N 2 N-1 N VAR( R ) = S vj VARj + 2 S S vj vi COV(ij) J=1 j=1 I=1 j=/=iDonde: vy = Proporcin de la inversin asignada al valor jvi = Proporcin de la inversin asignada al valor iN = Nmero de valores de la cartera.N varianzasN (N 1) Covarianzas

  • Varianza de una Cartera de N ActivosSi en una cartera de N ttulos se invierte en cada ttulo [1/N], la varianza de cartera.Queda expresada de la siguiente forma: N N N s2(c) = S [1/N]2 * s2j + S S [1/N][1/N] s(ij) J=1 j=1 I=1 j=/=i

  • Varianza de una Cartera de N Activos __ __ s2(c) = [1/N] s2j +[(N-1)/N] s(ij)Al efectuarse factorizaciones por [1/N] en el primer trmino de la expresin anterior, y por [(N-1)/N] en el segundo trmino, se llaga a lo siguiente:

  • Varianza de una Cartera de N ActivosDe la anterior frmula se desprende que:La contribucin de la varianza de los activos individuales respecto a la varianza y la cartera tiende a cero en la medida que N sea grande.

    Sin embargo, la contribucin de las covarianzas se aproxima al promedio de las covarianzas cuando N aumenta. Esto implica que una parte del riesgo de la cartera (Riesgo de Mercado), no se puede eliminar a travs de la diversificacin.

  • Cjto. de Oportunidades de Cartera y Cjto. Eficiente con Muchos Activos Riesgosos

  • Cartera ptimaAquella que es tangente a la frontera eficiente con la ms alta curva de iso utilidad del inversionista

  • Ejemplo Retorno Vapores

    -5,000,0011,2515,0020,00 Retorno Papeles-Cartones

    0,005,008,7510,0015,00Probabilidad

    10%20%40%20%10%

  • Clculo de los Retornos Esperados de cada Ttulo

  • Clculo del Riesgo de Cada Ttulo sv = 7,5581 s(p-c) = 3,7583Los ttulos de Vapores y Papeles Cartones son inversiones eficientes para formar una cartera?.Si puesto que: E(Rv) > E(Rp-c) s(Rv) > s(Rp-c)El Coeficiente de Correlacin entre los ttulos Vapores y Papeles-Cartones, es de 0,5

  • EjercicioVapores

    10 millones8 millones5 millones3 millones1 milln0 millnPapeles-Cartones

    0 milln2 millones5 millones7 millones9 millones10 millonesCalcular el Retorno y el Riesgo de una Cartera, si se invierte:

  • EjercicioRetorno Cartera

    Rc= 100%*9 + 0%*8Rc= 9Rc= 8,8Rc= 8,5Rc= 8,3Rc= 8,1Rc= 8,0Riesgo Cartera

    sc= 7,5581 sc= 5,7079 sc= 3,2728 sc= 2,4693 sc= 3,0751 sc= 3,7583

  • Ejercicio Cules son las proporciones ptimas a invertir en cada ttulo para que el Riesgo de la cartera sea mnimo? En Vapores se debe invertir 28,43% y en Papeles-Cartones un 71,57% del presupuesto.Luego:E (Rc) = 8,2843s (c) = 2,4637

  • Modelo de Fijacin de Precios de Activos de Capital (C.A.P.M.)

  • C.A.P.M.Supuestos: Mercado perfecto o eficiente.Presencia del Activo de Cero Riesgo. Combinar cualquier cartera de la frontera eficiente formada con activos riesgosos, con un activo sin riesgo. Retorno de activos sin riesgo (RF) con cartera de activos riesgosos (RM)* son independientes. Luego covarianza entre ellos es igual a cero.

    * RM = Es la cartera que contiene a todos los activos riesgosos de la economa.

  • C.A.P.M.a. Retorno Cartera = E(Rp)= (1-x)RF + x E(RM).b. Riesgo Cartera = s2 Rp = [x2 s2] E(RM).

    Despejando x de b, se tiene:X= s (Rp) S (RM)

    Reemplazando la x calculada en el punto anterior, en E(Rp), se tiene la Lnea de Mercado de Capitales.

  • Ecuacin Lnea de Mercado de Capitales L.M.C.

    E(RM) - RFE(Rp) = RF + ----------------- s(Rp) s (RM)Donde: E(Rp) = Tasa esperada de rendimiento de las carteras a lo largo de la CML, es decir, combinaciones de RF y de RM. RF = Tasa libre de riesgo, ya sea peticin u otorgamiento de crdito. E(RM) = Tasa esperada de rendimiento sobre la cartera de mercado, M. s (RM) = Desviacin estndar del rendimiento sobre la cartera de mercado. s (Rp) = Desviacin estndar de las carteras a lo largo de la CML.

  • L.M.C. Y Frontera Eficiente

  • Retorno Esperado de un Ttulo IndividualEl C.A.P.M. Indica que el retorno esperado de cualquier activo individual se obtiene en el punto donde se iguala la pendiente de la Frontera Eficiente con la pendiente de la L.M.C.Pendiente L.M.C. = d E(Rp) = E(RM) RF d s(Rp) = s (RM)

  • Pendiente dela Frontera EficienteLa pendiente de la Frontera Eficiente se determina de la siguiente manera:Se forma una nueva cartera compuesta por dos activos:Ri = retorno de activo i.RM= Cartera de mercado.b. E(Rp) = x * E(Ri) + (1-x) E(RM).s2(Rp) = x2 * s2(Ri) + (1-x)2 * s2(RM) + 2x(1-x) cov (Ri,RM)x= Porcentaje a Invertir en Ri.(1-x)= Porcentaje a Invertir en RM.

  • Pendiente dela Frontera EficienteLuego la Pendiente de la Frontera Eficiente esta dada por la derivada implcita. dE(Rp) dE(Rp) = dx = [E(Ri) E (RM)] * s(RM) ds(Rp) = ds (Rp) cov (Ri,RM) s2 (RM) dx

  • Pendiente dela Frontera EficienteAl igualar ambas pendientes:[E(Ri) E(RM)] s(RM) = E(RM) RFCov (Ri,RM) s2(RM) s(RM)Y despejando E(Ri), se obtiene:E(Ri) = RF + E(RM) RF * cov (Ri, RM) s2(RM)La anterior ecuacin, indica que existe una relacin lineal entre retorno esperado de un activo individual y su covarianza con el mercado.

  • Ecuacin Lnea de Mercado de Valores L.M.V.

    E(Ri) = RF +[ E(RM) RF] biDonde: E(Ri) = Rendimiento esperado o ex ante sobre l a i-sima accin. RF = Tasa de rendimiento sobre un activo libre de riesgo. (RM) = Rendimiento esperado o ex ante sobre la cartera de mercado. bi = Medida de riesgo sistemtico de la i-sima accin, tal que:

    bi = cov (Ri,RM) s2 (RM)

  • Recta del Mercado de ValoresPendiente= E(RM) RF) = 11-5 = 6% bM 0 1-0

  • Comparacin entrela L.M.C. y la L.M.V.a. Recta del Mercado de Capitalesb. Recta del Mercado de Valores

  • Riesgo Sistemtico o BetaBeta de un activo i, es la medida de volatilidad de los retornos de este, en relacin con los retornos de la cartera.Por lo tanto:E(Ri) = RF + bi [ E(RM) RF] Donde bi = cov (Ri ,RM) s2(RM)

  • Riesgo sistemtico o BetaLuego el Retorno Esperado de cualquier activo, es igual a la tasa de Cero Riesgo RF, ms un premio por el riesgo, que esta dado por el diferencial entre retorno esperado de la cartera menos la tasa de cero riesgo, multiplicado por el Riesgo Sistemtico o Beta

  • Aplicacin Empricadel C.A.P.M.(Rit RFt) = ai bi (RMt RFt) + eit

    Donde:Rit= Retorno de la accin i, en el perodo t.RFt= tasa libre de riesgo, en el perodo t.ai= Interseccin de la Lnea Caracterstica con el eje vertical.bi= pendiente de la Lnea Caracterstica.eit= Error aleatorio, independiente del comportamiento del mercado.

  • Lnea Caracterstica

  • Modelo de Precios de Activos de Capital

  • Ajuste de b por Levarage Modelo de HamadaDados:RF= Tasa libre de riesgo.RM= Retorno promedio del mercado. Bu= En ausencia de Leverage. D/P= Deuda / patrimonio. T= Tasa de Impuestos.R= Tasa Pura + Riesgo Negocio * Riesgo Financiero= RF + (RM RF) * bu * [ 1 + (D/P) * (1 T)]O sea:b = bu * [ 1 + (D/P) * (1 T)]Y :bu = b / [ 1+ (D/P) * (1 T)]