Teoria combinatoria 1 Ejercicios

Universidad Nacional Abierta – Centro Local Aragua.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTACENTRO LOCAL ARAGUAASESOR: TRINO VIVAS.El filósofo y científico Blaise Pascal formuló, junto con el matemático francés Pierre de Fermat, la teoría de la probabilidad en el siglo diecisiete

Estimados Estudiantes: Los problemas resueltos que te mostramos a continuación fueron planteados en las pruebas de los lapsos anteriores y se transcribió tal cual vienen resueltos en los modelos de respuestas. También hay problemas resueltos de libros como Probabilidad y aplicaciones Estadísticas de Paul L. Meyer

Te recomendamos que estudies primero tu texto UNA o la bibliografía recomendada, intente resolver los problemas aquí suministrados sin ver su procedimiento, si no sabes como “entrarle al problema” lea la primera línea de su solución y complete usted el resto.Ejercítese, si consideras que en el desarrollo de la respuesta de algún problema hay inconsistencias u errores no vaciles en consultar con tu asesor personalmente o por Internet a través del correo electrónico [email protected] Si tienes “Tips” , resúmenes teóricos, consejos o algún aporte de conocimientos que ayude a mejorar la comprensión del objetivo en estudio entonces queremos publicarlo en éste documento con tu nombre agradeciéndote de antemano tu colaboración.

OBJETIVO 1

Aplicar las nociones básicas de combinatoria: variaciones, permutaciones y combinaciones

Pta 1 Si usted grabara las iniciales del (de los) nombre (s) y apellido (s) de personas en placas. ¿Cuántas placas tendría que grabar para cubrir todas las alternativas posibles, si las personas tuvieran:a) Un nombre y un apellido?.b) Dos nombres y un apellido?.c) Un nombre y a lo sumo dos apellidos?.d) A lo sumo tres nombres y un apellido?

Nota: i. Considere el número de letras utilizables del alfabeto igual a 26

1

mailto:[email protected]


ii. Para lograr el objetivo debe responder correctamente cada una de las partes a, b, c y d

Solución:Considerando que las iniciales en una placa pueden estar repetidas, se tiene que el número de placas a grabar en cada caso será:a) 262 (dos iniciales)b) 263 (tres iniciales)c) 262 + 263 (dos o tres iniciales)d) 262 + 263 + 264 (dos, tres o cuatro iniciales)

Pta 2 Cuatro libros distintos de Matemática, seis diferentes de Física y dos diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos, si: a) los libros de cada asignatura deben estar todos juntos? b) solamente los libros de matemática deben estar todos juntos?Nota: Para lograr el objetivo debe responder correctamente cada una de las partes a, y b.

Solución:a) Los libros de Matemática pueden ordenarse entre ellos de P4 = 4! = 24 formas. Los de Física de P6 = 6! = 720 formas y los libros de Química de P2 = 2! .Entonces el número de ordenaciones pedido es P4. P6. P2 = 4!.6!.2! = 207.360

b) Si consideramos los cuatro libros de Matemática en un solo bloque, como un libro, entonces se tienen 9 libros que se pueden colocar de P9 = 9! maneras diferentes. Pero los libros de Matemática pueden ordenarse entre ellos de P4 = 4! maneras.Por tanto, el número de ordenaciones pedido es: P9.P4 = 9!.4! = 8.709.120

Pta 3 ¿De cuántos modos cinco mujeres y ocho hombres pueden sentarse alrededor de una mesa circular si dos mujeres no pueden estar juntas?.

Solución:Ver libro texto UNA (737), tomo I, páginas 49 y 61, ejercicio propuesto 13.

Pta 4 Una empresa tiene 7 operadores especializados en el manejo de una máquina que requiere 3 operadores por turno.a) ¿Cuántos grupos diferentes, para cubrir los turnos, son posibles?.b) ¿Cuántos grupos tendrá que repetir cada operador en el total de grupos posibles?.Nota: Para lograr el objetivo debe responder correctamente cada una de las partes a y b.

Solución:

a) Por no tener importancia el orden, tenemos que 3537

3,7 =

=C es el número de grupos

posibles, para cubrir los turnos.

b) Si consideramos un operador fijo podremos determinar a cuántos grupos posibles puede él pertenecer tomando

2


1526

C 2,6 =

=

Pta 5 Existen 7 vacantes en una empresa; 4 de las cuales deben ser llenadas por hombres y por 3 mujeres. Si hay 8 candidatos y 5 candidatas elegibles, ¿de cuántas maneras se pueden llenar las vacantes?.Solución:

Las vacantes a ser llenadas por hombres se pueden cubrir de 7048

4,8 =

=C formas, las

vacantes a ser llenadas por mujeres se pueden cubrir de 1035

C 3,5 =

= . Luego el total de

maneras es 70 . 10 = 700.

Pta 6 En una Universidad se seleccionan anualmente 4 estudiantes para que asistan a un Congreso Nacional. Si hay 12 estudiantes elegibles.

a) ¿De cuántas maneras se puede constituir la delegación?b) ¿De cuántas maneras, si dos de los estudiantes no asistirán no asistirán juntos a las

reuniones?c) ¿De cuántas maneras, si dos de los estudiantes elegibles son casados y asistirán juntos a las

reuniones?

a) Los 4 estudiantes se pueden elegir de 12,412! 12.11.10.9.8!C 495

4!8! 4.3.2.1.8!= = = maneras

b) Sean “A” y “B” los estudiantes que no asistirán juntos a las reuniones. Si tanto “A” como “B” se incluyen, entonces los otros dos miembros de la delegación pueden elegirse de

10 ,210! 10.9C 45

8! 2! 2.1= = = maneras. Luego hay 495-45=450 maneras en la que en la

delegación pueden seleccionarse si no se incluyen “A” y “B” juntos. c) (Recurso de interpretación: puede ser que los dos estudiantes casados vayan ó no al

congreso). Sean “C” y “D” los estudiantes casados. Si ni “C” ni “D” asisten, la delegación se puede formar de 10 ,4C 210= maneras. Ahora, si tanto “C” como “D asisten, entonces la delegación puede formarse de 210+45 =255 maneras.

Pta 7 El gerente de una pequeña planta desea determinar el número de maneras en que puede asignar trabajadores al primer turno. Cuenta con 15 hombres que pueden servir como operadores del equipo de producción, 8 que pueden desempeñarse como personal de mantenimiento y 4 que pueden ser supervisores. Si el turno requiere 6 operadores, 2 trabajadores de mantenimiento y 1 supervisor. ¿De cuántas maneras puede integrarse el primer turno?

3


Los 6 operadores pueden ser escogidos entre los 15 existentes de 156

formas puesto que no

importa el orden y entonces no hay repetición. Por cada una de estas 156

posibilidades de

elección de los 6 operadores hay 82

formas de elegir los 2 trabajadores de mantenimiento y por

cada una de estas 156

82

posibilidades de elegir 6 operadores y los 2 trabajadores de

mantenimiento hay 41

formas de elegir 1 supervisor. Por lo tanto existen 156

82

41

que es

igual a (5005).(28).(4) = 560560 maneras de integrar el primer turno.

Pta 8 En una caja hay 5 bolas blancas y 6 negras numeradas. Se extraen 7 bolas sin sustitución. ¿Cuántos subconjuntos de tamaño 7 se pueden formar?. ¿En cuántos de éstos subconjuntos de tamaño 7 figuran exactamente 3 bolas blancas?

Para responder a esta pregunta debemos tener presente lo que quiere decir nk

, donde en nuestro

caso tenemos que n = 5 + 6 y k = 7, así el número de subconjuntos de tamaño 7 que se puede

formar viene dado por : 11 11! 11.10.9.8 3307 7!4! 4.3.2.1

= = =

subconjuntos .

Ahora estamos interesados en saber cuántos de esos 330 subconjuntos de tamaño 7 contienen

exactamente 3 bolas blancas. Hay 53

maneras de elegir 3 bolas blancas y por cada una de estas

posibilidades hay 64

maneras de elegir 4 bolas negras. Por lo tanto el número total de

subconjuntos de tamaño 7 que tienen exactamente 3 bolas blancas es 5 6

1503 4

=

Pta 9 a) ¿De cuántas maneras 3 niños y 2 niñas se pueden sentar en una fila? b) ¿De cuantas maneras se pueden sentar si no se mezclan? c) ¿De cuántas maneras se pueden sentar si las 2 niñas deben permanecer juntas?

a) Para responder a esta pregunta notemos que este problema es equivalente al siguiente : ¿De cuántas maneras podemos ordenar 5 dígitos diferentes?, lo cual sabemos lo podemos hacer de 5! 5.4.3.2.1 120= = formas.

b) Existen dos maneras de distribuirlos según el sexo: HHVVV ó VVVHH En cada una de estas dos maneras de distribuirlos los niños se pueden sentar de 3! Maneras y las niñas de 2! Maneras. Por lo tanto, el número total de sentarlo es: 2.3!.2!=24 maneras.

c) Existen cuatro maneras según el sexo: HHVVV, VHHVV, VVHHV y VVVHH, y por cada una de estas cuatro maneras hay 3! Maneras de sentar los niños y 2! Maneras de sentar a las niñas. Por lo tanto, el número total en que se pueden sentar es: 4.3!.2!=48 maneras.

4


Pta 10 ¿De cuántos modos se pueden repartir ocho libros distintos entre tres estudiantes (Guillermo, Silvia y María), si Guillermo recibe cuatro libros y tanto Silvia como María reciben dos cada una. Existen C8,4 maneras de escoger los cuatros libros para ser asignados a Guillermo, una vez seleccionados los libros para Guillermo, existen C4,2 formas de asignar los 2 libros a Silvia, por ultimo quedarán C2,2 formas de asignárselo a María. Por lo tanto el número de modos en que se puede repartir los libros entre tres estudiantes es: C8,4 .C4,2 .C2,2 = 420 modos.

Pta 11 ¿Cuántos números impares y con cuatro dígitos distintos existen entre 1000 y 10000? Notamos que para el ultimo término (última posición de izquierda a derecha) existen 5 posibilidades: podemos escoger cualquiera de los dígitos del conjunto {1, 3, 5, 7, 9}; para la primera posición tenemos 8 posibilidades, ya que no podemos colocar ni al cero ni al dígito colocado en la última posición; para la segunda posición tenemos 8 posibilidades y para la tercera posición tenemos 7 posibilidades. Así, el número pedido es 8.8.7.5=2240

Pta 12 ¿Cuántos números pares existen mayores que 999 y menores que 9999?Estamos interesados en saber cuántos números pares existen entre 999 y 9999. En la primera posición contando de izquierda a derecha podemos colocar cualquiera de los dígitos del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9} para la segunda posición tenemos 10 posibilidades, para la tercera posición 10 posibilidades también y finalmente para la cuarta posición tenemos 5 posibilidades. Por lo tanto, el número total de posibilidades es: 9.10.10.5 = 4500

Pta 13. Con las letras de la palabra PROBLEMAS ¿Cuántas palabras se pueden formar, si: a) Comienzan y finalizan en una vocal.b) Comienzan en una vocal y terminan en una consonante?

NOTA: Se entiende por palabra cualquier disposición de todas las letras que la forman (tenga o no sentido).

Observemos que la palabra PROBLEMAS contiene tres vocales O, E, A y seis consonantes (Total 9 letras)a) Palabras que comienzan y finalizan en una vocal: éstas las podemos formar eligiendo i) dos vocales entre las tres, por una de ellas comienza y por la otra termina.ii) Una sucesión de 9 – 2 = 7 letras, de las cuales 6 son consonantes y la vocal restante de las otras (sin por donde comienza y termina la palabra) . En el caso i) podemos elegir n1=3.2=6 vocales. Como la palabra tiene 9 letras, a cada una de las 6 elecciones de vocales, asociamos la permutación de 7 letras, o sea 7! . En total tenemos n2=6.7!=30240 palabras que comienzan y finalizan en una vocal. b) Palabras que comienzan por vocal y terminan en consonante: estas las podemos formar eligiendo: una vocal entre las tres y en donde comienza la palabra, una consonante entre las 6 donde termina la palabra y una sucesión de 7 letras (2 vocales y 5 consonantes restantes) situadas entre la vocal y la consonante anterior. Puesto que son 7 letras podemos formar 7! Permutaciones diferentes, el número de palabras que podemos formar es N=3.6.7!=90720 palabras.

Pta 14 Una delegación de 4 estudiantes de un colegio, se selecciona todos los años para asistir a la asamblea anual de la Asociación de Estudiantes. Determinar:a) ¿De cuántas maneras puede seleccionarse la delegación, si hay 12 estudiantes elegibles?

5


b) De cuántas maneras puede seleccionarse la delegación si dos estudiantes elegibles no asisten al mismo tiempo?

c) Si dos de los estudiantes elegibles son casados y sólo asistirán si van ambos ¿De cuántas maneras puede seleccionarse la delegación?

a) De un total de 12 estudiantes elegibles, una delegación formada por 4 de ellos puede

seleccionarse de 12 12! 4954 8!4!

= =

maneras.

b) Sean X e Y los estudiantes que no asisten al mismo tiempo a la asamblea. Si X e Y fueran al mismo tiempo incluidos, entonces los otros 2 miembros de la delegación pueden

escogerse de 10

452

=

Luego como existen 495 maneras de una delegación de 4

estudiantes, existen 495 – 45 = 450 maneras de seleccionar la delegación si X e Y no se incluyen simultáneamente.

c) Llamemos M y N a los estudiantes casados. Si no van, entonces la delegación puede

seleccionarse de 10

2104

=

maneras. Si ambos van, entonces la delegación puede

seleccionarse de 10

452

=

formas, por lo que la delegación puede seleccionarse de

210+45 =255 maneras.

Pta 15 Una asociación formada por 40 miembros, de los cuales 24 son hombres y 16 son mujeres, desea formar un comité de 10 personas entre las cuales deben figurar a lo sumo 6 miembros del mismo sexo. Calcular el número de maneras de formar el comité en cada uno de los siguientes casos:

a) Cada miembro de la asociación acepta formar parte del comité .b) Dos de los hombres no aceptan formar parte del comité. c) El señor X y la señora Y, miembros de la asociación se niegan a reunirse en conjuntos de

dos.

Observemos que el comité requiere incluir ya sea 6 hombres y 4 mujeres o bien 4 hombre y 6 mujeres. a) El número de comités que incluyen 6 hombres y 4 mujeres es :

1

24 16 24! 16! 2449647206 4 6!18! 4!12!

n = = =

. De manera análoga, el número de comités que

incluyen 4 hombres y 6 mujeres es 2

24 1685093008

4 4n

= =

. Luego el número de comités que

pueden formarse cuando todos sus miembros van a formar parte del comité es : 1 1 2 244964720 85093008 330057728N n n= + = + =

b) Como dos de los hombres no aceptan formar parte del comité, el mismo puede formarse de las siguientes número de maneras:

1) De 6 hombres y 4 mujeres: '1

22 16135745660

6 4n

= =

6


2) De 4 hombres y 6 mujeres '2

22 1658578520

4 6n

= =

Luego, el número de comités que se puede formar (sin dos de los hombres ) es ' '

2 1 2 135795660 58578526 194374180N n n= + = + =c) Comencemos por determinar el número n de comités de los cuales forman parte el señor X y la señora Y. Ahora bien, a cada uno de estos comités corresponde otro de 8 personas con 5 hombres y 3 mujeres, o bien, 3 hombres y 5 mujeres, elegidos entre 23 hombres y 15 mujeres diferentes de X e

Y, respectivamente. De tal manera que: 23 15 23 15

206286085 3 3 5

n = + =

Por lo tanto, el número de comités en los cuales no figuran X e Y es:

'1 330057728 20628608 309429120N N n= − = − =

Pta 16 Consideremos un juego de barajas de 32 cartas distribuidas en cuatro colores; cada color incluye 8 cartas. Denominamos “mano” a todo grupo de 8 cartas elegidas entre las 32 del juego de barajas, entonces:

a) ¿Cuántas “manos” diferentes se pueden formar?b) ¿Cuántas “manos” hay que incluyan solamente dos ases?

a) El número de manos es el de las combinaciones de 8 barajas elegidas entre las 30, es decir 32

105183008

=

“manos”

b) El número de manos que incluyen dos ases (y sólo dos) está formado por todas las elecciones de

dos ases entre los 4 posibles, o sea 42

, asociados a todas las elecciones posibles de 8 – 2 = 6

cartas tomadas entre las 32 – 4 cartas que no son ases. Su número es entonces: 4 28

22604402 6

=

Problema N° 1 Se colocan 3 bolas numeradas en 3 cajas numeradas. Hallar, el número de manera de hacerlo, de

modo que: 1) Al menos una caja quede vacía. 2) Exactamente una caja quede vacía.

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Solución:Construcción de las permutaciones.

Combinaciones Cajas Combinaciones Cajas1 2 3 1 2 3

1 1, 2, 3 1 1, 2, 32 1, 2 3 2 3 1, 23 1, 2 3 3 1, 2 34 1, 3 2 4 2 1, 35 1, 3 2 5 1, 3 26 1 2, 3 6 2, 3 17 1 2, 3 7 2 1 38 1 3 2 8 3 1 29 1 2, 3 9 1 2, 3

Combinaciones Cajas1 2 3

1 1, 2, 32 3 1, 23 3 1, 24 2 1, 35 2 1, 36 2, 3 17 2 3 18 3 2 19 2, 3 1

Análisis combinatorio: variaciones con repetición.

n = 3, r = 3 => V3,3 = 33 = 27 maneras diferentesNuNúmero de maneras o arreglos de que todas las cajas contengan cada una, una bola. N!Es decir n = 3 cajas => n! = 3! = 6

I) Respondiendo la primera pregunta: El número de maneras o arreglo de que al menos una caja quede vacía es: N = 3 cajas, r = 3 bolas. Nr – n! = 33 – 3! = 27 – 6 = 21 arreglos.

II) El número de arreglo en donde exactamente una caja quede vacía es: n.n! = (3)(3!) = (3)(6) = 18 maneras.

Problema N° 2Se disponen de 5 bolas rojas y 5 bolas negras en 8 cajas numeradas. ¿Cuántas maneras hay de

hacerlo?

Solución:

Tenemos un universo formado por 8 cajas que están numeradas.

Universo: (cajas)

1 2 3 4 5 6 7 8

8

Vn,r = nr


Como existe la posibilidad de que todas las bolas puedan entrar en una sola caja, estamos en presencia de variaciones con repetición. Vn,r = nr => n = 8 cajas ; r = 10 bolas. Sustituyendo:

V8,10 = 810 = 1.073.741.824 arreglos.

Problema N° 3Se disponen en fila 3 bolas blancas y 6 bolas negras (la figura indica una manera posible) y de

manera que “NO” haya dos bolas blancas consecutivas. ¿Cuántas maneras hay de hacerlo?

Solución:

En primer lugar analizaremos el caso cuando las bolas blancas y negras pueden arreglarse en nueve lugares diferentes sin condición.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 lugares

Como tenemos nueve lugares diferentes y en un lugar pueden entrar todas las bolas, estamos en presencia de permutaciones sin repetición. n = 9 lugares. Número total de arreglos: Pn = n! = 9! = 362.880 arreglos. Ahora; analicemos el caso de que las tres bolas blancas permanezcan justas, por ejemplo:

1 lugar 6 lugares => P7 = 7!

Analizaremos el caso cuando dos bolas blancas permanecen juntas. Para ello debemos evitar que las tres bolas blancas estén juntas. Para cumplir con esta condición fijaremos cinco lugares:El primer lugar formado con una bola blanca y dos negra .El segundo lugar para dos bolas blancas cuando permanecen juntas.

un lugar un lugar cuatro lugares

P6 = 6!=720

Ahora, el número de arreglos de manera que no haya dos bolas blancas juntas es:

P9 - [P7 + P6 ] = 9! - [7! + (6!)] = 362880 - [5040 + 720] = 362880 – 5760 = 357120 arreglos.

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EJERCICIOS PROPUESTOS:

Estimados estudiantes: Se recomienda realizar los siguientes ejercicios, los cuales tienen la finalidad de afianzar tus conocimientos adquiridos en tu libro UNA. Si dispones de tiempo puedes enviármelos resueltos por correo electrónico o traérmelo en disquete, para revisarlo y posteriormente pasarlo a la sección de ejercicios resueltos, tu nombre aparecerá junto con el ejercicio, agradeciendo de antemano tu colaboración para contigo y tus compañeros.

1) De cuántas formas distintas pueden sentarse 5 alumnos en una clase donde hay 20 pupitres?

2) Se dispone de ocho gases que no se combinan entre si y se quieren formar mezclas de tres gases (por parte iguales) para realizar una experiencia. ¿Cuántas mezclas distintas se puede formar?

3) ¿De cuántas formas distintas pueden situarse ocho remeros en una barca de ocho remos?

4) Se forman banderas tricolores a franjas horizontales con los siete colores del arco iris. Averiguar:

a. ¿Cuántas banderas se podrán formar?b. ¿Cuántas tendrán la franja superior roja?c. ¿Cuántas tendrán la franja superior roja y la inferior azul?d. ¿En cuántas de ellas intervendrá uno al menos de los dos colores siguientes:

rojo, amarillo?

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Teoria combinatoria 1 Ejercicios

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