Teoría 1º Grado cálculo

7/24/2019 Teora 1 Grado clculo

1/76

Materials 1

1. Nombres Complexos

Els nombres complexos constitueixen un llenguatge molt practic i ade-quat per a manipular moltes de les magnituds que apareixen en enginyeria

electronica. Lobjectiu daquest captol es assolir domini de laritmetica delsnombres complexos. Primer revisarem alguns conceptes basics relatius alsnombres reals, els habituals.

1.1 Nombres reals

Els nombres reals son els que utilitzem per a mesurar magnituds, quantitatsque es donen en la nostra experiencia diaria, comparant-les amb una unitatde mesura previament adoptada, que anomenem 1. Visualitzem els nombresreals com a punts duna recta horitzontal indefinida

0 1 2 3

Habitualment es designa per R el conjunt dels nombres reals, els positiusa la dreta del 0, els negatius a lesquerra. Dins R hi tenim els nombres na-turalsN, multiples de la unitat

N = {1, 2, 3, 4, . . . }

i els entersZ = {. . . , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }.

Els nombres racionals son els que permeten manipular fraccions

Q =

p

q, p,q Z, q= 0

.

Ara be, en el mon real hi ha magnituds concretes que no poden mesurar-se nomes amb nombres racionals. Per exemple, un camp de forma quadradadun Rm de longitud de costat te una diagonal amb longitud Ldonada pelteorema de Pitagores

L2 = 12 + 12 = 2.

Ara be, no hi ha cap nombre racional L tal que L2 = 2. Si fos aix,L = p/q (on suposem p,q, Nsense factors comuns de forma que p/q esirreduble), tindrem p2 = 2q2. Llavors p2 es parell; aixo implica que p es


2/76

2 Materials Joaquim Bruna

tambe parell (si p fos senar, p = 2k+ 1, k N, seria p2 = (2k + 1)2 =4k2 + 4k+ 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 senar). Posemp = 2m; llavors p2 = 4m2.De 4m2 =p2 = 2q2 obtenim q2 = 2m2 amb la qual cosa q2 es tambe parelliqtambe. Finalment hem vist que tant p com qson parells en contradiccioamb el fet que no tenien factors comuns.

Ens cal distingir doncs altres nombres a mes dels racionals. Aquestsson els nombres irracionals. Entre dos nombres realsa, b qualssevol hi hainfinits nombres racionals i tambe infinits nombres irracionals. Per a unnombre real a, el valor absolut o modul|a|designa la distancia al zero

|a| = a si a 0a si a


3/76

Materials 3

Els nombres irracionals tenen una expressio decimal, per tant,indefinidai aperiodica, la qual cosa significa que no podem escriurels amb notaciodecimal utilitzant una quantitat finita de dgits.

Pero hi ha altres formes descriure nombres, diferents de la notacio de-cimal. La notacio binaria utilitza tan sols dos dgits 0, 1; aquests ja son

suficients per a assignar tambe a cada a R una sequencia de 0, 1 (tambeseparats per una coma).

a= 1010, 01001.

El significat es analeg al cas de la notacio decimal, sols que ara les divisi-ons en intervals es fan de dos en dos. El nombre que en notacio decimalescrivim 2, sescriu 10 en binari; el 3 sescriu 11; 0, 5 sescriu 0, 1, etc.

Els ordinadors utilitzen el sistema binari per a treballar amb els numerosreals. Igual que abans, un nombre irracional no pot ser representat ambnotacio binaria per una quantitat finita de dgits. En consequencia, tan solsaproximacions dels nombres irracionals son possibles amb els ordinadors.

Aquest fet esta a la base dels problemes darrodoniment en el calcul perordinador.

Hi ha dos nombres reals molt distingits; el nombre (pi) que despresrevisem i un altre que es el numeroe. La definicio daquest numero noes geometrica:

e= limn+

1 +

1

n

n.

Aquest es un numero irracional, anomenatnombre dEuler. La seva expres-sio decimal comenca

e= 2, 7182818 . . .

Pot provar-se que

e2 =e e = limn

1 +

2

n

n,

e= e

12 = lim

n

1 +

1

2n

n;

en general, hom te que si p/q, p, q N es un racional > 0, el nombre ep/q(que per definicio es larrel q-sima de ep =ee . . . emultiplicat per s mateixpcops) tambe sobte

epq = lim

n

1 +

p

qn

n.

Quan x es un exponent irracional, ex

es defineix en consequenciaex = lim

nepnqn , on

pnqn

x

o, alternativament

ex = limn

1 +

x

n

n.

Lapropietat fonamentalque distingeix la funcioex de les altres funcionsexponencials ax de basea es que coincideix amb la seva derivada: (ex)=ex

(mentre que (ax) = (ln a)ax).

1.2 Nombres complexosEls nombres complexos sobtenen afegint als reals uns altres nombres queper contraposicio anomenem imaginaris. Aquests es justifiquen no perque


4/76


serveixin per a mesurar quantitats fsiques, sino perque laritmetica resul-tant es util.

Comencem amb lobservacio que no hi ha cap nombre real a tal quea2 =1. Si sintrodueix una unitat imaginaria i (tambe designada j entextos per a enginyers) que s compleix i2 =

1. La visualitzem com el

punt de coordenades (0, 1) del pla

1

i

i

z= 3 + 2i

0

Llavors, tambe (i)2 = (1)2i2 =1. Els multiples reals de i, biamb b R sanomenen imaginaris purs, i corresponen als punts de leixdordenades. Un nombre complex general sobte sumant un nombre real a R amb un nombre imaginari pur bi

z=a+bi

que visualitzem com el punt de coordenades (a, b) del pla. El nombre realasanomena la part real de z i b lapart imaginaria

a= Re z, b= Im z.

Quan a, b 0 tenim els del primer quadrant, a 0, b 0 corresponal segon quadrant, etc. El conjunt dels nombres complexos es designa C ihabitualment es reserva la notacioz,w,,per a nombres complexos. Totsels nombres anteriors formen part de C

Z Q R C.En el conjunt dels nombres complexos C shi defineixen unesoperacions

i nocions analogues a les de R, amb unes propietats semblants.En primer lloc hi tenim la suma o addiccio: si z= a+bi, w = c+di,

definim z+w = (a+c) + (b+d) i, e.g.

(1 + 2i) + (3 4i) = (1 + 3) + (2 4)i= 2 2i.Aquesta notacio resulta coherent, es a dir, z=a +bi es la suma de a i de

limaginari purbi. Per visualitzar z+ w en termes dez,w es molt adequatpensarz,w com a vectors; llavorsz+ w es el vector que sobte de z,w ambla regla del paral.lelogram de la suma de forces


5/76

Materials 5

w = 2 + 2i

z = 3 + i

z+ w = 5 + 3i

Si z= a+bi,a bi sanomena loposat de z,z =a bi perquez+ (z) = 0 igual que amb els reals escrivim z w en lloc de z+ (w)(=(a c) + (b a)i).

La multiplicacio de nombres complexos es defineix

(a+bi) (c+di) = (ac bd) + (ad+bc)ie.g.

(1 + 2i) (3 4i) = (3 + 8) + (4 + 6)i= 5 + 10i.La visualitzacio lexplicarem mes endavant. Aquestes dues operacions obeei-xen les regles habituals de laritmetica

z+w = w +z; z+ (w+) = (z+w) +

z (w1+w2) =z w1+z w2 etc.

Observem que la mateixa definicio de la multiplicacio sobte aplicant aques-tes regles i tenint en compte el fet basic i2 = 1.

El modul|z| dun nombre complex es la distanciaal (0, 0).

|z| =

22 + 12 =

5

z = 2 + i

z1

z2

|z1 z2|

Si z = a+bi,|z| = a2 +b2 per la regla de Pitagores. Per a dospunts z1, z2, el modul|z1 z2| de z1 z2 es la distancia entre z1, z2. Enrelacio a la suma i la multiplicacio tenim

|z+w

| |z

|+

|w

| |z

w

|=

|z

| |w

|.

La primera es geometricament clara, doncs diu que en el paral.lelogramanterior la longitud de la diagonal,|z+ w|, es menor o igual que la suma


6/76


de les longituds dels costats,|z| i|w|. Tanmateix, no es facil de provar-hoanalticament:

|z+w|2 = (a+c)2 + (b+d)2 =a2 +c2 + 2ac+b2 +d2 + 2bd(

|z

|+

|w

|)2 =

|z

|2 +

|w

|2 + 2

|z

||w

|=a2 +b2 +c2 +d2 + 2

|z

||w

|.

Comparant, veiem que cal veure ac+bd |z||w|; aquesta es consequenciade (ac+bd)2 |z|2|w|2 que es certa perque

a2c2 +b2d2 + 2acbd (a2 +b2)(c2 +d2) =a2c2 +a2d2 +b2c2 +b2d2

equival a2acbd a2d2 +b2c2

i aquesta darrera sobte de

x2 +y2

2xy= (x

y)2

0

aplicada a x= ad, y=bc.La segona en canvi no te interpretacio geometrica pero es mes senzilla

|z w|2 = (ac bd)2 + (ad+bc)2 ==a2c2 +b2d2 2acbd+a2d2 +b2c2 + 2adbc== (a2 +b2)(c2 +d2) = |z|2 |w|2.

Si en lloc de dos punts z, w en tenim uns quantsz1, z2, . . . , z N

|z1+z2+z3+ +zN| |z1| + |z2| + |z3| + + |zN||z1 z2 zN| = |z1| |z2| |zN|.

El conjugat z de z = a+ bi es per definicio z = a bi; evidentment|z| = |z|.

z

z

R

a= Re z=1

2(z+z)

b= Im z= 1

2i(z z)

s el punt simetricde zrespecte de leix real R. Observis que

z z= (a+bi)(a bi) =a2 +b2 = |z|2.


7/76

Materials 7

Per tant, siz= 0 (que es el mateix que dir a, b = 0, o be |z| = 0), el nombrecomplex z/|z|2 compleix

z z|z|2 = 1.

Per tant sanomena linversde z i es designa z1 o be 1z

. Aix

1

a+bi=

a bia2 +b2

= a

a2 +b2 b

a2 +b2i.

Igual que en aritmetica real escrivim zw

en lloc de z 1w

, etc. Per a obtenirlexpressio de quocients en termes de part real i imaginaria, fem sempreaixo, multiplicar pel conjugat del denominador.

Com que1

z

= z|z|2 = |z|, tenim

z

w =|z|

|w|;

z1z2 zN

w1w2 wM=

|z1||z2| |zN|

|w1||w2| |wM|.

Aix, e.g. 2+3i45i =

2+3i45i

4+5i4+5i

= 7+22i41

. Aquesta operacio de multiplicar pelconjugat del denominador sanomena racionalitzar.

Un nombre complex z= 0 i el seu invers z1 estan disposats segons laseguent figura geometrica; suposant|z|


8/76


2

Com que al dilatar (expandir sir >1, contraure sir


9/76

Materials 9

que quan dibuixem un arc de cercle de radi 1, langle hi determina un arcde longitud tambe 1. Una unitat de mesura dangles diferent es el grau,definit convenint que un angle pla ( radians) te 180 graus

radians 180

2 radians 360.Degut a aquestes definicions, es habitual referir-se a sin x, cos xcom el sinusde xradians, cosinus de xradians (no x graus!!).

Aix, per definicio, quan tenim un triangle rectangle amb hipotenusa delongitud 1 i obertura xradians com en el dibuix

1

A B

C

x

x

hom te AB = cos x; B C= sin x. Si la hipotenusaACno te longitud 1, perproporcionalitat de triangles tindrem

sin x=BC

AC; cos x=

AB

AC.

Les seguents propietats son consequencia de les definicions

sin(x+ 2) = sin x; cos(x+ 2) = cos x

sin(x) = sin x; cos(x) = cos xsin

x+

2

= cos x; cos

x+

2

= sin x

sin(x+) = sin x; cos(x+) = cos x.El grafic de la funcioy = sin x es oscil.latori i periodic

Figura 1-11

Lona entre 0 i 2 es repeteix periodicament. Diem que 2 es el perodebasic o fonamental

sin(x+ 2) = sin x xi els nombres Tque tenen aquesta mateixa propietat

sin(x+T) = sin x xson exactament els multiples enters de 2: T = 2k, k Z.

El grafic de la funcio y = cos x= sin(x+/2) sobte desplacant el del

sin x. Ambdues funcions oscil.len (prenen valors) entre1 i 1. Analitzemlefecte dintroduir un factor descala: y= sin(x), per exemple y = sin 4x:ara tan sols necessitem (0, /2) per fer una ona


10/76


Figura 1-12

Ara el perode es /2. Si posemy = sin x, el perode es 2/. Havent-hi una ona en interval de longitud 2/ , en un interval de longitud L hihaura L/(2/) = L /2 ones u oscil.lacions. El nombre/2 queindica per tant el nombre doscil.lacions per unitat de longitud (el factor pelqual cal multiplicar la longitud dun interval per obtenir el numero doscil-lacions en aquest interval) sanomena la frequencia.

Si en lloc de y= sin x tenimy= sin(x + ), el grafic es un desplacatde lanterior, i sanomena la fase inicial. Finalment, si introdum unfactor A >0

y= A sin(x+)

la funcio oscil.la entreAi A, i Asanomena lamplitud

Figura 1-13

Quant mes gran es la frequencia mes atapedes estan les ones.Pot provar-se geometricament que

sin(x+y) = sin x cos y+ cos x sin y

cos(x+y) = cos x cos y sin x sin yi per tant tambe canviant y pery

sin(x y) = sin x cos y cos x sin ycos(x y) = cos x cos y sin x sin y.

Donat x R considerem el nombre complex que ens ha servit per adefinir sin x, cos x

1

cosx+ i sinx

x

x


11/76

Materials 11

Les relacions anteriors signifiquen

cos(x+y) +i sin(x+y) = [cos x+i sin x][cos y+i sin y].

Daltra banda, si derivem

[cos x+i sin x]= [cos x]+i[sin x] = sin x+i cos x= i[cos x+i sin x].Degut a aquests dos fets, sutilitza habitualment la notacio dEuler

eix = cos x+i sin x

perque les dues relacions anteriors sescriuen llavors

ei(x+y) =eixeiy

[eix] =ieix

en concordancia amb les regles que ens son familiars de laritmetica el calculsobre els nombres reals

ax+y =axay

[ax] = ln aax.

Lexpressioeix = cos x+i sin xes per tantun convenique resulta ser utilen els calculs. Quanxva variant en R,eix recorre el cercle unitat repetint-sede 2 en 2

ei(x+2) =eix; ei(x+2k) =eix, k

Z.

Observis que el conjugat de eix es eix:

eix = cos x+i sin x= cos x i sin x= eix.Per tant

cos x= Re eix =1

2(eix +eix)

sin x= Im eix = 1

2i(eix eix).

Totes aquestes expressions sanomenen les formules dEuler.Com que ei(x+y) =eixeiy, quan x= y tenim

[eix]2 =e2ix

i reiterant tindrem que [eix]k = eikx quan k N. Com queeix eix = 1,eix es linvers de eix: [e+ix]1 =eix i en general [eix]k =eikx per ak enter(tant si es positiu com si es negatiu).

Aquest conveni defineix eix, es a dir, lexponencial dun imaginari pur.Lexponencial ex dun nombre real x R es quelcom definit independent-ment en el calcul amb nombres reals. Hi ha diverses formes dintroduir e

x

.Per exemple, una es

ex = limn+

1 +

x

n

n.


12/76


Una altra definicio mes significativa de ex es la seguent: f() = ex

es lunica funcio f que coincideix amb la seva derivada, f = f, i tal quef(0) = 1.

La funcio exponencial de variable realx,ex, tambe obeeix la reglaex+y =exey, [ex]1 =ex.

Recordem que el grafic de la funcio exponencial es

1

0

y = ex

Quan x+, ex + (es a dir, ex es fa arbitrariament gran quanxes fa arbitrariament gran); quan x

, ex

0.

Tenim doncs per un costat la definicio deea quana Ri la definicioeibquan b R. Per a un nombre complex z = a+ ib general, posem perdefinicio

ez =ea+ib =eaeib =ea(cos b+i sin b).

Llavors es immediat comprovar que les regles basiques

ez+w =ezew, [ez]1 =ez

continuen complint-se. Observis que

|ez

| = |ea

|| cos b+i sin b| =ea

=e

Re z

.Amb la notacio dEuler es comode obtenir formules trigonometriques.

Per exemple, sin 2x = Im[e2ix] = Im[(eix)2] = Im[(cos x + i sin x)2] =Im[cos2 xsin2 x+2cos x sin xi]=2cos x sin x; el mateix calcul dona cos 2x =cos2 x sin2 x.

e3ix = (eix)3 = (cos x+i sin x)3 =

= cos3 x+ 3 cos2 x sin xi 3cos x sin2 x i sin3 x.Per tant,

sin3x= Im e3ix = 3 cos2 x sin x sin3 x= sin x(3 4sin2 x)cos3x= Re e3ix = cos3 x 3cos x sin2 x= cos x(4cos2 x 3).


13/76

Materials 13

Quan x = /3, sin3x = sin = 0 3 4sin2 x = 0 sin /3 =3/2 cos /3 = 1/2.

Quan x= /6, 3x= /2 = 0 4cos2 x 3 = 0 cos /6 = 3/2 sin /6 = 1/2.

Donat un angle amb cos

= 0 (es a dir,

=/2 +k , amb k

Z),

es defineix la tangent d com

tg = sin

cos .

Graficament,

1

AB

C

0

D

tg

La tangent d ve donada per la longitud del segment AD, per la pro-porcionalitat dels triangles 0BC i 0AD

tg = sin

cos =

BC

0B=

AD

0A=

AD

1 =AD.

Estrictament parlant hem de considerar >0 quan el segment AD esta persobre leix 0x i < 0 quan esta per sota. Aix, veiem que tg + quan /2, i tg quan /2. Tambe es clar que tg(+) =tg .

Si tenim un triangle rectangle

B

A0


14/76


cos = 0A

0B

sin = AB0B

tg = AB0A

.

El grafic de la funcio tg es

0 /2 /2

Donat un x R, hi ha molts angles amb tg = x. Pero nomes hi haun angle 0 (/2, /2) amb tg = x:

0

x > 0

x < 0

0

Aquest angle sanomena larctg x. Aix, per definicio, arctg pren valorsen (/2, /2); el seu grafic es


15/76

Materials 15

/2

/2

limx+

arctg x= +

2; lim

xarctg x=

2.

Alguns arctg particulars: arctg 1 =/4; arctg

3 =/3; arctg 1/

3 =/6.

1.4 Forma polar de nombres complexos

Si z C, z= 0, considerem z|z| = a+iba2+b2 :

z

z

z

|z|

z

|z|

Com que z|z| esta en el cercle unitat, el podem escriure z|z| = cos0+

i sin0 = ei0, on 0 es la longitud de larc del cercle unitat que va des d1

fins a z|z| en el sentit contrari a les agulles del rellotge. Aix tenim

z= |z|ei0.

Fixem-nos que tambe z =

|z

|ei(0+2k), k

Z. Els numeros reals =

0 +2k, que son tots els que compleixenz= |z|ei, sanomenenargumentsdez i z=|z|ei una forma polar de z. De tots els arguments de z nomesnhi ha un, 0 en [0, 2), 0 0 < 2 i sanomena largument principal


16/76


dezdesignat Arg z. Aix,

Arg 1 = Arg 2 = Arg x= 0 si x R, x >0

Arg ix=

2 si x >0

Arg x= + si x


17/76

Materials 17

Per a il.lustrar la utilitat de la notacio polar, suposem que volem calcular12

+

32

i1000

. Si no disposessim de la forma polar, que farem? Haurem

de recorrer a la formula delbinomide Newton, que expressa (A + B)N comuna suma de termes APBNP amb uns certs coeficients

(A+B)2 =A2 + 2AB+B2

(A+B)3 =A3 + 3A2B+ 3AB2 +B3

posant despres A= 12

i B =

32

, i N= 1000.En la formula del binomi de Newton, els coeficients que acompanyen

APBNP sobtenen amb el triangle de Tartaglia

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

+

32

i1000

sescriu llavors com la suma de 1001 termes, ja es veu

que aixo es demencial. En canvi, si utilitzem la forma polar es senzillssim:12

+

32

i= ei3

11/2

3/2

ei

3

=

1

2 +

3

2 i

12

+

32

i1000

= ei1000

3 . Seguidament calculem quantes voltes repre-

senta 10003

i quant queda: fem la divisio entera de 1000 per 3: 1000 =

3 333 + 1 10003

= 333 + 13 ei 10003 = ei333ei3 . Si tenim un enter

parell, = 2k, kZ, ei =ei2k = 1 i si es senar ei = ei =1. Aixei

10003

= ei3 =

12

+

32

i

1

2+

3

2 i

1000=

1

2+

3

2 i

.


18/76


1.5 Arrels de nombres complexos

En laritmetica sobre els nombres reals R, donat un nombre real a R iun natural n N (n = 2, 3, 4, . . . ) anomenem arrel n-sima da qualsevolnombre b R tal que bn = a . Si n = 2, 3 utilitzem habitualment elstermes arrel quadrada i arrel cubica. Si n = 2, i a > 0, hi ha dues arrelsquadrades dareals: una positiva, que designem ai laltre negativa, a.Els nombres a < 0 no tenen cap arrel quadrada real. Observis que ambaquesta notacio

b2 = |b|, b R.Si n = 3, en canvi, tot nombre a R, tant si es > 0 com < 0, te una

unica arrel cubica que anomenem 3

a. Aixo es clar amb el grafic de y:

3a

3a

a

a

y = x3

Ara, 3

b3 =b.En general, si n es parell, tot a >0 te dues arrels n-simes: una positiva

que anomenem n

a i una negativa, na, mentre que els nombres < 0 notenen arrels n-simes reals. Si n es senar, tot nombre a

R te una unica

arreln-sima, que anomenem na.La situacio es ben diferent en laritmetica complexa. Precisament una

motivacio per la introduccio de C es que, dins C, tambe els nombres a


19/76

Materials 19

w1 = 1

w2w3

1 =w4

w5 w6

/3

w2=

1

2+

3

2 i

w3= 12

+

3

2 i

w5= 12

3

2 i

w6=1

2

3

2 i.

Si continuem afegint angle 2n

arribarem en n etapes altre cop al

punt w1 = 1. Lultim wn = ei(n1)2n, al afegir-hi argument 2n tindrem

ei2 = 1.Sizes qualsevol,z=Rei, lesn-arrelsn-simes dez,1, . . . , nsobtenen

de la seguent forma. La primera es 1 = n

R ein , esta clar que (n1 ) =[ n

R ein ]n = R ei = z. Llavors considerem les n-arrels n-simes de launitat anterior,wk=e

i 2n

(k1), k= 1, . . . , nson

1 = 1 w1=1 1, 2=1 w2 = n

R ein ei 2n , . . .. . . , k=1 wk = n

R ein ei 2n (k1) = n

R ei 1n (+2(k1)).

Efectivament, nk = n1wnk = z 1 = z. Geometricament: les n-arrels1, . . . , n son els vertexs dun polgon regular de n costats obtingut delanterior fent loperacio de multiplicar per 1, es a dir, girar un angle de

n

en el sentit contrari de les agulles del rellotge i despres fent una homoteciade rao n

R.

En el cas particular que z = x es real 0, si n es parell, (n 2) deles n arrels de zno son reals (tenen part imaginaria= 0) i les altres duesson n

x i nx. Si z = x es real qualsevol i n es senar, una arrel es el

nombre real n

x i les altres n 1 son no reals.

1.6 Arrels de polinomisEn el calcul amb nombres reals manipulem funcions f(x), on x es unavariable independent en x R i y = f(x) es la variable dependent que


20/76


pren valors tambe en R; el valor de y depen del de x segons la regla f.El grafic o representacio grafica de y =f(x) consisteix en marcar en el pladeixos x, y els punts (x, f(x)).

Els polinomis son en certa forma les funcions mes senzilles. Un polino-

mi P(x) es una expressio com ara P(x) = 3 + 2x, +ex, 2 + 7x 50x2

oen general

P(x) =a0+a1x+a2x2 + +anxn =

ni=0

ajxj, aj R.

Si an

= 0 diem que P te grau 0, ordre n. Els polinomis de grau 1,

P(x) = a0 +a1x sanomenen tambe funcions lineals, els seus grafics sonlnies rectes amb pendent a1

A

B

C

a0

x

a1 h= P(x + h) P(x)

x + h

tg =

BC

AB =a1

En el dibuix a0, a1 > 0: si fos a1 < 0 la recta aniria cap avall anantdesquerra a dreta. Si a1 = 0, P(x) =a0 es una funcio constant amb graficuna lnia horitzontal.

Els seguents polinomis mes senzills son els de grau dos, P(x) = a0+a1x+a2x

2, a2= 0. El grafic de y=x2 es una parabola com en el dibuix


21/76

Materials 21

x

x2

Coneixent el grafic de y = x2 podem veure com es el grafic de y =a0+a1x+a2x

2 de la seguent forma: completant quadrats escrivim

a0+a1x+a2x2 =a2

x2 +

a1a2

x+a0a2

= a2

x+

a12a2

2+

a0a2

a21

4a22

.

Per tant a partir de y = x2 fem tres operacions sobre la parabola: a) Tras-lladem al punt

a1

2a2horitzontalment, tindrem una parabola pero ara amb

vertex (que es repenja) en el punt a12a2

, 0. b) Traslladem verticalmentuna magnitud a0

a2 a21

4a22

(es a dir, cap a dalt si aquesta magnitud es positiva,

cap a baix si es negativa). c) Finalment multipliquem tot per a2; si a2 0

< 0, a2 > 0

> 0, a2 > 0

= 0, a2 < 0

< 0, a2 < 0

> 0, a2 < 0


22/76


Els nombres reals c R tals que P(c) = 0 sanomenen les arrels realsdel polinomi (els punts de leix x on el grafic es talla). s clar que un poli-nomi P(x) = a0+ a1x de grau 1 te una unica arrel c =a0a1 ; un polinomide grau 2, P(x) = a0+ a1x+a2x

2 ja veiem en els grafics que si = 0 teun unic zero

a1

2a2, si > 0 te dos zeros c1, c2 que obtenim igualant a zero

lexpressio dunes lnies abans

c1 =a1+

2a2, c2 =

a1

2a2.

Si < 0 el polinomi no te arrels reals. sanomena el discriminant.

Els grafics de polinomis de grau 3 son de la forma

a3 > 0

a3 < 0

Pot veures que un polinomi de grau 3 te sempre, almenys, una arrelreal; pot tenir-ne tres diferents, pero mai nomes dues diferents. En general,un polinomi de grau n senar te sempre, almenys, una arrel real (aixo esveu per exemple quan an >0 perque P(x) > 0 per a x molt gran i positiui P(x) 0 i

Q= b0+b1x+b2x2 tambe el polinomi P(x)

Q(x) tindra 4 arrels, etc.

La situacio es simplifica, novament, si utilitzem aritmetica complexa.Donat un polinomiP(x) =a0 +a1x+ +anxn amb coeficients realsaj R,j = 0, . . . , n, considerem el mateix polinomi pero reemplacant la variablereal x R per una variable complexa z C

P(z) =a0+a1z+ +anzn.

Malauradament, ara, no podem visualitzar cap grafic format pelspunts (z, P(z)) quan z varia en C. Un nombre complex C tal queP() =a0+ a1 + a2

2 +

+ an

n = 0 sanomena unaarrel complexadel

polinomi P.Quan el grau es 1, P(z) =a0+ a1z, hi ha una unica arrel complexa que

es la mateixa arrel real dabans,a0/a1, clar. Quan el grau es 2 podem


23/76

Materials 23

tornar a escriure

a0+a1z+a2z2 =a2

z+

a12a2

2+

4a2a0 a214a22

=

=a2

z+ a1

2a2

2 4a22

.

Si 0 les arrels complexes son les mateixes arrels reals dabans. Ara be,si < 0, en el cas real no havia arrels perque

x+ a12a2

2=

4a22

no es pot resoldre enx R si < 0, pero si reemplacemx perz C s quela podem resoldre perque /4a

2

2 s te arrels quadrades dins C (imaginariespures, que son +||/2a2i, ||/2a2i). Per tantP(z), si < 0 te dues

arrels complexes que son

1 = a12a2

+

||2a2

i, 2=1 = a12a2

||

2a2i.

Habitualment, amb un abus de notacio, escrivim les arrels encara

1 =a1+

2a2, 2 =

a1

2a2.

Per exemple, les arrels de z2 2z+5 son 2

4202

= 216

2 = 24i

2 = 12i.

En tots els casos, observem que si 1 i 2 son les arrels diferents de Pquan = 0 (reals si > 0, complexes no reals si < 0) tenim

a2(z 1)(z 2) =a0+a1z+a2z2 =P(z),

es a dir, 12 = a0

a2, 1 + 2 =a1a2 . Quan nomes hi ha una arrel ,

P(z) =a2(z )2.El teorema fonamental de lalgebra afirma que tot polinomi P(z) de

graun te exactamentn arrels complexes1, . . . , n i queP(z) =a0 + a1z+ +anzn =an(z 1)(z 2) . . . (z n).En la llista1, . . . , npodem haver-hi repeticions. Si un mateix nombre

complex hi surt k vegades diem que te multiplicitatk. Agrupant les queson iguals podem doncs posar

a0+a1z+ +anzn =an(z 1)k1(z 2)k2 . . . (z m)km

on ara els 1, 2, . . . , m son diferents i k1+k2+ +km= n.LexpressioP(z) =an(z 1)(z 2) . . . (z n) sanomena lafactorit-

zacio deP en polinomis irredubles sobreC. Observem que al ser reals els

coeficients a0, a1, . . . , an, si es una arrel complexa de P

P() =a0+a1+a22 + +ann = 0


24/76


conjugant aquesta relacio obtenim a0+ a1+a22 + +ann = 0, es a

dir P() = 0 i tambe es una arrel. Quan = a+ib, b= 0 es una arreltenim doncs automaticament una altra arrel = a ib.

Si en lexpressioP(x) =a0(x 1)k1(x 2)k2 . . . (x m)km , on x Ri 1, . . . , n

C agrupem els factors corresponents a i a , com que

(x )(x ) = (x a ib)(x a+ib) = (x a)2 +b2

obtenim la que sanomena factoritzacio de P(x) en polinomis irredublessobreR, on P(x) apareix com a producte de polinomis del tipus (x c)ambc R (eventualment repetit) i de polinomis dordre dos (x a)2 +b2(tambe eventualment repetit).

Malauradament no hi ha formules per a trobar les arrels complexes depolinomis generals. Un recurs utilitzat habitualment es basa en lobservacio:

es una arrel de P, P() = 0 P(z) factoritza P(z) = (z )Q(z)on Q(z) es un altre polinomi de grau inferior en 1 al de P(z) (el polino-mi Q(z) sobte amb la regla de Rufini) i reiterant.

Revisem tots aquests fets amb un exemple. Considerem P(x) = x4 +3x3 + 5x2 + x 10, o beP(z) =z4 + 3z3 + 5z2 + z 10. Observem que 1 esuna arrel, per tant P(x) = (x 1)Q(x) ambQ donat per

1 3 5 1 101 1 4 9 10

1 4 9 10 0 Q(x) =x3 + 4x2 + 9x+ 10.

Ara observem que Q(

2) = 0

1 4 9 102 2 4 10

1 2 5 0.

Per tantQ(x) = (x +2)(x2 + 2x + 5). Aquest darrer te discriminant 20 =1b


25/76

Materials 25

les arrels quadrades de 12

3

2 i. Les de 1

2+

3

2 i= ei

3 son ei6 =

3

2 +i

i les de 1

2

3

2 i= ei

3 son ei

3 =

3

2 i

. Aix

z4

z2 + 1 = (z

ei

6 )(z+ei

6 )(z

ei

6 )(z+ei

6 )

la descomposicio sobre Cmentre que agrupant primer i tercer factor, segoni quart, la descomposicio sobre R es

x4 x2 + 1 =

x

3

2 +

i

2

x

3

2 i

2

x+

3

2 +

i

2

x+

3

2 i

2

=

=x 3

22

+14x+ 3

22

+14=

= (x2

3x+ 1)(x2 +

3x+ 1).

1.7 Ones elementals. Fasors

Ja shan comentat abans les caracterstiques de la funcioy = A sin(x + ),A= amplitud, = fase, = frequencia. Te perode fonamental T = 2/ ;aquestes funcions, i les que se nobtenen per superposicio (sumes i restes)

son particularment importants en sistemes electronics. Com veurem, tambeson basiques per manipular funcions periodiques (seccio 1.8), rao per la qualapareixen en la descripcio dels fenomens oscilatoris i vibracions.

Quan la variable independent x R es el temps, es habitual utilit-zar t en lloc de x, y = A sin(t + ). Recordem que, donada la formulacos = sin

+

2

, es indiferent treballar amb expressions A sin(t +)

o A cos(t+):

A cos(t+) =A sin

t++

2

.

Anomenarem ona elemental de frequencia a una ona daquest tipus.Aquestes ones tenen una expressio equivalent que tot seguit descriurem

A sin(t+) =A[(sin t)(cos ) + (cos t)(sin )] =B cos t+Csin t

amb B = A sin , C = A cos (ara no necessariament B, C son positius,B, C R). Duna forma analoga, A cos(t + ) te una expressio equivalent

A cos(t+) = (A cos )cos t (A sin )sin t.

Recprocament, si partim duna expressioB cos t+Csin ti la volem posaren la forma A sin(t+) cal

A sin = BA cos = C

Aei =C+ iB.


26/76


Aix, A= |C+ iB| = C2 +B2 i es un argument de C+iB

= arctgB

C si C >0

= arctgBC+ si C


27/76

Materials 27

1 +

3i

Un argument deC+ iB1 no es arctgBC

, perque esta en el 2n quadrant.

Aqu, arctg BC

= arctg 3 =3

i arg(1 + 3i) =3

+ = 23

,

1 + 3i= 2 ei 23

3cos t sin t = 2 sint+23

.

Una consequencia important de tot aixo es que

Proposicio 1.1. La suma dun nombre arbitrari dones elementals de lamateixa frequencia es una ona elemental de frequencia.

s a dir, si tenim una suma o diferencies (superposicio) qualsevol

A1sin(t+1) A2sin(t+2) ANsin(t+N) =f(t)

sempre la podem escriure en la forma

f(t) =A sin(t+) =B cos t+Csin t.

Senzillament escrivim cadaAjsin(t+j ) en la forma

Ajsin(t+j) =Bjcos t+Cjsin t

sumem i ja tenimB, C

f(t) =

N

j=1 Ajsin(t+j) =

=

N

j=1

Bj

cos t+

N

j=1

Cj

sin t =

=B cos t+Csin t.

A partir daqu, ja es facil posar-ho en la forma A sin(t+).LexpressioA sin(t +) per a una ona elemental de frequencia resulta

mes util que B cos t + Csin t en determinades questions. Per exemple,

sota la formaA sin(t + ) es evident que A es lamplitud maxima doscila-cio, fet que en lexpressioB cos t + Csin t queda amagat. Tambe es moltmes facil calcular els punts on lona te una determinada amplitud.


28/76


Exemple 1.2. Calculem lamplitud maxima doscilacioA de lona cos t3sin t i els punts on lona te la meitat A

2 damplitud. Primer escrivim

lona en la formaA sin(t + ). Aqu presentarem els calculs amb tot detall

A sin(t+) =A(sin t cos + cos t sin ).

Per tant

A cos = (coeficient de sin t) = 3A sin = (coeficient de cos t) = 1

Aei =

3 +i.

La tangent de es cos / sin = 1/3, pero no es larc tangentde1/3 que donaria la calculadora perque te cosinus < 0 i sinus > 0(ei esta en el 2n quadrant) Arctg = arctg 1/3 =

6 i =

6 = 5

6.

Daltra banda, A= 12 + (

3)2 =

4 = 2

cos t

3sin t = 2 sin

t 6

.

Busquem ara els punts on lamplitud (en valor absolut) es la meitat, 1

2sin

t 6

= 1 sin

t

6

= 1

2.

Pel cas + 12

,

sin

t 6

= 1

2 t

6

=

6+ 2k, k Z

t = 26

+ 2k =

3+ 2k

t= 13

+ 2k , k Z.

Pel cas12

,

sin

t 6

= 1

2 t

6 =

6+ 2k

t= 2k , k Z.

Fixem-nos que aquesta ona te perode 2

= 2

= 2, aixo es reflecteix en elresultat.

Per tant totes aquestes expressions son equivalents. En aquest context,el nombre complex Aeieit = Aei(+t) sanomena un fasor. Si en cadamoment t observem la posicio de Aei(+t) en el pla complex, veurem que

la trajectoria comenca en t = 0 en Aei(+t) i va seguint el cercle de radi Aen el sentit contrari a les agulles del rellotge donant una volta sencera encada perode (interval de temps de longitud 2

).


29/76

Materials 29

Molts cops la frequencia es implcita i per abus de llenguatge sanome-na fasor aAei. Si anomenem aquest nombre complex perF =Aei, encarauna tercera forma equivalent dexpressar una ona sinusoidal elemental es

y= Re F eit =1

2(F eit +F eit).

1.8 Superposicio dones elementals amb frequencies diferents. Fun-

cions periodiques

Hem vist en la seccio 1.7 que si superposem ones elementals de la mateixafrequencia el resultat es una altra ona elemental de frequencia .

Que passa si superposem ones de frequencies diferents?

Abans desbrinar aixo conve fer alguns aclariments sobre el significatdalguns termes: funcio periodica, perodes, perode fonamental.

En general, una funcio f(t) sanomena periodica si hi ha un L tal quef(t+ L) = f(t), t; canviant t per t L tambe tenim f(t L) = f(t),es clar. Graficament, aixo significa que el grafic y = f(t) queda igual si eltraslladem a dreta o esquerra en L unitats. Per exemple

0 1

Compleix f(t 1) = f(t). El nombre L sanomena un perode de f. Lafuncio queda llavors determinada per tal com es en linterval [0, L):

3/4 7/4

De fet ens serveix qualsevol interval [a, a + L) de longitudL. Per aquest

motiu, tambe sanomena perode a qualsevol interval daquest tipus. Enel dibuix anterior, [3/4, 7/4) es tambe un perode, si repetim el grafic so-bre [3/4, 7/4)


30/76


3/4 7/4

tambe ho reconstruim tot.No tota funcio admet un perode, per exemple f(t) = t, f(t) = t2,

f(t) = et, f(t) = sin(t2) no admeten perodes i no son per tant funcionsperiodiques. Daltra banda, si f(t) admet un perode L, aleshores tambe2L es un perode

f(t+ 2L) =f((t+L) +L) =f(t+L) =f(t)

i en general ho sera kL ambk Z. s a dir, si una funcio es periodica, temolts perodes; el conjunt daquests perodes

{L R, L es un perode de f} =P(f)sanomena el grup de perodes de f. Si f es periodica i no es una funcioconstant, pot veures que hi ha un perode T, que es el mes petit de tots elsperodes > 0 de f, de forma que P(f) = T Z, es a dir, lexpressio generaldun perode def esL = k

Tambkenter. Aquest perode Tdefsanomena

el perode basic o fonamental def.Per exemple,f(t) = sin4t admet 1 com a perode: f(t +1) = sin(4t +

4) = sin4t = f(t), pero el perode fonamental es T = 1/2. Una onaelemental de frequencies ,

y=A sin(t+)

te perode fonamental T= 2/, els seus perodes son 2/ k, k Z.Considerem ara dues ones elementals de frequencies diferents i les su-

perposem, per exemple

f(t) = sin t+ sin 2t.

La primera, sin t, te perode fonamental 2, els seus perodes son2,4 , . . . ; la segona te perode fonamental , els seus perodes son , 2,3 , . . . . Les dues admeten 2 com perode, per tant f(t) es 2-periodica:f(t+ 2) =f(t). Pero no es -periodica: f(t+) = sin(t+) + sin(2t+2) = sin t + sin 2t =f(t). s una funcio 2-periodica pero no es una onaelementalde perode fonamental 2del tipusA sin(t+) =B cos t+Csin t.Si fos sin t+ sin 2t= B cos t+Csin t, fent t= 0 trobem B = 0 i fent t =

2

trobemC= 1, pero es obvi que sin t+ sin 2t = sin t.Lexemple anterior ha mostrar que la superposicio dones elementals de

frequencies diferents

f(t) =A1sin(1t+1) A2sin(2t+2) ANsin(Nt+N)


31/76

Materials 31

es periodica si tots els termes tenen un perode comu L, i llavors L esevidentment un perode de la superposicio. Mirem quina condicio han decomplir les frequencies1, 2, . . . , N. Com que els perodes de sin(it + i)son 2

i k, k Z, han dhaver-hi k1 Z, k2 Z , . . . , kN Zde forma que:

21 k1 = L

2

2 k2 = L

...

2

N kN=L.

Llavors qualsevol quocient j/i es = kj/ki amb els kj enters. Per tant,cadascun daquests quocients es un nombre racional. En aquest cas es diuque 1, 2, . . . , N son conmesurables. Aquesta es la condicio per tal quecada terme admeti un perode comu, i pot veures que es tambe la condicioper tal que f(t) sigui periodica.

Aix, per exemple, sin t+sin 23

t es una funcio periodica, pero sin t+sin

2tno ho es.

Una pregunta natural es: si els perodes 1, 2, . . . , N son conmesura-bles, de forma quef(t) es periodica, com podem trobar el perode fonamen-tal T de f?

Mirem primer el cas que tinguem dos termes

A1sin(1t+1) A2sin(2t+2)amb 1/2 racional, suposem 1/2 = p/q, p, q Z, i suposem ja queaquesta es lexpressio irreduble de 1/2. Busquem els enters k1, k2 mespetits tals que k1

1= k2

2, aixo es k1

k2= 1

2= p

q. Essent la fraccio irreduble, es

clar que k1 =p, k2 = q. Per tant el perode fonamental de la superposicioes

2k11

=2P

1.

Exemples. sin2t+ cos 6t. En aquest cas1/2 = 2/6 = 1/3. El perodefonamental es 2

1=.

sin3t+2sin 5t+ 4 . En aquest cas1/2= 3/5. El perode fonamentales 2k1

1= 2.

cos 47

t+ 4 sin

313

t+ 6

. En aquest cas 1/2 = 4/7/3/13 = 52/21 que

es irreduble. El perode fonamental es 2521

= 2524/7

= 182.

Per a tres o mes sumands es un xic mes complicat. Suposem que i/jes racional; evidentment es suficient considerar

1j

=pjqj

, j = 2, . . . , N

on ja suposem irredubles aquestes fraccions. Busquem els k1, . . . , kNenters

mes petits de forma quek11

= k22

= = kNN


32/76


aixo es

k1k2

=12

=p2k2

,k1k3

=13

=p3k3

, . . . ,k1kN

= 1N

=pNqN

k1q2=k2p2, k1q3 = k3p3, . . . , k1qN=kNpN.

Com que les parelles (q2, p2), (q3, p3), . . . , (qN, pN) no tenen factors comuns,k1ha de ser un multiple dep2, tambe de p3, . . . , depN,k2un multiple deq2,k3 de q3, . . . , kN de qN. Aixo indica que k1 es el mnim comu multiple

FALTA PAG. 39lexpressio general duna funcio L-periodica. Tota funcio L-periodica f(t)(anomenada a cops ona periodica de perode L) es la superposicio doneselementals de frequencies 2

L k

f(t) =

kAksin

2

Lkt+k

.

s clar que tambe podem utilitzar lexpressio alternativa de les ones elemen-tals

f(t) =

k

Bkcos2

Lkt+Cksin

2k

Lkt.

Aquestes expressions sanomenen els desenvolupaments en serie de Fourierde la funcio f. La forma concreta de calcular els coeficients (Ak, k) o be(Bk, Ck) a partir de f(t) sestudiara mes endavant.

En aquests desenvolupaments, estrictament parlant hi ha infinits su-mands, un per a cada k, i cal afegir-hi un terme constant que correspona k= 0. Aix

f(t) =B0+

k=1

Bkcos2

Lkt+Cksin

2

Lkt

es lexpressio generalduna funcioL-periodica. A mes a mes, aquest desen-volupament es unic, per exemple si ens mirem f(t) com a funcio 2L-perio-dica, el seu desenvolupament com a tal es el mateix. El perode fonamentalnomes pot ser L/2 si en el desenvolupament nomes hi ha els termes ambk parell, nomes pot ser L/3 si en el desenvolupament nomes hi ha els ter-mes amb k multiple de 3, etc. En particular, quan B 21+ C

21= 0, el perode

fonamental es L; tambe ho es en el cas

B0+B2cos2

L2t+C2sin

2

L2t+B3cos

2

L3t+C3sin

2

L3t+

ambB 22+ C22= 0, B23+ C23= 0.

En sistemes electronics, molts cops apareixen funcions sinusoidals peroon lamplitud no es constant sino atenuada, augmentada, etc., es a dir,

y(t) =A(t)cos(t+) on A(t)> 0.

Ara, en general, la funcio ja no es periodica (excepte si A(t) ho es). Lafuncio oscil.la, en el sentit que pren valors positius i negatius segons indica

(positiva en un interval de temps de longitud , negativa en el seguentinterval de temps de longitud

), i sempre entreA(t) i A(t). El grafic es

de la forma


33/76

Materials 33

y y = A(t)

y= A(t)

y(t) =A(t) cos(t + )

es a dir, esta enmolcallat pels grafics dey =A(t) iy = A(t). En aquestcas, el fasor corresponent

F(t) =A(t)ei(+t)

te una tra jectoria mes complicada. Per exemple si A(t) creix, per exemple

A(t) =t, F(t) segueix una espiral expansiva

Si A(t) decreix, per exemple A(t) = Ae+t, < 0, la trajectoria seriauna espiral contractiva


34/76


En aquest darrer cas, A(t) =Ae+t, com que llavors

F(t) =Aeie(++i)t

al nombre complex +i se lanomena frequencia complexa.


35/76

Materials 35

2. Funcions, lmits i calcul diferencial en una variable

2.1 Funcions i grafiques, lmits

En una funcioy = f(x) la variable dependent ypren valors que depenen dela variable independent x. Per a cada valor dexhi ha ben definit un valorde y = f(x), ambdos reals (mes endavant parlarem una mica de funcionsz=z(x) on la variable dependent pot prendre valors complexos). La reglaf segons la qual sassignen valors de y a cada valor de x habitualment veexpressada mitjancant una formula

y= sin(x3), y = ex sin(2x), etc.

pero tambe pot ser donada en termes qualitatius, per exemple y =temps

que tarda a buidar-se un diposit de base circular dun 1 m2 i x metresdalcada per un foradet de 2 cm2 situat al fons. Quant la variable inde-pendent es el temps, habitualment es designa per t.

La variable independentxvaria, pren valors, en unintervalI R. Aixovol dir un del tipus I= (a, b) = {x R, a < x < b} o I= [a, b] = {x : a xb}, [a, b), (a, b] tambe pot ser Ino acotat, I= (, b), I= (a, +),I= [a, +) etc. o be I= R.

En la representacio cartesiana de y = f(x) utilitzem dos 0x, 0y eixos,un horitzontal per a x i un vertical per a y, per a visualitzar y = f(x);senzillament dibuixem per a cada x I el punt (x, f(x)) del pla (quanf(x) 0 a sobre de leix 0x i quan f(x) 0 per sota). Dit duna altraforma, de tots els punts (x, y) nomes marquem aquells tals que y = f(x).Aix obtenim un filo corbaen el pla, que sanomena elgrafic dey =f(x).Per exmeple, ja coneixem be el grafic duna ona elementaly =A sin(x +)


36/76


i de la majoria de funcions elementals. Recordem que per funcions elemen-tals entenem les funcions seguents:

- elspolinomis: y= c0+c1x+c2x2 + +cnxn

- les funcions trigonometriques y = sin x, y = cos x, y = tgx i les seves

inverses y = arctg, etc.

- les funcions exponencials y = ax, a > 0, i les seves inverses (a= 1)y = loga x. Com que xax, amb a= 1, es estrictament monotona(estrictament creixent si a >1, estrictament decreixent si 0 < a 0. Quan lexponent b es un numeronatural b= n, llavors an evidentment esta definit per a qualsevol base

an =a a a (ncops)si b =n, an = 1

an. Si b es un numero racional b = p/qsuposem que

lexpressio es irreductible llavors

ap/q = q

ap

o tambe = ( q

a)p

on recordem que q

x, per aqparell nomes esta definit per ax 0 i significael unic numero positiu y tal que y

q

= x, i si q es senar es lunic numeroy R tal que yq =x. Per tant veiem que ap/q esta definit per a tota basea si p es parell i qsenar o be si els dos son senars, pero nomes per a a >0si p es senar i q es parell. Aix, les uniques bases a per a les quals

ax, x Qesta definit per a totsels racionals son les bases a 0. Aquest es el motiupel qual nomes es pot definit ax, per a x real si a 0. Si xn son lesaproximacions decimals dex

ax = limn

axn .

Tambe ens ho podem mirar aix com a definicio

an =ex ln a.

Resumint, una expressio del tipus u(x)d nomes te sentit per a u(x) < 0 silexponent es del tipus particular explicat. Aixo fa que calgui anar ambcompte amb la regla

[u(x)] =u(x)

quan la base u(x) es arbitraria, no necessariament positiva. Per exemple

[u(x)2]12

=u(x) [u(x)2]

12 =

|u(x)

|[u(x)4] 12 =u(x)2 [u(x)4] 34 = | u(x)| 3Recordem els grafics de les funcions exponencials y= ax, a >0, a = 1.


37/76

Materials 37

y = ax, a > 1

y = ax, a < 1

Les funcions potencials y = xk amb k Z. Si lexponent no es enter iveure (*) VER PAG. 3

Un concepte important es el de lacontinutat; diem quey = f(x),x I,es contnua en un punta Isi els valors de y = f(x) per a x molt propersax son tambe molt propers af(a). Dit duna altra manera: lincrement dela variable dependenty=f(x) f(a) es mes i mes petit quan mes i mespetit es lincrement x a de la variable independent i tambe sacostuma aformular aquest concepte de la seguent forma: a petits incrementsh= xade la variable independent li corresponen petits increments f(a + h) f(a)de la variable dependent y. O tambe, lim

xaf(x) =f(a).

Graficament aquesta propietat es reconeix mirant si el grafic de y =f(x) esta trencato no a sobre el punt a. Per exemple, en la funcio y =E(x) =part entera de x= part entera de lexpressio decimal dex, el grafices

i la funcio no es contnua en els punts a enters; efectivament, si h > 0 espetit E(a+h) =a, E(a h) =a 1, E(a) =a. Quan fem un incrementk= hel salt entre E(a + k) i E(a) esE(a h) E(a) =a 1 a= 1.

Formalment, els matematics escriuen la propietat de continutat en la-nomenat llenguatge : f(x) es contnua ena I si >0 >0 talque

x I,|x a| < = |f(x) f(a)| < .Quan f: I

R es contnua en tots els punts a

Ihom diu quef es

contnua enI i en aquest cas el grafic de y = f(x) es un fil continu, sensetrencaments, que es projecta verticalment en I. Com a regla general, totesles funcions elementals son contnues en els seus intervals de definicio.


38/76


Apart dels possibles punt de discontinutat, un altre element importanten el grafic duna funcio y =f(x) son les asmpotes, que poden ser de trestipus: horitzontals, inclinades i verticals.

Les asmptotes horitzontals tenen que veure amb el comportament dey =f(x) quan x

+

o quan x

(nomes poden considerar-se per

tant quan I= (a, +), I= (, b) o I= R).Graficament, diem que y = f(x) presenta una assmptota horitzontal

y = B per la dretasi el grafic de y = f(x) es va acostant mes i mes a larectay= B a mesura que xva creixent.

B

B

K

y = B

y = f(x)

Aquesta propietat sescriu

limx+

f(x) =B

i amb el llenguatge dels matematics: >0 hi ha K >0 tal quex > K= |f(x) B| <

(es a dir, f(x) es tan prop de B com es vulgui a base dagafar x prougran). Per exemple, y = x2/x2 + 1 te asmptotay = 1 per la dreta perque

y= x2

x2 + 1= 1 1

1 +x2 x+

1.

En aquest cas tambe te asmptota y= 1 per lesquerra. La funcio

y= x3

|x|3 + 1te asmptota y= +1 per la dreta i y= 1 per lesquerra.

En general, una funcio racional f(x) = P(x)Q(x)

(P i Q polinomis) ongrau P = grau Q, presentara una asmptota horitzontal per ambdos cos-tats:

P(x)

Q(x)

= c0+c1x+c2x

2 + +cpxp

d0+d1x+d2x2 + +dpxp =

xp(cp+ termes amb x1)

xp(dp+ termes amb x1

)

cpdp

quan x +o quan x .


39/76

Materials 39

Una funcio y = f(x) definida per a x a o x b no te perque tenircap asmptota horitzontal. Per exemple, una ona y = A sin(x+) no tepas cap asmptota, els valors de A sin(x + ) no sacosten pas a cap valorconcret B quan|x| es fa gran. En un cas com aquest diem que lim

x+f(x)

o limx

f(x) no existeixen.

Juntament amb les possibilitats limx+

f(x) no existeix, limx+

f(x) =

B R (asmptota horitzontal y =B) hi falta per considerar la possibilitatque lim

x+f(x)existeixi pero no sigui finit: lim

x+f(x) = +, lim

x+f(x) =

(i analogament quanx ). Per exemple, limx+

ax = + sia >1,lim

xax = +si a 0si cn < 0

limx

c0+c1x+c2x2 + +cnxn = (1)

nsi cn>0(1)nsi cn< 0

En el llentuatge dels matematics, per exemple, limx

= + sescriu:L > 0hi ha K >0 tal que x > K= f(x)> L.

Quan limx+

= + o la velocitatamb la qual f(x) + opot ser molt diferent; per exemple x2 creix mes rapidament que x, x3mes que x2, ex mes que qualsevol xm, etc. Quan lim

x= + o de

la mateixa forma que ho ha una recta y = mx+ n parlem dasmptotesinclinades. Mes precisament, diem que y = f(x) presenta una asmptotainclinaday =mx+nper la dreta (x +) si lim

x+= [f(x)m(x+n)] = 0

y = mx+ n

y= f(x)

|f(x) (mx+ n)|

En aquest cas calculem m, n fent

m= limx+

f(x)

x , n= lim

x+(f(x) mx).

Per exemple, qualsevol funcio racional f(x) = P(x)Q(x)

(P i Q polinomis) ambgrau P= grau Q + 1 presenta una asmptota oblcua tant per la dreta com

per lesquerra, si

f(x) = c0+c1x+c2x

2 + +cpxp +cp+1xp+1d0+d1x+d2x2 + +dpxp , cp+1= 0 dp= 0


40/76


llavors

m= limx

f(x)

x = lim

x+xp+1(cp+1+ termes amb 1/x)

xp+1(dp+ termes amb 1/x)

=cp+1

dp

n= limx f(x) cp+1

dp x=

= limx

dp(c0+c1x+ +cpxp) cp+1x(d0+ +dp1xp1)dp(d0+ +dpxp) =

=dpcp cp+1dp1

d2p.

Aix, per f(2) = 1+x+2x2+3x3

1+x2

m= limx+f(x)

x = 3

n= lim(f(x) 3x) = lim1 + x+ 2x2 + 3x3 3(1 +x2)x

1 +x2 =

= lim1 +x+ 2x2 3x

1 +x2 = 2.

Una asmptota vertical es dona enun punt x = a quan f(x) no estadefinida enx = a pero si que ho esta a la dreta o a lesquerra da(o als doscostats) i sif(x) es fa arbitrariament gran quanx sacosta aa almenys perun costat; mes precisament, aquestes propietats sescriuen

limxa

f(x) = + , limxa

f(x) = , limxa+

f(x) = + , limxa+

f(x) =

i graficament corresponen a

(per lesquerra) (per la dreta)

a aa a

Amb el llenguatge dels matematics, per exemple, limxa

f(x) = + significaque donat K > 0 (per gran que sigui), hi ha > 0 tal que sempre quea < x < a, hom tingui f(x)> K.

Per exemple, y = ln x te una asmptota vertical en x = 0 perquelim

x 0x >0

f(x) =. Si f(x) = P(x)Q(x)

es una funcio racional i a es un zero

de Q(x), Q(a) = 0 i no ho es de P(x), P(a) = 0, f(x) te una asmptota enx= alimxa

P(x)Q(x)

no es finit perque P(x) P(a) = 0 i Q(x) Q(a) = 0.


41/76

Materials 41

Per poder esbrinar si el lmit es +ocal tenir en compte la multipli-citat de acom a zero de Q

Q(x) = (x a)mQ1(x) , Q1(a) = 0.

Llavors P(x)

Q(x)=

1

(xa)mP(x)

Q1(x)

te per a x proper a ael mateix signe que (x a)m P(a)Q1(a)

.

Exemple 2.1. f(x) = 1+x1+x22x te asmptota en x= 1 =

1+x(1x)2

1

En canvi f(x) = 1+x(1x)x te asmptotes en x= 0, x= 1. En 1, f(x) =

1+x(1x)x

te el mateix signe que 11x

i en 0, te el mateix signe que 1x

0

Quan una funciof(x) esta definida al voltant dex= apero no en el punta, no sempre hi ha una asmptota vertical. Igual que abans quan x ,potser que lim

xa+

f(x) existeixi i sigui finit, o be que no existeixi.

Per exemple,si f(x) = P(x)Q(x)

es una funcio racional i a es un zero de

P(x), Q(x) amb la mateixa multiplicitat m P(x) = (x a)mP1(x), Q(x) =(x

a)mQ1(x), P1(a)

= 0, Q1(a)

= 0

f(x) =P(x)

Q(x)=

P1(x)

Q1(x)

xaP1(a)

Q1(a).


42/76


En aquest cas podem pensar que es tracta nomes de la forma com escrivimf(x) i escrit f(x) = P(x)

Q(x) pot semblar que a es un punt problematic, pero

en realitat no ho es. Un altre exemple en el mateix sentit no tan senzill es

f(a) =sin x

x

que no esta definida en x= 0. Ara be, mirant el dibuix

1

sinx

tg x

es evident que sin xxtgx si x >0, tg xsin xx si x 0, aleshores 1/x + i f(x) +; en canvi si x 0, essent x


43/76

Materials 43

1

1

Els valors sin 1x

no sacosten pas a res concret a mesura que x 0; perexemple, si x = 1

n llavors sin 1

x = sin n sempre es zero. En canvi, si

x= 1/2+2n

llavors sin 1x

= sin( 2

+ 2n) sempre val 1.

2.2 Infinitesims i infinits. Calcul de lmits

En el paragraf anterior ens hem trobat amb el concepte de lmit lim f(x).El lmit pot ser quan

1. xtendeix a un punt a R per la dreta,2. xtendeix a un punt a R per lesquerra,3. xtendeix a un punt a R pels dos costats,

4. xtendeix a un punt +5. xtendeix a un punt.En tots els casos, el valor del lmit pot ser un numero LR, o be +, obe, o be no existir. Evidentment els casos 1,2 sumen3 es a dir

limxa

f(x) limxa+

f(x) =L i limxa

f(x) =L.

Per plantejar-se lexistencia daquests lmits, no es necessari que f estiguidefinida en a. Recordem tambe que quan ho esta

fcontnua en a limxa

f(x) =f(a).

Utilitzem la notacio lim f(x) per a designar qualsevol de les cinc situacions.En elcalcul de lmitsutilitzem unes regles que son intutivament evidents, ique poden resumir-se dient que loperacio de prendre lmit pot permutar-seamb les operacions habituals (suma, diferencia, producte, quocient, expo-nenciacio, logaritmes, etc.) SEMPRE I QUAN TOT TINGUI SENTIT.Aix, si lim f1(x) =L1, . . . , lim f2(x) =L2 llavors (aqu tant L1 com L2 sonnumeros finits, o be +o be)A. lim(f1(x) +f2(x)) =L1+L2

B. lim(f1(x) f2(x)) =L1 L2


44/76


C. lim f1(x) f2(x) =L1 L2D. lim f1(x)

f2(x)= L1

L2

E. lim af1(x) =aL1

F. Si f1(x)> 0, lim f1(x)f2(x) =LL21 =e

L2ln L1

QUAN TOTS ELS TERMES de la dreta de les igualtats estan bendefinits, per tant amb les seguents excepcions

A. Si (L1= +, L2= ) o (L1= , L2= +)B. Si (L1= +, L2= +) o (L1 = , L2 = )C. Si un es zero i laltre

D. Si els dos son zero o be els dos sonE. Sense excepcions

F. Si (L1= 0 =L2) o (L1= +, L2= 0) o (L1 = 1, L2 = ).En aquests casos parlem de les indeterminacions

(+) + (), 0 (), 00

,

, 00, 0, 1

En tots els altres casos els termes de la dreta estan ben definits, interpretant,

aixo s:

() (L) = si L es finitL() = si L >0 o L= +, L() = si L 0, L

= si L 1, L(+)1 = 0 si 0 L1 1, L()1 = + si 0 L1


45/76

Materials 45

4) limx+

1 +x+x2

ex = +; lim

x0+1

xlog x=

+ = .

5) limx

1 +x3

ex = + .

6) limx+

e1/x

x = 0.

7) limx0+

1

2+x

1/x=

1

2

(+)= 0.

8) limx0

1

2+x

1/x=

1

2

()= +.

9) limx0sin xx

x2

= 1.

10) limx0+

(x)1/x = 0; limx0

(|x|)1/x = +.

Fixem-nos que tots els lmits del tipus f1(x)f2(x) sempre els podem tractar

lim f1(x)f2(x) = lim ef2(x) ln f1(x)

Per exemple repetim els darrers cinc lmits

limx0+12+x

1/x

= limx0+

e1x

ln( 12

+x) =e(+)(ln 1

2) =e= 0.

limx0

1

2+ x

1/x= lim

x0e1x

ln( 12

+x) =e()(ln 1

2) =e+ = +.

limx0

sin x

x

x2= lim

x0ex

2 ln sinxx =e(0)(ln1) =e0 = 1.

limx0+

(x)1/x = limx0+

e1x

ln x =e(+)() =e= 0.

limx0(|x|)1/x

= limx0+ e1

x

ln|x|=e

(

)(

)

=e+ = +.

Hi ha encara una altra situacio de lmit no indeterminatque val lapena recordar, que es dona quan tenim un producte

lim f1(x)f2(x)

amb lim f1(x) = 0 i on potser lim f2(x) no existeix pero es mante acotat, esa dir

|f2(x)| C xproper a a.

En aquest cas evidentment lim f1(x)f2(x) = 0.

Exemple 2.2. limx0

x sin1

x= 0 perque| sin 1

x| 1 i| x sin 1

x| |x|.


46/76


Es clar que la mateixa consideracio saplica quan tenim f2(x)f1(x)

amb f2(x)

acotat i lim f1(x) = , llavors lim f2(x)f1(x) = 0.

Exemple 2.3. limx+

sin x

x = 0 perque| sin x

x | 1|x| .

El que hem aplicat es un cas particular de la regla del sandwich.Si A(x) B(x) C(x) i lim A(x) = lim C(x) =L R, llavors tambe

lim B(x) =L

Seguidament parlarem destrategies per a resoldre indeterminacions. Enprimer lloc considerarem les indeterminacions 0

0, , (0 ) amb aquest

objectiu introduim les nocions dinfinitesim i infinit.Quan lim f(x) = 0 diem que f(X) es un infinitesim (quanx a+, o be

x a, o be x a, o be x +, o be x ). Aix un infinitesimes una variable dependenty = f(x) que es fa arbitrariament petita. Per

exemple, si f(x) es contnua en a, i f(a) = 0, f(x) es un infinitesim quanx a; si lim f(x) =L R, llavors (f(x) L) es un infinitesim.Aix, sin x es un infinitesim quan x 0. Com sin x

x 1 quan x 0

tambesin x

x 1 =sin x x

x

es un infinitesim quan x 0. ln(1 +x) es un infinitesim quan x 0, quees el mateix que dir ln x es un infinitesim quan x 1. Tota funcio racional

f(x) =P(x)

Q(x) P, Q polinomis

amb grau Q >grau P, es un infinitesim quan x + o x .Quan y = f(x) +, y = f(x) , o be si|f(x)| +

quan x a, hom diu que f(x) es un infinit quan x a. Per exemple,ln |x| es un infinit quan x 0, tambe ho es quan x +: una funcioracional y = P(x)/Q(x) es un infinit quan x i quan x sigrau P >grau Q. Evidentment, xk, k N i ax amba >1 son infinits quanx +.

Sovint es convenient comparar infinitesims o infinits entre s. Si f1(x),f2(x) son els dos infinitesims o be els dos infinits quan x a es diu quesonequivalentssi es fan petits (en els cas dinfinitesims) o grans (en el cas

dinfinits) amb la mateixa tendencia; una forma rigorosa dexpressar aixoes dir

limf1(x)

f2(x)= 1.

En aquest cas escrivim f1(x) xa

f2(x). Per exemple,

sin x x0

x, tg x x0

x, ln(1 +x) x0

x

c0+c1x+ +cpxpx x+

cpxp.

Es important destacar que el logaritme neperia ln, de base e, es lunic peral qual val la regla anterior; el fet que ln(1 + x)

xax es equivalent a la

definicio de. Aixo ho discutim amb detall a la seguent seccio.


47/76

Materials 47

Un altre exemple dinfinitesims equivalents que conve recordar es

1 cos x x0

x2

2

Aquest fet es dedueix de sin xx0

xde la seguent forma: per la formula del

cosinus de langle doble, cos 2y= cos2 y sin2 y= 1 2sin2 y, 1 cos2y=2sin2 y, que escrit per a y= x

2 diu

1 cos x= 2 sin2x2

.

Llavors 1 cos x 2( x2

)2 = x2

2. Aqu estem utilitzant el fetobrique tant per

a infinits com per a infinitesims

f1(x) f2(x) = f1(x) f2(x).

Tambe es obvi que

f1(x) f2(x), h1(x) h2(x) = f1(x)h1(x) f2(x)h2(x).Per exemple

(sin x)(ln(1 +x) x2, (1 cos x) tg x x3

2.

Exemple 2.4.

c0+c1x+ +cpxp (ambcp >0) cp xp/2

Una altra situacio que es dona sovint

Exemple 2.5. Sif(a) es un infinitesim iH(y) es un infinitesim quan y 0,llavors H(f(x)) es un infinitesim. Si H(y)

y0K(y), llavors

H(f(x)) K(f(x)).Per exemple, com que 1 cos x x2

2 quan x0 i ln(x) es un infinitesim

quan x 1 tindrem1 cos[ln x]

x1[ln x]2

2 .

Aqu H(y) = 1 cos y, K(y) = y2

/2, f(x) = ln(x). En aquest exemplepodem continuar aplicant la regla del producte i concloure que

1 cos[ln x] x1

[ln x]2

2

x1(x 1)2

2 .

Si f1(x), f2(x) son infinitesims

limf1(x)

f2(x)= 0

aixo significa quef1(x) es fa petit mes rapidament del que ho faf2(x), es mes

potent com a infinitesim. En aquest cas diem que f1(x) es un infinitesimdordre superior af2(x). Evidentment, (xa)k es dordre superior a (xa)lsi k, l N i k > l. La notacio enaquest cas es f1(x) =o(f2(x)).


48/76


Quan f1(x), f2(x) son infinits

limf1(x)

f2(x)= + o

significa que f1(x) es un infinit mes potent que f2(x), tambe diem que esun infinit dordre superior. Si > > 0, x es un infinit dordre superiora x quan x +.

Qualsevol infinit potencial x, > 0, es dordre superior a qualsevolinfinit logaritmic (log x), >0, quan x +

limx+

x

(log x) = + , >0.

Qualsevol infinit exponecial ax, a > 1, es dordre superior a qualsevolinfinit potencial x,

limx+

ax

x = + a >1, >0.

Lanterior situacio es pot formular, es clar, sota la forma

limf2(x)

f1(x)= 0.

Comprovem les anteriors afirmacions sota aquesta forma:

limx+(log x)

x = 0 >0, R(si 0 es evident perque el numerador es 1 quan = 0 o ell mateix uninfinitesim). Establim primer la desigualtat

1 +y ey y >0.

Considerem la funcio F(y) = ey 1 y i com que F(y) = ey 1 0 iF(0) = 0 hom teF(y) 0 per tant 1 + y ey. Si lescrivim per a y = log x,x >1 veiem en particular

log x

x

i canviant xper x, >0,

log x 1

x.

Donats , tindrem

(log x)

x 1(

1

x)

x =

1

x.

Triant < / aconseguim


49/76

Materials 49

Un infinit dordre superior a qualsevol infinit exponencial es per exempleb(x

2)

limx+

b(x2)

ax = +.

Quan en els lmits anteriors fem el canvi x

1/u (x

+

correspon au 0, u >0) trobem

limx0+

uk(log u)l = 0 k, l Nlim

x0+uka1/u = + k N, a >1.

Sif1(x), f2(x), . . . , f n(x) son infinitesims i nhi ha que es dordre inferiora tots els altres suposem que es f1(x) es a dir,

limf2(x)

f1(x)

= 0,

, lim

fn(x)

f1(x)

= 0

llavorsf1(x) +f2(x) + +fn(x) f1(x)

perque

f1(x) +f2(x) + +fn(x)f1(x)

= 1 +f2(x)

f1(x)+ + fn(x)

f1(x) 1.

Si en canvi es tracta dinfinits el que mana es linfinit dordre mes gran: sif1(x) es un infinit dordre superior a f2(x),

, fn(x) llavors f1(x) +f2(x)

+ +fn(x) f1(x) perquef1(x) +f2(x) + +fn(x)

f1(x) = 1 +

f2(x)

f1(x)+ + fn(x)

f1(x) 1.

Notem que en aquest cas dinfinits aixo tambe val si cada f2(x), , fn(x)es o be acotat o be un infinit dordre inferior a f1(x).

Tant en el cas dinfinits com dinfinitesims, la regla comuna es que detots els termes de la suma f1(x) + +fn(x) el que mana en el sentitque tota suma hi es equivalent es aquell que te un tamany mes gran.Quan es tracta dinfinitesims, el mes gran es el que es fa petit mes lentament(ordre inferior com infinitesim, menys infinitesimque els altres), mentreque quan es tracta dinfinits, el mes gran es el que fa gran mes rapidament(ordre superior com a infinit, mes infinit que els altres).

Exemples. 1) sin x+x2 x0

sin x x,

2) x+ log x x+

x,

3) (sin x)3 + (1 cos x)2 x0

(sin x)3 x0

x3,

4) x+ax

x0 ax

si a >1,

5) x+ax x+

x si a


50/76


Al tractar una indeterminacio del tipus 0

0, , es a dir

limf1(x)

f2(x)

on f1(x), f2(x) son els dos infinitesims o els dos infinits, el que es tractaes de comparar-los. En el cas dinfinitesims, si f1(x) es dordre superior,el lmit sera zero; si ho es f2(x) dordre superior el lmit sera (segonsel signe) i el lmit sera L= 0 si s on equivalents llevat duna constant, ifinalment, tambe pot ser que el lmit no existeixi. Analogues consideracionssapliquen per al cas dinfinits.

El procediment mes practic consisteix en aplicar la seguent reglaSi tenim una expressioE(x) on hi apareix un infinitesim o infinitf1(x)

com a factor o divisor

E(x) =f1(x)F(x) o E(x) = F(x)

f1(x)

i volem esbrinar lim E(x), i si quan substituim f1(x) per un infinitesim oinfinit equivalent f2(x) el lmit existeix i valL, finit o no,

lim f2(x)F(x) =L, limF(x)

f2(x)=L

llavors tambe lim E(x) =L.Aixo es obvi perque

E(x) =f1(x)F(x) = f1(x)

f2(x) [f2(x)F(x)]E(x) =

F(x)

f2(x)

f2(x)

f1(x)

.

Breument: a lhora de tractar un lmit i en particular una indeterminacio,del tipus 0

0, , 0 () sempre podem reemplacar els infinitesims o infinits

que surtin com a factors o divisors per daltres equivalents (els mes senzillsque trobem).

Exemples. 1) limx

+

1 +x3

3

2 +x4=

++

. Substituim

1 +x3 per un infinit

equivalent: 1 +x3 x3 1 +x3 x3/2 i substituim 32 +x4 per uninfinit equivalent: 2 +x4 x4 32 +x4 x4/3. Mirem si despres deles substitucions existeix el lmit

limx+

x3/2

x4/3 = lim

x+x1/6 = + = lim

x+

1 +x3

3

2 +x4= +.

2) limx0

(1 cos x)2ln(1 +x)

sin x

2

3 =00. Substituim tots per equivalents: 1 cos x x2

2 (1cos x)2 x4

4; ln(1+x) xi sin x

2 x

2 sin

x2

3 x2

3= x

3

8.

limx0

x4/4

x x3/8= 2 lim

x0(1 cos x)2

ln(1 +x)

sin x2

3 = 2.


51/76

Materials 51

3) limx0

x sin 1x

ln(1 +x)=

0

0. Al substituir trobem lim

x0sin

1

xque no existeix, per

tant tampoc existeix limx0

x sin 1x

ln(1 +x).

Com a regla general, sempre mirarem de comparar un infinit o un infi-nitesim quan x aamb una potencia de (x a) (am exponent negatiu pelcas dinfinit i amb exponent positiu pel cas dinfinitesim). Analogament,quan x +la mirarem de comparar amb una potencia de xamb expo-nent negatiu si es tracta dun infinitesim i en el cas dinfinits amb els infinitstpics en +infty: x, >0, (log x), ax, a >1, etc.

Ara be, es impossible fer una llista completadels possiblesinfinitesims/infinits. Per exemple, x(log x) amb > 0, R, (log x)amb < 0 son infinitesims en x 0 que no son a cap potencia de x,log(log x) es un infinit quan x +que no es equivalent a cap dels ante-riors.

Exemple 2.6. limx+

log

1 +

1

x

(1 +x4).

Aqu log

1 + 1x

quan x+ es un infinitesim (perque log(1 +y) ho es

quan y 0 i y = 1/x be tendeix a 0 si x +) equivalent a 1/x. Pertant

log

1 + 1

x

x. Daltra banda, (1+ x4) x4 si >0; si 0llavors (1 +x4) = 1

limx+

log

1 +

1

x

4[1 +x4] =

si 0, >0 +si 0, = 0 1si

0, 0 llavors es comporta com x4 i per tant

>0, 0, = 4 1 >0, >4 0.

Un cop hem apres a resoldre algunes indeterminacions del tipus 00

, ,0 () anem a tractar les restants indeterminacions

(+) (+), 00,0, 1

transforman-les en una del tipus

0

0 , o 0 ().Sif1(x) +,f2(x) + i tenim lim f1(x)f2(x), ja hem comentatabans que si un dels dos termes es dordre mes gran, llavorsf1(x) f2(x) f1(x) +.Exemple 2.7. lim

x+x x= +. lim

x+

1 +x3 31 +x= +.

Si cap dells es superior a laltre (es fan grans amb la mateixa forca)llavors es mes delicat.

Exemple 2.8. limx+

1 +x 1 + 2x. En aquest cas tambe treiem u

dells factor comu

1 +x 1 + 2x= 1 +x

1

1 + 2x1 +x

(+)(1 2) = .


52/76


Tambe podem tractar aquest exemple multiplicant i dividint per la suma

1 +x 1 + 2x= (

1 +x 1 + 2x)

(

1 +x+

1 + 2x)(

1 +x+

1 + 2x) =

= (1 +x) (1 + 2x)1 +x+

1 + 2x

= x1 +x

1 + 2x

.

Els lmits f1(x)f2(x) que porten a indeterminacions 00, (+)0, 1()

sempre els tractarem escrivint

f1(x)f2(x) =ef2(x) ln f1(x)

amb la qual ens reduim al lmit lim f2(x) ln f1(x) que es respectivament deltipus 0 (), 0 (+), () 0.

Exemples. 1) limx0 xx

=limx0 ex ln x

. Pero limx0 x ln x = 0 (vist abans) limx0 xx

= 1.

2) limx+

(x)1/x = limx+

exlnxx =e0 = 1.

En el cas 1 com que f1(x) 1, llavors ln f1(x) f(x) 1 i per tantsi existeix

lim f2(x)(f1(x) 1) =hllavors lim f1(x)

f2(x) =eh.

Exemples. 1) limx0

(1 +x)1/x =e = limx+1 +1x

x

.

2) limx0

(1 + sin x2)1/x i fem lim f2(x)(f1(x) 1) = limx0

1

xsin x2. Com que

sin x2 x2, aquest lmit val 0 limx0

(1 + sin x2)1/x =e0 = 1.

2.3 Derivacio

La derivacio es una operacio sobre funcions y = f(x) que sintrodueix pera mesurar/comparar les taxes de variacio de les variablesx, y.

En un punt a, la derivadade f en aes defineix com el lmit, si existeix

f(a) = limxa

f(x) f(a)x a = limh0

f(a+h) f(a)h

.

Diemfderivable enaSi C(x, a) es el quocient f(x)f(a)

xa (que a cops escrivim yx , quocient

incremental)f(x) =f(a) +C(x, a)(x a)

com que C(x, a) te lmit, a fortiori limxa

f(x) =f(a), es a dir f es contnua

en el punt a. Aix, si f no es contnua en a ja no pot ser derivable en

a, aquesta es una nocio que nomes te sentit plantejar quan f es contnuaen a. Graficament, C(x, a) es la pendent de la recta secant al grafic y= f(x)determinada pels dos punts (a, f(a)) i (x, f(x))


53/76

Materials 53

tg =f(x)

f(a)

x a =C(x a)

f(x) f(a)

x

a

a x

Aix, que limxa

C(x, a) existeixi i valgui f(a) significa que les rectes secants

(que en tenim una per a cada x) tenen com a posicio lmit quan xa larecta que passa per (a, f(a)) i te pendent f(a)

y f(a) =f(a)(x a)Com que aquesta recta es el lmit de les secants, lanomenem tangent a lagraficay = f(x) en el punt(a, f(a)).

Aix f es derivable en aexactament quan el graficy=f(x) admet unarecta tangent en (a, f(a)) amb pendent finit (intutivament no punxa enaquest punt) i en aquest cas f(a) es el pendent de la tangent.

Quan (essent fcontnua en a) el grafic y=f(x) punxaen (a, f(a), lafuncio fno sera derivable en a. Per exemple, la funcio

y = |x|te el grafic

que punxa en (0, 0), no te tangent en (0, 0) i|x| no es derivable en 0.Analticament, el que passa es que

limx0

f(x) f(a)x

= limx0

|x|x

no existeix perque quan x0 essent x >0, el quocient incremental es 1,mentre que quan x 0 essent x < 0, el quocient incremental es1 (laporcio lmit comuna de les secants no existeix).


54/76


Exemples (x, x|x| tangent amb pendent infinit). Posem (x) = f(x)f(a)xa

f(a), de forma que (x) xa

0. Podem escriure, quan f es derivable en a

f(x) =f(a) +f(a)(x a) +(x)(x a)

f(x) {f(a) +f(a)(x a)} =(x)(x a)Fixem-nos que|f(x) {f(a) +f(a)(x a)} | es la distancia vertical entreel punt (x, f(x) de la grafica i el punt (x, f(a) + f(a)(x a)) de la tangent.El fet que aquesta distancia compleixi

|f(x) (f(a) +f(a)(x a))| =o(|x a|)

es precisament la formulacio analtica de la tangencia. Per tant, que f siguiderivable en a, amb derivada f(a) =m significa que

f(x) {(f(a) +m(x a)} =o(x a)es un infinitesim dordre superior a x a. Quanf(a)= 0 tambe podemposar

|f(x) f(a) xa

f(a)(x a)Aix, si fem un incrementx = x a per anar del punt a al punt x, elcorresponent incrementy = f(x) f(a) no es igual a f(a) x, pero sque ho es en primera aproximacio: six es molt petit,y es f(a) xmes un error o (x). En altres paraules, f(a) es el n umero pel qual calmultiplicar

xper obtenir una primera aproximacio de

y. Per aixo diem

que es una taxa de variacio.Quan f(x) es derivable en tots els punts, diem que f es derivable i a la

funcio f(x) se lacostuma a designar y.

Com calculem derivades quan existeixen? Aplicant la definicio directa-ment ens en sortim en alguns casos particulars.

1. En primer lloc, evidentment, les funcionsconstants,y = c, tenen derivadazero en tots els punts

y= c = y = 0.

Mes endavant recordarem perque y = 0, recprocament, implica y =constant.

2. En segon lloc, mirem quina derivada te f(x) = xn, n N. Al fer elquocient incremental, utilitzem el binomi de Newton

(a+h)n anh

=

(an +nan1h+

n2

an2h2 + +hn) an

h =

=nan1 + termes que tenen h com a factor

Al fer h 0 trobem f(a) = l imh0

(a+h)n anh

= nan1. Per tant

y=nxn1 si y=xn.


55/76

Materials 55

3. Un altre exemple on podem aplicar la definicio es amb les funcions tri-gonometriques sin x, cos x. Tenim

sin(x+h) = sin x cos h+ cos x sin h

cos(x+h) = cos x cos h+ sin x sin h

sin(x+h) sin xh

=sin x(cos h 1) + cos x sin h

h =

= cossin h

h sin x1 cos h

h

cos(x+h) cos xh

=cos x(cos h 1) sin x sin h

h =

= sinsin hh

cos x 1 cos hh

.

Ja hem vist en el paragraf anterior que sin h h, es a dir, sin h

h 1 i que1 cos h h2

2, per tant 1cos h

h 0. Aix, obtenim

y= sin x y = cos x, y= cos x y = sin x

Per calcular analticament derivades dexpressions mes generalsutilitzemregles de derivacio.

A. Si f, g son derivables en a, llavors (f+g)(x) =f(x) + g(x), (f g)(x) =f(x)g(x) tambe ho son i

(f+g)(a) =f(a) +g(a),(f g)(a) =f(a)g(a) +f(a)g(a)

Aix, quan u(x), v(x) son derivables arreu, (u+ v) = u+ v , (uv) =uv +uv . Aixo es veu tot seguit escrivint els quocients incrementalsconvenientment i

(f+g)(x) (f+g)(a)x a =

f(x) f(a)x a +

g(x) g(a)x a

f(x)g(x) f(a)g(a)x

a

=f(x) f(a)

x

a

g(x) +f(a)g(x) g(a)

x

a

B. Si f, g son derivables en a i g(a)= 0, llavors

fg

(x) = f(x)

g(x)tambe ho

es i f

g

(x) =

f(x)g(x) f(x)g(x)g(x)2

Per a aquesta regla escrivim el quocient incremental sota la forma

f(x)g(x)

f(a)g(a)

x a =f(x)g(a) f(a)g(x)

g(x)g(a)(x a) =

= 1

g(x)g(a)

f(x) f(a)

x a g(a) f(a)g(x) g(a)

x a


56/76


C. Regla de la cadena: si y =f(x) es derivable en a i g(y) ho es en f(a),llavors g(f(x) tambe ho es en ai (g f)(a) =g (f(a)f(a).Aquesta regla es intutivament evident si pensem en la derivada com ataxa de variacio: si en el primer pas

x f(x) =ytenimy f(a)x, i en el segon y z = g(y) tenimzg(f(a)) y (en el primer pas els increments, en primera aproximaci oes multipliquen per f(a) i en el segon pas per g(f(a)), es evident queal composar es multipliquen les taxes.

En el llenguatge dels quocients incrementals:

g(f(x)) g(f(a))x a =

g(f(x)) g(f(a))f(x)f(a)

f(x) f(a)x a =

=g(y) g(b)

y bf(x) f(a)

x a .

D. Derivacio de la funcio inversa: suposem que y = f(x) te una funcioinversa x = g(y) ambdues contnues. Llavors, si f es derivable en a if(a) = 0, la funcio inversa g(y) es derivable en f(a) i

g(f(a)) = 1

f(a).

Aixo tambe es evident en termes de taxes de variacio i quocients incre-

mentalsg(y) g(f(a))

y f(a) = 1yf(a)

xa.

Combinant aquestes regles trobem les derivades de les funcions elemen-tals.

2.3.1 Polinomis

y=c0+c1x+ +cnxn y =c1+ 2c2x+ +ncnxn1.2.3.2 Funcions trigonometriques

y= sin x y = cos x,y= cos x y= sin x,y= tg x y = sin x

cos x

= 1

cos2 x

y = arctg x es la funcio inversa de tg :

2,

2

R; com que x= tg y tederivada 1

cos2 y= 1 + tg2 y= 1 +x2, y= arctg xte derivada 1

1+x2.

2.3.3 Funcions exponencials

Comentem amb un cert detall aquest cas. Volem calcular y si y = ax;recordem que aquesta te una funcio inversa que designem x = loga y, ellogaritme en base a. Fixem-nos que dues funcions exponencials f = ax,

bx =g estan relacionades per

g(x) =bx = (ax logab)x =ax logab =f(x loga b)


57/76

Materials 57

Per tant g(x) = loga bf(x loga b). Aixo significa que si en sabem derivar

una les sabem derivar totes i daltra banda,

f(x) = limh0

ax+h axh

=ax limh0

ah 1h

=f(x) limh0

ah 1h

g(x) = loga b g(x) limh0

ah 1h

.

Pensem en unafix, per exemplea= 2; triantbtal que loga blimh0

ah 1h

= 1,

veiem que hi ha una unica base b tal que g(x) =bx compleix

g(x) =g(x).

Per definicio, aquesta unica base sanomena el nombre dEuler e. Aix, perdefinicio

[y=bx

y = bx

] b= e.Com que el mateix calcul dabans diu que y = bx lim

h0bh 1

h ,

limh0

bh 1h

= 1 b= e.

Si ara aqu posem h= logb(1 +x) (per tant bh = 1 +x) trobem

limx0

x

logb(1 +x)= 1 b= e.

I tambe, e= limx0

(1 +h)1/h.

El loge xsacostuma a designar ln x, logaritme neperia. Aix

ln(1 +x) x0

x.

Com que ax =exln a tindrem evidentement

y = ax y =ax ln a .

La funcio inversa y = loga x tindra derivada (a

y

ln a)1

=

1

xln a . Aix(ln x) = 1x

, x >0. Per a x 0, de base fixa a i

exponent variable generalv(x) tindra derivada

f(x) =av(x) f(x) = ln a av(x)v(x).


58/76


Si tant la base com lexponent son variables, f(x) =u(x)v(x), per derivarf(x) es mes convenient prendre primer logaritmes

log f(x) =v(x)log u(x)

i despres derivar

f(x)f(x)

=v (x)log u(x) +v(x)u(x)u(x)

f(x) =u(x)v(x)v(x)log u(x) +v(x)u(x)v(x)1u(x).

Observem que el primer terme correspon a derivaru(x)v(x) pensant queu(x)es fix (funcio exponencial) i el segon a derivar u(x)v(x) pensant que v(x) esfix (funcio potencial).

La regla anterior es valida mentre u(x)> 0, i u(x),v(x) siguin derivables.

Quan en un punt atenim u(a) = 0 no necessariamentu(x)v(x) es derivableen a. Per exemple,

f(x) =x

amb constant, no es derivable en 0 si 0 < < 1 (si < 0 p no esni definida en 0, i si = 0 es constant = 1), i s que ho es si 1.Efectivament, el grafic de

x, 3

x, etc. tenen un punxa en 0.

Mes endavant veurem en quins casos u(x) es derivable en un punt a on

u(a) = 0; de moment considerem aquesta questio pel cas dun polinomi. SiP(x) es un polinomi i P(a) = 0, llavors

P(x) = (x a)kP1(x)

onkes la multiplicitat deaiP1(x) es un altre polinomi, complintP1(a) = 0.Si es un racional = P/Q (expressio irreductible) amb q senar, llavorsu(x) esta definit per a tots els valors u(x) (tant 0 com 0) de la base i

P(x) = (x a)kP1(x).

Com que P1(x) es derivable en a (perque P1(a) = 0) P(x) sera derivableen a quan ho sigui (x a)k, es a dir k 1. Si no es daquest tipus,llavors ha de serP(x) 0 per x al voltant da. Aixo nomes pot passar si k


59/76

Materials 59

es parell iP1(a)> 0 perque si k es senar (x a)k i per tantP(x) tenensigne diferent a la dreta i lesquerra da. Aleshores

P(x) = [(x a)kP1(x)] = [(x a)k]P1(x) = |x a|kP1(x)

sera derivable quan ho sigui

|x

a1k, es a dir quan k >1. Per exemple

f(x) =

P(x)

nomes pot ser derivable en un punta zero deP(x) si la multiplicitat com amnim es 3.

2.4 Creixement i decreixement en un punt. Maxims i mnims locals

i globals

Suposem quef es derivable en a i que f(a)> 0. Com que f(x)f(a)xa tendeix

a f(a) quan xa, tambe haura de ser >0 si x es prou proper a a; aixosignifica que f(x) f(a) es no nul i te el mateix signe que x a es a dir

x < a= f(x)< f(a)a < x= f(a)< f(x).

En aquest cas diem que f es es estrictament creixent ena. Analogament,si f(a)< 0 llavors f es estrictament decreixent ena, en el sentit que

x < a= f(x)> f(a), a < x= f(x)< f(a).El recproc no es cert, per exemple f(x) =x3 es estrictament creixent en 0pero f(0) = 0. El que es cert es la versio amb desigualtats no estrictes: six < a=

f(x)

f(a) i a < x=

f(a)

f(x) diem que f es decreixent

en a i si x < a = f(x) f(a), a < x = f(a) f(x) diem que f escreixent ena. En el primer cas el quocient incremental es 0 i en el segones 0. Per tant

fcreixent en a, fderivable en a = f(a) 0fdecreixent en a, fderivable en a = f(a) 0

Suposem que I es un interval i f(x) es una funcio definida per a x I.Diem quea I es unmaxim local def: I R si el valor def(a) es el mesgran dels valorsf(x) per alsx Ipropers a a:

Hi ha >0 tal que si x I, i|x a| < , llavors f(x) f(a).De la mateixa forma unmnim local def: I R es defineix per la propietat

Hi ha >0 tal que si x I i|x a| < , llavors f(x) f(a).Observem que en el cas que a sigui un extrem de I, llavors tan sols estemdemanant que la desigualtat valgui per als xdun costat da. Per exemple,si I= [a, b], que ena hi hagi un maxim local vol dir

f(x) f(a), a x+dQuan f(x)

f(a) es cert per a tots els x

I diem que a es un maxim

globaldef enI i sif(x) f(a) pera tots elsx I es diu que es un mnimglobal de f en I. Es important adonar-se que aquests concepts son relatiusal intervalI. Pe exemple, y= x3 en [0, 1]


60/76


te evidentment un mnim global en 0 i un maxim global en 1, si ens miremf(x) = x3 en [0, 1]m pero si ens la mirem en [1, 2] llavors ja no. 1 es unmaxim global de y = x3 en [0, 1], pero no ho es [1, 2]. La funcio en elgrafic de la figura

210

considerada en [0, 1] te un maxim global en 1, pero considerada en [0, 2]es un maxim local. Per tant estrictament parlant es important precisar enrelacio a quin interval I es consideren aquestes nocions. Per un abus dellenguatge, quan es considera una funcio f(x) expressada mitjancant una

formula, se suposa tacitament queI es el conjunt de punts on la formulate sentit.

Suposem que f: I R te un maxim o un mnim local en aI, i quea es interior a I, es a dir, f(x) esta definida als dos costats de a. Suposemtambe que f es derivable en a.

Llavors ha de ser f(a) = 0; en efecte, si fos f(a) > 0 segons hemvist abans, f sera estrictament creixent en a i de la mateixa forma, si fosf(a) < 0, sera estrictament decreixent en a. En els dos casos, hi hauriapunts x, y arbritrariament propers a a tal que f(x) < f(a) < f(y) amb laqual cosa f, no podria tenir cap maxim ni mnim local en a. Per tant

fte un maxim o mnim local en aen relacio a Ia es interior a If es derivable en I

= f(a) = 0.

Geometricament aixo significa que la recta tangent al grafic en (a, f(a)) eshoritzontal, cosa intutivament obvia.

Si a no es interior a I, no necessariament f(a) = 0. Per exemple,f(a) = x3 en [0, 1] te un maxim global en 1 (per tant tambe local) i encanvif(x) = 3x2 val 3

= 0.

Daltra banda,f: I R pot tenir un maxim o mnim local en un punta Ion no sigui derivable; per exemple, f(x) = |x|en [1, 1] te un mnimglobal ena= 0.


61/76

Materials 61

Pot ser que una funcio no tingui ni maxim ni mnims locals en un intervalI, per exemple la funcio y= tg xen (

2

, 2

)

no en te cap, ni tampoc en te la seva funcio inversa y = arctag xen R.

Una altra observacio que cal fer es la distinc

Teoría 1º Grado cálculo

Documents

Transcript of Teoría 1º Grado cálculo