Teoremas_de_integraci¾n_del_anßlisis_vectorial

7/24/2019 Teoremas_de_integracin_del_anlisis_vectorial

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LOS TEOREMAS DE INTEGRACIN

DELANALISIS VECTORIAL


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Teorema de GreenSeaDuna regin simple y sea Csu frontera. Supongamos que

y tienen primera derivada continua. Entonces

RDP :

RDQ :

dxdyyP

xQQdyPdx

DC =++


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Ejemplo

Comprobar el teorema de Green para , donde

D es el crculo unidad centrado en el origen.

xyyxQxyxP == ),y),

rea de una regin plana

Si Ces una curva cerrada simple que acota una regin en la cual es

aplicable el teorema de Green, entonces el !rea de la reginDacotada

por esDC =

= D ydxxdyA "#


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Ejemplo

Si a>$, calcular el !rea de la regin encerrada por la %ipocicloide definid

por usando la parametri&acin

y+

'"'"'" ayx =+

"$,,cos '' == asenyax


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orma !e"#orial u#ili$ando el ro#a"ional

( ) dAkFrotsdFDD

=

Ejemplo ),), " xyxyyxF +=

(ntegrar en la regin del gr!fico que siguekFrot


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Teorema de S#o%e& para gr'(i"a&

Sea Suna superficie orientada, definida por una funcin con

segunda derivada continua es una

regin donde es v!lido el teorema de Green, y sea un campo

vectorial sobre S. Entonces, si denota la frontera de S,

orientada como acabamos de definir, se tiene

Dtxyxfz = ),donde,),F

S

( ) == SSS sdFdSFdSFrot


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Ejemplo

sar el teorema de Sto*es para evaluar la integral de lnea

donde Ces la interseccin del cilindro y el plano

y la orientacin de Ccorresponde a un movimiento en sentido contrario

al de las agu+as del relo+ en el planoxy

+ dzzdyxdxy '''

#"" =+yx #=++ zyx


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Teorema de S#o%e& para &uper(i"ie& parame#ri$ada&

Sea Suna superficie orientada definida mediante una parametri&acin

biyectiva , dondeDes una regin donde es aplicable

el teorema de Green. Sea la frontera orientada de Sy seaFun campovectorial definido sobre S. Entonces

SRD ":

S

( ) = SS sdFSdF

EjemploSea Sla superficie mostrada en la figura, con la orientacin indicada. Sea . Evaluar),,

xzexyF = ( ) SdFS


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)Cu'ndo un "ampo !e"#orial e& un gradien#e*

ara cualquier curva orientada cerrada y simple C, =C sdF $

ara dos curvas orientadas simples cualesquiera C# y C", que tengan

los mismos e-tremos,

="# CC

sdFsdF

Fes el gradiente de una funcinf es decir, fF =

$= F

Ejemplo )cos,cos,),, yzyxyzzyzyxF +=

/emostrar que dic%o campo es irrotacional y encontrar un potencial

Escalar para 0l.


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Teorema de Gau&&


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Teorema de la di!ergen"ia de Gau&&

Sea Wuna regin elemental sim0trica en el espacio y sea la superfici

cerrada y orientada que limita a W. SeaFun campo vectorial definido en

W. Entonces

W

( ) =W W SdFdVF

Ejemplo

),,"""

zyxF=

( )

=W W

SdnFdVFdiv

Sea y sea Sla esfera unitaria con centro en el origen.

Evaluar s dSnF

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