Teoremas Importantes de la Transformada Z

Teorema de Riemann

En una causal se cumple el teorema de Reimann, cuya tesis enuncia que el

coeficiente del termino enésimo de una causal f[n] tiende a cero cuando n

tiende a

Además un corolario inmediato es que si F(z) es una función racional (cociente

de polinomios), el orden del numerador es menor o igual que el denominador.

La convergencia absoluta de la serie de potencias sobre

asegura el teorema de Riemann que el modulo del termino enésimo

tiende a cero.

Un coloralio es para una función racional: cociente de polinomios

para que pueda desarrollarse en tiene que satisfacerse es decir

del numerador es menor o igual que el orden del denominador. Esto implica

que el número de ceros es menor o igual que el número de polos

Teorema Cambio de Escala

Sea f(kT), función de tiempo discreto, causal, con 0<k< y existe la

transformada

Demostración:

Por definición de transformada Z, y como existen

entonces

Teorema del desplazamiento

a) desplazamiento a la izquierda:

sea f(kT), función de tiempo discreto, causal, con 0<k< y existe

la transformada

Demostración:

Sea m=1

Si v=i+1 => para i=0 -> v=1

I=k-> v=

b) Desplazamiento a la derecha:

sea f(kT), función de tiempo discreto, causal, con 0<k< y existe

la transformada

Demostración:

Sabiendo que:

Si v=i-m

Debido a que es función causal, para todo v<0 la función

no existe = 0.

Por lo tanto , entonces:

Teorema de corrimiento o de traslación real

Si x(t) tiene transformada z entonces:

Para n=0,1,2,…

Demostración:

Para n=0,1,2,…

Demostración:

Teorema de Traslación Compleja

Si x(t) tiene transformada z entonces:

Demostración:

Teorema de Convolucion real

Sean las Funciones y , donde

=0, para t<0,

=0, para t<0.

Supongamos que y tienen transformada z igual a y

respectivamente, entonces

Demostración:

Donde sabemos que =0 para h>k. Ahora definimos m=k-h,

entonces

Además, =0 para m<0 y de esta última ecuación obtenemos

Teorema de Convolucion Compleja

Supongamos que y son dos secuencias con k<0 y

, para

, para

Donde y son dos radios de convergencia absoluta para y ,

respectivamente. Entonces, el producto de dos transformadas y está

dado por

Donde

Demostración

Para demostrar este teorema tomamos la transformada z de

Las series en la parte derecha de la ecuación convergen , donde R es el

radio de convergencia absoluta para y de la ecuación

En donde C es un círculo con centro en el origen del plano z tenemos

Luego, sustituimos la ecuación anterior por la ecuación y se tiene

Como

Entonces,

Donde C es un circulo con centro en el origen y está en la región dada por

y o equivalente

Teorema del valor Inicial

Es posible determinar el termino inicia f(0), de una secuencia f(k), a partir de la

transformada correspondiente. Si se tiene F(z) de la forma:

Se observa que conforme la variable tiende a cero, todos los términos del

lado derecho de la igualdad tienden a cero excepto f(0).esto es equivalente a:

Sea f(kT), función en tiempo discreto, causal con 0<k< y existe la

transformada

Demostración:

Dónde:

En consecuencia

Teorema del valor Final

Para determinar el comportamiento de una secuencia f(k) en estado estático,

esto es f(k) con k tendiendo a infinito, es posible recurrir directamente a la

transformada de la función. La condición para realizar esto es de F(z) no tenga

polos fuera del circulo unitario, lo cual determina que f(k) sea una función

acotada, y por lo tanto finita, cuando k tiende a infimito. Por lo anterior, el

teorema del valor final podrá ser aplicado solo en los casos en los que (z-1)F(z)

sea analítica para .

En tales casos el teorema se enuncia de la siguiente forma:

Sea f(kT), función en tiempo discreto, causal, con 0<k< y existe la

transformada

Demostración:

Sabiendo que:

Entonces

Si tomamos la siguiente función

Desarrollado para k=n

Y por la definición de la FTD g(kT):

Por ser f(nT) una función causal:

Entonces, cuando