Teoremas de Bolzano

7/24/2019 Teoremas de Bolzano

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TEOREMAS DE BOLZANO - WEIERSTRASS

1.- APROXIMACIÓN A LOS TEOREMAS.

A) DEFINICIONES BÁSICAS.

Recordarás que, si a y b son números reales, con a<b, el intervalo cerrado [a,b] es

el conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales

que b, es decir, [a,b]= {x Î R | a £ x £ b}.

También sabes que una función f(x) es continua en un punto x 0 Î R si coincide el

valor de la función en el punto x 0 con el límite de la función cuando x tiende a x 0 .

ntuitivamente, significa que los valores que toma la función en puntos pró!imos a

!" están cerca del valor que toma en !".

#na función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en cada uno

de sus puntos.

ntuitivamente, significa que la gráfica de la función en [a,b] no se corta, que se

puede recorrer con un solo tra$o.

B) TEOREMA DE BOLZANO.

%ea pues f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a,b] de la recta real,

es decir, su gráfica no se corta. %upongamos que f(a) y f(b) sean valores de

distinto signo &por ejemplo, f(a)>0 y f(b)<0 ', o lo que es lo mismo, que la gráfica

de f(x) tenga un punto por encima del eje (ori$ontal &el (a,f(a))' y otro por debajo

&el (b,f(b))'. )arece lógico pensar que la gráfica de f(x) corte al eje (ori$ontal, o

dic(o de otra forma, que f(x) se anule en algún punto c del intervalo [a,b] y al no

anularse en los e!tremos, debe (acerlo en el intervalo abierto (a,b).



*so es precisamente lo que dice el teorema de +ol$ano si f(x) es una función

continua en un intervalo cerrado [a,b] y toma valores de distinto signo en los

e!tremos del intervalo, se anula en al menos un punto c del intervalo abierto (a,b).

*l teorema no dice cuál es el punto c en el que se anula la función ni el número de

puntos en los que se anula- tan sólo dice que se anula en algún &o algunos' punto

del intervalo abierto.

l punto en el que se anula la función f(x) se le suele llamar raí$ &o cero' de f(x),

luego la tesis del teorema dice que f(x) tiene al menos una raí$ en (a,b).

*l teorema de +ol$ano se usa, sobre todo, para (allar apro!imaciones a las raíces

de las ecuaciones, es decir, a los ceros de las funciones, según se verá en el

apartado dedicado a problemas.

También parece intuitivo que una función f(x) continua en el intervalo [a,b] tome

cualquier valor comprendido entre f(a) y f(b). *sta es una consecuencia sencilla

del teorema de +ol$ano y se llama teorema de /arbou! o de los valores

intermedios.



*l teorema de /arbou! se demuestra fácilmente si p es un número real

comprendido entre f(a) y f(b), basta aplicar el teorema de +ol$ano a la función f(x)-

p.

C) TEOREMA DE WEIERSTRASS.

%i f&!' está definida en 0a,b1, decimos que tiene un má!imo

absoluto en x 1 2 [a,b] si f(x 1 )³ f(x), para todo x 2 [a,b]. 3a función f(x) tiene un mínimo

absoluto en el punto x 2 2 [a,b] si f(x 2 ) 4 f(x), para todo x 2 [a,b].

5ay otra propiedad que parece que debe cumplir una función continua f(x) en un

intervalo cerrado [a,b] que es la siguiente la función, al dibujarse con un solo tra$o

en el intervalo cerrado, no puede tomar valores que cre$can indefinidamente tantopor arriba como por abajo &como podría (acer en un intervalo abierto'- más bien,

parece que los valores que toma deben estar limitados, es decir, que la función

debe tener un má!imo y un mínimo absolutos. *sto es lo que asegura el teorema

de 6eierstrass que dice

%i una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], tiene en [a,b] un

má!imo y un mínimo absolutos, al menos.



Tampoco dice nada el teorema sobre los puntos en los que la función alcan$a los

e!tremos ni cuántos de éstos tiene.

#na sencilla consecuencia del teorema de 6eierstrass es que, si f(x) es continua

en [a,b] y llamamos m al mínimo y M al má!imo de f(x) en [a,b], la imagen de f esel intervalo [m, M] y por tanto, la función está acotada.

*l teorema de +ol$ano y el de 6eierstrass son resultados que parecen intuitivos y

evidentes pero demostrarlos rigurosamente es díficil, ya que es necesario usar

propiedades 7profundas7 de la estructura de la recta real &(abitualmente se

demuestran usando la propiedad de e!istencia del supremo o la de los

intervalos encajados'. 3as demostraciones se salen del nivel de este curso por lo

que no aparecen aquí.

D) NOTAS BIOGRÁFICAS SOBRE BOLZANO Y WEIERSTRASS.

8ui$á tengas curiosidad por saber quiénes fueron los dos matemáticos que dan

nombre a los teoremas que estudiamos en esta lección- aquí tienes una escueta

información sobre la vida y obra de cada uno de ellos.

Bernhr! B"#$n" fué un sacerdote católico, filósofo y matemáticoc(ecoslovaco, de ascendencia italiana, nacido y muerto en )raga &9.:;9<9.;=;'.

%e adelantó a los analistas del siglo >> en conceptos tales como función

continua, criterios de convergencia de series, etc.

*n su obra más importante "Paa!#a$ !%& 'f''" &publicada (acia 9.;=:' se

reconoce por primera ve$ la necesidad de demostrar rigurosamente proposiciones

aparentemente evidentes, aunque sus ideas son más filosóficas que matemáticas.

?ontribuyó a la sistemati$ación de la teoría de funciones y fué un precursor de la

aritmeti$ación del análisis, enunciando en 9.;9: el teorema que estudiamos aquí.



?omo filósofo, fué un profundo conocedor de la filosofía escolástica y uno de los

fundadores de la fenomenología.

%r# We&er'(r'' fué un matemático alemán, nacido en @stenfelde y muerto en

+erlín &9.;9A<9.;B:'.

Cué profesor del nstituto ndustrial y de la #niversidad de +erlín, donde tuvo a 5.

*. 5eine como alumno.

ntrodujo el rigor matemático en el cálculo de variaciones y dió un ejemplo de

función continua no derivable en ningún punto.

nvestigó en diversos campos de las Datemáticas, destacando sobre todo, enanálisis funcional y funciones analíticas y elípticas, siendo uno de los matemáticos

que culminaron las investigaciones en torno a la idea de función y su

aromati$ación.



TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS

*n el análisis real, el teorema de +ol$anoE6eierstrass es un importante teoremaque caracteri$a los conjuntos secuencialmente compactos.

ENNCIADO

*n el análisis real, el teorema de +ol$ano<6eierstrass es un resultado

fundamental referente a la convergencia en un espacio euclídeo

dimensionalmente finito Rn. *l teorema establece que cada sucesión acotada en

Rn tiene una subsucesión convergente. #na formulación equivalente es que un

subconjunto de Rn es secuencialmente compacto si y sólo si es cerrado y

acotado.

DEMOSTRACION

*n primer lugar, aplicando el método de inducción matemática, demostraremos el

teorema cuando F 9, en cuyo caso el orden de R se puede poner a buen uso. /e

(ec(o tenemos el siguiente resultado.

Le* ?ada sucesión G

x H en R tiene una subsucesión monótona.

De*"'(r+&,n Iamos a llamar a un número entero positivo n un 7pico de la

secuencia7, si mJ n implica x J x

m es decir, si x es mayor que todos los términos

siguientes de la secuencia. %upongamos primero que la secuencia tiene picos

infinitos, 9 K L KM K N K # K N *ntonces la subsecuencia correspondiente

a los picos es monótonamente creciente, y ya está. sí que supongamos

a(ora que sólo (ay un número finito de picos, sea O el último pico y 9 F * P 9.

3uego 9 no es un pico, ya que 9 J * , lo que implica la e!istencia de

un L J 9 con #na ve$ más, L J * no es un pico, por lo tanto

(ay M J L con Repetiendo este proceso conduce a una subsucesión

infinita no decreciente , si lo desea.

https://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica





(ora supongamos que tenemos una secuencia acotada en R, por el 3ema e!iste

una subsucesión monótona, necesariamente limitada. )ero se sigue del teorema

de convergencia monótona que esta subsecuencia deben converger, y la prueba

es completa. )or último, el caso general puede ser fácilmente reducida al caso de

n F 9 como sigue dada una secuencia limitada en R, la secuencia de las primeras

coordenadas es una secuencia real limitado, por lo tanto tiene una subsucesión

convergente. continuación, puede e!traer un subsubsucesión en el que

convergen las segundas coordenadas, y así sucesivamente, (asta que al final

(emos pasado de la secuencia original a subsecuencia n veces < que sigue siendo

una subsecuencia de la secuencia original < en la que cada coordenada converge

secuencia , por lo tanto, la propia subsucesión es convergente.

COMPACIDAD SECENCIAL EN ESPACIOS ECLDEOS

%upongamos que es un subconjunto de Rn con la propiedad de que toda

sucesión en tiene una subsucesión convergente a un elemento de . *ntonces,

debe ser limitada, pues de lo contrario e!iste una secuencia en la !m en con QQ

!m QQ m para todos los m, y luego cada subsecuencia es ilimitada y por tanto no

convergentes. )or otra parte debe ser cerrado, ya que desde un punto de nointerior ! en el complemento de se puede construir una secuencia con valores

de convergencia a !. sí, los subconjuntos , de Rn, para que cada secuencia en

la tiene una subsucesión convergente a un elemento de E es decir, los

subconjuntos que están secuencialmente compacto en la topología de subespacio

E son precisamente los conjuntos cerrados y limitados. *sta forma del teorema

(ace especialmente clara la analogía con el Teorema de 5eine<+orel, que afirma

que un subconjunto de Rn es compacto si y solo si es cerrado y acotado. /e

(ec(o, la topología general nos dice que un espacio es compacto metri$able si y

solo si es secuencialmente compacto, de modo que la de +ol$ano<6eierstrass y el

teorema de 5eine<+orel son esencialmente los mismos.



ISTORIA

*l teorema de +ol$ano<6eierstrass lleva el nombre de matemáticos +ernard

+ol$ano y Sarl 6eierstrass. *n realidad, fue demostrado por primera ve$ por

+ol$ano en 9;9: como un lema en la demostración del teorema de valor intermedio. #nos cincuenta aos más tarde, el resultado fue identificado como

significativo por derec(o propio, y demostrado una ve$ más por 6eierstrass.

/esde entonces se (a convertido en un teorema fundamental del análisis.

E/ERCICIO

1 /emuestra que la función f&!' F ! L U =! P L corta al eje

de las abscisas en el intervalo 0",L1 .V%e puede deci r lo

mismo de la función W

0 %ea la función

V%e puede af irmar que f&!' está acotada en el intervalo

09,=1W

%ea la función f &!'F ! L P 9. V%e puede af i rmar que la

función toma todos los valores del intervalo 09,A1W



2 #t i l i $ando e l teorema de +ol$ano, demost rar que la

ecuación ! M P ! U A F ", t iene al menos una solución ! F

a tal que 9 K a K L.

3 %ea la func ión f &!' F ! M U !L P 9 . V%e puede afi rmar

que e!iste al menos un punto c en el interior del intervalo

09,L1 tal que f&c' F "W

4 Xust i f icar que la función pol inómica f &!' F ! M P ! P 9

tiene un cero comprendido entre U9 y ".

5 /emostrar que la ecuación e U! P L F ! t iene al menos

una solución real.

6 /emostrar que e!iste algún número real ! tal que sen !

F !.

7 /ada la función

/emuestra que e!iste un punto del intervalo abierto &L,

=' en el que f toma el valor 9.

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