Teorema del muestro y PCM

Modulación Digital

COMUNICACIONES II

Prof. Joaquín Vicioso

Qué es la Modulación Digital?

Modulación es el proceso de conversión de un sistema de datos de origen a otro de destino. La información contenida en los datos resultantes deberá ser equivalente a la información de origen. Un modo sencillo de entenderlo es traducir entre idiomas. Por ejemplo home = hogar. Podemos entender que hemos cambiado una información de un sistema (inglés) a otro sistema (español) y que esencialmente la información sigue siendo la misma. En Comunicación electrónica esto se logra haciendo una conversión de análogo a digital.

CONVERSION ADC

Para que la señal analógica pueda ser transformada en una onda digital (discreta), son necesarias tres etapas: Muestreo, Cuantización y Codificación.

Muestreo Cuantización Codificador

SeñalDigital

Señal Analógica

Señal Discreta en Tiempo Continua en Amplitud

Señal Discreta en Tiempo Discreta en Amplitud

Muestreo

El primer componente es un muestreador que extrae valores de muestra de la señal de entrada en intervalos de tiempo regular.

La salida del muestreador es una señal discreta de tiempo pero continua de amplitud, puesto que los valores de muestras seguirán siendo continuos en el rango de valores de la señal de entrada x(t).


Cuantificación

El segundo componente es un cuantificador, el cual asigna un rango continuo de valores en un número finito de valores de muestras, de tal manera que cada valor de muestra puede ser representado por una palabra digital.


Codificador

El codificador mapea cada valor de muestra y asigna una palabra digital de 8 bits. La palabra de 1 byte contiene 7 bits de información y 1 bit de signo.


Consideraciones especiales

El muestreo deja de lado mucha información, es decir que se producen “pérdidas por muestreo”.

También es posible que señales diferentes produzcan las mismas muestras.

Muestreo

Para extraer muestras de una señal x(t) un conmutador electrónico puede ser utilizado, cuando esté cerrado toma brevemente el valor de x(t) y abierto toma el valor de cero.

x(t) xs(t)

Dispositivo de Muestreo

x

p(t)

x(t) xs(t)

Modelo Matemático del Dispositivo de Muestreo

Muestreo Para que el proceso de muestreo sea útil, se debe mostrar

que es posible recuperar x(t) de las muestras de xs(t).

Si se sabe que x(t) muestreada es xs(t) y esta definida por:

p(t) es conocida como la función de muestreo, modelando la acción del conmutador electrónico. Consideraremos a esta función como un tren de pulsos periódico. De allí, que p(t) puede ser escrita como una serie de Fourier

)()()( tptxtxs

2/

2/

22 )(1

,)(T

T

tnfjn

n

tnfjn dtetp

TCeCtp ss

x(t)

T 2T 3T 4T t

p(t)

tT 2T 3T 4T

Señal Analógica y Tren de Pulsos

Entonces la señal muestreada puede ser escrita como:

Por definición la transformada de Fourier de xs(t) es:

n

tnfjns

setxCtx 2)()(

dtetxfX tfjss

2)()(

dteetxCfX tfj

n

tnfjns

s

22)()(

n

nfftjns dtetxCfX s )(2)()(

n

sns nffXCfX )()(

Muestreo

X(f)

ffh-fh

Xs(f)

ffh-fh fs+fhfs-fh-fs+fh-fs-fh

ESPECTROS DE LA SEÑAL Y LA SEÑAL MUESTREADA

Filtro de Reconstrucción

El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal periódica continua en banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

f >2fh

Teorema del Muestreo

Esta es la mínima frecuencia de muestreo, y fh es la mas alta frecuencia en la señal x(t).

Esto es lo que se conoce como el teorema de Muestreo de señales de banda limitada pasa bajos.

Una señal de banda limitada x(t), sin componentes de frecuencia mayores que fh Hertz, esta completamente definida por muestras que son tomadas a una tasa de 2fh Hertz. En otras palabras, el tiempo entre muestras no debe ser mayor a 1/2fh.

Teorema del Muestreo (Nyquist)

Muestreo Impulsional El muestreo impulsional es el muestreo ideal, es decir, con

una secuencia de funciones impulsos unitarios.

donde Ts es el período de muestreo igual al inverso de fs. Y δ(t) es la función delta de Dirac o la función impulso.

La señal muestreada seria:

Utilizando la propiedad de desplazamiento de delta, se puede Utilizando la propiedad de desplazamiento de delta, se puede determinar que la función x(t) muestreada es;determinar que la función x(t) muestreada es;

n

nsnTttx )()(

)()()( txtxtxs

n

nsss nTtnTxtx )()()(

Para obtener la señal en el dominio de la frecuencia, utilizamos la propiedad de multiplicación en el tiempo, convolución en frecuencia. La transformada de Fourier de la señal de impulsos es:

Y recordando que la convolución con la función impulso es la función original desplazada, de la siguiente manera.

La transformada de Fourier de la señal muestreada queda:

n

ns

s

nffT

fX )(1

)(

)()(*)( ss nffXnfffX

ns

ss nff

TfXfXfXfX )(

1*)()(*)()(

n

ss

s nffXT

fX )(1

)(

Muestreo Impulsional

Muestreo Natural (Gating)

Si x(t) es una forma de onda analógica de ancho de banda limitado B Hz, la señal PAM que usa muestreo natural es

El ciclo de trabajo de s(t) es d = τ/Ts.El espectro de la señal naturalmente muestreada se calcula en función de la propiedad de multiplicación en el tiempo, convolución en frecuencia. s(t) puede ser representada también por las series de Fourier

k

ss

kTttxtstxtx

)()()()(

,)(

n

tjnn

seCts

dn

dnSindCn

)(

Ya que s(t) es una señal periódica puede obtenerse el espectro como:

Para obtener el espectro de la señal muestreada natural

n

sn nffCfS )()(

nsn

nsns nfffXCnffCfXfX )(*)()(*)()(

n

sns nffXCfX )()(

Muestreo Natural (Gating)

Muestreo Instantáneo (FLAT-TOP) Si la señal x(t) es una señal analógica de ancho de

banda limitado B Hz, la señal PAM muestreada instantáneamente está dada por:

,)()(*)()(

k

ss kTttxthtx

El espectro para la señal flat-top PAM es:

n

ss

s nffXfHT

fX )()(1

)(

en donde H(f) esta dada por:

f

fSinfH

)(

)(

Observaciones sobre el Muestreo

En la práctica, lógicamente no se muestrean impulsos ni se implementan filtros de paso bajo ideales.

Un ejemplo práctico: El retenedor de orden cero

Observaciones sobre el Muestreo El muestreo es una operación intermitente, ya que

multiplicamos x(t) por la función intermitente p(t). Sin embargo,

Evidentemente el muestreo no es un operación exacta y se introduce un “error” al muestrear la señal.

Reconstrucción de Datos

Retomando el muestreo impulsional para nuestra señal

Puesto que la función delta es cero excepto en los instantes de muestreo t=kT. El filtro de reconstrucción, el cual es un sistema LTI, tiene una respuesta al impulso h(t), la salida del filtro de reconstrucción y(t).

kk

s kTtkTxkTttxtx )()()()()(

dthkTkTxthtxtyk

s )()()()(*)()(

Cambiando el orden de la sumatoria e integración

Ya que la entrada del filtro es una suma de impulsos, se sigue que la salida del filtro es la suma de las respuestas al impulso. La salida y(nT) es la simplemente la suma de las respuestas al impulso individuales.

El problema ahora es determinar la forma de la función de respuesta al impulso para que y(t) sea una buena aproximación de x(t).

k

dthkTkTxty )()()()(

k

kTthkTxty )()()(

Reconstrucción de Datos

Filtro de Reconstrucción Ideal

Asumiendo que la señal x(t) es muestreada a la frecuencia que excede la tasa de Nyquist, el filtro de reconstrucción ideal esta definido por

Sustituyendo en la respuesta del filtro

d.o.m 0

5.0)( sffT

fH tSincfth s)(

kk

s kT

tSinckTxkTtSincfkTxty )()()()()(

Filtro de Reconstrucción

Ideal

k

s kTtkTxtx )()()(

d.o.m 0

5.0)( sffT

fH

x(t)


Ilustración gráfica de la interpolación del dominio del tiempo

Este filtro es claramente no causal, y la respuesta al impulso unitario no es limitada en el tiempo, no puede ser usada para aplicaciones de tiempo real.

Ya que h(t) no es limitada en el tiempo, un número infinito de respuestas al impulso deben ser usadas para la interpolación de valores entre muestras, si resultados exactos son obtenidos.

Sin embargo, se puede aproximar

TnTtnT ,)()()(1

ln

lnk

kT

tSinckTxtytx


Submuestreo y Aliasing Cuando ωs≤ 2 ωM Submuestreo

Submuestreo y Aliasing

Xr(jω) ≠ X(jω)

Distorsión debida al aliasing

• Las frecuencias superiores de x(t) se "pliegan" y toman los "alias" de las frecuencias inferiores.

• Observe que el tiempo de muestreo, xr(nT) = x(nT)

Interpolación Lineal

Si la frecuencia de muestreo es mucho mayor que la tasa de Nyquist, fs >>>2fh, la interpolación lineal puede ser usada para reconstruir una aproximación cercana d la señal analógica x(t) a partir de la señal muestreada.

d.o.m 0

1)( TtT

t

T

tth

k

kT

tkTxty )()(

Para t entre t=nT-T y t=nT

Solo dos valores de la muestra son necesarios para interpolar valores entre muestra.

La naturaleza de la aproximación puede ser vista en la siguiente gráfica, observando que

H(f)=TSinc2fT

Para este filtro hay dos fuentes de error: H(f) no es cero para |f| ≥0.5fs

H(f) no es exactamente una constante para |f| ≤fh

1)()()( n

T

tnTx

T

tnTnTxtx

Interpolación Lineal

Reconstrucción con Filtro RC

Los filtros vistos anteriormente son filtros de reconstrucción no causales y por lo tanto no son de aplicación en tiempo real.

Para muchas aplicaciones un filtro práctico causal de reconstrucción es el filtro de primer orden RC cuya función de transferencia es:

Donde f3 es la frecuencia de la mitad de potencia o de 3 dB

)/(1)(

3ffj

TfH

RCf

21

3

Remplazando para la respuesta del filtro

Las fuentes de error para este filtro son los mismos que para el filtro de interpolación lineal.

Esto puede ser visto ya que el espectro resultante para la operación de muestreo no es completamente atenuado, y por lo tanto y(t) es solo una aproximación de la señal analógica x(t).

La aproximación es buena, si f3 es mucho mayor que fh, el ancho de banda de la señal analógica.

)(2)()( )(23

3 kTtueTfkTxty kTtfj

k

Reconstrucción con Filtro RC

Cuantización y Codificación

Cuantización es el proceso de limitar los valores de amplitud de la señal muestreada en un conjunto de valores finitos de amplitud.

Cuantización Escalar: Cuantización Uniforme (Lineal) Cuantización no Uniforme (Logarítmica)

Cuantización Vectorial

El proceso de codificación es representar los valores permitidos por una palabra digital de longitud fija.


Para una representación binaria, el número de niveles de cuantización será

M=2n

donde n es la longitud de la palabra binaria. El paso de cuantización es

nn

VVD

22minmax

Cuantización Uniforme o Lineal

Valor Cuantizado

Valor de Muestra-1-2-3-4

4321

0.5

1.5

2.5

3.5

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

Error de Cuantización La medida del error de cuantización puede ser

deducida si se observa que para un intervalo de valores el error máximo puede ser /2.

Si se integra para un intervalo de cuantización desde –0 a t1 y se divide para t1, tendríamos el error de cuantización promedio.

0 1

0.5

-0.5

Error de Cuantización

donde la función Є() es:

1

1

)(2

1 2

1

t

t

q dt

E

12

)(t

121222

1

2

1 2

03

31

2

0

2

11

2

11

1

11

1

ttt

t

q td

ttd

ttE

nq

DE 2

2

212

SNR de un cuantizador

La relación señal a ruido de un cuantizador es

Expresando esta relación señal a ruido en dB, se tiene:

ns

q

s DPE

PSNR 22 212

2log20log20log1012log10 nDPSNR sdB

DPnSNR sdB log20log1002.679.10

PAM Modulación por amplitud del pulso

Una señal PAM es una señal muestreada constituida por una serie de impulsos cuya amplitud es proporcional a la amplitud de la señal analógica.

Esta técnica recoge información análoga, la muestra, y genera una serie de pulsos basados en los resultados de la prueba.

PAM – Cómo se genera?

A) Señal analógicaB) Pulsos de MuestreoC) Salida D) PAM instantánea

PAM

El espacio libre, entre dos muestrasse aprovecha para enviar otras señales.(Time División Multiplexión = TDM)

PAM

La amplitud de cada muestra de pulso es proporcional a la amplitud de la señal de mensaje en el momento de muestreo.

PAM – Muestreo natural

PAM – Muestreo Instantáneo

PAM – Muestreo Instantáneo

La modulación por impulsos codificados PCM por sus siglas inglesas de Pulse Code Modulation) es un procedimiento de modulación utilizado para transformar una señal analógica en una secuencia de bits (señal digital). Una trama o stream PCM es una representación digital de una señal analógica.

Cada muestra que entra al codificador se cuantifica en un determinado nivel de entre un conjunto finito de niveles de reconstrucción. Cada uno de estos niveles se hace corresponder con una secuencia de dígitos binarios, y esto es lo que se envía al receptor. Se pueden usar distintos criterios para llevar a cabo la cuantificación, siendo el más usado el de la cuantificación logarítmica.

PCM – Cómo se genera?

PCM – Modelo

Las salidas de los comparadores se aplican a un conversor de código con 256 entradas y 8 salidas, de modo que a la salida del codificador se tendrá una palabra o símbolo de 8 bits en paralelo, correspondiente al nivel de cuantificación en el punto de muestreo de la señal de entrada. Mediante un registro de desplazamiento de entrada en paralelo y salida en serie, es posible convertir la salida en paralelo del codificador en una secuencia de bits en serie.

PCM – Qué es el Aliasing?

El muestreo con una frecuencia inferior a la teórica, o bien, la utilización para la reconstrucción de un filtro de banda no suficientemente limitada, provoca un fenómeno conocido como aliasing (solapamiento espectral). El efecto es la reconstrucción de frecuencias totalmente diferentes que las de partida.

Teorema del muestro y PCM

Documents

Transcript of Teorema del muestro y PCM