ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Teorema del límite central. El Teorema Central del Límite dice que si

tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal. Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas.

Recordando…La variable Normal

La gráfica de la función densidad, conocida como campana de Gauss, se expone a continuación para la variable normal  tipificada o estándar, definida para μ=0 y σ=1 :

Ejemplo : la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernoulli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una distribución normal.

Los parámetros de la distribución normal son: Media :  n * m (media de la variable

individual multiplicada por el número de variables independientes)

Varianza :  n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales)

• El teorema del límite central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande.

Si n > 30, se puede usar el TLC.• Si la distribución madre es normal, la

distribución de la media muestral también es normal, independientemente del tamaño.

x ≈ N(μx; σx) Þ x ≈ N(μx; σx)

• La aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre "teorema del límite central" ("central" califica al límite, más que al teorema).

• Este teorema, perteneciente a la teoría de la probabilidad, encuentra aplicación en muchos campos relacionados, tales como la inferencia estadística o la teoría de renovación.

• Ejemplo 1:• Si se sabe que la dureza Rockwell de pernos de

cierto tipo tiene un valor medio de 50 y desviación estándar de 1,5.

a) Si la distribución es normal, ¿cuál es la probabilidad de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 52?

b) ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra aleatoria de 40 pernos sea al menos 52?x = 50

σ = 1,5

x ≈ N(50; 1,5)

a)

n = 9

x = 52

x ≈ N(50; 1,5.√9)

z = (x - μ)/(σ/√n)

La probabilidad de que la media muestral sea superior a 52 es:

)

1-1 0

b)

n = 40

Con el valor de z obtenido de tablas:

EJEMPLO 2Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras.

E(X)=0,5 Var(X)=0,25 La variable suma de estas 100 variables

independientes se distribuye, por tanto, según una distribución normal.

Media = 100 * 0,5 = 50 Varianza = 100 * 0,25 = 25

Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable normal tipificada equivalente:

Por lo tanto: P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0)

= 1 - 0,9772 = 0,0228

la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salgan más de 60 caras es tan sólo del 2,28%.

Ejemplo 3 Los clientes en un hotel, usan el agua en las

duchas en un promedio de 11.4 min cada día, con una variacion tipica de 2.6 min. Asuma una distribucion normal.

Cual es la probabilidad de que en promedio 84 huespedes tomen duchas mayores a 12 min.

µ=11.4 =2.6 σ=1.6 = P=0.77 N=84 P(x>12)= P(z>) = P(z>0.37) = 1- Φ(0.37) =1- 0.6443 = 0.3557

EJEMPLO 4

En promedio, de las personas que ingresan a una librería sólo el 25% realiza una compra. Si en un día entraron 80 clientes, calcule la probabilidad aproximada de que se hagan al menos 28 compras.

P=0.25 q=0.75 N=80 µ=np = (80)(0.25) = 20 σ= = ) = 3.87 P(x≥28)= P(z ≥) = P(z ≥2.07) = 1- Φ(2.07) = 1 – 0.9808 = 0.0192

Ejercicios propuestos EJERCICIO 1 Una radiologa que trabaja en el servicio de traumatología

de un hospital ha comprobado que el tiempo, en minutos, que tarda en atender a cada paciente es una variable aleatoria con media 7 y desviación estándar 2. Durante su jornada laboral trabaja 6 horas atendiendo pacientes sucesivamente y sin interrupción. Calcule, aproximadamente, la probabilidad de que durante un día pueda atender hasta 55 pacientes dentro del horario de su jornada laboral. Se supone que todos los pacientes están en la consulta con suficiente antelación y que no hay “tiempos vacíos entre dos pacientes consecutivos.

EJERCICIO 2 En una asignatura del colegio la probabilidad de que te

saquen a la pizarra en cada clase es del 10%. A lo largo del año tienes 100 clases de esa asignatura.

¿Cuál es la probabilidad de tener que salir a la pizarra exactamente 10 veces?

¿Cuál es la probabilidad de tener que salir a la pizarra como mínimo 16?

EJERCICIO 3 Un centro comercial dispone a la venta

diariamente, en una de sus secciones, solo dos artículos a precios p1 y p2, de suerte que:

El 70 % de las unidades ofrecidas lo son del artículo de precio p1.

El 30 % de las unidades ofrecidas lo son del artículo de precio p2.

Si en un día determinado se venden en dicha sección 20 unidades, determinar la probabilidad de que las 20 unidades correspondan al artículo de precio p2.

EJERCICIOS 4

El diámetro interior de un anillo de pistón seleccionado al azar es una variable aleatoria con valor medio de 12cm y desviación estándar de .04cm

a) Si x es el diámetro medio de la muestra para una muestra aleatoria de n=16 anillos

¿Dónde está centrada la distribución muestral de x , y cuál es la desviación estándar de la distribución de x ?