Teorema de Recursión, variantes

8/20/2019 Teorema de Recursión, variantes

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Teoría de Conjuntos I

VARIANTES A

RECURSIÓN PARA

Hay muchas versiones o variantes de Recursión para ( en ZF− ), veamosalgunas. Estas solamente las enunciaremos y daremos una sugerencia para su

demostración.

a). Si A es una clase, a ∈ A y G 1 : A A, entonces hay una única función f 1tal que

f 1 : A

I) f 10 a

II) ∀n ∈ f 1n G1 f 1n, n

Observación:

f 10 a f 12 G1 f 11, 1 G1 G1a, 0, 1

f 11 G1 f 10, 0 G1 a, 0 f 13 G1 f 12, 2 G1 G1 G1a, 0, 1 , 2

Para una prueba de a), solo hay que rehacer la prueba original.

Ejemplo: El factorial de un natural:

! :

I) 0! 1II) n! n! n

En este caso: A , a 1 y G 1 : , con G 1 p, q p q para toda p, q ∈ .

b). Versión Paramétrica.Si P es un conjunto, A una clase, H : P A y G 2 : P A A, entonces hay

una única función f 2 tal que

f 2 : P A

I) ∀ p ∈ P f 2 p, 0 H p

II) ∀ p ∈ P ∀n ∈ f 2 p, n G2 p, f 2 p, n, n

Para la prueba de b) se puede usar I). Sugerencia: define por recursión f 1 : P A como : f 10 H y f 1n G1 f 1n, n donde G 1 : P A P A esta

Rafael Rojas B arbachano 1


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dada por G 1i, n p G2 p, i p, n. Finalmente ∀ p ∈ P ∀m ∈ f 2 p, m f 1m p.

Ejemplo: La Suma entre Naturales:

:

I) ∀m ∈

m 0 mII) ∀m ∈ m n m n

En este caso: P , A , H : , con H Id y G 2 : , con

G2 p, q, r q para todos p, q, r ∈ .

c) Si a es un conjunto, denotamos el conjunto de todas las sucesiones finitas deelementos de a por

a; formalmente,

a n∈

n

a

Si a es un conjunto y g :

a a , entonces hay una única función f 3 tal que

f 3 : a

∀n ∈ f 3n g f 3 n

Observación:

f 30 g f 3 0 g f 3 ∅ g ∅ g 0 y f 31 g f 3 1 g 〈0, g 0

Para la prueba de c) se puede usar a). Sugerencia: Sea G 1 : S A,G1 x, n x n, g x, Por a), hay f 1 : S tal que f 10 ∅ y

f 1n G f 1n, n. Finalmente, sea f 3 f 1.

Ejemplo: Para obtener la Sucesión de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,..., basta tomar:

a y g :

, dada como sigue, para cada t ∈

, sea

g t

1 si DOM t 0

1 si DOM t 1

t n t n 1 si DOM t n 2 para algún n ∈

por c) tendríamos que hay una única F : tal que ∀n ∈ F n g F n. Así,



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F 0 g 0 1

F 1 g F 1 1

F 2 g F 2 F 20 F 21 F 0 F 1 1 1 2

F 3 g F 3 F 21 F 22 F 1 F 2 1 2 3

F 4 F 2 F 3 2 3 5

Podríamos decir, hay una única función F : tal que

1. F 0 1 y F 1 1

2. ∀n ∈ F n 2 F n F n 1

d) Si A es un conjunto, a ∈ A y g una función con DOM g ⊆ A e IMG g ⊆ A,entonces hay una única función f 4 tal que

0) DOM f 4 o DOM f 4 k 0 donde k 0 min k ∈ / f k , k ∉ DOM g

00) IMG f 4 ⊆ A

I) f 40 a

II) ∀n n ∈ DOM f 4 f 4n g f 4n, n

Para la prueba de d) se puede usar a). Sugerencia: Sea A∗ A a∗ donde

a∗

∉ A. Define g ∗

: A∗

A∗

como sigue:

g ∗ x, n g x, n si x, n ∈ DOM g

a∗ en otro caso

con a) obtendrás f ∗. Si f ∗i a∗ para algún i ∈ , considera f ∗ i para el menor detales i.

Ejemplo: Si X ⊆ , entonces hay una función inyectiva f con IMG f X y tal que DOM f o DOM f ∈ .


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