EL TEOREMA DE PITÁGORAS

MATEMATICAS III

NET IZCALLI

EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Este teorema es de los más famosos de la geometría plana.

Hay más de 300 pruebas de este teorema.

Antes de enunciarlo procedemos a hacer un poco de historia acerca de Pitágoras.

PITÁGORAS Nació en 572 a. de c.

aproximadamente. En la

isla de Samos, una de

las islas del mar Egeo,

cerca de la ciudad de

Mileto, donde nació

Tales.

Es muy probable que

haya sido alumno de

este último.

PITÁGORAS

Parece que Pitágoras estuvo en Egipto y

posiblemente viajó en forma más extensa

por el Oriente antiguo.

Tiempo después emigra al puerto griego de

Crotona en Italia del sur. Ahí fundó la célebre

escuela pitagórica, asi como una fraternidad

unida a ritos secretos y cabalísticos.

Se dedicó al estudio de la filosofía, la

matemática y la astronomía.

TEOREMA DE PITÁGORAS

tiene la misma área que

la suma de las áreas de

los cuadrados construidos

sobre los catetos.

c2=a2+b2

c

b

a

En un triángulo rectángulo,

el cuadrado construido sobre la hipotenusa,

Esta es una forma de probar el teorema

anterior. Considera la siguiente figura

a{

b

El área del cuadro verde es c2

El área del cuadro rojo es

(a+b)2=a2+2ab+b2

El área de cada tríangulo es

(ab)/2, entonces la suma de las

cuatro áreas es 2ab

c

El área del cuadro verde más el

área de los triángulos es igual al

área del cuadro grande es decir,

c2+2ab= a2+2ab+b2

c2= a2+b2

b

c

c

c

TENEMOS AHORA OTRA PRUEBA.

DEMOSTREMOS QUE EN LA FIGURA

(AB)2=(AC)2+(BC)2

Iniciando en el triángulo ABC, trazamos la perpendicular BD a AB.

ABC y ABD tienen dos ángulos iguales (el recto y BAC = BAD)

ABC es semejante a ABD entonces:

ABC = ADB= CDB (1)

(AC)/(AB) = (AB)/(AD) y

AD=AC+CD

UTILIZANDO LAS DOS IGUALDADES

ANTERIORES TENEMOS: (AC)/(AB) =(AB)/(AC+CD)

(AC)(AC+CD)=(AB)2

(AB)2=(AC)2+AC•CD

Por (1), ABCABD

AC/BC=BC/CD

CD=(BC)2/(AC)

(AB)2=(AC)2+(BC)2

Que es lo que queríamos probar.

Puedes encontrar otra prueba muy divertida si vas a UNIVERSUM.

También puedes consultar la página de Internet http://www.utp.ac.pa/articulos/pitagoras.html

a{ c

b

• La siguiente figura te dará otra idea para

demostrar el Teorema de Pitágoras.

EJEMPLO 1: COMBATE DE INCENDIOS.

Para combatir un incendio

forestal, el Departamento de

Silvicultura desea talar un

terreno rectangular

alrededor del incendio, como

vemos en la figura. Las

cuadrillas cuentan con

equipos de

radiocomunicación de 3000

yardas de alcance. ¿Pueden

seguir en contacto las

cuadrillas en los puntos A y

B?

SOLUCIÓN AL EJEMPLO 1

Los puntos A, B y C forman un triángulo rectángulo.Para calcular la distancia c del punto A al punto B seutiliza el teorema de Pitágoras, sustituyendo a a por2,400 y a b por 1,000, y despejando a c.

a2+b2=c2

24002+10002=c2

6,760,000=c2

c=2600

Las dos cuadrillas están a 2600 yardas de distancia.Esa distancia es menor que la del alcance de losradios, por lo que las cuadrillas se pueden comunicar.

EJEMPLO 2 CONSTRUCCIÓN DE UNA VÍA

RÁPIDA.

En una ciudad, las calles van de norte a sur y las avenidas de este a oeste. Las calles y avenidas tienen 750 pies de separación entre sí. El gobierno de la ciudad desea construir una vía rápida desde el cruce de la Calle 21 con la avenida 4, hasta el cruce de la Calle 111 con la avenida 60. ¿Qué longitud tendrá la vía rápida?

SOLUCIÓN AL EJEMPLO 2

Podemos representar las calles de la ciudad con elsistema coordenado que se muestra en la figura, enque las unidades de cada eje representan 750 pies.Si representamos el extremo de la vía en la Calle 21y Avenida 4 mediante el punto (x1,y1)=(21, 4), el otroextremo estará en (x2,y2)=(111, 60)

Ahora podemos emplear el teorema de Pitágoraspara calcular la longitud de la vía rápida.

d2=(x2-x1)2+(y2-y1)

2

d2=(111-21)2+(60-4)2

d2=8100+3136 d=106

ENUNCIEMOS AHORA LA CONCLUSIÓN A EL

EJEMPLO 2 Como cada unidad representa 750 pies, la longitud

de la vía es de (106)(750)=79,500 pies. Cada milla

tiene 5,280 pies, por lo tanto dividimos 79,500

entre 5,280 para convertir los 79,500 pies en

15.056818 millas. Es decir, la vía rápida tendrá

aproximadamente 15 millas de longitud.