Teorema de Pick, Un ejemplo de Matemática Elemental

Un Problema de Geometr Redes de Puntos El Teorema de Pick Algo de Historia Demostracin Teorema de Pick Aplicacio a o

El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica a ElementalJos Luis Ram Ram e rez rezUniversidad Pedaggica Nacional o Universidad Sergio Arboleda

Semana del Educador Matemtico - Universidad Pedaggica a o Nacional 6 de Abril de 2011

Jos Luis Ram e rez Ram rez

El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a


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Un Problema de Geometr a Redes de Puntos El Teorema de Pick Algo de Historia Demostracin Teorema de Pick o Demostracin 1 - El Teorema de Pick o Demostracin 2 - El Teorema de Pick o Teorema de Pick para Pol gonos con Agujeros Aplicaciones del Teorema de Pick Serie de Farey Sucesiones de Farey en el Plano Ms Propiedades de las Series de Farey a C rculos de Ford Pol gono de FareyJos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a

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Un Problema de Geometr aProblema Cul es el rea del siguiente pol a a gono?




Un Problema de Geometr a

A(T1 ) = 3,5Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a



A(T1 ) = 3,5, A(T2 ) = 2Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a



A(T1 ) = 3,5, A(T2 ) = 2, A(T3 ) = 2Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a



A(T1 ) = 3,5, A(T2 ) = 2, A(T3 ) = 2, A(C1 ) = 4





A(T1 ) = 3,5, A(T2 ) = 2, A(T3 ) = 2, A(C1 ) = 4, A(T4 ) = 1Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a



A(T1 ) = 3,5, A(T2 ) = 2, A(T3 ) = 2, A(C1 ) = 4, A(T4 ) = 1, A(T5 ) = 3Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a



A(T1 ) = 3,5, A(T2 ) = 2, A(T3 ) = 2, A(C1 ) = 4, A(T4 ) = 1, A(T5 ) = 3, A(T6 ) = 2Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a



A(T1 ) = 3,5, A(T2 ) = 2, A(T3 ) = 2, A(C1 ) = 4, A(T4 ) = 1, A(T5 ) = 3, A(T6 ) = 2, A(T6 ) = 6,5.Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a



P = 3,5 + 2 + 2 + 4 + 1 + 3 + 2 + 6,5 = 24Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a


Redes de PuntosDenicin o Un punto P de coordenadas (x, y) le llama entero o reticular si x, y son nmeros enteros, es decir, si x, y Z u Denicin o Una red de puntos M (red reticular M ), es aquella que esta formada por puntos enteros (reticulares) en el plano cartesiano. Denicin o Una red poligonal P (ret culo poligonal P ), es un pol gono simple, cuyos vrtices son enteros (reticulares). e Un pol gono es simple si los vrtices no coinciden unos con otros, e ninguno de los vrtices cae en uno de los lados del pol e gono y dos lados cualesquiera no se cortan.Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a






Redes de PuntosEjemplo

Figura: Red de Puntos M (gura a))- Red Poligonal P (gura b))




El Teorema de PickTeorema (Teorema de Pick) El rea de toda red poligonal es a P=I+ B 1 2

donde I es el nmero de puntos enteros interiores y B es el u nmero de puntos enteros sobre la frontera del pol u gono. Notacin: Se notar A(Q) el rea de un pol o a a gono Q y P(Q) a la frmula de Pick para el pol o gono Q .




Ejemplo




Ejemplo

I=1Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a


Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo

I = 10Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a


Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo



Ejemplo

I = 20, B = 1




Ejemplo

I = 20, B = 2




Ejemplo

I = 20, B = 3




Ejemplo

I = 20, B = 4




Ejemplo

I = 20, B = 5




Ejemplo

I = 20, B = 6




Ejemplo

I = 20, B = 7




Ejemplo

I = 20, B = 8




Ejemplo

I = 20, B = 9




Ejemplo

I = 20, B = 10




Ejemplo P=I+ B 10 1 = 20 + 1 = 20 + 5 1 = 24 2 2




Algo de Historia

El Teorema de Pick fue demostrado por Georg Alexander Pick (1859 - 1942) Pick naci en Viena, Austria y era de o padres jud os. Su trabajo matemtico fue a extremadamente amplio, alrededor de 67 documentos de temas como lgebra lineal, clculo integral, anlisis a a a funcional y geometr a. Parte de su popularidad se debe al teorema que lleva su nombre, el cual apareci en el ao de 1899, en un o n art culo llamado Geometrisches zurJos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a


Algo de Historia



Algo de Historia



Algo de Historia



Algo de Historia

Es 1969 aparece nuevamente publicado por Steinhaus es su famosos libro Mathematical Snapshots. No se tiene muy claro por qu este fue e demostrado por Pick, se presume que ste pretend mostrar las ventajas e a didcticas que se pueden obtener a cuando se relacionan distintos temas matemticos. aJos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a


Algo de Historia

Es 1969 aparece nuevamente publicado por Steinhaus es su famosos libro Mathematical Snapshots. No se tiene muy claro por qu este fue e demostrado por Pick, se presume que ste pretend mostrar las ventajas e a didcticas que se pueden obtener a cuando se relacionan distintos temas matemticos. aJos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a

Un Problema de Geometr Redes de Puntos El Teorema de Pick Algo de on 1 - El Teorema de on Teorema de Pick 2 - El Teo a Demostraci Historia Demostraci Pick Demostracin Aplicacio o

Demostracin 1 - El Teorema de Pick o1

Primero probar que la frmula de Pick es valida para o rectngulos y tringulos. a a Probar que si la frmula de Pick vale para dos redes o poligonales con interiores disyuntos y con un lado en comn, u entonces vale para la unin. o Demostrar que toda red poligonal se puede triangularizar, es decir, descomponer en tringulos disjuntos. a

2

3






2

3






2

3




Demostracin 1 - El Teorema de Pick oTeorema Sea R una red rectangular, con lados paralelos a los ejes, entonces A(R) = P(R)




Demostracin 1 - El Teorema de Pick oTeorema Sea un tringulo rectngulo sobre una red, con un cateto a a vertical (y por lo tanto el otro horizontal), entonces A( ) = P( )




Demostracin 1 - El Teorema de Pick oTeorema Sean P una red poligonal y, P1 y P2 dos redes poligonales tales que P = P1 P2 , tienen interiores disyuntos y un lado comn. Si u A(P1 ) = P(P1 ) y A(P2 ) = P(P2 ) entonces A(P ) = P(P )




Demostracin 1 - El Teorema de Pick oTeorema Si es un tringulo reticular, entonces a A( ) = P( ) La demostracin se llevar a cabo en tres casos: o a Caso 1: Tringulo Rectngulo con catetos horizontal y vertical. a a Ver teorema 3.




Demostracin 1 - El Teorema de Pick oCaso 2: Tringulo con un slo lado horizontal (o vertical), ver a o gura 6- a).




Demostracin 1 - El Teorema de Pick oCaso 3: Tringulo sin lados horizontales ni verticales, (ver gura a 7).

La demostracin es anloga al caso 2. o aJos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a


Demostracin 1 - El Teorema de Pick oTeorema Todo pol gono simple se puede triangular. Corolario Si P es una red poligonal entonces P se puede triangularizar. Denicin o Una triangulacin de un pol o gono se construye trazando diagonales de modo que el pol gono quede dividido en tringulos. a Una diagonal es un segmento interior que une dos vrtices. e




Demostracin 1 - El Teorema de Pick oTeorema Todo pol gono simple se puede triangular. Corolario Si P es una red poligonal entonces P se puede triangularizar. Denicin o Una triangulacin de un pol o gono se construye trazando diagonales de modo que el pol gono quede dividido en tringulos. a Una diagonal es un segmento interior que une dos vrtices. e




Demostracin 1 - El Teorema de Pick o




Demostracin 1 - El Teorema de Pick oTeorema (Teorema de Pick) En toda red poligonal R, el rea esta dada por: a P(R) = I + B 1 2

donde I es el nmero de puntos enteros interiores y B es el u nmero de puntos enteros sobre la frontera del pol u gono.




Demostracin 1 - El Teorema de Pick oDemostracin. o Sea R una red poligonal, entonces por el corolario 1, se puede triangularizar en T1 , T2 , ..., Tn tringulos, luego: a A(R) = A(T1 ) + A(T2 ) + ... + A(Tn ) Por el teorema 5 A(Ti ) = P(Ti ), para todo i = 1, 2, ..., n aplicando n veces el teorema 4 se concluye que A(R) = P(R) = I + B 1 2





Demostrar que toda red poligonal se puede descomponer en tringulos primitivos. a Calcular el nmero de tringulos primitivos en los que se u a puede descomponer una red. (Utilizar frmula de Euler) o Probar que todo tringulo primitivo tiene rea 1/2. a a

2

3






2

3






2

3




Demostracin 2 - El Teorema de Pick oDenicin o Un tringulo es primitivo si no tiene puntos enteros en el interior y a sus vrtices son los unicos puntos enteros que tiene en su frontera. e Teorema Toda red poligonal de puede descomponer en tringulos primitivos. a




Demostracin 2 - El Teorema de Pick oSea R una red poligonal, entonces por el corolario 1, R se puede triangularizar. Caso 1: Sea ABC una red triangular, si ABC es primitivo quedar demostrado el teorema. a Caso 2: Supongamos ABC tiene al menos un punto entero sobre al menos uno de sus lados y ninguno interior, ver gura 2-a).

Figura: Demostracin Teorema 8, Caso2 oJos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a


Demostracin 2 - El Teorema de Pick oCaso 3: Supongamos que ABC tiene puntos en su interior, entonces por el corolario 1 se descompone hasta que no queden puntos interiores en cada uno de los tringulos de la a descomposicin y luego se aplicar el caso 1 o 2. o a




Demostracin 2 - El Teorema de Pick o




Demostracin 2 - El Teorema de Pick oTeorema (Frmula de Euler) o Sea P un poliedro convexo, con C caras, A aristas y V vrtices, e entonces se satisface V A+C =2 Esta formula es tambin valida para cualquier triangulacin sobre e o una esfera con, T tringulos, A aristas y V vrtices, la frmula de a e o Euler para la esfera es T A+V =2 Adems esta frmula es una invariante topolgico, es decir que si a o o se deforma la triangulacin y la esfera continuamente, entonces los o nmeros T , A y V no cambiarn y la frmula seguir siendo valida. u a o a




Demostracin 2 - El Teorema de Pick oTeorema El nmero de tringulos primitivos en que se puede descomponer u a una red poligonal P es: Tp = 2I + B 2 donde I es el nmero de puntos enteros interiores y B es el u nmero de puntos enteros sobre la frontera del pol u gono.




Demostracin 2 - El Teorema de Pick oTeorema El rea de todo tringulo primitivo es 1/2 a a Teorema (Teorema de Pick) En toda red poligonal R, el rea esta dada por: a P(R) = I + B 1 2





Demostracin 2 - El Teorema de Pick oDemostracin. o Sea R una red poligonal, entonces por los teoremas 8 y 10 sta se e puede descomponer en T = 2I + B 2 tringulos primitivos, cada uno de rea 1/2 esto por el teorema 11. a a As A(P ) = T 2 2I + B 2 = 2 B =I + 1 2 P(P )El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a



Teorema de Pick para Pol gonos con AgujerosDenicin o Sea R una red poligonal, un agujero de R es una red poligonal contenida en R, sin puntos de frontera en comn. u Ejemplo




Teorema de Pick para Pol gonos con AgujerosTeorema Sea R una red poligonal con n agujeros, entonces A(R) = I + B 1+n 2





Teorema de Pick para Pol gonos con AgujerosEjemplo A(ABCDE) = 3 + 15 23 1+2= 2 2




Aplicaciones del Teorema de PickTeorema No existen tringulos equilteros cuyos vrtices sean enteros. a a e Supongamos que existe un tringulo equiltero ABC cuyos a a vrtices son enteros. Entonces por el Teorema de Pick se tiene que e A ( ABC) = P ( ABC) = I + Por otra parte, el rea de a ABC es igual a bh , ver gura 5 2 B 1Q 2 (1)

A ( ABC) =




Aplicaciones del Teorema de Pick

Adems, por el Teorema de Pitgoras a a b =h +2 2

b 2

2

h=

3b 2




Aplicaciones del Teorema de Pickluego A ( ABC) = 3b2 4 (2)

Adems, b2 es el rea del cuadrado de lado b, ver gura 5, a a entonces por el Teorema de Pick b2 es racional. As por (1) y (2), 3 ser racional, lo cual es absurdo. Por tanto, no existen a tringulos equilteros con vrtices enteros. a a e




Aplicaciones del Teorema de PickLema tan (/n) con n 3 es racional si y slo si n = 4. o Teorema No existen pol gonos regulares de cinco o ms lados, cuyos vrtices a e sean enteros.



Un Problema de Geometr Redes de Puntos El Teorema de Pick Algo de de Farey en el Plano on Teorema de Pick Aplicacio a Sucesiones Historia DemostraciMs Propiedades de las Serie a

Serie de FareyDenicin o Una Sucesin de Farey de orden n, es una sucesin de fracciones o o irreducibles, en el intervalo [0, 1], con denominador menor o igual 0 que n, ordenadas de menor a mayor. Se escribir 0 = 1 y 1 = 1 a 1 Las sucecin de Farey de orden n se denotar por Fn . o a F1 : F2 : F3 : F4 : 0 , 1 0 , 1 0 , 1 0 , 1 1 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4

1 1 1 , 2 1 , 3

2 , 3 1 , 2

1 1 2 3 1 , , 3 4 1




Serie de FareyTeorema (Fundamental de las Sucesiones de Farey) Sia1 b1

y

a2 b2

son dos trminos consecutivos de Fn , entonces e b1 a2 a1 b2 = 1 y b1 + b2 > n

Si

a1 a2 b1 , b2

y

a3 b3

son tres trminos consecutivos de Fn , entonces e a2 a1 + a3 = b2 b1 + b3




Serie de FareyDenicin o Un punto entero A(x, y) es visible si el segmento OA (O (0, 0)) no tiene puntos enteros, a parte de los extremos. Si el segmento OA tiene ms de un punto entero (a parte de los extremos), entonces a se dice que A es un punto oculto. En la gura 10 el punto C (5, 3) es visible y el punto A (2, 4) es oculto.




Serie de FareyTeorema Sea A (x, y) un punto entero entonces A es visible si y solo si el mcd (x, y) = 1 Teorema Sean x, y nmeros enteros, entonces m + 1 (m 1) es el nmero u u de puntos enteros en el segmento OA, donde A(x, y), si y solo si m = mcd (a, b).




Serie de FareyEjemplo Calcular el mcd(12, 4) se observa en la gura 36 que hay 5 puntos enteros luego mcd(12, 4) = 4.




Sucesiones de Farey en el PlanoSea a una fraccin de Fn entonces a este le corresponde un punto o b entero (a, b) en el plano, por ejemplo: F5 : 0 1 1 1 2 1 3 2 3 4 1 , , , , , , , , , , 1 5 4 3 5 2 5 3 4 5 1




Tringulos con un Punto Interior aTeorema Los puntos asociados de la sucesin Fn estn en la regin R, o a o incluyendo la frontera, donde R : y = x, x = 0, x = n 1 y y = n. Adems, todos los puntos visibles de est regin son los de Fn a a o Teorema 1 2 Sean a1 , a2 Fn consecutivos, entonces b b donde A (a1 , b1 ) y B (a2 , b2 ). Teorema Si un tringulo reticular tiene B puntos en la frontera y a exactamente un punto interior (I = 1), entonces B = 3, 4, 6, 8 o 9.

OAB es primitivo,




Ms Propiedades de las Series de Farey aTeorema Sia b

Fn entonces

ba b

tambin pertenece a Fn . e

Teorema (Conjetura de Aaron) La suma de los numeradores de las fracciones de Fn es igual a la mitad de la suma de los denominadores

F5 :

0 1 1 1 2 1 3 2 3 4 1 , , , , , , , , , , 1 5 4 3 5 2 5 3 4 5 1

Suma de los Numeradores: 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + 2 + 3 + 4 + 1 = 19 Suma de los Denominadores: 1 + 5 + 4 + 3 + 5 + 2 + 5 + 3 + 4 + 5 + 1 = 38Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a


Ms Propiedades de las Series de Farey aTeorema El nmero de trminos de Fn es igual a: u e 1 + (1) + (2) + . . . + (n 1) + (n) Corolario 1 s Sean a1 , . . . , as los trminos de Fn , entonces e b bs

2i=1

ai =1+ bi

s

(n)i=1




C rculos de FordDenicin o p Sea q Q con mcd(p, q) = 1 ubicada sobre el eje x. La 1 circunferencia se radio 2q2 y tangente al eje x en el punto de coordenadasp q,0

, se denomina Circulo de Fordp 1 q , 2q 2

Claramente el C rculo de Ford tiene centro

, ver gura 1.




C rculos de FordEjemplo En la gura 3 se muestran los c rculos de Ford correspondientes a 3 5 2 las fracciones 2 , 3 y 1

Figura: C rculos de Ford




C rculos de FordDenotaremos por CFn a los c rculos de Ford de los trminos de la e Serie de Farey.

Figura: C rculos de Ford de los trminos de la Serie de Farey eJos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a


C rculos de FordTeorema Si a1 , a2 Fn y son consecutivas, entonces sus respectivos c rculos b1 b2 de ford son tangentes.




Pol gono de FareyDenicin (Pol o gono de Farey) Sea el conjunto la vrtices correspondientes a la Serie de Farey Fn , e entonces el pol gono de Farey se forma uniendo en orden estos vrtices junto con el origen, en cuyo caso de denota Pn e

Figura: Pol gono de Farey P5Jos Luis Ram e rez Ram rez El Teorema de Pick, Un Ejemplo de Matemtica Elemental a


Pol gono de FareyTeorema El rea de Pn es: a A(Pn ) = 2 + (1) + (2) + . . . + (n 1) + (n) 1 2

Ejemplo Para el pol gono P5 se obtiene que: A(P5 ) = 2 + (1) + (2) + (3) + (4) + (5) 1 2 2+1+1+2+2+4 = 1 2 =5




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