I.T.P.N

Distribución de Poisson.

TEOREMA DE

BAYES

¿Quién es THOMAS BAYES?Fue un matemático inglés que vivió en el siglo XVIII. El teorema nombrado en su honor describe las alternativas para calcular la probabilidad de que sucedan eventos, usando la probabilidad condicional. La estrategia permite alcanzar un juicio racional a partir de datos incompletos y no del todo fiables, que, a menudo, constituyen la única información disponible cuando se presentan situaciones imprevistas.

Este fenómeno se emplea en la teoría de la decisión, siempre que el responsable de la decisión tenga a su disposición información muestral.

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total: A partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: A partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

La fórmula del Teorema de Bayes es:

Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

b) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovió o hubo niebla).

El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se

denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que

se denominan "probabilidades a posteriori".

FORMULAS

Probabilidad Total P(T)= ∑ P(Ai) * P(B/

Ai)

TEOREMA DE BAYES P(Ai/B)= P(Ai) *

P(B/ Ai) P(T)

Calculando la Probabilidad Total

Si

NoLluvia

Niebla

Clima NieveSi

No

Si

No

A

0.5

0.3

0.2

*

*

*

Accidente B/

A0.2

0.8

0.10.9

0.05

0.95

0.1

0.03

0.01

A* B/A

∑ A* B/A

0.14

Calculando la Probabilidad de A dado B

TEOREMA DE BAYES

Si

No

Lluvia

Niebla

Clima

Nieve

Si

No

Si

No

A

0.5

0.3

0.2

*

*

*

Accidente B/

A0.2

0.8

0.1

0.9

0.05

0.95

0.1

0.03

0.01

A* B/A

∑ A* B/A

0.14

(A* B/A) / P(T)

0.1 / 0.14 = 0.7143

0.3 / 0.14 = 0.2143

0.01 / 0.14 = 0.0714

1

Cálculo de la Probabilidad Total P(T)= ∑ P(Ai) * P(B/

Ai)Lluvia 0.5Nieve 0.3Niebla 0.2

Probabilidad de que ocurra un accidente

Si llueve 0.2Si nieva 0.1Si hay Neblina 0.05

P (Accidente) = (0.5 * 0.2) + ( 0.30 *0.10) + (0.20 *.05)

P (Accidente) = (0.1) + ( 0.03) + (0.01)

P (Accidente) = 0.14

Cálculo de las probabilidades de A dado B P(Ai/B)= P(Ai) *

P(B/ Ai) P(T)Lluvia: Probabilidad del 50% o.5

Probabilidad de que ocurra un accidente:Si llueve: Probabilidad del 20% o.2

P(Lluvia/Accidente)= P(Lluvia) * P(Accidente/ Lluvia)

P(Accidente)

P(Lluvia/Accidente)= 0.5* 0.2

0.14

P(Lluvia/Accidente)=

0.7143

Cálculo de las probabilidades de A dado B P(Ai/B)= P(Ai) *

P(B/ Ai) P(T)Nieve: Probabilidad del 30% o.3

Probabilidad de que ocurra un accidente:Si hay nieve: Probabilidad del 10% o.1

P(Nieve/Accidente)= P(Nieve) * P(Accidente/Nieve)

P(Accidente)

P(Nieve/Accidente)= 0.3* 0.1

0.14

P(Nieve/Accidente)=

0.2142

Cálculo de las probabilidades de A dado B P(Ai/B)= P(Ai) *

P(B/ Ai) P(T)Niebla: Probabilidad del 20% o.2

Probabilidad de que ocurra un accidente:Si hay niebla: Probabilidad del 5% o.05

P(Niebla/Accidente)= P(Niebla) * P(Accidente/Niebla)

P(Accidente)

P(Niebla/Accidente)= 0.2* 0.05

0.14

P(Niebla/Accidente)=

0.0714

P(Ai/B)= P(Ai) * P(B/ Ai) P(T)

Entonces. . .

∑P(Ai/B)= P(Ai) * P(B/ Ai)

P(T)

∑P(Ai/B)= 0.7143 + 0.2143 + 0.0714

∑P(Ai/B)= 1

Por su atención. .

GRACIAS.!