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TEOREMA DE ARRASTRE DE REYNOLD 0 La Universidad Católica de Loja ESCUELA INGENIERIA CIVIL TEMA TEOREMA DE ARRASTRE DE REYNOLDS ALUMNA Lizette Morocho DOCEN TE: Ing. Sonia L. Gonzaga V. ASIGNATURA MECÁNICA DE FLUIDOS UNIVERSIDAD TÉCNICA

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TEOREMA DE ARRASTRE DE REYNOLD 0

La Universidad Católica de Loja

ESCUELA

INGENIERIA CIVIL

TEMA

TEOREMA DE ARRASTRE DE REYNOLDS

ALUMNA

Lizette Morocho

DOCEN TE:

Ing. Sonia L. Gonzaga V.

ASIGNATURA

MECÁNICA DE FLUIDOS

LOJA- ECUADOR

2016.

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR

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TEOREMA DE ARRASTRE DE REYNOLD 2

Tabla de contenido

Introducción……………………………………………………………………………………3

1. Obejetivos……………………………………………………………………………...4

1.1 Objetivo General…………………………………………………………………...4

1.2 Objetivo Especifico………………………………………………………………...4

2. Fundamento Teórico…………………………………………………………………...5

2.1 Definición…………………………………………………………………………..5

2.2 Masa de control…………………………………………………………………….6

2.3 Volumen de control………………………………………………………………...6

2.4 Por qué usamos masas de control y volúmenes de control………………………...7

2.5 Ritmo de variación de las propiedades de una masa de control……………………8

2.6 Llega el teorema del transporte de

Reynolds………………………………………..8

2.7 Enfoque Diferencial………………………………………………………………

11

2.8 Demostración del Teorema de Arrastre de

Reynolds……………………………………………………..12

2.9 Aplicaciones…………………………………………………………………………………………………………………..15

3. Conclusiones………………………………………………………………………….17

4. Bibliografía…………………………………………………………………………...17

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Introducción

En la dinámica de fluidos se pueden usar sistemas donde la posición y la forma pueden

cambiar a medida que transcurre el tiempo en un proceso, pero en la vida real se utilizan

mayormente volúmenes que son fijos e indeformables donde la masa puede entrar y salir

de sus fronteras lo cual se conoce como volumen de control que es mucho más conveniente

para trabajar por lo tanto resulta muy útil poder relacionar las variaciones del sistema con los

cambios en los volúmenes de control. Este informe contiene una deducción del teorema de

arrastre de Reynolds que tiene ese nombre en honor al ingeniero ingles Osborne Reynolds

(1842-1912), quien relaciona en este teorema el sistema con el volumen de control lo cual es

de gran utilidad para analizar estos sistemas abiertos los cuales son usados en la dinámica de

fluidos.

La Mecánica de los fluidos viene determinada por 3 leyes básicas:

El principio de conservación de la masa: La masa de un sistema fluido se mantiene

constante independientemente de su posición o forma.

La ley de conservación de la cantidad de movimiento: La variación de la cantidad de

movimiento de un sistema fluido es igual a la suma total de la fuerza externa que actúan sobre

él.

La ley de conservación de la energía: Es, básicamente, la Primera Ley de la

Termodinámica. La variación de la energía de un sistema fluido (energía interna + energía

cinética) es igual al trabajo realizado por todas las fuerzas externas más el calor recibido por

conducción y/o radiación.

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1. Objetivos

1.1 Objetivo General

Saber cómo el Teorema de Arrastre de Reynolds introduce las ecuaciones de

conservación de las magnitudes en un volumen de fluido, fundamental para todo el

análisis dinámico en los mismos

1.2 Objetivo Especifico

Conocer cómo el flujo va a través de la superficie de control, ya que estas son las

que determinan la variación dentro del volumen de control.

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2. Fundamento Teórico

2.1 Definición

Dado que las ecuaciones de mecánica y termodinámica se refieren a sistemas de

control, es necesario deducirlas para el caso en que las aplicamos sobre volúmenes de

control. Consideremos un volumen de control y un sistema de control que, en un

instante determinado t, coinciden en el espacio. El volumen de control V C está

estacionario, mientras que el sistema de control V se mueve con el flujo. En el instante

t + ∆t el sistema de control se encuentra en una posición ligeramente desplazada

respecto al volumen.

Incluso puede que haya cambiado su volumen, si el flujo es compresible.

Consideremos una cierta magnitud extensiva F, y f la misma por unidad de masa, de forma

que:

F=∫v

pfd v

(Castilla, 2011)

2.2 Masa de control

Es una cierta cantidad de material a la que hacemos un seguimiento. Por lo tanto, una

masa de control es un objeto físico igual que lo es una pelota, pero puede ser difícil

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distinguir una masa de control de su vecina (por ejemplo, es difícil distinguir una masa

de agua de otra en medio del océano).

2.3 Volumen de control

Es un volumen al que hacemos un seguimiento. Las masas de control pueden atravesar

un volumen de control. Los volúmenes de control son entidades geométricas que

definimos aparte de los objetos físicos: por ejemplo, el interior de una caja es un

volumen de control cuyo contenido, las masas de control que tiene dentro, puede

variar con el tiempo.

 

Fig. 2.3.1 Masa de control. Es un volumen de material en movimiento.

 

Fig. 2.3.2 Volumen de control. Es virtual y el material lo atraviesa.

En general, el teorema del transporte de Reynolds relaciona el ritmo de variación en

un dominio móvil (el de la masa de control) y un dominio fijo (el del volumen de

control) o incluso entre varios volúmenes móviles. Es una generalización a

dimensiones múltiples de la regla de Leibniz. En lo que sigue, usaremos volúmenes y

superficies, pero en realidad el teorema es válido para dimensiones superiores e

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inferiores. La exposición estará centrada, sobre todo, en el concepto de la masa de

control por su cómoda interpretación física.

2.4 Por qué usamos masas de control y volúmenes de control

A menudo, conocemos las leyes físicas que afectan a los objetos como las masas de

control, pero poner en práctica este conocimiento puede ser muy engorroso. Por

ejemplo, las ecuaciones del movimiento de una masa de control de aire (las leyes de

Newton y de conservación de la energía), aunque son conceptualmente muy sencillas,

se vuelven muy difíciles de integrar porque la masa de control puede desplazarse

mucho y acabar en cualquier parte. Como las ecuaciones del movimiento dependen de

las masas de aire del entorno (lo hacen a través de la presión y los esfuerzos viscosos,

por ejemplo) y estas masas de aire pueden cambiar mucho a cada momento, no es de

extrañar que la tarea de calcular el comportamiento del aire (o el medio que sea) pueda

volverse algo formidable con esta formulación.

 

Fig. 2.4.1 Las partículas vecinas de una masa de control pueden venir de

cualquier lugar y son muy difíciles de seguir.

Ahora imaginemos un volumen cualquiera, fijo o con un movimiento cómodo de

manejar. Este volumen es un volumen de control y las masas de control pueden, en

general, atravesarlo. Si pudiéramos referir las ecuaciones del movimiento no a las

masas de control, sino al volumen de control, nuestros problemas quizá se volverían

más fáciles de tratar. El teorema del transporte de Reynolds hace esto.

Propiedades extensivas y propiedades intensivas

Cojamos una masa de control cualquiera. En un instante de tiempo t, la masa de

control tiene unas propiedades (cantidad de movimiento, masa, energía interna…).

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Diremos que estas propiedades son Cm(t). Ahora bien, la masa de control ocupa un

cierto volumen Vm(t). Podemos suponer que la propiedad C(t), que

llamaremos extensiva, es la suma de una propiedad intensiva c(t,x) distribuida por los

puntos x del espacio ocupado por la masa de control: 

Cm(t) = ∫∫∫Vm(t) c(t,x) dV. 

En la anterior integral, el símbolo dV indica el elemento diferencial de volumen.

2.5 Ritmo de variación de las propiedades de una masa de control

Las masas de control son objetos físicos normales y corrientes como pelotas,

bolígrafos y gotas de agua. Sus propiedades Cm(t) tienen un ritmo de variación con el

tiempo t que es igual a un término forzante o fuente (la fuerza para la cantidad de

movimiento, por ejemplo) F: 

dCm ⁄ dt = F.

Aunque no hemos escrito explícitamente las dependencias funcionales, el término

forzante F variará, en general, con el tiempo, la región del espacio ocupada por la

masa de control y la distribución de las variables físicas en el espacio y el tiempo. Esta

distribución de las variables físicas estará determinada por cómo se hayan movido las

masas de control (¡partícula por partícula!), así que el seguimiento se vuelve muy poco

práctico.

2.6 Llega el teorema del transporte de Reynolds

Ahora, supongamos que tenemos un volumen de control fijo V que en el preciso

instante t coincide con el volumen Vm(t) ocupado por la masa de control: 

V = Vm(t). 

La frontera del volumen de control es la superficie S.

Podemos integrar las variables intensivas c(t,x) en este volumen para obtener las

variables extensivas Cv(t) correspondientes: 

Cv(t) = ∫∫∫V c(t,x) dV.

Un cortísimo instante más tarde, en el tiempo t+dt, los dos volúmenes no tienen por

qué coincidir. Por lo tanto, el ritmo de variación de las variables extensivas en el

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volumen de control no tiene por qué coincidir con el ritmo de variación de las

variables extensivas en la masa de control. Ahora bien, podemos relacionarlos.

Cada punto x de la frontera de la masa de control se desplaza a una velocidad v(t,x).

La dirección normal (hacia el exterior) a la frontera del volumen de control es el

vector unitario n(x). Por lo tanto, la velocidad normal vn(x) a la que se separa la

frontera de la masa de control de la del volumen de control es 

vn(t,x) = v(t,x) ⋅ n(x). 

La frontera de la masa de control entra dentro del volumen de control cuando la

anterior expresión es negativa y sale cuando es positiva.

 

Fig. 2.6.1 Velocidad normal a la frontera.

Cierta parte de la masa de control sale del volumen de control, mientras que otra parte

entra. Fijémonos en un punto x de la frontera del volumen de control. Definamos un

elemento diferencial de superficie de frontera dS alrededor de este punto. Como el

incremento de tiempo dt es extremadamente pequeño, podemos despreciar cualquier

variación de la velocidad v(t,x) a la que se desplaza la frontera de la masa de control

entre el instante t y el instante t+dt. En este tiempo, habrá entrado dentro del volumen

de control una pequeña cantidad de material de volumen−vn(x) dt dS. 

El signo negativo se debe a que, si la velocidad relativa es negativa, el material entra,

mientras que, si la velocidad relativa es positiva, el material sale. Esta pequeña

cantidad de material que entra o sale lleva consigo cierta cantidad extensiva de

propiedades físicas: 

−vn(x) dt dS c(t,x). 

La suma (la integral) de esta contribución por toda la superficie de la frontera del

volumen de control será igual a la cantidad de las variables extensivas que habrá

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entrado menos la que habrá entrado en el volumen de control en el intervalo de tiempo

entre t y t+dt: 

−dt ∫∫S c(t,x) vn(x) dS.

 

Fig.2.6.2 Elemento de una masa de control que atraviesa un volumen de control.

Equivale a la región barrida por un elemento de área en su desplazamiento

normal a la frontera en un corto intervalo de tiempo.

Con todo lo que sabemos, ya podemos relacionar el ritmo de variación en la masa de

control y el ritmo de variación en el volumen de control. En concreto, el incremento en

la variable extensiva Cv en el volumen de control Cm en la masa de control (que

coincide en el espacio con el volumen de control en el instante de interés) más lo que

entra y menos lo que sale: 

dCv(t) = dCm(t) − dt ∫∫S c(t,x) vn(t) dS. 

Por otra parte, el ritmo de variación en el volumen de control ha de ser igual a la suma

(la integral) de los ritmos de variación en su interior: 

dCv(t) ⁄ dt = ∫∫∫V ∂(c ⁄ ∂t)(t,x) dV. 

Juntémoslo todo y operemos mínimamente para mejorar el aspecto estético del

resultado. Nos queda la ecuación del transporte de Reynolds: 

(d⁄dt) ∫∫∫Vm(t) c(t,x) dV = ∫∫∫V (∂c⁄∂t)(t,x) dV + ∫∫S c(t,x) vn(x) dS. 

El término de la izquierda de la igualdad es el ritmo de variación dCm ⁄ dt de las

propiedades de la masa de control, igual al término forzante F que vimos antes, pero

ahora todo es potencialmente más fácil porque usamos variables referidas no a

partículas materiales móviles, sino a puntos fijos del espacio.

Varios volúmenes móviles

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En ninguna parte de las ecuaciones anteriores aparece el requisito de que el volumen

móvil sea el ocupado por un objeto material. El volumen móvil puede ser un volumen

de control cualquiera.

Si aplicamos el teorema del transporte de Reynolds a dos volúmenes de control

móviles V1(t) y V2(t) tales que ambos coinciden en el preciso instante t con el volumen

de control fijo V, obtenemos la siguiente relación: 

(d⁄dt) ∫∫∫V1(t) c(t,x) dV = (d⁄dt) ∫∫∫V2(t) c(t,x) dV) + ∫∫S c(t,x) [v1(t,x) − v2(t,x)] ⋅ n(x) dS. 

Esta expresión es útil, por ejemplo, a la hora de tratar problemas con frontera móvil

tales como el comportamiento del fluido en el interior de un motor alternativo.

(García, 2011)

2.7 Enfoque Diferencial

Apliquemos el teorema del transporte de Reynolds para estudiar la variación de la

densidad ρ en un volumen de control infinitesimal, dV = dx dy dz; es decir,

consideremos η = 1 y R = 0.

Fig.2.7.1 Definición de volumen de control dV y notación utilizada.

En este caso el teorema del transporte de Reynolds se escribe como:

(1)

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sin embargo, dado que el volumen de control considerado es infinitesimal, el lado izquierdo

de la ecu. (1) anterior se reduce a:

Por otro lado, el segundo termino de (1) se puede descomponer en 6 integrales que dan

cuenta del flujo másico a través de cada una de las caras del volumen de control, de manera

que:

Es fácil ver que:

y

Donde ue y uw son las componentes según x de la velocidad, evaluadas en las caras e y w,

respectivamente. El signo negativo en uw viene dado por el signo de ˆnw = −ˆi. Por otro lado,

si repetimos el mismo análisis para las otras 4 caras de dV , sabiendo que los elementos dSx =

dy dz, dSy = dx dz, y dSz = dx dy, y considerando que ~v y ρ son uniformes en las respectivas

caras, dadas sus dimensiones infinitesimales, obtenemos que la integral del lado derecho:

(Civil, s.f)

2.8 Demostración del Teorema de Arrastre de Reynolds

Para deducir el teorema de manera más sencilla se hará uso del Teorema de Leibnitz,

en la versión unidimensional de este teorema se permite derivar una integral cuyos

límites de integración son funciones que depende de la variable con la cual se va a

derivar.

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Fig.2.8.1 Teorema unidimensional de Leibnitz.

El ya mencionado teorema toma en cuenta el cambio de los limites respecto del tiempo, así

como los cambios no estacionarios del integrando con el tiempo y este teorema en tres

dimensiones seria:

Donde v(t) es un volumen en movimiento o deformación (función del tiempo), A(t) es su

superficie(frontera) y es la velocidad absoluta de esta superficie(en movimiento) (fig. 2.8.2).

La ecuación 2 es válida para cualquier volumen, que se mueve o se deforma arbitrariamente

en el espacio y tiempo. Para que sea más orientado hacia mecánica de fluidos se integra Gsea

pb para su aplicación al flujo de fluidos:

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Fig.2.8.2. Volumen de cambios

Si se aplica el teorema de Leibnitz a un caso especial de un volumen de sustancia (un sistema

de masa fija que se mueve con el flujo de fluido), entonces v⃗A= v⃗ en todas partes sobre la

superficie de este volumen de sustancia, porque se mueve con el fluido. En este caso, v⃗ es la

velocidad local del fluido y la Ecu. 3 queda como:

La ecuación 4 es válida en cualquier instante t. Se define el volumen de control de manera tal

que, en este instante t, el volumen y el sistema ocupen el mismo espacio; en otras palabras,

que sean coincidentes. En algún instante posterior t + ∆t, el sistema se movió y deformó con

el flujo, pero el volumen de control puede haberse movido y deformado de manera diferente

como lo muestra en la Fig. 3. Sin embargo, la clave es que en el instante t, el sistema

(volumen de sustancia) y el volumen de control son uno y el mismo. Así, se puede evaluar la

integral de volumen de la parte derecha de la Ec. (4) sobre el volumen de control en el

instante t, y la integral de superficie se puede evaluar sobre la superficie de control en el

instante t; donde el RTT general para un volumen de control fijo es:

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Figura 2.8.3. Volumen de sustancia y volumen de control en el mismo espacio con

diferentes deformaciones y movimientos.

Esta expresión es la misma que se obtendría por otros medios de deducción y es válida para

un volumen de control con forma arbitraria, en movimiento o deformación, en el instante t

sabiendo que v⃗ de la Ec.(5)es la velocidad absoluta del fluido.

2.9 Aplicación

Descarga de agua de un tanque, un tanque cilíndrico de agua con 4 pies de alto y 3 pies de

diámetro cuya parte superior está abierta a la atmósfera esta al principio lleno con agua.

Ahora, se quita el tapón de descarga que está cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es de

0,5m y un chorro de agua se vierte hacia fuera como se observa en la Fig, la velocidad

promedio del chorro se da por V= √ : , en donde h es la altura del agua en el tanque medida

desde el centro del agujero (una variable) y g es la aceleración gravitacional. Determine

cuanto tiempo transcurrirá para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2 pies,

medido desde el fondo.

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Fig.2.9.1 Esquema de ejemplo

Suponiendo la distancia entre el fondo del tanque y el centro del agujero es despreciable en

comparación con la total del agua y que la aceleración gravitacional es32.2 pies/ .La relación

de conservación de la masa para un volumen de control que pasa por cualquier proceso seda

en la forma de razón como:

En el transcurso de este proceso nada de masa entra al volumen de control por lo que (ment ) y

el gasto de masa del agua descargada se puede expresar como:

Donde Achorro =( πD2 tanque ¿ el área de la sección trasversal del chorro, la cual es

constante.Nótese que la densidad del agua es constante, la masa del agua en el tanque en

cualquier instante es:

Donde es el área de la base del tanque cilíndrico. Si se sustituyen las ecuaciones en la relación

de balance de masa da:

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Simplificando las densidades y otros términos comunes, y se separa las variables, da:

Si se integra desde t = 0, en el cual =, hasta t =t, en el cual = , da:

Al sustituir, se determina que el tiempo de descarga es:

Se vaciará la mitad del tanque en 12.6 minutos después de quitar el tapón del agujero de

descarga. (Medina, 2011)

3. Conclusiones

Se llegó a determinar que en el caso más general se presenta cuando el

volumen de control se mueve y se deforma arbitrariamente.

Se determinó que el flujo de volumen a través de la superficie de control es

proporcional a la velocidad relativa normal, sin embargo, la superficie de

control se deforma, con la velocidad y la velocidad relativa.

Finalmente, se concluye que se debe tener en cuenta que los elementos de

volumen de la integral de volumen se distorsionan con el tiempo; por ello, la

derivada temporal debe ser tomada después de la integración. 

4. Bibliografía

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BibliografíaCastilla, R. y. (s.f de s.f de 2011). El Teorema de Arrastre de Reynolds. Obtenido de Ecuaciones

Fundamentales de la Mecánica de Fluidos: http://147.83.3.60/Enginyeria_Aeroespacial/2B/Mecanica%20de%20Fluids/Teoria/Apuntes%20para%20imprimir/6.%20Ecuaciones%20fundamentales%20de%20la%20Mec%C3%A1nica%20de%20Fluidos.pdf

Civil, D. d. (s.f de s.f de s.f). Mecánica de Fluidos . Obtenido de Enfoque Difeencial : file:///D:/Respaldo/User/Downloads/ApuntesCI3101_v1_c%20(1).pdf

García, S. (30 de 09 de 2011). Física, Matemáticas. Obtenido de Teorema de Transporte de Reynolds: http://sgcg.es/articulos/2011/09/30/teorema-del-transporte-de-reynolds/

Medina, W. (04 de 04 de 2011). Teorema de Transporte de Reynolds. Obtenido de Demostración del Teorema de Transporte de Reynolds: https://es.scribd.com/doc/52244552/teorema-de-transporte-de-reynolds

WHITE, F. (2008). Mecanica de Fluidos . En M. G. Hill. Editorial Mc Graw Hill .