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TEORÍA DEL HORMIGÓN ARMADO PANDEO EDGARDO LUIS LIMA
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TEORÍA DEL HORMIGÓN ARMADO
PANDEO
EDGARDO LUIS LIMA
2003
Edgardo Lima PANDEO
PRÓLOGO
El pandeo o si se prefiere el fenómeno de inestabilidad constituye un problema de difícil solución en la Resistencia de los Materiales en general o en la aplicada a los distintos materiales.
El hormigón armado no escapa a esta complejidad agregando, incluso, la que resulta propia de su heterogeneidad, de su manifiesta no linelidad y de la variación de sus principales parámetros en función del tiempo.
Es por ello que es conveniente encarar el estudio del fenómeno del pandeo de la estructuras de hormigón armado, a la vista de las soluciones generales de la Resistencia de Materiales e incorporando los aspectos que son propios de este material. Por esa razón se ha considerado oportuno incluir una primera parte referente a la inestabilidad dentro de la Resistencia de Materiales Clásica y de los avances posteriores, particularmente aquellos referentes a la no linelidad del material (incumplimiento de la ley de Hooke).
La inestabilidad del equilibrio se puede presentar en muy diversas situaciones tales como la compresión, la flexión, la torsión e incluso en la tracción o, si se prefiere, en las estructuras traccionadas. No obstante la inmensa mayoría de los problemas de pandeo que se presentan en la ingeniería civil corresponden a elementos comprimidos, a ellos están dedicadas estas notas.
Los ejemplos incluidos han tenido por objeto ilustrar la forma de calcular elementos de h°a° y permitir algunos comentarios sobre los distintos procedimientos que proponen los reglamentos. Han sido elaborados por la ingeniera Isabel Luparia, a quien agradezco profundamente su desinteresada colaboración.
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Edgardo Lima PANDEO
ÍNDICE
1. Introducción2. Pandeo de una barra biarticulada
2.1) Barra biarticulada2.2) Barra de eje recto y carga centrada2.3) Material linealmente elástico (Ley de Hooke)
3. Carga excéntrica4. Material no linealmente elástico5. El pandeo en el hormigón estructural6. Solución general – La estructura completa7. Solución aproximada – La columna aislada
7.1) La columna aislada de hormigón armado7.2) La excentricidad accidental7.3) El planteo de Faessel7.4) Efectos de las cargas de larga duración7.5) El pandeo por rotura de sección
a) Método del momento complementario o de la excentricidad complementariab) Método de la amplificación del momento
7.6) La columna como parte de una estructura7.7) Asimilación a columna aislada
8. Resolución de los problemas prácticos8.1) Los métodos aproximados
a) CIRSOC 201/02 – ACI 318/02b) EHE – España Hormigón Estructural 1998c) CIRSOC 201/82 – DIN 1045d) Código modelo CEB78 – Manual Pandeo CEBe) Eurocódigo 2 EC2 – Código Modelo CEB90
9. El pandeo como problema tridimensional10. Ejemplos de aplicación
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NOTACIÓN
M : momento flectorE : módulo de elasticidad del hormigónI : momento de inercia de la secciónFk : carga crítica de Eulerl : longitud de la barra biarticulada1/r : curvatura de la barraA : área de la sección transversal de la barrai : radio de giro de la sección transversal de la barra : esbeltez de la barrak : tensión crítica P : carga aplicada en la barray0 : deformación inicial de la barray2 : incremento en la deformación de la pieza por efectos de segundo ordena0 : deformación máxima (flecha) de primer orden.a2 : deformación máxima (flecha) de segundo ordenEt : módulo de elasticidad tangenteW : módulo resistente de la sección transversalh : altura de la sección transversalER : módulo de elasticidad reducidoEd : módulo de elasticidad para la descarga.Fp : máxima fuerza que soporta el elemento suceptible de pandearFsp : máxima fuerza para el mismo elemento sin tener en cuenta el pandeof’c : resistencia a compresión del hormigónIg : momento de inercia de la sección total o bruta del elemento de hormigón, con respecto
al eje baricéntricoAg : área total o bruta de la secciónd : a) para pórticos indesplazables: relación entre la máxima carga axial mayorada que
actúa en forma permanente y la máxima carga axial mayorada asociada a la misma combinación de cargas
b) para pórticos desplazables: excepto en el caso indicado en c), d es la relación entre el máximo corte mayorado que actúa en forma permanente en un entrepiso y el corte máximo mayorado en ese entrepiso
c) en la verificación de la estabilidad de pórticos desplazables: es la relación entre la máxima carga axial mayorada que actúa en forma permanente y la máxima carga axial total mayorada
Ec : módulo de elasticidad del hormigón : coeficiente de fluenciaWi : fuerza adicional en cada piso por los efectos de segundo ordenPi : sumatoria de los esfuerzos normales en todas las columnas del piso ii : desplazamiento total del piso iHi : altura del piso iPu : carga total del piso de la estructura0 : desplazamiento relativo entre ambos extremos de la columna en primer orden y debidos
a Vu
Vu : esfuerzo de corte en el piso consideradolc : longitud de la columna medida entre los ejes de los nudos
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b : esbeltez equivalente del elemento arriostrador1 : esbeltez límiteHtot : altura total de edificion : número de pisos del edificioP : sumatoria de todas las cargas, de servicio, en el piso (columnas y elementos rígidos)Vsd : esfuerzo normal relativoea : excentricidad accidentale0 : excentricidad de 1er. ordene2 : excentricidad de 2do. ordenPc : resultante de las compresiones en el hormigónPs1 : fuerza en la armadura traccionadaPs2 : fuerza en la armadura comprimidac1 : deformación del hormigón, cara traccionadas1 : deformación de la armadura traccionadac2 : deformación del hormigón, cara comprimidas2 : deformación de la armadura comprimidaMc : momento ampilficadoCm : coeficiente que tiene en cuenta los momentos flectores de primer orden en ambos
extremos de la columnaM1 : el menor momento mayorado de primer orden en uno de los extremos de la columnaM2 : el mayor momento mayorado de primer orden en uno de los extremos de la columnaPu : carga axial mayorada para una excentricidad dadaEs : módulo de elasticidad del acero de la armaduraIs : momento de inercia de la armadura, con respecto al eje baricéntrico de la sección
transversal del elementoe1 : excentricidad equivalente de 1er. ordeneA : excentricidad en uno de los extremos de la barra de mayor valor absolutoeB : excentricidad en uno de los extremos de la barra de menor valor absolutoQ : índice de estabilidad de un piso de un edificioig : radio de giro de la sección bruta de hormigóney : deformación del acero para la tensión de fluencia minorada (=fyd / Es) : parámetro que tiene en cuenta los efectos de la fluencia : parámetro que tiene en cuenta el tipo de armadura de la secciónex : excentricidad de primer orden en el eje xey : excentricidad de primer orden en el eje y
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1. INTRODUCCIÓN
En general denominamos pandeo al fenómeno resultante de la inestabilidad del equilibrio de elementos comprimidos. Esto es, a un equilibrio existente que se pierde y produce el colapso del elemento estructural o de la estructura en su conjunto.
Recordemos, entonces los conceptos de equilibrio estable, inestable e indiferente.
Se tienen tres situaciones bien diferenciadas que podemos resumir en el equilibrio de una esfera sobre una superficie (figura 1).
En el primer caso (figura 1a), la esfera se encuentra sobre una superficie cóncava, si se la retira de su posición de equilibrio se genera un sistema de fuerzas desequilibrado que hace que la esfera tienda a volver a su posición original una vez cesadas las causas que provocaron su salida de la posición de equilibrio; se dice que el equilibrio es estable.
En el segundo caso (figura 1b), la esfera está sobre un plano horizontal; retirada de su posición de equilibrio, no se generan fuerzas de ningún tipo por lo que cesada la causa perturbadora que la retiró de la posición de equilibrio original, la esfera quedará en la nueva posición, también de equilibrio; decimos que el equilibrio es indiferente.
Finalmente en el tercer caso (figura 1c), la esfera está ubicada sobre una superficie convexa, cuando la esfera es retirada de su posición de equilibrio se generan fuerzas que la hacen apartarse aún más de la posición de equilibrio original; el equilibrio es inestable.
Analicemos ahora el caso en que la magnitud de la fuerza tiene incidencia sobre el tipo de equilibrio. Imagínese una barra sin peso que puede girar libremente alrededor del punto O (figura 2), si P1 = 0 y P2 0 el equilibrio es estable. Si P1 0 y P2 = 0 el equilibrio es inestable. Quiere decir que si P2 es distinta de cero y se hace crecer el valor de P1, habrá un momento en que el equilibrio pasará de estable a indiferente (P1l1 = P2l2) y luego a inestable. Quiere decir que, en este caso, el tipo de equilibrio depende de las magnitudes de las fuerzas en juego.
Como se ve el pandeo no es un problema de la resistencia de los materiales que constituyen la estructura sino de la estabilidad (o inestabilidad) del equilibrio de los sistemas de fuerzas activas y reactivas que se ponen en juego en la estructura, claro que dentro de las fuerzas reactivas la resistencia del material constituye un límite máximo para dichas fuerzas.
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Figura 1
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Podría pensarse que el equilibrio inestable no puede materializarse en la práctica. es como pretender “parar” un cono de punta. Sin embargo cualquiera de nosotros a construido, alguna vez, un castillo de naipes; hemos logrado con gran esfuerzo tres pisos!!!, estaba allí, evidentemente en equilibrio pero de repente se cayó; y decimos se cayó y no, se rompió; y de inmediato responsabilizamos a alguien por haber provocado esta desgracia. Esto es, el castillo estaba en equilibrio y alguna causa perturbadora hizo que ese equilibrio desapareciera, el equilibrio era inestable. Con esto queda claro que somos capaces de construir estructuras en equilibrio inestable, somos capaces de parar un cono de punta simplemente recurriendo al mismo artificio que le permitió a Cristóbal Colón deslumbrar a los Reyes Católicos parando un huevo de punta, en nuestro caso truncando la punta del cono. Podría decirse que para muy pequeñas causas perturbadoras el equilibrio sería estable. Consideremos que las causas perturbadoras tendrán que tener una magnitud compatible con las que se puedan producir durante la vida útil de la estructura.
Hasta aquí hemos mencionado el equilibrio entre fuerzas activas y reactivas “reales” pero hay otro aspecto que es trascendental, proyectamos y calculamos las estructuras resistentes mediante “modelos” que “simulan” con distinta precisión a dichas estructuras, sus materiales y las fuerzas que actúan sobre ellas (más propiamente la historia de cargas) y, en este caso, puede ocurrir que el “modelo” se encuentre en equilibrio (inestable, indiferente o estable) y la estructura real no. Esto es, en la resolución del modelo, a través de hipótesis simplificativas, hemos ignorado efectos (causas perturbadoras) que no son despreciables, por ejemplo los efectos de segundo orden es decir las deformaciones que sufrirá la estructura real conforme se le aplican las cargas. En este último caso el equilibrio no existirá en la estructura “real” sólo existe en los papeles. La estructura no podrá soportar los esfuerzos que resultan de un cálculo poco aproximado. También puede ocurrir lo contrario.
En definitiva el equilibrio inestable puede ocurrir porque no es valorada adecuadamente la magnitud de la causa perturbadora o bien porque hemos resuelto una estructura mediante un modelo demasiado simplificado. En cualquiera de los casos las consecuencias son las mismas y la causa también es la misma, el modelo que hemos utilizado para representar la estructura y sus esfuerzos no es lo suficientemente ajustado.
2. PANDEO DE UNA BARRA BIARTICULADA
Quien primero resolvió el problema del pandeo de una barra biarticulada fue Leonard Euler que en 1744 propuso un método racional para determinar la carga crítica de pandeo (la que
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Figura 2
O O
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produce un estado de equilibrio indiferente) de una barra sometida a una fuerza de compresión.
Supóngase una barra biarticulada (figura 3a) de eje recto, constituida por un material que cumpla con la ley de Hooke (linealmente elástico) de sección constante en toda su longitud y que se encuentra sometida a una fuerza de compresión centrada tal que produzca el equilibrio indiferente.
Introducida una causa perturbadora la pieza se deforma (figura 3b); como se trata de una situación de equilibrio indiferente la pieza quedará en esta posición aún después de haber cesado la causa perturbadora (figura 3c).
La curva representativa de la estructura deformada responderá a la ecuación diferencial:
Al menos siempre que se admita la simplificación 1/r = y” para la curvatura, aceptable cuando se trata de curvaturas pequeñas como es el presente caso.
El momento flector en cada punto será M = Fk y , es decir el valor de la fuerza a la izquierda de la sección multiplicada por su brazo de palanca igual a la ordenada de la curva.
Obsérvese que la hipótesis de las deformaciones pequeñas, equivalente a despreciar los efectos de segundo orden, no es aplicable en este caso en que los esfuerzos en la estructura deformada no pueden considerarse iguales a los de la estructura sin deformar.
Entonces:
Ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes ya que Fk es constante y E e I, lo son por hipótesis. De modo que llamando:
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Figura 3
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Resulta:
La solución general de la ecuación diferencial (dada por Euler) es:
Donde C1 y C2 son las contantes de integración. Para determinar la solución particular aplicamos las condiciones de borde:
Para x = 0 es y = 0 0 = C1sen0 + C2cos0 C2 = 0
Para x = l es y = 0 0 = C1senl
Esta última condición se verifica si C1 es igual a cero lo que conduce a y0 que es la ecuación de la elástica de la estructura original (recta) y no de la estructura deformada que queremos hallar. Deberá ser, entonces,
senl = 0 lo que se verifica para:
l = 0, , 2, 3, ..., n
l no puede ser cero pues sería Fk = 0, si l = entonces:
= / l ; 2 = Fk / EI = 2 / l2
que es la carga crítica de Euler, es decir la carga que produce el equilibrio indiferente.
Obsérvese que de acuerdo a la expresión de Euler, la carga crítica no depende de la resistencia del material sino solamente de las dimensiones de la pieza (longitud y sección transversal) y del módulo de elasticidad.
La ecuación de la elástica será entonces:
La elástica es una curva sinusoidal. Si se quisiera determinar el valor de C1 habría que plantear la condición, por ejemplo, que para x = l/2 debe ser y’ = 0, sin embargo resulta:
Que se verifica para cualquier valor de C1 que es, justamente, la flecha de la columna, pues es el valor de “y” cuando x = l/2 (lógico si tenemos en cuenta que estamos frente a un caso de equilibrio indiferente).
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Si se profundiza en la solución encontrada aparecen algunas contradicciones que no hacen variar el valor de la carga crítica y que son debidas a haber considerado que la curvatura 1/r era igual a la derivada segunda de la función (1/r = y”) en lugar de su valor correcto:
Planteando la ecuación diferencial correctamente desaparecen las contradicciones pero el desarrollo es mucho más laborioso y el resultado es el mismo.
Las otras soluciones l = 2, 3, ..., n. Conducen a valores de la carga crítica Fk mayores que carecen de interés y que corresponden a otras configuraciones de pandeo (figura 4).
Repasemos brevemente las hipótesis que permitieron a Euler determinar la carga crítica:
2.1) Barra biarticulada.
Esta hipótesis no significa limitación alguna ya que si las condiciones de vínculo de la barra fueran otras la carga crítica podría obtenerse en la misma forma para cada caso.
Si, por ejemplo, en lugar de una barra articulada en ambos extremos se tuviera una barra empotrada en un extremo y libre en el otro (figura 5) podría demostrarse, en la misma forma, que su carga crítica será igual a la de una barra, de las mismas características, biarticulada y con una longitud doble. La longitud a colocar en la fórmula de Euler es la de la semionda de sinusoide.
Para otras condiciones de apoyo ocurre algo similar y la relación entre la longitud real de la pieza (L) y la de la pieza biarticulada con igual carga crítica para los casos más frecuentes se indican en la figura 6.
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Figura 4
Figura 5
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2.2) Barra de eje recto y carga centrada.
Consideramos conjuntamente estas dos hipótesis pues podrían reducirse a una única que fuera “coincidencia entre el punto de aplicación de la carga y el centro de gravedad de la sección a lo largo de toda la pieza”. Evidentemente cualquier barra real tendrá imperfecciones que alejarán en mayor o menor medida la realidad a la hipótesis de eje recto. Además si el material no es absolutamente homogéneo el problema no es de construcción de la pieza pues habría que definir “el eje” que no es una tarea sencilla. Algo similar ocurre con la hipótesis de carga centrada sobre todo en los casos de compresión donde los efectos de una excentricidad, por pequeña que sea, tenderán a aumentarla (lo contrario ocurre en la tracción en que el esfuerzo tiende a centrarse). En definitiva por cualquiera de los dos motivos o por ambos, en elementos reales, la carga es excéntrica.
2.3) Material linealmente elástico (ley de Hooke).
En realidad interesa para el desarrollo de Euler la constancia del producto EI. No obstante nos detendremos particularmente en el módulo de elasticidad (E) del material.
La expresión de la carga crítica de Euler puede modificarse dividiendo ambos miembros de la expresión por el área de la sección transversal de la pieza:
Llamando al primer miembro k = Fk/A y teniendo en cuenta que I/A=i2 puede transformarse en:
La tensión crítica de Euler k es una función de cuya gráfica correspondiente a una hipérbola cúbica (figura 7).
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Figura 6
22
i
Ek
2
2
E
k y llamando esbeltez =l/i queda:
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Es evidente que a medida que la esbeltez disminuye cosa que ocurre cuando disminuye “l” o aumenta “i” es decir a medida que la columna se hace más corta y/o robusta, el valor de k
aumenta.
Para cualquier material “ real” la hipótesis de validez de la ley de Hooke comienza a apartarse excesivamente de la realidad a partir de un cierto valor de la tensión que podemos llamar p (tensión de proporcionalidad o límite de proporcionalidad) a partir de este punto la tensión crítica de Euler comienza, entonces, a perder representatividad. Además cuando la esbeltez tiende a cero la tensión crítica de Euler tiende a infinito y superará el valor de la resistencia del material.
3. CARGA EXCÉNTRICA
Un razonamiento similar al de Euler para una pieza de eje recto puede realizarse para una la pieza con una deformación inicial (figura 8a).
Supongamos que la deformada debida a los efectos de primer orden (“yo”, figura 8a) responde a una ley sinusoidal (en realidad esta hipótesis no es estrictamente necesaria, sólo se hace para simplificar el razonamiento):
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Figura 7
P
eo
P
L
P
eo
P
x
yy
P
x
P
yoy2
aoa2
Figura 8
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La deformada total (figura 8a) tendrá ecuación:
donde y2 es el incremento en la deformación inicial debido al incremento en las solicitaciones que la deformación inicial produce(efectos de segundo orden).
El momento flector en un punto genérico será:
y entonces la ecuación diferencial de la deformada, de segundo orden será:
la solución general de la ecuación, con 2 = P/EI, es:
para satisfacer la condición de que y2 = 0, para x = 0 y para x = l con cualquier valor de (es decir de P) deberán ser C1 = C2 = 0 de modo que:
y la deformada total:
donde Fk , recordemos, es la carga crítica de Euler.
Entonces la deformada final resulta:
quiere decir que la flecha inicial se incrementa, como consecuencia de los efectos de segundo orden, en un factor 1 / (1-P/Fk).
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2022
2
yyPdxyd
EI IEMy
"
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Cuando la carga actuante P alcanza el valor de la carga crítica de Euler, el denominador se anula y la flecha se haría infinita no alcanzándose un estado de equilibrio.
El momento flector máximo será:
M = P a0 1 / (1-P/Fk)
Con un razonamiento similar se resuelve la situación correspondiente a una carga excéntrica (figuras 8b y 8c) de la que resulta la expresión:
M = P e0 (1+0.25 P/Fk) / (1-P/Fk)
que numéricamente apenas difiere de: M = P e0 1 / (1-P/Fk)
4. MATERIAL NO LINEALMENTE ELÁSTICO
Cuando el material que constituye la pieza no cumple con la ley de Hooke el razonamiento de Euler para la determinación de la carga crítica de pandeo quedaría invalidado.
Sin embargo Engesser propuso, en 1889, mantener la expresión de la tensión crítica de Euler, pero utilizando el módulo de elasticidad tangente (figura 9) dado que el problema del equilibrio indiferente, planteado por Euler, corresponde a una dada tensión, que hemos denominado crítica, y pequeñas variaciones de la deformación en su entorno podrían ser representadas por el módulo de elasticidad tangente Et.
Efectivamente el momento producido por la carga crítica:
y considerando que = Et y además / h = 1 / r y 1 / r = d2y/dx2 se tiene:
expresión exactamente igual a la de Euler pero para el módulo de elasticidad tangente Et. El mismo Engesser propuso algunos años más tarde (1895) la solución para un material no elástico, es decir que se “carga” con un cierto módulo y se “descarga” con otro (figura 10). También en este caso es válida la fórmula de Euler, considerando un módulo de elasticidad reducido ER.
Para el caso de una sección rectangular puede deducirse que:
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Et
Figura 9
Et
Ed
Figura 10
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También debe tenerse en cuenta que los materiales reales, además de no tener un comportamiento elástico y mucho menos lineal, presentan resistencias limitadas. Quiere decir que para determinados valores de la tensión normal se produce la rotura del material. Como hemos visto en las piezas cortas, es decir con esbelteces pequeñas la tensión crítica adquiere valores muy grandes pudiendo “superar” la resistencia del material. Evidentemente esta circunstancia debe ser tenida en cuenta.
Varios autores [Tredgold, Gordon, Rankine (1898)] propusieron la utilización de una fórmula empírica del tipo:
donde FP es la máxima fuerza que puede soportar el elemento suceptible de pandear, Fsp es la máxima fuerza para el mismo elemento pero sin tener en cuenta el pandeo y C es una constante que depende del material.
Esta fórmula también puede ser expresada como:
en la que para esbelteces pequeñas 1/Fk 0 y entonces FP Fsp y para esbelteces grandes 1/Fk 1/Fsp y entonces FP Fk.
A principios del siglo XX investigaciones de varios autores (Tetmajer entre otros) permitieron observar que para las grandes esbelteces la fórmula de Euler resolvía adecuadamente el problema mientras que para las esbelteces pequeñas, piezas cortas, se debían aplicar expresiones empíricas para determinar la máxima tensión en la pieza. estos trabajos dieron origen al conocido método propuesto por la norma alemana (DIN 4114) en 1925 que resulta de aplicación en la actualidad para las estructuras metálicas o de madera y que se utilizó en las columnas de hormigón armado hasta alrededor de 1965. El método consiste en definir la máxima carga que puede soportar una columna como la que puede soportar dicha columna en compresión simple, sin pandeo, dividida por un coeficiente :
el coeficiente se determina empíricamente siendo una función de la esbeltez () y del material; además incorpora un coeficiente de seguridad variable con la mencionada esbeltez. En general se obtiene de tablas aún cuando puede ser aproximado por expresiones numéricas.
5. EL PANDEO EN EL HORMIGÓN ESTRUCTURAL
El proyecto, el cálculo y el dimensionamiento de las estructuras en general, y las de hormigón estructural en particular se desarrolla, como ya dijimos, a partir de modelos que las representan. Es muy frecuente que la determinación de los esfuerzos en la estructura se realice
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a través de un cálculo lineal que supone la constancia de la geometría de la estructura, la proporcionalidad entre cargas deformaciones y la permanencia de esos valores a lo largo del tiempo.
Este cálculo, que solemos denominar “cálculo elástico” o “cálculo de primer orden”, puede conducirnos a situaciones de inestabilidad del equilibrio. El modelo podrá estar en equilibrio pero la estructura real que está procurando representar no lo estará. Los efectos de segundo orden, despreciados en el cálculo lineal o elástico, hacen que dicha situación de equilibrio resulte inexistente o que existiendo en un determinado momento, se pierda con el correr del tiempo.
Pareciera, entonces, sencilla la solución del problema: calculemos las estructuras teniendo en cuenta sus efectos de segundo orden, su no linealidad.
En el hormigón estructural -algo similar ocurre con los otros materiales- se presentan tres aspectos fundamentales que hacen a la no linealidad del comportamiento estructural:
La no linealidad geométrica. Esto es la estructura deformada (cargada) no es “igual” a la estructura sin deformar. Además la geometría “real” de la estructura deformada depende de la “historia de cargas” es decir de la secuencia en que se aplicaron las cargas.
La no linealidad de la relación entre los esfuerzos y las deformaciones del material. Esta no linealidad es debida, a su vez, a dos aspectos: por un lado la no linealidad entre los esfuerzos y las deformaciones de los materiales que consituyen el hormigón estructural, hormigón (simple) y acero que como es sabido distan bastante de comportarse de acuerdo a la ley de Hooke y por otro lado la fisuración del hormigón que introduce una modificación localizada y aleatoria de la deformabilidad del conjunto hormigón-armadura.
La variación, en el tiempo, de la relación cargas-deformaciones como consecuencia de los efectos reológicos que afectan al hormigón estructural (fluencia lenta y retracción por secado del hormigón y relajación del acero).
Puede imaginarse la enorme complicación que un cálculo de estas características significa con el agravante que para realizarlo se necesita conocer con toda precisión las dimensiones y secciones transversales de cada uno de los elementos que constituyen la estructura cuando este es, en realidad, el objetivo del cálculo (¿Para qué hacer el cálculo si ya tenemos la solución?).
Este altísimo nivel de complejidad hace que para resolver los problemas prácticos del pandeo en las estructuras de hormigón se recurra a distintos procedimientos simplificados. Lógicamente cuanto mayor es la simplicidad del procedimiento menor es la aproximación que se logra.
Básicamente podemos distinguir dos tipos de procedimientos simplificados para resolver el problema del pandeo. Por un lado la consideración de los efectos de segundo orden mediante algún procedimiento de cálculo simplificado para la estructura en su conjunto. Por otro la consideración de cada columna como un elemento aislado con condiciones de borde que procuran representar su comportamiento dentro de la estructura completa.
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6. SOLUCIÓN GENERAL – LA ESTRUCTURA COMPLETA
A partir de la década de 1970 se incorpora en la reglamentaciones, tanto del Comité Euro-Internacional del Hormigón (CEB) como del American Concrete Institute (ACI), el requerimiento de la consideración del pandeo -o si se prefiere de las estructuras esbeltas- a traves de un cálculo de las solicitaciones que tenga en cuenta la no linealidad de su comportamiento. Teniendo en cuenta las dificultades que este cálculo presenta para las estructuras de hormigón armado se “permiten” algunas simplificaciones. Una de ellas es la consideración de una rigidez (EI) equivalente para los distintos elementos. Esto significa asignar a EI un valor arbitrario y además suponerlo constante a lo largo de todo el elemento estructural.
El Código ACI 318/02 indica los siguientes valores para el cálculo de dichas rigideces:
Módulo de Elasticidad (E) 4700 f’c (MPa)
Momentode Inercia
(I)
Vigas 0.35 Ig
Columnas 0.70 Ig
Tabiques no fisurados 0.70 Ig
Tabiques fisurados 0.35 Ig
Placas y losas planas 0.25 Ig
Área de la sección (A) 1.0 Ag
Los momentos de inercia se deben dividir por (1+d) cuando actuen cargas horizontales permanentes y para tener en cuenta los efectos de la fluencia.
Una expresión más sencilla para recordar es {10}:
donde eff = Mg / M(g+p) siendo el coeficiente de fluencia.
En el caso de elementos sin fisurar puede duplicarse el valor de la rigidez.
Obsérvese que eso significa reducir la rigidez de la sección bruta de hormigón a “un tercio”.
El cálculo de los esfuerzos debe realizarse para las cargas mayoradas dado que se está suponiendo la no linealidad del comportamiento es decir la no validez del principio de superposición. En general se podrá recurrir a programas de computadora que permiten calcular en segundo orden, Caso contrario se podrá resolver la estructura, por ejemplo, mediante el método P- (es el que utilizan muchos programas comerciales para considerar los efectos de segundo orden) y que consiste en sustituir los efectos de segundo orden por cargas ficticias que produzcan las mismas deformaciones. Por ejemplo para un pórtico sencillo como el de la figura 11a sometido a cargas verticales P y horizontales W. La deformada, calculada en primer orden con la rigidez ficticia conduce a un desplazamiento de la parte superior (figura 11b) este a su vez generará un momento de segundo orden igual, en este caso a 2P [en general (P)] dicho momento puede representarse mediante una fuerza horizontal ficticia W1 a la altura del piso superior y de magnitud W1 = 2P/ H [en general (P)/H] donde H es la altura del piso. Para la fuerza horizontal W + W1 (figura 11c) se producirá una
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Tabla 1
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nueva deformación 1 que permite repetir el procedimiento iterando hasta que la deformación utilizada y calculada resulten aproximadamente iguales (i+1 i).
En un pórtico de más de un piso vale lo anterior considerando los esfuerzos normales P que actuan en cada piso y las deformaciones relativas entre cada piso y el inmediato inferior para determinar, a su vez, las fuerzas horizontales ficticias de cada piso (figura 12). Entonces la fuerza horizontal ficticia (a sumar a la fuerza aplicada inicial) en cada piso resulta:
Donde:Wi: es la fuerza adicional en cada piso por los efectos de segundo ordenPi : Es la sumatoria de los esfuerzos normales en todas las columnas del piso i.i : es el desplazamiento total del piso i.Hi : es la altura del piso i.
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PW
H
L
a)
P
H
WP P
L
b)
H
W+W1P P
L
c)
Figura 11
Hi
WiNivel i
Nivel i+1
i
i+1
Nivel i-1
Figura 12
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No se profundiza más en el cálculo de los efectos de segundo orden pues no corresponden a la teoría del hormigón armado sino a la teoría de las estructuras; tampoco en la definición de las ecuaciones constitutivas del hormigón armado que sí se encuentran dentro de su teoría pero fuera del alcance estas notas.
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7. SOLUCIÓN APROXIMADA – LA COLUMNA AISLADA
En la gran mayoría de los casos la columna considerada aislada forma parte de una estructura mas compleja. Se presenta entonces la dificultad de definir cuáles deberían ser los vínculos más adecuados de la columna considerada aislada para reproducir su comportamiento real en la estructura. Aparece entonces una división entre columnas con nudos indesplazables y columnas con nudos desplazables o si se prefiere columnas pertenecientes a estructuras con nudos indesplazables o intraslacionales y columnas pertenecientes a estructuras con nudos desplazables o translacionales.
Las primeras, columnas con nudos indesplazables, son aquellas que presentan vínculos en sus extremos que impiden el desplazamiento (figura 13) o bien que la estructura a la que pertenecen dispone de elementos con una rigidez mucho mayor (estructuras contraviento, tabiques de ascensores, etc.) que la de la columna (figura 14) como para poder restringir significativamente el desplazamiento lateral de los extremos de esta.
Con más precisión se suele decir que la columna presenta nudos indesplazables cuando los momentos flectores en sus extremos no aumentan (o no lo hacen considerablemente) como consecuencia de los efectos de segundo orden (figura 15).
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F
F
e
L
Figura 13 Figura 14
F
F
MOM. DE 1er ORDEN
MOM. DE 2do ORDEN
F
F
MOM. DE 2do ORDEN
MOM. DE 1er ORDEN
Figura 15
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El Código ACI 318/02 permite considerar como indesplazables a aquellas columnas cuyos momentos extremos de segundo orden no excedan el 5% de los momentos de primer orden, el Código CEB-90 admite para dicho exceso un límite del 10%; en ambos casos los efectos de segundo orden deben calcularse para las condiciones de no linealidad mencionadas
anteriormente o mediante las rigideces equivalentes. Claro está que la determinación de esta diferencia implica haber resuelto la estructura en segundo orden y entonces no interesa resolver el problema como columna aislada; por eso se definen límites ficticios que permitan determinar si los nudos son idesplazables a partir de expresiones sencillas, según ACI 318/02:
Donde:Pu : Carga vertical total del piso de la estructura.0 : Desplazamiento relativo entre ambos extremos de la columna en primer orden y
debidos a Vu.Vu : Esfuerzo de corte en el piso considerado.lc : longitud de la columna medida entre los ejes de los nudos.
El CEB 90 define una esbeltez equivalente para los elementos rígidos que arriostran a la columna de manera que la columna se podrá considerar con nudos indesplazables si la esbeltez equivalente del elemento arriostrador b no excede la esbeltez límite 1 que permite despreciar los efectos de segundo orden.
Donde:Htot : Altura total del edificio (n pisos).n : Número de pisos.P : Sumatoria de todas las cargas, de servicio, en el piso (columnas y elementos rígidos)EIg : Suma de las rigideces a flexión de los elementos rígidos.Sd : Esfuerzo normal relativo [P / (Ag f’c)].
7.1) La columna aislada de hormigón armado
Supongamos una columna de hormigón armado como la indicada en la figura 16. La sección transversal está absolutamente definida en sus dimensiones (sección, armaduras, recubrimientos) y materiales y en consecuencia tendrá un diagrama de interacción en flexión compuesta recta (se supone a la deformada en el plano del dibujo) y estado límite de rotura como el de la figura 17.
Si se desprecian los efectos de segundo orden el momento flector en la columna es constante a lo largo de toda su extensión y de valor P.e, es decir el momento crece linealmente con la carga, la representación grafica de esta relación es la recta OA indicada en la figura 17;
20
Edgardo Lima PANDEO
evidentemente al alcanzarse el punto A se produce la rotura de la sección ya que dicho punto pertenece al diagrama de interacción de la sección transversal de la columna.
Si se tienen en cuenta los efectos de segundo orden, la pieza se deforma, como consecuencia, la excentricidad de la carga aumenta y en la sección central (máxima flecha) se producirá el momento máximo que será mayor que el momento “P.e” siguiendo una curva como podría ser la indicada OB en la figura 17; vemos que en este caso en el punto B se alcanza la rotura de la sección pero para un esfuerzo normal P menor y un momento flector mayor que en el caso anterior. También podría ser que para un cierto valor de P el momento aumentara aún más rápidamente curva OC (recordemos que en carga excéntrica cuando P tiende a la carga crítica el denominador tiende a infinito y no se logra el equilibrio) y la pieza no logre un estado de equilibrio entre la solicitación externa y la resistencia.
Este razonamiento nos permite visualizar cómo el pandeo, es decir los efectos de segundo orden, pueden producir, para una dada carga, la inestabilidad del equilibrio (en realidad existe una carga para la que el equilibrio es indiferente) o la rotura de la sección en este último caso la falta de equilibrio habría sido entre el modelo (1er orden) y la “realidad” (2do orden).
7.2) La excentricidad accidental
No es sencillo, como es sabido, definir la excentricidad de la carga. Efectivamente para definir la excentricidad deberíamos conocer el centro o punto de referencia de dichas excentricidades. En las secciones de hormigón armado esta definición se complica aún más que para otros materiales. Podría definirse, al centro de la sección, como el centro de gravedad de la sección homogeneizada pero esta definición tiene varios inconvenientes que la hacen impracticable. Por un lado el material hormigón no es homogéneo y en consecuencia su “eje resistente” puede no coincidir con el eje geométrico (figura 18a), además ninguno de los materiales (hormigón y acero) cumplen con la ley de Hooke por lo tanto la homogeneización depende del nivel de solicitaciones, o dicho de otro modo el “centro” de la sección se mueve a medida que se carga o descarga la pieza. Por otra parte, tanto la sección de hormigón como la de acero presentarán en la realidad diferencias con la sección teórica proyectada (figura 18b).
Podría definirse el “centro” como el punto de aplicación de un esfuerzo normal que produzca deformaciones uniformes en la sección. También en este caso dicho punto dependerá de la magnitud del esfuerzo normal.
21
P
P
e
L As
h
b
M
N
O
A
B
1er O
rden
2do OrdenC
Figura 16 Figura 17
Edgardo Lima PANDEO
Quiere decir que por los motivos expuestos en cada sección de una pieza “el centro” podrá variar dentro de un cierto rango. Además su posición no coincidirá para las distintas secciones
a lo largo de la pieza y es prácticamente imposible conocer su posición (figura 18c). Sí podrá acotarse su ubicación dentro de un cierto entorno.
Frente a la conveniencia de definir un eje de la pieza de referencia se hace necesario considerar una excentricidad accidental mínima que tenga en cuenta estos factores y que permita considerar sus efectos.
El Código ACI 318/02 fija un valor mínimo para la excentricidad de primero orden:
exc.1er orden = e 15 mm + 0.03 h
donde h: altura dela sección transversal
Mientras que el CEB-90 al igual que la norma española EHE, el CIRSOC 201/82 y el Eurocódigo 2 fijan una excentricidad accidental a “adicionar” a la excentricidad de primer orden y que puede indicarse englobando a todas ellas mediante:
l / 300exc. acc. = ea h / 20 20 mm
7.3) El planteo de Faessel
Faessel realizó un análisis del pandeo de una columna aislada de hormigón armado que permite una representación geométrica muy interesante e ilustrativa para la comprensión del fenómeno. En el manual de pandeo del CEB {1} se lo denomina “método de la columna modelo”.
22
P
P
eaGi
Gr
IDEAL
REAL
R
c
b)
a) c)
Figura 18
Edgardo Lima PANDEO
Supongamos, en primer lugar, una columna como la de la figura (19) sometida a un esfuerzo normal P con una cierta excentricidad no nula “eo”. Admitamos que la pieza tiene un
plano de simetría, que las cargas actúan dentro de ese plano y que la deformada también se ubica dentro del plano de simetría, en pocas palabras supongamos que se trata de un problema “plano”. Supongamos, también que bajo la máxima carga que la pieza podrá soportar la deformada puede representarse mediante una función sinusoidal (recordemos que para un material elástico lo es). Entonces la excentricidad de la carga en cada sección será:
Admitiendo que la curvatura, cuando es pequeña, es igual a la derivada segunda de la función:
y su máximo valor absoluto (en x = l / 2) valdrá:
y entonces la máxima excentricidad de la carga respecto de la sección será:
Si se representa esta función en una terna ( P, 1/r , e ) se obtendrá un plano “S” (figura 20) paralelo al eje P ya que se trata de una función lineal en la que falta, justamente, la variable P.
23
P
x
y
eo
P
L a
L/2
Figura 19
P
e
1/r
eo
L /102
S
Figura 20
Edgardo Lima PANDEO
Es importante recordar las hipótesis que dieron lugar a esta última expresión:
Problema plano (simetría). Deformada sinusoidal para carga máxima. 1 / r d2y / dx2.
No se han hecho suposiciones sobre el material que constituye la pieza ni la forma de la sección transversal ni la constancia de ambos a lo largo de la pieza.
Es fácil ver (figura 21) que siendo la excentricidad “e0” de la carga la ordenada al origen cuanto mayor sea su valor mayor será la altura del plano S respecto al plano horizontal. En la misma forma un aumento de la longitud (L) de la pieza producirá una mayor pendiente del plano S.
Supongamos en segundo lugar, y con absoluta independencia de los visto anteriormente, una sección de hormigón armado perfectamente definida en sus dimensiones y materiales y que presente un plano de simetría (figura 22). Imaginemos, permítase la expresión, aplicar a esta sección un estado de deformaciones genérico como el indicado mediante la recta T-T en la figura 22. Frente a este estado de deformaciones la sección reaccionará con un esfuerzo que podrá calcularse a partir de “conocer” los diagrama tensiones-deformaciones del hormigón y del acero. Integrando el volumen de tensiones del hormigón se podrá determinar su resultante
24
P
e
S1
1/rS2
S3
1 2 3
Figura 21
As2
h
As1
T
T
s2
1s
d
c 1
c2
PcPs2
Ps1
c c
ccu
su
Figura 22
Edgardo Lima PANDEO
Pc y con las tensiones en las armaduras superior e inferior, determinadas a partir de sus deformaciones, y sus secciones se podrán conocer las fuerzas en ellas Ps1 y Ps2. Sumando (algebraicamente) las fuerzas normales en el hormigón y acero se tendrá el esfuerzo normal resultante:
P = Pc + Ps1 + Ps2
tomando momentos respecto a un eje de referencia (por ejemplo la mitad de la altura de la sección) de las fuerzas en el hormigón y las armaduras, se tendrá el momento flector resultante M. Finalmente es posible calcular la curvatura mediante:
Entonces para el estado definido por la recta T-T se tiene una terna de valores P, M, 1/r que puede representarse en un sistema de ejes cartesianos. Repitiendo este procedimiento para distintos estados de deformación definidos por rectas similares a la T-T se tendrá un conjunto de ternas P, M, 1/r que representadas gráficamente darán lugar a una superficie en el espacio como la indicada en la figura 23 como superficie resistente R. Evidentemente existirán planos de deformación que coincidirán con un estado límite de rotura bajo solicitaciones normales y que darán origen a un borde de la superficie R más allá de la cual la sección es incapaz de resistir y consecuentemente la superficie R no podrá existir.
Repasemos las hipótesis que permitieron determinar la superficie resistente R:
Problema plano (simetría de la sección transversal).
Las secciones planas se conservan planas (la deformación de la sección es una recta).
Los diagramas - del acero y del hormigón son conocidos
Los estados de deformación que conducen a la rotura por esfuerzos normales están definidos.
No se han hecho suposiciones sobre la longitud de la pieza ni sobre su forma de vinculación.
Si imaginamos una columna de las características de la de la figura 20 construida con una sección de hormigón armado como la de la figura 22 y si representamos en un mismo gráfico (figura 24) a las superficies solicitante (S de la figura 20) y resistente (R de la
25
hrcc 121
dr
sc 121 ó
e
P
1/r
R
BORDE DEROTURA
Figura 23
e
P
1/r
R
S
Figura 24
Edgardo Lima PANDEO
figura 23) quedará determinada una curva en el espacio como resultado de la intersección de ambas superficies. Esta curva representa los infinitos puntos posibles donde la solicitación (determinada por el plano S) es igual a la resistencia (determinada por la superficie R) es decir donde existe equilibrio entre la solicitación y la resistencia. Todos los demás puntos de ambas superficies no corresponden a situaciones de equilibrio por lo que carecen de interés para nosotros.
La forma de la curva intersección dependerá, lógicamente, de las características de las superficies S y R pero podemos distinguir dos situaciones bien diferenciadas. En un caso la máxima ordenada P que alcanza la curva corresponde a un punto del borde de la superficie R (figura 25a) , es decir a un estado de rotura. Decimos, entonces, que para la carga máxima nos encontramos frente a un problema de rotura de sección. En el otro caso la ordenada máxima no corresponde a un punto del borde de rotura sino a un punto interior a la superficie (figura 25b), la carga máxima corresponde a un problema de inestabilidad del equilibrio o rotura del equilibrio; un aumento de la curvatura requeriría para mantener el equilibrio una “disminución” de la fuerza de compresión P.
Para ayudar a visualizar el problema puede resultar conveniente representar ambas superficies mediante proyecciones acotadas en planos paralelos a los planos de coordenadas. Si cortamos las superficies S y R mediante planos paralelos al plano 1/r , e se tendrán curvas como las de la figura 26a correspondiente a un problema de rotura de sección o la figura 26b correspondiente a un problema de rotura de equilibrio.
Como puede verse el planteo de Faessel permite una interpretación del fenómeno del pandeo introduciendo relativamente pocas hipótesis (deformada sinusoidal, mecanismo resistente de la sección conocido) y una interpretación gráfica muy ilustrativa para poder distinguir los fenómenos de rotura del equilibrio y rotura de sección que resultan fundamentales a la hora de dimensionar las estructuras de hormigón armado.
Si en lugar de la hipótesis de deformada sinusoidal se supusiera que la deformada es una parábola de segundo orden se obtendría, para la expresión de la excentricidad de segundo orden:
26
S
R
e
P
1/r
S
P
R
1/r
e
a) b)
Figura 25
Edgardo Lima PANDEO
7.4) Efecto de las cargas de larga duración
Si consideramos los efectos reológicos en el hormigón armado, fundamentalmente la retracción por secado y la fluencia (en general la relajación del acero resulta despreciable) se tendrá, que el plano T-T de la figura 22 que dio origen a un esfuerzo normal (P) y a una excentricidad (e) correspondiente a cargas de corta duración, se habrá desplazado como consecuencia del transcurso del tiempo adoptando una nueva posición T’-T’ (figura 27).
Este desplazamiento producirá una nueva redistribución de esfuerzos entre acero y hormigón por lo que tendrá lugar una pequeña modificación en los valores de P y e. La que se modifica en forma no despreciable es la curvatura. Por efecto de la fluencia la curvatura aumenta en la misma proporción que lo hace la deformación de la fibra más comprimida es decir veces siendo el coeficiente de fluencia.
27
rl
rla 1
101 2
2
2
r
la 18
2
en lugar de
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
curvatura 1/r (1/m)
exce
ntric
idad
e (m
)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
curvatura 1/r (1/m)
exce
ntric
idad
e (m
)
a) b)
Figura 26
As2
h
As1
T
T
s2
1s
d
c 1
c2
PcPs2
Ps1
c c
cT'
T'
Figura 27
Edgardo Lima PANDEO
La retracción por secado producirá incrementos de curvatura en los casos de armadura asimétrica dado que es la armadura que se opone al acortamiento de la retracción la que origina las curvaturas las que por otra parte son de mucha menor magnitud que las originadas por la fluencia.
Los fenómenos reológicos producen entonces, además de la pequeña modificación de P y e, un fuerte aumento de la curvatura 1/r. El resultado es, además de una ligera modificación de la forma, un desplazamiento de la superficie R hacia las mayores curvaturas. Quiere decir que cuando la carga permanente (que es la que origina la fluencia) es imporatntes frente a la carga total la superficie resistente R sufrirá un desplazamiento no despreciable que podrá transformar una situación de equilibrio en una de inestabilidad o directamente de rotura de la sección (figura 28).
7.5) El pandeo por rotura de sección
Como se indicó en la figura 17 y se puede apreciar en la representación de Faessel, cuando la esbeltez no es muy grande el pandeo se alcanza por la rotura de la sección de hormigón. En esos casos es posible resolver el pandeo, al menos en forma aproximada, reduciéndolo a un problema de flexión compuesta utilizando un momento flector mayor que el que corresponde a los efectos de primer orden. Para obtener la magnitud de este momento flector mayor aparecen dos criterios:
El momento (o la excentricidad) complementario, a adicionar al momento de primer orden.
La amplificación del momento de primer orden mediante un factor mayor que la unidad. Si bien conceptualmente difieren, sus resultados prácticos coinciden sensiblemente.
a) Método del momento complementario o de la excentricidad complementaria.
Fue introducido por A. Aas Jackobsen en 1959 e incorporado al Código CEB de 1964. Hasta esta fecha las reglamentaciones consideraban el efecto del pandeo a través de una mayoración del esfuerzo normal que solicitaba la columna (método ).
Consiste en asumir la hipótesis de que el pandeo es un problema de rotura de sección y a partir de allí determinar cual es el incremento, en el momento flector, que producen los efectos de segundo orden. De esta manera se pueden dimensionar las armaduras de la sección como en flexión compuesta.
28
curvatura (1/r)ex
cent
rici
dad
(e) t=0 t=t1
t=h
Figura 28
Edgardo Lima PANDEO
La “deducción” de la expresión de la excentricidad complementaria (puede verse en Lima o Robinson) requiere la introducción de una cantidad de simplificaciones muchas de ellas algo groseras que hacen forzada la obtención de la expresión de la excentricidad complementaria independientemente de la magnitud del esfuerzo normal y del momento flector total resultante. Según Jakobsen la excentricidad de segundo orden o excentricidad complementaria es:
el propio Jakobsen propuso, sin fundamento y por razones de seguridad:
esta última expresión fue adoptada en el año 1964 por el CEB y por el Proyecto de Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón. Posteriormente, hasta la actualidad, y con algunas variantes se la encuentra en normas como EHE, CIRSOC 201/82, CEB-90.
En el gráfico de la figura 29 pueden observarse los valores de la excentricidad complementaria relativa (e2 / h) en función de la esbeltez () para los distintos reglamentos o recomendaciones y para situaciones medias ya que muchos de ellos incorporan una cantidad mayor de variables. Puede apreciarse una dispersión significativa producto, sin duda, del elevado nivel de simplificación que requiere. Aunque también debe destacarse su sencillez.
b) Método de la amplificación del momento
Fue propuesto por J. A. MacGregor en 1970 e incluido en el Código ACI 318 de 1971. Consiste en mayorar el momento flector de primer orden mediante un factor mayor que la unidad. debe prestarse atención que en este caso al momento de primer orden se lo multiplica por un coeficiente mientras que en el caso anterior, del momento complementario, se le suma un término adicional. A través de distinto camino se llega en ambos casos a un aumento del momento flector respecto del obtenido en un análisis de primer orden permitiendo la resolución del problema del dimensionamiento de las armaduras como uno de flexión compuesta . Lógicamente también este método está apoyado en la hipótesis de que el pandeo es un problema de rotura de sección.
El factor a multiplicar por el momento de primer orden es, a menos de algún coeficiente de ajuste, el mismo que hemos deducido para la fórmula de Euler aplicada a una columna con carga excéntrica (1 – P/Pk).
Efectivamente el momento total es:
29
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
20 30 40 50 60 70
ESBELTEZ ( )
e co
mpl
/ h
CEB-78CEB-90
EHE
CIRSOC-82
CEB-64
Figura 29
Edgardo Lima PANDEO
Donde:
Cm : Es un coeficiente que tiene en cuenta los momentos flectores de primer orden en ambos extremos de la columna
con M1 y M2 momentos de primer orden y M1 M2
Pu: es la carga axil mayorada para una excentricidad dada.Pc : Es la carga crítica de Euler
con L : longitud de la columna biarticulada equivalente (semionda de sinusoide) y EI se obtiene de alguna de las expresiones siguientes:
(0.2 Ec Ig + Es Is) / (1+d) E I =
0.4 Ec Ig / (1+d)
en las que d es la relación entre la solicitación permanente y la total.
El factor 0.75 que afecta a la carga crítica de Euler (Pc), que no figuraba en el trabajo original de MacGregor, se lo incluye como “factor de reducción de rigidez” aunque en realidad es un coeficiente de ajuste para obtener valores algo más conservadores. Fue introducido por el ACI en el año 1989.
Si bien, como se dijo, el método de la amplificación del momento y el del momento complementario resuelven el problema a través de distinto mecanismo, en el primero es un factor y en el segundo un término aditivo, en los casos prácticos sus resultados no difieren excesivamente ( 20%) al menos para aquellos casos en que 30 (: esfuerzo axil relativo) en los que puede ser esperable la rotura de sección.
7.6) La columna como parte de una estructura
En general la columna o el elemento comprimido forma parte de una estructura más compleja que podemos suponer, sin perder generalidad, como un pórtico.
Ya hemos visto el análisis de la estabilidad de la estructura, en este caso pórtico, en su conjunto a través de la consideración de los efectos de segundo orden debidos a la no linealidad tanto geométrica como resistente y ambas en función del tiempo.
Una forma simplificada de resolver el problema de la estructura en su conjunto es mediante la consideración de cada uno de sus elementos (columnas) en forma aislada. Una de las
30
Edgardo Lima PANDEO
dificultades de este proceder es establecer cuál es la columna aislada que tendrá un comportamiento equivalente al del elemento en consideración dentro de la estructura completa.
Existen distintos procedimientos para resolver el problema pero el más difundido, aunque con distintas variantes, es el de dividir a las estructuras o pórticos en: translacionales (o desplazables) e intranslacionales (o no desplazables). Lógicamente no es sencillo establecer un procedimiento que permita decidir en que categoría se encuentra cada estructura o cada elemento comprimido.
Existen distintos criterios, por ejemplo el código ACI 318-02 (CIRSOC 201/02), como se vió en el punto 7, indica que una columna de una estructura se puede suponer indesplazable cuando el incremento de los momentos en los extremos (nudos) debido a los efectos de segundo orden no exceden el 5% de los de primer orden. Claro que para poder verificar este límite sería necesario resolver la estructura en segundo orden y entonces el problema del pandeo ya estaría resuelto. Para permitir una separación entre desplazables e indesplazables el mismo código propone: Un entrepiso de una estructura es indesplazable cuando se verifica:
Donde:
Pu : Es la carga (esfuerzo normal) mayorada total en el piso (todas las columnas).Vu : es el esfuerzo de corte total en el piso considerado.0 : Es el desplazamiento relativo de primer orden entre extremos de la columna debido a Vu (horizontal).lc : Longitud del elemento comprimido.
Esta expresión surge de limitar (ver figura 11) al 5% el incremento en los momentos, debido a las deformaciones de primer orden (0), y para todo el entrepiso. Para el cálculo de las deformaciones de primer orden deben utilizarse las rigideces correspondientes al elemento de hormigón armado (por ejemplo las de la tabla 1).
Cuando la estructura no verifica la condición planteada se supondrá traslacional o desplazable.
Otro criterio es el del CEB-90 (similar al EC-2), en él se distinguen las estructuras arriostradas y no arriostradas. En las primeras se encuentran aquellas munidas de algún elemento de rigidez transversal importante como tabiques, cajas de ascensores o escaleras que impiden la deformación horizontal del resto de los elemento. Se supone que un elemento es capaz de arriostrar la estructura cuando puede soportar el 90% del esfuerzo horizontal en cada piso y sin fisurarse bajo cargas de servicio.
31
Edgardo Lima PANDEO
En este caso las columnas se pueden calcular como columnas aisladas de nudos indesplazables. El, o los, elementos arriotradores se calculan como ménsulas (columnas aisladas) con una longitud igual a la total del edificio y sometidas a todas las cargas horizontales más las reacciones, también horizontales, producidas por las columnas arriostradas en ella (figura 30).
Las segundas (no arriostradas) se subdividen a su vez en estructuras intraslacionales o indesplazables y traslacionales o desplazables. Son indesplazables aquellas para las que el incremento de los momentos en los nudos por los efectos de segundo orden es menor que 10% (valor que parece más razonable que el exigente 5% del ACI). También en este caso los elementos comprimidos se pueden analizar como columnas aisladas.
Para las estructuras traslacionales o desplazables se debe realizar el cálculo de los efectos de segundo orden a partir del análisis no lineal de la estructura admitiéndose, como simplificación, un cálculo P-.
7.7) Asimilación a columna aislada
Hemos visto que las reglamentaciones permiten, en algunos casos, resolver los elementos comprimidos de una estructura de hormigón armado como si fueran columnas aisladas. Claro que en estos casos es necesario, para asimilar dichos elementos de la estructura a una columna aislada, definir cuál será la longitud de columna (biarticulada) equivalente y en algunos casos, cuál será la excentricidad, también equivalente, de la carga.
La longitud de la columna equivalente (k x lc) la podremos definir como la distancia entre los puntos de inflexión de su deformada en forma similar a la que se planteó en hoja 6.
En las estructuras con nudos indesplazables (figura 31) dicha distancia entre puntos de inflexión no será mayor que la longitud de la pieza (k1) dependiendo de la rigidez relativa entre las columnas y las vigas (o entrepisos) como surge de la figura 31 para los casos límite en que la rigidez de las vigas es “nula” o “infinita” y para una rigidez (EI) constante para las columnas; en esos casos la distancia entre puntos de inflexión de la deformada son las mismas mencionadas en la hoja 6 y resultan del planteo de Euler.
32
w=PxLP1 P2
L
Figura 30
Edgardo Lima PANDEO
En el caso de la estructuras “reales” la relación de rigideces entre las columnas y vigas adopta valores finitos (y no nulos) de manera que la determinación de la longitud equivalente requiere un estudio detallado de la estructura. Para evitar la complicación de este análisis se
ha desarrollado el nomograma de Jackson y Moreland (figura 32) que permite obtener el coeficiente k en función de las rigideces relativas de los elementos que concurren a cada nudo de la columna.
Este nomograma, conjuntamente con el de nudos desplazables, han sido elaborados originalmente para las columnas metálicas y adoptados por una gran cantidad de normas de hormigón armado (ACI, DIN, EC2); otras {23} incluyen expresiones matemáticas. Se indican
33
k=1
k= 2/2
EI 0viga
EI 0viga
EI 0viga
EI
k= 2/2
k=0.5
viga
k=1 k=0.5
EI viga
EI viga
Figura 31
VIGAS
Figura 32
Edgardo Lima PANDEO
a continuación las adoptadas por el código ACI 318/02 para estructuras con nudos indesplazables:
0.7 + 0.05 (A + B) 1 k 0.85 + 0.05 min 1
Siendo min en menor valor entre A y B.
En el cálculo de las rigideces de los elementos que concurren al nudo deben tenerse en cuenta la no linealidad del material y la fisuración del hormigón, por ejemplo a través de los valores de la rigidez indicados en la tabla 1.
En cualquiera de los casos no debe perderse de vista que su determinación requiere una gran cantidad de hipótesis simplificativas y consecuentemente presenta un elevado grado de incertidumbre.
Contrariamente, en las estructuras con nudos desplazables (figura 33) la distancia entre puntos de inflexión no será menor que la longitud de la pieza (k1) dependiendo, también, de la rigidez relativa entre las columnas y las vigas.
También para este caso de nudos desplazables existen un nomograma de Jackson y Moreland (figura 34) y expresiones para el cálculo del coeficiente k, entre otras:
Para elementos con ambos extremos restringidos (continuos):
Si m 2 k = (20-m) (1+m)1/2 / 20Si m 2 k = 0.9 (1+m)1/2
En ambos casos m es el promedio entre A y B.
Expresiones que se podrían escribir, para ser coherentes con las anteriores, como:
(20-m) (1+m)1/2 / 20 k 0.9 (1+m)1/2
34
P1 P2EI viga
k=1
EI <k>1
viga
(si EI=0 ; k=2)
vigaEI k=2
(si EI< ; k>2)
Figura 33
Edgardo Lima PANDEO
y que dan valores de k mayores o iguales que la unidad en todos los casos.
Para elementos con un solo extremo restringido (el otro extremo articulado):
k = 2.0 + 0.3
es el valor correspondiente al extremo no articulado.
que, como es fácil de ver, arroja siempre valores mayores que dos.
Es importante tener en cuenta que las longitudes equivalentes obtenidas mediante el nomograma tienen un nivel de incertidumbre bastante mayor que para las estructuras indesplazables; además en este caso la longitud equivalente es altamente sensible a pequeñas rotaciones que pudieran presentar los apoyos considerados como empotramientos.
Con respecto a la excentricidad equivalente de la carga, para la columna aislada equivalente correspondiente a una estructura indesplazable (figura 35) existe un criterio generalizado e incorporado por la mayoría de las normas que consiste en suponer una excentricidad igual en ambos extremos de valor:
e1 = 0.6 eA + 0.4 eB 0.4 eA
Donde:
e1 : Es la excentricidad equivalente de primer orden.eA : Es la excentridad en el extremo de la barra y de mayor valor absoluto.eB : Es la excentricidad de menor valor absoluto (con signo negativo cuando es opuesta a eA)
35
VIGAS
Figura 34
Edgardo Lima PANDEO
En el caso de las estructuras desplazables no tiene sentido el concepto de excentricidad equivalente dado que en estos casos los efectos de segundo orden justamente incrementan los momentos flectores en los extremos de la columna.
36
Edgardo Lima PANDEO
8. RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS
La elevada complejidad que presenta la resolución práctica, ya sea en la verificación y más aún en el dimensionamiento, de las estructuras de hormigón armado teniendo en consideración la no linealidad, tanto geométrica como resistente, hace que sea necesario considerar soluciones simplificadas que permitan abordar la resolución de los problemas mediante un mecanismo acorde con la importancia estructural del elemento considerado y con la incidencia que en él puedan tener los efectos de segundo orden. Con mecanismo acorde se quiere significar el equipamiento requerido (computadora, software, ábacos, calculadora, etc) y el tiempo que en cada caso puede dedicarse a la solución del problema.
Es así como las distintas reglamentaciones imponen o sugieren límites dentro de los cuales se pueden ignorar o despreciar los efectos de segundo orden, se pueden calcular los efectos del pandeo por métodos simplificados como por ejemplo la amplificación del momento o el
37
P
P
P
P
eA
Be (+)
Ae
Be (-)
Figura 35
CIRSOC 201/82 CIRSOC 201/02DIN 1045 ACI 318/02
Se pueden ignorar los efectos de segundo orden
<20 <70 y e/h>3.5
y e/h>3.5/70
Indesplaz <34-12M1/M2
<40 Desplaz < 22
<25 <35
Indesplaz <7.5 (2-e1/e2)/ 1/2
<12(2-e1/e2) Desplaz
<7.5/ 1/2 <12
Se pueden utilizar métodos aproximados (ampl. mom. o exc compl.)
<70 no incluidos en
renglón superior<100 <140 <100 No permitidos
Se deben utilizar métodos rigurosos 70 < < 200 100 < 140 < < 200 100 < < 200
Siempre que deba considerarse el
pandeo
No se deben construir columnas con
00 No se indica 00 00 > 70
(recomendación)
CEB-78 EHE CEB-90
Tabla 2
Edgardo Lima PANDEO
momento complementario, se deben calcular mediante métodos rigurosos y debe evitarse su construcción. En el cuadro anterior (tabla 2) se indican estos límites para los distintos códigos.
Como puede verse, en muchos casos aparece definiendo los límites, la esbeltez . Esto es por un lado un resabio del método de los coeficientes de pandeo () de Euler-Engesser donde a partir de un cierto valor de la incidencia de los efectos de pandeo que se quiere considerar, aparece inmediatamente el valor de asociado. Además es, sin duda, un parámetro fácil de recordar y manejar. En la figura 36 se han representado las longitudes de las columnas biarticuladas de sección cuadrada de 20 cm de lado para cada una de las esbelteces límites fijadas por la norma española EHE que, por su sencillez, resultan fáciles de recordar.
También debe considerarse que en las columnas de hormigón armado la rotura se produce por agotamiento de la sección y en consecuencia variables como el momento flector (de primer orden) y el esfuerzo normal son importantes a la hora de definir los límites mencionadaos. Así
aparecen acompañado a en la definición de algunos límites, las excentricidades de primer orden como en CIRSOC 201/82 y 201/02, o el esfuerzo normal relativo () como en CEB-90.
En el primer grupo, correspondiente a las esbelteces pequeñas, puede aceptarse que los efectos de segundo orden son despreciables frente a los de primer orden y por lo tanto y para simplificar el cálculo, pueden ignorarse los efectos del pandeo.
En el segundo grupo, correspondiente a las esbelteces moderadas, puede suponerse que el pandeo se produce por rotura de sección y en consecuencia los métodos simplificados de reducción a flexión compuesta pueden resultar suficientemente aproximados. Volveremos enseguida sobre ellos.
Algunos códigos (CEB) prohiben el cálculo mediante estos métodos (sólo se permiten para predimensionar) pero debe tenerse presente que para calcular una columna elemental (por ejemplo de una vivienda de una planta) obliga a recurrir a distinto tipo de ayudas de cálculo como ábacos o programas de computadora que lo pueden hacer impracticable en algunos casos.
El tercer grupo corresponde a las esbelteces elevadas de manera que es razonable recurrir a las mejores herramientas disponibles y resolver los problemas mediante algún método que permita evitar hipótesis previas sobre el tipo de rotura (equilibrio o sección) que tendrá lugar. Hemos dicho “recurrir a las mejores herramientas disponibles” y no como indican la mayoría de las reglamentaciones “tener en cuenta todas las no linealidades”. Como ya hemos dicho esto último es prácticamente imposible en el estado actual del desarrollo de los procedimientos numéricos. Las ecuaciones constitutivas del hormigón armado son sumamente complicadas y requieren, para su aplicación, un altísismo grado de definición de la estructura tanto de la geometría de las secciones como de las cantidades de armadura su ubicación y su desarrollo a lo largo de la pieza. Parece necesario permitir el cálculo de los efectos de segundo orden a través de métodos tipo P-, disponibles en gran cantidad de software accesible, utilizando una rigidez equivalente para los elementos de hormigón armado. La expresión:
38
=100 =200 =35
2.02
5.77
11.6
Figura 36
Edgardo Lima PANDEO
EI = 0.4 Ec Ig / (1+d)
parecería razonable para los casos prácticos en elementos que bajo cargas de rotura se encuentren en estado II (fisurados) en los que no presenten fisuras puede utilizarse el doble de dicho valor. Estos valores no difieren sustancialmente de los indicados en la tabla 1.
Finalmente algunas normas limitan la esbeltez máxima de los elementos comprimidos. Si bien esto puede parecer inconveniente y arbitrario, no debe perderse de vista que las normas deben velar por la seguridad de las personas y bienes procurando evitar audacias innecesarias.
8.1) Los métodos aproximados
Hemos estudiado el comportamiento de la columna aislada de hormigón armado, también hemos visto cómo, en algunos casos, puede reducirse el análisis del pandeo de una estructura en su conjunto, al análisis de una columna equivalente. Hemos mencionado, también, la gran dificultad que presenta un cálculo riguroso de los efectos de segundo orden. Esta elevada dificultad hace necesario aceptar en el cálculo de los efectos de pandeo métodos simplificados que puedan resolver el dimensionamiento o la verificación de la capacidad portante de una estructura o de sus elementos con ayudas de cálculo razonables y en tiempos compatibles con la magnitud del problema.
Existen distinos métodos simplificados -algunos ya se han mencionado- que las reglamentaciones incorporan permitiendo su uso. Aún admitiendo que puede resultar reiterativo se ha considerado oportuno incluirlos respetando lo indicado en cada una de las normas dado que, como es sabido, es sumamente peligroso mezclar los contenidos de distintos códigos.
a) CIRSOC 201/02 – ACI 318/02
Se utiliza el método de los momentos amplificados es decir la mayoración de los momentos de primero orden a través de un coeficiente. Para ello es necesario diferenciar en estructuras con nudos no desplazables y estructuras con nudos desplazables. Una estructura es indesplazable cuando se verifica:
Donde:
Pu : Es la carga (esfuerzo normal) mayorada total en el piso (todas las columnas).Vu : es el esfuerzo de corte total en el piso considerado.0 : Es el desplazamiento relativo de primer orden entre extremos de la columna debido a Vu (horizontal).lc : Longitud del elemento comprimido. caso contrario la estructura es desplazable.
39
Edgardo Lima PANDEO
Momento amplificado – Estructura no desplazable
Las armaduras de la columna se calculan en flexión compuesta para el esfuerzo normal mayorado y un momento flector, también mayorado, determinado por la expresión:
Donde
para elementos sin cargas transversales entre los apoyos y con M1 y M2 momentos de primer orden con M1 M2 y M2 Pu (15 mm + 0.03 h). Cuando existen cargas transversales entre los apoyos Cm = 1
Pu: es la carga axial mayorada para una excentricidad dada.Pc : Es la carga crítica de Euler
con L : longitud de la columna biarticulada equivalente (semionda de sinusoide) y EI se obtiene de alguna de las expresiones siguientes:
(0.2 Ec Ig + Es Is) / (1+d) E I =
0.4 Ec Ig / (1+d)
en las que d es la relación entre la solicitación permanente y la total.
Para determinar la longitud de la columna biarticulada equivalente (L) se pueden utilizar el nomograma de la figura 32 o bien la expresión:
0.7 + 0.05 (A + B) 1 k 0.85 + 0.05 min 1
Siendo min el menor valor entre A y B.
Momento amplificado – Estructura desplazable
En este caso se calculan los momentos en los extremos del elemento comprimido o columna mediante:
40
Edgardo Lima PANDEO
M1 = M1ns + s M1s
M2 = M2ns + s M2s
Donde:M1 y M2 : son los momentos mayorados en los extremos de la columna.M1ns y M2ns : son los momentos mayorados de primer de orden debidos a cargas que
no producen un desplazamiento lateral apreciable (non sway).s M1s y s M2s : son los momentos mayorados de segundo de orden debidos a las
cargas que producen un desplazamiento lateral apreciable (sway).
Para calcular los momentos de segundo orden (s M1s y s M2s) se puede resolver la estructura en su conjunto, por ejemplo con las rigideces de la tabla 1 o bien a partir de alguna de las expresiones:
Si en la primera, 1 /(1-Q) resulta mayor que 1.5, los momentos se deben determinar mediante el cálculo de segundo orden o bien con la segunda expresión.
Q: Es el mismo índice de estabilidad utilizado para determinar si la estructura es desplazable o no.Pu : Es la sumatoria de los esfuerzos normales de todas las columnas del piso.Pc : Es la sumatoria de las cargas críticas de todas las columnas del piso que soportan los desplazamientos laterales.Pc : Es la carga crítica de cada columna calculada en la misma forma que para las estructuras no desplazables pero con el valor de k correspondiente a la estructura desplazable.
Con los momentos amplificados se dimensionarán las armaduras en flexión compuesta. Salvo en aquellos casos en que:
es decir columnas esbeltas con esfuerzos de compresión importantes en las que el momento de segundo orden máximo ocurrirá “entre” los extremos y entonces el momento flector mayorado (Mc) se calculará como en las estructuras indesplazables en la que el momento máximo no coincide con los extremos de la barra. Para los momentos extremos M1 y M2
mayorados por los efectos de segundo orden se utilizan los correspondientes a las estructuras desplazables (como se vió en esta sección).
b) EHE – España Hormigón Estructural 1998
41
ss
ss MQ
MM
1 s
c
u
sss M
PP
MM
75.01
gc
u
u
AfPr
l
'
35 o en otras palabras 35
Tipo de Armadura is2
(d-d’)2 / 4 1
(d-d’)2 / 12 3
(d-d’)2 / 6 1.5
Tabla 3
Edgardo Lima PANDEO
Para columnas aisladas de esbeltez moderada (100) y armadura constante se puede utilizar el método del momento complementario o de la excentricidad complementaria.
La excentricidad total de la carga será:
etot = e1 + e2
e1: es la excentricidad de primer orden equivalente
para estructuras no desplazables e1 = 0.6 eA + 0.4 eB 0.4 eA
para estructuras desplazables e1 = eA
eA : Excentricidad máxima (en valor absoluto) de primer orden tomada como positiva.eB : Excentricidad de primer (con el signo que le corresponda).
e2 : Es la excentricidad ficticia de segundo orden o complementaria dada por:
h: es la altura total de la sección transversalig : es el radio de giro de la sección bruta de hormigónl : es la longitud de la columna biarticulada equivalente.y : es la deformación del acero para la tensión de fluencia minorada (fyd / Es). : Parámetro para tener en cuenta los efectos de la fluencia
= 0.003 cuando Ng N total
= 0.004 cuando Ng > N total
: un factor que tiene en cuenta el tipo de armadura en la sección
= (d-d’)2 / 4 is
El criterio es similar al incluido por el Comité Europeo del Hormigón en su Código Modelo de 1978 y en el manual de pandeo (Bull N°123) para el predimensionamiento de secciones. Puede verse fácilmente que para situaciones normales (sección rectangular, doble armadura, etc) la excentricidad complementaria se encuentra alrededor de 5 x 10-5 2 incluyéndose en la
42
Edgardo Lima PANDEO
fórmula factores que toman en cuenta la fluencia, la excentricidad inicial de primer orden y el tipo de armadura en la sección.
c) CIRSOC 201/82 – DIN 1045
La actual norma vigente en la Argentina permite el cálculo simplificado de los efectos de segundo orden mediante una excentricidad complementaria en aquellos casos en que la esbeltez se mantenga menor que setenta ( 70). Las expresiones, válidas para elementos con sección de hormigón y armadura constantes, son las siguientes:
En estas expresiones, además de la esbeltez (), tiene una incidencia muy importante sobre el valor de la excentriciad complementaria, la excentricidad debida a los efectos de primer orden (e1). El valor de la excentricidad complementaria incluye el de la excentricidad accidental.
d) Código Modelo CEB 78 – Manual de Pandeo CEB
En ambos casos se indica como método aproximado para la consideración de los efectos del pandeo al “Método de la columna modelo”. No es otra cosa que el planteo de Faessel, es decir la suposición de que la deformada en el instante de la rotura responde a una ley sinusoidal y en consecuencia la excentricidad máxima debida a los efectos de segundo orden será:
lógicamente la curvatura de la sección depende de las deformaciones específicas en ambos bordes de la sección transversal;
esto genera una gran complicación operativa. efectivamente para conocer la excentricidad de segundo orden e2 es necesario conocer la curvatura (1/r), para conocer la curvatura es necesario disponer de las deformaciones específicas en los bordes de la sección y estas dependerán de las solicitaciones actuantes (en segundo orden) y de las armaduras. En definitiva el problema es sumamente laboriosos aún para soluciones por aproximaciones sucesivas.
Para permitir la resolución de los casos prácticos se agregan en el Manual de Pandeo tablas (tablas 4 y 5) que permiten resolver algunos pocos casos concretos.
43
010.0100
2030.00 12
1
heheh
eSi
0160
2050.230.0 21
heh
eSi
050.3160
2050.350.2 12
1
h
eheheSi
Edgardo Lima PANDEO
Evidentemente el método de la columna modelo dista mucho de ser un método simple, requiere la utilización de tablas o en su defecto de algún programa de computadora y ha exigido que en códigos posteriores se incorporaran variantes más accesibles.
Para un cálculo rápido puede aplicarse la excentricidad complementaria estimándose la curvatura mediante la expresión {27}:
1/r = 5 x 10-3 / d
o con algo más de precisión {2}:
1/r = (0.0035 + fy/Es) / h para 0.5
1/r = (0.0035 + fy/Es) / (2 h) para > 0.5
44
Edgardo Lima PANDEO
45
N / b . h . f ' c f ' c = 0 . 8 5 f ' c k / c M / b . h 2 . f ' c f y d = f y k / s
A s / 2 f y d / b . h . f ' cd ' / h = 0 . 1
\ 0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 01 0 0 0
0 . 1 2 7 5 1 6 8 7 7 8 0 7 7 7 2 6 6 6 0 5 2 4 40 . 2 4 9 6 7 8 2 9 2 9 6 9 5 9 1 8 6 8 1 7 5 6 9
1 0 . 3 6 8 8 4 9 7 1 0 6 1 1 1 1 1 2 1 0 9 1 0 5 1 0 1 9 6 9 10 . 4 8 6 1 0 0 1 1 1 1 2 0 1 2 6 1 2 8 1 2 7 1 2 3 1 2 0 1 1 6 1 1 10 . 5 1 0 4 1 1 6 1 2 7 1 3 5 1 4 1 1 4 4 1 4 4 1 4 1 1 3 8 1 3 4 1 3 1
0 . 1 5 4 7 8 9 8 1 1 4 1 2 4 1 3 0 1 2 9 1 2 3 1 1 1 9 4 6 80 . 2 9 6 1 1 4 1 3 0 1 4 4 1 5 4 1 6 0 1 6 2 1 6 0 1 5 4 1 4 3 1 3 0
2 0 . 3 1 3 4 1 4 9 1 6 3 1 7 4 1 8 3 1 9 0 1 9 3 1 9 4 1 9 1 1 8 5 1 7 60 . 4 1 7 1 1 8 3 1 9 5 2 0 5 2 1 3 2 2 0 2 2 4 2 2 6 2 2 6 2 2 3 2 1 70 . 5 2 0 6 2 1 7 2 2 7 2 3 6 2 4 4 2 5 0 2 5 4 2 5 7 2 5 8 2 5 7 2 5 4
0 . 1 8 0 1 0 4 1 2 4 1 4 1 1 5 3 1 5 9 1 6 0 1 5 1 1 3 2 1 0 6 7 50 . 2 1 4 2 1 6 0 1 7 5 1 8 8 1 9 8 2 0 5 2 0 8 2 0 8 1 9 3 1 7 2 1 4 4
3 0 . 3 1 9 9 2 1 3 2 2 5 2 3 6 2 4 5 2 5 1 2 5 5 2 5 7 2 5 3 2 3 5 2 1 10 . 4 2 5 3 2 6 4 2 7 4 2 8 3 2 9 1 2 9 7 3 0 2 3 0 4 3 0 4 2 9 7 2 7 60 . 5 3 0 5 3 1 4 3 2 3 3 3 1 3 3 8 3 4 4 3 4 8 3 5 1 3 5 3 3 5 2 3 4 0
0 . 1 8 2 1 1 8 1 4 8 1 6 4 1 7 5 1 7 9 1 7 3 1 5 9 1 3 9 0 00 . 2 1 6 0 1 9 4 2 1 7 2 2 9 2 3 8 2 4 3 2 3 6 2 2 2 2 0 4 0 0
4 0 . 3 2 3 7 2 7 1 2 8 4 2 9 4 3 0 1 3 0 6 3 0 2 2 8 8 2 6 9 2 4 7 00 . 4 3 1 5 3 4 2 3 5 0 3 5 8 3 6 4 3 6 9 3 7 1 3 5 5 3 3 6 3 1 4 2 8 90 . 5 3 9 2 4 0 8 4 1 6 4 2 2 4 2 8 4 3 2 4 3 5 4 2 4 4 0 5 3 8 2 3 5 8
0 . 1 8 3 1 2 0 1 5 2 1 7 8 1 9 2 1 8 9 1 8 00 . 2 1 6 1 1 9 7 2 2 8 2 5 6 2 7 0 2 6 2 2 4 9
5 0 . 3 2 3 9 2 7 4 3 0 6 3 3 4 3 4 8 3 3 6 3 2 0 3 0 20 . 4 3 1 7 3 5 2 3 8 4 4 1 3 4 2 7 4 1 2 3 9 4 3 7 30 . 5 3 9 5 4 3 0 4 6 2 4 9 2 5 0 6 4 8 8 4 6 8 4 4 6 4 2 2
0 . 1 8 3 1 2 1 1 5 4 1 8 1 1 9 70 . 2 1 6 2 1 9 8 2 3 1 2 6 0 2 7 7
6 0 . 3 2 4 1 2 7 6 3 0 9 3 4 0 3 5 70 . 4 3 1 9 3 5 5 3 8 8 4 1 9 4 3 70 . 5 3 9 8 4 3 3 4 6 7 4 9 9 5 1 7
0 . 1 8 3 1 2 2 1 5 5 1 8 3 1 9 80 . 2 1 6 3 2 0 0 2 3 3 2 6 3 2 7 8
7 0 . 3 2 4 2 2 7 8 3 1 2 3 4 3 3 5 80 . 4 3 2 0 3 5 7 3 9 1 4 2 3 4 3 80 . 5 3 9 9 4 3 5 4 7 0 5 0 3 5 1 8
0 . 1 8 4 1 2 2 1 5 6 1 8 30 . 2 1 6 3 2 0 1 2 3 5 2 6 3
8 0 . 3 2 4 2 2 7 9 3 1 4 3 4 30 . 4 3 2 1 3 5 8 3 9 3 4 2 30 . 5 4 0 0 4 3 7 4 7 3 5 0 3
a=1000
h/r
D i a g r a m a m o m e n t o s - c u r v a t u r a sb
hA s / 2
d '
Tabla 4
Edgardo Lima PANDEO
46
N / b . h . f ' c f ' c = 0 . 8 5 f ' c k / c M / b . h 2 . f ' c f y d = f y k / s
A s / 2 f y d / b . h . f ' cd ' / h = 0 . 1
\ 0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 . 01 0 0 0
0 . 1 2 3 3 7 4 2 4 0 3 9 3 8 3 7 2 9 2 0 1 5 1 20 . 2 4 1 5 1 5 7 5 7 5 6 5 5 5 4 5 3 5 0 3 6 2 2
1 0 . 3 5 8 6 6 7 2 7 4 7 3 7 2 7 1 7 0 7 0 6 9 5 80 . 4 7 5 8 1 8 7 8 9 8 9 8 9 8 8 8 7 8 6 8 6 8 50 . 5 9 1 9 7 1 0 2 1 0 5 1 0 5 1 0 5 1 0 4 1 0 4 1 0 3 1 0 3 1 0 2
0 . 1 4 6 6 1 7 2 7 8 7 8 7 4 6 4 5 4 4 3 3 0 2 40 . 2 8 1 9 2 1 0 1 1 0 7 1 1 1 1 1 0 1 0 7 9 3 7 9 6 4 4 8
2 0 . 3 1 1 5 1 2 4 1 3 1 1 3 7 1 4 1 1 4 3 1 4 2 1 4 1 1 2 5 1 0 8 9 00 . 4 1 4 9 1 5 5 1 6 2 1 6 7 1 7 1 1 7 4 1 7 5 1 7 4 1 7 3 1 5 9 1 3 90 . 5 1 8 1 1 8 7 1 9 3 1 9 7 2 0 1 2 0 4 2 0 6 2 0 7 2 0 6 2 0 5 1 9 4
0 . 1 6 8 8 4 9 7 1 0 6 1 0 7 1 0 0 8 9 7 6 6 3 4 9 3 50 . 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 0 1 5 5 1 4 9 1 3 7 1 2 2 1 0 6 8 9 7 1
3 0 . 3 1 7 2 1 8 1 1 8 8 1 9 5 2 0 0 2 0 4 1 9 1 1 7 5 1 5 7 1 3 8 1 1 80 . 4 2 2 2 2 2 9 2 3 5 2 4 1 2 4 6 2 5 0 2 4 9 2 3 2 2 1 4 1 9 4 1 7 20 . 5 2 7 1 2 7 7 2 8 2 2 8 7 2 9 2 2 9 5 2 9 9 2 9 2 2 7 3 2 5 3 2 3 1
0 . 1 8 0 1 0 6 1 1 9 1 2 6 1 2 6 1 2 1 1 1 1 9 7 8 2 6 4 4 50 . 2 1 5 8 1 7 2 1 8 1 1 8 8 1 8 2 1 7 4 1 6 3 1 4 8 1 3 0 1 1 1 9 1
4 0 . 3 2 2 9 2 3 7 2 4 4 2 5 1 2 4 5 2 3 3 2 1 9 2 0 4 1 8 6 1 6 6 1 4 40 . 4 2 9 5 3 0 2 3 0 8 3 1 3 3 1 2 2 9 7 2 8 1 2 6 4 2 4 5 2 2 4 2 0 20 . 5 3 6 1 3 6 6 3 7 1 3 7 6 3 8 0 3 6 4 3 4 6 3 2 7 3 0 7 2 8 5 2 6 3
0 . 1 8 0 1 1 5 1 4 0 1 4 3 1 4 3 1 3 8 1 2 9 1 1 6 9 8 7 7 5 40 . 2 1 5 9 1 9 4 2 1 8 2 1 2 2 0 6 1 9 6 1 8 4 1 7 0 1 5 2 1 3 1 1 0 8
5 0 . 3 2 3 7 2 7 2 2 9 6 2 8 5 2 7 3 2 6 0 2 4 5 2 2 9 2 1 0 1 8 9 1 6 50 . 4 3 1 6 3 5 2 3 7 5 3 6 0 3 4 5 3 2 8 3 1 1 2 9 2 2 7 2 2 5 0 2 2 70 . 5 3 9 5 4 3 1 4 5 5 4 3 6 4 1 8 3 9 9 3 7 9 3 5 8 3 3 7 3 1 4 2 9 0
0 . 1 8 1 1 1 7 1 4 6 1 5 9 1 5 8 1 5 3 1 4 4 1 3 0 1 1 1 8 7 6 10 . 2 1 6 0 1 9 6 2 2 6 2 3 5 2 2 7 2 1 7 2 0 3 1 8 8 1 6 8 1 4 6 1 2 0
6 0 . 3 2 3 9 2 7 5 3 0 6 3 1 3 3 0 0 2 8 5 2 6 8 2 5 0 2 3 0 2 0 7 1 8 30 . 4 3 1 8 3 5 5 3 8 6 3 9 2 3 7 4 3 5 8 3 3 7 3 1 7 2 9 5 2 7 2 2 4 70 . 5 3 9 7 4 3 4 4 6 6 4 7 0 4 5 0 4 3 0 4 0 8 3 8 6 3 6 3 3 3 8 3 1 3
0 . 1 8 1 1 1 8 1 4 8 1 6 8 1 7 2 1 6 6 1 5 6 1 4 1 1 2 0 9 4 6 50 . 2 1 6 0 1 9 7 2 2 8 2 4 8 2 4 7 2 3 5 2 2 0 2 0 2 1 8 1 1 5 7 1 2 9
7 0 . 3 2 4 0 2 7 7 3 0 8 3 2 8 3 2 4 3 0 7 2 8 9 2 6 8 2 4 6 2 2 2 1 9 50 . 4 3 1 9 3 5 7 3 8 8 4 0 8 4 0 1 3 8 1 3 6 0 3 3 8 3 1 4 2 8 9 2 8 20 . 5 3 9 9 4 3 6 4 6 8 4 8 8 4 7 9 4 5 7 4 3 4 4 1 0 3 8 5 3 5 8 3 3 1
0 . 1 8 1 1 1 9 1 5 0 1 7 1 1 8 5 1 7 8 1 6 6 1 4 8 1 2 7 9 9 6 80 . 2 1 6 1 1 9 8 2 3 0 2 5 1 2 6 5 2 5 1 2 4 4 2 1 4 1 9 1 1 6 5 1 3 6
8 0 . 3 3 4 0 2 7 8 3 1 0 3 3 1 3 4 5 3 2 6 3 0 6 2 8 3 2 5 9 2 3 2 2 0 40 . 4 3 7 0 3 5 8 3 9 0 4 1 1 4 2 5 4 0 3 3 8 0 3 5 5 3 2 9 3 0 2 2 7 30 . 5 4 0 0 4 3 8 4 7 0 4 9 1 5 0 5 4 8 1 4 5 5 4 2 9 4 0 2 3 7 4 3 4 4
a=1000
h/r
D i a g r a m a m o m e n t o s - c u r v a t u r a s
b
hA s / 2
d '
Tabla 5
Edgardo Lima PANDEO
e) Eurocódigo 2 EC2 – Código Modelo CEB 90
En ambas normas se permite, para aquellos casos que no requieran gran exactitud, la utilización de una excentricidad complementaria y consecuentemente el dimensionamiento de las armaduras mediante la resolución de un problema de flexión compuesta.
La excentricidad total del esfuerzo normal será:
etot = e1 + ea + e2
e1: es la excentricidad de primer orden equivalente e1 = 0.6 eA + 0.4 eB 0.4 eA
eA : Excentricidad máxima (en valor absoluto) de primer orden tomada como positiva.eB : Excentricidad de primer (con el signo que le corresponda).
ea: es la excentricidad accidental dada por :
l : Longitud de la pieza (en metros).
e2 : Es la excentricidad ficticia de segundo orden o complementaria dada por:
eyd : Es la deformación specífica de fluencia del acero minorada (fyd/Es)d : Es la altura útil de la sección.l : es la longitud de la columna biarticulada equivalente.(se han sustituído algunos coeficiente por su valor más desfavorable).
9. EL PANDEO COMO PROBLEMA TRIDIMENSIONAL
En todos los casos hemos considerado el pandeo como un problema plano, la pieza tiene un plano de simetría y en él están contenidas la solicitación y la deformada. En las estructuras “reales” los elementos comprimidos presentarán, en general, asimetrías en su geometría y en sus solicitaciones que los alejan de la hipótesis de simetría. Esta situación muchas veces mal llamada “pandeo en dos direcciones” (el pandeo se producirá en una dirección lo que ocurre es que no sabemos cuál será) es de un enorme nivel de complejidad. Tiene mucha incidencia la rigidez y resistencia a la torsión de la pieza ya que de ellas depende la suceptibilidad de la misma a orientar su mínima inercia en coincidencia con la máxima excentricidad produciendo así los mayores efectos de segundo orden.
El problema no está resuelto para los elementos de hormigón armado ni existe software que lo tenga en consideración.
47
Edgardo Lima PANDEO
Muchas de las normas, procurando una solución práctica, permiten la verificación sucesiva y como problema plano en las dos direcciones principales para secciones rectangulares, armadura constante y siempre que se cumpla alguna de las dos condiciones siguientes:
1/5 (En algunos casos ¼) ex/b ey/h
5 (En algunos casos 4)
El cumplimiento de alguna de las condiciones significa que la excentricidad relativa en una dirección es mucho mayor que en la otra como puede apreciarse en el gráfico de la figura 37 en el que la zona rayada representa la posible ubicación del esfuerzo normal en esos casos.
También se indica en algunas normas aunque sin mayor fundamento que para el caso de excentricidades relativas no muy pequeñas (e/h > 0.2) puede realizarse la verificación en la misma forma que en el pandeo plano pero en flexión compuesta oblicua utilizando los momentos de segundo orden en las dos direcciones.
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Figura 37
h
b
h/5
b/5
ey
ex
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10. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
1) Calcular la armadura de la siguiente columna:
Datos:
N’g = 154 kN ; N’q = 195 kNL = 7.20 mh = 0.50 mb = 0.50 md1 = d2 = 0.05 mf’ck = 17 MPafyk = 420 MPa
a) Resolución por el Método del momento complementario (CEB-78):
Materiales:
Hormigón: f’cd = 17 MPa / 1.50 = 11.3 MPaf’*c = 0.85 x 17 MPa / 1.50 = 9.6 MPa
Acero: fyd = 420 MPa / 1.15 = 365.2 MPa
N’d = 1.35 x N’g + 1.50 x N’q = 1.35 x 154 kN + 1.50 x 195 kN = 500 kN
Esbeltez:
= lo / i donde:lo: longitud de pandeo = 7.20 mi: radio de giro = (Ic / Ac) = b / 12
= 7.20 m x 12 = 50 > 25 0.50m
por lo tanto se deben considerar los efectos del pandeo
Cálculo de la excentricidad total:
e total = eo + ea + e2 donde:eo: excentricidad de 1er. ordenea: excentricidad accidental
49
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e2: excentricidad de 2do. orden
eo: debido a que las excentricidades son diferentes en ambos extremos de la columna, a los efectos del pandeo se las reemplaza por una única excentricidad igual a:
eo = 0.60 x eo2 + 0.40 x eo1 0.40 x eo2 ; eo2 > eo1
eo = 0.60 x 0.80 + 0.40 x 0.70 = 0.76 m > 0.40 x 0.80 = 0.32 m
ea máx. (l / 300 ; h / 20 ; 20 mm) = máx. (7200/300 ; 500/20 ; 20mm)
ea = 500 mm / 20 = 25 mm = 0.025 m
e2 = lo^2 / 10 x (1/r)
donde la curvatura 1/r la podemos suponer como:
- Si 0.50 1/r = (0.0035 + fy/Es) / h- Si > 0.50 1/r = (0.0035 + fy/Es) / (2xxh)
en este caso:
= N’d / (b x h x f’cd) = 500 kN / (50 x 50 x 1.13 kN/cm2) = 0.18
por lo tanto:
1/r = (0.0035 + 420MPa / 210000MPa) / 0.50m = 0.011
e2 (7.20m)^2 / 10 x 0.011 1/m = 0.057 m
Por lo tanto se tiene:
e total = 0.76m + 0.025m + 0.057m = 0.842 m
Debemos dimensionar la armadura de la columna para las siguientes solicitaciones:
N’d = 500 kN
Md = e total x N’d = 0.842 m x 500 kN = 421 kNm
50
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Entrando al diagrama de interacción correspondiente a una armadura distribuida uniformemente en todo el perímetro de la columna, se tiene:
= N’d / (b x h x f’cd) = 500 kN / (50cm x 50cm x 1.13 kN/cm2) = 0.18
= Md / (b x h^2 x f’cd) = 421 kNm / (0.50m x (50)^2 x 1.13kN/cm2) = 0.30
= 0.75 As total = 0.75 x50cm x50cm x 1.13 kN/cm2 / 36.52 kN/cm2
As total = 58.00 cm2
Si utilizamos el diagrama de interacción correspondiente a una sección con armadura simétrica, se obtiene:
= 0.575 Astotal = 0.575x50cmx50cm x 1.13 kN/cm2 / 36.52 kN/cm2 As total = 44.50 cm2
El mismo procedimiento ,con ligeras diferencias en algunos coeficientes, presentan otros reglamentos para los cuales las excentricidades complementarias valen:
CEB-90:
e2 0.10 x 1 x l2 x 1.23 x 2 x yd / ds = 0.10 x (7.20m)2 x 1.23 x 2 x 0.0018 / 0.40 m =
e2 = 0.057 m
Fib – Practical Design:
e2 = l2 / 8 x 1 x 1 x 2 x yd / ds = (7.20m)2 / 8 x 2 x 0.0018 / 0.40 m = 0.058 m
EHE:
e2 = (1 + 0.12) x (y + ) x (h + 20 e1) / (h + 10 e1) x lo2 / (50 x h/12)
e2 = 1.12 x (0.0018 + 0.003) x 1.94 x (7.20m)2 / (50 x 0.50m/12) = 0.075 m
b) Resolución por el Método de la amplificación del momento (ACI-318):
Materiales:
Hormigón: f’c = 17 MPa 1
Acero: fy = 420 MPa
1 Tengamos presente los distintos criterios para definir la resistencia del hormigón que conduce a diferencias del orden de 1MPa
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Pu = 1.20 x D + 1.60 x L = 1.20 x 154 kN + 1.60 x 195 kN = 497 kN
M1 = Pu x eo1 = 497 kN x 0.70 m = 348 kNm
M2 = Pu x eo2 = 497 kN x 0.80 m = 398 kNm
Suponiendo que se trata de un pórtico con nudos indesplazables, veremos si tenemos que considerar los efectos de 2do. orden:
k x lu / r 34 – 12 x (M1 / M2)
donde:
k = 1 para pórticos indesplazables
lu: distancia libre entre nudos del pórtico = 7.20 m
r: radio de giro, puede suponerse = 0.30 x b = 0.30 x 0.50 m = 0.15 m
k x lu / r = 1 x 7.20 m / 0.15 m = 48 > 34 – 12 x (348 kNm / 398 kNm) = 23.5
por lo tanto debemos considerar los efectos de 2do. orden.
Cálculo del momento amplificado:
Mc = ns x M2
donde:
ns = Cm . 1 1 – Pu / (0.75 x Pc)
M2 = 497 kN x 0.80 m = 398 kNm M2mín. = Pu x (15 mm + 0.03 x h)
= 497kN x (0.015m + 0.03x0.5m) = 15 kNm
398 kNm > 15 kNm ; verifica.
Ahora calculamos los distintos términos del coeficiente ns;
Cm = 0.60 + 0.40 x M1 / M2 0.40 : coeficiente que tiene en cuenta los momentos flectores de 1er. orden en ambos extremos de la columna.
Cm = 0.60 + 0.40 x 348 kNm / 398 kNm = 0.95 > 0.40
Pc = 2 x E x I / L2 : carga crítica de Euler
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E x I se obtiene de la siguiente expresión:
E x I = 0.40 x Ec x Ig / (1 + d) Ec = 4700 x f’c MPa = 4700 x 11.3 = 15800 MPa
Ig = b x h^3 / 12 = (50 cm)^4 / 12 = 520833 cm4
d = 1.20D / (1.20D + 1.60L) = 0.37
E x I = 0.40 x 15800 kN/cm2 x 520833 cm4 / 1.37 = 24027 kNm2
Por lo tanto Pc queda:
Pc = 2 x E x I / L2 = 2 x 24027 kNm2 / (7.20m)^2 = 4574 kN
ns = 0.95 . = 1.11 > 1 1 – 497 kN / (0.75 x 4574 kN)
Mc = 1.11 x 398 kNm = 442 kNm
Debemos dimensionar la armadura de la columna para las siguientes solicitaciones:
Pu = 497 kN
Mc = 442 kNm
Entrando al diagrama de interacción (Esfuerzo nominal Carga-Momento) correspondiente a una armadura simétrica en cada cara, se tiene:
n = Pn / (b x h x f’c) = 497 kN / (50cm x 50cm x 1.7 kN/cm2) = 0.12
m = Mc / ( b x h^2 x f’c) = 442 kNm / (0.50m x (50cm)^2 x 1.7kN/cm2) = 0.21
= 0.0186 As total = 0.0186 x 50cm x 50cm = 46.6 cm2
Utilizando la misma proporción de armaduras obtenidas en el cálculo anterior (Método momento complementario – CEB78) podemos estimar una armadura uniformemente distribuida en el perímetro de la columna:
Atotal CEB (perímetral) / Atotal CEB (arm. simétrica) = 58 cm2 / 44.5 cm2 = 1.30
As total ACI = 46.6 cm2 x 1.30 = 60.6 cm2
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c) Resolución con el Reglamento CIRSOC 201:
Materiales:
Hormigón: ’bk = 17 MPa r = 0.85 x 17 MPa = 14.4 MPa
Acero: s = 420 MPa
N’s = 154 kN + 195 kN = 349 kN
N’d = 1.75 x (154 kN + 195 kN) = 610.8 kN
Esbeltez:
= lo / i donde:lo: longitud de pandeo = 7.20 mi: radio de giro = (Ic / Ac) = b / 12
= 7.20 m x 12 = 50 < 70 0.50m
Cálculo de la excentricidad:
e = eo + ea donde:eo: excentricidad de 1er. ordenea: excentricidad accidental
eo: debido a que las excentricidades son diferentes en ambos extremos de la columna, a los efectos del pandeo se las reemplaza por una única excentricidad igual a:
eo = 0.60 x eo2 + 0.40 x eo1 0.40 x eo2 ; eo2 > eo1
eo = 0.60 x 0.80 + 0.40 x 0.70 = 0.76 m > 0.40 x 0.80 = 0.32 m
ea máx. (l / 300 ; h / 20 ; 20 mm) = máx. (7200/300 ; 500/20 ; 20mm)
ea = 500/20 = 25 mm = 0.025 m
Por lo tanto:
e = 0.76 m + 0.025 m = 0.785 m
Puede prescindirse de la consideración del pandeo si < 70 y e/d > 3.50, en nuestro caso = 50 < 70 y e/d = 0.785 m / 0.50 m = 1.57 < 3.50, por lo tanto debemos considerar los efectos de 2do. orden.
Debemos calcular una excentricidad adicional f que se calcula de la siguiente manera:
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Para 0.30 e/d 2.50 f = d x ( - 20) / 160 0
f = 0.50 m x (50 – 20) / 160 = 0.094 m
por lo tanto la excentricidad total será:
e total = 0.785 m + 0.094 m = 0.879 m
Debemos dimensionar la armadura de la columna para las siguientes solicitaciones:
N’s = 349 kN
Ms = e total x N’s = 0.879 m x 349 kN = 307 kNm
Entrando al diagrama de interacción correspondiente a armadura simétrica , se tiene:
n = N’s / (b x h x R) = 349 kN / (50cm x 50cm x 1.44 kN/cm2) = 0.10
m = Ms / (b x h^2 x R) = 307 kNm / (0.50m x (50)^2 x 1.44kN/cm2) = 0.17
= 0.29 As1 = As2 = 0.29 x 50 x 50 x 1.44 / 42.0 = 24.8 cm2
As total = 2 x 24.8 cm2 = 49.6 cm2
Utilizando la misma proporción de armaduras obtenidas en el cálculo anterior podemos estimar una armadura uniformemente distribuida en el perímetro de la columna:
Atotal CEB (perímetral) / A total CEB (arm. simétrica) = 58 cm2 / 44.5 cm2 = 1.30
As total CIRSOC = 49.6 cm2 x 1.30 = 64.5 cm2
d) Resolución mediante programa de computación – Avwin98:
Se calcula la columna aislada con los siguientes datos:
N’d = 1.20 x 154 kN + 1.60 x 195 kN = 497 kN
eo1 = 0.70 m
eo2 = 0.80 m
E x I = 0.40 x Ec x Ig = 0.40 x 1580 kN/cm2 x 520833 cm4 / 1.37 = 24027 kNm2 (ver cálculo s/ ACI)
Si dejamos fija la sección transversal de la columna (50 x 50) para reproducir el producto E x I debemos utilizar un módulo de elasticidad ficticio que vale:
E = 240270000 kNcm2 / 520833 cm4 = 462 kN/cm2
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Resolviendo la columna en 2do. orden se obtiene las siguientes solicitaciones máximas:
N’d = 497 kN
Md = 419 kNm
e) Cuadro comparativo:
Para el caso particular del ejemplo resuelto se presenta el siguiente cuadro comparativo:
Como puede verse las solicitaciones obtenidas no presentan una gran diferencia (< 5%), en cambio las armaduras calculadas tienen una mayor dispersión pero que como máximo es del 10%, valor también aceptable.
f) Verificación mediante tabla Bulletin CEB – N° 123:
Utilizamos los resultados obtenidos en la resolución del ejemplo mediante el Método de momento complementario (CEB-78):
N’d = 1.35 x N’g + 1.50 x N’d = 1.35 x 154 kN + 1.50 x 195 kN = 500 kN
= N’d / (b x h x f’cd) = 500 kN / (50cm x 50cm x 0.96 kN/cm2) = 0.21
As total = 58 cm2 = As total / 2 x fs / (Ac x fc) = (58 cm2 / 2) x 36.52 kN/cm2 / (2500 cm2 x 0.96) = 0.44
56
Método N's MsAs As
(kN) (kNm) (cm2) (cm2)CEB-78 (M complemetario) 349 294 58.0 44.5
ACI-318 (M amplificado) 349 310 60.6 46.6
CIRSOC 201 349 307 64.5 49.6
Programa AVwin98 349 294 --- ---
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
45.00
50.00
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
1/r
M (t
m)
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Como puede verse en el gráfico la intersección de las curvas resistente y solicitante se da para un momento: M = 42.9 tm = 429 kNm.
Valor similar al obtenido en el cálculo por el Método de momento complementario:
M = 421 kNm.
2) Calcular la armadura de la siguiente columna:
Datos:
N’g = 855 kN ; N’q = 565 kNL = 7.20 mh = 0.50 mb = 0.50 md1 = d2 = 0.05 mf’ck = 17 MPafyk = 420 MPa
57
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a) Resolución por el Método del momento complementario (CEB-78):
Materiales:
Hormigón: f’cd = 17 MPa / 1.50 = 11.3 MPaf’*c = 0.85 x 17 MPa / 1.50 = 9.6 MPa
Acero: fyd = 420 MPa / 1.15 = 365.2 MPa
N’d = 1.35 x N’g + 1.50 x N’q = 1.35 x 855 kN + 1.50 x 565 kN = 2000 kN
Esbeltez:
= lo / i donde:lo: longitud de pandeo = 7.20 mi: radio de giro = (Ic / Ac) = b / 12
= 7.20 m x 12 = 50 > 25 0.50m
por lo tanto se deben considerar los efectos del pandeo
Cálculo de la excentricidad total:
e total = eo + ea + e2 donde:eo: excentricidad de 1er. ordenea: excentricidad accidentale2: excentricidad de 2do. orden
eo = 0.10 m
ea máx. (l / 300 ; h / 20 ; 20 mm) = máx. (7200/300 ; 500/20 ; 20mm)
ea = 500 mm / 20 = 25 mm = 0.025 m
e2 = lo^2 / 10 x (1/r)
donde la curvatura 1/r la podemos suponer como:
- Si 0.50 1/r = (0.0035 + fy/Es) / h- Si > 0.50 1/r = (0.0035 + fy/Es) / (2xxh)
en este caso:
= N’d / (b x h x f’cd) = 2000 kN / (50 x 50 x 1.13 kN/cm2) = 0.71 > 0.50
por lo tanto:
1/r = (0.0035 + 420MPa / 210000MPa) / (2x0.71x0.50m) = 0.0079
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e2 (7.20m)^2 / 10 x 0.0079 1/m = 0.04 m
Por lo tanto se tiene:
e total = 0.10m + 0.025m + 0.04m = 0.165 m
Debemos dimensionar la armadura de la columna para las siguientes solicitaciones:
N’d = 2000 kN
Md = e total x N’d = 0.165 m x 2000 kN = 330 kNm
Entrando al diagrama de interacción correspondiente a una armadura distribuida uniformemente en todo el perímetro de la columna, se tiene:
= N’d / (b x h x f’cd) = 2000 kN / (50cm x 50cm x 1.13 kN/cm2) = 0.71
= Md / (b x h^2 x f’cd) = 330 kNm / (0.50m x (50)^2 x 1.13kN/cm2) = 0.23
= 0.62 As total = 0.62 x50cm x50cm x 1.13 kN/cm2 / 36.52 kN/cm2
As total = 48.00 cm2
Si utilizamos el diagrama de interacción correspondiente a una sección con armadura simétrica, se obtiene:
= 0.50 Astotal = 0.50x50cmx50cm x 1.13 kN/cm2 / 36.52 kN/cm2 As total = 39.00 cm2
b) Resolución por el Método de la amplificación del momento (ACI-318):
Materiales:
Hormigón: f’c = 17 MPa
Acero: fyk = 420 MPa
Pu = 1.20 x D + 1.60 x L = 1.20 x 855 kN + 1.60 x 565 kN = 1930 kN
M1 = M2 = Pu x eo = 1930 kN x 0.10 m = 193 kNm
Suponiendo que se trata de un pórtico con nudos indesplazables, veremos si tenemos que considerar los efectos de 2do. orden:
k x lu / r 34 – 12 x (M1 / M2)
59
Edgardo Lima PANDEO
donde:
k = 1 para pórticos indesplazables
lu: distancia libre entre nudos del pórtico = 7.20 m
r: radio de giro, puede suponerse = 0.30 x b = 0.30 x 0.50 m = 0.15 m
k x lu / r = 1 x 7.20 m / 0.15 m = 48 > 34 – 12 x 1 = 22
por lo tanto debemos considerar los efectos de 2do. orden.
Cálculo del momento amplificado:
Mc = ns x M2
donde:
ns = Cm . 1 1 – Pu / (0.75 x Pc)
M2 = 1930 kN x 0.10 m = 193 kNm M2mín. = Pu x (15 mm + 0.03 x h)
= 1930kN x (0.015m + 0.03x0.5m) = 57.9 kNm
193 kNm > 57.9 kNm ; verifica.
Ahora calculamos los distintos términos del coeficiente ns;
Cm = 0.60 + 0.40 x M1 / M2 0.40 : coeficiente que tiene en cuenta los momentos flectores de 1er. orden en ambos extremos de la columna.
Cm = 0.60 + 0.40 x 1 = 1.00 > 0.40
Pc = 2 x E x I / L2 : carga crítica de Euler
E x I se obtiene de la siguiente expresión:
E x I = 0.40 x Ec x Ig / (1 + d) Ec = 4700 x f’c MPa = 4700 x 11.3 = 15800 MPa
Ig = b x h^3 / 12 = (50 cm)^4 / 12 = 520833 cm4
d = 1.20D / (1.20D + 1.60L) = 0.53
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E x I = 0.40 x 15800 kN/cm2 x 520833 cm4 / 1.53 = 21514 kNm2
Por lo tanto Pc nos queda:
Pc = 2 x E x I / L2 = 2 x 21514 kNm2 / (7.20m)^2 = 4096 kN
ns = 1.00 . = 2.69 > 1 1 – 1930 kN / (0.75 x 4096 kN)
Mc = 2.69 x 193 kNm = 518 kNm
Debemos dimensionar la armadura de la columna para las siguientes solicitaciones:
Pu = 1930 kN
Mc = 518 kNm
Entrando al diagrama de interacción (Esfuerzo nominal Carga-Momento) correspondiente a una armadura simétrica en cada cara, se tiene:
n = Pn / (b x h x f’c) = 1930 kN / (50cm x 50cm x 1.7 kN/cm2) = 0.45
m = Mc / (b x h^2 x f’c) = 505 kNm / (0.50m x (50cm)^2 x 1.7kN/cm2) = 0.24
= 0.036 As total = 0.036 x 50cm x 50cm = 89.8 cm2
Utilizando la misma proporción de armaduras obtenidas en el cálculo anterior (Método momento complementario – CEB78) podemos estimar una armadura uniformemente distribuida en el perímetro de la columna:
Atotal CEB (perímetral) / Atotal CEB (arm. simétrica) = 48 cm2 / 39 cm2 = 1.23
As total ACI = 89.8 cm2 x 1.23 = 110.4 cm2
c) Resolución con el Reglamento CIRSOC 201:
Materiales:
Hormigón: ’bk = 17 MPa r = 0.85 x 17 MPa = 14.4 MPa
Acero: s = 420 MPa
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N’s = 855 kN + 565 kN = 1420 kN
Esbeltez:
= lo / i donde:lo: longitud de pandeo = 7.20 mi: radio de giro = (Ic / Ac) = b / 12
= 7.20 m x 12 = 50 < 70 0.50m
Cálculo de la excentricidad:
e = eo + ea donde:eo: excentricidad de 1er. ordenea: excentricidad accidental
eo = 0.10 m
ea máx. (l / 300 ; h / 20 ; 20 mm) = máx. (7200/300 ; 500/20 ; 20mm)
ea = 500/20 = 25 mm = 0.025 m
Por lo tanto:
e = 0.10 m + 0.025 m = 0.125 m
Puede prescindirse de la consideración del pandeo si < 70 y e/d > 3.50, en nuestro caso = 50 < 70 y e/d = 0.125 m / 0.50 m = 0.25 < 3.50, por lo tanto debemos considerar los efectos de 2do. orden.
Debemos calcular una excentricidad adicional f que se calcula de la siguiente manera:
Para 0 e/d < 0.30 f = d x ( - 20) / 100 x (0.10 + e/d) 0
f = 0.50 m x (50 – 20) / 100 x (0.10 + 0.25) = 0.089 m
por lo tanto la excentricidad total será:
e total = 0.125 m + 0.089 m = 0.214 m
Debemos dimensionar la armadura de la columna para las siguientes solicitaciones:
N’s = 1420 kN
Ms = e total x N’s = 0.214 m x 1420 kN = 304 kNm
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Entrando al diagrama de interacción correspondiente a armadura simétrica , se tiene:
n = N’s / (b x h x R) = 1420 kN / (50cm x 50cm x 1.44 kN/cm2) = 0.39
m = Ms / (b x h^2 x R) = 304 kNm / (0.50m x (50)^2 x 1.44kN/cm2) = 0.17
= 0.38 As1 = As2 = 0.38 x 50 x 50 x 1.44 / 42.0 = 32.5 cm2
As total = 2 x 32.5 cm2 = 65.0 cm2
Utilizando la misma proporción de armaduras obtenidas en el cálculo anterior podemos estimar una armadura uniformemente distribuida en el perímetro de la columna:
Atotal CEB (perímetral) / A total CEB (arm. simétrica) = 58 cm2 / 44.5 cm2 = 1.30
As total CIRSOC = 49.6 cm2 x 1.30 = 64.5 cm2
d) Resolución mediante programa de computación – Avwin98:
Se calcula la columna aislada con los siguientes datos:
N’d = 1.20 x 855 kN + 1.60 x 565 kN = 1930 kN
eo1 = 0.10 m
eo2 = 0.10 m
E x I = 0.40 x Ec x Ig = 0.40 x 1580 kN/cm2 x 520833 cm4 / 1.53 = 21514 kNm2 (ver cálculo s/ ACI)
Si dejamos fija la sección transversal de la columna (50 x 50) para reproducir el producto E x I debemos utilizar un módulo de elasticidad ficticio que vale:
E = 215140000 kNcm2 / 520833 cm4 = 413 kN/cm2
Resolviendo la columna en 2do. orden se obtiene las siguientes solicitaciones máximas:
N’d = 1930 kN
Md = 406 kNm
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e) Cuadro comparativo:
Para el caso particular del ejemplo resuelto se presenta el siguiente cuadro comparativo:
Como puede verse las solicitaciones de 2do. orden obtenidas difieren, para este ejemplo, en un 38% mientras que las armaduras presentan una diferencia muy importante (más del 100%).
Esto indica una coincidencia relativamente aceptable en la valoración de los efectos de 2do. orden y en el dimensionamiento. La diferencia significativa en la cantidad total de armadura es debida a que ambas diferencias (solicitaciones y dimensionamiento) se producen en el mismo sentido.
g) Verificación mediante tabla Bulletin CEB – N° 123:
Utilizamos los resultados obtenidos en la resolución mediante el Método de momento complementario (CEB-78):
N’d = 1.35 x N’g + 1.50 x N’d = 1.35 x 855 kN + 1.50 x 565 kN = 2000 kN
= N’d / (b x h x f’cd) = 2000 kN / (50cm x 50cm x 0.96 kN/cm2) = 0.83
As total = 48 cm2 = As total / 2 x fs / (Ac x fc)
= (48 cm2 / 2) x 36.52 kN/cm2 / (2500 cm2 x 0.96) = 0.37
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Método N's MsAs As
(kN) (kNm) (cm2) (cm2)CEB-78 (M complemetario) 1420 234.3 48.0 39.0
ACI-318 (M amplificado) 1420 382.0 110.4 89.8
CIRSOC 201 1420 303.9 80.0 65.0
Programa AVwin98 1420 300.0 --- ---
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010
1/r
M (t
m)
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Como vemos en el gráfico se obtiene una curva resistente que queda por debajo de la solicitante, por lo tanto resulta insuficiente. Se debe calcular nuevamente para una cuantía de columna mayor (realizados los cálculos se comprueba que resulta un 10% mayor).
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3) Resolución de un pórtico con nudos desplazables:
Resolveremos el siguiente pórtico mediante el programa de computación Avwin98, con un análisis de 2do. orden (P-) y mediante un cálculo aproximado de una columna aislada para comparar los resultados.
a) Avwin98:
E = 4700 x f’c = 4700 x 11.3 MPa = 15800 MPa = 158000kg/cm2
Columnas: I = 0.70 x Ig = 0.70 x 30 x 30^3 / 12 = 47250 cm4 (36cm x 25cm)
Vigas: I = 0.35 x Ig = 0.35 x 20 x 40^3 / 12 = 37330 cm4 (32.4 cm x 24 cm)
Analizando la columna C1 indicada en el croquis se obtienen las siguientes solicitaciones:
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- 1er. orden:
momentos debidos a cargas verticales: M1ns = 1.50 tm M2ns = 1.86 tm
momentos debidos a cargas horizontales: M1s = 2.72 tm M2s = 1.65 tm
- 2er. orden (P-):
M1 = 5.70 tmM2 = 4.02 tm
b) Cálculo aproximado – columna aislada:
E = 4700 x f’c = 4700 x 11.3 MPa = 15800 MPa = 158000kg/cm2
Columnas: I = 0.70 x Ig = 0.70 x 30 x 30^3 / 12 = 47250 cm4
Vigas: I = 0.35 x Ig = 0.35 x 20 x 40^3 / 12 = 37330 cm4
Cálculo del factor de longitud efectiva (k):
Para pórticos desplazables el factor k puede determinarse mediante el nomograma de Jackson y Moreland o en función de:
m < 2 k = (20 - m) / 20 x (1 - m)
m 2 k = 0.90 x (1 + m)
donde m es el promedio de los valores de en los extremos de la columna.
m = (A + B) / 2
A = B = E x Ig / lcol. / E x I / lvig.
= 3 x (158000 kg/cm2 x 47250 cm4) / 300 cm . = 2.81 (158000 x 37330 cm4) / 5.00 m + (158000 x 37330 cm4) / 4.00
m = 2.81
k = 0.90 x (1 + 2.81) = 1.76
k x lu / r = 1.76 x 3.00 / (0.3 x 0.30) = 59 > 22 por lo tanto se debe considerar el pandeo
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Calculamos los momentos en los extremos de la columna analizada:
M1 = M1ns + s x M1s
M2 = M2ns + s x M2s
donde: M1ns: momento mayorado de un elemento comprimido en el cual actúa M1, debido a cargas que no causan un desplazamiento lateral apreciable, y calculadas mediante un análisis elástico de 1er. orden del pórtico.M2ns: momento mayorado de un elemento comprimido en el cual actúa M2, debido a cargas que no causan un desplazamiento lateral apreciable, y calculadas mediante un análisis elástico de 1er. orden del pórtico. M1s: momento mayorado de un elemento comprimido en el cual actúa M1, debido a cargas que causan un desplazamiento lateral apreciable, y calculadas mediante un análisis elástico de 1er. orden del pórtico.M2s: momento mayorado de un elemento comprimido en el cual actúa M2, debido a cargas que causan un desplazamiento lateral apreciable, y calculadas mediante un análisis elástico de 1er. orden del pórtico.
Por lo tanto calculando el pórtico en 1er. orden obtenemos los siguientes momentos:
M1ns = 1.50 tmM2ns = 1.86 tm
M1s = 2.72 tmM2s = 1.65 tm
s = 1 / (1 - Pu / (0.75 x Pc)) ; donde: Pu: de esfuerzos axiles de las columnas del piso
Pc: de las cargas críticas del piso piso
Pu = 20.95 t + 41.9 t + 18.1 t = 81 t (también obtenidas del cálculo en 1er. orden del pórtico)
Pc = 2 x E x I / (k x lu)^2 k = 1.76lu = 3.00 mE x I = 0.40 x E x Ig = 0.40 x 150000 kg/cm2 x 67500
= 4266000000 kgcm2
Pc = 2 x 4266000000 kgcm2 / (1.76 x 300)^2 = 151 t
s = 1 / (1 – 81 t / (0.75 x 3 x 151 t)) = 1.30
M1 = 1.50 tm + 1.30 x 2.72 tm = 5.00 tm
M2 = 1.86 tm + 1.30 x 1.65 tm = 4.00 tm
Valores que difieren como máximo en un 12% con los obtenidos del programa Avwin98.
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Edgardo Lima PANDEO
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