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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espaciosde Banach
Carlos Alberto Hernandez Linares
Universidad Veracruzana
ENJIM30 de Noviembre - 4 de Diciembre, 2015
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Punto Fijo
T : M → M
¿La ecuacionTx = x (1)
tiene alguna solucion?
Definicion
Un punto fijo de T : M → M es un punto x ∈ M que es solucionde la ecuacion (1)
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Punto Fijo
T : M → M
¿La ecuacionTx = x (1)
tiene alguna solucion?
Definicion
Un punto fijo de T : M → M es un punto x ∈ M que es solucionde la ecuacion (1)
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Punto Fijo
T : M → M
¿La ecuacionTx = x (1)
tiene alguna solucion?
Definicion
Un punto fijo de T : M → M es un punto x ∈ M que es solucionde la ecuacion (1)
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Hipotesis Comunes sobre M y T
M es un espacio topologico
M es un espacio metrico completo
M es compacto (en cierta topologıa)
M es un subconjunto convexo, cerrado y acotado de unespacio de Banach
T es continuo
T es una contraccion
T es no expansivo
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M es un espacio topologico
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M es compacto (en cierta topologıa)
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T es continuo
T es una contraccion
T es no expansivo
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T es una contraccion
T es no expansivo
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T es una contraccion
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Hipotesis Comunes sobre M y T
M es un espacio topologico
M es un espacio metrico completo
M es compacto (en cierta topologıa)
M es un subconjunto convexo, cerrado y acotado de unespacio de Banach
T es continuo
T es una contraccion
T es no expansivo
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Vertientes y teoremas
Principales Areas:
Teorıa de punto fijo topologico.
Teorıa metrica de punto fijo.
Teorıa discreta de punto fijo.
Teoremas representativos:
Teorema de Punto Fijo de Brouwer
Teorema de Punto Fijo de Banach
Teorema de Punto Fijo de Tarski
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Vertientes y teoremas
Principales Areas:
Teorıa de punto fijo topologico.
Teorıa metrica de punto fijo.
Teorıa discreta de punto fijo.
Teoremas representativos:
Teorema de Punto Fijo de Brouwer
Teorema de Punto Fijo de Banach
Teorema de Punto Fijo de Tarski
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Vertientes y teoremas
Principales Areas:
Teorıa de punto fijo topologico.
Teorıa metrica de punto fijo.
Teorıa discreta de punto fijo.
Teoremas representativos:
Teorema de Punto Fijo de Brouwer
Teorema de Punto Fijo de Banach
Teorema de Punto Fijo de Tarski
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Teoremas Clasicos
Teorema (Brouwer, 1910)
Sea Bn := {x ∈ Rn : ‖x‖2 ≤ 1} y T : Bn → Bn y una funcioncontinua. Entonces existe x ∈ Bn tal que Tx = x .
1886 - Poincare - ideas para la demostracion.1909 - Brouwer - prueba prueba para n = 3.1910 - Hadamard - primera demostracion para n arbitrario.1912 - Brouwer - demostracion distinta a la de Hadamard.
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Teoremas Clasicos
Teorema (Brouwer, 1910)
Sea Bn := {x ∈ Rn : ‖x‖2 ≤ 1} y T : Bn → Bn y una funcioncontinua. Entonces existe x ∈ Bn tal que Tx = x .
1886 - Poincare - ideas para la demostracion.
1909 - Brouwer - prueba prueba para n = 3.1910 - Hadamard - primera demostracion para n arbitrario.1912 - Brouwer - demostracion distinta a la de Hadamard.
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Teoremas Clasicos
Teorema (Brouwer, 1910)
Sea Bn := {x ∈ Rn : ‖x‖2 ≤ 1} y T : Bn → Bn y una funcioncontinua. Entonces existe x ∈ Bn tal que Tx = x .
1886 - Poincare - ideas para la demostracion.1909 - Brouwer - prueba prueba para n = 3.
1910 - Hadamard - primera demostracion para n arbitrario.1912 - Brouwer - demostracion distinta a la de Hadamard.
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Teoremas Clasicos
Teorema (Brouwer, 1910)
Sea Bn := {x ∈ Rn : ‖x‖2 ≤ 1} y T : Bn → Bn y una funcioncontinua. Entonces existe x ∈ Bn tal que Tx = x .
1886 - Poincare - ideas para la demostracion.1909 - Brouwer - prueba prueba para n = 3.1910 - Hadamard - primera demostracion para n arbitrario.
1912 - Brouwer - demostracion distinta a la de Hadamard.
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Teoremas Clasicos
Teorema (Brouwer, 1910)
Sea Bn := {x ∈ Rn : ‖x‖2 ≤ 1} y T : Bn → Bn y una funcioncontinua. Entonces existe x ∈ Bn tal que Tx = x .
1886 - Poincare - ideas para la demostracion.1909 - Brouwer - prueba prueba para n = 3.1910 - Hadamard - primera demostracion para n arbitrario.1912 - Brouwer - demostracion distinta a la de Hadamard.
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Teoremas Clasicos
Teorema (Principio de Contraccion de Banach, 1922)
Sea (M, d) un espacio metrico completo y T : M → M unacontraccion, i.e. existe K ∈ [0, 1) tal que
d(Tx ,Ty) ≤ Kd(x , y), ∀x , y ∈ M.
Entonces existe x ∈ M tal que Tx = x . (La ec. (1) tiene solucion)
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Propiedad del Punto Fijo
Sea M un subconjunto de un espacio normado (X , ‖ · ‖) yT : M → M. Si dice que T es no expansivo si
‖Tx − Ty‖ ≤ ‖x − y‖, ∀x , y ∈ M.
Las traslaciones no triviales no tienen puntos fijos.
Si X es un espacio de Banach, y C es un subconjunto convexocerrado y acotado de X . ¿Cuando ocurre que cualquier operadorno expansivo T : C → C tiene un punto fijo?
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Propiedad del Punto Fijo
Sea M un subconjunto de un espacio normado (X , ‖ · ‖) yT : M → M. Si dice que T es no expansivo si
‖Tx − Ty‖ ≤ ‖x − y‖, ∀x , y ∈ M.
Las traslaciones no triviales no tienen puntos fijos.
Si X es un espacio de Banach, y C es un subconjunto convexocerrado y acotado de X . ¿Cuando ocurre que cualquier operadorno expansivo T : C → C tiene un punto fijo?
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Propiedad del Punto Fijo
Sea M un subconjunto de un espacio normado (X , ‖ · ‖) yT : M → M. Si dice que T es no expansivo si
‖Tx − Ty‖ ≤ ‖x − y‖, ∀x , y ∈ M.
Las traslaciones no triviales no tienen puntos fijos.
Si X es un espacio de Banach, y C es un subconjunto convexocerrado y acotado de X . ¿Cuando ocurre que cualquier operadorno expansivo T : C → C tiene un punto fijo?
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Propiedad del Punto Fijo
Sea M un subconjunto de un espacio normado (X , ‖ · ‖) yT : M → M. Si dice que T es no expansivo si
‖Tx − Ty‖ ≤ ‖x − y‖, ∀x , y ∈ M.
Las traslaciones no triviales no tienen puntos fijos.
Si X es un espacio de Banach, y C es un subconjunto convexocerrado y acotado de X . ¿Cuando ocurre que cualquier operadorno expansivo T : C → C tiene un punto fijo?
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Propiedad del Punto Fijo
Definicion
Un espacio de Banach tiene la Propiedad del Punto Fijo (FPP). Sicada operador no expansivo T : C → C donde C es unsubconjunto convexo, cerrado y acotado de X tiene al menos unpunto fijo.
Problemas relacionados:
¿Cual es la estructura del conjunto de puntos fijos?
Encontrar aproximaciones de puntos fijos.
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Propiedad del Punto Fijo
Definicion
Un espacio de Banach tiene la Propiedad del Punto Fijo (FPP). Sicada operador no expansivo T : C → C donde C es unsubconjunto convexo, cerrado y acotado de X tiene al menos unpunto fijo.
Problemas relacionados:
¿Cual es la estructura del conjunto de puntos fijos?
Encontrar aproximaciones de puntos fijos.
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Propiedad del Punto Fijo
Definicion
Un espacio de Banach tiene la Propiedad del Punto Fijo (FPP). Sicada operador no expansivo T : C → C donde C es unsubconjunto convexo, cerrado y acotado de X tiene al menos unpunto fijo.
Problemas relacionados:
¿Cual es la estructura del conjunto de puntos fijos?
Encontrar aproximaciones de puntos fijos.
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Propiedad del Punto Fijo
Definicion
Un espacio de Banach tiene la Propiedad del Punto Fijo (FPP). Sicada operador no expansivo T : C → C donde C es unsubconjunto convexo, cerrado y acotado de X tiene al menos unpunto fijo.
Problemas relacionados:
¿Cual es la estructura del conjunto de puntos fijos?
Encontrar aproximaciones de puntos fijos.
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Propiedad del Punto Fijo
Cuando C es convexo, cerrado y acotado siempre existensucesiones {xn} en C tal que
lımn‖Txn − xn‖ = 0
tales sucesiones se conocen como sucesiones de puntos casi fijos.
ınfx∈M‖Tx − x‖ = 0.
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Propiedad del Punto Fijo
Cuando C es convexo, cerrado y acotado siempre existensucesiones {xn} en C tal que
lımn‖Txn − xn‖ = 0
tales sucesiones se conocen como sucesiones de puntos casi fijos.
ınfx∈M‖Tx − x‖ = 0.
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Teorema (Browder, 1965)
Sea C un subconjunto cerrado y acotado de un espacio de HilbertH. Entonces cualquier operadores no expansivo T : C → C tieneun punto fijo.
Teorema (Browder-Gohde,1965)
Sea C un subconjunto cerrado y acotado de un espacio de Banachuniformemente convexo. Entonces cualquier operadores noexpansivo T : C → C tiene un punto fijo. Mas aun el conjunto depuntos fijos de T es un subconjunto cerrado y convexo de C .
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Teoremas Clasicos
Definicion
Un espacio de Banach X es uniformemente convexo si para cadaε > 0 existe δ > 0 tal que
x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε→ ‖x + y‖ ≤ 2(1− δ)
Ejemplos de estos espacios son:
Los espacios de Hilbert.
(`p, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞(Lp, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞
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Teoremas Clasicos
Definicion
Un espacio de Banach X es uniformemente convexo si para cadaε > 0 existe δ > 0 tal que
x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε→ ‖x + y‖ ≤ 2(1− δ)
Ejemplos de estos espacios son:
Los espacios de Hilbert.
(`p, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞(Lp, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞
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Teoremas Clasicos
Definicion
Un espacio de Banach X es uniformemente convexo si para cadaε > 0 existe δ > 0 tal que
x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε→ ‖x + y‖ ≤ 2(1− δ)
Ejemplos de estos espacios son:
Los espacios de Hilbert.
(`p, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞
(Lp, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Definicion
Un espacio de Banach X es uniformemente convexo si para cadaε > 0 existe δ > 0 tal que
x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε→ ‖x + y‖ ≤ 2(1− δ)
Ejemplos de estos espacios son:
Los espacios de Hilbert.
(`p, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞(Lp, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Modulo de convexidad: δX : [0, 2]→ [0, 1]
δX (ε) := ınf
{1−
{x + y
2: x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε
∣∣∣∣ ‖} .
Caracterıstica de convexidad:
ε0(X ) := sup{ε ∈ [0, 2] : δX (ε) = 0}.
X es uniformemente convexo si y solo si ε0(X ) = 0
![Page 37: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/37.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Modulo de convexidad: δX : [0, 2]→ [0, 1]
δX (ε) := ınf
{1−
{x + y
2: x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε
∣∣∣∣ ‖} .
Caracterıstica de convexidad:
ε0(X ) := sup{ε ∈ [0, 2] : δX (ε) = 0}.
X es uniformemente convexo si y solo si ε0(X ) = 0
![Page 38: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/38.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Modulo de convexidad: δX : [0, 2]→ [0, 1]
δX (ε) := ınf
{1−
{x + y
2: x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε
∣∣∣∣ ‖} .
Caracterıstica de convexidad:
ε0(X ) := sup{ε ∈ [0, 2] : δX (ε) = 0}.
X es uniformemente convexo si y solo si ε0(X ) = 0
![Page 39: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/39.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Teorema (E. Mazcunan, 2003)
ε0(X ) < 2⇒ X tiene la FPP.
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Teorema (Kirk, 1965)
Sea C un subconjunto convexo y debil-compacto de un espacio deBanach X . Suponga que C tiene estructural normal, entoncescualquier operador no expansivo T : C → C tiene un punto fijo.
Definicion
Un subconjunto convexo y acotado C de un espacio de Banach Xtiene estructura normal si cualquier subconjunto convexo K de Ccon mas de un punto, contiene un punto no diametral, es decir,existe x0 ∈ K tal que
supx∈K‖x − x0‖ < diam(K ).
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Definicion
Un espacio de Banach tiene estructura normal si cada subconjuntoconvexo y acotado de X tiene estructura normal.
Ejemplos:
Espacios finito dimensionales.Espacios Uniformemente ConvexosSea Xn = `n2, tomese
X = {(xn) : xn ∈ Xn satisfaciendo∞∑i=1
‖xn‖22 < +∞}
dotado de la norma
‖(xn)‖ :=
√√√√ ∞∑i=1
‖xn‖22
![Page 42: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/42.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Definicion
Un espacio de Banach tiene estructura normal si cada subconjuntoconvexo y acotado de X tiene estructura normal.
Ejemplos:
Espacios finito dimensionales.Espacios Uniformemente ConvexosSea Xn = `n2, tomese
X = {(xn) : xn ∈ Xn satisfaciendo∞∑i=1
‖xn‖22 < +∞}
dotado de la norma
‖(xn)‖ :=
√√√√ ∞∑i=1
‖xn‖22
![Page 43: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/43.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Un espacio sin estructura normal.
Considere `2 con la norma
‖(xn)‖√2 := max{‖(xn)‖2,√
2‖(xn)‖∞}.
Llamaremos a este espacio X√2.
Karlovitz (1976) - X√2 tiene la FPP.
Baillon y Schoneberg (1981) - Xβ tiene la FPP para β ∈ (0, 2)
Lin (1985) - Xβ tiene la FPP para β > 0.
![Page 44: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/44.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Un espacio sin estructura normal.
Considere `2 con la norma
‖(xn)‖√2 := max{‖(xn)‖2,√
2‖(xn)‖∞}.
Llamaremos a este espacio X√2.
Karlovitz (1976) - X√2 tiene la FPP.
Baillon y Schoneberg (1981) - Xβ tiene la FPP para β ∈ (0, 2)
Lin (1985) - Xβ tiene la FPP para β > 0.
![Page 45: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/45.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Un espacio sin estructura normal.
Considere `2 con la norma
‖(xn)‖√2 := max{‖(xn)‖2,√
2‖(xn)‖∞}.
Llamaremos a este espacio X√2.
Karlovitz (1976) - X√2 tiene la FPP.
Baillon y Schoneberg (1981) - Xβ tiene la FPP para β ∈ (0, 2)
Lin (1985) - Xβ tiene la FPP para β > 0.
![Page 46: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/46.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Un espacio sin estructura normal.
Considere `2 con la norma
‖(xn)‖√2 := max{‖(xn)‖2,√
2‖(xn)‖∞}.
Llamaremos a este espacio X√2.
Karlovitz (1976) - X√2 tiene la FPP.
Baillon y Schoneberg (1981) - Xβ tiene la FPP para β ∈ (0, 2)
Lin (1985) - Xβ tiene la FPP para β > 0.
![Page 47: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/47.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Un espacio sin estructura normal.
Considere `2 con la norma
‖(xn)‖√2 := max{‖(xn)‖2,√
2‖(xn)‖∞}.
Llamaremos a este espacio X√2.
Karlovitz (1976) - X√2 tiene la FPP.
Baillon y Schoneberg (1981) - Xβ tiene la FPP para β ∈ (0, 2)
Lin (1985) - Xβ tiene la FPP para β > 0.
![Page 48: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/48.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Definicion
Un espacio de Banach X safisface la condicion de Opial si siempreque {xn} converge debilmente a x0 entonces
lım infn‖xn − x0‖ < lım inf
n‖xn − x‖, ∀x ∈ X \ {x0}.
Teorema
Si X es un espacio de Banach reflexivo con la condicion de Opial,entonces X tiene estructura normal.
![Page 49: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/49.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Definicion
Un espacio de Banach X safisface la condicion de Opial si siempreque {xn} converge debilmente a x0 entonces
lım infn‖xn − x0‖ < lım inf
n‖xn − x‖, ∀x ∈ X \ {x0}.
Teorema
Si X es un espacio de Banach reflexivo con la condicion de Opial,entonces X tiene estructura normal.
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Dado x ∈ C definimos
rx(C ) = sup{‖x − y‖ : y ∈ C}
yr(C ) = ınf{rx(C ) : x ∈ C}
Coeficiente de estructura normal:
N(X ) = ınf
{diam(C )
r(C )
}
N(X ) ≥ 1
1− δX (1)
![Page 51: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/51.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Dado x ∈ C definimos
rx(C ) = sup{‖x − y‖ : y ∈ C}
yr(C ) = ınf{rx(C ) : x ∈ C}
Coeficiente de estructura normal:
N(X ) = ınf
{diam(C )
r(C )
}
N(X ) ≥ 1
1− δX (1)
![Page 52: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/52.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Teoremas Clasicos
Dado x ∈ C definimos
rx(C ) = sup{‖x − y‖ : y ∈ C}
yr(C ) = ınf{rx(C ) : x ∈ C}
Coeficiente de estructura normal:
N(X ) = ınf
{diam(C )
r(C )
}
N(X ) ≥ 1
1− δX (1)
![Page 53: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/53.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Ejemplos sin FPP
Sea X = c0 el espacio de las sucesiones reales (o complejas) queconvergen a 0, con su norma usual,
‖(xn)‖ := supn|xn|.
Considere M = {x : ‖x‖ ≤ 1} y T : M → M dada por
T (x1, x2, . . . ) = (1, x1, x2, . . . ).
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Ejemplos sin FPP
Alspach - 1981
C :=
{f ∈ L1[0, 1] : 0 ≤ f ≤ 1,
∫ 1
0fdx =
1
2
}y
Tf (t) :=
{(2f (2t)) ∧ 1 para 0 ≤ t ≤ 1
2 ;(2f (2t − 1)− 1) ∨ 0 para 1
2 < t ≤ 1.
C es debil compacto y T : C → C no tiene puntos fijos.
Teorema (Maurey,1981)
Todo subespacio reflexivo de L1[0, 1] tiene la FPP.
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Ejemplos sin FPP
Alspach - 1981
C :=
{f ∈ L1[0, 1] : 0 ≤ f ≤ 1,
∫ 1
0fdx =
1
2
}y
Tf (t) :=
{(2f (2t)) ∧ 1 para 0 ≤ t ≤ 1
2 ;(2f (2t − 1)− 1) ∨ 0 para 1
2 < t ≤ 1.
C es debil compacto y T : C → C no tiene puntos fijos.
Teorema (Maurey,1981)
Todo subespacio reflexivo de L1[0, 1] tiene la FPP.
![Page 56: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/56.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Punto Fijo y Reflexividad
Uniformemente suave(⇒ Reflexividad)Uniformemente Convexo(⇒ Reflexividad)Estructura Normal + ReflexividadUniformemente Kadec Klee + ReflexividadCondicion de Opial + Reflexividad...etc + Reflexividad
⇒ FPP
FPP ⇔ Reflexividad?
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Espacios no reflexivos
P. N. Dowling, C. J. Lennard y B. Turett - 1997.
Considere `1 con la norma
‖∞∑n=1
anen‖ = supkγk
∥∥∥∥∥∞∑n=k
anen
∥∥∥∥∥1
,
donde {en}n es la base canonica de `1, (γk) es una sucesion nodecreciente (0, 1) y lımk γk = 1.
![Page 58: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/58.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Espacios no reflexivos
P. N. Dowling, C. J. Lennard y B. Turett - 1997.
Considere `1 con la norma
‖∞∑n=1
anen‖ = supkγk
∥∥∥∥∥∞∑n=k
anen
∥∥∥∥∥1
,
donde {en}n es la base canonica de `1, (γk) es una sucesion nodecreciente (0, 1) y lımk γk = 1.
![Page 59: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/59.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Espacios no reflexivos
Teorema (P.K. Lin, 2008)
Si γk = 8k
1+8k, el espacio de Banach (`1, ‖ · ‖) tiene la FPP.
Teorema
El renormamiento dado por Dowling, Lennard y Turett siempretiene la FPP.
![Page 60: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/60.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Espacios no reflexivos
Teorema (P.K. Lin, 2008)
Si γk = 8k
1+8k, el espacio de Banach (`1, ‖ · ‖) tiene la FPP.
Teorema
El renormamiento dado por Dowling, Lennard y Turett siempretiene la FPP.
![Page 61: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/61.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Problemas Abiertos
Problemas Abiertos
¿Todo espacio reflexivo tiene la FPP?
¿Todo renormamiento de un espacio de Hilbert tiene la FPP?
¿Se puede renormar c0 para que tenga la FPP?
¿Puede L1[0, 1] renormarse para tener la FPP?
¿Todo cociente de `1 puede renormarse para tener la FPP? Siesto fuera cierto, todo espacio de Banach separable podrıarenormarse para tener la FPP.
¿Si X es estrictamente convexo entonces tiene la FPP?
¿El analogo del Teorema de Maurey es cierto en espacios L1
no conmutativos?
![Page 62: Teoría de Punto Fijo y la Geometría de Espacios de Banach · cerrado y acotado de X. >Cu ando ocurre que cualquier operador no expansivo T : C !C tiene un punto jo? Teor a de Punto](https://reader030.fdocuments.ec/reader030/viewer/2022040202/5e7cee1a31babb05697154dd/html5/thumbnails/62.jpg)
Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Problemas Abiertos
Problemas Abiertos
¿Todo espacio reflexivo tiene la FPP?
¿Todo renormamiento de un espacio de Hilbert tiene la FPP?
¿Se puede renormar c0 para que tenga la FPP?
¿Puede L1[0, 1] renormarse para tener la FPP?
¿Todo cociente de `1 puede renormarse para tener la FPP? Siesto fuera cierto, todo espacio de Banach separable podrıarenormarse para tener la FPP.
¿Si X es estrictamente convexo entonces tiene la FPP?
¿El analogo del Teorema de Maurey es cierto en espacios L1
no conmutativos?
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Problemas Abiertos
Problemas Abiertos
¿Todo espacio reflexivo tiene la FPP?
¿Todo renormamiento de un espacio de Hilbert tiene la FPP?
¿Se puede renormar c0 para que tenga la FPP?
¿Puede L1[0, 1] renormarse para tener la FPP?
¿Todo cociente de `1 puede renormarse para tener la FPP? Siesto fuera cierto, todo espacio de Banach separable podrıarenormarse para tener la FPP.
¿Si X es estrictamente convexo entonces tiene la FPP?
¿El analogo del Teorema de Maurey es cierto en espacios L1
no conmutativos?
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Problemas Abiertos
Problemas Abiertos
¿Todo espacio reflexivo tiene la FPP?
¿Todo renormamiento de un espacio de Hilbert tiene la FPP?
¿Se puede renormar c0 para que tenga la FPP?
¿Puede L1[0, 1] renormarse para tener la FPP?
¿Todo cociente de `1 puede renormarse para tener la FPP? Siesto fuera cierto, todo espacio de Banach separable podrıarenormarse para tener la FPP.
¿Si X es estrictamente convexo entonces tiene la FPP?
¿El analogo del Teorema de Maurey es cierto en espacios L1
no conmutativos?
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
Problemas Abiertos
Problemas Abiertos
¿Todo espacio reflexivo tiene la FPP?
¿Todo renormamiento de un espacio de Hilbert tiene la FPP?
¿Se puede renormar c0 para que tenga la FPP?
¿Puede L1[0, 1] renormarse para tener la FPP?
¿Todo cociente de `1 puede renormarse para tener la FPP? Siesto fuera cierto, todo espacio de Banach separable podrıarenormarse para tener la FPP.
¿Si X es estrictamente convexo entonces tiene la FPP?
¿El analogo del Teorema de Maurey es cierto en espacios L1
no conmutativos?
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Problemas Abiertos
Problemas Abiertos
¿Todo espacio reflexivo tiene la FPP?
¿Todo renormamiento de un espacio de Hilbert tiene la FPP?
¿Se puede renormar c0 para que tenga la FPP?
¿Puede L1[0, 1] renormarse para tener la FPP?
¿Todo cociente de `1 puede renormarse para tener la FPP? Siesto fuera cierto, todo espacio de Banach separable podrıarenormarse para tener la FPP.
¿Si X es estrictamente convexo entonces tiene la FPP?
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Problemas Abiertos
Problemas Abiertos
¿Todo espacio reflexivo tiene la FPP?
¿Todo renormamiento de un espacio de Hilbert tiene la FPP?
¿Se puede renormar c0 para que tenga la FPP?
¿Puede L1[0, 1] renormarse para tener la FPP?
¿Todo cociente de `1 puede renormarse para tener la FPP? Siesto fuera cierto, todo espacio de Banach separable podrıarenormarse para tener la FPP.
¿Si X es estrictamente convexo entonces tiene la FPP?
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Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach
L1 no conmutativo
Dados h1, h2 ∈ H se definen seminormas sobre B(H)
ρh1,h2(x) = |〈xh1, h2〉| para todo x ∈ B(H)
La topologıa debil de operadores es la topologıa generada por estafamilia de operadores {ρh1,h2 : h1, h2 ∈ H}.
Definicion
Un algebra de von Neumann algebra es una subalgebra M de B(H)que es autoadjunta, contiene a 1 y es cerrada en la topologıa debilde operadores.
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L1 no conmutativo
Un operador autoadjunto x ∈ B(H) es positivo si
〈xh, h〉 ≥ 0 para todo h ∈ H.
Sea M+ el cono de todos los elementos positivos M. Parax , y ∈ M diremos que x ≤ y if and only if x − y ∈ M+.
Una traza en M es una funcion τ : M+ → [0,∞] que satisface:
1 τ(x + y) = τ(x) + τ(y), x , y ∈ M+.
2 τ(λx) = λτ(x); x ∈ M+, λ ∈ [0,+∞].
3 τ(xx∗) = τ(x∗x)
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L1 no conmutativo
Definicion
Una traza τ es:
Normal: Si xα ↑ x en M+ ⇒ τ(xα) ↑ τ(x).
Fiel: Si τ(x) = 0⇒ x = 0, para todo x ∈ M+.
Semifinita: Si dado x ∈ M+ \ {0} ⇒ existe y ∈ M+ \ {0} talque y ≤ x y τ(y) < +∞.
Finita: Si τ(1) < +∞.
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L1 no conmutativo
Sea M un algebra de von Neumann sobre H y τ una traza normal,fiel y finita sobre M.
Considere 1 ≤ p <∞. Para x ∈ M defina la funcion
‖x‖p = τ(|x |p)1p ,
que es una norma sobre M. La completacion de M con esta normaes denotada por Lp(τ). Estos espacios de Banach son los conocidocomo espacio Lp no conmutativos.