TEORÍA DE ESTRUCTURAS - ocw.ehu.eusA DE ESTRUCTURAS: Ingeniaritza Goi Eskola Teknikoa Escuela...

DEPARTAMENTO DE INGENIERIacuteA MECAacuteNICA - MEKANIKA INGENIERITZA SAILA

ESCUELA TEacuteCNICA SUPERIOR DE INGENIERIacuteA DE BILBAO

UNIVERSIDAD DEL PAIacuteS VASCO ndash EUSKAL HERRIKO UNIBERTSITATEA UPVEHU

Ingeniaritza Goi Eskola Teknikoa

Escuela Teacutecnica Superior de Ingenieriacutea

Bilbao

TEORIacuteA DE ESTRUCTURAS

TEMA 5 INTRODUCCIOacuteN A LOS MEacuteTODOS

MATRICIALES DE CAacuteLCULO DE ESTRUCTURAS




Bilbao

Tema 5 Meacutetodo matricial

1 Consideraciones generales

El anaacutelisis de cualquier estructura entendiendo como tal cualquier sistema resistente y deformable que

permite la transmisioacuten de esfuerzos producidos por un estado de carga tiene como objeto primario la

determinacioacuten de los esfuerzos y movimientos que aparecen en cualquier punto de la misma pues una

vez conocidos aplicando las leyes de la Resistencia de Materiales tambieacuten se conoceraacuten los estados

de tensioacuten y deformacioacuten

La determinacioacuten de una cualquiera de estas dos caracteriacutesticas de la respuesta estructural ndashbien

esfuerzos o bien movimientos- lleva al conocimiento de la otra puesto que ambas estaacuten ligadas por una

ley de comportamiento

En todos los meacutetodos de caacutelculo se sigue uno de los dos caminos Y asiacute recordemos que en el meacutetodo

de la flexibilidad se calculaban en primer lugar los esfuerzos en tanto que mediante el meacutetodo de la

rigidez se calculan en primer lugar los movimientos

En este capiacutetulo se haraacute una exposicioacuten de los fundamentos baacutesicos del meacutetodo matricial de la rigidez

Se explicaraacuten conceptos de rigidez de la estructura y de rigidez de los distintos elementos estructurales

que son las magnitudes baacutesicas en las que se fundamenta el meacutetodo y por lo tanto deben conocerse

antes de proceder al desarrollo del mismo

Como idea general de los meacutetodos matriciales cabe decir que son de una gran simplicidad y que no

han aportado ninguna idea nueva al anaacutelisis de estructuras Son una evolucioacuten de las ideas de autores

de finales del siglo XIX y primera mitad del XX (Maxwell Mohrhellip) Su eacutexito radica en la adaptacioacuten de

unas ideas establecidas al funcionamiento del computador




Bilbao



La aparicioacuten de los computadores digitales dio un gran empuje al empleo del meacutetodo de la rigidez ya

que su formulacioacuten matricial y su naturaleza sistemaacutetica lo hacen muy adecuado para su tratamiento

mediante un algoritmo de caacutelculo programado en un ordenador lo que se hace es trasladar a este

uacuteltimo la parte rutinaria y laboriosa del caacutelculo estructural De hecho una estructura medianamente

complicada no puede resolverse con sencillez si no es empleando el meacutetodo de la rigidez con

formulacioacuten matricial y tampoco el meacutetodo de la rigidez puede aplicarse con sencillez a casos reales

si no se programa en un computador

Aunque es mucho maacutes general el meacutetodo de la rigidez se aplica aquiacute al anaacutelisis de estructuras

reticulares discretas formadas por elementos que son piezas prismaacuteticas que pueden trabajar a

flexioacuten traccioacuten yo torsioacuten simultaacuteneamente Los fundamentos del meacutetodo que se van a exponer

pueden extenderse sin dificultad al estudio de estructuras formadas por elementos de tipologiacutea

diferente como son las estructuras laminares y en general las estructuras continuas

tridimensionales De hecho este proceso comenzoacute a realizarse a comienzos de la segunda deacutecada

del S XX materializaacutendose en el conocido meacutetodo de los elementos finitos del que puede afirmarse

que se ha convertido desde el uacuteltimo cuarto del siglo pasado en la maacutes poderosa herramienta de

caacutelculo de la matemaacutetica aplicada Concretamente el MEF surgioacute como una extensioacuten o desarrollo

natural de los meacutetodos matriciales para el caacutelculo de estructuras reticulares que se veniacutean utilizando

desde unos antildeos atraacutes

Por lo tanto los tipos de estructuras cuyo anaacutelisis se aborda en este trabajo por el meacutetodo de la

rigidez son celosiacuteas planas o espaciales poacuterticos planos o espaciales y emparrillados planos Las

vigas continuas pueden tratarse como un caso particular de los poacuterticos planos Se emplean las

suposiciones habituales de material elaacutestico-lineal y pequentildeas deformaciones




Bilbao


2 Discretizacioacuten elementos y nudos

Al utilizar el meacutetodo matricial de la rigidez para analizar una estructura eacutesta se considera como un

conjunto de elementos ensamblados que son capaces de reproducir el comportamiento global de dicha

estructura y cumplen las condiciones generales de equilibrio y compatibilidad que maacutes adelante se

analizaraacuten detalladamente

NUDOS Los puntos en los que los diversos elementos se conectan entre siacute o con los apoyos

La estructura estaacute formada por un conjunto de elementos y nudos que la reproducen fiacutesicamente

El concepto de nudo es artificial porque en general su

comportamiento no seraacute diferente al de cualquier otro

punto de la estructura

En alguna ocasioacuten se situaraacute un nudo en un punto

intermedio de una barra que de esta forma pasaraacute a

desdoblarse en dos elementos alineados

Con este planteamiento se pasa del concepto de solucioacuten continua de la estructura al de solucioacuten discreta

Solucioacuten continua

(movimientos y esfuerzos en todos los puntos)

Solucioacuten discreta

(movimientos y esfuerzos en los nudos)

Una vez conocida la solucioacuten discreta de la estructura utilizando las leyes de Resistencia de Materiales (o

de la Teoriacutea Elemental de Estructuras) es posible conocer los movimientos y los esfuerzos en cualquier

punto intermedio de un elemento por lo que de forma indirecta se dispone de un campo de solucioacuten

continuo

A

B

D

C

1

Nudos A B C D

Elementos 1 2 3

2

3




Bilbao


3 Grados de libertad

Grado de libertad de un punto posibilidad que tiene ese punto de desplazarse o bien las

cantidades que es preciso explicitar en un punto para que su posicioacuten quede definida respecto de una

posicioacuten anterior en un movimiento cualquiera seguacuten un cierto sistema de referencia

Grados de libertad de una estructura conjunto de desplazamientos (desplazamientos lineales yo

giros) consecuencia de las deformaciones de sus elementos que definen uniacutevocamente su

configuracioacuten deformada

3

6

1

2

4

5

7

8

9

10

11

12

= 1 2 3 4 hellip 12 vector de desplazamientos

traslaciones giros

i = desplazamiento seguacuten el grado de libertad i

En este caso el nuacutemero de grados de libertad es 12

EJEMPLO

1

2

4

5

7

8

9

10

11

12

3

6

13

15

14


traslaciones giros


ldquo Cargas en los nudosrdquo

F= F1 F2 F3 F4 hellipF12

Fi = Fuerza o momento seguacuten el grado de libertad i Otra manera




Bilbao


4 Concepto de rigidez de una estructura

Teoacutericamente se obtiene la ecuacioacuten fundamental del meacutetodo F=[K]

Donde

F = Vector de fuerzas exteriores que actuacutean sobre la estructura

= Vector de desplazamientos de los nudos de la estructura

[K] = Matriz de rigidez de la estructura

F nx1 = [K] nxn nx1 n nuacutemero de grado de libertad

Se representan las n ecuaciones de equilibrio de la estructura

Esta ecuacioacuten matricial representa las n ecuaciones lineales de equilibrio de la estructura en la

direccioacuten de sus n grados de libertad y es la ecuacioacuten fundamental del meacutetodo de la rigidez

Conociendo los valores de las fuerzas exteriores que actuacutean sobre el sistema se obtienen sus

desplazamientos por solucioacuten del sistema de ecuaciones anterior

Por ser las incoacutegnitas del problema este meacutetodo se enmarca en el grupo de los denominados

meacutetodos de los desplazamientos

Los elementos de la matriz de rigidez son los coeficientes de rigidez de la estructura




Bilbao



41 Significado fiacutesico de la matriz de rigidez

Se impone en la estructura el siguiente estado de deformacioacuten al

grado de libertad j se le impone una deformacioacuten de valor unidad

mientras que los restantes grados de libertad se mantienen fijos

= 0 0 0 hellip 1 hellip 0 0 0 0

j = grado de libertad en una direccioacuten

1

0

0

0

3

2

1

3333231

2232221

1131211

3

2

1

ij

j

j

j

ij

j

j

j

j K

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

F

F

F

F Fuerza necesaria en la direccioacuten 1

Fuerza necesaria en la direccioacuten 2


Fuerza necesaria en la direccioacuten i

Kij = Fuerza que hay que aplicar seguacuten el grado de libertad i al

introducir un desplazamiento unidad seguacuten el grado de libertad j

manteniendo fijos todos los demaacutes grados de libertad

Fuerzas que es preciso aplicar seguacuten los distintos grados de

libertad para que este estado de deformacioacuten sea posible

i = 1 (i=j) i = 0 (ij)




Bilbao



k34

k44

k54

k64

k74

k84

k94

k10 4

K11 4

K12 4

k14

k24

1

Ejemplo

3

4

5

6

7

8

9

1

0

11

12 1

2

Supongamos que en la estructura de la figura se da un

desplazamiento unitario en la direccioacuten del grado de libertad 4 y nulo

en los demaacutes

iquestQue fuerzas hay que aplicar para que la estructura se deforme de

tal manera

412

411

410

94

84

74

64

54

44

34

24

14

1212412112

411

410

94

84

7471

6461

5451

4441

34333231

24232221

1211817161514131211

3

3

3

3

3

3

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

KKK

K

K

K

K

KK

KK

KK

KK

KKKK

KKKK

KKKKKKKKK

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

Las fuerzas a aplicar son los coeficientes

de la 4ordm columna de la matriz de rigidez




Bilbao



42 Caacutelculo de la matriz de rigidez

La matriz de rigidez de una estructura o de un elemento estructural puede determinarse imponiendo

sucesivos valores unitarios a todos y cada uno de los grados de libertad de la estructura y calculando las

fuerzas que es necesario aplicar desde el exterior sobre cada uno de ellos para producir la deformacioacuten

deseada

Cada vez que se impone un desplazamiento unitario seguacuten un determinado grado de libertad j el caacutelculo

de los correspondientes coeficientes es en general un problema hiperestaacutetico en el que el dato conocido

es un desplazamiento impuesto de valor unidad y en el que deben calcularse las reacciones sobre todos

los grados de libertad

El caacutelculo la matriz de rigidez mediante este procedimiento y para toda la estructura resulta muy

complicado pues hay que calcular tantas veces la estructura como grados de libertad tenga y cada

caacutelculo es un problema hiperestaacutetico Este meacutetodo por lo tanto no puede aplicarse de forma directa a toda

la estructura

La solucioacuten para formar la matriz de forma simple consiste en calcularla independientemente para cada

elemento con objeto de obtener la expresioacuten de la matriz de rigidez del elemento aislado A

continuacioacuten se efectuacutea un proceso de unioacuten o ensamblaje de las matrices de los distintos

elementos a fin de obtener la matriz de rigidez de toda la estructura

XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

9

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12




Bilbao


5 Transformacioacuten de coordenadas

51 Coordenadas locales y generales

Sistema de coordenadas general (XG YG ZG)

Se expresaraacuten diferentes magnitudes de la estructura

- Posicioacuten de los nudos

- Forma de los elementos

- Direccioacuten de las cargas

- Desplazamientos

- hellip

Grados de libertad de los

nudos de una estructura plana Grados de libertad de los

nudos de un poacutertico espacial




Bilbao


Corresponde a cada elemento y el eje XL coincide con el eje de la pieza

Mediante este sistema se logra independencia respecto de la orientacioacuten del elemento

Es posible calcular la matriz de rigidez de cada tipo de elemento sin tener en cuenta su posicioacuten respecto

de la estructura XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Sistema de coordenadas local (XL YL ZL)

XL

XL

XL

Sistema de coordenadas nodal

xrsquo

yrsquo

A

B

El desplazamiento en

la direccioacuten yrsquo es nulo Necesario para expresar condiciones de contorno





Bilbao



La aplicacioacuten del meacutetodo de la rigidez requiere plantear el equilibrio de fuerzas y la compatibilidad de

desplazamientos en los nudos de la estructura Puesto que las matrices de rigidez de los elementos

estaacuten referidas al sistema local es preciso expresarlas en un sistema comuacuten que es el sistema global

de coordenadas Para ello seraacute preciso realizar la transformacioacuten de matrices de un sistema de

coordenadas a otro

Cambio de coordenadas de un vector en el plano


O

V

XG

YG

XL

YL

LL

T

L yxV GG

T

G yxV

Un vector cualquiera V tendraacute componentes distintas seguacuten a queacute sistema se refiera componentes

que se denominaraacuten como Sistema local Sistema global

Queremos hallar la matriz de transformacioacuten de coordenadas de un sistema a otro

G

G

L

L

Y

X

dc

ba

Y

X

Si tomamos como vector V el eje XG

c

a

dc

ba

0

1

sin

cos

Si tomamos como vector V el eje YG

d

b

dc

ba

1

0

cos

sin

1ordm columna

2ordm columna

Entonces

G

G

L

L

Y

X

Y

X

cossin

sincos

Matriz [T0] ORTONORMAL ([T0] -1=[T0]

T )




Bilbao



Si se tiene en cuenta el giro (z) en el plano

G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos

Entonces para transformar cualquier vector De globales a locales De locales a globales

L

T

G VTV 0 GL VTV 0

Cambio de coordenadas de una matriz

El objetivo es hallar una expresioacuten que relacione la matriz de rigidez en coordenadas locales con la misma

matriz en coordenadas generales

Desplazamientos Fuerzas

LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j

Transformacioacuten de los vectores de fuerza y desplazamiento de cada nudo de un elemento

ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas

Se introducen estas expresiones en las ecuaciones de equilibrio del elemento

Transformacioacuten de los vectores de fuerza y desplazamiento del elemento

0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao


6 Matrices de rigidez de elementos estructurales

Tal y como se indicoacute al introducir el meacutetodo de la rigidez el construir la matriz de rigidez para la totalidad

de la estructura de forma directa no es sencillo Por ello se realiza el anaacutelisis elemento a elemento

construyendo la matriz de rigidez de cada uno de ellos en su sistema de ejes local para luego proyectarla

sobre el sistema de ejes global

61 Barra articulada plana

XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao



Caacutelculo de los coeficientes de la matriz

YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L

En pequentildeas deformaciones el nudo i se puede

mover respecto al nudo j y no se generan esfuerzos

0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao



Ecuacioacuten de equilibrio del elemento

0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao



62 Viga flexioacuten en el plano

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy jP P P M P P M P P M P P M

666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42

Los esfuerzos axiales son nulos

para ese desplazamiento

Por lo tanto

K12=K42=0

Para calcular los demaacutes esfuerzos utilizamos

el meacutetodo de la deformacioacuten angular

YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1

Anaacutelogamente suponiendo 4=1 5=1 y 6=1 se obtienen la 4ordm 5ordm y 6ordm columnas de la matriz




Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP

Esta ecuacioacuten de equilibrio se puede poner

separada para las magnitudes de cada nudo

j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao



63 Muelles de esfuerzo axial

Los muelles de esfuerzo axial se comportan exactamente igual que los elementos de celosiacutea

biarticulados soacutelo pueden absorber fuerza axial y soacutelo la deformacioacuten axial es significativa El

comportamiento del muelle viene caracterizado por su rigidez K que corresponde al factor EAL de

las barras biarticuladas

jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao


7 Necesidad de la matriz de rigidez global

1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)

Ventaja de la discretizacioacuten a) las matrices de rigidez de los tres elementos son iguales

Mediante un proceso de discretizacioacuten la estructura ha quedado compuesta por una serie de

elementos cuya idea es absolutamente artificial pues una misma estructura podriacuteamos

visualizarla como formada por diferentes conjuntos de elementos

De cualquier forma la estructura discretizada en la forma (a) queda definida cuando se especifican

Las caracteriacutesticas de los materiales (moacutedulos de elasticidad Poisson etc)

Las secciones de las barras (aacutereas momentos de inercia)

Las coordenadas de los nudos

Las condiciones de apoyo

[ KL ]

conocido




Bilbao


Pe = [K]Le e A nivel elemental tenemos la siguiente ecuacioacuten

Pe = Pe EXTERNO + Pe

INTERNO

Fuerzas externas aplicadas directamente en el nudo (CONOCIDO)

Fuerzas transmitidas por los

demaacutes elementos al nudo

(DESCONOCIDO) NO ES POSIBLE RESOLVER EL

SISTEMA ELEMENTO A ELEMENTO


Considerando la estructura en su conjunto

Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc

- Se pasa la matriz de cada

elemento a coordenadas globales

- Se suman (ensamblan) las

matrices de todos los elementos

de la estructura

Las fuerzas internas se anulan entre

siacute al sumar las fuerzas de todos los

elementos de la estructura

Pe = P e EXTERNO

Fuerzas externas aplicadas

directamente en el nudo y

reacciones en los apoyos

CONOCIDO

Matriz de rigidez global de la estructura

(CONOCIDO)

Desplazamientos de los nudos (DESCONOCIDO)

ES POSIBLE RESOLVER EL SISTEMA GLOBALMENTE

matriz de rigidez del elemento en

coordenadas locales (CONOCIDO)

desplazamientos del elemento (DESCONOCIDO) fuerzas del elemento

(DESCONOCIDO)




Bilbao


8 Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura

1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde

Vector de desplazamientos del nudo i de la estructura

Vector de fuerzas del nudo i de la estructura

P

TEORIacuteA DE ESTRUCTURAS Tema 5 Meacutetodo matricial

2 Condiciones de compatibilidad de deformaciones

3 Ecuaciones de equilibrio de nudos

Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento

i = primer nudo de la barra

j =segundo nudo de la barra

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1

A continuacioacuten se explica con mayor

detalle la ecuacioacuten de equilibrio del nudo 2



Bilbao 8 Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura


Nudo 2

Fuerzas del nudo j de la barra 1

Fuerzas del nudo i de la barra 2

Fj1

Fuerzas externas

aplicadas en el nudo 2

1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2





4 Introduciendo las condiciones de compatibilidad en la ecuaciones de equilibrio

1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=





81 Caracteriacutesticas de la matriz de rigidez

Cuadrada [K]nxn n=grados de libertad

Simeacutetrica [K] = [K]T

Dispersa Tiene muchos teacuterminos nulos

Esto se debe a que cada elemento solamente aporta rigidez a los grados de libertad de aquellos

nudos a los que se une por lo tanto si un nudo p no estaacute relacionado directamente con otro nudo q

en los teacuterminos de acople entre sus grados libertad no se antildeade ninguna rigidez

Estructura de banda Teacuterminos no nulos alrededor de la diagonal

Si la numeracioacuten de los nudos es adecuada los teacuterminos no nulos de la matriz se agrupan alrededor

de la diagonal

Existen algoritmos que son capaces de renumerar la numeracioacuten inicial y obtener otra que genere un

ancho de banda menor Si no se dispone de un algoritmo de renumeracioacuten es conveniente numerar

los nudos de tal forma que cualquier barra conecte a dos nudos cuya numeracioacuten sea lo maacutes

proacutexima posible

Definida positiva La energiacutea de deformacioacuten elaacutestica y el trabajo realizado por las fuerzas externas

es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao


9 Condiciones de ligadura

F = [K] Sistema de ecuaciones que se ha obtenido

Fuerzas externas +

Reacciones en los apoyos Matriz de rigidez de la matriz

obtenida mediante el ensamblaje

Vector de grados de

libertad de los nudos

Mediante la resolucioacuten del sistema hallamos y luego las deformaciones y tensiones

bull [K] es singular |K|=0

No es posible obtener su inversa y por tanto no es posible resolver el sistema tal y como se

plantea

Aacutelgebra demuestra que para que un sistema de n ecuaciones lineales con n incoacutegnitas tenga

solucioacuten uacutenica es necesario y suficiente que las n ecuaciones sean linealmente independientes

bull En este caso las fuerzas Fi deben satisfacer las condiciones de equilibrio estaacutetico En 2D 3

ecuaciones Por lo que las ecuaciones planteadas no son linealmente independientes

bull El significado fiacutesico de este hecho es muy claro se ha establecido el sistema de ecuaciones sin

tener en cuenta para nada las condiciones de ligadura de la estructura condiciones que impiden

los posibles movimientos de soacutelido riacutegido del sistema completo

bull La resolucioacuten del sistema de ecuaciones exige la previa introduccioacuten de las condiciones de

ligadura o condiciones de contorno cuyo nuacutemero miacutenimo ha de ser tal que se elimine toda

posibilidad de movimiento de la estructura como un soacutelido riacutegido (2D=3)


91 Ligaduras de desplazamiento nulo



Bilbao 9 Condiciones de ligadura

A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones

2 Ecuacioacuten de equilibrio (con la reordenacioacuten de la matriz de rigidez)

F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0

3 Obtencioacuten de los desplazamientos libres

4 Obtencioacuten de las reacciones en los apoyos

Grados de libertad libres y desconocidos

Grados de libertad fijos y conocidos

Fuerzas aplicadas en los grados de libertad libres y conocidas

Fuerzas en los grados de libertad fijos REACCIONES

En general no nulas y desconocidas

conocido desconocido

[KLL] -1





Ejemplo Una estructura de 6 grados de libertad en la que 2=5=0 son conocidos y las fuerzas

correspondientes F2 y F5 desconocidas

Reordenamiento de

la matriz de rigidez

1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK





92 Ligaduras de desplazamiento conocido

1 Definiciones

3 Eliminacioacuten de las ecuaciones correspondientes a los grados de libertad fijos








Forma praacutectica de introducir las condiciones de ligadura

Ejemplo Un sistema de 3 grados de libertad en el que 3 3C

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K

Ecuaciones de equilibrio 123ij j i

j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K

Procedimiento a) Multiplicar por un nuacutemero muy grande M=1010 (rigidez ficticia) el

teacutermino de la diagonal correspondiente al 3ordm grado de libertad (k33)

b) Sustituir F3 por K33Δ3CmiddotM

c) Se resuelve el sistema de ecuaciones resultando que 3~ c3





93 Apoyos elaacutesticos

Otra forma de apoyo de una estructura consiste en que un determinado punto no tiene sus

desplazamientos impuestos como en los casos anteriores ni tampoco es totalmente libre de moverse

sino que estaacute unido a la sustentacioacuten a traveacutes de uno o maacutes muelles de constantes conocidas

En realidad estos apoyos no deben considerase condiciones de ligadura de la estructura en sentido

estricto pues los muelles del apoyo son unos elementos estructurales maacutes y como tales deben

analizarse

Por lo tanto los pasos para tratar un apoyo elaacutestico son

- Identificar los grados de libertad del nudo donde estaacute el apoyo elaacutestico

- Calcular la matriz de rigidez del muelle de apoyo

- Ensamblar dicha matriz en la matriz de la estructura

Este tipo de apoyos no debe confundirse con las condiciones de contorno de desplazamiento

impuesto En estas uacuteltimas los desplazamientos del nudo son de magnitud conocida y no estaacuten

controlados por las cargas actuantes sobre la estructura mientras que en los apoyos elaacutesticos la

deformacioacuten del apoyo estaacute controlada por las fuerzas actuantes y por la rigidez de la estructura entre

la que se incluye la del propio apoyo elaacutestico como una rigidez maacutes




Bilbao 10 Vector de cargas

101 Fuerzas exteriores sobre los nudos

Las fuerzas exteriores aplicadas sobre los nudos pasan directamente al vector de fuerzas nodales F

Cada fuerza aplicada en un nudo se antildeade directamente al teacutermino Fi correspondiente al grado de libertad

∆i sobre el que actuacutea P

PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0

Estas fuerzas que no estaacuten aplicadas en los nudos se

sustituiraacuten por unas ldquofuerzas nodales equivalentesrdquo

Fase 0 Fase 1

Se empotran los nudos de la

estructura

Soacutelo trabaja la viga horizontal

= 0

Se calculan las fuerzas de

empotramiento perfecto F0

0

102 Fuerzas exteriores sobre los elementos

En la fase 1 a las fuerzas exteriores aplicadas directamente en los

nudos se le restan las fuerzas de empotramiento perfecto de la fase 0

F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+

F0 Fuerzas de empotramiento

perfecto para cada fuerza

0=0

Fuerzas exteriores FN y

Fuerzas nodales equivalentes -F0

10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG





103 Cargas teacutermicas

Es preciso calcular la fuerzas nodales equivalentes debidas a la variacioacuten de temperatura

PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te

Matriz de rigidez del elemento en el sistema local

Deformaciones en el elemento en el caso de dilatacioacuten libre

Este vector se ensambla con el signo cambiado con las demaacutes fuerzas nodales equivalentes FN

Su tratamiento es como el de las fuerzas de la fase 0

FN ndash F0 = [K]

Debido a fuerzas aplicadas en medio de la barra

o por variacioacuten de temperatura de la barra

Fuerzas de la fase 0





EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te

Dilatacioacuten libre Te = TL

Cualquier otra distribucioacuten del

alargamiento seriacutea vaacutelida

0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T





104 Errores en la forma de los elementos

L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a

Fuerzas aplicadas en medio de la barra

Variacioacuten de temperatura de la barra

Error de longitud de la barra

En resumen

Supongamos un elemento estructural cuya forma o tamantildeo natural no coincide con la forma o

tamantildeo del espacio en el que se va a montar en la estructura Si este elemento se monta en su

lugar previsto forzaacutendolo a adaptarse al espacio de montaje se producen esfuerzos y

deformaciones en la estructura ya que el elemento trata de volver a su situacioacuten natural

arrastrando a la estructura

Al estar los errores de forma localizados en los elementos de la

estructura su efecto se trata igual que todas las demaacutes acciones

actuantes sobre ellos se deben determinar las fuerzas de la fase

de empotramiento perfecto producidas por los errores de forma

YG




Bilbao 11 Esfuerzos en los elementos

ee

L

oee KPP

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones en coordenadas globales se obtienen los desplazamientos de

cada nudo y las reacciones en los apoyos Entonces es posible obtener los esfuerzos en cada elemento

en el sistema de coordenadas locales ya que se conocen los desplazamientos de sus nudos su matriz

de rigidez y en caso de existir sus fuerzas de la fase 0

Esfuerzos en el elemento

Fuerzas fase 0

Debido a




Matriz de rigidez del elemento

Desplazamientos de los

nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao



El anaacutelisis de cualquier estructura entendiendo como tal cualquier sistema resistente y deformable que

permite la transmisioacuten de esfuerzos producidos por un estado de carga tiene como objeto primario la

determinacioacuten de los esfuerzos y movimientos que aparecen en cualquier punto de la misma pues una

vez conocidos aplicando las leyes de la Resistencia de Materiales tambieacuten se conoceraacuten los estados

de tensioacuten y deformacioacuten

La determinacioacuten de una cualquiera de estas dos caracteriacutesticas de la respuesta estructural ndashbien

esfuerzos o bien movimientos- lleva al conocimiento de la otra puesto que ambas estaacuten ligadas por una

ley de comportamiento

En todos los meacutetodos de caacutelculo se sigue uno de los dos caminos Y asiacute recordemos que en el meacutetodo

de la flexibilidad se calculaban en primer lugar los esfuerzos en tanto que mediante el meacutetodo de la

rigidez se calculan en primer lugar los movimientos

En este capiacutetulo se haraacute una exposicioacuten de los fundamentos baacutesicos del meacutetodo matricial de la rigidez

Se explicaraacuten conceptos de rigidez de la estructura y de rigidez de los distintos elementos estructurales

que son las magnitudes baacutesicas en las que se fundamenta el meacutetodo y por lo tanto deben conocerse

antes de proceder al desarrollo del mismo

Como idea general de los meacutetodos matriciales cabe decir que son de una gran simplicidad y que no

han aportado ninguna idea nueva al anaacutelisis de estructuras Son una evolucioacuten de las ideas de autores

de finales del siglo XIX y primera mitad del XX (Maxwell Mohrhellip) Su eacutexito radica en la adaptacioacuten de

unas ideas establecidas al funcionamiento del computador




Bilbao




























Bilbao























continuo

A

B

D

C

1

Nudos A B C D

Elementos 1 2 3

2

3




Bilbao









3

6

1

2

4

5

7

8

9

10

11

12


traslaciones giros



EJEMPLO

1

2

4

5

7

8

9

10

11

12

3

6

13

15

14


traslaciones giros








Bilbao




Donde
















Bilbao







= 0 0 0 hellip 1 hellip 0 0 0 0


1

0

0

0

3

2

1

3333231

2232221

1131211

3

2

1

ij

j

j

j

ij

j

j

j

j K

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

F

F

F










i = 1 (i=j) i = 0 (ij)




Bilbao



k34

k44

k54

k64

k74

k84

k94

k10 4

K11 4

K12 4

k14

k24

1

Ejemplo

3

4

5

6

7

8

9

1

0

11

12 1

2



en los demaacutes


tal manera

412

411

410

94

84

74

64

54

44

34

24

14

1212412112

411

410

94

84

7471

6461

5451

4441

34333231

24232221

1211817161514131211

3

3

3

3

3

3

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

KKK

K

K

K

K

KK

KK

KK

KK

KKKK

KKKK

KKKKKKKKK

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F






Bilbao







deseada








la estructura





XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

9

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12




Bilbao









- Desplazamientos

- hellip







Bilbao





de la estructura XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


XL

XL

XL


xrsquo

yrsquo

A

B







Bilbao







coordenadas a otro



O

V

XG

YG

XL

YL

LL

T

L yxV GG

T

G yxV




G

G

L

L

Y

X

dc

ba

Y

X


c

a

dc

ba

0

1

sin

cos


d

b

dc

ba

1

0

cos

sin

1ordm columna

2ordm columna

Entonces

G

G

L

L

Y

X

Y

X

cossin

sincos


T )




Bilbao




G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos


L

T

G VTV 0 GL VTV 0





LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j


ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao




























Bilbao























continuo

A

B

D

C

1

Nudos A B C D

Elementos 1 2 3

2

3




Bilbao









3

6

1

2

4

5

7

8

9

10

11

12


traslaciones giros



EJEMPLO

1

2

4

5

7

8

9

10

11

12

3

6

13

15

14


traslaciones giros








Bilbao




Donde
















Bilbao







= 0 0 0 hellip 1 hellip 0 0 0 0


1

0

0

0

3

2

1

3333231

2232221

1131211

3

2

1

ij

j

j

j

ij

j

j

j

j K

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

F

F

F










i = 1 (i=j) i = 0 (ij)




Bilbao



k34

k44

k54

k64

k74

k84

k94

k10 4

K11 4

K12 4

k14

k24

1

Ejemplo

3

4

5

6

7

8

9

1

0

11

12 1

2



en los demaacutes


tal manera

412

411

410

94

84

74

64

54

44

34

24

14

1212412112

411

410

94

84

7471

6461

5451

4441

34333231

24232221

1211817161514131211

3

3

3

3

3

3

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

KKK

K

K

K

K

KK

KK

KK

KK

KKKK

KKKK

KKKKKKKKK

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F






Bilbao







deseada








la estructura





XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

9

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12




Bilbao









- Desplazamientos

- hellip







Bilbao





de la estructura XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


XL

XL

XL


xrsquo

yrsquo

A

B







Bilbao







coordenadas a otro



O

V

XG

YG

XL

YL

LL

T

L yxV GG

T

G yxV




G

G

L

L

Y

X

dc

ba

Y

X


c

a

dc

ba

0

1

sin

cos


d

b

dc

ba

1

0

cos

sin

1ordm columna

2ordm columna

Entonces

G

G

L

L

Y

X

Y

X

cossin

sincos


T )




Bilbao




G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos


L

T

G VTV 0 GL VTV 0





LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j


ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao























continuo

A

B

D

C

1

Nudos A B C D

Elementos 1 2 3

2

3




Bilbao









3

6

1

2

4

5

7

8

9

10

11

12


traslaciones giros



EJEMPLO

1

2

4

5

7

8

9

10

11

12

3

6

13

15

14


traslaciones giros








Bilbao




Donde
















Bilbao







= 0 0 0 hellip 1 hellip 0 0 0 0


1

0

0

0

3

2

1

3333231

2232221

1131211

3

2

1

ij

j

j

j

ij

j

j

j

j K

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

F

F

F










i = 1 (i=j) i = 0 (ij)




Bilbao



k34

k44

k54

k64

k74

k84

k94

k10 4

K11 4

K12 4

k14

k24

1

Ejemplo

3

4

5

6

7

8

9

1

0

11

12 1

2



en los demaacutes


tal manera

412

411

410

94

84

74

64

54

44

34

24

14

1212412112

411

410

94

84

7471

6461

5451

4441

34333231

24232221

1211817161514131211

3

3

3

3

3

3

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

KKK

K

K

K

K

KK

KK

KK

KK

KKKK

KKKK

KKKKKKKKK

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F






Bilbao







deseada








la estructura





XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

9

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12




Bilbao









- Desplazamientos

- hellip







Bilbao





de la estructura XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


XL

XL

XL


xrsquo

yrsquo

A

B







Bilbao







coordenadas a otro



O

V

XG

YG

XL

YL

LL

T

L yxV GG

T

G yxV




G

G

L

L

Y

X

dc

ba

Y

X


c

a

dc

ba

0

1

sin

cos


d

b

dc

ba

1

0

cos

sin

1ordm columna

2ordm columna

Entonces

G

G

L

L

Y

X

Y

X

cossin

sincos


T )




Bilbao




G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos


L

T

G VTV 0 GL VTV 0





LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j


ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao









3

6

1

2

4

5

7

8

9

10

11

12


traslaciones giros



EJEMPLO

1

2

4

5

7

8

9

10

11

12

3

6

13

15

14


traslaciones giros








Bilbao




Donde
















Bilbao







= 0 0 0 hellip 1 hellip 0 0 0 0


1

0

0

0

3

2

1

3333231

2232221

1131211

3

2

1

ij

j

j

j

ij

j

j

j

j K

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

F

F

F










i = 1 (i=j) i = 0 (ij)




Bilbao



k34

k44

k54

k64

k74

k84

k94

k10 4

K11 4

K12 4

k14

k24

1

Ejemplo

3

4

5

6

7

8

9

1

0

11

12 1

2



en los demaacutes


tal manera

412

411

410

94

84

74

64

54

44

34

24

14

1212412112

411

410

94

84

7471

6461

5451

4441

34333231

24232221

1211817161514131211

3

3

3

3

3

3

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

KKK

K

K

K

K

KK

KK

KK

KK

KKKK

KKKK

KKKKKKKKK

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F






Bilbao







deseada








la estructura





XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

9

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12




Bilbao









- Desplazamientos

- hellip







Bilbao





de la estructura XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


XL

XL

XL


xrsquo

yrsquo

A

B







Bilbao







coordenadas a otro



O

V

XG

YG

XL

YL

LL

T

L yxV GG

T

G yxV




G

G

L

L

Y

X

dc

ba

Y

X


c

a

dc

ba

0

1

sin

cos


d

b

dc

ba

1

0

cos

sin

1ordm columna

2ordm columna

Entonces

G

G

L

L

Y

X

Y

X

cossin

sincos


T )




Bilbao




G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos


L

T

G VTV 0 GL VTV 0





LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j


ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao




Donde
















Bilbao







= 0 0 0 hellip 1 hellip 0 0 0 0


1

0

0

0

3

2

1

3333231

2232221

1131211

3

2

1

ij

j

j

j

ij

j

j

j

j K

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

F

F

F










i = 1 (i=j) i = 0 (ij)




Bilbao



k34

k44

k54

k64

k74

k84

k94

k10 4

K11 4

K12 4

k14

k24

1

Ejemplo

3

4

5

6

7

8

9

1

0

11

12 1

2



en los demaacutes


tal manera

412

411

410

94

84

74

64

54

44

34

24

14

1212412112

411

410

94

84

7471

6461

5451

4441

34333231

24232221

1211817161514131211

3

3

3

3

3

3

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

KKK

K

K

K

K

KK

KK

KK

KK

KKKK

KKKK

KKKKKKKKK

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F






Bilbao







deseada








la estructura





XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

9

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12




Bilbao









- Desplazamientos

- hellip







Bilbao





de la estructura XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


XL

XL

XL


xrsquo

yrsquo

A

B







Bilbao







coordenadas a otro



O

V

XG

YG

XL

YL

LL

T

L yxV GG

T

G yxV




G

G

L

L

Y

X

dc

ba

Y

X


c

a

dc

ba

0

1

sin

cos


d

b

dc

ba

1

0

cos

sin

1ordm columna

2ordm columna

Entonces

G

G

L

L

Y

X

Y

X

cossin

sincos


T )




Bilbao




G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos


L

T

G VTV 0 GL VTV 0





LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j


ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao







= 0 0 0 hellip 1 hellip 0 0 0 0


1

0

0

0

3

2

1

3333231

2232221

1131211

3

2

1

ij

j

j

j

ij

j

j

j

j K

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

F

F

F










i = 1 (i=j) i = 0 (ij)




Bilbao



k34

k44

k54

k64

k74

k84

k94

k10 4

K11 4

K12 4

k14

k24

1

Ejemplo

3

4

5

6

7

8

9

1

0

11

12 1

2



en los demaacutes


tal manera

412

411

410

94

84

74

64

54

44

34

24

14

1212412112

411

410

94

84

7471

6461

5451

4441

34333231

24232221

1211817161514131211

3

3

3

3

3

3

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

KKK

K

K

K

K

KK

KK

KK

KK

KKKK

KKKK

KKKKKKKKK

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F






Bilbao







deseada








la estructura





XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

9

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12




Bilbao









- Desplazamientos

- hellip







Bilbao





de la estructura XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


XL

XL

XL


xrsquo

yrsquo

A

B







Bilbao







coordenadas a otro



O

V

XG

YG

XL

YL

LL

T

L yxV GG

T

G yxV




G

G

L

L

Y

X

dc

ba

Y

X


c

a

dc

ba

0

1

sin

cos


d

b

dc

ba

1

0

cos

sin

1ordm columna

2ordm columna

Entonces

G

G

L

L

Y

X

Y

X

cossin

sincos


T )




Bilbao




G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos


L

T

G VTV 0 GL VTV 0





LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j


ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao



k34

k44

k54

k64

k74

k84

k94

k10 4

K11 4

K12 4

k14

k24

1

Ejemplo

3

4

5

6

7

8

9

1

0

11

12 1

2



en los demaacutes


tal manera

412

411

410

94

84

74

64

54

44

34

24

14

1212412112

411

410

94

84

7471

6461

5451

4441

34333231

24232221

1211817161514131211

3

3

3

3

3

3

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

KKK

K

K

K

K

KK

KK

KK

KK

KKKK

KKKK

KKKKKKKKK

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F






Bilbao







deseada








la estructura





XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

9

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12




Bilbao









- Desplazamientos

- hellip







Bilbao





de la estructura XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


XL

XL

XL


xrsquo

yrsquo

A

B







Bilbao







coordenadas a otro



O

V

XG

YG

XL

YL

LL

T

L yxV GG

T

G yxV




G

G

L

L

Y

X

dc

ba

Y

X


c

a

dc

ba

0

1

sin

cos


d

b

dc

ba

1

0

cos

sin

1ordm columna

2ordm columna

Entonces

G

G

L

L

Y

X

Y

X

cossin

sincos


T )




Bilbao




G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos


L

T

G VTV 0 GL VTV 0





LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j


ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao







deseada








la estructura





XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

9

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12




Bilbao









- Desplazamientos

- hellip







Bilbao





de la estructura XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


XL

XL

XL


xrsquo

yrsquo

A

B







Bilbao







coordenadas a otro



O

V

XG

YG

XL

YL

LL

T

L yxV GG

T

G yxV




G

G

L

L

Y

X

dc

ba

Y

X


c

a

dc

ba

0

1

sin

cos


d

b

dc

ba

1

0

cos

sin

1ordm columna

2ordm columna

Entonces

G

G

L

L

Y

X

Y

X

cossin

sincos


T )




Bilbao




G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos


L

T

G VTV 0 GL VTV 0





LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j


ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao




XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

9

1

2

3

4

5

6

7

8

10

11

12




Bilbao









- Desplazamientos

- hellip







Bilbao





de la estructura XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


XL

XL

XL


xrsquo

yrsquo

A

B







Bilbao







coordenadas a otro



O

V

XG

YG

XL

YL

LL

T

L yxV GG

T

G yxV




G

G

L

L

Y

X

dc

ba

Y

X


c

a

dc

ba

0

1

sin

cos


d

b

dc

ba

1

0

cos

sin

1ordm columna

2ordm columna

Entonces

G

G

L

L

Y

X

Y

X

cossin

sincos


T )




Bilbao




G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos


L

T

G VTV 0 GL VTV 0





LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j


ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao





de la estructura XG

YG

ZG

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

17

18

13

14

15

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


XL

XL

XL


xrsquo

yrsquo

A

B







Bilbao







coordenadas a otro



O

V

XG

YG

XL

YL

LL

T

L yxV GG

T

G yxV




G

G

L

L

Y

X

dc

ba

Y

X


c

a

dc

ba

0

1

sin

cos


d

b

dc

ba

1

0

cos

sin

1ordm columna

2ordm columna

Entonces

G

G

L

L

Y

X

Y

X

cossin

sincos


T )




Bilbao




G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos


L

T

G VTV 0 GL VTV 0





LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j


ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao







coordenadas a otro



O

V

XG

YG

XL

YL

LL

T

L yxV GG

T

G yxV




G

G

L

L

Y

X

dc

ba

Y

X


c

a

dc

ba

0

1

sin

cos


d

b

dc

ba

1

0

cos

sin

1ordm columna

2ordm columna

Entonces

G

G

L

L

Y

X

Y

X

cossin

sincos


T )




Bilbao




G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos


L

T

G VTV 0 GL VTV 0





LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j


ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao




G

G

G

L

L

L

Y

X

Y

X

100

0cossin

0sincos


L

T

G VTV 0 GL VTV 0





LOCAL GLOBAL YG

Piy

XG

XL

YL

Fix

Fiy

Pix

i

j

iy

XG

YG

XL

YL

ix

iy

ix

i

j


ii T 0

jj T 0

LOCAL GLOBAL

ii FTP 0

jj FTP 0




Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao


Desplazamientos

Fuerzas



0

02

0

0T

T

T

j

i

j

i

FTF

F

T

T

P

PP

j

i

j

i

0

02

0

0

i i

x

iy

YL

j

i

XL

jx

jy

j

e

LKP

6622662222 x

e

L

T

x

e

G

e

L

Te

L TKTKTKTFTKFT

22211211 330033 ijTKTK x

e

Lij

T

x

e

Gij





Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao








XL

iy

YL

XL

i

j

ix

jy

jx

Piy

YL

i

j

Pix

Pjy

Pjx

e e


No hay giro como

grado de libertad

No hay momento

2

YL

XL

i

j

1

43

3

1 3 2

4

4

2

1

j

j

i

i

4

3

2

1

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

PP

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

j

e

ie

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K e

L




Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao




YL

XL

k11 k31i j

1=1

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

0

1

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P

K11

K21

K31

K41

YL

XL

i

j

2=1

L



0

0

1

4121

1131

1111

KK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

)4321(022 iKK ii

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0

0

1

0

K

K

K

K

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

P

P

P

P




Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao




0 4323331333 KKL

EAKK

L

EAK

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

e

jy

e

jx

e

iy

e

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L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

P

P

P

P

0000

00

0000

00

)4321(044 iKK ii

ee

L

e KP




Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

K51

0

0

1

61513121

1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

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EA

L

EA

L

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L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

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L

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EA

L

EAL

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L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao




iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

i

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

Mi

Mj

1 2 3 4 5 6 T

ix iy i jx jy j

1 2 3 4 5 6 T


666261

262221

161211

KKK

KKK

KKK

K e

L



YL

XL

k11 k31i j

1=1

61

51

41

31

21

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

K11

K21

K31

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0

0

1

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1141

1111

KKKK

L

EAKKF

L

EAK

EA

LK

H

K41 K61




Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

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0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

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M

P

P

M

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P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao



62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

1

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i

j

2=1

L k22 k52

k32 k62

k12 k42



Por lo tanto

K12=K42=0



YL

XL

i

j

ij=1

Vji

Mij Mji

Vij

+

352322

3

622

322

1212

12

61

2

30

2

10

40

61

2

30

2

10

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij




Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao



63

53

43

33

23

13

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

0

0

0

1

0

0

K

K

K

K

K

K

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

M

P

P

M

P

P

YL

XL

i j L k23 k53

k33 k63

k13 k43



Por lo tanto

K13=K43=0



YL

XL

i j Vji

Mij Mji

Vij 253223

2

63

33

66

6

20

2

31

2

10

40

40

2

30

2

11

40

L

EIVK

L

EIVK

L

EI

L

MMVV

KL

EI

LL

EIM

KL

EI

LL

EIM

jiij

jiij

jiij

ji

ij

13

3=1

3=1





Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao




j

jy

jx

i

iy

ix

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

j

jy

jx

i

iy

ix

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

M

P

P

M

P

P

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

ee

L

e KP



j

i

e

Ljj

e

Lji

e

Lij

e

Lii

j

i

KK

KK

P

P




Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao








jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

KK

KK

P

P

P

P

0000

00

0000

00

iix

iy

YL

XL

jx

jy

j

iPix

Piy

YL

XL

Pjx

Pjy

j

e

LKP




Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao



1 3

2 1

2

1

2

a) b) c)










[ KL ]

conocido




Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao




INTERNO








Por lo tanto

P e EXTERNO= [K]

Estruc Estruc





de la estructura




Pe = P e EXTERNO




CONOCIDO


(CONOCIDO)






(DESCONOCIDO)




Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao



1 Punto de partida

1

2

3

1

23

4 Fix

Fiy

Mi

i

Fjx

Fjy

Mj

j

XL

XG

YG

O

e

1

2

3

5

4 6 7

9

10 12

11

8

Donde



P




Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Nudo 1

Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

(21 = 2

2 = 2)

(32 = 3

3 = 3)

Barra o elemento



Nudo 4

Nudo 3

Nudo 2

Nudo 1







Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao





Nudo 2



Fj1

Fuerzas externas


1

2

3

1

2 3

4

F jx

i F

ix

2

F iy

M i F jx

F jy

M j

P

F ix

F iy

M i

F jy

M j

j 1

BARRA 1

2

j F jx

F jy

M j F ix

F iy

M i

i

BARRA 2

NUDO 2 EQUILIBRIO

0 - F ix - F jx = 0

P - F iy - F jy = 0

0 - M i - M j = 0

0 = F ix + F jx

P = F iy + F jy

0 = M i + M j

F 2 = F i 2 + F j 1

P Fi

2






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao






1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2 3 33

3 34

0 0

0

0

0 0

ii ij

ji jj ii ij

ji jj ii ij

ji jj

K KF

K K K KF

F K K K K

FK K

2

3

4

[K] =

K1

K2

K3

+

+

=














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

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L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao














de la diagonal






es positivo

T [K]gt0 0 U=12 T [K]=12 TF







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao







Bilbao




Fuerzas externas +



Vector de grados de





plantea
















A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

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6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

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L

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L

EI

L

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L

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L

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L

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L

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L

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e

T

EAT

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T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao









A

B

D

C

2

4

3

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1 Definiciones


F

L

F

L

FFFL

LFLL

F

F

KK

KK

0









[KLL] -1







Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

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Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

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0

0

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0

0

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0

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6120

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0000

260

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6120

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0000

22

2323

22

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0

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L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao










Reordenamiento de


1 2 3 4 5 6

1

2

4

3

5

6

1

4

2

6

3

5

1 3 4 6 2 5

L

FF 0F

LF

LLK LFK

FFK FLK






1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

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Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

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0

0

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6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

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L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao









1 Definiciones











1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

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M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

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Te




0

0

0

0

0

LT

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T

0

0

0

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0

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0

0

0

460

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6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

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L

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EAT

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T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao










1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

F K K K

F K K K

F K K K


j

K F i

3 33 3 33 3

12

j j C

j

K K M K M

3 ecuacioacuten

Resulta

3

12

3 3 3

33

j j

j

C C

K

M K

3 31 1 32 2 33 3F K K K 3 3 33 3

12

j j

j

F K K















analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

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Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

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XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

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i

j

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Te




0

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0

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0

460

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260

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6120

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22

2323

22

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0

LTAE

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L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao














analizarse


















PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

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6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

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EAT

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L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao












PVi0=P2

Mi0=PL8

Vj0=P2

Mj0=PL8

Mi0 Mj

0

Vi0 Vj

0



Fase 0 Fase 1


estructura


= 0



0




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

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Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

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0

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0

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260

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2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao




F2

qF1

F3

F2

M1

a)

F3

q

M1

b)

F1

c)

Fase 0 Fase 1

=

+



0=0



10

FN - F0 = [K]





CASO PRAacuteCTICO





CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao








CASO MAS GENERAL

q

XG

YG

q

Pi0e

Pj0e

q

Fi0e

Fj0e

Fi0e = [T0] Pi

0e

Fj0e = [T0] Pj

0e

- Fi0e

- Fj0e

XG

YG







PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao










PT0e = [KL

e] (-Te) = - [KL

e] Te





FN ndash F0 = [K]








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao








EJEMPLO

YL

XL

EAL

i

j

jrsquo

Te




0

0

0

0

0

LT

e

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

0

LTAE

LTAE

LTL

EA

LTL

EA

LT

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

KP e

T

e

L

e

T

EAT

EAT

T






L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao









L

L + ΔL

PE0e = - [KL

e] Ee

0

0

0

0

0

L

e

E


FN ndash F0 = [K]

Debido a




En resumen










YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao




YG





ee

L

oee KPP






Fuerzas fase 0

Debido a






nudos del elemento

XG

q

P1

P2

M3

P4 P5

M6






Bilbao









Bilbao




TEORÍA DE ESTRUCTURAS - ocw.ehu.eusA DE ESTRUCTURAS: Ingeniaritza Goi Eskola Teknikoa Escuela...

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