Teoría de Errores y presentación de...

TEORÍA DE INCERTIDUMBRES Y

PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

Prácticas de Física I

Departamento de Física Aplicada I

Escuela Politécnica Superior

MEDIDA E INCERTIDUMBRE

Toda ciencia experimental se basa en observaciones cuantitativas que

llamamos medidas.

A su vez todo proceso de medida está sujeto a limitaciones que se traducen

inevitablemente en la existencia de cierta incertidumbre asociada al

resultado y que constituye una indicación cuantitativa de la calidad del

mismo .

Medida = (Valor numérico ± incertidumbre) unidades

¡Es esencial especificar la incertidumbre de una medida ya que nos indica el

grado de exactitud y de precisión de la misma!

Exactitud y precisión

Fuentes de incertidumbre

Errores de calibración.

Condiciones experimentales no apropiadas.

Lectura sesgada de los instrumentos.

Resolución finita del instrumento de medida.

Aproximaciones o hipótesis establecidas en el método y en el

procedimiento de medida.

Fluctuaciones o variaciones en observaciones repetidas

Etc.

Evaluación de la incertidumbre típica de una

medida directa

Evaluación tipo A: tiene en cuenta la variabilidad de las medidas en las

mismas condiciones. Requiere de un análisis estadístico del conjunto de

observaciones: x1,x2,x3,….xN. Se toma:

uA(x)= desviación típica

Evaluación tipo B: tiene en cuenta toda la información disponible acerca

de la resolución del instrumento de medida, especificaciones del fabricante,

certificados de calibración…

En las prácticas de laboratorio de Física I, a menos que en el guión de la

práctica a realizar se indique otra cosa, se tomará:

uB(x)=0,29·resolución del instrumento (δx)

Conlleva dos valoraciones diferentes:

Finalmente: 𝒖(𝒙) = 𝒖𝑨 𝒙 𝟐 + 𝒖𝑩 𝒙 𝟐

Análisis estadístico

1

n

i

i

x

xn

El valor medio como resultado de la medida:

La desviación típica del valor medio como

incertidumbre típica tipo A:

Cuando el número de medidas es pequeño (inferior

a 10):

A partir de N observaciones independientes x1, x2,…,xN se toma:

)1(

)(

)( 1

2

nn

xx

xu

n

i

i

A

6)( mínmáx

A

xxxu

7

Resolución de un instrumento

Si la medida se ha hecho con un

instrumento analógico, se toma como

resolución (dx) de éste la menor unidad

que pueda medir.

La incertidumbre típica debida a la resolución del instrumento

(evaluación tipo B) es

Esta incertidumbre típica será la que se use para el cálculo de la incertidumbre típica

combinada, pero cuando se quiera expresar un resultado final de una única medida

con ese instrumento, la incertidumbre reflejada no puede ser inferior a la resolución

del instrumento

Si el instrumento es digital, se toma como

resolución (dx) una unidad de la última cifra.

xxuB 29,0)(

0 1 2 3

x = 0,1 cm

cm

234,75

x = 0,01 mA

mA

Incertidumbre Expandida

Magnitud que define un intervalo en torno al resultado

de una medición, y en el que se espera una fracción

importante de la distribución de valores que podrían ser

atribuidos razonablemente al mensurando.

)()( xkuxU c

Se obtiene multiplicando la incertidumbre típica combinada por

un factor de cobertura k, que típicamente toma valores entre 2 y

3 y se basa en la probabilidad o nivel de confianza requerido

para el intervalo

Incertidumbre relativa

Es el cociente entre la incertidumbre y el resultado de la medida

Se suele expresar en %. Para ello se multiplica por 100. Por ejemplo si

x=12 cm y u(x)=4 cm, entonces ur= 4/12=0,33=33%.

No tiene unidades.

Da información sobre la bondad de la medida.

x

xUU r

)(

Ejemplos

CASO 1: Supongamos que medimos una temperatura cinco veces con un

termómetro cuya resolución es de un grado y obtenemos:

T1 = 64 ºC, T2 = 61 ºC , T3 = 65 ºC, T4 = 68 ºC, T5 = 65 ºC

Valor medio: T =64,6ºC

Incertidumbre:

uA(T) = (TMáx-Tmín)/6 = (68 – 61)/6 = 1,2 ºC

uB(T)=0,29 ·1 ºC = 0,29 ºC

u(T)= 1,22 + (0,29)2 = 1,234544 ºC

Resultado: T = (64,6 1,2) ºC; ur=1,9%

¡LA INCERTIDUMBRE u(x) NO PUEDE SER INFERIOR A LA RESOLUCIÓN

DEL INSTRUMENTO!

CASO 2: Supongamos que medimos una longitud tres veces con una regla

graduada en milímetros y obtenemos:

x1 = 6,5 cm, x2 = 6,5 cm, x3 = 6,5 cm

uB(x)=0,1 cm

Resultado: x = (6,5 0,1) cm, ur=1,5%

PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

¿Qué tienen de extraño estas frases?:

La extinción de los dinosaurios ocurrió hace 65 millones de años y

3 días.

Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27

segundos.

El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses, 12

días, 3 horas, 23 minutos, 12 segundos y 345 milésimas.

Presentación de resultados.

El resultado de una medida debe expresarse con un número de cifras que viene

determinado por el valor de la incertidumbre. Por ejemplo, es absurdo dar como

resultado:

x=(1,2732345678534 ± 0,035) m

Y tampoco tiene sentido:

L=(2,1389639 ± 0,18653617) m

Norma:

• Las incertidumbres deben darse con dos cifras significativas

• Deben descartarse del resultado todas las cifras que sean de orden

inferior a la incertidumbre

Resultados correctos: x=(1,273 ± 0,035) m

L=(2,14 ± 0,19) m

Presentación de resultados: Redondeo

La última cifra conservada se redondea de la siguiente forma:

− Aumentándola en 1 unidad si la primera cifra descartada

es mayor que 5.

− Dejándola tal cual si la primera cifra descartada es menor

que 5.

− Si la primera cifra descartada es 5 y al menos una de las

siguientes es mayor que 0, la última cifra conservada se

aumenta en una unidad.

− Si la primera cifra descartada es 5 y todas las demás son

0, la última cifra conservada no cambia si es par o se

aumenta en una unidad si es impar (redondeo al par).

Algunas observaciones...

En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se

pueden suprimir:

2 0,21 cm INCORRECTO

2,00 0,21 cm CORRECTO

Para números muy grandes o muy pequeños conviene usar la

notación científica, esto es, en potencias de 10:

(18000 3000) Pa = (1,80 0,30) 104 Pa

(0,00256 0,00017) N = (2,56 0,17) 10-3 N

Ejemplos

4,81343 0,04661

132,2894 2,8754

5127 234

0,53781 0,00996

50353 2550

2,3487 0,345

1091,32 84,55

5130 230 ; ur = 4,5 %

132,3 2,9 ; ur = 2,2 %

50400 2600 ; ur = 5,2 %

2,35 0,34 ; ur = 0,14 %

1091 85 ; ur = 7,8 %

0,5378 0,0100; ur = 1,8 %

4,813 0,047 ; ur = 0,98 %

Incertidumbre típica combinada de

medidas indirectas

Existen también medidas indirectas, es decir, magnitudes A que se calculan

a partir de los valores x,y,z de otras magnitudes mediante una fórmula:

A=f (x,y,z)

En este caso, la incertidumbre típica combinada de A viene dada por:

222

)()()()(

zu

z

fyu

y

fxu

x

fAuc

Ejemplo: cálculo de incertidumbre combinada

b

a c

a = 10,00 0,10 cm

b = 25,0 2,0 cm

c = 15,0 1,5 cm

Se pretende calcular el volumen de un paralelepípedo, cuyas aristas se miden con unas

reglas obteniéndose los siguientes valores:

V = a·b·c = 3750 cm3

Resultado: V = (3750 480) cm3

Incertidumbre combinada:

uc(V)=481,6962217 cm3

5,37)()(

aucbau

a

V

300)()(

bucabu

b

V

375)()(

cubacu

c

V

222

)()()()(

cu

c

Vbu

b

Vau

a

VVuc

Algunas observaciones...

Cuando los cálculos se realizan mediante calculadora u ordenador, conviene

conservar siempre todas las cifras que éstos permitan, procediéndose al

redondeo SÓLO en el resultado final, NUNCA redondeando resultados

intermedios.

Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una magnitud aparece

alguna constante matemática o física (como π, NA, g, c, etc.), conviene

considerar, en el momento de operar, el máximo número significativo de

cifras, de forma que el error considerado sea despreciable frente a la

incertidumbre de las magnitudes que intervienen en la fórmula.

Ejemplo

83

4

23

43

4 333 D

m

D

m

R

m

3

6

D

m

20

D: Diámetro m: masa

El diámetro D se mide con un calibre cuya

resolución es: 0,01 cm

La masa m se mide con una balanza cuya

resolución es: 0,1 g

Dm

La expresión a utilizar será:

Medición de la densidad de una bola de acero

Ejemplo

Medida nº 1 2 3 4 5 6

D (cm) 2,38 2,45 2,39 2,44 2,40 2,43

cm 415,26

43,240,244,239,245,238,2

DD

n

X

Xx

n

k

ki

ii

1

,

21

Cálculo de D:


22

Ejemplo

ii xxu 29,0)(

Medida nº 1 2 3 4 5 6

D (cm) 2,38 2,45 2,39 2,44 2,40 2,43

cm 0029,001,029,0)( DuB


6)( min,máx, ii

i

XXxu

Cálculo de incertidumbre típica de D:

01166667,06

38,245,2)(

DuA

22 )()()( iBiAi xuxuxu

01202170,00029,001166667,0)()()( 2222 DuDuDu BA

23

Ejemplo Medición de la densidad de una bola de acero

Resultado de D:

01202170,0415,2D cm )012,0415,2( DResultado truncado y redondeado

MUY IMPORTANTE: El dato encuadrado de D aquí expresado NO es un

resultado final de la medida de D. Sólo se ha encuadrado el dato con el valor

de D y la incertidumbre típica u(D) que SÍ serán los valores a usar

posteriormente en el cálculo de la incertidumbre combinada uc de

24g 7,57m

En este caso la incertidumbre típica sólo es consecuencia de haber

sido estimada la magnitud por una evaluación tipo B,


Se realiza una única medida de m, obteniéndose:

Cálculo de incertidumbre típica de m:

ii xxu 29,0)( g 029,01,029,0)( mu

029,07,57m g )029,0700,57( mResultado truncado y redondeado

Ejemplo

Resultado de m:

MUY IMPORTANTE: El dato encuadrado de m aquí expresado NO es un resultado final

de la medida de m, pues en este caso la incertidumbre reflejada no puede ser inferior

a la resolución del instrumento. Sólo se ha encuadrado el dato con el valor de m y la

incertidumbre típica u(m) que SÍ serán los valores a usar posteriormente en el cálculo

de la incertidumbre combinada uc de .

25

Ejemplo

3

6

D

m

3415,2

700,576

3g/cm 82394494,7

Cálculo de :

g )029,0700,57( mcm )012,0415,2( D


26

Ejemplo

N

i

i

i

N

N

c xux

fxu

x

fxu

x

fxu

x

fyu

1

2

222

2

2

2

1

1

)()(...)()()(

22

)()()(

mu

m

fDu

D

fuc

01360261,0012,0415,2

700,5718)(

18)(

2

4

2

4

2

Du

D

mDu

D

Cálculo de incertidumbre típica combinada de :

5

2

3

2

3

2

1054630778,1029,0415,2

6)(

6)(

mu

Dmu

m

01360261,01054630778,1)( 5cu


3g/cm 11669650,0)( cu

3

6

D

m

27

Ejemplo

3g/cm 82394494,7

0,11669650 82394494,7

3g/cm 11669650,0)( cu

Resultado final :


3g/cm 0,12) 82,7( Resultado truncado y redondeado

28

Incertidumbres

Representaciones Gráficas

Eje de abscisas

(v. independiente)

Eje de

ordenadas

(v. dependiente)

V (102 mV)

I (mA)

Identificación

de los ejes

El origen no tiene

porqué ser el (0,0)

Escala

sencilla

1 2 3 4 5 6 7 8

12

13

14

15

16

17

¡Nunca!

Puntos distribuidos

por toda la gráfica

Línea de

ajuste

Ajuste por mínimos cuadrados

M(g) y(cm)

100 0,6

200 0,9

400 2,2

600 3,0

800 4,1

1000 4,85 0

1

2

3

4

5

6

0 200 400 600 800 1000 1200

M (g)

x (

cm

)

Por ejemplo supongamos que queremos comprobar la ley de Hooke F=-ky para un

resorte y para ello colgamos del muelle masas de distinto valor del muelle y

medimos la elongación de éste. Debe cumplirse Mg-ky=0, luego y=g/k M por lo

que esperamos que si se representa x frente a M los datos se alineen en una recta

Los puntos no están

perfectamente

alineados como cabría

esperar debido a los

errores accidentales e

instrumentales del

experimento.El método de Ajuste por Mínimos

Cuadrados permite encontrar la recta

que ajusta mejor a todos los puntos

experimentales

Ajuste por mínimos cuadrados

La recta que buscamos es: y = m·x + b.

m Pendiente

b Ordenada en el origen

Se calcula de la siguiente manera. Para unos puntos (x1, y1), (x2, y2) …(xn,yn)

2

11

2

111

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

m

n

xmy

b

n

i

i

n

i

i

11

n

i

i

n

i

ii

c

xxn

bmxy

mu

1

2

1

2

2

)(

n

i

icc xmubu1

2)()(

Coeficiente de correlación

2

11

2

2

11

2

111

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yynxxn

yxyxn

r

Hay que darlo siempre que se hace un ajuste por mínimos cuadrados.

Es un número que está entre 1 y -1 y que nos da información de cómo de

bueno es el ajuste (cuanto más cercano a 1 o -1, mejor).

¡ Un ajuste por mínimos cuadrados es aceptable solo si |r| > 0,9 !

Siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea

9, redondeándola en su caso: r = 0,9996714 r = 0,9997

En nuestro ejemplo:

4.851000

4.1800

3.0600

2.2400

0.9200

0.6100

yi

xi

4.851000

4.1800

3.0600

2.2400

0.9200

0.6100

yi

xi

Resultado final:

m = 0,0049 ± 0,0005 cm/g

b = 0,09 ± 0,80 cm

r = 0,997

m = 0,0048726027 cm/g; uc(m)=0,0005401 cm/g

b = 0,0908219 cm; uc(b)=0,8029164 cm

r = 0,99728

Frecuentemente la recta de regresión nos permite calcular alguna magnitud de

interés. En este caso, por ejemplo, la constante del muelle. En efecto, según la

teoría g

y xk

Lo que implica que g/k es la pendiente y la ordenada en el origen es cero

2

2

082,200204

0049.0

981

s

g

g

cms

cm

m

gk

k

gm

k = (20,0 2,0) 104 g/s2; ur= 10 %

Por lo tanto

𝑢𝑐 𝑘 =𝜕𝑘

𝜕𝑚𝑢 𝑚

2

+𝜕𝑘

𝜕𝑔𝑢 𝑔

2

= 20430,01𝑔

𝑠2

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