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TEORÍA DE CONSOLIDACIÓN

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TEORÍA DE CONSOLIDACIÓN

ECUACIONES DEL ESTUDIO DE CONSOLIDACIÓN.

Terzagui (1925), propuso la primera teoría para considerar la

consolidación unidimensional en suelos arcillosos. Se basa en

las siguientes suposiciones:

1.- El sistema arcilla agua es homogéneo.

2.- La saturación es completa.

3.- La compresibilidad del agua es despreciable.

4.- La compresibilidad de los granos de suelo es despreciable.

5.- El flujo de agua es solo en una dirección.

6.- La Ley de Darcy es válida.

wgdudh=

dx

y

x

z

dy

dz

Qz , Vz

st

Se toma un elemento de suelo que se este consolidando para

deducir una expresión matemática que refleje el proceso de

consolidación.

www ggg dudhdhduhu ===

),( tzfu =

varCaudal de salida Caudal de entrada iación del

del agua del agua caudal

=

Entonces:

zV Voldxdydz

z t

=

Aplicando la Ley de Darcy:

z

hKiKV zz

== como

WW z

ui

uh

gg

1

=

=

sale entra

VolQ Q Q

t

= =

(1)…

t

VoldxdyVdxdydz

z

VV z

zz

=

1

W

uK

z Voldxdydz

z t

g

=

2

2

vVK u Vdxdydz

t tzwg

= =

(2)…

sV VVV =

sv

s

v eVVV

Ve ==

sV

1 11

Vs

s s s

VV V Ve V

V V V e= = =

Como:

2 2

2 2

.ss

V eK u K u edxdydz dxdydz V

t tz zw wg g

= =

También:

t

e

ez

uK

=

1

12

2

wg………. (3)

Definiendo av = coeficiente de compresibilidad

=

eav

t

u

e

a

z

uK v

=

12

2

wg

t

u

z

u

a

eK

v

=

2

21

wg

),( tzfu =

; pendiente en la curva de compresibilidad

sustituyendo en (3)

quedando la expresión como:

……. Ecuación diferencial del proceso de

consolidación unidimensional con flujo vertical(4)

=

=

=

=

==

ta

t

e

ta

t

e

t

e

t

e

tt

tpara

v

v

t

'

'

' 00

(4) se pudiera expresar como:

mv : coeficiente del cambio volumétrico = e

av

1

t

u

z

u

m

K

v

=

2

2

wg

Definiendo el coeficiente de consolidación

ww gg vv

vm

K

a

eKC =

=

1…. Queda la ecuación:

t

u

z

uCv

=

2

2

u: exceso de presión sobre la presión hidrostática

en función de la profundidad y del tiempo

Para resolver la ecuación se plantean las condiciones de borde

2H 0 0 2

0 2 0

t z H u P

t z H u

= =

= =

Solución: (aplicando Series de Fourier)

=

=

0

1

4

12

2

2

12

12

4

n

ta

eK

H

n

v

H

znsen

nPu wg

Para simplificar se supone que

2 2 2

1v v

v vv

K e C CtT t T t

a H H Hwg

= = = H: máx. altura de recorrido.

P

Quedando: vTzfu ,=

=

=

0

4

12

2

12

12

4

n

Tn

v

H

znsen

nPu

Quedando: vTzfu ,=

se define:

Grado de consolidación a una profundidad z y un tiempo t; como:

2H

ΔP

z

ΔP-u u

'Diagrama de

1001100%

=

=

P

u

P

uPuz

Grado medio de consolidación:

2H

ΔP

2

0% 1002

H

P u

u dzP H

=

Resolviendo la ecuación queda:

10012

81%

0

4

12

22

22

=

=

n

Tn

v

nu

= )(% vTfu Relación Teórica

%u = Porcentaje promedio de consolidación

Tv = Factor tiempo

%u Tv

0 0.000

10 0.008

20 0.031

30 0.071

40 0.126

50 0.197

60 0.287

%u Tv

70 0.405

80 0.565

90 0.848

100 ∞

Tv (E log)

%u (E nat)

(E nat)

%u (E nat)

vT

Se desarrollaron ecuaciones empíricas para %u en función de Tv

2

100

%

4%60%

=

uTu v

uTu v %100log933.0781.1%60% =

Relaciones Teóricas: vs TVu%

(E nat)

%u (E nat)

90%

60% 1.5 x

0%

50%

100%

Tv 50

Tv (E log)

%u (E nat)

Parábola

Casagrande Taylor

vT

METODO DE CASAGRANDE:

- Papel semi-logarítmico.

- Se define el 0%, el 100% y el 50 %

de consolidación.

100%

0%

y

y

tt/4

50%

t (E. Log.)

L. ext (E.N.)

METODO DE TAYLOR:

- Raiz del tiempo .

- Se define el 90% de consolidación.

90%

0%

L. ext (E.N.)

x

15% de x

t

CURVAS DE CONSOLIDACIÓN REAL

Se ajusta la curva de consolidación real a la teórica para obtener Cv por

cualquiera de las dos metodologías (Taylor o Casagrande)

“Taylor” obtenemos Tv90 ; t90

902902t

H

CTt

H

CT v

v

v

v ==

“Casagrande” obtenemos t50

502502t

H

CTt

H

CT v

v

v

v ==

Tv50 y Tv90 los tomamos de la teoría de consolidación.