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Es un tensor simtrico usado en mecnicade medios continuos y mecnica de slidosdeformables para caracterizar el cambiode forma y volumen de un cuerpo. En tresdimensiones un tensor (de rango dos) dedeformacin tiene la forma general:

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Tensor infinitesimal de deformacin Tensores finitos de deformacin

Tensor infinitesimal de Green-Cauchy, o tensoringenieril de deformaciones, es el usadocomnmente en ingeniera estructural y queconstituye una aproximacin para caracterizarlas deformaciones en el caso de muy

pequeas deformaciones (inferiores en valorabsoluto a 0,01). En coordenadas cartesianasdicho tensor se expresa en trminos de lascomponentes del campo de desplazamientos

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Donde: Representa el campo vectorial de desplazamientos

del cuerpo, es decir, la diferencia entre la posicinfinal e inicial de cada punto y x1 = x, x2 = y y x3 = z son

las coordenadas tomadas sobre la formageomtrica original del cuerpo. son las coordenadasde cada punto material del cuerpo.

El elemento diagonal ii, tambin denotado i,representa los cambios relativos de longitud en ladireccin i, direccin dada por el eje X

i

). La suma11+22+33 es igual al cambio de volumen relativo delcuerpo.

Los elementos ij (= 1/2ij) (i j) representandeformaciones angulares, ms concretamente lavariacin del ngulo recto entre las direcciones

ortogonales i y j. Por tanto la distorsin o cambio deforma viene caracterizada por 3 componentes deeste tensor deformacin (12, 13, 23).

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Tensores finitos de deformacin

Todos estos tensores se construyen a partir

del tensor gradiente de deformaciones(tensores materiales) o bien de su inverso(tensores espaciales). Si pensamos que unadeformacin es una aplicacin: donde K

es el conjunto de puntos del espacioocupados por el slido (o medio continuo)antes de la deformacin y K' el conjuntode puntos del espacio ocupados despus

de la deformacin. Entonces podemosdefinir tensor gradiente de deformacionescomo la matriz jacobiana de TD

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Donde (x,y,z) representan las coordenadas de un punto genrico

antes de la deformacin y (x',y',z' ) las coordenadas del mismopunto despus de la deformacin. En funcin de este tensorgradiente de deformaciones se definien los siguientes tensoresfinitos de deformacin:

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Una comparacin posible entre losestados deformado y no deformado es

comparar el cuadrado de longitudesdeformadas y no deformadas

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Dado que:

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El termino entre parntesis sirve paradefinir el tensor de deformacin deGreen y tensor lagrangiano dedeformacin.

Sustituyendo la ecuacin de gradiente dedeformacin en

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El primer termino es lineal mientras que elsegundo es no lineal. As se define eltensor de deformaciones infinitesimalescomo la parte lineal, es decir,

Cuando las deformaciones son pequeas,el termino no lineal se desprecia ( es untermino de segundo orden) y el tensor deGreen y el de deformaciones infinitesimalescoinciden.