FORMULACION ELASTICA DE LA RIGIDEZ DE ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE

Arturo Tena Colunga y Alejandro Zaldo GarcaCentro de Investigacin Ssmica, A. C., Fundacin Javier Barros Sierra, A.C., Carretera al Ajusco # 203,14200 Mxico, D. F

RESUMENDesde finales de los aos cincuenta, cuando la Portland Cement Association (PCA) public sus tablas paradefinir los factores de rigidez de elementos de seccin variable, en donde se utilizaron varias hiptesissimplificadoras, poco se ha avanzado en la representacin analtica de este tipo de miembros. El modeladode la rigidez de elementos de seccin variable ha recibido poca atencin en la literatura mundial en la ltimadcada, en donde se han propuesto mtodos "prcticos" muy burdos, como es representar stos por medio dehasta cinco elementos prismticos.Se presenta una formulacin robusta basada en la teora de vigas y el mtodo de las flexibilidades para ladefinicin de las matrices de rigidez elsticas bidimensionales y tridimensionales de elementos de seccinvariable, en donde se toman en cuenta adems las deformaciones por cortante y la forma de su seccintransversal, factores que fueron ignorados en el clculo de las tablas de la PCA. La metodologa se presentade tal manera que su implementacin en programas de anlisis estructural, as como su aplicacin directaresulta relativamente sencilla. El procedimiento propuesto, que para fines prcticos puede considerarsecomo exacto, se compara con las tablas de la PCA. Basados en estas comparaciones, se demuestra lanecesidad de actualizar las ayudas de disefto de la PCA ya que en el presente resultan obsoletas debido a lashiptesis simplificado ras utilizadas en esa poca, algunas de las cuales pueden llevar a errores significativos.

ABSTRACTThere has been little development in the elastic modeling of tapered members since the 1950's, when thePortland Cement Association (PCA) published their handbook of frarne constants, where some hypothesiswere taken to simplify the problem. Few research has been devoted to approximate modeling the elasticstiffness of tapered elements during the last decade. Some authors have suggested a crude method ofmodeling the tapered elements by using up to five prismatic elements as an equivalent representation of thetape red section.Paper presents a robust methodology to define two-dimensional and three-dimensional elastic stiffnessmatrices for tapered elements based upon traditional beam theory and the flexibility method. The proposedmethod takes into account shear deformations and the shape of the cross section, factors ignored in thedevelopment of the PCA design tables. The method is proposcd in such a way that its direct application or itsimplementation in computer programs for structural analysis is straightforward. The proposed method,which for practical purposed can be considered as exact, is compared against thedesign tables of the PCA. Itis demonstrated that the PCA tables are obsolete for today's state-of-the-knowledge on tapered members,because sometimes they can lead to significant errors. Therefore, a new set of design tables to substitute thePCA handbook of frame constants should be developed.

123

1. INTRODUCCION

Aunque se ha prestado cierta atencin al modelado de la rigidez de elementos de seccin variable en laliteratura mundial, principalmente desde el punto de vista prctico, estas formulaciones realmente handejado mucho que desear por la falta de inters (o ingenio) en el medio por desarrollar elementos elsticos deseccin variable que puedan ser definidos como tales en programas de anlisis estructural comerciales.Varios investigadores han sugerido un mtodo muy burdo, en el cual la rigidez de elementos de seccinvariable es modelada por medio de hasta cinco elementos prismticos (Kosko, 1982; Funk YWang, 1988), loque ejemplifica muy bien la tendencia de muchos analistas que prefieren emplear su ingenio para sacarlejugo al mximo a una herramienta de trabajo conocida (por ejemplo, un programa de anlisis estructural quecontiene en sus librerias elementos elsticos prismticos exclusivamente), en lugar de utilizarlo paradesarrollar o implementar nuevas herramientas de trabajo, lo cual es realmente preocupante.Hasta donde se sabe, la nica excepcin a esta apatia terica y tcnica es debida a Brown (1984), quiensugiere un mtodo basado en el clculo de variaciones. Brown propone que se utilicen funciones deinterpolacin consistentes con la teora de vigas y el prncipio de trabajo virtual para definir la matriz derigidez de elementos de seccin variable, lo que constituye una buena aproximacin. Otra excepcin a laregla son las ayudas de diseo publicadas por la Portland Cement Association (pCA, 1958) o por algunosinvestigadores de antao (Guldan, 1956), pues sus tablas estn basadas en un mtodo riguroso de anlisis,como es el reconocido mtodo de las flexibilidades. Sin embargo, en ambos casos se realizan varias hiptesissimplificatorias, como el considerar la variacin de la rigidez de las cartelas (lineal o parablica, segn seael caso de la geometria de acartelamiento) en funcin del momento de inercia principal en flexin, el cual esindependiente de la seccin transversal. Adems, se desprecian las deformaciones por cortante, as como larelacin peralte-claro de la viga en la definicin de los diversos factores de rigidez. Estas simplificacionespueden llevar, en algunos casos, a errores significativos en la determinacin de los factores de rigidez, comose demostrar posteriormente.La determinacin de la rigidez de elementos de seccin variable por medio del mtodo de las flexibilidadesse propuso desde hace mucho tiempo (Guldan, 1956), sin embargo, pocos han sido los catedrticos querealmente han mostrado el inters debido en difundir este conocimiento en tiempos recientes (Damy, 1986).Tal vez esa sea la razn por la que los desarrolladores modernos de programas de anlisis estructural no hanprestado atencin a este respecto, porque, de hecho, existe un sinnmero de aplicaciones de elementosestructurales de seccin variable, que van desde postes de alumbrado y voladizos, hasta puentes, edificios,marcos de apoyo para oleoductos o estructuras con diseos especiales desde el punto de vista arquitectnico,como son iglesias, auditorios, hoteles, etc.En las siguientes secciones se presenta la metodologa para definir las matrices de rigidez de elementos deseccin variable bidimensionales y tridimensionales para las secciones transversales ms tpicamenteutilizadas en edificaciones por medio del mtodo de las flexibilidades. El procedimiento presentado estparcialmente basado en aquel enseado por Damy (1986).

2. OBTENCION DE MATRICES DE ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE POR EL METODO DELAS FLEXIBILIDADES

La definicin de elementos tipo viga-columna de seccin variable bidimensionales y tridimensionales esrelativamente sencilla utilizando el mtodo de las flexibilidades. Aunque en dcadas pasadas el clculo de lamatriz de rigidez de elementos de seccin variable utilizando este procedimiento resultaba un pocoengorroso debido a que se requiere de integracin numrica en la mayora de los casos, hoy en da resultamuy sencillo implementar este tipo de elementos en paqueterias de anlisis estructural debido al grandesarrollo que ha tenido el campo de la computacin.La matriz bsica de flexibilidades de elementos de seccin variable bidimensionales, como el ilustrado en lafig 1, se puede calcular de la siguiente manera:

124

y y

1 F,_L- (32 I

! I ,(11 ,'--' I ---~---~(22 J Zz

CD CD (2) CD (2)O) Fz =1 b) Fy = 1 e) Mxo=1

Figura 1. Definicin de los trminos de la matriz de flexibilidades para elementos de seccin variable

(1)

en donde:

( dzin = JoEA(z) (2)

(3)

(4)

rl d;A3 = Jo Elx(z) (5)

Para elementos tridimensionales, los trminos de la matriz de rigidez se calculan de la siguiente manera:

fil O O O O OO In O O O .h6

[J] = O O h3 O -As OO O O i44 O O

(6)

O O - !s3 O !ss OO h,2 O O O h,6

en donde:

r dzfil = o EA(z) (7)

125

(8)

(9)

(lO)

r1 zdz.As = Jo Ely(z)

(11)

(12)

r1 dzAs = Jo El (z)y

(13)

r1 dzf6 = Jo El.(z)153 =.hs.h2 =T

(14)

(15)

(16)

I .'

En las ecs 1 a 16, fl1 a f66 son los trminos de la matriz de flexibilidades, los cuales son obtenidos pormedio de integracin numrica, por ejemplo, aplicando la regla de Simpson (Damy, 1986). La matriz derigidez se puede obtener invirtiendo la matriz de flexibilidades, sin embargo, debido a la porosidad de sta,la matriz de rigidez se calcula invirtiendo submatrices de flexibilidades, por lo que sus trminos se definenimplcitamente. La matriz de rigidez global en coordenadas locales de un elemento tipo viga-columna de dosnodos como los mostrados en las figs 2 y 3 se expresan como:

(17)

FIYAII

F2YAII

Figura 2. Elemento bidimensional de seccin variable

126

Para el caso bidimensional, las submatrices de rigidez se calculan de la siguiente manera:

[r~ O 01[k) = O r"" r"bO r"b 'it

[k"l~n~O r:1-raa-r"b 'b

[r~ O -~l["12] = ~ r""-rb" r22["11] = [k12y

en donde:

1r =-

-rlU o o o o oo ralU o o o rabxo o raay o -raby o

(30)[kll] = O O O 1j O OO O -raby O 'i Iy OO rabx O O O 'ilx

-rlU O O O O OO -ralU O O O rblUO O -raay O -rbay O

(31)[kI2] = O O O -1j O OO O raby O 'i2y OO -rabJC O O O 'i2x

IIl.

rax O O O O OO raax O O O -rbax

[kn] =O O raay O rbay O

(32)O O O rj O OO O rbay O r22y OO -rbax O O O r22x

[~I] = [k12t (33)F2 ,

F2 J

Figura 2.3 Elemento tridimensional de seccin variable

128

'l$Z

.;',

en donde:

1r. ;-tU 111

(34)

11j; 144

Dei = .h2166 - h62

(35)

(36)

_ h2'iu ---o,(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

r22x + '2xrbaz = L

De!y = lnfss - h/

(42)

(43)

r. - 133lly - Det

y(44)

_ hsL- h3'i2y - Det

y(45)

(46)

(47)

(48)

_ r22y + 'i2yrbay - L (49)

129

La representacin fisica de los trminos de la matriz de rigidez bidimensional se presentan en la fig 4. Elsistema de ecuaciones a resolver en coordenadas locales es de la forma :

(50)

en donde, para el caso bidimensional, se tiene que:

(51)

(52)

y para el caso tridimensional se tiene:

'!

{Do} =

Dolz

A1yDoIx()z '

()y

Blz

(53)

I Fiz F2zIFiy Fiy

{Fi} = Fiz {Fi} = F2x (54)Mlz

,M2z

Mly M2yu M2x

Una vez que se define la matriz de rigidez del elemento de seccin variable en coordenadas locales, resultarelativamente simple implementar este tipo de elementos en programas de anlisis estructural. La matriz derigidez del elemento en coordenadas globales se obtiene utilizando matrices de transformacin, y laconectividad entre elementos se define por medio de la regla del ensamble, procedimientos muy utilizados enpaqueteras de anlisis estructural y de elementos finitos.

130

oo.oo. 1'7, ,..

I,.~.~IJ ~

~z = 1. y. = 1,..

~,~ I II I

'......(:1 .11 1

(~I~~

+. = 1

Figura 4 Definicin de los trminos de la matriz de rigideces para elementos de seccin variable

3 CALCULO DE GIROS DE FIJACION y MOMENTOS DE EMP01RAMJENTO

Aplicando el mtodo de las flexibilidades se pueden determinar los giros de fijacin y los momentos deempotrarniento de elementos de seccin variable ante cualquier condicin de carga que se desee. En elpresente trabajo se presenta el planteamiento general para determinar los giros de fijacin y los momentos deempotra miento de elementos de seccin variable ante una condicin de carga dada. Las expresionesespecficas para los casos de cargas uniformemente repartidas y carga puntual se presentan en otros trabajos(Tena y Zaldo, 1993 y 1994).Considrese la viga de seccin variable doblemente empotrada que se presenta en la fig 5a, la cual seencuentra sujeta a una condicin de carga general en su plano principal de flexin. Aplicando el mtodo dela viga conjugada, se pueden determinar los giros de fijacin ( fig. 5b), los cuales, por equilibrio y tomandoen cuenta las deformaciones por cortante, se calculan como:

L LlfzM f \1,(J2. = - __ o_x_dz + Ox d:L EI.(z) GA.-x(z)o o

L M(J = f--OX-dZ - ()1.. El ( ) 2.ro .r Z

(55)

(56)

Los momentos de empotramiento en la direccin principal de flexin se calculan, de acuerdo con la fig 5c,de la siguiente manera :

Mt.x = 'i.r(JI.r -'i2.r(J2.r

M2 . = r22.r(J2.t - '2.r(JI .(57)

(58)

Los giros de fijacin y los momentos de empotramiento ante cargas que actan en la direccin secundaria deflexin se calculan de la misma manera, suponindose que la condicin de empotra miento perfecto est dadatambin en esa direccin (Tena y Zaldo, 1993 y 1994).

--131

pQ)

Mh C.o) Viga de seccion variable doblemente empotrado ante cargo qenerol

b] Vigo conjugado

e) Momentos de empotramiento en funcion de los qiros y las riqideces de lo borro

Figura 5. Clculo de los momentos de empotramiento para elementos de seccin variable

4 PROPIEDADES GEOMETRICAS DE ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE

Para determinar las flexibilidades de un elemento de seccin variable cualquiera, se requiere definir lavariacin de las propiedades geomtricas de su seccin transversal a lo largo de su eje longitudinal. Enestructuras, los elementos de seccin variable pueden dar mejores resultados en vigas y en columnas. Enestructuras de concreto reforzado, las secciones ms usuales para vigas y columnas son la rectangular, lacuadrada, la circular y la T; mientras que en estructuras de acero, los perfiles ms utilizados para estospropsitos son las secciones 1, T, cajn y anular. Tena y Zaldo (1993 y 1994) presentan expresiones paradefinir la variacin de las propiedades geomtricas de las secciones transversales de mayor uso enestructuras, principalmente en prticos.

5 COMPARACION DEL METODO PROPUESTO CON LAS TABLAS DE LA PCA

El mtodo propuesto en este trabajo es ms robusto que el utilizado hace casi 50 aos por los investigadoresde la Portland Cement Association para elaborar sus tablas de diseo (pCA, 1958), ya que se consideran lasdeformaciones por cortante, la relacin claro-peralte y la forma de la seccin transversal. Por lo tanto, es deesperarse que existan diferencias entre ambos mtodos. Las tablas de la peA consideran que, para cartelasque varan linealmente, la variacin del momento de inercia de la seccin transversal se puede calcularcomo:

132

l..(z>'= l.r{ 1+ r( 1-~JJ (59)en donde a representa el porcentaje de la longitud de acartelamiento con respecto al claro total y r es elcambio de la profundidad del miembro (de mayor a menor) a consecuencia del acartelamiento, es decir :

r = !:L:..!!:l. (60)hG) (!)c;.~ .T;l , -L- O'=:j O I I Df J I-L .J

J Q.J l o.,q O.JL0.6 hOcaso 1 G G

G) (!)

T;j , -L- -L-~

OI I

D'r,

J OI....L .J

110 J O~ l O~ lcoso 2 G> (!) G> (!)

G) (!)c;.~ .T; , ....L -L=:j O I 1 D'r O'J I-L- .J1,5 N) J Q.ll Oll 0.4 t

caso 3 G) (!) G> (!)

G> (!)

I.~ T;, -L -L

OI I

D'r O,

J I

-L .J

lhO J Q.lL O.'l O.J lcaso 4 G (!) G (!)

G

@ ~ U; , -L -LO i I D'f O'J I1110 -Lo .JJ1110 O.H 0.5 lG G

caso 5Figura 6. Trabes acarteladas en consideracin (Tabla 1)

133

-Las hiptesis de las tablas de la PCA son ms consistentes con la variacin de los momentos de inercia de laseccin rectangular, por lo se espera una mejor correlacin para este caso, sin embargo, es claro que parasecciones irregulares como la seccin T o secciones regulares de alma abierta como la seccin 1,en donde lospatines contribuyen de manera importante en el momento de inercia de la seccin, se pueden tener

. diferencias que pudieran no ser despreciables (Tena y Zaldo, 1993 y 1994).Esto ltimo se ejemplifica en la tabla 1, en donde se comparan los factores de rigidez y los momentos deempotramiento para los cinco casos distintos de trabes acarteladas que se ilustran en la fig 6, de acuerdo conlas tablas de la peA, o con el procedimiento propuesto, considerando la forma de la seccin transversal devigas T con anchos de patines de acuerdo con el RCDF-87 y vigas de seccin rectangular, cuyas dimensionestambin se ilustran en la fig 6. La relacin entre el claro del elemento y el peralte de la seccin de menorperalte es en todos casos de 20 (L/ho = 20). Los momentos de empotramiento proporcionados en la tabla 1corresponden a los casos de carga uniformemente repartida y carga puntual al centro del claro de la viga. Lanomenclatura utilizada en la tabla corresponde a la presentada en este captulo.

'11

.1j

Tabla 1 Comparacin de los factores de rigidez y momentos de empotramiento de las tablas de laPCA contra los obtenidos con la formulacin propuesta para secciones rectangulares y T

para los casos ilustrados en la fig 2.14 (L/hO=20)

Caso Hiptesis Factores de rgidez! Momentos de Empotramientocarga uniformcZ carga puntual CLJ

rllx fJ2x r22x Mlx M?x M1x M2xpeA (34) 8.25 5.68 9.27 0.0969 0.1001 0.1495 0.1606

1 Rect 8.17 5.60 9.17 0.0969 0.1001 0.1500 0.1613T 7.92 5.35 8.86 0.0966 0.0996 0.1488 0.1600

PCA (41) 17.34 12.00 17.34 0.1023 0.1023 0.1667 0.16672 Rect 17.05 11.71 17.05 0.1022 0.1022 0.1663 0.1663

T 15.89 10.70 15.89 0.1015 0.1015 0.1650 0.1650peA (44) 15.69 13.42 19.44 0.1034 0.1139 0.1587 0.1965

3 Rect 15.39 13.07 19.05 0.1033 0.1139 0.1588 0.1963T 14.41 12.00 17.71 0.1031 0.1136 0.1588 0.1925

PCA (54) 32.77 28.02 32.77 0.1153 0.1153 0.1934 0.19344 Rect 31.70 26.97 31.70 0.1152 0.1152 0.1938 0.1938

T 28.87 24.18 28.87 0.1147 0.1147 0.1925 0.1925peA (53) 37.04 10.92 6.63 0.2036 0.0393 0.3655 0.0370

5 Rect 36.29 10.64 6.53 0.2028 0.0396 0.3638 0.0375T 33.33 9.78 6.27 0.1942 0.0420 0.3463 0.0425

Notas :1 Factores de rigidez multiplicados por E10IL. donde lO es el momento de inercia del elemento en suseccin transversal mnima.2 Momentos de empotramiento multiplicados por ffiL23 Momentos de empotramiento multiplicados por PLpeA (xy) significa que en la tabla de la PCA nmero :o.:yse obtienen los factores presentados en esta tabla

I para los casos en estudio

l'

1

De acuerdo con la tabla 1, los errores que se cometen en la estimacin de los momentos de empotramientoutilizando las tablas de la PCA son despreciables. De la inspeccin de la tabla 1 tambin se confirma elhecho que los errores en que se incurren en la estimacin de los factores de rigidez utilizando las tablas de lapeA son menores en elementos acartelados de seccin rectangular (entre el 1% y el 3.5% en los casos que se

134

--

presentan), que en las secciones T consideradas (entre el 4% y el 13.5% en los casos que se presentan). Sepuede afirmar con certeza que la forma de la seccin transversal y la relacin entre sus distintas dimensionesinfluyen directamente en los factores rigidez de los miembros, por 10 que para algunos casos, las tablas de lapeA pueden llevar a errores significativos, como, por ejemplo, en trabes acarteladas de seccin T conpatines muy anchos y gruesos en donde las longitudes y profundidades de acartelamiento sean relativamentegrandes. En general, las tablas de la peA sobre estiman los factores de rigidez, como se observa en la tabla1. Investigaciones recientes en elementos finitos (El-Mezaini et al, 1991) han demostrado que los factores derigidez de trabes acarteladas proporcionados por las tablas de la peA pueden cometer errores tan grandescomo el 50% o incluso hasta el 100%.Por otro lado, las tablas de la peA consideran que los factores de rigidez son independientes de la relacinclaro-peralte. Por aos, se han diseando trabes acarteladas bajo este criterio, el cual no es correcto. Larelacin claro-peralte afecta directamente a los factores de rigidez en trabes acarteladas. Esto se ilustra en lafig 7, en donde se presenta la variacin de los factores de rigidez de trabes acarteladas de seccin T similaresen dimensiones a las consideradas en la tabla 1, para cartelas simtricas con longitudes de acartelamiento de0.30L (rango de acartelamiento ms comnmente observado en trabes acarteladas de concreto reforzado enla, ciudad de Mxico) y profundidades de acartelamiento entre 0.2110 y 2.110. Dichos factores estnnormalizados con respecto a los factores de rigidez obtenidos para una relacin claro-peralte menor de 10(hoIL = 10). Se puede observar de la fig 7 que, efectivamente, los factores de rigidez no son constantes y quedependen de la relacin claro-peralte mnimo.

1.3r----,---------,.----,------, l.lr-------~---__:======.,/~-:::., : :-~-=~~_.__._---_._--_.-/ i I

I-_.------I

--,--;'-'-i'---+----+----

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I

,'I-------i-J>-~l-='..-----;.-,-_._._._ .1.1 I ./; I'---~-- --t---_.._----~ V I ! ,.O~--i'---T----L---L---1----~ 1 i

.9 II .: t----

.af--l--I----+----t----~--+----i I I.7f--tic........--+----r---7---'-~----!

.6-0""'O';""'--~---':.O---.....6O---...J.ao---...J,00

60 80 '00L/h L/h

Notas: y = 0.2 (lnea continua) y = 2.0 (lnea discontinua)

Figura 7 Curvas de correccin para trabes T acarteladas con longitudes de acartelamiento de 0.3L

A partir de la observacin de la fig 7 se concluye que, en la direccin principal de flexin y para claroscortos (5~hofL ~1O), los factores de rigidez son menores y varan del 60% al 100% del valor nominal dehofL = 10, lo cual se debe, en parte, a que las deformaciones por cortante son ms importantes en claroscortos. Para claros largos (hofL > 20), dichos factores se increrncntan con una tendencia asinttica. Se puedeconsiderar que la mayor parte de las trabes acarteladas se comprenden en el rango de relaciones claro-peraltemenor 10 ~hofL ~ 30. Para fines prcticos, se pueden elaborar tablas para relaciones hofL = 10 (secciones Ttipicas de concreto reforzado) halL = 20 (perfiles 1 de acero estructural) y proporcionar tablas 6 grficas deajustes para otras relaciones.

6 NUEVAS AYUDAS DE DISEO

Tena y Zaldo (1994) presentan ayudas de diseo para vigas T e I de seccin variable, as como sus. respectivas curvas de correccin para el plano principal de flexin del elemento. Los criterios utilizados en la

135

--

elaboracin de las tablas de las vigas T fueron los siguientes. Se consider un ancho de patin igual a b+16t,ya que es el ancho de patn equivalente que las Normas Tcnicas Complementarias para Estructuras deConcreto sugiere tomar para efectos de rigidez lateral para sistemas de piso formados por vigas y losasmacizas, que es el sistema ms comnmente utilizado en edificios de concreto reforzado en la ciudad deMxico. La relacin claro > peralte rninimo del alma se tom igual a 10, ya que esta es la relacin msfrecuente en vigas de marcos de concreto reforzado. La relacin entre el ancho del patn y el peralte mnimodel alma es de 1/4, la cual es comn en los edificios con trabes acarteladas de los cuales se recabinformacin. La relacin entre el ancho del alma y el peralte mnimo del alma es de 3/4. Los criteriosutilizados en la elaboracin de las tablas para las secciones 1 son los siguientes. Las dimensiones de lasecci6n 1 se bas en un estudio estadstico de los perfiles W del grupo 2 (AISC, 1987). Estos perfiles sonW36" 135 a 194, W33 x 118 a 152, W30 x 99 a 121, W27 x 84 a 178, W24 x 68 a 162, W21 x 57 a 147,W18 x 65 a 119, W16 x 57 a 110, W14 x 61 a 132, W12 x 65 a 106, WI0 x 49 a 112 y W8 x 58 a 67. Seseleccionaron estos perfiles por ser de los ms comnmente utilizados en la prctica. Las medias y lasdesviaciones estandar de las relaciones que deben de guardar los perfiles para cumplir con los criterios de lassecciones compactas se resumen en la tabla 2. '

Tabla 2 Estadsticas de los criterios para secciones compactas para las secciones W del grupo 2Estadstica bp'2tf d/tw dlbf

x-" 6.51 39.23 1.96

; 1.29 12.24 0.72O"n-l 1.30 12.32 0.73

Para la elaboracin de las tablas, la relacin del patn (b12tf) se tom como 6.51, correspondiente a la mediaobtenida para las secciones W del grupo 2 de acuerdo con la tabla 2, puesto que los patines se mantienenconstantes en los elementos de seccin variable a considerar. En cuanto a las relaciones de esbeltez del alma(d/tw) y la relacin entre la altura del alma y el ancho del patn (dlbf), se tomaron valores de la media menosuna vez la desviacin estndar de la muestra, tomando en consideracin que las tablas se elaboran enfuncin de las propiedades de la seccin de menor peralte, y que, para las relaciones de profundidad deacartelamiento consideradas en la tabla (O s;Ys; 2), las relaciones mencionadas en las zonas de mayor peraltede las trabes acarteladas se encontraran en valores de la media ms menos una desviacin estndar de lamuestra. Por tanto, para la seccin de menor peralte (d=ho) se tom d/tw = 26.91 Y de dlbf = 1.23. Larelacin claro - peralte mnimo del alma se tom igual a 20, ya que esta es una relacin comn en vigas demarcos de acero.

7. RESUMEN Y CONCLUSIONES

Se present una formulacin robusta basada en la teora de vigas y el mtodo de las flexibilidades para ladefinici6n de las matrices de rigidez elsticas bidimensionales y tridimensionales de elementos de seccinvariable, en donde se toman en cuenta adems las deformaciones por cortante y la forma de su seccintransversal. La implementacin del mtodo propuesto en programas de anlisis estructural, as como suaplicacin directa resulta relativamente sencilla. El procedimiento propuesto, que para fines prcticos puedeconsiderarse como exacto, se compar con tablas de la peA y se demostr que en el presente stas resultanobsoletas debido a las hiptesis simplificadoras utilizadas en la poca en que fueron elaboradas, algunas delas cuales pueden llevar a errores significativos, como por ejemplo, el ignorar que los factores de rigidez delos elementos de seccin varable son independientes de la relacin claro-peralte. Por tanto, se sugiereelaborar nuevas ayudas de diseo de elementos de seccin variable basadas en el mtodo propuesto.

136

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AGRADECIMIENTOS

Los autores quieren agradecer el patrocinio de la Secretara General de Obras del Departamento del DistritoFederal en el desarrollo del presente proyecto de investigacin.

REFERENCIAS

[1] AISC (1987), "Manual of Steel Construction, WSD", American Institute of Steel Construction, octavaedicin.

[2] Brown, C J (1984), "Approximate stiffness matrix for tape red beams", ASCE Structural Journal, vol110, no 12, pp 3050-3055.

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[9] Tena Colunga, A y A Zaldo Garcia (1993), "Ductilidad de marcos con elementos de seccin variable",Reporte FJBSlCIS-93/02, Centro de Investigacin Sisrnica. AC, Fundacin Javier Barros Sierra,diciembre.

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I IX CONGRESO NACIONAL DE INGENIERIA ESTRUCTURALZacatecas, Zcc.

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--1 -- MEMORIAS _._~_.--i

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