Temas de mateáticas

“El que quiere hacer algo encuentra los medios y el que no quiere, encuentra una excusa”

TEMA 1. PRODUCTOS NOTABLES

Objetivos:1. Definir el concepto de producto notable. 2. Explicar y ejemplificar los tipos de productos notables.Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.Casos de productos notables:

a) Cuadrado de la suma de dos cantidadesb) Cuadrado de la diferencia de dos cantidadesc) Cubo de la adición de dos cantidadesd) Cubo de la sustracción de dos cantidadese) Producto de la suma de la diferencia de dos cantidadesf) Producto de dos binomios de la forma (x+ a) (x+ b)

a) Cuadrado de la suma de dos cantidadesElevar al cuadrado a +b equivale a multiplicar ese binomio por símismo, es decir:(a + b)2 = (a + b) (a + b) Resolviendo (a + b) (a + b)=(a) (a) + (a) (b) + (a) (b) + (b) (b) = a2 + 2ab + b2

Podemos concluir que (a + b)2= a2 + 2ab + b2

Por tanto el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.Ejercicio1Resuelva cada uno de los siguientes casos del cuadrado de la suma de dos cantidades.1. (m+3)2 5. (1 +3x2)2

2. (5+ x)2 6. (2x + 3y)2

3. (6a + b)2 7. (a2x + by2)2

4. (x + y)2 8. (am+ an)2

b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidadesElevar al cuadrado a - b equivale a multiplicar estadiferencia por sí mismo, es decir:(a - b)2 = (a - b) (a - b) Resolviendo (a - b) (a - b)=(a) (a) - (a) (b) - (a) (b) + (b) (b) = a2 - 2ab + b2

Podemos concluir que (a - b)2= a2 - 2ab + b2

Por tanto el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.Ejercicio 2.Resuelva cada uno de los siguientes casos del cuadrado de la diferencia de dos cantidades.1. (a – 3)2 5. (10x3 – 9xy5)2

2. (x- 7)26. (xm - yn)2

3. (2a – 3b)27. (10x3 – 9xy5)2

4. (3a4– 5b2 )28. (a7 – b7)2

c) Cubo de la adición de dos cantidadesSi elevamos (a+ b) al cubo Tendremos: (a + b)3=(a + b)(a + b)(a + b) =(a + b)2(a + b)= (a2 + 2ab + b2) (a+ b) = (a2) (a) + (a2) (b) + (2ab) (a) + (2ab) (b) + (b2) (a) + (b2) (b)= a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2+ b3

Podemos concluir que: (a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Po tanto el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo de del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado dela segunda, más el cubo de la segunda.

1Profesor: Alexander Ruiz M.


Ejemplo1.(X+3)3=(x+3) (x+ 3)(x + 3) =(x+3)2 (x+3) = (x2 + 2(x) (3) + (3)2) (x+ 3)= (x2 + 6x + 9) (x+ 3) = (x2) (x) + (x2)(3) + (6x) (x) +(6x) (3)+ (9) (x) + (9)(3) = x3 + 3x2 + 6x2 + 18x + 9x + 27 = x3 + 9x2 + 27x + 27Por tanto: (X+3)3= x3 + 9x2 + 27x + 27Nota: Este problema lo podemos resolver de manera más abreviada, el cuál llamaremossimple inspección. Para ello debemos utilizar la fórmula obtenida: (a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Observe:(X+3)3=(x)3 + 3(x)2 (3) + 3(x) (3)2 + (3)3

=x3 + 9x2 + 27x + 27Ejemplo 2.(2x+ 5)3= (2x+ 5)(2x+ 5) (2x+ 5) = (2x+ 5)2 (2x+ 5) = ((2x)2 + 2 (2x) (5) + (5)2) (2x+ 5) = (4x2 + 20x + 25) (2x+ 5) = (4x2) (2x) + (4x2) (5) + (20x) (2x) + (20x) (5) + (25) (2x) + (25) (5) = 8x3 + 20x2 + 40x2 + 100x + 50x + 125 = 8x3 + 60x2 + 150x + 125Por simple inspección seria:(2x+ 5)3= (2x)3 + 3(2x)2 (5) + 3(2x) (5)2 + (5)3

= 8x3 + 60x2 + 150x + 125Ejercicio 3Resuelva cada uno de los siguientes casos: usando los dos métodos (por procedimiento y por simple inspección).

1. (a + 2)35. (4n+3)3

2. (m + 3)36. (2x + 3y)3

3. (2x + 1)3

4. (2 + y2)3

d) Cubo de la diferencia de dos cantidadesSi elevamos (a - b) al cubo Tendremos: (a - b)3=(a - b)(a - b)(a - b) =(a - b)2(a - b) = (a2 - 2ab + b2) (a- b) = (a2) (a) - (a2) (b) - (2ab) (a) + (2ab) (b) + (b2) (a) - (b2) (b)= a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 + ab2 - b3

= a3 - 3a2b + 3ab2- b3

Podemos concluir que: (a - b)3= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Po tanto el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo de del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda.



Ejemplo1.(X-3)3=(x-3) (x- 3) (x - 3)=(x-3)2 (x-3) = (x2 - 2(x) (3) + (3)2) (x- 3)= (x2 -6x + 9) (x- 3) = (x2) (x) - (x2) (3) - (6x) (x) +(6x) (3)+ (9) (x) - (9)(3) = x3 - 3x2 - 6x2 + 18x + 9x - 27 = x3 - 9x2 + 27x - 27Por tanto: (X-3)3= x3 - 9x2 + 27x - 27

Por simple inspección seria(X-3)3=(x)3 - 3(x)2 (3) + 3(x) (3)2 - (3)3

=x3 - 9x2 + 27x - 27

Ejercicio 4Resuelva cada uno de los siguientes casos: usando los dos métodos (por procedimiento y por simple inspección).1. (x – 1)34. (1 – 2n)3

2. (n – 4)3 5. (a2 – b)3

3. (1- 3y)3 6. (1 – a2)3

e) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.Sean los términos (a + b)(a – b) resolviendo el producto se tiene que:(a + b) (a – b)=(a) (a) - (a) (b) + (a) (b) – (b) (b) = a2 –ab – ab - b2

= a2 – b2

Podemos concluir que (a + b) (a – b) = a2 – b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual: al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo.Desde ahora en adelante resolveremos `por simple inspecciónEjemplo 1

(3 + x) (3 – x)= (3)2 –(x)2

= 9 – x2

Ejemplo2(6 +3x) (3x – 6) = (3x + 6) (3x – 6) = (3x)2 – (6)2

= 9x2 - 36Ejercicio 5Resuelva los siguientes problemas1. (x + y) (x – y) 6. (6x2 – m2x) (6x2 + m2x)2. (m – n) (m + n) 7. (am+bn) ( am – bn)3. (2a – 1) (1 + 2a)8. (2m + 9) (2m – 9)4. ( n – 1) (n + 1)5. (y2 – 3y) (y2 + 3y)

f) Producto de dos binomios de la forma (x + a) (x + b)Para resolver este tipo de producto notable por simple inspección, debes aplicar los siguientes pasos:



1. El primer término del producto es el producto de los primeros términos delos binomios.

2. El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios y en este término la parte literal esta elevada a un exponente que es la mitad del que tiene la parte literal del primer término del producto.

3. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Ejemplo 1(x – 7) (x - 6)= x2 + (-7 -6) x+ (-7) (-6) =x2 – 13x + 42

Ejemplo 2(x2 – 12) (x2 – 3) = x4 + (-12 – 3)x2 + (-12) (-3) = x4 -15x2 + 36

Ejemplo 3(y - 11) (y + 9)= y2 + (-11 + 9)y + (-11) (9) = y2 – 2y – 99Ejercicio 6

1. (x + 2) ( x + 3)2. (n + 3) (n + 5)3. (a2 + 8) (a2 -7)4. (m -8)(m + 12)5. (x3 + 6) (x3 – 8)6. (x4- 2) (x4 + 5)7. (a3 + 12) (a3 – 15)8. (x4 + 7) ( x4 – 11)



Tema nº 2

FACTORIZACIÓN

Objetivos de aprendizaje Emplea la factorización como proceso que le permite descomponer en

factores una expresión algebraica para resolver ejercicios y situaciones del entorno.

Analiza la ecuación de primer grado para expresar y resolver expresiones del lenguajecomún con el lenguaje algebraico y viceversa.

Emplea métodos para resolver situaciones presentadas en ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

INDICADORES DE LOGROS Identifica correctamente los casos de factorización, sus reglas y

procedimientos. Deduce el m.c.d. de expresiones algebraicas a través de la descomposición

de factores. Multiplica los factores de fracciones algebraicas aplicando la factorización y

simplificación.CONTENIDOS CONCEPTUALES

Conceptos generales Casos de factorización

A. Factor común monomioB. Factor común polinomioC. Factor Común por agrupación de términosD. Trinomio cuadrado perfectoE. Trinomio de la forma x2 + bx + cF. Trinomio de la forma ax2 + bx + cG. Diferencias de cuadrados perfectosH. Suma de cubos perfectosI. Diferencias de cubos perfectos

Reconocimientos de los diferentes casos de factorizaciónDesarrollo del contenido

CONCEPTOS GENERALES¿Qué es factorizar o factorar un polinomio? Esto significa transformar en multiplicación

¿Por qué se le llama factorizar o factorear?Porque a los elementos que están multiplicando en una multiplicación se les llama factoresUn factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto.Por ejemplo: Observe los siguientes productos(3)(2)= 6, por los que los factores de 6 son: 3 y 2



(5)(3)(2)=30, por lo tanto los factores de 30 son: 5,3 y 2¿Para qué sirve factorizar un polinomio?Es de gran utilidad pues nos permite obtener información de manera más rápida por ejemplo:

1. Tener factorizada una función polinómica sirve para encontrar o visualizar los ceros o raícesde esa función.

2. Para analizar si la función es negativa o positiva3. Para encontrar los máximos y mínimos de la función4. Para Resolver ecuaciones de segundo grado…,otros

¿Cómo puedo saber si factorice correctamente? Es fácil solo debemos multiplicar los factores que obtuvimos y nos debe dar exactamente el mismo problema originalObserve el siguiente ejemplo:X2 + 3x + 2 = (x +2) (x + 1)

Resolvamos (x +2) (x + 1) = x2 + x + 2x + 2 = x2 + 3x + 2

Podemos concluir que la factorización consiste en descomponer una expresión algebraica en uno o más factores de tal forma que al multiplicar dichos factores entre sí dan como resultado la expresión original.

AHORA VEREMOS ALGUNOS CASOS DE FACTORIZACIÓNA.FACOR COMÚN MONOMIOSe llama así porque en general se aplica cuando en todos los términos hay un factor en común. Pero ¿Qué es un factor común? Es un número, letra, una expresión algebraica, que se está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos por es común.

El factor común monomio es un número o letra que siempre aparece en cada término. De existir un factor común en números debemos buscar el máximo común divisor (m.c.d.) y para el caso de las letras si lo hay debemos elegir la de menor exponente.

Es importante señalar que el factor común es:1. Una letra 2. Un número3. Letra y número

El máximo factor común de un polinomio está formado por:a. El máximo común divisor (m.c.d.) de los coeficientes numéricos.Definición de máximo común diviso (m.c.d.):Son factores comunes con su menor exponente.

Ejemplo

Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:



72 = 23 · 32

108 = 22 · 33

60 = 22 · 3 · 5

Así el máximo común divisor seria 22 · 3= 4 x 3=12

b. Las variables que están en todos los términos, con el menor exponente con que aparecen.

Pasos a seguir para factorizar completamente un polinomio por el método de factor común monomio:

Se divide cada término del polinomio entre el máximo factor común Se escribe la multiplicación del máximo factor común y la suma de los

coeficientes obtenidos.El factor común polinomio puede ser un monomio u otro polinomio de dos o más términos.

Ejemplos:1. Factorizar el polinomio 18x2y3 + 12x3y + 6x2y2

En estos tipos de problemas el máximo factor común es un monomioPasos:a. Determino el máximo factor común del polinomio.6x2yb. Divido cada término del polinomio original entre el máximo factor común

2. 18x2y3 12x3y 6x2y2 = 3y2 =2x =y6x2y 6x2y 6x2y

3. Escribimos la factorización del polinomio original, que es producto del máximo factor común por la suma de los coeficientes obtenidos.

18x2y3 + 12x3y + 6x2y2 = 6x2y (3y2 + 2x + y)2. 2x2 + 16x3

3. 10xy3 + 20x2y2 – 50yx3

4. 5m2 – 5m + 45m3



5. 8m2n3 – 8m2n2 – 8m4n6

B. FACTOR COMÚN POLINOMIO

Es un polinomio que se repite en cada uno de los términos de la expresión algebraica.

Ejemplos:

1. Factorizar el polinomio 2x (x + 1) – 3y (x + 1)En estos tipos de problemas el factor común es un polinomioPasos:a. Determino el máximo común factor del polinomio. X + 1.b. Divido cada término del polinomio entre el máximo común factor.

2x (x + 1) 3y (x + 1) = 2x = 3y X+1 x + 1

c. Escribo la factorización del polinomio original, que es el producto del máximo factor común por la suma de los coeficientes obtenidos.2x (x + 1) – 3y (x +1)= (x + 1) (2x – 3y)

2. 2a (x +a) + 4b(x + a)3. a (x+1) + b (x+ 1) 4. 3x3 (x + y) + 9x (x +1) + (x +y)5. 5a2 (3a + 2c)- 15a5(3a +2c) + 25 (2c + 3a)

Práctica

Resuelva la siguiente práctica en tu cuaderno de matemática

1. Factorice las siguientes expresiones algebraicas según sea el caso y diga cual caso es.1. 5y4 – 10y2 13. 66x3 – 44y2 – 88y2. 5 (x -1) + 10 bx 14. 48b5c4d3 – 72b3c4d5

3. 21m – 35n – 42 16. P(x –z)-(x-z)4. 8a2 – 6a3c – 4a2 17. (a – 3)- (3 – a) + (a- 3)3

5. 25 x3y2 – 45 x2y3 18. 8x3 + 6x8

6. 28y + 56y3 + 42y5 19. 4 (a + b) + 3x(b + a)7. 12m3n2 – 6m2n2 + 18m2n 20. P -1 + 2 (p – 1) + y (p – 1)8. 3p2 + 6p(x –y) 21. 4x2 (2w – 3) – 5 (2w – 3)9. 17 x6y6 – 51 pt4y4 + 85 x2y2

10.75 x5 – 50x4 + 25x3

11.3mn3 – 6m3n12.15w5z + 20w3z – 25w4zc



C. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

Se llama así porque se toman grupos de términos para sacar factor común entre ellos.

¿Por qué se elige grupos de términos?

Porque en el polinomio no hay factor común para todos los términos, pero si los hay para algunos términos entre sí. Y con estos términos que tienen factor común entre sí es que se arman los grupos.

Pasos a seguir para la factorización de términos:

Asociar los términos de forma tal que cada grupo tenga un monomio como factor común.

Factorizar nuevamente teniendo en cuenta que cada factor común es un polinomio.

Ejemplo:

1. 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común:(2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b)Saco el factor común de cada grupo:a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:(2x -y +5)(a + b)Que es nuestra respuesta.2. 17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = (17ax +3ay +7z) - (17mx + 3my +7mz)

= a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z) = (17x +3y +7z) (a – m)

3. m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1)

= (x + 2) (m + 2)

Práctica



D. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO



Cuando estudiamos los productos notables, analizamos un caso en el cual encontramos el cuadrado de un binomio. Al resultado se este cuadrado lo llamamos TRINOMIO CUDRADO PERFECTO.

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto, cuando el primero y el tercer término son cuadrados perfectos; es decir, tienen raíz cuadrada exacta y son positivos; y además, el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

REGLA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

a) ordenar los términos si es necesario (Recuerda que los términos de los extremos deben ser positivos).

b) extraer la raíz cuadrada de los términos de los extremosc) se multiplica por dos las raíces obtenidas.(debe dar exactamente el

término del medio, no consideres el signo)

Ejemplos:

1. x2 – 20 xy + 25 y2 = (2x – 5y)2

2x 5y

2 (2x) (5y)

20x

2.25

100a6−3

8a3b4− 9

64b8

= (5

10a3−3

8b4)2

510a3 3

8b4

2 (5

10a3¿ (

38b4 ¿

38a3b4

PRÁCTICA



1. 1/4 b6 + x4a2 - x2ab3

2. x2 + 2 √3 x + 3

3. 1/4 b6 + x4a2 - x2ab3 4. -x2 + 6x - 9

5. x2 + 6x + 96. 16x2 + 8x +17. y2 + 10y + 258. 4y2 - 24y + 369. 25x2 + 30xy + 9y2

10.x2 + 14x +4911.x2 − 20x + 10012.100x10-60c4x5y6+9c8y12

E. Trinomio de la forma x2 + bx + cEste tipo de trinomio presenta las siguientes características:

Él primertérmino debe ser una letra cualquiera positivay elevada a un exponente par; su coeficiente 1. Ejemplo X2; X4; X10;…etc.

El segundo término que tiene debe tener la misma letra que el término anterior pero su exponente es la mitad del primero y puede ser negativo o positivo.

1. El tercertérminoes independiente de la letra que aparece en los otros dos primeros términos y es una cantidad cualquiera (+ o -).

Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término

será la raíz cuadrada del primer término.

2. El signo del primer binomio después de la letra será el mismo signo que tenga el segundo término “bx”, el signo del segundo binomio después de la letra será igual a la multiplicación de los signos del segundo término “bx” y del tercer término “c”.

3. Si los dos factores del binomio tienen signos iguales en el medio entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.

4. Si los dos factores del binomio tienen signos diferentes en el medio entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio.



Sugerencia: si el tercer término es una cantidad bastante elevada, lo conveniente es que lo descompongas en factores primos; de esta manera podemos saber, que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos que busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo nos preocuparemos por cumplir la suma algebraica. Así: por ejemplo si quiero descomponer 380 en números primo procedo de la siguiente forma:

Ejemplos explicativos:1.m2+ 8m + 15Paso 1. (m ) (m )Paso 2. (m + ) (m + )Paso 3 (m +3) (m + 5)

2. m2 – 7x +12Paso 1. (m ) (m )Paso 2. (m - ) (m - )Paso 3 (m -4) (m - 3)

3. m2 + 2m – 15Paso 1. (m ) (m )Paso 2. (m + ) (m - )Paso 4 (m + 5) (m - 3)

4. m2 - 66m + 1080Paso 1. (m ) (m )Paso 2. (m - ) (m - )Como 216 es un número elevado lo descomponemos en factores primos

1080 2 2x2x2 = 8Luego combinemos estos540 2 2x2x2x3 = 24 resultados.270 2 2x3x5 = 30 135 + 8 = 143 no sirve135 3 45 + 24 = 69 no sirve45 3 3x3x3x5 = 135 30 + 36 = 66 si sirve15 3 3x3x5 = 455 5 2x2x3x3 = 361Paso 3 (m -36) (m - 30)



Casos especiales1. X4 – 5x2 – 50Paso 1. (x2 ) (X2 )Paso 2. (x2 - ) (x2 + )Paso 4 (x2 -10) (x2+5)

2. m2n2 – mn - 42Paso 1. (mn ) (mn )Paso 2. (mn - ) (mn + )Paso 4 (mn - 7) (mn + 6)

3. (5m)2 – 9(5m) + 8Paso 1. (5m ) (5m )Paso 2. (5m - ) (5m - )Paso 3 (5m - 8) (5m - 1)

Estimados alumnos los problemas anteriores están resueltos paso a paso con la finalidad que usted valle adquiriendo el dominio de este tipo de factorización pero con la práctica usted debe resolverlos problemas directamente usando el paso 3 ó 4 dependiendo el caso.Por ejemplo:X2 + 2x -15 = (x + 5) (x – 3)

Práctica1. X2 - 6X – 402. X2 - X – 63. X2 - 9X + 84. X2 + 4X + 35. X2 - 16X + 636. m2 + 10m – 2007.k2 - 3k – 1808. t4 - 8t2 + 129. -c2 - 13c + 3010. X2 - 39X + 10811. X4 - 5X – 5012. X2 - X + ¼13. b2 + 17b + 7014. s2 + 24s + 135

F Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Expresiones como 2x2 + 3x - 2, 6a4 + 7a2 + 2, 7m6 - 33m3 -10,



Son trinomios de la forma ax2 + bx + c. Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características: 1. El coeficiente del primer término es diferente de 1.2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con exponente a la mitad.3. El tercer término es independiente de la letra que aparece enel primer y segundo términos del trinomio. Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, existen variasformas, a continuación se describirá una de ellas. Ejemplos:1. Factorizar 6x2 -5x – 6Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2 que en este caso es 6, y se deja indicado el producto de 6 por 5x y se tiene que: 36x2 -6(5x) – 36Observa que solo se multiplican el primero y tercer término por el coeficiente de x.Pero 36x2= (6x)2 y 6(5x) = 5 (6x)Por tanto podemos escribir el trinomio como(6x)2 – 5(6x) – 36 es decir hemos llevado al trinomio a la forma x2 + bx+ c ver ejemplo 3 del caso especial pag 14.El primer término de cada factor serála raíz cuadrada del primer término en este caso la raíz cuadrada de (6x)2 seria 6x, luego:(6x– ) (6x + )Buscamos dos números que multiplicado me de 36 pero que restado me de 5 que serían 9 y 4con lo que tenemos que:(6x – 9) (6x + 4)Como al principio el trinomio se multiplico por 6, ahora tenemos que dividirlo entre 6 para que no se altere el trinomio. Esto se debe hacer siempre y depende del coeficiente de la x2. Así tenemos que:(6x – 9) (6x + 4) 6Pero como ninguno de los binomios es divisible exactamente por 6, descomponemos 6 en 2 x 3 y dividimos (6x – 9) entre 3 y (6x + 4) entre 2 dando como resultado:(6x – 9) (6x + 4) 3 . 2(2x – 3) (3x + 2) luego6x2 -5x – 6 = (2x – 3) (3x + 2)

2. Factorizar 15x4 - 23x2 + 4



=15(15x 4 - 23x 2 + 4) Se multiplica y se divide el trinomio 15 por el coeficiente del primer término. =(15x 2 ) 2 - 23(15x 2 ) + 60 Se resuelve el producto del primero 15 y tercer término dejando indicado el del segundo término.

=(15x 2 - 20)(15x 2 - 3) Se factoriza como en el caso del trinomio 15 de la forma x2 + bx + c, o sea, se buscan dos números que multiplicados de 60 y sumados 23. (Se suman por que los signos de los dos factores son iguales)

=5(3x 2 - 4)3(5x 2 - 1) Se factorizan los dos binomios resultantes 5 . 3 sacándoles factor común monomio, se descompone el 15 y por último se simplifica. por tanto15x4 - 23x2 + 4 = (3x2 - 4)(5x2 - 1)

OTRO MÉTODO ES EL SIGUIENTE( por ensayo y error)Factorizar 15x4 - 23x2 + 4 1. Se descomponen el primero y tercer término en factores, tomando en cuenta que al multiplicarlo debe dar exactamente al término que se descompuso tanto en signo, coeficiente, letras, exponentes.

15x4 - 23x2 + 4 3x2 - 4 5x2 - 1

2. Se multiplica los factores obtenido de manera cruzada tomando en cuenta los signos. Y se suman algebraicamente

3x2 - 4

5x2 - 1

= -20x2 - 3x2 = -23x2

3. Si al aplicar el paso 2 da exactamente el término del medio procedemos a factorizar. Para ello abrimos dos paréntesis y colocamos los factores obtenidos pero usando una combinación horizontal.



3x2 - 4

5x2 -1

(3x2 – 4) (5x2 -1)

Práctica1. 6x2 - 7x – 3 R. (2x – 3) (3x +19

2. 20x2 + 7x – 6 R.(4x + 3) (5x – 2)

3. 18a2 -13a – 5 R. (a - 1) (18a + 5)

4. 12m2 - 13m – 35 R.(3m - 7) (4m + 5)

5. 20s2 + s – 1 R. (4s + 1) (5s – 1)

6. 8m2 -14m – 15 R. (2m – 5) (4m + 3)

7. 16m + 15m2 – 15 R. (3m +5) (5m – 5)

8. 15x4 – 11x – 12 R. (3x2 – 4) (5x2 + 3)

9. 12x2y2 + xy – 20 R. (3xy + 4) (4xy -5)

10. 20 – 3x – 9x2 R. – (3x + 5) (3x – 4)

G. Diferencias de cuadrados perfectos

En el tema anterior, hablamos de los productos notables, vimos que la suma de dos cantidades por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo. O sea (a + b) (a – b) = a2 – b2; luego recíprocamente: a2 – b2 = (a + b) (a – b)Expresiones como a2 - b2 , 42 - p2q2 , 1/9y2 - m2n2, se denominan diferencias de cuadrados perfectos, ya que los términos que lo forman tienen raíz cuadrada exacta.La regla para factorar una diferencia de cuadrado es:Se extrae la raíz cuadrada a minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia ente las raíces del minuendo y del sustraendo.Ejemplos:1. x2 - y2

Raíz cuadrada de x2 = xRaíz cuadrada de y2 = y x2 - y2 = (x + y)(x - y)



2. 4a2b2 - 9x2y4 Raíz cuadrada 4a2b2 = 2abRaíz cuadrada 9x2y4 = 3xy2

Entonces 4a2b2 - 9x2y4 = (2ab + 3xy2)(2ab - 3xy2) 3. 25m2 - 16n2

4 Raíz cuadrada de 25m2 = 5m 4 2 Raíz cuadrada de 16n2 = 4n Entonces: 25m2 - 16n2 = (5m + 4n)(5m - 4n) 4 2 2Caso especial1. 4x2 – (x + y)2

2x (x + y)

4x2 – (x + y)2 = (2x + (x + y)) ((2x - (x + y)) = (2x + x + y) (2x -x - y)= (3x + y) (x – y)

Práctica1. m2 -1 10. 196x2y4 – 225z12

2. d2 – 4 11. 14

– 9m2

3. 1 – 4m2

4. 16 – n212. ( x –y)2 – 4z2

5. 25 – 36x2

6. 1 – 49x2y2

7. 4x2 – 81y4

8. m2k8 – c4

9. 100m2n4 – 169y6

H. Suma de cubos perfectos


Recuerda extraer la rices del minuendo

ydelsustraendo


Expresiones como x3 + 1; 8x3 + 27b3; 64 +a3 son ejemplos de suma de cubos perfectos. Para resolver estos tipos de problemas se usa la siguiente formula:a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)Esta fórmula nos dice que la suma de los cubos perfectos se descompone en dos factores.

En el primer factor se coloca la suma de raíces cúbicas En el segundo factor se coloca : el cuadrado de la primera raíz, menos el

producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raízEjemplos:Buscar los factores de:1.x3 + 1 = (x + 1) (x2 –x(1) + 12) = (x + 1) (x2 –x + 1)

2. 27a3 + b6=(3a + b2) ⦋(3a)2– (3a)(b2)+ (b2)2⦌=(3a + b2) ⦋9a2 – 3ab2+ b4⦌

Práctica

1. 64 +a3

2. 8x3 + 27b3

3. 1+ 343n3

4. 1 + d3

5. x3 + y3

6. b3 + 277.8x3 + y3

I. Diferencia de cubos perfectosExpresiones como x3 - 1; 8x3 - 27b3; 64 - a3 son ejemplos de suma de cubos perfectos. Para resolver estos tipos de problemas se usa la siguiente formula:a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)Esta fórmula nos dice que la diferencia de los cubos perfectos se descompone en dos factores.

En el primer factor se coloca la diferencia de raíces cúbicas En el segundo factor se coloca : el cuadrado de la primera raíz, más el

producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raízEjemplos:Buscar los factores de:1. x3 - 1 = (x - 1) (x2 +x(1) + 12) = (x - 1) (x2 +x + 1)



2. 27a3 - b6=(3a - b2) ⦋(3a)2+ (3a)(b2)+ (b2)2⦌=(3a - b2) ⦋9a2 + 3ab2+ b4⦌

Práctica

1. a3 - 1252. 1 -216 x3

3. x6 – b9

4. 8x3 – 27m3

5. 1 - p3

6. b3 – c3

8. x3 – 89. 8x3 - 125

RECONOCIMIENTOS DE LOS DIFERENTES CASOS DE FACTORIZACIÓN: coloca al lado a qué tipo de factorización pertenece1. b3 – c3_________________________________________________2. x3 + y3_________________________________________________3. 6x2 - 7x – 3_____________________________________________4. 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b_______________________________5. m2 -1 _________________________________________________6. X2 - 39X + 108__________________________________________

7.x2 − 20x + 100_____________________________________

8. x2 + 6x + 9____________________________________________ 9. 25x2 + 30xy + 9y2_________________________________________

10. 16m + 15m2 – 15________________________________________ 11. t4 - 8t2 + 12____________________________________________ 12 . 4x2 (2w – 3) – 5 (2w – 3)__________________________________


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