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TEMARIO

TOPOGRAFÍA 2017

MANUAL DE TOPOGRAFÍA PLANIMETRÍA

PRINCIPIOS BASICOS DE LA TOPOGRAFÍA

LA TOPOGRAFÍA Y SUS APLICACIONES

Manual de Topografía - Planimetría 2008

1 Ing. Sergio Junior Navarro Hudiel

El conocimiento de un ingeniero civil depende de dos partes: la práctica y la teoría. El ingeniero sin práctica simplemente no es ingeniero, la teoría sin práctica no funciona. El ingeniero es un hombre de campo, si no sabe como funcionan las cosas en el mismo, fracasa. La mayoría del tiempo, el ingeniero la pasa en el campo compartiendo conocimientos con los expertos en la materia (albañiles, maestros de obra, etc.). Saturar nuestro cerebro con teoría nos puede llevar al fracaso por tanto es necesario combinar dichos conocimientos con la practica. El escritor y educador Richard L. Weaver afirma: “Cuando existe una red entre lo aprendido en el aula y la propia experiencia salta una chispa que enciende la bombilla de la comprensión.” En el aula hemos aprendido muchos métodos y teorías para resolver algunos problemas que se puedan presentar en el campo de trabajo. Los trabajos de ingeniería civil es indispensable el dominio de la topografía. Cualquier tipo de proyecto que se ejecute necesita de la aplicación de la misma. El ingeniero civil debe ser el que domina y maneja la situación y el aspecto topográfico de todo proyecto. La topografía trata de establecer un control en la configuración de un terreno y de elementos artificiales, naturales se pueden encontrar a través de medidas que se representan en mapas o planos con técnicas apropiadas. Su objetivo es medir grandes extensiones de tierra este se puede encantar de medir distancias horizontales y verticales puede tomar datos necesarios según su forma y accidente entre puntos y objetos sobre la superficie. De manera general se establece un control tanto vertical como horizontal de las medidas del terreno para poder representarlos en escala con su forma y accidentes. He tratado de recopilar en este documento información que le facilite a los estudiantes el aprendizaje y facilite la investigación para el area de topografía. Hemos dedicado este documento al desarrollo y comprensión de la parte correspondiente a Planimetría. Ing. Sergio Navarro Hudiel



UNIDAD I: INTRODUCCION A LA TOPOGRAFIA Historia de la topografía Los orígenes de la profesión datan desde los tiempos de TALES DE MILETO y ANAXIMANDRO, de quienes se conocen las primeras cartas geográficas y las observaciones astronómicas que añadió ERASTÓGENES. Acto seguido, guardando la proporción del tiempo HIPARCO crea la teoría de los meridianos convergentes, y así como estos pioneros, recordamos entre otros a ESTRABON y PLINIO, considerados los fundadores de la geografía, seguidos entre otros por el Topógrafo griego TOLOMEO quien actualizó los planos de la época de los Antónimos. Mas tarde en Europa, se mejoran los trabajos topográficos a partir de la invención de las cartas planas. Luego en el siglo XIII con la aplicación de la brújula y de los avances de la Astronomía, se descubren nuevas aplicaciones a la Topografía. Así, de manera dinámica a través del tiempo la Topografía se hace cada vez más científica y especializada, por estar ligada a lograr la representación real del planeta, valiéndose para este propósito en la actualidad de los últimos adelantos tecnológicos como la Posición por satélite (GPS y GLONASS) gracias a los relojes tómicos y a la riqueza de información captada por los Sensores remotos. Paralelamente, el desarrollo de la informática y el rayo láser han permitido poner en marcha los sistemas inerciales y las mediciones del sistema SPS (Sistema de Posicionamiento Espacial), mezclando estos sistemas con la inmensurable información captada por las imágenes digitales. En América, la aplicación concreta y el desarrollo de la Topografía nos presenta un panorama enmarcado dentro de los tiempos de la conquista y la colonia y más específicamente por los trabajos adelantados por MUTIS, ALEXANDER VON HUMBOLDT y FRANCISCO JOSE DE CALDAS. Posteriormente España envía misiones de Cartógrafos dentro de los cuales es notable AGUSTÍN CODAZZI. En la continua tarea de establecer las "VERDADERAS" medidas y formas del territorio, siempre ligadas a los hechos políticos y a la soberanía, ha pasado una extensa lista de Cartógrafos, Geógrafos, Astrónomos etc., con el propósito de lograr la representación lo más real y exacta posible de la tierra, que se resume etimológicamente en dos palabras: TOPO = TIERRA y GRAFOS = DIBUJO. Contemporáneamente, no podemos dejar sin registrar que los Estados Unidos, país desarrollado por excelencia en el planeta, tuvo en su primer Presidente al Geómetra GEORGE WASHINGTON a quien se le debe en la práctica la medición del territorio occidental de la colonia y de las llanuras del otro lado de los montes Apalaches.



Académicamente dentro del ámbito suramericano, es importante señalar que la cátedra de Topografía se impartió por primera vez en México en el Real Seminario de Minería en el año de 1792, luego en 1843 se establece el curso de Geodesia y en 1858 se instituyó la carrera de Ingeniero Topógrafo o Agrimensor. A la par con la demanda de las primera obras como la apertura de ferrocarriles y caminos, se crea la Ingeniería Civil y junto a ella con el pasar del tiempo se forman los auxiliares instrumentistas que por la habilidad técnica en tareas repetitivas de campo y a la necesidad del Ingeniero de una cantidad considerable de tiempo para realizar las cálculos ya que tenía que realizarlos a mano, se abre un espacio para el comienzo del denominado "Topógrafo Empírico". A esto contribuyó el monopolio de la Ingeniería Civil, y la falta de Universidades con programas para la formación de Topógrafos. Con el tiempo, quien tenía la vocación por la topografía encontró en las Escuelas Internacionales, una especie de Universidad a distancia para adquirir algunos conocimientos teóricos, y en la mayoría de las veces lo hacían quienes fueron entrenados por los Ingenieros Civiles en la labor de operar instrumentos, o cadeneros adelantados. Importancia de la práctica de campo en el desarrollo de la clase Son actividades complementarias a la docencia regular de vital importancia para la formación profesional del alumno, pues le permiten aplicar los conocimientos adquiridos en las clases, ejercicios y laboratorios, en un trabajo concreto. Con ello el alumno se vincula a la realidad humana, técnica, económica y operacional, propia de la actividad laboral, lo cual además contribuye al desarrollo de su madurez personal, a través de la convivencia, cumplimiento de sus deberes, observación, análisis, síntesis., juicio y toma de decisiones que surjan del trabajo realizado. Las prácticas pre-profesionales ayudan al alumno a ir aclarando y consolidando su vocación profesional, además de permitirle darse a conocer, abriéndose con ello posibilidades de trabajo como futuro Ingeniero. Otra consecuencia natural de esta actividad que conviene destacar, es que fomenta y contribuye a mantener un buen nivel de relaciones entre la Universidad y las Empresas, con todos los beneficios que esto significa debido al intercambio de conocimientos, experiencias, servicios y recursos en general. La actividad profesional de el ingeniero civil se enfoca en la planeación, proyección, construcción y operación de obras civiles -vivienda, hospitales, escuelas, edificios de oficinas, obras para los sistemas de transporte, así como las obras hidráulicas y sanitarias, entre otras; y dichas obras tienen como base principal la topografía, es por ello que a la topografía se le considera la base de la ingeniería civil.



A través de la práctica tendremos la capacidad de sugerir o establecer nuevos métodos para resolver problemas tomando como referencia cada error cometido. Cualquier persona no especializada puede llevar a cabo un levantamiento Planimétrico con una cinta. Esto posible porque está al alcance casi de cualquier persona. De esta manera, cualquier parcela, casa, etc. puede ser medida en todas sus longitudes por el mismo dueño de la propiedad. A diferencia del teodolito, la cinta es muy barata; pero se debe tener en cuenta las debidas técnicas y métodos para el levantamiento. La Mesopotamia fue cuna de un conjunto de civilizaciones (Sumera - Acadia -Babilonia- Asiría y Caldea). La primera cultura urbana conocida, es la de los Súmeros, llamando poderosamente la atención de los historiadores los conocimientos que poseían en matemáticas y astronomía, y las aplicaciones de la geometría práctica (topografía) en la construcción de obras de arquitectura y canales de riego. Es de destacar las construcciones encontradas en las ciudades-estados de Lagash, Umma, Nippur y Uruk, edificadas 4000 años a.c., en ellas se construyeron los primeros diques que se conocen y se lograron sistemas de riego casi perfectos. En Uruk, por ejemplo, se encontró un templo de 55m x 22m y paralelo a éste, otro de 83m. x 253m. La perfecta simetría de sus naves, pasillos, columnas, y el manejo de planos horizontales en distinto niveles, hace suponer el empleo de algún primitivo y rudimentario instrumento de medición (la cuerda). Muchos hombres, a través de la historia iban desarrollando el potencial espiritual a través del arte, la. Arquitectura, topografía y posteriormente la literatura. Las Mediciones Topográficas aplicadas a las obras de Ingeniería y Arquitectura, son tan antiguas como lo es la evolución cultural del hombre, surgió mucho antes que otras ciencias y era considerada tan sagrada como la medicina o la religión. En principio la Topografía es la representación de los elementos naturales y humanos de la superficie terrestre que engloba la Cartografía y la Geodesia. Esta ciencia determina los procedimientos que se siguen para poder representar esos elementos en los mapas y cartas geográficas. Es posible que incluso algunos dibujos encontrados en cuevas y refugios con un significado desconocido hasta el momento, sean croquis de los territorios donde vivían y cazaban. Con las primeras civilizaciones estables, el mapa se representa no solo como instrumento dirigido a un fin concreto, la utilidad inmediata, sino también como imagen, que es por el contrario símbolo e ilustración.



El mapa mas antiguo que se ha encontrado hasta ahora es una placa de barro cocido procedente de Ga Sur en Mesopotamia; se supone que fue compuesto hacia el año 2.500 a.C. y representa el valle de un río en una determinada zona del país. En el Extremo Oriente en China aparece el mapa instrumento e imagen extraordinariamente desarrollando el mapamundi. Los más antiguos del siglo V a. C. van acompañados de textos búdicos, que parecen tener un origen indio. En los posteriores mapamundis Chinos aparece la China ocupando en centro de un gran continente rodeado de un gran océano exterior con numerosas islas de origen imaginario. Ingeniería Romana En este trabajo vamos a relacionar algunos de los instrumentos empleados en topografía romana de los que hemos tenido noticia, apuntamos lo que hasta hoy se conoce de ellos y expondremos en función de las nuevas experiencias que hemos realizado la interpretación que consideramos más lógica para ellos.

1. La Cuerda: Es probablemente el instrumento más rudimentario sencillo y antiguo de medición. Sin embargo, sabemos por noticias de Herón que los topógrafos antiguos sometían a preparación este utensilio, a fin de que no sufriera deformaciones y su longitud permaneciera constante durante mucho tiempo, haciéndole así mucho más preciso de lo que se puede sospechar a priori.

Herón nos cuenta que se le aplicaba una mezcla de cera y resina y luego permanecía colgada con un peso determinado en su extremo inferior durante algún tiempo. El resultado era una cuerda apta para mediciones con poco error y a prueba de variaciones de humedad y temperatura.

2. La Cadena: No se conocen noticias del uso de la cadena de topógrafo en la antigüedad clásica, pero debemos reseñar que el instrumento es muy antiguo de cualquier forma y por tanto muy probable que fuera usado por los romanos.

Además de su escasa dificultad de construcción y su gran utilidad, por ser fácil de recoger, de transportar y de difícil deterioro, sabemos que ha sido usada en mediciones topográficas desde hace muchos siglos. Se trata de una sucesión de eslabones metálicos de medida uniforme, ensamblados hasta formar una cadena de determinada longitud. Normalmente tenía unas asas en sus extremos para facilitar su uso. Hemos visto representadas cadenas de topógrafo en los libros modernos de topografía del siglo XX, pero también existen dibujadas de idéntica forma en tratados del siglo XVII, por lo que debemos sospechar que su uso nunca ha sido interrumpido en aquellas mediciones que se querían de cierta precisión.



3. Cempeda o Pertica: Para las medidas de longitud de cierta exactitud se usó un instrumento llamado decempeda porque tenía diez pies de longitud, cerca de tres metros. Así, decempedator era nombre común para designar a los agrimensores. También se le conoció como pertica y en ambos casos parece que estaba constituido de madera. Hay que apuntar que determinadas maderas sometidas a tratamientos especiales adquieren una gran resistencia y resistencia a la deformación y con seguridad los romanos conocían perfectamente estas técnicas. Hemos visto la explicación del manejo de este instrumento en el tratado del siglo XVI de Giovanni Pomodoro y modernamente se han conocido estos instrumentos de metal ligero y poco propenso a las dilataciones (miras invar.)

4. El Odómetro: Sabemos que Heron construyó y describió un odómetro,

pero debemos a Vitruvio la más conocida descripción de este ingenioso instrumento que, con toda probabilidad, fue muy usado en la antigüedad para la medición de caminos y ciertas distancias que no requerían de precisión. Se trataba de un sistema de engranajes metidos en una caja que conectados a otro situado en la rueda del carro, construida de un tamaño exacto, iban dejando caer una bolita por cada milla recorrida en un recipiente puesto al efecto.

Con pequeñas modificaciones y sustituyendo la rueda del carro por un molinete de aspas, sujeto a un barco, podía medir las distancias de navegación marina, aunque como es fácil de suponer la precisión sería bastante menor.

5. Los Jalones o Banderolas: Las alineaciones rectas se desarrollaban con ayuda de varas verticales que en grupos de tres servían para establecer la dirección a seguir por la alineación y arrastrarla a lo largo del terreno llevando alternativamente la primera de las varas al final. Por si mismos servían perfectamente para trazar buenas alineaciones, por ejemplo en las carreteras, pero estos elementos también se usaban como auxiliares de otros instrumentos de medición que veremos a continuación, como la groma, la escuadra de agrimensor o la dioptra. Con ellos se fijaba la alineación a partir del ángulo determinado por el instrumento principal.

6. La Groma: Se trata de un instrumento muy rudimentario para trazar

alineaciones perpendiculares entre si, una escuadra de agrimensor tan primitiva como imprecisa.

Está constituido por un sencillo conjunto formado por una cruz con los brazos en escuadra de cuyos extremos penden plomadas y un pie vertical que sujeta esta cruz en el plano horizontal.



La groma nunca tuvo ningún papel en el replanteo de carreteras ni de obras hidráulicas, como tantas veces se ha pretendido en los textos modernos al uso, y ninguna noticia clásica nos apunta tal extremo.

7. La Lámpara: Llamada en la antigüedad Lychnia, fue un instrumento sencillo pero potente consistente en un pie vertical bien aplomado y un brazo horizontal graduado que puede girar y posicionarse sobre el vertical.

Los triángulos formados entre ambos permiten el cálculo de las distancias a los puntos que se observan, aplicando el principio de semejanza de triángulos. Hemos visto en los gráficos de Pomodoro como a finales del siglo XVI se conocía y utilizaba un sencillo instrumento que responde a las mismas funciones que la lámpara tenía en la antigüedad. La potencia y versatilidad de la lámpara podía aumentarse notablemente colocando pínulas en el brazo horizontal, aportando así capacidades de medición estadimétrica. Antiguas Técnicas De las técnicas de resolución triangular basadas en los sabios de la antigüedad apenas se recogen las de Tales y Pitágoras. Las funciones trigonométricas más complejas, basadas en las cuerdas o senos de los ángulos, coseno, tangente, etc., no se aplican, a pesar de ser conocidas en el mundo árabe desde al menos seis siglos antes. Estas técnicas de medición del terreno mediante el empleo de triángulos, como constante desde los primeros tiempos de la ciencia topográfica moderna, fueron explicadas en las obras de Lastanosa, Kircher y Pomodoro, como compendio del conocimiento topográfico del Renacimiento. En todas ellas el empleo del rectángulo es la técnica más socorrida, pero también la semejanza de Tales es un recurso valiosísimo que se emplea frecuentemente en estos momentos. Utilizando dioptras sobre cuadrantes geométricos o pantómetros, cuya construcción ya contaba con elementos de precisión suficiente, se realizaban levantamientos taquimétricos que sin duda permitían dibujar mapas y planos de detalle con aceptable precisión. Es difícil precisar si los romanos aplicaban sistemáticamente la tabla de senos en la resolución de triángulos. Medición del terreno, geodesia y triangulación La medición del terreno tanto en planta como en alzado se ha reducido desde siempre a un problema de resolución de triángulos, como polígono elemental a partir del que podemos formar los demás polígonos y por la posibilidad de reducir a triángulos cualquiera extensión de terreno.



La primera cuestión que se presenta es la de establecer la posición real de los lugares en la superficie de la tierra y la posibilidad de representar, a escala, su posición en los mapas. Para ello, es necesario calcular las distancias rectas de los lugares a representar respecto a un punto conocido y la dirección en que estos se encuentran, es decir, el ángulo respecto a una línea inicialmente conocida. Esta línea puede ser la que se orienta al norte desde el punto de partida, en cuyo caso el ángulo se llama acimut, o la formada por los dos puntos de partida conocidos que forman la base. Todas son labores difíciles que requieren de una muy precisa medición del terreno con una labor de triangulación, en muchas ocasiones perfectamente útil para varias misiones a la vez de las ya mencionadas. Pensamos que las labores de triangulación más complejas en época romana fueron realizadas con ayuda de elementos auxiliares luminosos, faroles de señales del tipo de los utilizados en tantas tareas de transmisión de mensajes. Estos permiten visuales muy largas en la noche, en determinadas condiciones atmosféricas de más de 10 kilómetros, y por tanto posibilitan la construcción de cadenas de triángulos muy grandes y de extraordinaria precisión. La medición, el establecimiento y el levantamiento de mapas de parcelas agrarias es una de las misiones más antiguas encomendadas a la ciencia topográfica. Su carácter ritual en los pueblos antiguos alcanzó su máxima expresión en tiempos de Roma. La reducción del terreno agrícola a polígonos medibles es sin embargo un proceso imprescindible para aplicar la justicia en el reparto, usufructo y transmisión de las fincas, como obliga la vital importancia económica que desde el neolítico tiene la actividad agrícola para la humanidad. Debemos a Frontino muchos de los datos que sabemos sobre la forma de limitar con justicia el terreno y otros detalles de esta cuestión. Columela nos aporta también numerosos datos, entre ellos el hecho de que cualquier medida de superficie en Roma estaba referida a pies cuadrados. Los múltiplos de la medida básica de superficie, el pie cuadrado (0.0876 m2), formaban extensiones de superficie variadas, entre las más comunes el actus (14.400 p2=1.261 m2), el iugerum (28.800 p2=2.523 m2), haeredium (57.600 p2=5.046 m2), centuria (5.760.000 p2=504.576 m2), y el saltus (144.000.000 p2=12.610.440 m2).



Conceptos básicos de topografía Geodesia: ciencia matemática que tiene por objeto determinar la forma y dimensiones de la Tierra, muy útil cuando se aplica con fines de control, es decir, para establecer la ordenación de tierras, los límites de suelo edificable o verificar las dimensiones de las obras construidas. Topografía: Estudia el conjunto de procedimientos para determinar la posición de un punto sobre la superficie terrestre, por medio de medidas según los tres elementos del espacio: dos distancias y una elevación o una distancia, una elevación y una dirección. Para distancias y elevaciones se emplean unidades de longitud (en sistema métrico decimal), y para direcciones se emplean unidades de arco (grados sexagesimales). La teoría de la topografía se basa esencialmente en la Geometría Plana y Del Espacio, Trigonometría y Matemáticas en general. Hay que tomar en cuenta las cualidades personales como la iniciativa, habilidad para manejar los aparatos, habilidad para tratar a las personas, confianza en si mismo y buen criterio general. La topografía es una de las artes más importantes y antiguas se practique el hombre y que los tiempos más antiguas ha sido necesario marcar límites y dividir terrenos, además juega un papel muy importante en muchas ramas de la ingeniería, se requiere levantamientos topográficos antes durante y después de la planeación y construcción de carreteras, vías férreas, aeropuertos, edificios, puentes, túneles, canales y cualquier obra civil. Consideraciones básicas en topografía

1. Los levantamientos topográficos se realizan en áreas relativamente específicas de la superficie de la tierra.

2. En topografía no se considera la verdadera forma de la superficie de la tierra, sino se supone como una superficie plana.

3. La dirección de la plomada, se considera que es la misma dentro de los límites del levantamiento.

4. Todos los ángulos medidos en topografía se consideran planos. 5. Se considera recta a toda línea que une 2 puntos sobre la superficie de la

tierra. Distancia : Es la separación que existe entre dos puntos sobre la superficie terrestre. En la topografía, distancia entre dos puntos se entiende que es la distancia horizontal aunque en frecuencia se miden inclinadas y se reducen a su equivalente en su proyección horizontal antes de usarse, por medio de datos auxiliares como lo son la pendiente o los ángulos verticales.



La distancia puede medirse directamente aplicando una unidad de longitud patrón. En topografía idealmente la unidad de medida es el metro aunque se utiliza la vara, el pie, la yarda, la legua y cualquier otra unidad de mediad .. Levantamiento: es un conjunto de operaciones que determinan las posiciones de puntos, la mayoría calculan superficies y volúmenes y la representación de medidas tomadas en el campo mediante perfiles y planos entonces son topográficos. Los levantamientos topográficos tienen por objeto tomar suficientes datos de campo para confeccionar planos y mapas en el que figura el relieve y la localización de puntos o detalles naturales o artificiales y tiene como finalidad:

1. La determinación y fijación tenderos de terrenos 2. Servir de base para ciertos proyectos en la ejecución de obras públicas o

privadas. 3. Servir para la determinación de las figuras de terrenos y masas de agua. 4. Servir en toda obra vertical o horizontal.

Notas de Campo: Siempre deben tomarse en libretas especiales de registro, y con toda claridad para no tener que pasarlas posteriormente, es decir, se toman en limpio; deben incluirse la mayor cantidad de datos complementarios posibles para evitar malas interpretaciones ya que es muy común que los dibujos los hagan diferentes personas encargadas del trabajo de campo. Tipos de levantamientos de manera general Topográficos: Estos producen mapas y planos de las características naturales y hechas por el hombre. No existe una diferencia clara entre mapa y plano, pero se acepta generalmente que en los planos, los detalles se grafican y dibujan a escala exacta, mientras que en los mapas muchos de los rasgos son representados por puntos o por contornos, los cuales dan menos detalles, pero más visión del área representada. Geodésicos. Los levantamientos Geodésicos se distinguen por la Técnica y el uso que se les da. En los levantamientos Geodésicos de grandes áreas de la superficie terrestre se debe tomar en cuenta la curvatura de la misma. La red de mediciones entre puntos de este mismo sistema, son necesarios para controlar todo el levantamiento y así determinar el lugar de grandes áreas, debiendo tomar estas medidas con la calidad más alta posible. Así las técnicas de medición de alta precisión están asociados con los levantamientos Geodésicos, y como ya se mencionó, sobre estas grandes áreas se debe considerar la curvatura de la superficie terrestre.



De Ingenieria: Estos abarcan todos los trabajos topográficos requeridos antes, durante y después de cualquier trabajo de Ingeniería. Antes de comenzar cualquier trabajo se requiere un mapa topográfico a gran escala o plano que sirva como base al diseño. La posición propuesta de cualquier nuevo tipo de construcción debe marcarse en el terreno, en planta y elevación, operación conocida como replanteo y finalmente es por lo que se requiere hacer el levantamiento. Especialmente para el diseño y construcción de nuevas rutas, caminos, ferrocarriles, y en muchos aspectos de los levantamientos, siempre se requiere calcular áreas y volúmenes de movimiento de tierra, y los datos para trazar las curvas sobre el alineamiento de la ruta. Diferencia entre Levantamientos geodésicos y topográficos

Geodésicos Topográficos. 1. Considera la verdadera configuración de la superficie de la tierra.

1. Considera la superficie de la tierra como plana.

2. Se realizan en grandes extensiones de la superficie de la tierra.

2. Se realiza en pequeñas extensiones de la superficie.

3. se realizan con técnicas e instrumentos especiales.

3. Se realiza con instrumentos y técnicas sencillas.

4. Tienen mayor precisión. 4. Tiene menor precisión. 5. Están a cargo de instituciones especializadas (INETER)

5. Puede ser realizado por personal no especificado.

Tipos de levantamientos topográficos Levantamientos de tipo general (lotes y parcelas): Estos levantamientos tiene por objeto marcar o localizar linderos, medianías o límites de propiedades, medir y dividir superficies, ubicar terrenos en planos generales ligando con levantamientos anteriores o proyectar obras y construcciones. Las principales operaciones son:

o Definición de itinerario y medición de poligonales por los linderos existentes para hallar su longitud y orientación o dirección.

o Replanteo de linderos desaparecidos partiendo de datos anteriores sobre

longitud y orientación valiéndose de toda la información posible y disponible.

o División de fincas en parcelas de forma y características determinadas,

operación que se conoce con el nombre de particiones.



o Amojonamiento de linderos para garantizar su posición y permanencia.

o Referencia de mojones, ligados posicionalmente a señales permanentes

en el terreno.

o Cálculo de áreas, distancias y direcciones, que es en esencia los resultados de los trabajos de agrimensura.

o Representación gráfica del levantamiento mediante la confección o dibujo o de planos.

o Soporte de las actas de los deslindes practicados.

Levantamiento longitudinal o de vías de comunicación: Son los levantamientos que sirven para estudiar y construir vías de transporte o comunicaciones como carreteras, vías férreas, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc. Las operaciones son las siguientes:

o Levantamiento topográfico de la franja donde va a quedar emplazada la obra tanto en planta como en elevación (planimetría y altimetría simultáneas).

o Diseño en planta del eje de la vía según las especificaciones de diseño

geométrico dadas para el tipo de obra. o Localización del eje de la obra diseñado mediante la colocación de estacas

a cortos intervalos de unas a otras, generalmente a distancias fijas de 5, 10 o 20 metros.

o Nivelación del eje estacado o abscisado, mediante itinerarios de nivelación

para determinar el perfil del terreno a lo largo del eje diseñado y localizado. o Dibujo del perfil y anotación de las pendientes longitudinales o Determinación de secciones o perfiles transversales de la obra y la

ubicación de los puntos de chaflanes respectivos. o Cálculo de volúmenes (cubicación) y programación de las labores de

explanación o de movimientos de tierras (diagramas de masas), para la optimización de cortes y rellenos hasta alcanzar la línea de subrasante de la vía.



o Trazado y localización de las obras respecto al eje, tales como puentes, desagües, alcantarillas, drenajes, filtros, muros de contención, etc.

o Localización y señalamiento de los derechos de vía ó zonas legales de

paso a lo largo del eje de la obra.

Levantamientos de minas: Estos levantamientos tienen por objeto fijar y controlar la posición de los trabajos subterráneos requeridos para la explotación de minas de materiales minerales y relacionarlos con las obras superficiales. Las operaciones corresponden a las siguientes:

o Determinación en la superficie del terreno de los límites legales de la concesión y amojonamiento de los mismos.

o Levantamiento topográfico completo del terreno ocupado por la concesión

y confeccionamiento del plano o dibujo topográfico correspondiente.

o Localización en la superficie de los pozos, excavaciones, perforaciones para las

o exploraciones, las vías férreas, las plantas de trituración de agregados y minerales y demás detalles característicos de estas explotaciones.

o Levantamientos subterráneos necesarios para la localización de todas las

galerías o túneles de la misma.

o Dibujo de los planos de las partes componentes de la explotación, donde figuren las galerías, tanto en sección longitudinal como transversal.

o Dibujo del plano geológico, donde se indiquen las formaciones rocosas y

accidentes geológicos.

o Cubicación de tierras y minerales extraídos de la excavación en la mina. Levantamientos hidrográficos: Estos levantamientos se refieren a los trabajos necesarios para la obtención de los planos de masas de aguas, líneas de litorales o costeras, relieve del fondo de lagos y ríos, ya sea para fines de navegación, para embalses, toma y conducción de aguas, cuantificación de recursos hídricos, etc. Las operaciones generales son las siguientes:

o Levantamiento topográfico de las orillas que limitan las masas o corrientes de agua.

o Batimetría mediante sondas ecográficas para determinar la profundidad del

agua y la naturaleza del fondo.



o Localización en planta de los puntos de sondeos batimétricos mediante

observaciones de ángulos y distancias.

o Dibujo del plano correspondiente, en el que figuren las orillas, las presas, las profundidades y todos los detalles que se estimen necesarios.

o Observación de las mareas o de los cambios del nivel de las aguas en

lagos y ríos.

o Medición de la intensidad de las corrientes o aforos de caudales o gastos (volumen de agua que pasa por un punto determinado de la corriente por unidad de tiempo).

Levantamientos catastrales y urbanos: Son los levantamientos que se hacen en ciudades, zonas urbanas y municipios para fijar linderos o estudiar las zonas urbanas con el objeto de tener el plano que servirá de base para la planeación, estudios y diseños de ensanches, ampliaciones, reformas y proyecto de vías urbanas y de los servicios públicos, (redes de acueducto, alcantarillado, teléfonos, electricidad, etc.). Un plano de población es un levantamiento donde se hacen las mediciones de las manzanas, redes viales, identificando claramente las áreas públicas (vías, parques, zonas de reserva, etc.) de las áreas privadas (edificaciones y solares), tomando la mayor cantidad de detalles tanto de la configuración horizontal como vertical del terreno. Este trabajo debe ser hecho con extrema precisión y se basa en puntos de posición conocida, fijados previamente con procedimientos geodésicos y que se toman como señales permanentes de referencia. Los levantamientos catastrales comprenden los trabajos necesarios para levantar planos de propiedades y definir los linderos y áreas de las fincas campestres, cultivos, edificaciones, así como toda clase de predios con espacios cubiertos y libres, con fines principalmente fiscales, especialmente para la determinación de avalúos y para el cobro de impuesto predial. Las operaciones que integran este trabajo son las siguientes:

o Establecimiento de una red de puntos de apoyo, tanto en planimetría como en altimetría.

o Relleno de esta red con tantos puntos como sea necesario para poder

confeccionar un plano bien detallado.



o Referenciación de cierto número de puntos especiales, tales como esquinas de calles, con marcas adecuadas referido a un sistema único de coordenadas rectangulares.

o Confección de un plano de la población bien detallado con la localización y

dimensiones de cada casa.

o Preparación de un plano o mapa mural.

o Dibujo de uno o varios planos donde se pueda apreciar la red de distribución de los diferentes servicios que van por el subsuelo (tuberías, alcantarillados, cables telefónicos, etc.).

Levantamientos aéreos o fotogramétricos: Se hacen por fotogrametría, generalmente desde aviones y se usan como auxiliares muy valiosos de todas las otras clases de levantamientos. Se realizan por medio de fotografías aéreas tomadas con cámaras especiales ya sea desde un avión, o desde estaciones de la tierra. Subterráneos: se utiliza para determinación de masas de agua subterránea. Relación de la topografía con otras ciencias Geología: En los trabajos de ingeniería es indispensable tener conocimiento de las condiciones en las que se va a construir una presa, un túnel, etc. Los levantamientos geológicos le dan datos al ingeniero sobre la calidad del terreno para los diferentes usos. Física: La construcción y perfeccionamiento que han experimentado los diferentes aparatos usados en topografía se deben principalmente a los progresos de la óptica. Astronomía: Para la determinación de puntos sobre la superficie de la tierra se tiene que hacer en base a las coordenadas geográficas, latitud (Norte, sur) longitud (Este, Oeste). Matemática: Para el calculo de distancia, áreas, ángulos y volúmenes se auxilian de la geometría y la trigonometría.



Métodos de medición METODO USADO PRECISION APLICACIÓN PRACTICA A Pasos 1/100 – 1/200 Se utiliza para el reconocimiento y

comparación entre medidas efectuadas con cinta .

Estadimetrico ( indirecto)

1/1000 - 1/3000 Para el levantamiento de detalles , comprobación de medidas mas precisas.

Cinta sencilla (directa) 1/10000 - 1/5000 Se utiliza en poligonales para levantamientos topográficos de construcción civil .

Cinta de precisión 1/10000- 1/30000 Para poligonales de planos de población , base de triangulación de mediana precisión y trabajos especiales de ingenierías

Electrónico 1/10000–1/300000

Para levantamiento de alta precisión en base de triangulación

División operacional de la topografía Para su estudio la topografía se ha estudiado en las siguientes ramas: Planimetría: Representación horizontal de los datos de un terrenos que tiene por objeto determinar las dimensiones de este. Se estudian los procedimientos para fijar las posiciones de puntos proyectados en un plano horizontal, sin importar sus elevaciones. Dicho de otro manera estamos representando el terreno visto desde arriba o de planta. Para la planimetría podemos usar la cinta o el teodolito como instrumento universal. Las distancias con que se trabaja y que se marcan en planos en planos, siempre son horizontales. Por tanto, las distancias siempre que se puede se miden horizontales o se convierten a horizontales con datos auxiliares (ángulo vertical o pendiente). La cinta determina las distancias con mayor exactitud, con teodolito tiene menor precisión en las distancias. Altimetría: tiene como objeto principal determinar la diferencia de alturas entre puntos situados en el terreno. (Usamos el nivel, teodolito, cinta) Altiplanimetria: combinación de las anteriores por lo que se puede realizar un trabajo mediante planimetría y otro por altimetría y después fusionamos ambas.



UNIDAD II. PRINCIPIO DE TEORIA DE ERRORES

Hay imperfecciones en los aparatos y en el manejo de los mismos, por tanto ninguna medida es exacta en topografía y es por eso que la naturaleza y magnitud de los errores deben ser comprendidas para obtener buenos resultados. Las equivocaciones son producidas por falta de cuidado, distracción o falta de conocimiento. Algunas definiciones que debemos de comprender son: Precisión: grado de perfección con que se realiza una operación o se establece un resultado. Exactitud: grado de conformidad con un patrón modelo. Se puede medir una instancia como una gran minuosidad. Error: es una magnitud desconocida debido a un sinnúmero de causas. Equivocaciones: Es una falta involuntaria de la conducta generado por el mal criterio o por confusión en la mente del observador. Las equivocaciones se evitan con la comprobación, los errores accidentales solo se pueden reducir por medio de un mayor cuidado en las medidas y aumentando el número de medidas. Los errores sistemáticos se pueden corregir aplicando correcciones a las medidas cuando se conoce el error, o aplicando métodos sistemáticos en el trabajo de campo para comprobarlos y contrarrestarlos. Comprobaciones: Siempre se debe comprobar las medidas y los cálculos ejecutados, estos descubren errores y equivocaciones y determinan el grado de precisión obtenida. Clasificación de los errores Según las causas que lo producen estos se clasifican en: Naturales: debido a la variaciones de los fenómenos de la naturaleza como sol, viento, húmeda, temperatura, etc.. Personales: debido a la falta de habilidad del observador, estos son errores involuntarios que se comenten por la falta de cuidado. Instrumentales: debido a imperfecciones o desajustes de los instrumentos topográficos con que se realizan las medidas. Por estos errores es muy importante el hecho de revisar los instrumentos a utilizar antes de cualquier inicio de trabajo.



Según las forman que lo producen: Sistemáticos: En condiciones de trabajo fijas en el campo son constantes y del mismo signo y por tanto son acumulativos, mientras las condiciones permanezcan invariables siempre tendrán la misma magnitud y el mismo signo algebraico por ejemplo: en medidas de ángulos, en aparatos mal graduados o arrastre de graduaciones en el transito, cintas o estadales mal graduadas, error por temperatura. En este tipo de errores es posible hacer correcciones. Accidentales: es aquel debido a un sin numero de causas que no alcanzan a controlar el observador por lo que no es posible hacer correcciones para cada observación , estos se dan indiferentemente en un sentido o en otro y por tanto puede ser que tengan signo positivo o negativo, por ejemplo: en medidas de ángulos, lecturas de graduaciones, visuales descentradas de la señal, en medidas de distancias, etc. Comparación entre errores sistemáticos y errores accidentales.

Sistemáticos Accidentales 1. Según la ley fisicomatemática determinada.

1. Según la ley de las probabilidades.

2. Se conocen en signos y magnitud. Exceso (+) efecto (-)

2.No se conoce su magnitud ni su signo.

3. Son corregibles. 3. No se pueden corregir pero pueden disminuirse siguiendo determinado procedimiento.

4. Son de cuantía 4. No Son de cuantía 5. Varían proporcionalmente al nº de observaciones.

5. Varían proporcionalmente a la del nº de observaciones realizados.

De manera particular estudiaremos los Errores sistemáticos en la medición con cinta, aunque debemos estar conscientes que en la practica de campo siempre se realizan los levantamientos tal y como debe ser: Los errores sistemáticos por efecto de cinta, disminuye si se tiene en cuenta todos los cuidados, verificaciones y correcciones antes explicadas, pero los errores accidentales suelen presentarse como a continuación se indica:

El no colocar verticalmente una ficha al marcar los pequeños tramos por medir o al moverla lateralmente con cinta.

Que el “Cero” de la cinta no coincide exactamente con el punto donde se inicia una medición.

Errores debidos a las variaciones de tensión, pues si la medición se hace con dinamómetro llegan a presentarse pequeñas variaciones a pesar de buscar que se da la misma tensión.



Los errores más comunes son: Error por temperatura: Los cambios de temperatura producen deformaciones en las longitudes de las cintas usadas en el campo. Por ejemplo la cinta de acero se normaliza generalmente a 20º centígrado es decir que su longitud nominal corresponde a esta temperatura. Si al realizar la medición la temperatura es mayor de 20º centígrados la cinta se dilata, en caso contrario si la temperatura es menor a 20º centígrados la cinta se contrae lo que incurre en un error por temperatura y se calcula de la siguiente forma: Cx= 0.0000117(T-To) L To= Es la temperatura de normalización de la cinta T= Es la temperatura promedia al realizar la medición L= Es la longitud nominal de la cinta 0.0000117= Es el coeficiente de dilatación térmica de la cinta de acero Por Ejemplo, Calcular la longitud real de una medición Longitud Medida es 281.72m, Longitud nominal de cinta 30 m a una Tº promedio de – 0.466ºc. LR= ? Lm= 281.72m Ln= 30m Tº= - 0.466ºC Cx= 0.0000117 (-0.466º - 20C)30m Cx= - 7.18 x 10³ Por regla de tres: Si 30 7.2x10³ 281.72 x X= 281.72x- 7.2x10³ 30 X= - 0.0113 LR= 281.72 – 0.0113 LR= 281.71m Error por longitud incorrecta: Algunas veces las cintas trae errores en su medida. Llamamos longitud nominal a la longitud ideal o la que dice le fabricante que tiene asi la longitud real será la comparada por un patrón la conexión, es decir la que en verdad tiene. La correccion por longitud errónea se obtiene mediante la siguiente fórmula:



CL= L´- L L´= Es la longitud real de la cinta producida del contraste del patrón. L= Es la longitud nominal de la cinta. CL= corrección de la longitud. Por Ejemplo, Determinar la longitud real entre 2 puntos A y B para el que se utilizo una cinta de 30 m que al ser contrastada con un patrón resulto ser de 30.064 m, la longitud entre A y B fue de 108.31 m. L´= 30mts L= 30.064mts LAB= 108.31mts Corrección por Longitud = Cl= 0.064 Por relación de tres 30 – 0.064 X= 0.23

108.3 x Longitud Real= 108.31 +0.23 ; LR= 108.54m Error por falta de horizontalidad: Cuando el terreno es dependiente uniforme, se puede hacer la medición directamente sobre el terreno con menos error que en el banqueo partiendo de la medición en pendiente se calcula la distancia horizontal la corrección por falta de horizontalidad es Ch= h²/(2S) h= Es el desnivel entre los puntos externos de la cinta s= Es la distancia de la parte inclinada del terreno Ejemplo, Determinar la distancia horizontal entre 2 puntos, si la distancia medida en pendiente fue de 30.044m y el desnivel 1.35 H= 1.35 Ch= (1.35)² = 0.029 2 (30.644) LR= 30.644 – 0.029 LR= 30.615 Error por catenaria: Se da por la forma convexa que presenta la cinta suspendida entre dos apoyos debido principalmente al peso de la cinta y a la tensión aplicada al momento de realizar la medición estos aspectos hacen que se acorte la medida de la distancia horizontal entre las graduaciones de dos puntos de la cinta la corrección es:



Cc= -W2L /24p2 W= peso de la cinta en kilogramos p= Es la tensión aplicada al realizar la medición en kilogramos Ejemplo, Determinar la longitud real de una línea de 240.60m de magnitud si se utiliza una cinta de 30 m se aplico una tensión de 20 Kg y la cinta peso 0.58 Kg. Cc= -0.58 ² 30 = - 0.1 P: 6kg 24 (6)² W: 0.58kg Por relación de tres 30-0.01

540.60- x ; x = 0.18 LR= 540.60 – 18; LR= 108.54m Error por tensión: Los fabricantes de cintas definen ciertas características de operación para obtener la longitud Nominal de las cintas que fabrican. Por ejemplo: para las cintas de acero apoyadas en toda su longitud la tensión es de 4.5 kg y suspendidas en los apoyos 5.4 kg si la tensión aplicada es mayor que estos se produce un error por tensión y la conexión por tensión se obtiene de la forma siguiente: Cp= (P- Po) L /AE L: longitud nominal. P= tensión aplicada al momento de la extensión Po= tensión de fabricación de la cinta kg A= área de la sección transversal de la cinta E= Módulos de elasticidad =2.1*104 kg/mm2 Ejemplo, Se ha medido una distancia 5 veces obteniendo los siguientes resultados o valores observados, calcular los errores accidentales y la presión en la medición. Determinar la magnitud de una línea que ha sido medida con una cinta de 30m, si la tensión aplicada fue de 12 Kg la cinta se utilizo apoyada en 2 apoyos el área es de 4mm² y la longitud medida fue de 1.500m L: 30m A: 12kg E: 2.1 x 10 kg/mm² Po: 5.4kg



Cp: (P - Po)L AE Cp: (12kg – 5.4kg) 30m 84000kg LR: 30 – 0.0023 1500m – X= 0.117 LR: 1500 + 0.117 LR: 1500.11 Ejercicio Propuesto: Determinar la longitud real de una línea cuyo valor al ser medido fue de 875.92mts, las condiciones de operación de la cinta empleada la Tº media observada de 30 ºC la tensión aplicada promedio es de 10kg longitud nominal de la cinta es de 30mts, la longitud real es de 29.93mts el peso de la cinta es de 4.5kg y el el area de la seccion transversal es de 3mm² S: 875.9mts Tº: 30ºC T: 10kg L: 30mts LR: 29.93mts W: 0.68kg P: 4.5kg A: 3mm² LR:?



Los Errores accidentales en su particular usan la estadística como herramienta de estudio. Para ellos es necesario dominar le concepto de frecuencia y peso. Frecuencia: es el número de veces que aparece un evento en la experimentación. Peso: Es el grado de confiabilidad que nos brinda una información. Puede ser el resultado del número de observaciones. Y también puede ser una combinación de ambas circunstancias. Tabla de frecuencia de las observaciones I Xi Fi Pi Xi: es el nº de lectura u observaciones efectuadas. 1 X1 1 1/n Fi: frecuencia. 2 X2 1 1/n 3 X3 2 2/n 3 X3 2 2/n 3 X3 2 2/n 3 X3 2 2/n n Xn 1 1/n Se debe Tabular el número de mediciones, en la cual Xi= Es el número de lectura u observaciones efectuadas Fi= Frecuencia Pi= Peso Media Aritmética: Es el promedio de los valores observados de Xiç n X = ∑ Xi /n c=i Valor promedio Pesada: Es la sumatoria de n n Vp= ∑ Xi Fi / ∑ Fi c=i q=i Error residual o desviación: Es la suma de los valores absolutos de los valores residuales entre n – 1. Es la diferencia entre el valor observado y el valor promedio aritmético o pesado. Ri = Xi – X (ó Vp)



Error medio aritmético: Es la suma de los valores absoluto entre n-1 Ea= ± ∑ |ri| / n-1 Error medio cuadrático: Es la raíz cuadrada de la suma de los errores residuales al cuadrado entre n-1 Ec= ± √∑ ri2 /n-1 En una serie de medidas, el error residual que no se compensó, es proporcional a la raíz cuadrada del numero de oportunidades de que ocurra el error medio, o sea del número de observaciones. Error probable: El error que mas probabilidad tiene de ocurrencia cada vez que se ejecuta una observación Ep= ± 2/3 Ec Error probable de la media aritmética: Es el error mas representativo del valor promedio. Ev= ± Ep/ √ri Error máximo: Es la probabilidad de cometer un error superior cuatro veces el error probable. Emax= ± α Ep Precisión: Es la relación que existe entre la distancia y el error cometido en su medición P= 1/X /Ey Los pasos y formulas para determinar la precisión de las mediciones se resumen en los siguientes pasos: Valor promedio =Vp= Σ Xi/n Error residual de cada observación = Ri = Xi – Vp Error medio aritmético = Ea = Σ Ri/n * La sumatoria de los Ri es con valor absoluto, es decir todos se consideraran positivos. Error medio cuadrático = Ec = {(Σ Ri)2/n} ½ Error probable = Ep = 2/3 Ec Error probable de la media aritmetica = Ev = Ec/ (n) ½



Error máximo = Em = 4 Ep Precisión = 1/ Vp/Ev * Aquí solo se realiza la operación del denominador. Se expresa en fracción. A continuación se muestra un ejemplo, en donde se pide determinar la precisión y el tipo de medición usado, a partir de las distancias observadas. (El tipo de levantamiento se estima de acuerdo a la precisión, recuerde que para cada tipo de levantamiento existe una precisión)

Observacion Error residual (Ri) (Ri) 230.02 -0.003 9E-0630.01 -0.013 0.00016930.02 -0.003 9E-0630.03 0.007 4.9E-0530.04 0.017 0.00028930.02 -0.003 9E-0630.01 -0.013 0.00016930.04 0.017 0.00028930.01 -0.013 0.00016930.03 0.007 4.9E-05

0.00121suma Error Residual 0.09n = 10Promedio 30.023Error medio aritmetico 0.009Suma de error medio aritneticos al caudrado 0.00121Error medio cuadratico 0.011Error probable 0.0072errror probable de la media aritmetica 0.003478505Error maximo 0.0288Precision ___1___

8631.005654



UNIDAD III: PLANIMETRIA CON CINTA

La medición de distancia es la base de la topografía independientemente de las irregularidades del terreno la distancia entre dos puntos es la proyección horizontal entre las líneas de plomada que pasan por dicho punto. El método mas común para medir dos distancias es por medio de cinta (medida directa) conocida como cadenamiento y para su ejecución se necesitan tres o cuatro personas. Las personas involucradas son: Cadeneros (Cadenero delantero quien lleva el cero de la cinta, el encargado de tensar la cinta y el cadenero trasero quien sostiene la tensión efectuada por el cadenero delantero.) Alineador quien es el encargado de dar dirección entre dos puntos cuando sea necesario. Anotador: el que lleva los registros de campos levantados. Recordemos que La medida de distancia entre dos puntos podrá ser directa o indirecta. Directa: realizadas con cintas (cadenas) directamente sobre el terreno Indirectas: Estadía y teodolito, por transmisión de ondas. Medición con cinta La operación de medir una distancia con cinta se llama cadenear. Existen muchos tipos de cinta hechas de diferentes materiales, pesos y longitudes, algunas de las más comunes son: Cintas de Acero: con longitudes de 10, 15, 20, 25, 30 y 50m. Este tipo de cinta tiene graduado el primer metro en decímetros y otras también el ultimo. Se hacen con acero de 3/8 de pulgada con un ancho que varia de 6-9 mm y pesan entre 1 – 1.5 Kg por cada 30 metros Cintas de tela: están hechas de un material impermeable y llevan entretejido pequeños hilos de a cero o bronce para evitar que se alarguen. Por lo general vienen en longitudes de 10, 20 y 30 m. Este tipo de cinta no se usa para grandes levantamientos. Cintas de metal invar: se fabrican con una aleación de niquel (35%) y el complemento de acero, estas al ser enrolladas forman un circulo de 24 cm. de ancho, debe de tenerse mucho cuidado con la manipulación de estas. Las cintas son conocidas comúnmente, la cadena está hecha con eslabones metálicos de 20 cm. y a cada metro tiene una placa.



Las cintas invar son usadas en levantamientos geodésicos de alta precisión. Debido a su alto costo son de poco uso en los levantamientos topográficos. Cinta de fibra de vidrio: son de las mas comunes tienen una longitud de 20, 25 y 30 metros. Recomendables para la medición de largas distancias por su menor peso, flexibilidad y duración, por ser lavables, no conductores de la electricidad y resistentes a la abrasión y tensión.

1. Hebras paralelas de fibra de vidrio. 2. Revestimiento plástico. 3. Revestimiento transparente que protege el marcaje de la cinta. Muy

resistente al desgaste, ligero, flexible, lavable, no conductor eléctrico en seco.

Todas las cintas de fibra de vidrio están homologadas según la normativa CEE de precisión. Equipo utilizado en la medición con cinta Piquetes (fichas de acero): son generalmente de 25-40 cm. de longitud. En un extremo tiene punta y en el otro una argolla. Se emplean para marcar los extremos de la cinta durante el proceso de la medida de distancia entre dos puntos que tienen una longitud mayor que la cinta. Un juego de estas fichas consta de once piezas. Normalmente en el campo se usan clavos y fichas. Jalones o balizas: Son de metal o de madera y con punta de acero para indicar la localización de puntos transitorios o momentáneos, se utiliza también para la alineación de puntos. Su longitud es de 2 a 3 M, y su sección circular de 1 pulgada (Ø). Pintadas en franjas de 20 cm de color rojo y blanco alternativamente para ayudar en su visualización en el terreno. Dicho de manera sencilla un jalón es una vara larga de madera, de sección cilíndrica o prismática, comúnmente pintada en secciones que alternan los colores blanco y rojo, que termina en un regatón de acero, por donde se clava en el terreno. Los jalones se utilizan para determinar puntos fijos en el levantamiento de planos topográficos, para trazar las alineaciones, para determinar las bases y para marcar puntos particulares sobre el terreno. Normalmente, son un medio auxiliar al teodolito.

http://www.medid.es/esp/calidad_metro.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Vara

http://es.wikipedia.org/wiki/Madera

http://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro

http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma

http://es.wikipedia.org/wiki/Acero

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_topogr%C3%A1fico

http://es.wikipedia.org/wiki/Teodolito



Plomada: La plomada es una herramienta usada frecuentemente en cualquier trabajo de topografía, ya que mediante su empleo se puede establecer el nivel vertical o proyección para determinar distancias. El peso de la plomada a utilizar, se relaciona directamente con la acción (flexibilidad) de la caña empleada

Su forma más sencilla está compuesta de un hilo o cordón y un Peso de metal. Las plomadas fabricadas en la actualidad intentan ser lo más ligeras posible, en muchos casos emplean metales como el aluminio, de gran resistencia pero comparativamente de poco peso.

Libretas de campo: estas podrán ser: Encuadernadas (usadas por muchos años con una encuadernación cocida y telas duras), Para duplicado (permiten obtener copias de lo realizado en el campo por medio de un papel carbón) y De hojas sueltas (muy usadas por la ventaja de disposición en superficies planas) Cintas: podrán ser de cualquiera de los tipos mostrados anteriormente. Empleo de la cinta en medidas de distancias a) Terreno horizontal: Se va poniendo la cinta paralela al terreno, al aire, y se marcan los tramos clavando estacas o "fichas", o pintando cruces. Este tipo de medición no representa ningún problema pues la cinta se podrá extender en toda su longitud de ser posible. Lo importante es que ambos cadeneros deberán de mantener la cinta lo mas horizontal posible y al mismo tiempo libre de todo obstáculo. b) Terreno inclinado: Pendiente constante. Es estos casos entre en juego la pendiente la cual se ser mayor del 7% imposibilitara la extensión total de la cinta. Cuando sean pendiente grandes deberemos medir en tramos cortos; el cadenero delantero llegara hasta una distancia no mayor que la cinta quede a la altura de su pecho y el cadenero trasero tendrá que trabajar con la rodilla al suelo. En estos tipos de terrenos usamos el método llamado BANQUEO en el cual la máxima altura que puede estar la cinta es ala altura del pecho del cadenero delantero . el cadenero trasero deberá estar agachado de rodillas sobre el terreno



c) Terreno irregular: Siempre se mide en tramos horizontales para evitar el exceso de datos de inclinaciones de la cinta en cada tramo. Para llevar a cabo la medición hay que seguir los seis pasos descritos a continuación. 1. Alineación: La línea a medirse se marca en forma definida en ambos extremos y también en puntos intermedios, si fuera necesario, para asegurarse de que no hay obstrucciones a las visuales. Esto se hace con jalones, el cadenero delantero es alineado en su posición por el cadenero trasero. Las indicaciones se dan a voces o por señales con las manos. 2. Tensado: El cadenero trasero sostiene el extremo con la marca de 30 mts. de la cinta sobre el primer punto(el de partida) y el cadenero delantero que sostiene el extremo con la marca cero, es alineada por aquel. Para obtener resultados exactos, la cinta debe estar en línea recta y los dos extremos sostenidos a la misma altura. Se aplica entonces una tensión especifica generalmente de 4.5 ó 7 kg para mantener una fuerza uniforme cada cadenero se enrolla en la mano la tira de cuero que 1levan los extremos de la cinta, manteniendo los brazos pegados al cuerpo y se sitúan mirando al frente en ángulo recto con la línea visual. En estas condiciones solo necesita inclinar un poco el cuerpo para sostener, disminuir o aumentar la tensión. 3. Aplome: La maleza, arbustos, los obstáculos y las irregularidades del terreno pueden hacer imposible tener la cinta sobre el terreno. En vez de ello, los cadeneros marcan cada extremo de una medida colocando un hilo de una plomada contra la gradación respectiva de la cinta y asegurándose con el pulgar. El cadenero trasero sostiene la plomada sobre el punto fijo mientras el cadenero delantero marca la cintada. Al medir una distancia de menos longitud de la cinta, el cadenero delantero llevará el hilo de la plomada hasta el punto de la cinta que quede sobre la marca del terreno. 4. Marcaje: Una vez alineada y tensada correctamente la cinta, estando e1 cadenero trasero en el punto inicial de la señal de listo; el cadenero delantero deja caer la plomada que esta sobre la marca cero y clava una aguja en el hoyo hecho por la punta de la plomada, la aguja debe clavarse en posición perpendicular a la cinta y aproximadamente con un ángulo de 45 grados con respecto al terreno. Cuando se cadenea sobre el pavimento se deja deslizar la plomada hasta que toque el piso y se marca la posición en él, por medio de una rayadura en cruz; un clavo, una marca con crayón, un clavo que atraviese una ficha, o cualquier otro



media apropiado. Cuando la distancia a medirse sea menor que un cinta se aplica la operación corte de cinta. 5. Lectura: Hay dos tipos de marcado de graduación en las cintas para topografía. Es necesario determinar el tipo de cinta de que se trate antes de iniciar el trabajo pues se evita así el cometer repetidas equivocaciones. Cuando la medición de la distancia entre dos puntos es menor que la longitud total de la cinta no hay ningún problema, su lectura es directa. Cuando se mide por tramos, se debe llevar un registro cuidadoso de lecturas y si no queda en una marca completa de la cinta en decimales de metro y estimar lo que no se puede apreciar a simple vista. 6. Anotaciones: Por Falta de cuidado en las anotaciones se puede echar a perder un trabajo. Cuando se ha obtenida una medida parcial de cinta en el extrema final de una línea, el cadenero trasero determina el número de cintadas completas contando las fichas o agujas que ha recogido del juego original. Para distancias mayores de 300 m. se hace una anotación en la libreta de registro cada vez que el cadenero trasero tenga 10 agujas y hay una clavada en el terreno. La operación corte de cinta (O.P.C.): Esta operación se realiza al llegar al punto final ya que su ultimo cintazo no es completo, la diferencia es lo que se conocer como operación corte de cinta. Por ejemplos si la longitud a medir es de 22.65 m, podemos escoger cintazos de 5 metros, realizando 4, pero la opereacion corte de cinta (OPC) será de 2.65.

Trazado y replanteo de líneas paralelas y perpendicular con cinta

Método 3, 4,5 Dos métodos comunes son el 3-4-5 y el de la cuerda. El primero consiste en medir sobre la alineación una longitud de 3 metros, luego estimar una perpendicular de 4 m y verificar esta medida con la medida de 5 m. El segundo método es para realizar perpendiculares de un punto a una línea de trabajo en el cual se traza una cuerda y se encuentran los dos puntos de intersección de cuerda midiéndole la mitad entre ellos. En la siguiente figura se ilustran ambos métodos.



Método de la cuerda: Se desea levantar una perpendicular AB que pase por C. Tazar un radio r un arco que corte AB en dos puntos ab y ese punto al unirlo con C nos de la perpendicular AB. Para el Trazo de líneas paralelas Por cualquiera de los métodos anteriores, trazar 2 líneas perpendiculares a AB de igual magnitud. La unión de estas dos líneas perpendiculares nos da la línea paralela a AB. Replanteo de ángulos de medida o valor dado para la función. Se desea replantar una línea AC que forma un Angulo alfa con la línea AB. sobre AB medir una distancia AD menor o = 3m. por la función trigonométrica determinar la longitud de la perpendicular CA de la forma que AC forme el Angulo alfa con AB. Calculo del Angulo y área de un triangulo. Determinación del ángulo por el método de la cuerda. Llamamos al ángulo x, entonces, Sen x/2 = ab/ 2r de modo que X = Sen -1 ab/r Métodos para medir alineaciones con obstáculos.

Método de ordenadas sobre bases inclinadas: Para determinar la distancia AB(véase fig. No.3) por este método un operador sujeta un extremo de la cinta en el punto "B" y describe un arco con radio de 30 mts. (si la cinta es de 30 mts . ) con centro en el punto B. El otro operador se sitúa en "A" alinea el extremo de la cinta con algún objeto distante "O" y dirige la colocación de las agujas en los puntos "a” y "b" en que el arco cortó la alineación AO de la alineación ab, se toma el centro y se marca el punto C. Posteriormente se miden las alineaciones AC y BC para poder calcular la distancia AB.



B Método de las líneas paralelas: Este método consiste en trazar líneas perpendiculares de igual longitud en los puntos A y B por cualquiera de los métodos ya conocidos y marcar los puntos A y B este método no es recomendable en distancias muy largas porque se presta a menudo a muchos errores, para largas distancias se realizará el método del trapecio. RELACIONES AB/AC = DE/CD AB = AC*(DE/CD) AB/CB = ED/CE AB = CB*(ED/CE) Procedimientos de campo en el levantamiento de una poligonal con cinta y obstáculos. 1.- Determinación de los vértices del polígono. 2.- Medición con cinta de los lados en los que no existe obstáculos. 3.- Medición de la alineación con obstáculos usando el método más adecuado de los antes mencionados. 4.- Medición de ángulos con cinta. Fundamentos técnicos básicos para aplicaciones prácticas Por experiencia en primer plano, los conocimientos básicos de la trigonometría aplicada a la topografía en sus aspectos planimétricos y altimétricos, que corresponderán al control y manejo de los triángulos en sus diferentes formas es uno de los principales fundamentos para aplicaciones practicas de topografia.. Triángulos rectángulos: Se caracterizan por tener un ángulo recto (90). Para mayor facilidad, entendimiento y que nos permita recordarlo siempre sin tener que memorizarlo, las variables mayúsculas se utilizan siempre para designar los ángulos y las minúsculas para los lados o catetos y la hipotenusa, quedando siempre de manera opuesta, ángulos y lados, mayúsculas y minúsculas respectivamente.



En la resolución de triángulos rectángulos tendremos para el ángulo “A”: Seno A = Cateto opuesto / Hipotenusa = a/c Coseno A = Cateto adyacente / Hipotenusa = b/c Tangente A = Cateto opuesto / cateto adyacente = a/b Cotangente A = Cateto Adyacente / cateto opuesto = b/a Secante A = Hipotenusa / cateto adyacente = c/b Cosecante A = Hipotenusa / cateto opuesto = c/a Las funciones recíprocas se definen de la siguiente forma: Sen A = 1/Cosec.A Cos A = 1/Sec. A Tg A = 1/Cot. A El Teorema de Pitágoras de la distancia “C”; C2 = a2+b2; correspondiente también para los catetos a y b. Un caso común puede verse en la figura: Ley del coseno α = Cos-1 c2 + b2 - a2 2 cb Triángulos Oblicuángulos: La resolución de estos tipos de triángulos corresponde a la Ley de los Senos.



El arte de maniobrar con esta ley consiste en igualdades de dos términos, pudiendo establecer las siguientes expresiones según se requiera.

La Ley de los Senos en la solución de los triángulos oblicuángulos tiene su aplicación típica general en los puntos inaccesibles en el trazado de Línea, para lo cual se ilustra un ejemplo

Datos correspondientes a la información de campo A= 26°30‟20” C=32°16‟10” B=72.26 m Solución del triangulo: A partir de la Ley de los Senos en su forma general, tendremos la siguiente expresión, para

Para el cálculo del Angulo B: B = 180-(A+C) B = 180-(26°30‟20”+32°16‟0”) B = 121°13‟30” a = (72.26*Sen26°30‟20”)/Sen121°13‟30” a = 37.71 m

SenC

c

SenB

b

SenC

c

SenA

a

SenB

b

SenA

a ;;

SenBSenAbaSenB

b

SenA

a /)*(;

:""adecálculoel



Para el cálculo de “C”, tendremos

c = (72.26*Sen32°16‟10”)/Sen121°13‟30” c = 45.12 m Calculo de Áreas El área es una magnitud del espacio comprendida dentro de un perímetro de una poligonal cerrada, es decir es la magnitud de una superficie. La superficie de un terreno puede ser calculada por muchos métodos entre los cuales tenemos: mecánicamente, planimétricamente analíticamente; por triangulación y otros. Estos métodos se usan cuando no se necesita gran precisión en los resultados o para comprobar superficies calculadas por medios mas exactos, la ventaja consiste en la rapidez con que se halla el valor de las superficies propuestas. Método de Heron AΔ= (S (S-a) (S-b) (S-c) )1/2 S= a + b + c 2 Método de Altura AΔ= b * h /2

Método de Función senos Conociendo los lados y ángulo correspondiente AΔ= ½ a * b sen z

SenBSenCbcSenB

b

SenC

c /)*(;



Conociendo ángulos internos y un lado AΔ= C2 sen x sen z /(2 sen y)

Cuando un lindero es irregular o curvo el procedimeinto usual para localizar los linderos es por medio de ordenadas (Proyecciones Y – perpendiculares) a una recta lo mas cerca del lindero. Para facilitar los calculos las ordenadas se levantan equidistantes. Un método conocido es el de los trapecios (BEZOUTH) Se separa la línea en tramos iguales a h y se levantan perpendiculares hasta la intersección de la curva cada tramo se analiza como un trapecio rectangular y se considera cada área de la misma longitud de la cuerda tal que determine el área de cada trapecio y se suman se tiene el área entre el tramo recto y la línea irregular . Donde el área es igual a la suma del área de cada trapecio es decir: A = ∑ A1 + A2 +An = ∑ ½ (a + b) h

Método de simpsom: Este método es muy particular y mas preciso que el anterior para su utilización la parte irregular debe ser totalmente cóncava o convexa . El tramo recto se divide en partes iguales y de igual forma que el



método anterior se levantan perpendiculares hasta intersecar la curva este método considera el área y el arco de la cuerda Método del Planímetro: El planímetro es un instrumento mecánico o electrónico que mide el área de cualquier figura regular o irregular de acuerdo a una lectura en un dispositivo de tambor cilíndrico rodante conectado a un disco o simplemente conectado a una pantalla en el caso del electrónico haciendo desplazamientos con una punta guía o alineadora sobre el contorno de figura cuya área se trata de medir. Se gira la lupa en contorno de la figura con la punta guía que nos da el área. En el caso del electrónico se tiene una calculadora donde se introduce los datos y la escala. Unidades de longitud Existen de sistemas de medidas el sistema internacional (SI cuya unidad base de medida es el metro) y el sistema Ingles (USCS cuya unidad base de medida es el pie). En este curso aprenderemos a convertir a partir de unidades básicas tales como: **1m2= 1.418415 Vr2 1 Ha = 10 000 m2 1 Mz = 10 000 Vr2 1 acre = 4046.825 m2 1 mi = 1609.344 m 1Km = 1000 m 1 Pie = 0.3048 m 1 Yarda = 36 Pulgadas = 3 Pie 1 Vara = 33 Pulgadas ** Este valor aparece en las normas de catastro para la medición.



Condición geométrica de las poligonales Aunque en la unidad de poligonales veremos mas de esta temática es necesario conocer de antemano la condición de cierre angular de estas: La sumatoria de ángulos internos siempre deberá ser igual a: ∑ Ángulos internos = 180 (n-2) Donde, n: Es el numero de vértices o lados de la poligonal. Al aplicar esta formula, sabremos que para determinado numero de lados siempre los angulos internos deberán cumplir con cierto valor por ejemplo: Numero de lados

Cierre Angular (Grados) 180 (n-2)

3 180 4 360 5 540 6 720 … ….. Y Asi sucesivamente La sumatoria de ángulos externos también debe cumplir su condición: ∑ Ángulos externos = 180 (n+2) Donde, n: Es el numero de vértices o lados de la poligonal. Cabe mencionar que los ángulos externos se calcular con el complemento de 360º. Muy pocos profesionales trabajan con los angulos externos aunque es necesario comprender los métodos de obtención de los mismos. Ejercicio Propuesto: Determine El área del siguiente polígono asi como todos los ángulos internos: PUNTOS LONGITUD

CINTAZO (METROS)

CINTAZOS OPERACIÓN CORTE DE CINTA

DISTANCIA EN METROS

AB 5 4 3.39 18.39 BC 5 3 2.68 12.68 CD 5 3 1.15 11.15 DA 5 4 4.25 19.25 AC 5 6 1.59 26.59 Los resultados son:



TRIÁNGULO 1

TRIÁNGULO 2

ÁNGULOS INTERNOS

α

25˚15’ 50”

21˚ 22’ 46”

β

116˚29’40 ”

119˚ 36’ 58”

θ

38˚14’ 29”

39˚ 00’ 14”

ÁREA

104.34

93.29



UNIDAD IV: PLANIMETRIA CON TEODOLITO

Los instrumentos utilizados para el desarrollo de la planimetría con teodolito son el mismo teodolito, la estadía, cinta y marcas. Mas adelante hablaremos de cada uno de ellos. En esta unidad haremos mucho uso del método estadimétrico que consiste en medir distancia con el teodolito y la estadia. En las practicas de campo se abordará esta temática, así como la combinación de teodolito y cinta. Es muy importante conocer los tipos de ángulos que poseen.

El Teodolito o tránsito

El Teodolito o tránsito es el aparato universal para la Topografía, debido a la gran variedad de usos que se le dan, puede usarse para medir y trazar ángulos horizontales y direcciones, ángulos verticales, y diferencias en elevación; para la prolongación de líneas; y para determinación de distancias. Aunque debido a la variedad de fabricantes de tránsitos éstos difieren algo en cuanto a sus detalles de construcción, en lo que respecta a sus características esenciales son sumamente parecidos. En resumen, las características fundamentales de éste aparato son:

El centro del tránsito puede colocarse con toda precisión sobre un punto determinado, aflojando todos los tornillos de nivelación y moviéndolo lateralmente dentro de la holgura que permite el plato de base.

El aparato puede nivelarse con los niveles del limbo, accionando los

tornillos niveladores.

El anteojo puede girar tanto alrededor del eje vertical como del horizontal.

Cuando el tornillo sujetador inferior (Tornillo del movimiento general) se encuentra apretado (particular) flojo, al girar el aparato alrededor del eje vertical, no habrá movimiento relativo entre el vernier y el círculo graduado.

Cuando el tornillo sujetador inferior (Tornillo del movimiento general) se

encuentra apretado y el superior (particular) flojo, al girar el aparato



alrededor del eje vertical, el disco del vernier gira, pero el círculo graduado se mantendrá fijo.

Cuando ambos tornillos se encuentran apretados el aparato no podrá girar

alrededor del eje vertical. El anteojo puede girarse alrededor de su eje horizontal y fijarse en cualquier dirección en un plano vertical, apretando el sujetador y afinando la posición con el tornillo del movimiento tangencial del mismo.

El anteojo puede nivelarse mediante su propio nivel, y podrá emplearse así

como un aparato de nivelación directa. Con el círculo vertical y su vernier, pueden determinarse ángulos verticales y por tanto puede emplearse para nivelaciones trigonométricas.

El teodolito tiene tres en su lente tres hilos llamados hilos estadimétricos los que se utilizan para la determinación de distancias tal y como se vera después. Estos hilos son tres y son conocidos como hilo superior, hilo inferior e hilo inferior acorde a su posición. La característica de ellos es ser equidistantes, la distancia que hay del hilo central al superior es igual al del hilo inferior de modo que se hace la relación: HC = (HS + HC)/2 Esta formula tiene mucha aplicación en los trabajos de campo, pues en condiciones donde solo se puede hacer lectura de dos hilos se podrá determinar el otro. Aunque usted hará practicas de campo donde aprenderá a utilizar este instrumento y conocerá cada una de sus partes, es importante hacer referencia a los procedimientos, cuidados y condiciones de campo. Los que pueden apreciarse en la parte de los anexos. Partes de un teodolito

Las partes de un teodolito de manera general son Base, limbo y Alidada.

Base: Macizo metálico con un hueco en forma cilíndrica o cónica, el cual sirve de asiento para el limbo alidada.

Alidada: Tiene una plataforma donde se ubican los tornillos calantes determinados para vertical izar los ejes verticales (V-V). La parte inferior esta vinculada con el trípode. Aquí se ubican anteojo, espejo, iluminación, plomada óptica, tornillos macrometricos y micrométricos.



Limbo: Se determina como el círculo horizontal del teodolito, es el círculo donde se miden los ángulos horizontales. Este puden estar graduado en grados sexagesimales(de 0 a 360 grados) o centesimales (de 0-400 grados)

Fuentes de error en trabajos con transito o teodolito Los errores que se cometen en levantamientos hechos con tránsito o con teodolito de precisión resultan de fuentes o causas instrumentales, naturales o personales. Normalmente es imposible determinar el valor exacto de un ángulo, y por tanto el error que "hay en su valor medido. Sin embargo, pueden obtenerse resultados precisos: a) siguiendo procedimientos específicos en el campo, b) manipulando cuidadosamente el aparato, y c) comprobando las mediciones. Los valores probables de errores aleatorios y el grado de precisión alcanzado pueden calcularse. Los errores instrumentales mas comunes son: 1. Los niveles de alidada están desajustados. 2. La línea de colimación no es perpendicular al eje de alturas 3. El eje de alturas no es perpendicular al eje acimutal. 4. La directriz del nivel del anteojo no es paralela a la línea de colimación 5. Excentricidad de los vernieres. (Vernier es pequeña escala empleada para obtener partes fraccionarias de las divisiones más pequeñas de la escala principal sin recurrir a la interpolación) Errrores naturales comunes son Viento, Cambios de temperatura, Refracción, Asentamiento del trípode. Los errores personales mas comunes son: El instrumento no está centrado exactamente sobre el punto, las burbujas de los niveles no están perfectamente centradas, uso incorrecto de los tornillos de fijación y de los tomillos tangenciales, enfoque deficiente, trípode inestable, aplome y colocación descuidados del estadal. Algunas equivocaciones comunes y que debemos de cuidar de no cometer son: 1) visar o centrar sobre un punto equivocado 2) dictar o anotar un valor incorrecto 3) leer el círculo incorrecto 4) girar el tornillo tangencial que no es el correcto 5) usar procedimientos de campo no planeados. La estadia



No es mas que una regla de campo. Su característica principal es que esta marcada de manera ascendente. Tienen una forma de E que equivale a 5 cm. Aunque existen muchas las mas comunes están divididas cada 10 cm osea llevan dos E. Muchos errores se cometen al momento de realizar lecturas en la estadia. Algunos ejemplos de lectura en miras directas son: Para leerlas siempre se lee el valor del número entero y luego en el intervalo de 0-100 mm se aproxima. Cada E que se aprecia equivale a 50mm. hs = 1. 580 hc = 1.510 hs= 1. 512 hi= 1.440 hc= 1. 450 hi= 1. 388 hs hs hc

hc hi hi Errores en los levantamientos con estadía Muchos de los errores de los levantamientos con estadía son comunes a todas las operaciones semejantes de medir ángulos horizontales y diferencia de elevación, las fuentes de errores en la determinación de las distancias horizontales calculados con los intervalos de estadía son los siguientes: El factor del intervalo de estadía no es el supuesto El estadal no tiene la longitud correcta



El estadal tiene incorrecto el intervalo Falta la verticalidad en el estadal Refracción desigual Efectos de error en ángulos verticales

Brújula: Generalmente son aparatos de mano. Pueden apoyarse en tripié, o en un bastón, o en una vara cualquiera. Las letras (E) y (W) de la carátula están invertidas debido al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja. Las pínulas sirven para dirigir la visual, a la cual se va a medir el Rumbo.Pueden apoyarse en tripié, o en un bastón, o en una vara cualquiera. Brújula de mano de Reflexión: Con el espejo se puede ver la aguja y el nivel circular al tiempo que se dirige la visual o con el espejo el punto visado. El nivel de tubo, que se mueve con una manivela exterior, en combinación con la graduación que tiene en el fondo de la caja y con el espejo, sirve para medir ángulos verticales y pendientes. Las brújulas fabricadas para trabajar en el hemisferio Norte, traen un contrapeso en la punta Sur para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical, esto ayuda para identificar las puntas Norte y Sur. Para leer el rumbo directo de una línea se dirige el Norte de la caja al otro extremo de la línea, y se lee el rumbo con la punta Norte de la aguja.

Se emplea para levantamientos secundarios, reconocimientos preliminares, para tomar radiaciones en trabajos de configuraciones, para polígonos apoyados en otros levantamientos más precisos, etc. No debe emplearse la brújula en zonas donde quede sujeta a atracciones locales (poblaciones, líneas de transmisión eléctrica, etc.). Levantamientos de Polígonos con Brújula y Cinta. El mejor procedimiento consiste en medir, en todos y cada uno de los vértices, rumbos directos e inversos de los lados que allí concurran, pues así, por diferencia de rumbos se calcula en cada punto el valor de ángulo interior, correctamente, aunque haya alguna atracción local. Con esto se logra obtener los ángulos interiores de polígono, verdaderos a pesar de que haya atracciones locales, en caso de existir, sólo producen desorientación de las líneas. El procedimiento usual es: Se miden Rumbos hacia atrás y hacia delante en cada vértice. (Rumbos

Observados). A partir de éstos, se calculan los ángulos interiores, por diferencia de rumbos, en

cada vértice.



Se escoge un rumbo base (que pueda ser el de un lado cuyos rumbos directos e inverso hayan coincidido mejor).

A partir del rumbo base, con los ángulos interiores calculados se calculan nuevos rumbos para todos los lados, que serán los rumbos calculados.

Sistema de medición de ángulos. Los sistemas de medición angular son:

Sexagesimal: El círculo es dividido en 360 grados. Cada grado en 60 segundos y cada segundo en 60 minutos. Este es el sistema que todos hemos usado.

Centesimal: El circulo es dividido en 400 grados. Cada grado en 100

segundos y cada segundo en 100 minutos. Este es el sistema que todos hemos usado.

Sexagesimal Centesimal

Como convertir de un sistema a otro: Para pasar de sexagesimal a centesimal multiplique por 10/9 Para pasar de centesimal a sexagesimal multiplique por 9/10

Los teodolitos tienen diferentes sistemas de medición. Es muy importante el dominio del sistema que posee el teodolito que usted esta usando en su trabajo. No es importante el saber como se convierta de un sistema a otro sino mas bien por que lo va a cambiar. Medida de Ángulos En el campo La medida de ángulos puede ser: Simple



Por repeticiones Por reiteraciones Medida Simple: Este método consiste en que una vez estando el aparato en estación se visa el punto 1 y se lee en el vernier el ángulo, luego se visa el punto 2 y se lee en el vernier el ángulo, entonces el ángulo entre las 2 alineaciones será la lectura angular del punto 2 menos la lectura angular del punto 1.

Medida por Repeticiones: Consiste en medir el ángulo varias veces pero acumulando las lecturas, o sea, que el punto que primero se visó se vuelve a ver cada vez teniendo la lectura anterior marcada. Esto tiene por objeto ir acumulando pequeñas fracciones que no se puedan leer con una lectura simple por ser menores que lo que aproxima el vernier, pero acumuladas pueden ya dar una fracción que sí se puede leer con dicho vernier. Por ejemplo, supongamos que se va a medir un ángulo entre dos líneas que están abiertas 20°11'17",los 17" no se podrán apreciar con una medida simple, pero cada vez que se gira el equipo, quedan incluidos y se van acumulando hasta sumar un minuto. Debe de hacerse una medición iterativa se recomienda que el número máximo de repeticiones sea de 5, o 7. Método de Bessel: El ángulo entre dos alineaciones se mide dos veces; la primera con el anteojo directo o normal, y la segunda con el anteojo invertido. Este método permite verificar en una sola secuencia la medición de determinado ángulo. Para medir ángulos derechos interiores los pasos a seguir son:

Puesto en estación el instrumento poner el nonio del limbo horizontal en cero grados, minutos y segundos. Fijar el limbo horizontal a la base del aparato con el tornillo correspondiente.

Con el tornillo de movimiento horizontal y el anteojo en primera posición

ubicar la visual en el punto 1. Soltar el movimiento horizontal y el limbo de la base para visar el punto 3 y obtener así el ángulo en primera posición.



Girar el anteojo para dar vuelta de campana y estando con posición inversa el anteojo visar nuevamente el punto 1. Debiendo obtener como lectura en el nonio 180.

Siempre con el anteojo invertido visar el punto 3. Obteniendo así la cuarta

lectura, que restada a la anterior de 180 dará el ángulo entre las dos alineaciones en segunda posición.

Medida por reiteraciones.Con este procedimiento los valores de los ángulos se determinan por diferencias de direcciones. El origen de las direcciones puede ser una línea cualquiera ó la dirección Norte. Se aplica éste procedimiento principalmente cuando el tránsito es del tipo que no tiene los dos movimientos, general y particular, que permite medir por repeticiones, ó cuando hay que medir varios ángulos alrededor de un punto, pero también se aplica con aparatos repetidores. Clasificación De Los Ángulos Horizontales Ángulos Positivos. Se miden en el sentido de las manecillas del reloj. A partir de este momento debemos manejar que en sentido horario siempore consideraremos positivos los ángulos. En la topografía esto es de mucha importancia.

Ángulos Negativos: Se miden en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Obviamente, si se confunde el sentido de giro se incurre en equivocaciones, por lo cual se recomienda adoptar procedimientos de campo uniformes, como por ejemplo, medir siempre los ángulos en el sentido de las manecillas del reloj.



Ángulos Internos: Son los que se miden entre dos alineaciones en la parte interna de un polígono pueden ser derechos, izquierdos o negativos dependiendo del itinerario del levantamiento, si el itinerario es positivo los ángulos internos son negativos, si el itinerario es negativo los ángulos internos son positivos. El itinerario es el sentido con que se realiza el levantamiento. Son los ángulos que quedan dentro un polígono cerrado. Ángulos Externos: Son los que se miden entre dos alineaciones en la parte externa de un polígono pueden ser derecho o positivo, izquierdos y negativos dependiendo del itinerario del levantamiento, si el itinerario es positivo los ángulos externos son positivos y si el itinerario es negativo los Ángulos externos son negativos. Raras veces es ventajoso medir Í ángulos, excepto que pueden usarse como comprobación, ya que la suma de los ángulos interior y exterior en cualquiera estación debe ser igual a 360°. Ángulos de Deflexión: se miden ya sea hacia la derecha (según el reloj) o hacia la izquierda (contra el reloj) a partir de la prolongación de la línea de atrás y hacia la estación de adelante. Los ángulos de deflexión son siempre menores de 180°, y debe especificarse en las notas el sentido de giro en que se miden. Así, la deflexión en B de la figura es a la derecha (D), y la deflexión en C es a la izquierda (I). Este tipo de ángulos se usa en las poligonales cerradas, caso típico en el levantamiento de calles y carreteras. La siguiente figura muestra un ejemplo de este tipo:



Clasificación de ángulos verticales Ángulos de elevación: Son medidos hacia el zenit (arriba) desde el plano horizontal y son considerados como positivos. Ángulos de depresión: Son medidos hacia el nadir (Abajo) desde el plano horizontal y son considerados negativos. Métodos indirectos para medir ángulos de menor precisión. Estos métodos ofrecen un medio rápido para mediciones de distancias y son muy útiles en los levantamientos topográficos y su posición depende del instrumento a usar y de la precisión depende del instrumento a usar y de la precisión del observador, condiciones atmosféricas, longitud visual, logrando obtener precisiones de 1∕300 - 1/1000. Los instrumentos necesarios para efectuar estas mediciones son estadia y teodolito. El procedimiento consiste en observar por el anteojo del teodolito a la mira ubicada sobre ella la posición aparente a los hilos estadimétricos que se llaman intervalos estadimétricos.

Método estadimétrico para medir distancias

El material necesario para este método es un teodolito, el cual posee hilos horizontales en su retículo llamados hilos estadimétricos y una regla graduada llamada mira estadimétrica, mira o estadia. La distancia horizontal desde el teodolito a la mira se puede calcular por la expresión siguiente: DH = K S Cos2 ∆ Donde: DH: Es la distancia horizontal calculada expresada en metros



K es una constante estadimétrica igual a 100. S: Conocido como intercepto, es el intervalo estadimétrico igual a la lectura hilo superior menos lectura hilo inferior. S = HS - HI ∆: es el ángulo vertical formado por la visual y la horizontal (Elevación o Depresión).

Por Ejemplo, determine a partir de los datos de campo la distancia AB.- El teololito usado es sexagesimal y tiene un sistema zenital.

Est Punto Lect

Hs

Lect

Hc

Lect

HI

Ángulo

Vertical (&)

S ∆

Angulo neto

DH = KSCos2∆

A B 2.80 2.20 1.00 96º30´ Hs-Hi

2.80-1.00

1.80

& - 90º

96º30´-90º

6º30´

100(1.8)Cos2(6º30´)

DHAB = 177.69 m

A B 2.60 2.2 1.00 85º30´ 2.60-1.00

1.60

90º - &

90º-85º30´

4º30´

100(1.6)Cos2(4º30´)

DHAB = 159.00 m

También podemos calcular la distancia tomando dos lecturas de Hilo central por la expresión:

DH = (Hc1-Hc2)/Tan ∆1 ±Tan∆2)

Donde,



HC1= Lectura Hilo central 1 HC2= Lectura Hilo central 2 ∆1 = Angulo vertical 1 ∆2 = Angulo Vertical 2

El signo será + cuando los angulos verticales sean iguales, es decir ambos son de elevación o depresión.

El signo será - cuando los angulos verticales estén alternos. Uno de elevación y otro de depresión o viceversa.

Est Punto Lect

HC1

Lect

Hc2

Ángulo

Vertical (&1)

Ángulo

Vertical (&2)

Distancia

Horizontal

A B 2.48 1.22 88º01´

∆1 = 90º-88º01´

∆1 = 1º59´

88º12´

∆2 = 90º-88º12´

∆2 =1º 48´

DHAB =(2.48-1.22)/(tan 1º59´- tan1º 48´)

DHAB = 393.35 m

Note que un ángulo es elevación y otro depresión.

En el desarrollo de estos ejemplos debe de tomarse en cuenta que el ángulo necesario es el correspondiente al de elevación o depresión respecto al plano horizontal. (Plano de Colimación)

Cuadrantes topográficos Meridianos y paralelos (Convencion Topografica) Una línea determinada sobre el plano horizontal por el plano meridiano se llama meridiana y se designa por las letras N –S y la línea determinada sobre el plano vertical primario recibe el nombre de paralela y se designa por las letras E-W.



En la topografía existe una relación directa con la matemática. El Eje E corresponde al eje X+ por tanto es positivo. El eje N corresponde al eje Y+ por tanto es positivo. Cada cuadrante define su signo por productor por ejemplo para el primer cuadrante será + pues el producto de signos siempre dara mas. Es muy importante recordar el signo de cada cuadrante asi como de cada punto eje o punto cardinal pues es el elemento que regirá en el calculo topográfico. En muchos programas se pueden ingresar datos partiendo de los cuadrantes. En muchas bibliografías se les llama meridianos al eje correspondiente al eje Norte – sur (Eje Y) pero también son conocidos como latitud. De la misma manera al eje de las meridianas (Este- Oeste) se le conoce como paralelas. Mas adelante hablaremos de los métodos de calculo de areas en los cuales se aplica esta variantes de nomenclatura por ejemplo hablaremos del método de calculo de areas por doble distancia paralela o meridiana.

Rumbos Los rumbos son un medio para establecer direcciones de líneas. El rumbo de una línea es el ángulo horizontal comprendido entre un meridiano de referencia y la línea. Este nos da la orientación de líneas. El ángulo se mide (según el cuadrante) ya sea desde el norte o desde el sur, y hacia el este o hacia el oeste, y su valor no es mayor de 90°. El cuadrante en el que se encuentra se indica comúnmente por medio de la letra N o la S precediendo al valor numérico del ángulo, y la letra E o la W, en seguida de dicho valor; por ejemplo, N 80° E.

En la figura todos los rumbos en el cuadrante NOE se miden en el sentido del reloj, a partir del meridiano. Así, el rumbo de la línea OA es N 70° E. Todos los rumbos del cuadrante SOE se miden en sentido contrario al del reloj y a partir del meridiano; así, el rumbo de OB es S35° E. De modo semejante, el rumbo de OC es S 55° W y el de OD es N 30° W.



Las características fundamentales de los rumbos son: Siempre se miden del Norte o Del sur No pasan de 90º Si la línea esta sobre un eje se le agrega la letra F (Franco). Por ejemplo NF, WF. Se miden en sentiro horario o antihorario. Los rumbos verdaderos se miden a partir, del meridiano geográfico local; los rumbos magnéticos, desde el meridiano magnético local; los rumbos supuestos, a partir de cualquier meridiano adoptado, y los rumbos de cuadrícula a partir del meridiano apropiado de cuadrícula. Los rumbos magnéticos pueden obtenerse en el campo observando la aguja de una brújula y utilizando los ángulos medidos para obtener los rumbos calculados.

En la figura supóngase que se leyó una brújula sucesivamente en los puntos A, B, C y D, midiendo directamente los rumbos de las líneas AB, BA, BC, CB, CD y DC. A los rumbos de AB, BC y CD se les llama rumbos directos y a los de BA, CB y DC, rumbos inversos. Los rumbos directos (o hacia adelante) tienen el mismo valor numérico que los inversos (o hacia atrás), pero corresponden a cuadrantes opuestos. Si el rumbo de AB es N 72° E, el de BA es S 72° W.

Rumbo Inverso El rumbo inverso es angularmente igual al rumbo directo, pero las letras que lo localizan en el cuadrante respectivo son las inversas. Es decir que se invierten Norte por Sur, Este por oeste y viceversa. Nótese que esta relación no es mas que la extensión de matemáticas en concepto de ángulos alternos. Azimutes (o azimutes): Estos son ángulos horizontales medidos (en el sentido del reloj) desde cualquier meridiano de referencia. En topografía plana, el acimut se mide generalmente a partir del norte, pero a veces se usa el sur como punto de referencia (por ejemplo, en algunos trabajos astronómicos y del National Geodetic Survey). También se usa el sur en relación con el acimut de cuadrícula de un sistema local de coordenadas planas. Los ángulos acimutales varían de O a 360°, y no requieren letras para identificar el cuadrante. Así el acimut de OA es N 70°; el de OB, N 145°; el de OC, N 235° y el de OD, N 330°.



Puede ser necesario indicar en las notas de campo, al comienzo del trabajo, si los azimutes van a medirse a partir del norte o del sur. Aquí en Nicaragua siempre se trabaja desde el norte. Las características fundamentales de los azimutes son: Siempre se miden del Norte Se miden en sentido horario (Positivo) No pasan de 360º Los azimutes pueden ser verdaderos, magnéticos, de cuadrícula o supuestos, dependiendo del meridiano que se use. También pueden ser directos o inversos. Los directos (o hacia adelante) se convierten en inversos (o hacia atrás), y viceversa, sumando o restando 180°, es decir “Si el azimut directo es mayor de 180º para obtener el inverso se le resta 180º y por le contrario si es menor de 180º se le sumaran”. Por ejemplo, si el acimut de OA es 70°, el de AO es 250°. Si el acimut de OC es 235°, el de CO es 235° - 180° =55°.

Los azimutes pueden leerse en el círculo horizontal de un tránsito o teodolito repetidor después de haber orientado adecuadamente el instrumento. Se hace esto visando a lo largo de una línea de acimut conocido, con dicho ángulo marcado en el círculo, y girando luego a la dirección .deseada. Las direcciones acimutales se emplean ventajosamente en algunos cálculos de ajuste de datos. Diferencia entre Rumbos y Azimutes Rumbos Azimutes Varían de O a 90

Varían de O a 360

Se indican con dos letras y un valor numérico

Se indican sólo con un valor numérico

Se miden en el sentido del Se miden en el sentido del



reloj y en sentido contrario

reloj

Se miden desde el norte o desde el sur (según el cuadrante)

Se miden sólo desde el norte (o a veces, sólo desde el sur)

Pueden ser verdaderos, magnéticos, de cuadrícula, arbitrarios, directos o inversos

Podemos hacer una relación entre lo que es rumbo y azimut, es decir convertir de uno a otro. Para esto solo debemos de prestar atención a la posición que tiene cada línea en los cuadrante y de ahí de forma complementaria sacar las siguientes tablas: Conversión de Azimut en Rumbo Cuadrante Azimut Conocido Rumbo Calculado I Az N Az E II Az S 180º-Az E III Az S Az-180º W IV Az N 360º-Az W Conversión de Rumbo en Azimut Cuadrante Rumbo Conocido Azimut Calculado I N & E & II S & E 180º-& III S & W 180º+& IV N & W 360º-& & : Es el ángulo comprendido. ** El rumbo correspondiente a NF es el mismo correspondiente al valor del azimut (NF). Ejemplo: Direcciones de líneas en los cuatro cuadrantes (azimutes desde el norte): Rumbo N54° E S68°E S51°W N15°W Azimut 54° 112° (180°-68°) 231° (180°+51°) 345° (360°-15°)



Calculo de rumbos En muchos tipos de levantamientos, y en particular en los poligonales, se requiere calcular rumbos (o azimutes). Una poligonal es una serie de distancias y ángulos, o distancias y rumbos, o distancias y azimutes, que unen estaciones sucesivas del instrumento. Las líneas de los linderos de un terreno de propiedad forman el tipo de poligonal que se conoce como cerrada o "polígono cerrado". El trazo de una carretera de una ciudad a otra es generalmente una poligonal abierta, pero de ser posible, debe cerrarse, ligándola a puntos de coordenadas conocidas cercanos a los puntos de partida y de terminación. El cálculo del rumbo de una línea se simplifica dibujando un esquema en el que aparezcan todos los datos. En la figura supóngase que el rumbo de línea AB es N 41° 35' E, y que el ángulo en B que se gira a la izquierda (en sentido contrario al reloj) es 129° 11'. Entonces el valor numérico del rumbo de BC e 41°35' - 129°11'= -87°. Por examen del croquis, el rumbo de BC es S 87° 36' E. En la figura el rumbo de CD es 180° - (87°36' + 88°35'), o sea, S 03°49' W.

Ejemplo: Rumbos de Figuras A y B Línea

A

B AB

N 41°35' E

N41°35'E BC

N 9°14'W

S87°36'E CD

S 79°21 W

S3°49'W DE

S 31°51'W

S51°19'W EF

S 12°27'E

N84°23' W FA

S 73°35'E

N23°15'W AB

N41°35'E

N41°35' E



Método tabular para el cálculo de rumbos Si se tienen que calcular los rumbos de una poligonal de muchos lados, puede ser preferible recurrir a un procedimiento. En esta disposición simplificativa tiene mucha importancia el dominio de los cuadrantes topográficos. Se llama positivos a los rumbos noreste, a los rumbos suroeste y a los demás ángulos medidos en sentido del reloj (a la derecha); los rumbos sureste, los rumbos noroeste y cualesquier ángulos medidos en sentido contrario al del reloj (a la izquierda) se consideran negativos. Los de los rumbos inversos se indican entre paréntesis, para destacar el hecho de que los ángulos entre líneas se miden a partir de los rumbos inversos. Por ejemplo el rumbo AB es N 41°35' E, pero en B se mide el ángulo de 129°11' a partir de la línea BA, cuyo rumbo es S41°35' W. Como BA está a 41035´ a partir del sur en el sentido positivo y el ángulo ABC de 129°11' se mide en sentido negativo a partir de BA, entonces la distancia angular que representa suma algebraica de estos dos valores angulares es -87°36 medida a partir del sur. La S se baja del grupo (SW) entre paréntesis después del rumbo de AB, como lo indica la flecha en la figura para indicar la línea de referencia de la distancia angular y completa los tres elementos fundamentales necesarios: meridiano de referencia, sur; ángulo de giro, negativo (en sentido contrario al del reloj); y amplitud de giro, 87°36'. Como la distancia angular es menor que 90°, la línea BC debe caer en el cuadrante sureste y el rumbo es, por tanto, S 87°36' E. Cuando la suma algebraica da una distancia angular mayor de 90º, se determina el cuadrante en el que cae la línea y se calcula el rumbo a partir de su relación conocida respecto a la dirección norte o sur. Si no se consideraran las letras del rumbo inverso que van entre paréntesis, los rumbos de BC, DE y FA estarían incorrectos, pero los de CD, EF y AB estarían correctos.



Nótese que si se emplean deflexiones, la línea base para girar el ángulo de deflexión es la línea de poligonal prolongada, por lo que no cambian las letras de su rumbo.

Dicho otra manera el procedimiento es así: Al rumbo inicial le identificamos si es positivo o negativo. A ese le sumamos el ángulo interno del vértice siguiente (En caso de ser positivo), si esta suma es menor que 90 ese es el valor del rumbo. Los cuadrantes quedan definidos de la siguiente manera: El meridiano será opuesto al inicial y el paralelo de acuerdo al signo. Este procedimiento se repite y la variantes esta que al momento de hacer la suma y sea mayor de 90 se le diferenciara 180 y se invierten los meridianos. Ejemplo: Calcule los rumbos de las alineaciones restantes de la poligonal. Itinerario(-), Ángulos internos positivos. Rumbo AE= S74º56´40´´E Angulo A= 50º40´ 26´´ Angulo B= 220º10´06´´ Angulo C= 48º40´46´´ AnguloD= 126º29´58´´ Angulo E= 93º58´44´´ Solución: Comprobar que la sumatoria de los ángulos de la poligonal cierra. Σθ= 180º(N-2) = 180º(5-2) = 180º(3) Σθ= 540º00´00´´



Rumbo DE= S74º56´40´É (-) Angulo E= 93º58´44´´ (+) Rumbo EA= N 19º02´04´É (+) Angulo A= 50º40´26´´ (+) Rumbo AB= S 69º42´30´´W(+) Angulo B= 220º10´06´´ (+) 289º52´36´´ (+) 360º (-)**** Rumbo BC= N70º07´24´´W(+) Angulo C= 48º40´46´´ (+) Rumbo CD= S 21º26´38´É (-) Angulo D= 126º29´58´´ (+) 105º03´20´´ (-) 180º (+) Rumbo DE= S74º56´40´É (-) *** Note que esto se hace pues al restarle 180 siempre dará mayor que 90… Observe que el método se comprueba por si solo pues el valor inicial de rumbo debe ser igual al final. Es muy importante aclarar que si usted toma otra valor se cumple la condición indicada aunque no sea el procedimiento descrito. Tambien podemos partir de un azimut inicial convirtiendo este a rumbo y luego seguir el método tabular. Veamos un ejemplo: Calcule los rumbos de las alineaciones restantes de la poligonal. Itinerario negativo (-), Ángulos internos positivos. Azimut AB= N 185º 46´ Ángulos Internos Angulo A= 130º 51´ Angulo B= 112º 05´ Angulo C= 88º 59´ Angulo D= 107º 43´ Angulo E= 100º 22´ Respuesta Rumbo AB= S 05º 46´ W Rumbo BC= S 62º 09´ E Rumbo CD= N 26º 50´ E Rumbo DE= N 45º 27´ W Rumbo DA= S 54º 55´ W Rumbo AB= S 05º 46´ W Calcule los rumbos de las alineaciones restantes de la poligonal. Itinerario(-), Ángulos internos positivos. Azimut AB= N 41º 35´



Ángulos Internos Angulo A= 115º 10´ Angulo B= 129º 11´ Angulo C= 88º 35´ AnguloD= 132º 30´ Angulo E= 185º 42´ Angulo F= 118º 52´ Respuesta Rumbo AB= N 41º 35´ E Rumbo BC= N 09º 14´ W Rumbo CD= S 79º 21´ W Rumbo DE= S 31º 51´ W Rumbo DF= S 12º 27´ E Rumbo FB= S 73º 35´ E Rumbo AB= N 41º 35´ E

Calculo de azimutes Muchos topógrafos prefieren los azimutes a los rumbos para establecer las direcciones de las líneas porque es más fácil trabajar con esos, especialmente cuando se calculan poligonales empleando computadoras electrónicas; los senos y los cósenos de los ángulos acimutales dan automáticamente los signos algebraicos correctos para las proyecciones meridianas y paralelas. Los cálculos de azimutes, como los de rumbos, se hacen mejor con ayuda de un esquema. La figura ilustra los cálculos para el acimut BC. El de BA se obtiene sumando 180° al acimut de AB; luego, el ángulo en. B (129° 11') medido en sentido contrario al del reloj, se resta del acimut de BA para obtener el de BC. Los cálculos se organizan convenientemente en forma tabular.

En la Ilustración se presenta la lista de cálculos para todos los azimutes de la figura a y b mostradas anteriormente. Nótese nuevamente que se logra una verificación recalculando el acimut del lado de partida, utilizando el último ángulo.



Dicho de otra manera el método para calcular los Azimutes tabularmente es el siguiente: al azimut inicial le calculamos el azimut inverso, a este le sumamos el angulo del vértice siguiente (En caso de ser positivo), si este es menor de 360, este es el azimut de la próxima alineación. En caso de dar un valor negativo o mayor de 360 se le diferenciara 360. Ejemplo: Determinar los azimut de las alineaciones de una poligonal dada la siguiente información: Azimut 12= 83 15´ Angulo 1= 74 30´ Angulo 2= 82 45´ Angulo 3= 105 15´



Angulo 4= 97 30´ Solución: Azimut 12= N 83º 15´ (+) 180º (+) Azimut 21= N 263º 15´ (+) Angulo 2= 82º 45´ (+) Azimut 23= N 346º 00´ (+) 180º (-) Azimut 32= N 166º 00´ (+) Angulo 3= 105º 15´ (+) Azimut 34= N 271º 15´ (+) 180 º (-) Azimut 43= N 91º 15´ (+) Angulo 4= 97º 30´ (+) Azimut 41= N 188º 45´ (+) 180 º (-) Azimut 14= N 8º 45´ (+) Angulo 1= 74º 30´ (+) Azimut 12= N 83º 15´ (+)

Algunas equivocaciones que se cometen al trabajar con rumbos y azimutes son: 1. Confundir entre rumbos magnéticos y rumbos verdaderos. 2. Mezclar rumbos y azimutes. 3. Omitir el cambio de las letras de rumbo al aplicar un ángulo directo en el

extremo delantero de una línea. 4. Usar el ángulo en el extremo opuesto de una línea al calcular rumbos, es

decir, emplear el ángulo A al comenzar con la línea y AB. 5. No incluir el último ángulo para recalcular el rumbo de partida como

comprobación, por ejemplo, el ángulo A en la poligonal ABCDEA. 6. Restar de 360°00' como si este valor fuera 359° 100' en vez de 359°60', o

usar 90° en vez de 180° en el cálculo de rumbos. 7. Adoptar una línea de referencia supuesta que sea difícil de reproducir. 8. Olvidar hacer el ajuste de los ángulos de la poligonal antes de calcular los

rumbos. 9. Orientar un instrumento volviendo a visar al norte magnético.

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Levantamiento de detalles y prolongación de líneas con teodolito Recuerde que el teodolito es un transportador de campo por tanto cualquier trazo o movimiento estará en función del ingenio propio y de la aplicación matematica de trigonometría. Algunos de los problemas típicos se muestran a continuación. Objetos visados y marcas. Los objetos que comúnmente se usan como puntos de mira para visar en trabajos de topografía plana comprenden las balizas (señal o sistema de señales, concebido especialmente para que resulte visible desde grandes distancias), los marcadores o fichas de cadenear, lápices, hilos de plomada y miras o blancos montados en tripiés. En los trabajos de localización para construcciones, y en el mapeo topográfico, pueden establecerse miras permanentes para visadas de punto inicial (o hacia atrás) y de punto final (o hacia adelante). Las señales pueden ser marcas sobre estructuras como muros, tanques de agua o puentes, o bien, pueden ser miras artificiales fijas. Estas proporcionan puntos definidos con los que puede hacer verificaciones el operador del teodolito, en cuanto a su orientación, sin ayuda de estadalero. Prolongación de una línea: En los levantamientos de vías, pueden continuarse líneas rectas pasando por varias estaciones del tránsito. Para prolongar una línea a partir de una visual hacia atrás, se sitúa el hilo vertical sobre el punto de atrás por medio del movimiento general, se invierte el anteojo, y se marcan uno o más puntos en línea, adelante de la estación. Prolongación de una línea salvando un obstáculo: Entre líneas de un levantamiento pueden atravesarse edificios, árboles, postes telefónicos y otros objetos. Cuatro de los diversos métodos que se emplean para prolongar líneas salvando un obstáculo, son: 1) Método del triángulo equilátero, 2) método de las normales con giros en ángulo recto, 3) método de las normales establecidas con cinta y 4) método de los ángulos iguales. Las visadas cortas hacia atrás pueden introducir y acumular errores, por lo que deben seguirse procedimientos en los que se utilicen puntos distantes. Método del triángulo equilátero. En el punto B, figura (a), se gira un ángulo de 120° desde una visada atrás al punto A, y se mide una distancia de 25.00 m (o cualquier otra distancia necesaria, pero no mayor que una longitud de cinta) para localizar el punto C. Luego se mueve el tránsito a C, se visa hacia atrás a B; se gira el limbo un ángulo de 60° 00' y se mide sobre la línea una distancia CD = BC = 25.00 m para situar el punto D. Se traslada el tránsito a D, se visa hacia atrás a C, y se gira un ángulo de 120° 00'. La visual DE está ahora a lo largo de la prolongación de AB si no se han cometido errores.



Método de las normales con giros en ángulo recto. Con el tránsito centrado en los puntosa, F, G y D -figura (b) se giran ángulos de 90° 00' en cada estación. Las distancias FG y BF, ésta última igual a GD, sólo necesitan ser lo suficientemente grandes para salvar la obstrucción, pero cuanto más largas sean se obtendrán mejores resultados. Las longitudes mostradas en las figuras (a) y (b) permiten verificar sus medidas con cinta y su manipulación del instrumento combinando los dos métodos. Método de las normales establecidas con cinta. Para evitar los cuatro ángulos de 90° con visuales cortas y consecuentemente posibles grandes errores, puede usarse un alineamiento paralelo, establecido describiendo arcos para fijar las normales con la cinta, figura (c). Se establece una base larga para puntos de verificación sobre GHIJ si se desea. Método de los ángulos iguales. Este método es excelente cuando son adecuadas las condiciones de campo. Se describen ángulos iguales lo suficientemente grandes para salvar el obstáculo, desde el punto A en la línea, y se miden distancias iguales AB = AC y AD = AE, figura (d). La línea que pasa por F y G, puntos medios de BC y DE, respectivamente, proporciona la prolongación de AH a través del obstáculo. Se necesita muy poco despeje adicional usando este método para salvar un árbol grande que se atraviese en la línea en zonas boscosas o llenas de arbustos.



Línea auxiliar. En muchos levantamientos es necesario trazar una línea auxiliar arbitraria desde un punto X hasta un punto no visible Y, que está a una distancia conocida o indeterminada. Este problema se presenta con mucha frecuencia en los levantamientos catastrales o de propiedades. on base en un rumbo o en información tomada de planos u otras fuentes, se traza una línea auxiliar, como XY', tan cercana como sea posible por estimación a la línea verdadera XY. Se miden la distancia XY' y la distancia Y'Y, según la cual se aparta la línea auxiliar del punto Y, y se determina el ángulo YXY' a partir de su seno o su tangente calculados. Luego podrá trazarse la línea correcta girando el ángulo calculado Y'XY, o bien, marcarse puntos sobre XY por medio de distancias normales medidas a partir de XY'.

Con base en un rumbo o en información tomada de planos u otras fuentes, se traza una línea auxiliar, como XY', tan cercana como sea posible por estimación a la línea verdadera XY. Se miden la distancia XY' y la distancia Y'Y, según la cual se aparta la línea auxiliar del punto Y, y se determina el ángulo YXY' a partir de su seno o su tangente calculados. Luego podrá trazarse la línea correcta girando el ángulo calculado Y'XY, o bien, marcarse puntos sobre XY por medio de distancias normales medidas a partir de XY'. Medición de un ángulo vertical: un ángulo vertical es la diferencia de dirección entre dos líneas que se cortan, situadas en un plano vertical. Como se lo usa comúnmente en topografía, es el ángulo hacia arriba o hacia abajo del plano horizontal que pasa por el punto de observación. Los ángulos verticales se consideran en la nivelación trigonométrica en mediciones con estadía, y son parte importante de los procedimientos de campo. Para medir un ángulo vertical con un tránsito o teodolito se sitúa el instrumento sobre un punto y se centra y nivela cuidadosamente. El hilo horizontal de la retícula se ajusta aproximadamente sobre el punto al que se va a medir el ángulo vertical, y se fija el anteojo. La elevación o la depresión exactas se obtienen usando el tomillo tangencial del eje de alturas. Se lee el círculo vertical y se corrige por cualquier error de índice para obtener el ángulo real sobre o bajo el horizonte. Debe advertirse que tanto un tránsito como un teodolito de precisión pueden usarse como niveles. La línea de colimación se nivela: 1) centrando la burbuja del nivel del anteojo 2) ajustando el ángulo vertical que indique exactamente 90° en un teodolito de precisión. (La ma-yoría de estos teodolitos indican cero en el círculo vertical al visar al cenit (o zenit) y 90° (o 270° en el modo invertido) cuando se visa horizontalmente. Si se emplea un nivel de índice para orientar el círculo vertical debe centrarse la burbuja antes de hacer el ajuste a 90°.



UNIDAD V: POLIGONALES

Poligonal: Una poligonal es una serie de líneas consecutivas cuyas longitudes y direcciones se han determinado a partir de mediciones en el campo. El trazo de una poligonal, que es la operación de establecer las estaciones de la misma y hacer las mediciones necesarias, es uno de los procedimientos fundamentales y más utilizados en la práctica para determinar las posiciones relativas de puntos en el terreno. Hay dos tipos básicos de poligonales: la cerrada y la abierta. En una poligonal cerrada: 1) las líneas regresan al punto de partida formando así un polígono (geométrica y analíticamente) cerrado, o bien, 2) terminan en otra estación que tiene una exactitud de posición igual o mayor que la del punto de partida. Las poligonales cerradas proporcionan comprobaciones de los ángulos y de las distancias medidas, consideración en extremo importante. Se emplean extensamente en levantamientos de control, para construcción, de propiedades y de configuración. Una poligonal abierta (geométrica y analíticamente), consiste en una serie de líneas unidas, pero que no regresan al punto de partida, ni cierran en un punto con igual o mayor orden de exactitud. Las poligonales abiertas se usan en los levantamientos para vías terrestres, pero, en general, deben evitarse porque no ofrecen medio alguno de verificación por errores y equivocaciones. En las poligonales abiertas deben repetirse las medidas para prevenir las equivocaciones. A las estaciones se las llama a veces vértices o puntos de ángulo, por medirse generalmente en cada una de ellas un ángulo o cambio de dirección. Métodos de medida de ángulos y direcciones en las poligonales. Los métodos que se usan para medir ángulos o direcciones de las líneas de las poligonales son: a) el de rumbos, b) el de ángulos interiores, c) el de deflexiones, d) el de ángulos a derecha y e) el de azimutes. Trazo de poligonales por rumbos. La brújula de topógrafo se ideó para usarse esencialmente como instrumento para trazo de poligonales. Los rumbos se leen directamente en la brújula a medida que se dirigen las visuales según las líneas (o lados) de la poligonal. Normalmente se emplean rumbos calculados, más que rumbos observados, en los levantamientos para poligonales que se trazan por rumbos mediante un tránsito. El instrumento se orienta en cada estación visando hacia la estación anterior con el rumbo inverso marcado en el limbo. Luego se lee el ángulo a la estación que sigue y se aplica al rumbo inverso para obtener el rumbo siguiente. Algunos tránsitos antiguos tenían sus círculos marcados en cuadrantes para permitir la lectura directa de rumbos. Los rumbos calculados son valiosos en el retrazado o replanteo de levantamientos antiguos, pero son más importantes para los cálculos de gabinete y la elaboración de planos.



Trazo de poligonales por ángulos interiores. Ángulos interiores, como ABC, BCD, CDE, DEA y EAB se usan casi en forma exclusiva en las poligonales para levantamientos catastrales o de propiedades. Pueden leerse tanto en el sentido de rotación del reloj como en el sentido contrario, y con la brigada de topografía siguiendo la poligonal ya sea hacia la derecha o hacia la izquierda. Es buena práctica, sin embargo, medir todos los ángulos en el sentido de rotación del reloj. Si se sigue invariablemente un método se evitan los errores de lectura, de anotación y de trazo. Los ángulos exteriores deben medirse para cerrar al horizonte (Proceso de medir todos los ángulos en una vuelta completa alrededor de un mismo punto para obtener una verificación con su suma la cual será 360º).

Trazo de poligonales por ángulos de deflexión. Los levanta mientes para vías terrestres se hacen comúnmente por deflexiones medidas hacia la derecha o hacia la izquierda desde las prolongaciones de las líneas. Un ángulo de deflexión no está especificado por completo sin la designación D o I, y por supuesto, su valor no puede ser mayor de 180°. Cada ángulo debe duplicarse o cuadruplicarse (es decir, medirse 2 o 4 veces) para reducir los errores de instrumento, y se debe determinar un valor medio.

Trazo de poligonales por ángulos a la derecha: Los ángulos medidos en el sentido de rotación del reloj desde una visual hacia atrás según la línea anterior, se llaman ángulos a la derecha, o bien, a veces, "azimutes desde la línea anterior". El procedimiento es similar al de trazo de una poligonal por azimutes, con la excepción de que la visual hacia atrás se dirige con los platos ajustados a cero, en vez de estarlo al acimut inverso.

Los ángulos pueden comprobarse (y precisarse más) duplicándolos, o bien, comprobarse toscamente por medio de lecturas de brújula.



Si se giran todos los ángulos en el sentido de rotación de las manecillas del reloj, se eliminan confusiones al anotar y al trazar, y además este método es adecuado para el arreglo de las graduaciones de los círculos de todos los tránsitos y teodolitos, inclusive de los instrumentos direccionales.

TRAZO DE POLIGONALES POR AZIMUTES. A menudo se trazan por azimutes las poligonales para levantamientos orográficos (Descripción orografica o de montañas) o configuraciones, y en este caso sólo necesita considerarse una línea de referencia, por lo general la meridiana (o línea norte-sur) verdadera o la magnética. En la figura, los azimutes se miden en el sentido de rotación del reloj, a partir de la dirección norte del meridiano que pasa por cada vértice o punto de ángulo.

Métodos de levantamientos de poligonales Por descomposición de triángulos oblicuángulos (a) Por descomposición de triángulos rectángulos (b) Por radiación: Utilizada en poligonales pequeñas desde una, dos o tres posiciones pueden observarse todos los vértices. Puede ser a partir de un punto dentro de la poligonal. (Método angular o azimutal Fig. c.1, o a partir de una línea base Fig. c.2).



Uno de los métodos más empleados en los levantamientos topográficos y quizás uno de los más precisos es el levantamiento con la cinta y teodolito, estos se aplican en general a la mayor parte de los levantamientos de precisión ordinaria, excluyendo la nivelación. La precisión de las poligonales con tránsito se ve afectada por errores angulares con errores lineales de medidas y que se pueden expresar solamente en términos muy generales. En los levantamientos de precisión ordinaria los errores lineales importantes tienen la misma probabilidad de ser sistemáticos y los errores angulares importantes son principalmente accidentales. Los errores angulares (ea) y los errores de cierre lineal (ec) pueden clasificarse de la siguiente forma: El error permisible para las poligonales es: Poligonal Error Angular Permisible Precisión Corriente (Clase 1) 1' 30'' √n 1/1000 Secundaria Corriente (Clase 2) 1' √n 1/3000 Principal Corriente (Clase 3) 30'' √n 1/5000 Triangulación Corriente (Clase 4) 15'' √n 1/10000 n es el número de lados. *Para los levantamientos para un polígono esta bien un error de ½' -1' √n Clase 1: Precisión suficiente para proyectos, red de apoyo para levantamientos a escala corriente y para agrimensura, cuando el valor del terreno es más bien bajo. Clase 2: Precisión suficiente para una mayor parte de los levantamientos topográficos y para el trazado de carreteras, vías férreas, etc. Casi todas las poligonales del teodolito están comprendidas en este caso. Clase 3:Precisión suficiente para gran parte del trabajo de planos de población, levantamientos de líneas jurisdiccionales y comprobación de planos topográficos de gran extensión. Clase 4: Precisión suficiente para levantamientos de gran exactitud, como planos de población u otros de especial importancia.



Levantamiento de detalles

Existen varios métodos para el levantamiento de detalles en ellos se usa tanto el teodolito como la cinta. Desde luego es posible usar los métodos sólos o combinados de acuerdo al tiempo y precisión deseada. Algunos de ellos son: Radiación: Localización de un detalle por medio de un ángulo y un distancia.

Intersección: Un punto queda ubicado de acuerdo al alineamiento de una poligonal, por la intersección de visuales por lo menos de dos estaciones.

Intersección por distancias desde dos puntos: Este método es similar al anterior solo que se toman las distancias que separan los extremos a puntos sobre la alineación y el detalle.

Angulo desde una estación y una distancia desde otra: Este combina los dos anteriores; se hace por medio una distancia y un ángulo.

Enfilaciones: Consiste en mirar a lo largo de una fachada (Pared) y determinar los puntos de intersección de estas visuales con otras líneas con otras líneas ya sean lados de la poligonal, muro o edificio.



Métodos de localización de un punto en el plano

Por coordenadas: P(x,y) Por radiación: Conociendo un ángulo y una distancia. Por dos direcciones: Ángulos desde al menos dos puntos. Por intersección de radios. Por intersección de un radio y una dirección.

Selección de estaciones de poligonal

En los levantamientos de propiedades se sitúa la estaca en cada vértice si las líneas reales de lindero no están obstruidas y si los vértices pueden ser ocupados. Si es necesario recurrir a líneas auxiliares desplazadas se sitúa una estaca cerca de cada vértice para simplificar las medidas y los cálculos. Las líneas muy largas y el terreno accidentado pueden requerir de estaciones extra.

En los levantamientos para vías terrestres se sitúan las estacas en cada punto de ángulo y en otros lugares cuando es necesario obtener datos topográficos o extender el levantamiento. Las estacas de una poligonal, al igual que los bancos de nivel, pueden perderse si no se describen adecuadamente y se prevé su conservación. Se emplean referencias o ligas para ayudar a la localización de un punto de un levantamiento, o para relocalizar uno que ya ha desaparecido.

Compensación de polígonos

Es necesario que las poligonales cumplan con la condición angular y a la vez con una lineal. Por ejemplo en un triangulo clásico 3-4-5 sabemos que para que este sea un triangulo los ángulos deben de ser 30,60 y 90 grados, esto congruente con las medidas de 3,4 y 5 metros. Puede ser que los ángulos estén correctos pero un lado no mide los 5 metros y le falta, esto genera el error de cierre lineal. Por el contrario quizás los lados estén bien pero los angulos no por tal razón se generara un error de cierre angular.

Estos detalles se aprecian mejor en el dibujo de los planos en programas computacionales. (Autocad por ejemplo).



El primer paso que se da en el cálculo de poligonales cerradas es el de ajuste de los ángulos al total geométrico correcto. Esto se logra fácilmente, ya que se conoce el error total (La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180°(n-2), siendo n el número de lados, o de ángulos) aunque no su distribución exacta.

Los ángulos de una poligonal cerrada pueden ajustarse simplemente al total geométrico correcto aplicando uno de los tres métodos siguientes:

1. Correcciones arbitrarias a uno o más ángulos. 2. Aplicación de correcciones mayores a los ángulos en los que hubo condiciones de observación deficientes. 3. Aplicación de una corrección media o promedio que se halla dividiendo el error total de cierre angular entre el número de ángulos medidos.

Ajuste de ángulos

Método 1 Método I

Método 3 Est.

Ángulo medido

Corrección

Ángulo corregido

Múltiplos de corr. media

Corr. redon. a

Dif. sucesivas

Ángulo corregido A

100º44'30''

30''

100º44'

18''

30''

30''

100°44' B

101°35'

0

101º 35'

36"

30''

0

101°35' C

89º05'30''

30"

89°05'

54''

60''

30''

89°05' D

17º12'

0

17º 12'

72''

60"

0

17°12' E

231°24'30''

30"

231°24'

90"

90''

30'

231 °24' Tot

al 540°01'30''

90''

540 º00'

90''

540°00

Si se aplica el método 1, se pueden restar de cualquiera de los tres ángulos, correcciones 30" para dar el total geométrico correcto para un polígono de cinco lados. La selección de 1 ángulos en A, C y E redondea simplemente todos los valores al minuto más próximo. El método 3 consiste en restar 1º30´/5= 18" de cada uno de los cinco ángulos. Como leyeron los ángulos en múltiplos de ½´, si se aplican las correcciones de 18" se dará la falsa impresión de que se midieron los ángulos con mayor precisión. Por tanto, es deseable establecer un modelo o patrón de correcciones. Primero se tabula a un lado de los ángulos una columna formada por múltiplos de la corrección media de 18". En la siguiente columna se redondea cada uno de estos múltiplos a los 30" más próximos. Se encuentran las diferencias sucesivas (ajustes) restando del anterior cada valor de columna de cifras redondeadas. Los ángulos corregidos que se obtienen empleando estos ajustes deben dar un total exactamente igual al valor geométrico verdadero. Los ajustes asumen forma de patrón y, en consecuencia, distorsionan menos la forma de la poligonal que cuando todo el error de cierre se lleva a un solo ángulo.



Proyecciones ortogonales El cierre de una poligonal se comprueba verifica calculando las proyecciones ortogonales de cada línea (o lado) del polígono. Las proyecciones no es mas que la descomposición de una línea en sus componente. Esto no es mas que la aplicación de pitagoras usando la ley de senos y cosenos. La proyección horizontal de cada línea se llama longitud y puede ser este u oeste. Las proyecciones verticales se llaman latitud y pueden ser norte o sur. Cuadrante Proyección Y Proyección X N E ∆y = dist. Cos R ∆x = dist. Sen R S E -∆y = dist. Cos R ∆x = dist. Sen R S W -∆y = dist. Cos R -∆x = dist. Sen R N W ∆y = dist. Cos R -∆x = dist. Sen R *R: es el rumbo de la línea. Dist: es la distancia de cada alineación. Particularmente cuando se tienen los azimutes y no los rumbos podremos definiremos que: ∆y = dist. Cos Az ∆x = dist. Sen Az *Az: es el azimut de la línea. Dist: es la distancia de cada alineación. Note que siempre el valor de ∆x y ∆y siempre se coloca positivo pues el mismo da el signo. Error de cierre lineal =E.c.l= √(∆x2 + ∆y2) ∆x= ∑ proyecciones Este - ∑ Proyecciones Oeste = ∑PE-∑PW ∆y = ∑ proyecciones Norte - ∑ Proyecciones Sur = ∑PN-∑PS Precisión = 1/(Perímetro/Ecl) Las fórmulas anteriores pueden aplicarse a cualquier línea cuyas coordenadas se conozcan, ya sea que se haya o no medido realmente en el levantamiento Por ejemplo: Calcule las proyecciones de la línea AB, compruebe esa distancia, conociendo el azimut Az = 295°30‟. Encuentre coordenadas del punto B si las coordenadas en el punto A son (100,150) y la distancia AB = 50 m. Determine el rumbo.



Calculo de rumbo = 360°-295°30‟ = N 64°30‟ W Calculo de las proyecciones ∆x = -dist. Sen L ∆x = - 50 m * sen (64°30‟) ∆x =-45.129m ∆y = Dist Cos L ∆y = 50 *cos (64°30‟) ∆y = 21.526m Comprobación Dist. AB AB = √((∆x2 + ∆y2)) AB = √((42.129) 2 + (21.256) 2) = 50.00 m Coordenadas del pto. B XB= 100 - 45.129 = 54.871 m Y B= 150 + 21.526 = 171.526 m Rumbo R = tan-1 ∆x/∆y R = tan-1 [(45.126)/(21.526)] R = 64°30‟w El Cálculo de proyecciones se mostrara a través de otro ejemplo: Como se elige el origen de las coordenadas? Se dibuja la poligonal y al vértice que esta mas al oeste se le traza el eje de las Y y al eje que este mas al sur las X.



Vert

Rumbo

Long. L (m)

sen ∆

COS ∆

Proy. X

Proy. Y

A

N 26°10'E

285.10

0.440984

0.897515

+125.72

+255.88 B

S75°25'E

610.45

0.967782

0.251788

+590.78

-153.70 C

S15°30'W

720.48

0.267238

0.963630

-192.54

-694.28 D

N 1042'W

203.00

0.029666

0.999560

- 6.02

+202.91 E

N53°06'W

647.02

0.799685

0.600420

-517.41

+388.48 A

Sumatoria ∑ =

0.53

-0.71

Métodos de compensación de polígonos En el caso de una poligonal cerrada el error lineal de cierre debe distribuirse entre todo el polígono para cerrar la figura. Hay cinco métodos para el ajuste de poligonales cerradas: 1) el método arbitrario, 2) la regla del tránsito, 3) la regla de la brújula (o de Bowditch), 4) el método de Crandall y 5) el método de mínimos cuadrados. Estos métodos tratan de hacer una igualdad entre las proyecciones norte sur como con las proyecciones este y oeste. Cuando esta igualdad no se cumple es cuando vamos a corregirlas. Para ellos los métodos que usaremos en el desarrollo de la clase son el teodolito o de la brújula, mas sin embargo existen otros. La explicación breve de cada uno se hace a continuación:



1. Método arbitrario: El método arbitrario de compensación de poligonales no se conforma a reglas fijas ni a ecuaciones. Más bien se distribuye el error lineal de cierre arbitrariamente, de acuerdo con el análisis del topógrafo acerca de las condiciones que prevalecieron en el campo. Por ejemplo, los lados medidos con cinta sobre terreno quebrado y que necesitaron frecuente aplome y división de la medida con cinta, tendrán probabilidades de contener errores más grandes que los lados medidos sobre terreno a nivel; por tanto, se les asignan correcciones mayores. El error total de cierre se distribuye así en forma discrecional para cerrar matemáticamente la figura, es decir, hacer que la suma algebraica de las proyecciones Y y la suma algebraica de las proyecciones X, sean iguales a cero. Regla o método del transito: La corrección que se debe de aplicar a una latitud o longitud de una alineación es la corrección total por longitud y latitud. Esta regla es teóricamente mejor para los levantamientos con tránsito en los que se miden los ángulos con mayor precisión que las distancias, como en los levantamientos hechos con estadía, pero raras veces se emplea en la practica porque se obtienen diferentes resultados para cada meridiano posible Esta regla se fundamenta en dos aspectos:

Todos los errores cometidos en la poligonal son accidentales. Las mediciones angulares son más precisas que las lineales.

Las correcciones se calculan por las fórmulas siguientes: Proyección en latitud (Proyecciones Norte – Sur) Correccion en Latitud Clat= Proy * (Proy± ((Proy * ∆y/(∑PN-∑PS)) ), simplificando la formula, sacando factor comun Proy nos quedara que: Clat= Proy * (1± ((∆y/(∑PN-∑PS)) ) Donde, Clat: es la corrección de proy. Y de una línea Proy: Indica la proyección que se va a corregir ∆y: Es el error de cierre en proyecciones Y ∑PN-∑PS: Es la suma aritmética de las proyecciones Y, en ellas no se considerara el signo sino que se sumaran siempre. Proyección en Longitud (Proyecciones Este – Oeste) Corrección en Longitud C Long= Proy * (1± ((∆X/(∑PE-∑PW)) )



Donde, C Long: es la corrección de proyección X de una línea Proy: Indica la proyección que se va a corregir ∆X: Es el error de cierre en proyecciones X ∑PE-∑PW: Es la suma aritmética de las proyecciones X, en ellas no se considerara el signo sino que se sumaran siempre. Regla de la brújula (o de bowditch): Se basa en suponer que existe una Proporcionalidad entre el valor parcial de cada lado y el error de cierre total. Esta regla se basa en el supuesto que:

Los errores sometidos son accidentales y por lo tanto su valor es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

El efecto de los errores angulares es igual a los errores lineales. (teodolito y cinta su levantamiento)

Esta regla, adecuada para levantamientos en los que los ángulos y las distancias se miden con igual precisión, es la que se usa con mayor frecuencia en la práctica. Es apropiada tratándose de un levantamiento con tránsito y cinta en el que se miden los ángulos al minuto o al medio minuto más próximo. Las correcciones se obtienen por las fórmulas siguientes: Proyección en latitud (Clat) Clat = Proyecciones (N o S) ± ( (∆y/Perímetro)* distancia de cada lado ) Proyección en longitud (Clong) Clong = Proyecciones(E o W) ± ( (∆x/Perímetro)* distancia de cada lado ) En esta formula se considera el perímetro. El signo mas o menos dependerá de la sumatoria de las proyecciones en latitud o longitud, la que sea mayor a esa se le restara pues la idea es de que ellas sean iguales. El dibujo mostrado ilustra esta explicación:



La aplicación tanto de la regla del tránsito como de la brújula supone que todas las líneas se midieron con igual cuidado, y que los ángulos se tomaron todos con la misma precisión. De lo contrario, deben asignarse pesos adecuados a los ángulos o a las distancias individuales. Los pequeños errores de cierre pueden distribuirse por simple examen. Método de crandall: En este método de compensación de polígonos, se distribuye primero el error de cierre angular en partes iguales entre todos los ángulos medidos. Luego se mantienen fijos los ángulos ajustados y se asignan todas las correcciones restantes a las medidas lineales, siguiendo un procedimiento de mínimos cuadrados pesados o ponderados. El método de Crandall es más lento que los procedimientos de la regla del tránsito o de la brújula, pero es adecuado para ajustar polígonos en que las medidas lineales tienen errores aleatorios más grandes que las medidas angulares, como por ejemplo en poligonales trazadas por estadía. Método de mínimos cuadrados: El método de los mínimos cuadrados, basado en la teoría de las probabilidades, compensa simultáneamente las medidas angulares y las lineales, de modo de hacer mínima la suma de los cuadrados de los residuos. Este método es válido para cualquier tipo de poligonal, sin importar la precisión relativa de las medidas de los ángulos y las distancias, en vista de que a cada cantidad medida se le puede asignar un peso relativo. Una aplicación clásica de las proyecciones es en el calculo de coordenadas de poligonales, las que a su ves servirán para el calculo de distancias y rumbos cuyas formulas se verán mas adelante. Uno de los métodos de levantamiento de datos de campo se conoce como radiación, el cual consiste en ubicarse en el centro de la poligonal y desde ahí tomar las distancias radiales a cada vértice del polígono. Por lo general el punto de partida es el Norte y luego desde ahí calculamos los azimut. Por ejemplo. Se ha realizado una poligonal por el método de radiación en la cual se coloco el teodolito mas o menos al centro del polígono. Dicha estación se denominó como punto A cuyas coordenadas asumidas son (0,0). Encuentre coordenadas del polígono real y los rumbos.



Estacion Punto Observado Distancia Calculada (m)

Azimut

A Norte - N 00º 00´ 1 25.60 N 31º 42´ 2 16.95 N 160º 04´ 3 26.61 N 242º 10 ´ 4 15.40 N 324º 12´

Los valores de proyecciones para X (∆x) será igual a: Proyección X será igual a (Seno Azimut * Distancia) Al multimplicar la columna 3 por el seno de columna 4 resulta que: ∆x1 = 13.452 m ∆x2 = 5.780 m ∆x3 =-23.530 m ∆x4 = -9.010 m Los valores de proyección para ∆y serán: Proyeccion X será igual a (Coseno Azimut * Distancia) Al multimplicar la columna 3 por el seno de columna 4 resulta que: ∆y1 = 21.780 m ∆y2 = -15.930 m ∆y3 = -12.420 m ∆y4 = 12.490 m A partir de estos datos podemos calcular las coordenadas. Imagione que en el punto a esta el eje X e Y, los que constituyen los valores de 0,0, Si el punto 1 esta a las derecha (Primer cuadrante) debera de ser sumada la proyección x y sumada también la proyección Y. Los signos se aplican tal y como nos dan: De modo tal que las coordenadas para el punto 1 seran; X1 = 0 + 13.452 m = 13.452 m Y2 = 0 + 21.780 m = 21.780 m X2= 0 + 5.780 m = 5.780 m Y2 = 0-15.930 m = -15.930 m Y así sucesivamente hasta encontrar todas las coordenadas de los puntos o vértices. Un ejemplo de calculo de los rumbos así como una mejor disposición de datos de manera tabular se presenta mas adelante.



Calculo de áreas El cálculo de área para una poligonal cerrada puede hacerse fácilmente cuando se conocen las proyecciones meridianas (PM)y paralelas (PP) de las líneas o lados los dos métodos más usados son: Método de coordenadas rectangulares Conociendo las coordenadas de todos sus vértices: Área = ½ ((∑Coordenas X ∑Coordenas Y )- (∑Coordenas y ∑Coordenas X)) Area = (∑XY - ∑YX)/2 Calculo de Area para el ejemplo anterior = (∑XY - ∑YX)/2 Área = 630.82 m2. Esta área siempre se considerará como un valor absoluto, es decir siempre, será siempre positivo. Este método es fácil una vez que se tienen las coordenadas de los puntos. Método doble distancias meridianas (DDM ). La distancia meridiana de un lado del polígono es la distancia perpendicular del punto central del lado a la meridiana de referencia. Por ejemplo DM de BC ( punto P) seria: AP = DM AB+ ½ Proy AB + ½ Proy BC

La DDM de un lado cualquiera de un polígono es igual a la DDM del lado anterior, más la proyección paralela del lado en cuestión. Para elegir la DDM se toma la proyección este u oeste que este mas al NW o SW, si resultara negativa se considerara positiva y será la base de la DDM elegida; para elegir la siguiente se toma la DDM elegida y se le suma la proyección de la línea elegida mas la proyección de la línea siguiente, el resultado será la DDM de esa línea.



DDM de AB = Proyección paralela de AB DDM de BC = DDM de AB + Proyección paralela de AB + Proyección paralela de BC Se obtiene una verificación de todos los cálculos si la DDM del último lado, después de recorrer la poligonal es igual a su proyección paralela pero con signo contrario) También puede realizarse por DDP (Doble distancia paralela), el proceso de cálculo es igual que anterior con la diferencia que las proyecciones a tomar serán las norte y las sur y se elegirá la línea que este mas al SE o SW. Doble área es igual a DDM de un lado por su proyección meridiana corregida El sistema llamado DOBLES DISTANCIAS MERIDIANAS, (DDM) es en esencia lo mismo que el de coordenadas. Tomando el eje (y) como meridiano, la (x) de cada vértice será su distancia al meridiano, y la superficie de un trapecio formado por un lado será: sup. = 1/2 (dist. de un extremo + dist. del otro extremo) Proy. y del lado. Desde luego la mejor manera de entender la aplicación de estas formulas, será a través de un ejemplo. Se levanto una poligonal por el método de radiación y se obtuvieron los siguientes datos: Calcule los rumbos y distancias de las alineaciones. También determine su área por el método de las coordenadas (Asuma coordenadas x,y iguales a 90,90)



Ang Dist

Hs Hc Hi Vert Horiz X Y2.434 2.16 1.886 92° 30' 54.7

38.6 71.32.336 2.115 80° 15' 42.93

48.53 101.112.44 1.844 80° 05' 57.83

146.95 100.044.136 79° 30' 65.643.445 80° 05'

132.19 39.72

Lecturas de Hilos Coordenadas

Para el cálculo de distancias radiales se aplicaron las siguientes formulas: DH = K S (Cos (Angulo vertical))2 K: es una constante estadimetrica igual a 100. S: es la diferencia del hilo superior menos hilo inferior. (La distancia del hilo central al hilo superior es la misma distancia del hilo central al inferior). Angulo vertical = (90° - Angulo de depresión) o (Angulo de elevación menos 90°) DH = (Hc1 – Hc2)/( tan α1 ± tan α2) Los signos se aplican de la siguiente manera: - Si α1 y α2 son de elevación o depresión. + Si α1 es de elevación y α2 es de depresión. La distancia A-4 se calculó de la siguiente manera: DH = (4.135-3.445)/(tan(90°-80°08‟) – tan (90°-79°30‟)) DH = 65.64 m Calculo de coordenadas X1 = 90 – 54.70 (Sen 70° 00‟ 00‟‟) = 38.60 m Y1 = 90 – 54.70 (Cos 70° 00‟ 00‟‟) = 71.30 m X2 = 90 – 42.93 (Sen 75° 00‟ 00‟‟) = 48.53 m Y2 = 90 + 42.93 (Cos 75° 00‟ 00‟‟) = 101.11 m X3 = 90 +57.83 (Sen 80° 00‟ 00‟‟) = 146.95 m Y3 = 90 +57.83 (Cos 80° 00‟ 00‟‟) = 100.04 m X4 = 90 +65.64 (Sen 40° 00‟ 00‟‟) = 132.19 m Y4 = 90 -65.64 (Cos 40° 00‟ 00‟‟) = 39.72 m Calculo de Rumbos



R = tan-1 ∆x/∆y R = tan-1 (X2-X1) /(Y2-Y1) R12 = tan-1 ((48.53-38.60)/(101.11-71.29)) R12= N18°25‟03‟‟ W De la misma manera, R23= S 89°22‟37‟‟ E R34= S 13°44‟59‟‟ W R41= N 71°21‟34‟‟ W Calculo de distancias Dist. = √((∆x2 + ∆y2)) Dist. 12 = √((9.93) 2+(29.82) 2) = 31.43 m Dist. 23 = √((98.42) 2+(-1.07) 2) = 98.43 m Dist. 34 = √((14.76) 2+(60.32) 2) = 62.10 m Dist. 41 = √((93.59) 2+(31.55) 2) = 98.77 m Calculo de Área por coordenadas Area = (∑XY - ∑YX)/2 Area = ½ (24018.47 m2-33075.29m2) Area = 4528.41 m2 Estación Punto Obs. Distancia (m) Angulo A 4 15.75 50°48‟

3 7.39 122°59‟ 2 24.44 158°59‟ 1 27.65 197°42‟ 5 14.95 302°44‟

Calculo de coordenadas. Supongamos en vértice A coordenadas (0.00,0.00) X4 = 0.00 + 15.75 (Sen 50°48‟) = 12.20 Y4 = 0.00 + 15.75 (Cos 50°48‟) = 9.95 X3 = 0.00 + 7.39 (Sen 122°59‟) = 6.19 Y3 = 0.00 - 7.39 (Cos 122°59‟) = -4.02 X2 = 0.00 + 24.44 (Sen 158°59‟) = 8.76



Y2 = 0.00 - 24.44 (Cos 158°59‟) = -22.81 X1 = 0.00 - 27.65 (Sen 197°42‟) = -8.40 Y1 = 0.00 - 27.65 (Cos 197°42‟) = -26.34 X5 = 0.00 - 14.95 (Sen 302°44‟) = -12.58 Y5 = 0.00 + 7.39 (Cos 302°44‟) = 8.07

X Y (∆X/∆Y) tan-1(∆X/∆Y)1 -8,40 -26,34

17,16 3,53 17,52 4,86 N 78°22‟33'' E2 8,76 -22,81

-2,57 18,79 18,96 -0,14 N 07°47‟18''W3 6,19 -4,02

6,01 13,97 15,21 0,43 N 23°16‟40'' E4 12,20 9,95

-24,78 -1,88 24,85 13,18 S 85°45‟39'' W5 -12,58 8,07

4,18 -34,41 34,66 -0,12 S 06°55‟34'' E1 -8,4 -26,34

Rumbo = tan -1 (∆X/∆Y)

A

Coordenadas ∆X = X 2 -X 1 ∆Y = Y 2 -Y 1 D(m)Est Punto Obs.

Recuerde que: Proyecciones Meridianas y latitudes correspondes al Norte o al Sur. Proyecciones paralelas y Longitudes corresponden al Este u Oeste. Ajuste la siguiente poligonal por el método de la Brújula. Calcule el área por DDM. Antes de hacer cálculos de áreas primero deberan de corregirse las proyecciones



N S E W N S E WG M S

148,290 S 71 6 0 W 15,642 45,686 15,624 45,696

259,430 S 11 23 24 E 58,260 11,737 58,238 11,725

346,490 N 73 19 12 E 13,344 44,534 13,361 44,525

446,970 N 11 42 12 W 45,994 9,528 46,011 9,537

514,520 N 4 0 36 W 14,484 1,015 14,490 1,018

1

∑ 215,700 73,822 73,902 56,270 56,229 73,862 73,862 56,250 56,250

Proyecciones Calculadas Proyecciones CorregidasPto D (m) Rumbo



Ejemplo

N S E W N S E WG M S

148,290 S 31 6 0 W 41,349 24,943 35,576 29,596

259,430 S 11 23 24 E 58,260 11,737 51,155 6,010

346,490 N 73 19 12 E 13,344 44,534 18,902 40,054

446,970 N 11 42 12 W 45,994 9,528 51,609 14,053

514,520 N 4 0 36 W 14,484 1,015 16,220 2,414

1

? 215,700 73,822 99,609 56,270 35,486 86,731 86,731 46,064 46,064

Pto D (m) Rumbo Proyecciones Calculadas Proyecciones Corregidas

Otro ejemplo Desarrollado. Dado los rumbos.

R AB N10°11′12″E R BC N64°08′40″W R CD S20°21′40″W R DA S77°17′36″E R AB N10°11′12″E

Condición lineal ∑Norte- ∑Sur= 0 45.729-45.766= −0.037 ∆ Latitud= −0.037 ∑ Este-∑Sur=0 43.491-43.514= −0.023 ∆Longitud= −0.023 Error cierre Ec =√(∆ Latitud)²-(∆longitud)² Ec =√(-0.037)² +(-0.023)² Ec =0.044



Precisión= 1 1 Per = 143.36 =1/3258.183 Ec.l 0.444 P =1/1000>1/3258.183 Método de la brújula Fc. Lat.= Lat. =-0.037 = -2.58*10E-4 Perímetro 143.36 Fc long =∆long = -0.023 = -1.60*10E-4 Perímetro 143.36 Proyecciones Corregidas Lat. C = Fc Lat.*dist. i +/- proy. (N o S)

1. 2.58*10E-4*31.84+31.338 = 31.346 2. 2.58*10E-4*33+14.391 = 14.400 3. 2.58*10E-4*39.71-37.229 = -37.219 4. 2.58*10E-4*38.81-8.537 = -8.537

Long c = Fc Long*dist. i +/- proy. (E o W)

1. 1.6*10E-4*31.84+5.631 = 5.637 2. 1.6*10E-4*33-29.697 = -29.692 3. 1.6*10E-4*39.71-13.817 = -13.811 4. 1.6*10E-4*38.81+37.860 = 37.866

Doble Distancia Meridiana DDM BC = 29.692

1. DDM CD = 29.692-29.692-13.811 = -13.811 2. DDM DA = -13.811-13.811+37.866 = 10.244 3. DDM AB = 10.244+37.866+5.637 = 53.747 4. DDM BC = 53.747+5.637-29.692 = 29.692

Doble Área DDM*Lat. C

1. DA AB = 53.747*31.346 = 1684.753 2. DA BC = 29.692*14.400 = 427.565 3. DA CD = -13.811*-37.219 = 514.032



4. DA DA = 10.244*-8.527 = -87.351 AT = 1269.500 Doble Distancia Paralela DDP DA = 8.527

1. DDP AB = 8.527-8.527+31.346 = 31.346 2. DDP BC = 31.346+31.346+14.400 = 77.092 3. DDP CD = 77.092+14.400-37.219 = 54.273 4. DDP DA = 54.273-37.219-8.527 = 8.527

Doble Área DA*Long c

1. DA AB = 31.346*5.637 = 176.697 2. DA BC = 77.092*-29.692 = -2289.016 3. DA CD = 54.273*-13.811 = -749.564 4. DA DA = 8.527*37.866 = 322.883

AT = 1269.500 Ejemplo. Método del transito Rumbos R AB N 10º 11′ 12″ E R BC N 64º 07′ 03″ W R CD S 20º 23′ 2″ W R DA S 77º 22′ 27″E D AB = 31.9948 D BC = 33 D CD = 39.9998 D DA = 38.8977 Condición Lineal ∑ Lat. N - ∑ Lat. S = 45.8959-45.9954 =-0.1015 ∑ Long E - ∑ Long W =43.6156-43.6221 = -0.0065



∆ Lat.= -0.1015 ∆ Long =-0.0065 Ecl = √(-0.1015)² +(-0.0065) ² Ecl = 0.1205 Precisión = 1/ perímetro/ ec. Lineal P = 1 /143.8923 /0.1205 P = 1 /1,414.7601 >1 / 1000 Corrección Lineal Fc. Lat. = ∆ Lat. / ∑ Lat. N +∑ Lat. S Fc. Lat. = -0.1015/45.8959+45.9974 Fc. Lat. = 1.1*10-3 Fc. Long = ∆ Long / ∑ Long E +∑ Long W Fc. Long = 0.0065/43.6156+43.6221 Fc. Long = - 7.451*10-5 Proyecciones Corregidas Fc.Lat.*Lat. i +/- Lat. I

1. 1.1*10³*31.4905+31.4905=31.5255 2. 1.1*10³*14.4054+14.4054=14.4212 3. 1.1*10³*34.495-37.4950=-37.4537 4. 1.1*10³*8.5024-8.5024=-8.4930

Fc. Long*Long i +/- Long i

1. 7.451*10-5*5.6585+5.6585=5.6589 2. 7.451*10*29.6898-29.6898=-29.6875 3. 7.451*10*13.9323-13.9323=-13.9313 4. 7.451*10*37.9571+37.9571=37.9599

Doble distancia Meridiana DDM= DDM +/- Long i +/- long i DDM: CD= 29.6875

1. CD=29.67875-29.6875-13.9313=-13.9313 2. DA=-13.9313-13.933+37.9599=10.0973 3. AB=10.0973+37.9599+5.6589=53.7161 4. DA=53.7161+5.6584-29.6875=29.6875



Cálculos Doble Área DA = DDA * Lat. .Corregida DA=-13.9313*-37.4537=521.7787 DA=10.0973*-8.4930=-85.7564 DA=53.7161*31.5255=1693.4269 DA=29.6875*14.4212=428.1294 AT=1278.7893

Doble Distancia Paralela

DDP = DDP +/- Lat i +/- Lat i DDP DA = 8.4930

1) DDP AB = 8.4930-8.4930+31.5255=31.2555 2) DDP BC =31.5255+31.5255+14.4212=77.4722 3) DDP CD =77.4722+14.4212-37.4537=54.4397 4) DDP DA = 54.4397-37.4537-8.4930=8.4930

Cálculos de Doble Area DA = DDP * Long. Corregida

1) DA AB = 8.4930* 37.9599=322.3934 2) DA BC = 31.5255*5.6589=1178.3997 3) DA CD = 77.4722*-29.6875=-2299.9559 4) DA DA = 54.497*-13.9313=-758.4158

Poligonales con datos omitidos Cuando por alguna razón no haya sido posible tomar el campo el rumbo o la longitud de uno de sus lados se puede calcular el dato que falta; no puede ser más que dos datos omitidos (una longitud, una dirección, o ambas a la vez). Para el cálculo de las mediciones no hechas hay que suponer que todos los demás valores observados no están afectados de errores de ninguna clase, por lo cual todos los errores de observación se acumulan sobre las longitudes y direcciones calculadas, las mediciones que pueden suplirse de este modo son: Longitud y rumbo de un lado. Longitud de un lado y rumbo de otro. Longitud de dos lados en que se conocen los rumbos (casos contiguo y no contiguos)



Rumbos de dos lados cuyas longitudes se han medido (casos contiguo y no contiguos). Ejemplo: A. Distancia y rumbo omitidos El procedimiento es exactamente el mismo que el de calcular la magnitud y dirección del error de cierre (ecl) de una poligonal cerrada cuyos datos están completos. Lado Rumbo Distancia

(m) Proyecciones Calculadas N S E W

1-2 N 25°00‟ W

50.20 45.497 21.215

2-3 S 79°29‟ W 53.28 17.80 50.219 3-4 Rumbo distancia D cos

(Rumbo) D sen (Rumbo)

4-1 N 64°38‟ W

50.80 21.763 45.902

Sumatoria ∑= 67.26 17.80 45.902 71.434 ∆Y = ∑ proyecciones Norte - ∑ Proyecciones Sur = ∑PN-∑PS ∆Y = 67.26-17.80 = 49.46 ∆X= ∑ proyecciones Este - ∑ Proyecciones Oeste = ∑PE-∑PW ∆X = 45.902-71.434 = -25.532 Distancia ecl= √((∆x2 + ∆y2)) Distancia = √((-25.532)2 + (49.46)2)) Distancia = 55.66 m

Rumbo = tan -1 (-25.532/49.46) Rumbo = N 27°18‟ W



b) Una distancia y una dirección omitida

Proyecciones calculadas Línea

Dist.

Rumbo

N

S

E

W 1-2

529.60

N 48°20' E

352.076

395.624

2-3

592.00

N 87°43' E

23.586

591.530

3-4

563.60

S 07°59' E

558.138

78.277

4-5

Distancia

S 82º12'W

DCosR1

DSenR1 5-1

428.20

(NW)

DcosR2

DsenR2 Suma =

375.662

558.138

1065.431

∆Y = ∑ proyecciones Norte - ∑ Proyecciones Sur = ∑PN-∑PS ∆Y= - 182.476 ∆X = 1065.431 D ecl= √((∆x2 + ∆y2)) = √ ((182.486)2+(5065.431)) = 1080.94 Recl = tan -1 (1065.431/ -182.476) = S 80º16 ' 53''E &2 = 180° -( R14 +R45) = 180º - (80º16 ' 53''+82º12') &2= 17º 31 ' 07'' Por teorema de senos &3 = [(sen(&2)*1080.94)/428.20] =49º27 '12 '' &1 = 180º - (&2+&3) &1 = 31º56 '53 '' De igual manera utilizando los senos se calcula la distancia 4-5 (D45/sen (&1) = 1080.94/sen (&3) D45= 752.58 Finalmente el rumbo 51 sera igual a &3- R45 = N 481 20‟ W



UNIDAD VI :DESMEMBRACIONES

Se llaman así alas operaciones que tienen por objetivo dividir una propiedad en dos o más parcelas con magnitudes y formas requeridas para el diseño a desmembrar, además estas se hacen precisiones preestablecidas. Este tipo problemas no es mas que un resumen del dominio del tema anterior pues conociendo las coordenadas y aplicando las formulas básicas de trigonometría podremos encontrar la coordenada de un punto buscado. En hallar la distancia, el rumbo y verificar el area por coordenadas se resume la unidad. Los problemas que se presentan en las desmembraciones son variadas y numerosas que es imposible estudiados uno a uno por los que se consideraron los de usos mas frecuentes: 1. Desmembraciones a partir de un punto obligado en uno de los lados del

polígono 2 Desmembraciones a partir de una recta de dirección dada. 3. Desmembraciones a partir de una recta paralela a uno recta que pasa dos

puntos obligados. 3. Desmembraciones a partir de una recta paralela a uno de los lados del

polígono. Caso I. Subdivisión de una superficie por medio de una recta que pasa por dos puntos obligados En la figura ABCDEA se representa una superficie que hay que subdividirse en dos partes por medio de una recta que parte del Vértice B y llega a Vértice E.

BE: LINEA DIVISORIA Se tiene registrado el levantamiento y las magnitudes de la superficie. Se utiliza este para comenzarlos cálculos necesarios. Est

Distancia

Rumbo AB

34.464

S 80°29‟30 „‟ W BC

25.493

S 33004‟00„‟ W



CD

33.934

S 33046‟45„‟ E DE

28.625

N87058‟15„‟E EA

54.235

N 00027‟00„‟E Se procede al calculo de coordenadas y de areas respectivas,

Vértice

X

Y

A

47.900

55.254 B

13.909

49.562 C

0.00

28.201 D

18.867

0.00 E

41.474

1.014 Suma

5408.527

349.167

Area Total = At = ½ (5408.527-1349.167) AT= 2029.68 m2 Calculo de la distancias y rumbo de la línea divisoria (BE) dBE= [(XE-XB)2+(YE-YB)2] ½

dBE= [(47.474 - 13.909)2+(1.014- - 49.562)2] ½ dBE= 59.021m RBE= tan-1 (33.565 / -48.548) RBE=S 34º39‟32‟‟E Calculo del área (A1) EST

X

Y

XY

YX A

47.900

55.254

B

13.909

49.562

2374..02

768.53 E

47.474

1.014

14.10

2352.91 A

47.900

55.254

2623.13

48.57 Suma

5011.25

3170.01 Al= ½ ( 5011.25-3170.01)

A1= 920.62 m2 Calculo del área (A2)

EST

X

Y

XY

YX B

13.909

49 562



C

0.00

28.201

392.25

0.00 D

18.867

0.00

0.00

532.07 E

47.474

1.014

19.13

0.00 B

13.909

49.562

2352.91

14.10 Sum

a

2764.29

546.17 A2= ½ (2764.29-546.17)

A2=1109.06 m2 ATotal = A1 +A2 AT= 920.62 m2+1109.06 m2 AT= 2029.68 m2 CASO I (B) Suponga que el dueño le dice que desea otorgar 15 m a partir de los vértices c y E

1- Calculo de coordenadas de los puntos p y m Px= Xc+ d SENRCB=

Px= 0.00 + 15 SEN 33º 04‟ 00‟‟ = 8.184 Py = Yc + d COS R CB Py = 28.201 + 15 COS 33º 04‟ 00‟‟ = 40.771 Mx=XE +d SEN REA= Mx= 47.474 + 20 SEN 00º 27‟ 00‟‟ = 47.631 My =YE+dcos My = 1.014 + 20 COS 00º 27‟ 00‟‟ = 21.013 2 CALCULE LA DISTANCIA Y RUMBO DE PM D PM = [(XM-XP)2+(YM-YP)2 ] ½

dPM = (47.474 - 8.184)2 +( 1.013 - 40.771)2 ] ½

dPM=44.119m RPM= tan-1 (39.29 /- 19.758) RPM= S 63º 18‟ 11‟‟ E Calculo de área A1



EST

X

Y

XY

YX A

47.900

55 253

B

13.909

49.562

2374.020

768.528 P

8.184

40.771

567.084

405.615 M

47.631

21.013

171.970

1941.964 A

47.900

55.254

2631.803

1003.523 Sum

a

5744.877

4122.63

Al= ½ ( 5744.877 - 4122.63) Al= 811.12 m Calculo de área (A1) Estación

X

Y

XY

YX P

8.184

40.771

C

0.000

28.201

230797

0.000 D

18.867

0.000

0.000

532.068 E

47.474

1.014

19.131

0.000 M

41.631

21.031

997.571

48.298 P

8.18

40.771

1941.964

171.970 Suma

3189.463

152.336 A2= ½ (3189.463-752.336)

A2= 1218.564 m2 AT= A1+A2 AT=2029.68m2

Ejemplo: A partir de los datos que se presentan desmembrar 13,500m2 con una línea divisoria que parta de un punto (P),ubicado en la línea (4–1) a 80.00 m del vértice (4)

Est. Dist. Rumbo X Y 1 225.36 165.70 164.99 N 81° 41‟ 32‟‟ W 2 62.10 189.54 119.02 N 31° 26‟ 57‟‟ W 3 0.00 88.00 227.24 S 67° 12‟ 58‟‟ E 4 209.51 0.00 166.46 S 05° 27‟ 50‟‟ E 1 225.36 165.70



Coordenadas del punto P Px = 209.51 + 80 * sen 05° 27‟ 50‟‟ = 217.127 Py = 0.00 + 80 * cos 05° 27‟ 50‟‟ = 79.637 ΔXp3 = 0.00 – 217.13 = - 217.13 ΔXp3 = 88.00 – 79.64 = + 8.36 Distancia de P3 D P3 = √ [(- 217.13)2 + (+ 8.36)2 ] = 217.288 m RP3 = tan –1 (- 217.127/8.363) = N 87° 47‟ 40‟‟W R3P = S 87° 47‟ 40‟‟ E Calculo del área auxiliar por coordenadas Vertices X Y XY YX 3 0 88 O 18436.880 4 209.510 0 16684.748 0 P 217.127 79.637 19107.176 0 3 0 88 Suma 35791.924 18436.880 Aaux = ½ ( Sumatoria X1Y2 – Sumatoria Y1X2) = (35791 – 16684.748) ½ Aaux = 8677.522 m2 Δfaltante = ADesmembrar - Aaux Δfaltante = 13,500 m2

- 8677.522 m2 = 4822.478 m2

Calculo del ángulo Ф



Ф = 180° - (31° 26‟ 57‟‟ + 87° 47‟ 40‟‟) Ф = 60° 45‟ 23‟‟ Por función seno ΔA = (a*b*senФ) /2 ΔA = ½ (3Q *3P *senФ) 3Q = [2* (4822.478 )] /[217.288 sen 60° 45‟ 23‟‟ ] 3Q= 50.871 m Calculando las Coordenadas Qx = 0 + sen 31° 26‟ 57‟‟ (50.871) = 26.542 Qy = 88 + cos 31° 26‟ 57‟‟ (50.871) = 131.398 Comprobación del Área Vert. X Y XY YX 3 0.00 88.00 0 18436.88 4 209.51 0.00 16684.748 0 P 217.127 79.637 28530.054 2113.725 Q 26.542 131.398 2335.696 0 3 0.00 88.00 Suma = 47550.497 20550.605 Área = 13499.946 m2 Precisión = (13499.946 m2/13500 m2) = 100% Calculo de la línea divisoria ΔXPQ = 26.542 – 217.1273 = -190.585 ΔXPQ = 131.398 – 79.637 = + 51.761 RPQ = tan –1 (-190.585/51.761) RPQ = N 74° 48‟ 20‟‟ W DPQ = √ [(- 190.585)2 + (+ 51.761)2 ] = 197.489 m



Desmembrar la siguiente poligonal en dos partes iguales con una línea divisoria que sea paralela a la línea 3-4

Est. Dist. Rumbo X Y 1 225.36 165.70 164.99 N 81° 41‟ 32‟‟ W 2 62.10 189.54 119.02 N 31° 26‟ 57‟‟ W 3 0.00 88.00 227.24 S 67° 12‟ 58‟‟ E 4 209.51 0.00 166.46 S 05° 27‟ 50‟‟ E 1 225.36 165.70

Vértice X Y XY YX 1 225.36 165.70 42714.734 10289.970 2 62.10 189.54 5464.800 0 3 0.00 88.00 0 18436.880 4 209.51 0.00 34715.807 0 1 225.36 165.70 Suma 82895.341 28726.850 ATotal= 27,084.246 m2

A desmembrar = ATotal/2 A desmembrar = 13,542.123 m2



α 3 = 180° - ( 31° 26‟ 57‟‟ + 67° 12‟ 58‟‟) α 3 = 81° 20‟ 05‟‟ α 4 = 67° 12‟ 58‟‟+ 05° 27‟ 50‟‟ α 4 = 72° 40‟ 48‟‟ Ф1 = 90° - 81° 20‟ 05‟‟ Ф1 = 08° 39° 55‟‟ Ф2 = 90° - 72° 40‟ 48‟‟ Ф2 = 17° 19‟ 12‟‟ A Desmembrar = Arect. – Atran1 – Atrain 2 AD = d34 * h – (1/2 X1 * h) –(1/2 X2 * h ) Por proporciones de triangulos tan Ф1 = X1/h X1 = h* tan Ф1 tan Ф2 = X2/h X2 = h* tan Ф2 Sustituyendo los términos en la ecuación anterior (1) resulta:



ADesm = d34 * h –(h* tan Ф1*h) - (h* tan Ф2) 2*ADesm = 2*d34 * h – h2 (tan Ф1 + tan Ф2 ) 2(13,542.123) = 2*227.240*h – h2 (tan 08° 39° 55‟ + tan 17° 19‟ 12‟‟) Aplicando la formula general cuadrática: h = - (-454.48) ± √ {[454.48) 2 -4 (0.464249639) (27084.24)]/ 2(0.464249639)} h1= 63.745 m h2= 915.211 m Conociendo el valor de h = 63.745 m aplicamos coseno para cada triangulo resultando: D3P = 64.48 m D4Q = 64.48 m Calculando las coordenadas de los puntos P y Q Punto Coordenadas

X Coordenadas Y

ΔXQP ΔyQP DistanciaQP RumboQP

P 33.64 143.01 -182.23

76.54 197.65 N 67° 13‟ 00‟‟ W Q 215.87 66.47

Verificando el área con el polígono 3-4-P-Q nos resulta un área de 13,543.12 m2

valor casi exacto al necesitado. Ejercicios P/E: La figura ABCDEA representa una superficie que hay que dividir en 2 partes iguales A1 y A2=At/2 por medio de una divisoria de dicción dada S 83º 20` 00`` E que parte del vértice C.



Se traza una línea auxiliar CE de coordenada conocidas Se calcula su distancia y su rumbo

A1 = A2 = At/2 Sol. dCE = 54.708 m RCE S60º12`05``E Caculo de los ángulos internos del triangulo CEP θi = RCE-RCP= 83º20`-60º12`05`` θe= RCE+REP= 60º12`05``+ 0º27` θi =23º07`55`` θe= 60º39`05`` θp=180º-(RCP+REA)=180º-83º20`+0º27` θp=96º13` θi= 23º07`55`` θe= 60º39`05`` θp= 996º13` Ac = A ±AT1±AT2 A ICP2= XCP A∆MIC=bh/2 AT1= x²/2tanθ1



AT2= (x²/2)*1/tanθ2 θ1 Y θ2 se calculan por diferencia de rumbo θ1= 180-RBC – RMN = 63º36 θ2= REA + RMN = 83º47` Reduciendo términos semejantes Ac = XCP-( (x²/2)*1/tanθ1)-( (x²/2)*1/tanθ2) Agrupando términos -XCP + ( x²/2) [1/tanθ1+1/tanθ2]+AC = 0 Calculo del área complementaria AC = A2-A1=86.444m² Esta será el área equivalente al área paralelogramo MCPN formado al desplazar la línea divisoria inicial a su posición final M y N. Calculo de las coordenadas M y N de la divisoria definitiva. Para calcular la coordenadas de los puntos M y N deben deducirse de las distancias CN y PN, esto se logra movilizando el paralelogramo formado al desplazar la divisoria inicial CP hasta su posición definitiva M y N.

Esta expresión es particular para cada problema. Y solo se excede del análisis del paralelogramo formado al desplazar la divisoria inicial a su posición definitiva pero se puede generar una expresión general



UNIDAD VII: CURVAS CIRCULARES

La planta de una vía al igual que el perfil de la misma están constituidos por tramos rectos que se empalman por medio de curvas. Estas curvas deben de tener características tales como la facilidad en el trazo, económicas en su construcción y obedecer a un diseño acorde a especificaciones técnicas. Estas curvas pueden ser: Simples: Cuyas deflexiones pueden ser derechas o izquierdas acorde a la posicion que ocupa la curva en el eje de la vía.

Compuestas: Es curva circular constituida con una o más curvas simples dispuestas una después de la otra las cuales tienen arcos de circunferencias distintos.

Inversas: Se coloca una curva después de la otra en sentido contrario con la tangente común.

De transición: esta no es circular pero sirve de transición o unión entre la tangente y la curva circular. Elementos de las curvas circulares



PC: es el punto de comienzo o inicio de la curva. PT: es el punto donde terminara la curva circular. PI: Punto donde se cortan los alineamientos rectos que van a ser empalmados por la curva. Intersección de tangentes. PM: Es el punto medio de la curva. E: Secante externa o simplemente Externa equivalente a la distancia desde el PI al PM. T: Tangente de la curva. Es el segmento de recta entre PC-PI y PT-PI el cual es simétrico. R: Radio de la curva. Este es perpendicular a PC y PT. Este se elige acorde al caso, tipo de camino, vehiculo, velocidad y otros más que estudiaremos posteriormente en el transcurso de nuestra carrera. D o LC: es el desarrollo de la curva o longitud sobre la curva el cual esta comprendido desde el PC al PT. CM: es la cuerda máxima dentro de la curva que va desde el PC al PT medida en línea recta. M: es la mediana de la curva la cual corresponde a la ordenada de al curva que une el al PM con el centro de la cuerda máxima Δ: Es el ángulo central de la curva que es igual al ángulo de deflexión entre los dos alineamientos rectos y se puede calcular por la diferencia del azimut de llegada y el de salida. G°c: Este se define como un ángulo central que subtiende un arco de 20 m. Este y el Radio están siempre en razón inversa. El grado de curvatura Gc, está definido como el ángulo central que subtiende un arco de longitud establecida (LE), que para el caso de Nicaragua, se utiliza y/o está establecido de 20m.



De todos estos elementos se establecen las siguientes relaciones: R = T/ tan Δ/2 G°c = (20°* 360°)/(2Π R) = 1145.92/R DC = 20 * Δ / G°c = Π RΔ /180 CM = 2 R Sen Δ/2 E = R (Sec Δ/2 -1) = R [(1/Cos(Δ/2) - 1] M = R ( 1 – Cos Δ/2 ) Est PC = Est PI – T Est. PI = Est. PC+ T Est. PM = Est. PC + DC/2 Est PT = Est PC + DC Como proyectar las curvas circulares? Se puede realizar de cualquiera de las dos siguientes formas:

Trazamos el radio y escogemos la curva que mejor se adapte calculando posteriormente su radio de curvatura.

Empleamos curvas de determinado radio de curvatura y calculamos los demás elementos en ella. Siendo este el más recomendado.

Se recomienda el trazo de curvas con radio grande y grado de curvatura pequeño lo que facilitara visibilidad y el trazado de la vía. Replanteo de curvas circulares Existen varios métodos para el replanteo de curvas horizontales, sin embargo el método mas usado en Nicaragua, México y Estados Unidos es el las Deflexiones por lo que es el que se abordara. La localización de una curva se hace generalmente por ángulos de deflexión y cuerdas. Los Ángulos de deflexión son los ángulos formados por la tangente y cada una de las cuerdas que parten desde el PC a los diferentes puntos donde se colocaran estacas por donde pasara la curva. El ángulo de deflexión total para la curva formada por la tangente y la cuerda principal será Δ/2. De manera general este se calcula por la expresión: Deflexión por metro = δ/m = (1.50 * G°c * Cuerda)/60 En dependencia de las condiciones insitu del terreno se pueden presentar los siguientes casos:



Si el desarrollo de curva es menor de 200 m. Replanteo desde el PC (deflexión Izquierda (ΔI) o deflexión Derecha (ΔD)) Replanteo desde el PT ((deflexión Izquierda (ΔI) o deflexión Derecha (ΔD)) Si el desarrollo de curva es mayor de 200 m Replanteo desde PC al PM y del PT al PM. ((Deflexión Izquierda (ΔI) o deflexión Derecha (ΔD)) El error de cierre permisible para el replanteo de la curva será: Angular ± 1‟ Lineal ± 10 cm. Técnicamente no se puede replantear sobre la curva (Arco de circunferencia) es por tal razón que en vez de medir segmentos de arcos se miden segmentos de cuerda; haciendo coincidir sensiblemente estos segmentos de cuerda con los de arco. Cuerda máxima o corte de cadena a utilizar en el replanteo de curvas horizontales: G°c Longitud de cuerda (m) 00° 00‟- 6°00‟ 20.00 06° 00‟- 15°00‟ 10.00 15° 00‟- 32°00‟ 5.00 *Esta tabla se calculo a partir de la formula C= 2RSen d’ donde d’ = 1.5 (G°c) L Donde: C es cuerda para subtender un arco mayor o menor de 20. R es el radio de la curva en metros. d es el ángulo de desviación para el punto a replantear en grados sexagesimales. d’ es el ángulo de desviación para el punto a replantear en minutos sexagesimales. G°c es el grado de curvatura en grados sexagesimales. L es la longitud de arco de la sub. cuerda. Ejemplos I. Calcule los elementos de la curva PC = 1+200 D = 32 m ΔD = 34° DC = Π RΔ /180



R = 180 DC / (ΠΔ) R = 53.925 m R = T/ tan Δ/2 T = R tan Δ/2 T = 16.487 m G°c =1145.92/R G°c = 21.250 G°c = 21° 15‟ 01‟‟ CM = 2 R Sen Δ/2 CM = 31.532 m M = R ( 1 – Cos Δ/2 ) M = 2.356 m E = R (Sec Δ/2 -1) = R [(1/Cos(Δ/2) - 1] E = 2. 464 m Los estacionamientos principales seran: Est. PI = Est. PC+ T Est. PI = 1 + 216.487 Est. PT = Est. PC + DC Est. PT = 1 + 232 Debido a que el desarrollo de curva es menor que 200 se replantea desde el PC al PT. Como 15° 00‟< G°c < 32°00‟ entonces debemos usar cuerdas de 5.00 m. La tabla de replanteo de hará de la siguiente manera: Pto Estación Cuerda Deflexión Deflexión Acumulada PC 1+ 200 - 00° 00‟ 00° 00‟ 1+ 205 5 02° 39‟ 23‟‟ 02° 39‟ 23‟‟ 1+ 210 5 02° 39‟ 23‟‟ 05° 18‟ 46‟‟ 1+ 215 5 02° 39‟ 23‟‟ 07° 58‟ 09‟‟ 1+ 220 5 02° 39‟ 23‟‟ 10° 37‟ 32‟‟ 1+ 225 5 02° 39‟ 23‟‟ 13° 16‟ 55‟‟ 1+ 230 5 02° 39‟ 23‟‟ 15° 56‟ 18‟‟ 1+ 232 2 01° 03‟ 45‟‟ 17° 00‟ 03‟‟



δ/m = (1.50 * G°c * Cuerda)/60 δ/m = (1.50 * 21° 15‟ 01‟‟ * 5 m) /60 = 02° 39‟ 23‟‟ δ/m = (1.50 * 21° 15‟ 01‟‟ * 2 m) /60 = 01° 03‟ 45‟‟ Recuerde que 17° 00‟ 03‟‟= Δ/2 Se obtuvo un error de cierre de 03” menor que el permitido 1‟. El cual obedece a la precisión en los cálculos realizados. II. Realice el replanteo de la siguiente curva circular: Estación PI = 0 + 100.350 ΔD = 26°30’58’’ T = 60 m T = R tan Δ/2 R = T/ tan Δ/2 R = (60 m)/( 26°30‟58‟‟ /2) R = 254.650 m. G°c = (20°* 360°)/(2Π R) = 1145.92/R G°c = 1145.92/254.650 m G°c = 04° 30‟ Como 00° 00‟< G°c < 6°00‟ entonces debemos usar cuerdas de 20.00 m. DC = 20 * Δ / G°c = Π RΔ /180 DC = 20 * 26°30‟58‟‟ /04° 30‟ DC = 117.849 m Calculo de estaciones principales Est PC = Est PI – T Est PC = (0 + 100.350) - 60 m Est PC = 0 + 40.350 Est PT = Est PI + DC Est. PT = (0 + 40.350) + 117.849 m Est. PT = 0 + 158.199 Deflexión por metro = δ/m = (1.50 * G°c * Cuerda)/60 δ/m = (1.50 * 04° 30‟ * 19.65 m) /60 δ/m = 02° 12‟ 38‟‟ δ/m = (1.50 * 04° 30‟ * 20.00 m) /60 δ/m = 02° 15‟



Tabla de replanteo de curva Estación Cuerda Deflexión Deflexión Acumulada PC 0 + 40.350 - 00° 00‟ 00° 00‟ 0 + 60.000 19.650 02° 12‟ 38‟‟ 02° 12‟ 38‟‟ 0 + 80.000 20.000 02° 15‟ 00‟ 04° 27‟ 38‟‟ 0 + 100.000 20.000 02° 15‟ 00‟ 06° 42‟ 38‟‟ 0 + 120.000 20.000 02° 15‟ 00‟ 08° 57‟ 38‟‟ 0 + 140.000 20.000 02° 15‟ 00‟ 11° 12‟ 38‟‟ PT 0 + 158.199 18.199 02° 02‟ 51‟‟ 13° 15‟ 29‟‟ 13° 15‟ 29‟‟ = Δ/2 (26°30‟58‟‟)/2 = 13° 15‟ 29‟‟ 13° 15‟ 29‟‟ = 13° 15‟ 29‟‟ OK. III. Replante la siguiente curva ΔI = 62 ° G°c = 14° Est. PI = 12 + 543.219 G°c = 1145.92/R ; R = 1145.92/ G°c R = 81.851 m T= R tan Δ/2 T = 49.181 m D = Π RΔ /180 D = 88.571 m Est PC = Est PI – T Est PC = 12 + 494.038 Est PT = PC + D Est PT = 12 +582.609 Como 06° 00‟ < G°c <15°00‟entonces debemos usar cuerdas de 10.00 m. Como la longitud de curva es menor de 200 m se replantea del PC al PT δ/m = (1.50 * 14* 10.962 m) /60 = 03° 50‟ 12.12‟‟ δ/m = (1.50 * 14* 10 m) /60 = 03° 30‟ 00‟‟ δ/m = (1.50 * 14* 7.609 m) /60 = 02° 39‟ 47.34‟‟



La tabla de replanteo será de la siguiente manera: Pto Est Cuerda deflexión Deflexión acum. PC 12 + 494.038 - 00° 00‟ 00‟‟ 30° 59‟ 59‟‟ 12 + 505 10.962 03° 50‟ 12‟‟ 27° 09‟ 47‟‟ 12 + 515 10 03° 30‟ 00‟‟ 23° 39‟ 47‟‟ 12 + 525 10 03° 30‟ 00‟‟ 20° 09‟ 47‟‟ 12 + 535 10 03° 30‟ 00‟‟ 16° 39‟ 47‟‟ 12 + 545 10 03° 30‟ 00‟‟ 13° 09‟ 47‟‟ 12 + 555 10 03° 30‟ 00‟‟ 09° 39‟ 47‟‟ 12 + 565 10 03° 30‟ 00‟‟ 06° 09‟ 47‟‟ 12 + 575 10 03° 30‟ 00‟‟ 02° 39‟ 47‟‟ PT 12 +582.609 7.609 02° 39‟ 47‟‟ 00° 00‟ 00‟‟ Nótese que la única diferencia entre una deflexión izquierda o derecha esta en las deflexiones acumuladas que parten desde el PT y deben cerrar en el PC con Δ/2. Recuerde que 30° 59‟ 59‟‟= Δ/2 Tenemos un error de cierre de 01” menor que el permitido 1‟. El cual obedece a la precisión en los cálculos realizados. IV. Realice el replanteo de la siguiente curva circular: Estación PI = 1 + 000 ΔI = 20°30’ T = 60 m DC = 240 m.

Debido a que DC es mayor que 200 deberá hacerse el replanteo desde el PC al PM y luego del PT al PM. DC = 20 * Δ / G°c G°c = 20 * Δ / DC G°c = 20 * 20°30‟ / 240 G°c = 01° 42‟ 30‟‟



Como 00° 00‟< G°c < 6°00‟ entonces debemos usar cuerdas de 20.00 m. G°c = 1145.92/R R = 1145.92/ G°c R = 670.782 m. T = R tan Δ/2 T = 670.782 m tan (20°30‟/2) T = 121.297 m. Calculo de estaciones principales Est PC = Est PI – T Est. PC = (1 + 000) – 121.297 m. Est. PC = 0 + 878.703 Est. PM = Est. PC + DC/2 Est. PM = (0 + 878.703) + 240/2 m Est. PM = 0 + 998.703 Est. PT = Est. PC + DC Est. PT = (0 + 878.703) + 240 m Est. PT = 1 + 118.703 Deflexión por metro = δ/m = (1.50 * G°c * Cuerda)/60 δ/m = (1.50 *01° 42‟ 30‟‟ * 21.297 m) /60 δ/m = 00° 54‟ 35‟‟ δ/m = (1.50 *01° 42‟ 30‟‟ * 20.00 m) /60 δ/m = 00° 51‟ 15‟‟ δ/m = (1.50 *01° 42‟ 30‟‟ * 20.00 m) /60 δ/m = 00° 51‟ 15‟‟ δ/m = (1.50 *01° 42‟ 30‟‟ * 18.703 m) /60 δ/m = 00° 47‟ 55‟‟ Tabla de Replanteo PC al PM Estación Cuerda deflexión deflexión Acumulada PC 0 + 878.703 - - 05° 07‟ 30‟‟



0 + 900 21.297 00° 54‟ 35‟‟ 04° 12‟ 55‟‟ 0 + 920 20.000 00° 51‟ 15‟‟ 03° 21‟ 40‟‟ 0 + 940 20.000 00° 51‟ 15‟‟ 02° 30‟ 25‟‟ 0 + 960 20.000 00° 51‟ 15‟‟ 01° 39‟ 10‟‟ 0 + 980 20.000 00° 51‟ 15‟‟ 00° 47‟ 55‟‟ PM 0 + 998.703 18.703 00° 47‟ 55‟‟ 00° 00‟ 05° 07‟ 30‟‟ = Δ/4 05° 07‟ 30‟‟ = 05° 07‟ 30‟‟ OK. PT al PM Estación Cuerda Deflexión Deflexión Acumulada PM 0 + 998.703 21.297 00° 54‟ 35‟‟ 05° 07‟ 30‟‟ 1 + 020 20.000 00° 51‟ 15‟‟ 04° 12‟ 55‟‟ 1 + 040 20.000 00° 51‟ 15‟‟ 03° 21‟ 40‟‟ 1 + 060 20.000 00° 51‟ 15‟‟ 02° 30‟ 25‟‟ 1 + 080 20.000 00° 51‟ 15‟‟ 01° 39‟ 10‟‟ 1 + 100 18.703 00° 47‟ 55‟‟ 00° 47‟ 55‟‟ PT 1 + 118.703 - - 00° 00‟ V. DATOS: PI=2+424.60 I=50°49‟35” Der. R=125.00 m

Cálculo de la Tangente : T T= 125.00*tg(50°49‟35”/2) T=59.39

Cálculo de Longitud de Curva : Lc

Lc=(50°49‟35”*125.00*Π/180) Lc= 110.89 m

Cálculo de la External : Ex

Ex=125.00*(Sec(50°49‟35”/2)-1)

Ex = 13.39m

Cálculo de las estaciones de los puntos PC y PT

EPC=EPI-T= (2+424.60)-59.39



EPC=2+365.21 EPT=EPC+Lc=(2+365.21)+110.89 EPT=2+476.10

Cálculo del Replanteo

En la siguiente tabla se presentan los resultados de cálculo para el replanteo de la curva en estaciones cada 20.

D/m = 1718.873385 LA/R ; LA= Longitud del arco de cuerda desde el PC

al punto a calcular

ESTACION

PUNTO

LONG. DEL ARCO REF. PC

ANGULO DE DEFLEXION

CUERDA A MEDIR

ANGULO DERECHO ESTAC. EN EL PC.

2+365.21 PC 0.00 00°00‟00” 14.79 14.78 2+380 14.79 03°23‟23” 183°23‟23” 20 19.98 2+400 34.79 07°58‟24” 187°58‟24” 20 19.98 2+420 54.79 12°33‟25” 192°33‟25” 20 19.98 2+440 74.79 17°08‟26” 197°33‟25 20 19.98 2+460 94.79 21°43‟27” 201°43‟27”



16.10 16.09 2+476.10 PT 110.89 25°24‟48” 205°24‟48”

Se determinaron las longitudes de Arco de cuerda desde el punto PC y se calcularon los ángulos de Deflexión para cada estación en base al valor de la Deflexión por metro (d/m);

replanteo por el método de las ordenadas Este método consiste en replantear la misma curva circular por el sistema de ordenadas x,y; las “x” se medirán desde el “pc” en dirección al PI y sobre la sub-tangente; en tanto que las “y” se medirán en forma perpendicular a la sub-tangente, en el punto donde corresponde la medición del valor de cada “x”, hacia la curva, conforme se muestra en la Figura

De la gráfica podemos establecer lo siguiente:

LAmdLA

md "*45'1300/;00.125*2

*60*180/

x

ytan

R

xSen ;2



Despejando valores: X=R*Sen2Ø ; y= x*tanØ ; en donde; Ø = Angulo de Deflexión correspondiente a cada estación. Se realizará el cálculo de replanteo para la misma curva anterior, pero utilizando el método de las ordenadas : (x,y). ESTACION

PUNTO

LONG. DEL ARCO DE CUERDA

ANGULO DE DEFLEXION

ORDENADAS MEDICION SECUENCIAL X’

X Y

2+365.21 PC 0 00°00‟00” 0 0 14.76 2+380 14.79 03°23‟23” 14.76 0.87 19.58 2+400 34.79 07°58‟24” 34.34 4.81 18.71 2+420 54.79 12°33‟25” 53.05 11.82 - 2+440 (*1) 36.10 08°16‟24” 35.60 5.18 20.00 2+460 (*1) 16.10 03°41‟24” 16.06 1.04 16.10 2+476.10 PT 0 00°00‟00” 0 0 - (*1) Los cálculos están referidos a partir del PT Debemos tener en cuenta el control de los valores de “x”; para la estación 2+420; resultó un valor de x=53.05, la longitud de la sub-tangente es de T=59.39 m; lo cual nos indica que sobre la línea de la sub-tangente estamos a una distancia de 6.34 m del punto PI, lo cual implica que necesitamos pasarnos a la otra sub-tangente, del PI al PT.



Los Sistemas de posicionamiento global (GPS) Este sistema se ocupa para rastrear camiones de carga, aviones la posición absoluta de los puntos, esta solamente la pueden utilizar los militares y algunas organizaciones. Funcionamiento Estos describen orbitas a grandes alturas sobre la tierra en ubicaciones precisas permiten determinar una forma exacta y medir el tiempo que tardan en llegar la señales de diferentes satélites en cada punto la tierra recibe cobertura en todo momento. Mapas y planos topográficos. Los mapas y planos topográficos permiten conocer la topografía del terreno a través de sombreados, curvas de nivel normales u otros sistemas de representación gráfica. Asimismo señalan localizaciones generales, límites administrativos y las características especiales de un área. Este tipo de mapas ofrece muchas ventajas. Por ejemplo, muchos excursionistas utilizan los mapas topográficos para orientarse y planear sus rutas teniendo en cuenta los obstáculos y las señales principales. Habitualmente contiene una serie de símbolos aceptados a nivel general que representan los diferentes elementos naturales, artificiales o culturales del área que delimita el mapa. La diferencia entre plano y mapa radica en la extensión ya que el mapa representa grandes extensiones. El plano topográfico es la representación más perfecta de una superficie de la tierra. Por lo general se dibuja a escalas mayores de 1:10000. Clases de mapas y planos La Asociación Cartográfica Internacional define un mapa como una representación convencional, generalmente a escala y sobre un medio plano, de una superficie terrestre u otro cuerpo celeste. Los mapas pueden ser: Mapas generales: este grupo comprende el conjunto de mapas con información genera; sin que un tipo de información tenga más importancia que otra. Este comprende:

Mapas topográficos a escala media Mapas cartográficos representando grandes regiones (Ejemplo un Atlas) Mapamundis.



Mapas temáticos o específicos: este grupo comprende los mapas confeccionadas con un propósito especial. Este comprende:

Mapas políticos Mapas turísticos Mapas de comunicación Mapas geológicos

Planos: Son generalmente construidos con fines específicos tales como los proyectos de carreteras, obras de irrigación, planeación urbana, trabajos catastrales. Estos mapas pueden ser:

Planimétricos: Se encarga de representar los accidentes naturales y artificiales tales como los linderos, obras de construcción quebradas, etc.,

Altimétricos: Este además de representar los del planimetrito representa el relieve del terreno a través de las curvas de nivel.

Que debe aparecer en un Plano?

Un espacio apropiado y debidamente situado para indicar a manera de titulo el propósito del plano, nombre de región levantada, nombre del ingeniero o del tipógrafo, nombre del dibujante, fecha, escala.

Escala grafica del plano e indicación de escala en que se dibujo. Dirección Norte o Sur (Mas común es Norte) Indicación de signos convencionales usados.

Meridianas Su dirección se indica por medio de una saeta o flecha señalando el norte, de superficie longitud para poderlo transportar a cualquier parte del plano. La meridiana astronómica se representa por una flecha con una punta completa y la meridiana magnética por una flecha con la mitad de la punta. Meridiana Astronómica Meridiana Magnética Títulos La posición mas indicada para ponerlos es en la esquina inferior derecha, el tamaño debe estar en proporción al plano, hay que evitar la tendencia de hacerlo demasiado grande.



Símbolos Es un diagrama, dibujo, letra o abreviatura. Algunos ejemplos de colores utilizados en simbología son:

Negro: Para detalles artificiales como caminos, edificios, linderos y nombres.

Azul: Se usa para detalles hidrográficos como lagos, ríos, canales, presas etc.

Verde: Se usa para bosques u otro tipo de cubierta vegetal, malezas, huertos, cultivos.

Rojo: Hace resaltar los caminos importantes, las subdivisiones en los terrenos públicos y las zonas urbanas construidas.

Notas: Con frecuencia son necesarias las notas explicativas para la ayuda de interpretar un dibujo. Estas deben ser tan breves como lo permitan pero deben contener toda la información para aclarar dudas a la persona que haga uso del plano. Signos convencionales: Se utilizan para evitar que la claridad del mapa o plano sea aminorada al mostrar tal y como son los objetos en el terreno, los cuales deben ser dibujados en un tamaño proporcional a la escala del mapa o plano, siendo los más utilizados:



Formato Se llama formato a la hoja de papel en que se realiza un dibujo, cuya forma y dimensiones en mm. Están normalizados. En la norma UNE 1026-2 83 Parte 2, equivalente a la ISO 5457, se especifican las características de los formatos. Las dimensiones de los formatos responden a las reglas de doblado, semejanza y referencia. Según las cuales: 1- Un formato se obtiene por doblado transversal del inmediato superior. 2- La relación entre los lados de un formato es Igual a la relación existente entre el lado de un cuadrado y su diagonal, es decir 1/2. 3- Y finalmente para la obtención de los formatos se parte de un formato base de 1 m2. Aplicando estas tres reglas, se determina las dimensiones del formato base llamado A0 cuyas dimensiones serian 1169 x 841 mm. El resto de formatos de la serie A, se obtendrán por doblados sucesivos del formato A0. La norma estable para sobres, carpetas, archivadores, etc. dos series auxiliares B y C. Las dimensiones de los formatos de la serie B, se obtienen como media geométrica de los lados homólogos de dos formatos sucesivos de la serie A. Los de la serie C. se obtienen como media geométricas de los lados homólogos de los correspondientes de la serie A y B. x = (841)^1/2 x 1000 = 917 mm y = x V2~ = 1297 mm Algunas dimensiones de formatos son:



A0 841 x 1189

B0 1000 x1414

C0 917 x1297 A1 594x841

B1 707 x1000

C1 648 x 917 A2 420 x 594

B2 500 x 707

C2 458 x 648 A3 297 x 420

B3 353 x 500

C3 324 X 456 A4 210 X 297

B4 250 x 353

C4 229 X 324 A5 148 X 210

B5 176 x 250

C5 162 x 229 A6 105 x148

B6 125 x 176

C6 114 x 162 A7 74x105

B7 88 x 125

C7 81 x 114 A8 52x74

B8 62x88

C8 57 x 81 A9 37 x 52

B9 44 x 62

A10 26x37

B10 31x44

Escala : Es la relación fija que todas las distancias en el plano guardan con las distancias correspondientes en el terreno. Como generalmente se indican dimensiones en el plano o mapa es necesario indicar la escala a que se ha dibujado. En otras palabras escala es la simple relación de similitud que existe entre el dibujo y la medida real del objeto. De manera sencilla se define mediante la expresión: Esc = MD / MRO Donde, Esc: Es la escala que se busca. MD: es la medida propia del dibujo en el papel. La primera etapa, en el uso de las escalas, inventada fue la escala natural donde le dibujo plasmado era de igual tamaño que la realidad (Esc: 1:1). La segunda etapa la unidad de medida se reducía n veces y en la tercera etapa se descubre que las escalas pueden ser divididas o multiplicadas y que por tanto pueden ser fraccionarias. Las escalas dividen en tres grupos: Reducción: Aquellas que reducen una longitud determinada. (ejemplo ; 1/100, 1:75) Ampliación: Aquellas que amplían una determinada distancia usadas de manera general en los planos de detalles. Natural: el dibujo es igual al objeto original. Las escalas convencionales son 1/10, 1/20, 1/25,1/30,1/331/3, 1/40, 1/50, 1/75, 1/100, 1/125. De manera mas practica y general podríamos decir que la escala (1/n) es una proporción traducida en que cada 1 cm. medido en el dibujo equivale a n cm. en la realidad, por ejemplo la Esc:1/100, cada 1 cm. medido en el plano equivale a 1 m.



Los mapas más corrientes son los de escala 1:50.000 y, cuando se requiere más detalle están los de escala 1:25.000. La escala podrán también ser agrupadas en tres grandes grupos: Numéricas, de correspondencia y grafica. Escala Numérica : Es una expresión que relaciona cualquier distancia medida en el plano con la distancia correspondiente medida sobre el terreno. Por lo general se expresa de la siguiente manera 1:500 y también en forma de quebrado con 1/unidad por numerador 1/500. La escala 1:500 se indica que cualquier distancia que mide en el plano representa una distancia real 500 veces mayor en el terreno, así podemos decir que 1cm en el plano representa 500 cm. en el terreno. Ejemplo de valores de escala: Escala 1:5000 1cm (plano) = 50 metros 1mm (plano) = 5 metros 1dm (plano) = 500 metros 1m (plano) = 5 Km Todas estas relaciones son equivalentes a como lo vamos a ver de la siguiente manera: Escala = Distancia en el plano (l) / Distancia en el terreno (L) 1cm = 50 m E= 1cm 1/5000 50 m = 5000 cm 5000 cm 1mm = 5 m E= 1mm 1/5000 5 m = 5000 mm 5000 mm 1dm = 500 m E= 1dm 1/5000 500 m = 5000 dm 5000 dm 1m = 5 Km E= 1m 1/5000 5 Km = 5000 m 5000 m En el ejemplo anterior se puede observar que en cualquiera de los casos la escala es la misma ya que nosotros podemos relacionar cualquier submúltiplo del metro con los múltiplos.



Escala de correspondencia Esta indica el número de unidades (Kilómetros, millas, metros etc.) en el terreno que corresponde a otra unidad (centímetros, pulgadas, milímetros, etc) en el plano. Ejemplo: 1cm = 1 km esto quiere decir que un centímetro del plano representa un kilómetro en el terreno. También se puede expresar numéricamente de la siguiente forma: 1km = 100000 cm E = 1 cm = 1: 100000 100000 cm Esta escala se emplea por lo general en mapas turísticos, escolares y otros destinados a usuarios poco familiarizados con la cartografía. Escala grafica Esta consiste en línea recta graduada en unidades correspondiente a las medidas reales del terreno. Cualquier distancia en el plano puede compararse con esta regla (escala grafica) para determinar la distancia real que representa. La escala grafica para un plano a 1:100000 seria de la siguiente manera:

Otro ejemplo de escala grafica para un plano 1:2000

Escalas mas usadas en planos topográficos El valor de la escala va a depender de la importancia del trabajo y del grado de precisión que se requiere. En los planos topográficos por lo general se usan escalas grandes y para tal efecto vamos a dividir en tres grupos las escalas por su tamaño.

Escala grande: De 1:1200 o menos Escala intermedia: De 1:1200 a 1:12000 Escala pequeña: De 1:2000 en adelante



Cualidades de una escala grande : Nos representa menor superficie por la unidad del área dibujada, pero nos representa mayores detalles. Cualidades de una escala pequeña: Representa mayor superficie por unidad de área dibujada, pero al aumentar la superficie los detalles disminuyen. Problemas sobre escalas: Para resolver problemas sobre escalas debemos tener claro que las distancias en el plano deben hacer por lo general en unidades como metros y para el terreno vamos a usar el metro o los múltiplos principalmente el Km. También hay que tener presente que la escala es adimensional, razón por la que cuando se tiene que calcular la escala los datos del plano y del terreno se deben usar en la misma unidad de medida para que se eliminen y la escala sea adimensional. Algunos ejemplos: Esc:? MD = 8 cm. MRO = 40 m Esc = 8 cm / (40 m * 100 cm/m) = 1/500 MRO= ? MD =15.06 cm. Esc: 1/50 MRO = MD/Esc MRO = 15.06 cm. / 1/50 = 783 cm. = 7.83 m

Propuestos:

1. Calcular la distancia en el terreno en metros (m), kilómetros (km), hectómetros (Hm.) si la distancia medida en el plano y la escala son: Longitud del plano Escala 125 dm 1:600 35 cm. 1:5000 2. Calcule el formato y la escala a utilizar para dibujar el triangulo irregular que se muestra en la figura.

Distancia AB = 6.32 m Distancia AC = 6.70 m Distancia BC = 5 m Recuerda Ley de los cósenos. B2 = c2 + a2 - 2ac cos &



3. Determine dimensiones del papel si se desea construir un edificio de 3500 m2(70 * 50 m); la escala requerida para el diseño es 1/250.

4. Una aerolínea toma vuelo una distancia de 250 kmh. Al cabo de 10 minutossobrevuela una ciudad. Determine el formato y la escala para dibujar su trayectoria.

Como colocar el teodolito

Aunque la mejor manera de entender como ponerlo es en la practica, de manera procedimental se sigue de la siguiente manera:

1. Teniendo el trípode en posición de cerrado, llevar sus patas hasta la altura de labarbilla del observador, luego extender una de sus patas hacia delante ysostener las otras 2 una en cada mano. Ejecutar movimientos giratoriosprocurando mantener horizontal la base nivelante, teniendo como punto deapoyo la pata delantera, y observando a través de la plomada óptica procurandoque el punto de estación (clavo) quede dentro del circulo de la plomada óptica.Asentar las 2 patas sostenidas en el suelo y afianzar las 3 patas del trípode alsuelo presionándola con el pie.

2. Calar el nivel esférico del instrumento, lo cual se logra ejecutando losmovimientos convenientes hacia arriba o hacia debajo de las patas extensiblespara lo cual se afloja las mariposas “el movimiento de las patas afecta elcentrado de la estación que ha sido realizada por la plomada óptica” por tal razónse procede al paso 3.

3. Se afloja el tornillo de sujeción del instrumento al trípode y se mueve toda la basenivelante adecuadamente para centrar nuevamente la estación por medio de laplomada óptica.

4. Se repite le paso numero 2. Es decir se vuelve a calar de ser necesario el nivelesférico con las patas extensibles del trípodes se chequea nuevamente laposición de la estación del instrumento con la plomada óptica. Por lo general estoya no es afectada por el movimiento telescopio de las patas del trípode.

5. Calado de nivel tubular con los tornillos nivelantes para esta operación se colocala línea del nivel tubular paralela a la línea que definan los 2 tornillos nivelantesarbitrarios, y con movimiento simultaneo hacia dentro o hacia fuera se logra elcalado de la burbuja.

Se gira 900 de manera que el nivel tubular sea perpendicular a la línea de los tornillos nivelantes manipulados y con el tercer tornillo nivelante se obliga el centrado de la burbuja, luego se regresa a la posición anterior y se verifica si la



burbuja permanece centrada en esta y en cualquier posición, si esto no se cumpliera se repite el proceso hasta lograr que la burbuja quede centrada en cualquier posición del plato.

6. Una vez centrado y nivelado el instrumento se coloca la lectura inicial en cero, siel teodolito es repetidor.

Como se puede observar, poner en estación el instrumento implica colocar en forma perpendicular el eje principal (eje sobre el que gira la base) y el eje secundario ( eje que sirve de soporte al anteojo), de tal forma que, al tener la lectura de 900 en el vernier del limbo vertical estamos materializando el eje de colimación del anteojo (plano horizontal).

Condiciones que debe un tránsito y ajustes que se le hacen.

Nota.- Los ajustes deben hacerse precisamente en orden para no desarreglar una condición al ajustar otra.

1.- Las directrices de los niveles del limbo horizontal deben ser perpendiculares al eje vertical o Azimutal. Se revisa y corrige cada nivel por el procedimiento de doble posición: Se nivela, se gira 180°, y si la burbuja se desplaza, lo que se separa del centro es el doble del error. Se corrige moviendo la burbuja, la mitad con los tornillos niveladores. La operación se repite hasta lograr el ajuste, es decir, que no se salga la burbuja del centro, al girarlo 180°.

2.- Los hilos de la Retícula deben ser perpendiculares a los ejes respectivos. Por construcción los hilos deben ser perpendiculares entre sí, pero conviene rectificarlo cuando la retícula es de hilos, (no es necesario esto cuando son líneas grabadas en cristal).

Se revisa enfocando un punto fijo, coincidiendo en el extremo de uno de los hilos de la retícula: se aprietan los movimientos y se gira lentamente el aparato con uno de los tornillos de movimiento tangencial. El punto debe verse coincidiendo con el hilo hasta el otro extremo.

Si el punto se separa del hilo, deberá enderezarse la retícula aflojando los tornillos que se sujetan al tubo, moviéndola y apretándolos nuevamente puede hacerse esto con uno o con los hilos, vertical y horizontal.

3.- No debe existir error de paralaje en el anteojo, lo cual se descubre observando si un objeto enfocado, cambia de posición con respecto a la retícula al moverse el observador en el campo del ocular. se corrige ajustando el enfoque de la retícula y del objetivo que es lo que produce el defecto óptico. esto no es realmente desajuste de aparato.

4.- La línea de colimación debe ser perpendicular al eje horizontal o de alturas.



La Brújula, como los demás aparatos de medición debe reunir determinadas condiciones para que dé resultados correctos. Condiciones que debe reunir una brújula son:

La línea de los Ceros Norte-Sur debe coincidir con el plano vertical de la visual definida por la Pínulas.

La recta que une las 2 puntas de la aguja debe pasar por el eje de rotación, es decir, la aguja en sí debe ser una línea recta.

Se revisa observando si la diferencia de las lecturas entre las 2 puntas es de 180°, en cualquier posición de la aguja.

Se corrige enderezando la aguja.

Los niveles son de frasco tubular generalmente. Su sensibilidad depende del radio de curvatura del frasco. Al centrar la burbuja en las marcas del frasco, la línea imaginaria tangente al frasco en el centro de él quedará horizontal; esta línea es la se llama DIRECTRIZ del NIVEL. El radio de curvatura al centro del frasco, es normal a la directriz, y quedará vertical al centrar la burbuja.

Para nivelarlo, los niveles del limbo graduado horizontal se colocan aproximadamente según la dirección de los tornillos niveladores diagonales opuestos. Al nivelar el aparato la burbuja se mueve según la dirección del pulgar izquierdo al girara los tornillos niveladores. Los tornillos deben moverse en sentidos opuestos al mismo tiempo, primero dos y luego los otros dos de la diagonal normal, para nivelar el otro nivel. Los aparatos de 3 tornillos se nivelan operando primero dos de ellos y luego con el otro solamente.

El Anteojo: El anteojo o telescopio puede girar totalmente en su eje hasta quedar invertido. Esta cualidad es la que lo caracteriza y le da del nombre de " Tránsito" por su semejanza con los telescopios astronómicos que pueden girar así para observar en tránsito de las estrellas por el meridiano del lugar. Los Teodolitos antiguos no tenían esta característica. En la actualidad también se les llama Teodolitos a aparatos semejantes pero de mayor precisión para trabajos especiales. En el interior del tubo del anteojo está el sistema óptico que le da el poder amplificador. El poder amplificador, según los diversos aparatos, varía entre 18 y 30 diámetros generalmente. Como parte muy importante del anteojo está la RETICULA de hilos, que sirve para precisar la visual que se dirige.

Puede estar hecha con hilos pegados a un anillo metálico citado. Este anillo es de diámetro ligeramente menor que el del tubo para permitir que se mueva dentro de él, y se fija al tubo mediante 4 tornillos generalmente; esto permite el poder acomodar la retícula en su posición correcta.



La retícula de los tránsitos consta de un hilo vertical, y el horizontal de en medio son los hilos principales. La línea imaginaria definida por el punto donde se cruzan los hilos principales y el centro del ocular, es la visual principal con que se trabaja y se le denomina LINEA DE COLIMACIÓN. Los otros dos hilos horizontales sirven para la determinación indirecta de distancias, lo cual se verá más adelante; se les llama "hilos de estadía".

Lo primero que debe hacerse al emplear el anteojo es enfocar con toda claridad los hilos de la retícula, moviendo el ocular, para acercarlo o alejarlo, ajustándolo a la agudeza visual del operador. Después ya se pueden enfocar los objetos que se visen a las diversas distancias, mediante el tornillo de enfoque correspondiente, que queda encima o a un lado del anteojo.

Con algunos anteojos la imagen se ve invertida, y otros tienen un juego inversor de lentes para enderezarla. Algunos fabricantes prefieren no emplear el juego inversor para mayor claridad, en aparatos de precisión mayor.

El anteojo puede utilizarse en POSICIÓN DIRECTA, que es cuando queda apuntado viendo en la dirección de la marca del Norte de la caja de la Brújula; en esta posición, el nivel del anteojo queda abajo, en la mayoría de los aparatos, y también puede usarse en POSICIÓN INVERSA, que es la contraria. El giro que se le da al anteojo para pasar de una posición a otra es lo que se llama VUELTA DE CAMPANA.

La lectura de ángulos horizontales y verticales, sobre los círculos graduados, se hace con vernier para aumentar la aproximación que tienen las graduaciones. Para los ángulos horizontales, los aparatos en su mayoría tienen dos vernieres, colocados a 180° uno del otro. En medidas requieren buena precisión deben aplicarse ciertos sistemas de medición de ángulos para prevenir posibles errores de construcción de los aparatos, desajustes, defectos en las graduaciones y excentricidades de los vernieres o de los ejes.Tipos de teodolito

Repetidor: Están equipados con un mecanismo doble de eje acimutal (similar a los de transito norte americano, pero generalmente de forma cilíndrica) o con un tornillo fijador de repetición. Como en el teodolito común, este diseño permite repetir los ángulos cualquier número de veces y acumularlos directamente en círculo del instrumento.

De Precisión Direccionales: Es un tipo de instrumento no repetidor que no tiene doble movimiento horizontal. Se leen con el direcciones más que ángulos. Después que se ha dirigido una visual a un punto, se leen en el círculo la dirección de la línea al punto. Una observación hecha al punto siguiente dará una nueva dirección, de manera que puede calcularse el ángulo comprendido entre las líneas restando la primera dirección de la segunda.

Principios básicos de Topografía

2 | Introducción

Introducción

Estimados estudiantes, profesores, y personas interesadas en la topografía:

En los últimos años, el desarrollo de instrumentos de medi-ción modernos y fáciles de usar ha contribuido a su uso por parte de cada vez más usuarios en diversos campos. El siguiente documento proporciona información básica sobre topografía, los instrumentos más usuales y las tareas más comunes usadas por topógrafos y otros usuarios.

Aprendices, estudiantes y profesionales en los campos de topografía, ingeniería civil, arquitectura y muchos otros campos pueden encontrar respuestas a sus preguntas:

¿Cuáles son las características de los intrumentos topo-gráficos?¿Qué necesito tener en cuenta al medir con un nivel o una estación total?¿Cuáles son los efectos de los errores instrumentales y cómo se pueden reconocer, determinar y eliminar?¿Cómo puedo llevar a cabo mediciones simples?

Muchas de las tareas topográficas - cálculo de áreas y volú-menes, toma, comprobación y replanteo de puntos, trans-ferencia de cotas- se pueden realizar automáticamente mediante las aplicaciones incluidas en los equipos. Además de las medidas con estación total y nivel, se expondrá bre-vemente el uso de sistemas GNSS para topografía.

Con casi 200 años de experiencia en el desarrollo y pro-ducción de intrumentos topográficos, Leica Geosystems ofrece una amplia gama de productos innovadores y solu-ciones para tareas topográficas. Para ver el catálogo com-pleto de productos de Leica Geosystems, por favor visite www.leica-geosystems.com.

Les deseo todo el éxito posible en su aprendizaje, estudio y trabajo, y espero que encuentren útil este documento.

Atentamente,

Johannes Schwarz,Presidente de la División GeomaticsLeica Geosystems AG

Contenidos | 3

El nivel 4

Preparándose para medir 5Configuración del nivel 5Nivelación de instrumento 5Preparación del instrumento para medidas libres de paralaje 6Revisión del eje de puntería 7

Mediciones con el nivel 8Diferencia de altura entre dos puntos 8Mediciones ópticas de distancias con el nivel 9Nivelación de una línea 10Replanteo de alturas de puntos 11Perfiles longitudinales y transversales 12

Nivel digital y láser rotatorio 13El nivel digital 13Láser de rotación 13

La estación total 14

Información general 15Medición sin prisma 15Centrado automático de prisma 15Coordenadas 16Medición de ángulos 17

Errores instrumentales 18Errores instrumentales en la estación total 18Revisión del EDM de la estación total 20

Preparándose para medir 21Estacionamiento sobre un punto conocido (introducir coordenadas de estación y orientación) 21Intersección inversa (calcular coordenadas de estación y orientación) 22

Mediciones topográficas básicas 23Extrapolación de una línea recta 23Replanteo polar de un punto 23Medición de pendientes 24Aplomar 25

Programas de aplicación 26Levantamientos (método polar) 26Replanteo 27Línea de referencia 28Cálculo de volúmenes 28Cálculo de área 29Alturas remotas 30Distancia de enlace 31Replanteo de perfiles de límites 32

Topografía con GNSS (GPS & Glonass) 33Estaciones de referencia GNSS 34

Contenido

4 | El nivel

El nivel

Un nivel es, en esencia, un telescopio que rota sobre el eje vertical. Se usa para crear un línea de vista horizontal de forma que se puedan determinar diferencias de cota y replanteos.

Los niveles de Leica Geosystems cuentan con un círculo horizontal, el cual resulta de gran utilidad para replantear ángulos rectos, por ejemplo durante la medición de sec-ciones transversales. Además, estos niveles se pueden emplear para determinar distancias en forma óptica con una precisión de 0.1 a 0.3 metros.

Preparándose para medir | 5

Colocación del trípode

1. Extienda las patas del trípode tanto como sea necesa-rio y asegure los tornillos del mismo.

2. Coloque el trípode de tal manera que la parte superiorquede lo más horizontal posible, asegurando firmemen-te las patas del mismo sobre el terreno.

3. Sólo en este momento, coloque el instrumento sobreel trípode y asegúrelo con el tornillo central de fijación.

Nivelación del instrumento

Una vez montado el instru mento, nivélelo guiándose con el nivel de burbuja.

Gire simultáneamente dos de los tornillos en sentido opuesto. El dedo índice de su mano derecha indica la dirección en la cual debe girar la burbuja. Utilice el tercer tornillo para centrar la burbuja.

Para revisar la nivelación, gire el instrumento 180°. Des-pués de esto, la burbuja debe permanecer dentro del cír-culo. Si no es así, es necesario efectuar otro ajuste (con-sulte el manual del usuario).

En un nivel, el compensador efectúa automáticamente la nivelación final. El com pensador consiste básica mente de un espejo suspendido por hilos que dirige el haz de luz horizontal hacia el centro de la retícula, aún si existe un basculamiento residual en el anteojo (ilustración inferior).

Si golpea ligeramente una de las patas del trípode, (siem-pre y cuando el nivel de burbuja esté centrado) observará cómo la línea de puntería oscila alrededor de la lectura y queda fija en el mismo punto. Esta es la forma de compro-bar si el compensador puede oscilar libremente o no.

6 | Preparándose para medir

Preparación del instrumento para medidas libres de paralaje

El paralaje de la cruz filar es un error que afecta a instru-mentos ópticos y electro-ópticos como los niveles y estaciones totales.

El error ocurre cuando el plano del retículo de la cruz filar no coincide con el plano imagen del objeto enfocado (por ejemplo la mira o el prisma).

Se puede reconocer fácilmente moviendo la cabeza ligera-mente arriba y abajo, o a derecha e izquierda enfrente del ocular. El retículo parece moverse y no permanece en línea con el eje óptico. Si este error no se corrige, las lecturas

sobre la mira o las punterías al prisma serán incorrectas, y conducirán al resultados erróneos.

Antes de empezar a medir compruebe el paralaje y elimí-nelo de la siguiente forma si fuera necesario:

apunte en anteojo a un fondo brillante o de alto contras-te (por ejemplo una hoja de papel)enfoque la cruz filar rotando el anillo del ocularahora enfoque la mira o el prisma

El plano de imagen de la cruz filar y la puntería coinciden ahora.

Preparándose para medir | 7

Revisión del eje de puntería

En los nuevos modelos de niveles, el compensador se ha ajustado a una tempera tu ra de laboratorio, de manera que el eje de puntería será horizontal aún si el instrumento se inclina un poco. Sin embargo, esta situación se modifica si la temperatura varía en más de diez o quince grados des-pués de una larga jornada de trabajo o si el instrumento se somete a vibraciones considerables. Por lo tanto, se recomienda revisar el eje de puntería, sobre todo en caso de emplear más de un objetivo de distancia.

1. En terrenos planos, coloque dos miras a no más de 30metros de separación.

2. Coloque el instrumento en forma equidistante a las dosmiras (basta con calcular la distancia de manera aproxi-mada).

3. Tome la lectura de ambas miras y calcule la diferenciade alturas (ilustración superior).Lectura de la mira A = 1.549Lectura de la mira B = 1.404iH = A – B = 0.145

4. Coloque el instrumento aproxi madamente a un metroenfrente de la mira A y tome la lectura (ilustración infe-rior).Lectura de la mira A = 1.496

5. Calcule la lectura requerida de la mira B:Lectura de la mira A = 1.496– iH = 0.145Lectura de la mira B = 1.404

6. Tome la lectura de la mira B. SI esta difiere de la lecturarequerida en más de 3 mm, ajuste el eje de puntería (con-sulte el manual del usuario).

1.549 1.404Actual 1.496 Requerida 1.351

8 | Mediciones con el nivel

Diferencia de alturas entre dos puntos

El principio básico de la nivelación consiste en determinar la diferencia de altura entre dos puntos.

Para eliminar los errores sistemáticos que se presen tan por las condiciones atmosféricas o los errores residuales del eje de puntería, el instrumento deberá estar colocado en forma equidistante a los dos puntos.

La diferencia de alturas se calcula a partir de la diferencia que existe entre las dos series de lecturas hacia los puntos A y B respectivamente.

iH = E – F = 2.521 – 1.345 = 1.176Pendiente en % = 100 x iH / D

Lectura: 2.521 Lectura: 1.345

A

B

iH D

E = lectura de espalda F = lectura de frente

Mediciones con el nivel | 9

Mediciones ópticas de distancia con el nivel

El retículo presenta un hilo superior y otro inferior, colocados simétricamente con respecto al hilo medio (cruce de retícu-lo). El espacio entre ambos es tal, que la distancia a un pun-to se puede calcular multi plicando la serie de lecturas corres-pondiente por 100.

Precisión de la medición de distancia: 10 – 30 cm

Ejemplo:Lectura a hilo superior B = 1.205Lectura a hilo inferior A = 0.996Sección de mira I = B – A = 0.209

Distancia = 100 x I = 20.9 mB

A

D


Nivelación de una línea

Si la distancia que separa a los puntos A y B es considera-ble, la diferencia de altura entre los mismos se determina nivelando tramos de 30 a 95 metros.

Calcule la distancia entre el instrumento y las dos miras: esta deberá ser la misma.

1. Coloque el instrumento en el punto S1.

2. Coloque la mira completamente vertical en el punto A,tome la lectura de la altura y re gístrela (lecturade espalda).

3. Gire el instrumento y coloque la mira en el punto 1sobre una placa o marca en el terreno. Tome la lecturade la altura y regístrela (lectura de frente).

4. Coloque el instrumento en el punto S2 (la mira deberá

permanecer sobre el punto 1).5. Gire con cuidado la mira sobre el punto 1, de manera

que mire hacia el instrumento.6. Tome la lectura de la mira y continúe con el mismo

procedimiento.

La diferencia de altura entre los puntos A y B es igual a la suma de las lecturas de espalda menos la suma de las lecturas de frente.

E

A B1 2

F

E F

E F

HS1

S2

S3

Se visu-alizan la distancia

Número de punto

Visual de espalda E

Visual de frente F

Altura Anotaciones

A 420,300

S1

A +2,806

1 -1,328 421,778 = altura A + E – F

S21 +0,919

2 -3,376 419,321

S32 +3,415

B -1,623 421,113

Sum +7,140 -6,327

-6,327 +0,813 altura B – altura A

i H +0,813= diferencia de altura AB

Mediciones con el nivel | 11

Replanteo de alturas de puntos

En una excavación, el punto B va a ser replanteado en la cota iH = 1.00 bajo el nivel de la calle (Punto A).

1. Coloque el nivel en un punto casi equidistantehacia A y B.

2. Coloque la mira en el punto A y tome la lecturade espalda = 1.305.Coloque la mira en el punto B y tome la lecturade frente = 2.520.La diferencia h de la altura requerida para Bse calcula mediante:h = F – E – iH = 2.520 – 1.305 – 1.00 = +0.215 m

3. Coloque una estaca en B y marque la altura requerida(0.215 metros sobre el nivel de terreno).

En otro método de uso frecuente, la lectura requerida a la mira se calcula como sigue:F = E – iH = 1.305 – (-1.000) = 2.305

La mira se desplaza hacia arriba o hacia abajo hasta que el nivel tome la lectura necesaria.

F=2.520

H=1.00 m

h=+0.215 m

E=1.305


Perfiles longitudinales y transversales

Los perfiles longitudinales y transversales forman la base para planos detallados, replanteo, cálculos de desmonte y terraplén, y para el mejor encaje posible de las trazas. Como primer paso, se replantea y marca el eje longitudinal (eje del camino); lo cual implica establecer y monumentar los puntos a intervalos regulares. De esta forma, se genera un perfil longitudinal a lo largo del eje del camino, deter minando las alturas de los pun-tos de estación al nivelar dicha línea. Los perfiles trans-versales (en ángulo recto con respecto al eje del camino) se miden en los puntos de estación y en las prominencias del terreno. Las alturas de los puntos que for man dicho perfil se determinan con la ayuda de la altura cono cida del instrumento. Primero, coloque la mira sobre un punto de estación conocido. La altura del instrumento se forma por

la suma de la lectura la mira y la altura del punto de esta-ción conocido. Posteriormente, reste las lecturas de la mira (en los puntos del perfil transversal) de la altura del instru-mento; con lo cual se obtienen las alturas de los puntos en cuestión.

Las distancias del punto de estación hacia los diferentes puntos de los perfiles transversales se determinan ya sea mediante cinta o en forma óptica, empleando el nivel. Al representar gráficamente un perfil longitudinal, las altu-ras de los puntos de estación se muestran a una escala mucho mayor (por ejemplo, a 10x) que aquella a la que se representa la progresiva en la dirección longitudinal, la cual está relacionada a una altura de referencia en núme-ros enteros (ilustración superior).

Perfil longitudinal Perfil transversal 175

100

125

150

175

200

423.

5042

4.00

424.00

423.

50

Terreno

Camino

(planeado

ReferenciaAltura: 420 m

(Alt

ura

pla

nead

a)

25 m ReferenciaAltura: 420 m

Estación

Nivel digital y Láser de rotación | 13

Nivel digital

Leica Geosystems fue pionera en el campo de los niveles digitales al introducir el primer nivel con procesamiento digital de imágenes para determinar alturas y distancias: la mira de código de barras se lee de forma completamente automática (ver ilustración).

La lectura de la mira y la distancia se muestran en forma digital y además se pueden regi s trar; las alturas da la mira se calculan continua mente, por lo que se elimina la posi-bilidad de errores en la lectura, en el registro y el cálculo. Leica Geosystems ofrece también programas para el postproceso de los datos regis tra dos.

Láser de rotación

Si por ejemplo, en una construcción se requiere calcular o controlar varios puntos a diferentes alturas, se recomienda el empleo de un láser giratorio. En este tipo de instrumen-to, el rayo del láser giratorio hace un barrido sobre un plano horizontal, el cual se toma como referencia para calcular o controlar alturas tales como las de las marcas establecidas.

Sobre la mira se coloca un detector el cual se desliza hasta que el rayo láser incida sobre él; la altura puede ser enton-ces leida directamente sobre la mira. No es nece sario, por lo tanto, que el operador se ubique del lado del instrumento.

Se recomienda emplear un nivel digital en aquellos traba-jos en los que se re quiera efectuar un número considerable de nivela ciones, ahorrando así hasta un 50 % de tiempo.

14 | La estación total

La estación total

Las estaciones totales se usan para calcular posición y altura de puntos, o sólo su posición Una estación total se compone de un teodolito con un distaciómetro incor-porado, posibilitando la medida simultánea de ángulos y distancias. Actualmente, todas las estaciones totales elec-trónicas cuentan con un distanciómetro óptico-electrónico (EDM) y un medidor electrónico de ángulos, de tal mane-ra que se pueden leer electrónica mente los códigos de barras de las escalas de los círculos horizontal y vertical, mostrándose en forma digital los valores de los ángulos y

distancias. La distancia horizontal, la diferencia de alturas y las coordenadas se calculan automáticamente. Todas las mediciones e información adicional se pueden grabar.

Las estaciones totales de Leica cuentan con un progra-ma integrado que permite llevar a cabo la mayoría de las tareas topográficas en forma sencilla, rápida y óptima. Los programas más importantes se describirán posteriormente en este documento.

La estación total | 15

Medición de distancia sin prisma

Todas las estaciones totales TCR de Leica Geosystems incluyen no solo un distanció metro infrarrojo convencional para medir con prismas, sino también un distanciómetro con láser que no requiere reflector. El operador puede cambiar de uno a otro.

Dicha característica ofrece varias ventajas cuando los pun-tos a medir no son del todo accesibles, como puede ocu-rrir al medir fronteras, colocar conductos o en mediciones a lo largo de cañadas o rejas.

El punto rojo del láser visible resulta de gran ayuda al mar-car puntos durante la medición de perfiles en túneles o en trabajos en interiores.

Centrado automático de prisma

Las estaciones totales TCA de Leica Geosystems cuen tan con un sistema de reco nocimiento automático de objeti-vos (ATR). De esta manera, el reconocimiento de los mis-mos se logra en forma rápida y sencilla. Basta con apun-tar el anteo jo de manera aproximada hacia el reflector y opri mien do un botón se efectúa la búsqueda precisa del ob jetivo, midiendo y registran do los valores de ángulo y distancia. Esta tecnología también hace posible llevar a cabo medidas totalmente automatizadas El ATR se puede configurar para seguir y medir puntos en movimiento. Una vez que se establece contacto con el objetivo, el instru men to lo registra y lo sigue en su trayectoria.

Ventajas Medicio nes de gran rapidez y preci sión constante, indepen-dientes del operador.

16 | Coordenadas polares y cartesianas

Coordenadas

La posición de un punto se determina mediante un par de coordenadas. Las coordenadas polares se determinan mediante una línea y un ángulo, mientras que las coor de-na das cartesianas requieren de dos líneas en un sistema ortogonal.

La estación total mide coorde nadas polares, las cuales se pueden convertir a cartesianas bajo un sistema ortogo-nal deter minado, ya sea mediante el propio instrumento o posteriormente en la oficina.

Coordenadas polares Coordenadas cartesianas

Dirección de referencia

X

Ordenada

Conversión

datos conocidos: D,adatos necesarios: x,y

y = D x sin a x = D x cos a

Absc

isa

YDatos conocidos: x,yDatos necesarios: D, a

D =Ey2 + x2

sin a = y/D ocos a = x/D

Ángulos horizontales y verticales | 17

Medición de ángulos

Un ángulo representa la di fe rencia entre dos direcciones.

El ángulo horizontal a que existe entre las direcciones hacia los puntos P

1 y P

2 es independiente de la dife ren cia

de altura entre ambos puntos, siempre y cuando el anteo-jo se mueva sobre un plano estrictamente vertical, sea cual sea su orientación horizontal. Sin embargo, esta condición se cumple únicamente bajo condiciones ideales.

El ángulo vertical (también denominado ángulo cenital) es la diferencia que existe entre una dirección preestablecida (conociendo la dirección del cénit) y la dirección del punto en cuestión.

El ángulo vertical será por tanto correcto sólo si el Cero del círculo vertical apunta exactamente en la dirección del cénit. Sin embargo, esta condición se cumple únicamente bajo condiciones ideales.

Las desviaciones que se presentan se deben a errores en los ejes del instrumento y por una nivelación incorrecta del mismo (consulte la sección «Errores instrumentales»).

Z1 = ángulo cenital hacia P

1

Z2 = ángulo cenital hacia P

2

a = ángulo horizontal entre las dos direcciones hacia los puntos P1 y P2, es decir, es el ángulo que existe entre los dos planos verticales que se forman al prolongar la perpendicular de P1 y P2 respectivamente.

Cénit

18 | Errores instrumentales

Errores instrumentales en una estación total

En forma ideal, la estación total debe cubrir los siguientes requisitos:

a) El eje de puntería ZZ debe ser perpendicular a lainclinación del eje KK

b) La inclinación del eje KK debe ser perpendicularal eje vertical VV

c) El eje vertical VV debe ser absolutamente verticald) La lectura del círculo vertical debe marcar exactamente

cero al apuntar hacia el cenit.

En caso de que estas condi ciones no se cumplan, se emplean los siguientes tér minos para describir cada error en particular:

a) Error del eje de puntería o error de colimación c(desvia ción con respecto al ángulo recto entre el eje depuntería y el eje de inclinación).

b) Error del eje de inclinación a (desviación con respecto alángulo recto entre el eje de inclinación y el eje vertical)

Error del eje de pun-tería (c) (colimación del círculo horizontal)

Error del eje de inclinación (a)

V

V

K

K

Z

Z

c

a

Errores instrumentales | 19

c) Inclinación del eje vertical (ángulo formado entre lalínea de plomada y el eje vertical).

este no se encuentra nivelado adecua da mente y no se eli-mi na aún efectuando mediciones en las dos posiciones del an teo jo. La influencia de este error en las mediciones de án gulos verti cales y horizontales se corrige automática-mente mediante un compensador de dos ejes.

d) Error del índice vertical i (ángulo que se forma entre ladirección cenital y la lectura en cero del círculo vertical,es decir, la lectura del círculo vertical al emplear un ejede puntería vertical), no es de 100 gon (90°), sino de100 gon + i.

Inclinación del eje vertical

Los efectos que ejercen estos tres errores en las medicio-nes de los ángulos horizontales se incrementan conforme aumen ta la diferencia de alturas entre los puntos a medir.

Los errores del eje de puntería y del eje de inclinación se eli minan al tomar mediciones en las dos posiciones del anteojo. El error del eje de puntería (y también el error del eje de in cli na ción en estaciones totales de gran precisión, el cual gene ralmente es muy pequeño) también se pue-de determinar y registrar. Al medir un ángulo, automáti-camente estos errores se toman en consideración, por lo que las mediciones que se efectúan se pueden considerar prácticamente libres de erro res, aún en caso de hacer la lectura con una sola posición del anteojo. La determina-ción de estos errores y el registro de los mismos se des-cribe a detalle en el manual del usua rio correspondiente. La incli na ción del eje vertical no se toma en cuenta ya que es un error instrumental, el cual se pre sen ta debido a que

El error del índice vertical se pue de determinar y registrar. Este error se elimina tomando medi cio nes en las dos posi-ciones del anteojo.

Nota:Los errores instrumentales varían dependiendo de la tem-peratura, como resultado de someter al instrumento a vibraciones considerables o después de largos períodos de transporte. Si desea efectuar mediciones con una sola posición del anteojo, antes proceder debe deter minar los errores instrumen tales a fin de registrarlos.

Error del índice vertical (i) (ïndice V)

i

20 | Revisión del EDM

Comprobando el EDM de una estación total

Marque permanentemente 3 ó 4 líneas base dentro del rago típico de trabajo (por ejemplo 20 – 200 m).

Utilice un distanciómetro nuevo o uno que ya esté calibra-do con respecto a una línea base estándar y mida las dis-tancias tres veces. Los valores promedio, corregidos por la influencia atmosférica (consulte el manual del usuario) se pueden considerar como los valores requeridos.

Mida las líneas base con cada EDM al menos cuatro veces por año. Si resultan iguales, siempre y cuando no existan errores sistemáticos considerables en los valores espera-dos, puede considerar que el distanciómetro se encuentra en buenas condiciones.

Estacionamiento para medir | 21

Estacionamiento sobre punto conocido

1. Coloque el trípode en forma aproximada sobre el puntoen el terreno.

2. Revise el trípode desde varios lados y corrija su posi-ción, de tal forma que el plato del mismo quede máso menos horizontal y sobre el punto en el terreno(ilustración izquierda).

3. Encaje firmemente las patas del trípode en el terrenoy asegure el instrumento al trípode mediante el tornillocentral de fijación.

4. Encienda la plomada láser (en caso de trabajar con ins-trumentos más antiguos, mire a través del visor de laplomada óptica) y acomode las patas del trípode hastaque el punto del láser o la plomada óptica quede cen-trada sobre el punto en el terreno (ilustración central).

5. Centre el nivel de burbuja, ajustando la altura de lapatas del trípode (ilustración inferior).

6. Una vez nivelado el instrumento, libere el tornillocentral de fijación y deslice el instrumento sobre elplato del trípode hasta que el punto del láser quedecentrado exactamente sobre el punto en el terreno.

7. Por último, ajuste nuevamente el tornillo central defijación.

8. Introduzca coordenadas de estación (consulte elmanual de usuario)

9. Apunte a otro punto conocido, introduzca las coorde-nadas o la dirección del ángulo horizontas.

10. Ahora su instrumento está estacionado y orientado.Puede replantear coordenadas o medir más puntos eneste sistema de coordenadas.

22 | Estacionamiento para medir

Intersección inversa (cálculo de coordenadas de estación y orientación)

Este programa calcula la posición y la altura de la estación del instrumento, así como la orientación del círculo hori-zontal a partir de la medición de por lo menos dos puntos de coordenadas conocidas.

Las coordenadas de los puntos de enlace se pueden ingre-sar manualmente o transferirse previamente al instrumento.

En proyectos grandes en los que se requiere efectuar mediciones o replanteos la puesta en estación libre tie-ne la gran ventaja de que el operador puede elegir la ubi-cación del instrumento que resulte más convenien te. De

esta forma, ya no queda obligado a colocarse en un punto de coordenadas conocidas pero con una ubicación poco satisfactoria.

Las opciones los procedi mien tos de medición se describen a detalle en los manuales del usuario.

Nota:Al efectuar trabajos topo gráficos que impliquen la deter-minación de alturas o el replanteo de las mismas, tenga siempre presente que debe tomar en cuenta la altura del instrumento y la del reflector.

Mediciones topográficas básicas | 23

Extrapolación de una línea recta

1. Coloque el instrumento en el punto B.2. Vise el punto A y gire el anteojo hacia el punto C

1.

3. Gire el instrumento 200 gon (180°) y vise nuevamenteel punto A.

4. Gire nuevamente el anteojo y mida el punto C2. El punto

C (que es el punto intermedio entre C1 y C

2) correspon-

de exactamente a la extra polación de la línea AB.

Un error en la visual es el que causa la discrepancia entre C

1 y C

2

Cuando el eje de puntería está inclinado, la influencia del error será una com binación del error de visaje, el error de basculamiento del eje y el error del eje vertical.

Replanteo polar de un punto

En este caso, los elementos a replantear (ángulo y distan-cia) estarán en relación al punto conocido A y a una direc-ción inicial conocida de A hacia B.

1. Coloque el instrumento en el punto A y vise el punto B.2. Ajuste el círculo horizontal en ceros (consulte el manual

del usuario).3. Gire el instrumento hasta que se despliegue el ángulo a

requerido en la pantalla.4. Guíe al ayudante con el reflector a lo largo del eje de

puntería del anteojo, midiendo continuamente ladistancia horizontal hasta llegar al punto P.

A B

C1

C2

C

24 | Mediciones topográficas básicas

Medición de pendientes

Posicione el instrumento en un punto de la línea cuya pendiente se requiere calcular y coloque un prisma en un segundo punto de dicha línea.

Introduzca la altura de instrumento i y la altura de prisma t La lectura del círculo vertical (que mide el ángulo cenital en

gones o grados) se puede configurar para obtener valores en porcentaje (consulte el manual del usuario), de tal for-ma que la pendiente se puede leer directamente en %.

Apunte al centro del prisma y mida la distancia. La pen-diente se muestra en la pantalla en %.

t

i

V

%

Mediciones topográficas básicas | 25

Aplomar

Aplomar a partir de una altura o desde un punto en el terreno, así como revisar una línea vertical de una estruc-tura se puede efectuar con precisión en un único círcu-lo del anteojo, siempre y cuando éste describa un plano completa mente vertical al girarlo. Para determinar si esto es así, prosiga como se indica a continuación:

1. Vise un punto elevado A, dirija el anteojo hacia abajo ymarque el punto B sobre el terreno.

2. Gire y repita el proce dimiento en la segunda posicióndel anteojo. Marque el punto C.

El punto medio entre los puntos B y C será el punto exacto para aplomar.

La razón por la que estos dos puntos no coinciden se pue-de deber a un error de basculamiento del eje y/o a una inclinación del eje vertical.

Para trabajos de esta naturaleza, asegúrese de que la estación total se encuentre bien nivelada, de manera que se reduzca la influencia del bascula miento del eje vertical.

A

BC

26 | Mediciones con la estación total

Levantamientos (método polar)

Para trazar la planta de una construcción, se determina la posición y altura de un punto de la misma midiendo ángulos y distancias. Para hacerlo, el instrumento se colo-ca sobre un punto referido a un sistema de coordenadas locales. Introduzca las coordenadas como (X = 0, Y = 0, altura de instrumento i) Con fines de orientación, se eli-ge un segundo punto fácil de distinguir después de visarlo con el círculo horizontal puesto a cero (consulte el manual del usuario).

Si ya existe un sistema de coordenadas, coloque el instru-mento en un punto conocido y alinee el círculo horizontal con un segundo punto conocido (consulte el manual del usuario). También puede usar el método de intersección inversa para estacionar y orientar el instrumento (vea pág. 22).

Programas de aplicación | 27

Replantear

1. Coloque el instrumento en un punto conocido y pon-ga en posición el círculo horizontal (consulte la sección«Montaje de la estación» en el manual del usuario).

2. Introduzca manualmente las coordenadas del puntoa replantear. El programa calcula automáticamente ladirección y la distancia (los dos parámetros necesariospara llevar a cabo cualquier replanteo).

3. Gire la estación total hasta que la lectura del círculohorizontal indique cero.

4. Coloque el reflector en este punto (punto «P»).5. Mida la distancia. La diferencia iD de distancia al punto

P se desplegará automáticamente.

O bien, en la oficina puede transferir manualmente de la computadora a la estación total las coorde nadas de los puntos a replantear. Bajo estas circunstancias sólo hay que seleccionar en número de punto

Si hay dos puntos conocidos también puede usar el méto-do de intersección inversa para estacionar y orientar el instrumento.

P'

DP

N

a

28 | Programas de aplicación

Línea de referencia

Todas las estaciones totales y equipos GNSS de Leica Geosystems están equipados con modernas aplicaciones. Línea de referencia es una de las más usadas. Tiene dos métodos básicos.

1. Medir a Línea de ReferenciaLa posición horizon-tal y vertical y el desplazamiento de un punto medidomanualmente se pueden calcular respecto de la línea dereferencia definida.

2. Replantear Línea de Referencia Permite definir laposición de un punto con relación a una línea de refe-rencia y replantearlo.

Por favor, consulte el manual de su estación total o equipo GNSS para ver qué tareas permiten.

Cálculo de Volumen

otra aplicación comúnmente usada en obra es el Cálculo de Volúmenes. La aplicación Cálculo de volúmenes posi-bilita la medición superficies, y el cálculo de volúmenes (y otros datos) a partir de estas superficies.

Mida puntos (de la superficie y de su límite) que definen una superficie nueva o extienden una ya creada. El volu-men se calcula directamente También puede usar puntos guardados para calcular volúmenes

Por favor, consulte el manual de su estación total o equipo GNSS para ver qué tareas permiten.


Cálculo de área

1. Situe la estación total en el terreno de forma que sevea la totalidad del área que será medida. No esnecesario posicionar el círculo horizontal.

2. Determine los puntos del límite del área secuencialmen-te en el sentido de las agujas del reloj. Siempre deberámedir las distancias.

3. Al pulsar una tecla, el área se calcula auto mática mentey se muestra su valor en la pantalla.

Para instrucciones detalladas, por favor consulte el manual de su estación total o equipo GNSS.


Alturas Remotas

1. Coloque un reflector en posición vertical debajo del punto cuya altura se va a determinar. La estación total se puede colocar en cualquier parte.

2. Introduzca la altura del prisma, apunte hacia él y mida la distancia.

3. Vise el punto cuya altura se desconoce.4. La diferencia de altura H entre el pnto del terreno y el

punto de altura desconocida se calcula y se muestra al pulsar el botón.

H


Distancias de enlace

Este programa determina la distancia y la diferencia de altura entre dos puntos.

1. Coloque la estación total en cualquier punto.2. Mida la distancia hacia cada uno de los dos puntos A y B.3. Con solo presionar una tecla, se despliega en pantalla el

valor de la distancia D y la diferencia de alturas H.

También se pueden usar los puntos almacenados en la memoria interna para calcular la distancia y diferencia de cotas (consulte el manual).

AH

D B


En el siguiente ejemplo, los perfiles de los límites se le vantaron en forma paralela a las paredes de un edifi-cio a las distancias respectivas a y b de los límites (parte izquierda de la ilustración).

1. Establezca una línea base AB paralela al límite izquier-do, a una distancia cualquiera C.

2. Marque el punto A a una distancia D definida a partirdel límite superior. Este será el primer punto donde secolocará la estación total.

3. Empleando un bastón de aplomar, marque el punto B alfinal de la línea base.

4. Coloque la estación total en el punto A, vise el punto By mida los puntos A

1, A

2 y A

3

5. Visando el punto B, ponga el círculo horizontal en cero,gire la estación total 100 gon (90°) y trace la segundalínea AC con los puntos A

4, A

5 y A

6.

La forma más fácil de replantear perfiles es usando la aplicación Línea de Referencia. Esta aplicación le permiti-rá completar todos los pasos descritos anteriormente de forma más eficiente y conveniente. En la mayoría de los casos sólo es necesario un estacionamiento.

Replanteo de perfiles

A A4 A5 A6 C

H3H1

H2

A1

A2

A3

B

c

b

a

d

Topografía con GNSS | 33

Topografía con GNSS (GPS & Glonass)

La topografía GPS emplea las señales que transmiten algu-nos satélites artificiales cuyas trayectorias son tales, que se puede determinar la posición de cualquier punto sobre la superficie de la Tierra en cualquier momen to e indepen-dientemente de las condiciones atmos féricas. La precisión con la que se determina la posición de los puntos depen-de del tipo de receptor GPS empleado y de la técnica de observación y proceso que se aplique.

Comparado con el empleo de una estación total, los levan-tamientos con GPS ofrecen la ventaja de que no es nece-sario que los puntos a medir sean visibles entre sí. Hoy en día (siempre y cuando no existan obstrucciones considera-

bles, como follaje espeso o construcciones de gran altura que impidan la recepción de las señales de los satélites) la tecnología GPS se puede aplicar en muchos y muy diver-sos trabajos de topografía que hasta ahora solo se podían efectuar con estaciones totales electrónicas.

Todos los sistemas GNSS de Leica permiten realizar una amplia gama de tareas topográficas, con aplicaciones guia-das paso a paso que ofrecen precisiones centimétricas en tiempo real (RTK) o en postproceso – sobre trípode, en bastón, en barcos, vehículos o maquinaria agrícola y de construcción.

34 | Estaciones de referencia GNSS

Estaciones de referencia GNSS

También conocida como Estación de Referencia Permanen-te, «Continuously Operating Reference Station» (CORS), se trata de un receptor GNSS multi-frecuencia emplazado en unas coordenadas conocidas, con alimentación permanen-te y conectado a varios dispositivos de comunicación.

Una CORS normalmente registra datos GNSS para usar-los después en las tareas de post-proceso, o proporciona datos de correcciones GNSS a tiempo real tanto para apli-caciones DGPS como RTK. En muchos casos esto permite satisfacer las demandas de una gran variedad de aplicacio-nes incluyendo topografía, ingeniería, construcción, control geodésico, sistemas de información geográficos, ausculta-

ción, estudios tectónicos e hidrografía. Con más CORS adi-cionales, grandes extensiones o incluso países enteros pue-den estar cubiertos con una infraestructura de redes CORS.

Las CORS están controladas de forma remota por un soft-ware especializado, como el Leica GPS Spider, el cual conecta con la CORS a través de diversos medios de tele-comunicación; modem serial, por radio o teléfono, incluso por internet. Una vez configurada, una red CORS opera-rá de forma continua proporcionando toda clase de datos GNSS, DGPS, RTK y correcciones de red a un número vir-tualmente ilimitado de usuarios.

Más documentos | 35

¿Está interesado en aprender más sobre estos asuntos? Leica Geosystems le ofrece más documentación de refe-rencia en línea:

http://www.leica-geosystems.com/booklets/

Herramientas de construcción de Leica GeosystemsLeica BuilderLeica SmartPole y SmartStationIntroducción al GPSGuía de estaciones de referencia

Los datos técnicos. las ilustraciones y descripciones no son vinculantes y pueden ser modificados. Impreso en Suiza – Copyright Leica Geosystems AG, Heerbrugg, Suiza, 2013.724109es – V.13 – RVA

Tanto si desea construir una casa o un puente, diseñar un mapa o un avión, necesitará medidas fiables. Por tanto, cuando las cosas tienen que estar bien,los profesionales confían en Leica Geosystems para que les ayude a capturar, analizar y presentar información espacial.

Con casi 200 años ofreciendo soluciones pioneras para medir el mundo, Leica Geosystems es bien conocida por su amplio conjunto de produc-tos que capturan datos de forma precisa, modelan rápidamente, analizan fácilmente y visualizan y presentan información espacial. Quienes usan los productos de Leica Geosystems cada día confían en ellos por su fiabilidad, el valor que les proporciona, y el superior soporte a cliente.

Precisión, valor y servicio de Leica Geosystems.

When it has to be right.

T op o graf íay sus ap l icacione s

PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014

COMPAÑÍA EDITORIAL CONTINENTAL

T OP OGRAFÍAY SUS APL ICACIONES

Dante A. Alcántara GarcíaProfesor titular de tiempor completoUniversidad Autónoma Metropolitana

Unidad Azcapotzalco

Dirección editorial: Ing. Javier Enrique CallejasCoordinadora editorial: Ing. Estela Delfín RamírezRevisión técnica: Ing. Ma. del Alba Camacho Reyes ESIA-Zacatenco Profesora de la Academia de Vías Terrestres

Diseño de interiores: Cesar Leyva AcostaDiseño de portada: Milton Comunicaciones

Topografía y sus aplicacionesDerechos reservados respecto a la primera edición:@ 2014, Dante A. Alcántara García@ 2014, GRUPO PATRIA CULTURAL S.A. DE C.V.bajo el sello de Compañía Editorial ContinentalRenacimiento 180, Colonia San Juan TlihuacaDelegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria EditorialRegistro Núm. 43

ISBN: 978-607-438-943-2

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en MéxicoPrinted in Mexico

Primera edición ebook: 2014

�

Reconocimientos ........................................................................................................................... ixPrólogo ................................................................................................................................... xi

Tema1.Introducción .................................................................................................................. 1 1.1 Definición y objeto de la topografía ..................................................................................... 2 1.2 Aspecto histórico ................................................................................................................. 2 1.3 Actividades y divisiones para su estudio .............................................................................. 4 1.4 Aplicaciones a diversas profesiones ...................................................................................... 5 1.5 Cadenas .............................................................................................................................. 5 1.6 Valores ................................................................................................................................. 7

Tema2.Planimetría .................................................................................................................... 9 2.1 Coordenadas de los puntos .................................................................................................. 9 2.2 Distancias entre dos puntos de poligonales .......................................................................... 9 2.3 Determinación de ángulos .................................................................................................... 25 2.4 Levantamientos topográficos que se pueden realizar con la brújula o con el teodolito ......... 56 2.5 Convenciones de representación gráfica ................................................................................ 60 2.6 Determinación de áreas por medida directa ......................................................................... 65 2.7 Determinación de valores mediante el cálculo ...................................................................... 68 2.8 Compensación angular de una poligonal .............................................................................. 70 2.9 Cálculo de los rumbos de los lados de una poligonal ........................................................... 71 2.10 Compensación lineal de una poligonal ................................................................................. 71 2.11 Precisión .............................................................................................................................. 77 2.12 Coordenadas en función de ángulos y distancias ................................................................. 79 2.13 Distancias y ángulos ............................................................................................................ 80 2.14 Cálculo de áreas .................................................................................................................. 81 2.15 Ejemplo de aplicación de un levantamiento realizado con tránsito y cinta mediante

una poligonal auxiliar .......................................................................................................... 84 2.16 Área bajo la curva ............................................................................................................... 87 Problemas ............................................................................................................................ 88

Tema3.Altimetría ....................................................................................................................... 99 3.1 Conceptos generales ............................................................................................................. 99 3.2 Tipos de nivelación .............................................................................................................. 99 3.3 Comprobaciones de una nivelación ....................................................................................... 111 3.4 Nivelación trigonométrica o indirecta ................................................................................... 113 3.5 Nivelación barométrica ........................................................................................................ 115 3.6 Determinación de valores por cálculo .................................................................................. 117 3.7 Errores y tolerancias ............................................................................................................ 119 3.8 Compensación de una nivelación .......................................................................................... 121

con T enido

�i Topografía y sus aplicaciones

3.9 Volúmenes por secciones transversales y por prismas .......................................................... 122 Problemas ............................................................................................................................ 125

Tema4.Planimetríayaltimetríasimultáneas,determinacióndevalores .................................. 191 4.1 Descripción ......................................................................................................................... 131 4.2 Estadía ................................................................................................................................ 131 4.3 Configuración de un terreno ................................................................................................ 136 4.4 Determinación de valores mediante el cálculo ...................................................................... 140 4.5 Taquímetro autorreductor .................................................................................................... 143 4.6 Plancheta ............................................................................................................................. 146 Problemas ............................................................................................................................ 148

Tema5.Nocionessobreelproyectogeométricodecaminos ....................................................... 151 5.1 Generalidades ...................................................................................................................... 151 5.2 Alineamiento horizontal ..................................................................................................... 157 5.3 Alineamiento vertical ........................................................................................................... 171 5.4 Replanteo del camino .......................................................................................................... 184 Problemas ............................................................................................................................ 187

Tema6.Agrodesia ....................................................................................................................... 191 6.1 División de terrenos ............................................................................................................. 191 6.2 Fraccionamientos ................................................................................................................. 196

Tema7.Orientaciónastronómica ................................................................................................ 209 7.1 Generalidades ...................................................................................................................... 209 7.2 Repaso de cosmografía ........................................................................................................ 212 7.3 Repaso de trigonometría esférica y su relación con el triángulo astronómico ....................... 219 7.4 Determinación de la latitud (f) de un punto cualquiera de la superficie terrestre ................ 226 7.5 Determinación del valor del acimut de una línea por métodos de la astronomía de posición 236 7.6 Determinación del acimut de una línea utilizando un giróscopo .......................................... 245

Tema8.Fundamentosdelatriangulaciónytrilateracióntopográficas ...................................... 249 8.1 Triangulación ....................................................................................................................... 249 8.2 Trilateración ........................................................................................................................ 263

Tema9.Nocionesdetopografíasubterránea .............................................................................. 267 9.1 Generalidades ...................................................................................................................... 267 9.2 Formas de penetración al terreno ....................................................................................... 269 9.3 Lumbreras y túneles ............................................................................................................ 271 9.4 Levantamientos subterráneos .............................................................................................. 275 9.5 Determinación de volúmenes ............................................................................................... 277

Tema10.Breveestudiodelafotografíaaérea ............................................................................ 281 10.1 Antecedentes ....................................................................................................................... 281 10.2 Definiciones ......................................................................................................................... 281 10.3 Fotografía de eje vertical, inclinado y alto inclinado ............................................................ 282 10.4 Geometría de una fotografía ................................................................................................ 282

�ii

10.5 Elementos necesarios ........................................................................................................... 286 10.6 Fotografía aérea en blanco y negro ...................................................................................... 288 10.7 Fotografía aérea en color ..................................................................................................... 289 10.8 Estereoscopia ....................................................................................................................... 289 10.9 Mosaicos fotogramétricos ..................................................................................................... 293 10.10 Apoyo topográfico ................................................................................................................ 294 10.11 Propagación del apoyo terrestre ........................................................................................... 296 10.12 Restitución fotogramétrica ................................................................................................... 299 10.13 Aplicaciones ......................................................................................................................... 302 10.14 Fundamentos de fotointerpretación ...................................................................................... 303 10.15 Cartografía aplicada ............................................................................................................ 315 Problemas ............................................................................................................................ 319

Tema11.Levantamientosenlagos,ríosycostas ......................................................................... 321

Tema12.SistemadePosicionamientoGlobal(GPS) .................................................................. 331 Apéndice A. Conjunto de instrumentos topográficos ..................................................................... 357 Bibliografía ................................................................................................................................... 373 Índice alfabético ............................................................................................................................ 377

�iii

ixIntroducción

La realización de un libro técnico requiere del apoyo de diversos elementos y, sobre todo, la colaboración de varias personas. En ese sentido, esperando no cometer omisiones (y de haberlas tengan la seguridad de que estas serían involuntarias), hago patente mi agradecimiento a las siguientes personas:

Al ingeniero Leoncio Olvera Escorcia, quien al escribir el prólogo del presente libro le confirió otra dimensión, además de su permanente apoyo para la realización de este material.

Al señor ingeniero Sabro Higashida Miyabara (q.p.d.), quien en diferentes ocasiones me asesoró y orientó.

Además, desde estas líneas, quiero rendir un homenaje al ingeniero Higashida por su trayectoria como profesional y catedrático de topografía, como autor de varios libros y publicaciones, pero fundamentalmente como ser humano, razones por las que siempre estará presente entre quienes tuvimos el honor de conocerlo.

Por sus comentarios, así como por el material que elaboro y me proporciono acerca del tema: “Estudio breve de la fotografía aérea”, expreso mi agradecimiento al ingeniero Ramón Álvarez Valadez.

Al doctor Ignacio Canals Navarrete por su participación en la deducción de la fórmu-la para determinar la latitud de un lugar por medio de dos posiciones del Sol, incluida en el tema de Orientación astronómica.

Al ingeniero José L. Higuera Moreno por el material proporcionado y sus comentarios para la realización de los contenidos de Orientación astronómica.

A los ingenieros Alfredo Fernández, Fernando García y Alfredo González de la Comisión Federal de Electricidad por el material proporcionado para el tema de “Levantamientos en lagos, ríos y costas.

Quiero agradecer también a los ingenieros Ricardo López Ramírez (ESIA-Zacatenco IPN), José Antonio Dimas Chora (FES-Aragón), Carlos A. Herrera Anda (Universidad La Salle), René Gómez Díaz (CETIS Núm. 33 SEP), y en especial al Doctor Jorge Caire Lomelí (Facultad de Filosofía y Letras UNAM) por la evaluación técnica que realizaron

reconocimien T os

Topografíax

del manuscrito, cuyos comentarios y sugerencias fueron de gran utilidad para mejorar el texto. Así mismo, agradezco a la Maestra María Alba Camacho (ESIA-Zacatenco IPN) por su revisión técnica, que fue de gran ayuda para mejorar el material. Agradezco al ingeniero Antonio Velasco Calva su colaboración en la preparación de los problemas que se incorporaron al libro.

Por ultimo expreso mi agradecimiento, tanto por su anuencia para mencionar sus productos así como los de las empresas que representan como por el material fotográfico que cortésmente me proporcionaron para ilustrar el libro, a las siguientes firmas comer-ciales (por orden alfabético):

• Abreco. Precisión Topográfica• Leica de México, S. A.• Taller Topográfico Quintero

Topografía y sus aplicaciones

No hay ninguna discusión en cuanto a que el avan-ce tecnológico ha revolucionado el mundo, y des-de luego la topografía no es la excepción. Dicho avance ha permitido el desarrollo de los equipos y métodos de medición y, sobre todo, se ha popula-rizado en el uso que han alcanzado los sistemas de posicionamiento por satélite.

Lo anterior permite que en la actualidad la toma de información en el campo sea cada vez más fácil y segura en cuanto a la certidumbre y calidad de los datos recolectados, así como a que esta reco-lección masiva de información nos permita repre-sentar en los planos situaciones más fidedignas en un terreno real.

En diversas ocasiones escucho la preocupación del profesional involucrado en la ingeniería topo-gráfica referente a que con todos estos nuevos mé-todos y equipamientos, su trabajo se encuentra en peligro, situación que desde mi punto de vista es errónea, ya que todos estos cambios únicamente generan más posibilidades de desarrollo para él.

Actualmente es común recolectar información a través de métodos por satélites y por sistemas en los que están referidas estas tecnologías, por lo que es imprescindible el trabajo de un profesional de la Ingeniería Topográfica para realizar el manejo adecuado de los diferentes sistemas de coordena-das empleados, así como un manejo preciso de las diferentes proyecciones utilizadas.

p rÓl ogo

Por todo esto, es importante contar con bases apropiadas que permitan un conocimiento adecua-do y eficaz para poder adaptarnos a estos cambios de tecnología, ya que es de tomarse en cuenta que el peligro que se corre con todo el desarrollo del nuevo equipamiento es de que terminemos convir-tiéndonos en “aprieta botones” sin tener la certe-za del cómo y porqué de los resultados obtenidos.

Si bien este libro está dirigido a estudiantes de las distintas ramas de la ingeniería que requie-ren de conocimientos de topografía, tales como Ingeniería Topográfica, Civil, Geología, Geofísica; así como para estudiantes de Arquitectura y alum-nos de bachillerato con capacitación tecnológica, todos deben estar conscientes de lo mencionado en las primeras líneas de este prólogo, ya que en su desarrollo profesional convivirán de una u otra manera con la Topografía, por lo que en la medida de cada una de las necesidades e intereses el contar con bases sólidas les permitirá a lo largo del tiem-po una mejor y más duradera relación en el caso de que el involucrado desee continuar con sus estudios de Ingeniería Topográfica.

Así pues, para el profesional de la Ingeniería Topográfica le vienen buenos tiempos gracias a los nuevos métodos y equipamientos, los cuales ven-drán de la mano de una mayor preparación perso-nal y del manejo de la personalidad adecuada que le permita afrontar este reto que también implica

xii Reconocimientos

un cambio en la imagen que hasta ahora se ha tenido.

Finalmente, considero que todos los usuarios de este texto encontrarán la información desarrollada de una manera adecuada para adquirir los conoci-mientos básicos de la Topografía y generar inquie-tudes en aquel o aquellos usuarios que requieran profundizar más en cada uno de los temas.

Quiero agradecer al Ing. Dante Alfredo Alcántara García por el honor de permitirme es-

cribir estas notas en su libro, y asimismo felicitarlo por su iniciativa en generar material que permita al futuro profesional involucrarse en esta discipli-na, presentándole el material adecuado que lo guíe de una manera lógica y clara en el conocimiento básico y fundamental para el logro de sus objeti-vos, e incluso que le sirva de apoyo en su trabajo cuando, de ser el caso, viva de la Topografía.

Leoncio Olvera EscorciaIng. Topógrafo y Fotogrametrista

Ex Presidente del xvi Consejo Directivo del Colegio de Ingenieros Topógrafos, A.C.

Gerente Regional para México y Centroamérica de Leica Geosystems

�

INTRODUCCIÓN

1TEMA

L a topografía es de gran importancia para to-dos los que desean realizar estudios de bachi-

llerato tecnológico con capacitación en topografía, o para quienes realizan estudio de licenciatura en disciplinas como la ingeniería, así como para los estudiantes de arquitectura, no sólo por los cono-cimientos y habilidades que puedan adquirir, sino por la influencia didáctica de su estudio. En el pa-sado, en México se impartían conocimientos bási-cos de topografía en la enseñanza primaria, en el cual se empleaba como libro de texto el Curso ele-mental de topografía práctica, de Manuel M. Zayas (Ed. Herrero H. Suc., México [1906]). En este libro se destaca lo necesario y conveniente desde el punto de vista pedagógico, del estudio de esta disciplina, y se menciona: “suministra el método y los proce-dimientos adecuados para realizar una gran parte de la educación científica de los jóvenes por medio de esta asignatura”. La intención y el contenido del libro no pretende que los estudiantes llegaran a ser expertos en la materia, como pudiera serlo un in-geniero o un técnico topógrafo, o de cualquier otra disciplina que hubiese llevado cursos de este tipo, pero sí resulta un puente muy importante entre los conocimientos teóricos, de aritmética y geometría, y la práctica. También resulta muy importante para otros cursos, como el de geografía, por la

posibilidad de entender e interpretar mapas. En fin, abre un horizonte más amplio para la asimilación de otros conocimientos y quita la aridez que a veces se considera a ciertas materias. En la actualidad no se imparten cursos de este tipo a los niños, por la diversidad de temas que se cubren en los programas de estudio. Los libros de texto gratuito incluyen algunos temas teóricos de la topografía, pero sería más provechoso que se dieran nociones y prácticas de esta ciencia.

Con la referencia anterior se desea despertar la inquietud y el interés de quienes esto lean. Es clara la utilidad de ese ejercicio mental, a nivel de edu-cación primaria; pero es más evidente la utilidad y la necesidad del conocimiento de la topografía para estudiantes de ingeniería y arquitectura.

Este libro de consulta básica podrá lograr cubrir los aspectos antes mencionados y que constituya un estímulo para el lector, que lo impulse a profun-dizar el tema y auxilie a quienes lo consulten. Para ello, se ha tratado de exponer en forma accesible los conocimientos básicos de la topografía.

Tanto la organización y la distribución de los temas obedecen a una larga experiencia basada en una compilación de diversos autores, apuntes de clases, etc., así como en la labor docente y el ejer-cicio profesional del autor.

Topografía y sus aplicaciones�

b = 6 378206.4 mma = 6 356583.8

a

b

1.1 Definición y objeto de la topografíaEs una ciencia aplicada que se encarga de determi-nar las posiciones relativas o absolutas de los pun-tos sobre la Tierra, así como la representación en un plano de una porción (limitada) de la superficie terrestre; es decir, estudia los métodos y procedi-mientos para hacer mediciones sobre el terreno y su representación gráfica o analítica a una escala determinada. También ejecuta replanteos (trazos) sobre el terreno para la realización de diversas obras de ingeniería, a partir de las condiciones del proyecto establecidas sobre un plano. Asimismo, realiza trabajos de deslinde, división de tierras (agrodesia), catastro rural y urbano, así como le-vantamientos y trazos en trabajos subterráneos.

En la práctica de la topografía es necesario te-ner conocimientos de matemáticas, así como un adiestramiento sobre el manejo de instrumentos para hacer mediciones. Para comprender mejor esta ciencia y profundizar en ella, es necesario te-ner conocimientos de física, cosmografía, astrono-mía, geología y otras ciencias.

Además, la topografía está en estrecha relación con la geodesia y la cartografía. La primera se en-carga de determinar la forma y dimensiones de la Tierra, y la segunda de la representación gráfica, sobre una carta, mapa o un plano, de una parte de la Tierra o de toda ella.

Entre la topografía y la geodesia hay diferen-cia en los métodos y procedimientos de medición y cálculo, pues la primera realiza sus trabajos en porciones relativamente pequeñas de la superficie terrestre, considerándola como plana, en tanto que la geodesia toma en cuenta la curvatura terres-tre, y sus mediciones son sobre extensiones más grandes: poblados, estados, países, continentes o la Tierra misma.

La representación gráfica de estas mediciones la realiza otra ciencia, la cartografía, que proyecta sobre un plano las partes del esferoide terrestre; en cambio el dibujo topográfico proyecta las medidas sobre una superficie en un plano.

Para ilustrar una idea general, veamos lo si-guiente:

Si se compara la diferencia angular entre un triángulo plano y uno esférico, proyectados sobre

la superficie terrestre, cuyas áreas midan 200 km2 de superficie, habrá una diferencia angular de sólo un segundo de arco. Los errores se pueden pre-sentar por considerar una superficie plana y serán importantes en la medida en que se incremente su tamaño y se requiera mayor precisión. Así, sería necesaria una topografía más precisa a la interven-ción de procedimientos geodésicos.

Para comprender mejor lo anterior, véanse las figuras 1-1 y 1-2.

Figura 1-2. Se exagera el tamaño del triángulo, a fin de resaltar la explicación dada en el texto.

Figura 1-1.

1.2 Aspecto históricoSe desconoce el origen de la topografía, y se cree que fue en Egipto donde se hicieron los primeros trabajos topográficos, según referencias por esce-nas representadas en muros, tablillas y papiros, de hombres realizando mediciones del terreno.

Fueron los egipcios los primeros que conocían la ciencia pura, que luego los griegos lo bautiza-ron como geometría (medida de la Tierra) y su aplicación, en lo que se consideró como topogra-fía, o mejor dicho etimológicamente, “topometría”. Desde hace más de 5 000 años existía la división de parcelas con fines fiscales, así como para marcar linderos ante las avenidas del Nilo.

�Introducción

A partir de que el hombre se hizo sedentario y comenzó a cultivar la tierra, nació la necesidad de hacer mediciones o, como señala el ingeniero geó-grafo francés P. Merlín, la topografía “nació al mis-mo tiempo que la propiedad privada”.

La realidad histórica de la topografía se ha pre-sentado en forma aislada, como tablilla de barro encontrada en Ur, en Mesopotamia, que data de tres siglos antes de nuestra era, y los testimonios en-contrados en diversas partes del mundo; pero es en Egipto donde se han obtenido mejores referencias.

En Egipto, las mediciones hechas por los prime-ros cadeneros o estira cables, como los llamaban, se realizaban con cuerdas anudadas, que correspon-dían a unidades de longitud convencionales, como el denominado “codo”. Cada nudo estaba separado en la cuerda por el equivalente de 5 codos, equiva-lentes a 2.5 metros.

Tener la necesidad de medir regiones más o menos extensas gestó conocimientos empíricos y rudimentarios que después evolucionaron. Al prin-cipio el hombre usó como patrones de medida las cosas que le eran familiares, incluso su propio cuer-po; por ejemplo, la alzada de un caballo era me-dida en palmos, es decir, tantas veces la anchura de la mano. La distancia entre las puntas del dedo meñique y del dedo pulgar, con la mano totalmen-te extendida, era considerada como medio codo, y ésta era la distancia entre el codo y la punta de los dedos. El pie fue otra medida y se le consideraba como las tres cuartas partes del codo.

La altura del hombre o braza era considerada de cuatro codos, pero estas unidades de medida presentaban dificultades debido a las distintas ta-llas entre los individuos. Por eso, hacia el año 3000 a.C. se estableció en Egipto el codo real como pa-trón de medida convencional, tal vez basado en la medida del “codo” de algún faraón, cuya dimen-sión era de 52.3 centímetros. Luego se construyó un cuadrado de un codo por lado y la diagonal resultante, llamada doble ramen, la hicieron su unidad de medida para la medición de terrenos.

Por otra parte, sumerios, persas y griegos dieron otras diferentes longitudes a la unidad de medida llamada codo; otros pueblos también la usaban, y así en la Biblia aparecen referencias a estas

unidades para mediciones de objetos, de terrenos, construcciones, etc. También hay datos relativos a elementos utilizados en topografía. A continuación se transcriben algunos versículos que ilustran lo antes dicho.

I Reyes 6:2

“Y la casa que el Rey Salomón le edifi-có al Señor, tenía sesenta codos de longitud y veinte de anchura y treinta de altura.”

I Reyes 6:3

“Y el pórtico enfrente del templo tenía veinte codos de longitud enfrente de lo an-cho de la casa. Tenía diez codos de fondo enfrente de la casa.”

Amós 7:7

“Esto es lo que me hizo ver, y miré ¡el Señor estaba apostado en un muro hecho con plomada, y tenía una plomada en la mano!”

Ezequiel 40:47

“Y se puso a medir el patio (interior). La longitud era de cien codos y la anchura de cien codos.”

Josué 18:14

“Consíganse tres hombres de cada tri-bu y déjenme enviarlos para que levanten y recorran la tierra y delineen mapas de acuerdo con su herencia y que vengan a mí.”

Hay muchas referencias en la Biblia respecto a las unidades. Algunas hebreas son: un dedo = 0.023 m, una palma = 0.0927 m = 4 dedos; un pal-mo = 0.278 = 3 palmas; un codo = 0.347 m; una jornada de sabat = 1 281 m, etcétera.

También los griegos buscaron explicaciones ra-cionales del “porqué” y la lógica de las cosas, y dieron forma a lo que designaron como geometría (medida de la Tierra) unos 500 años a.C. Son no-tables las aportaciones que hicieran a la geometría por parte de Tales de Mileto, Pitágoras y Euclides. Todos ellos y posteriormente Arquímedes y Apolonio de Pérgamo continuaron con el desarrollo de esta


ciencia. Varios siglos permaneció un tanto estan-cado el avance de la geometría, porque ni griegos, romanos, árabes o persas hicieron aportaciones. Ya en los albores de nuestra era, Herón, Tolomeo y Papo dieron nuevas aportaciones. Herón encontró la fórmula para la determinación del área de un triángulo en función de sus lados:

A 5 12

P(P 2 a)(P 2 b)(P 2 c)

en la que P es el semiperímetro y es igual aa 1 b 1 c

2

donde a, b y c son los lados de un triángulo; además fue una figura destacada y una autoridad entre los topógrafos de su época. Escribió varias obras dedi-cadas a procedimientos y métodos de medición que fueron utilizados por ingenieros de esa época.

Por ejemplo, Tolomeo demostró la inscripción de cuadriláteros a la circunferencia, en donde el producto de sus diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos, también Papo fue célebre por el cálculo de superficies generadas por una línea que gira sobre un eje situado en su plano, así como de volúmenes producidos por rota-ción de superficies alrededor de un eje.

Con un sentido más práctico, los romanos de-sarrollaron la arquitectura y la ingeniería, aplican-do los conocimientos heredados de los egipcios y griegos.

Además trazaron mapas con fines bélicos y ca-tastrales, construyeron caminos, ciudades, presas, puentes, canales, etc., debido a la expansión de su imperio; para ello era indispensable el desarrollo de métodos e instrumental topográfico.

En el siglo I d.C., Frontino escribió el Tratado de topografía; luego en el siglo IV apareció el Codex Acerianus y el Arte de medir la Tierra, escrito por Inocencio, en los que se constatan las aportaciones romanas a la topografía.

En la Edad Media los árabes lograron avances, sobre todo, en la astronomía y la geografía.

Gracias a los grandes descubrimientos se avanzó en la elaboración de mapas y planos, con lo cual los trabajos de topografía y los geodésicos avanzaron en su técnica e instrumental. Con la aparición del telescopio a finales del siglo XVI y principios

del XVII, tuvieron un gran avance, y se realiza-ron trabajos espectaculares en el aspecto de la for-ma y tamaño de la Tierra. Nombres como Picard, Snellius y Casini fueron muy importantes para el conocimiento y desarrollo de la topografía y el es-tablecimiento de los fundamentos de la geodesia y de la cartografía modernas.

El aumento de la población mundial, así como las necesidades de comunicación, vivienda, desa-rrollo de la producción agrícola y expansión te-rritorial, hicieron que esta disciplina superara la época de sus métodos primitivos.

La topografía avanzó notablemente después de los grandes movimientos bélicos a través de la historia. En la actualidad existe una urgente ne-cesidad de elaborar planos y mapas topográficos con alta precisión, para determinar límites entre países, tareas en las que se complementa con la geodesia.

El aumento del costo de los terrenos y el pro-greso de la última parte del siglo XIX y, sobre todo, del siglo XX, hizo que se inventaran instrumentos y métodos en forma vertiginosa. En efecto, sobre todo en las últimas décadas, se han conseguido más avances científicos y tecnológicos que en todos los siglos anteriores. Así, ahora contamos con teo-dolitos de alta precisión, tanto ópticos como elec-trónicos, distanciómetros electrónicos de fuente lu-minosa y de fuente electromagnética, colimadores láser, la percepción remota por medio de fotogra-fías aéreas, imágenes de satélites artificiales y el radar, que facilitan los trabajos topográficos.

1.3 Actividades y divisiones para su estudioLas actividades principales de la topografía se rea-lizan en el campo y el gabinete. En el primero se efectúan las mediciones y recopilaciones de datos suficientes, y en el segundo para dibujar en un pla-no una figura semejante al terreno que se desea representar. A estas operaciones se les denomina levantamientos topográficos (figura 1-3).

Sobre los planos se hacen proyectos (urbani-zaciones, caminos, instalaciones deportivas, etc.), cuyos datos y especificaciones deben replantearse posteriormente sobre el terreno, a esta operación se le conoce como trazo.

�Introducción

PV

PH

1

1

2

2

2

3

3 3

4

4

5

5

Entre las actividades de gabinete se encuen-tran los métodos y procedimientos para el cálculo y el dibujo.

La topografía se divide en: planimetría o plano-metría, altimetría, planimetría y altimetría simultá-neas, triangulación, trilateración y fotogrametría.

1.4 Aplicaciones a diversas profesionesLa topografía tiene aplicaciones en la ingeniería agrícola, tanto en levantamientos como trazos, deslindes, divisiones de tierra (agrodesia), deter-minaciones de áreas (agrimensura), nivelación de terrenos, construcción de bordos, canales y drenes. En la ingeniería eléctrica: levantamientos previos y trazos de líneas de transmisión, construcción de plantas hidroeléctricas, instalación de equipo para plantas nucleoeléctricas, etc. En la ingeniería mecánica e ingeniería industrial: Para la instala-ción precisa de máquinas y equipos industriales, conf iguraciones de piezas metálicas de gran preci-sión, etc. En la ingeniería minera: Para el levan-tamiento y trazo de túneles, galerías y lumbreras, cuantificaciones de volúmenes extraídos, etc. En la

ingeniería geológica: En la relación de las formacio-nes geológicas, determinación de configuraciones de cuencas hidrológicas, como apoyo fundamental de la fotogeología, etc. En la ingeniería civil: En los trabajos topográficos antes, durante y después de la construcción de obras, como carreteras, ferroca-rriles, edificios, puentes, canales, presas, fracciona-mientos, servicios municipales, etcétera.

Existen otras ramas, como la ingeniería hi-dráulica, forestal, ambiental o la arquitectura, pero la topografía, al hacer por medición directa o por cálculo, o bien, por restitución fotogramétrica, la representación gráfica del terreno constituye el punto de partida de diversos proyectos que requie-ren información de la posición, dimensiones, forma del terreno, etc., sobre el cual se va a realizar cual-quier obra o un estudio determinado.

1.5 CadenasDefiniciones

Ya se mencionó que la topografía es una aplicación de la geometría, en la que tenemos una correspon-dencia entre los elementos geométricos y su mate-rialización sobre el terreno.

Así, en geometría, una cadena (puede ser abier-ta o cerrada) es una sucesión de elementos geomé-tricos (figura 1-4).

Figura 1-3. Obtención de planos por fotogrametría.

Figura 1-4.


PM

PV

P

P´PH

x

r

d

X y

Y z

(Norte)

Eje polar Cenit Plano meridiano

P. V

ert.

W Meridiano

Norte

Nadir

Tierra

S

E

(Este)

1

50

40

30

20

10

PH

Dist.E

leva

cion

es

102050 40

30

Elemento geométrico. La geometría forma par-te de un todo; por ejemplo, sus elementos son: los puntos, las líneas rectas y curvas, el sentido de una línea.

Objeto geométrico. Es “algo de lo que se habla en geometría”; pueden ser elementos en forma in-dividual o ligada; por ejemplo, los puntos, las rec-tas, las curvas, diagonales, contornos, superficies, cuerpos, etcétera.

Cadena geométrica. Es un conjunto de elemen-tos geométricos ligados entre sí.

Cadena topográfica

Esta cadena es una sucesión de elementos auxi-liares, como vértices y lados, que se materializan sobre el terreno y se proyectan sobre un plano, para identificarlos como puntos, líneas, etc., como elementos de una cadena geométrica o poligonal.

La planimetría o cadena planimétrica es una de las divisiones de la topografía, que consiste en pro-yectar sobre un plano horizontal los elementos de la cadena o poligonal sin considerar su diferencia de elevación (figura 1-4).

La altimetría o cadena altimétrica, es la parte de la topografía que estudia la elevación de los puntos sobre la superficie terrestre, para dar su posición relativa o absoluta, y la proyecta sobre un plano vertical; referida a un plano de compara-ción cualquiera o a una superficie de comparación como el nivel del mar. La determinación de los valores correspondientes se consigue mediante su operación fundamental, que recibe el nombre de nivelación y puede considerarse como un tipo de levantamiento (figura 1-4).

La planimetría y altimetría simultáneas, son la parte de la topografía que estudia los métodos y procedimientos de medición y representación gráfi-ca de los elementos que componen las cadenas pla-nimétrica y altimétrica simultáneamente (figura 1-5).

Sistemas de referencia

Los planos del meridiano, del horizonte y el ver-tical, se usan en topografía para proyectar sobre ellos los objetos geométricos para conocer su posi-ción en dos o tres dimensiones, formando sistemas de coordenadas (x, y), (x, y, z), (n, e), (r, θ), que

son distancias a los ejes de referencia contenidos en los planos ya mencionados (figura 1-6).

Figura 1-5.

Figura 1-6.

�Introducción

Medidas de longitud

Sistema inglésSistema Internacional

de Unidades (en metros)

milímetro 0.03937 pulg 0.001

centímetro 0.39370 pulg 0.010

decímetro 3.93700 pulg 0.100

metro 1.09360 yard3.28080 pies

39.37000 pulg 1.000

decámetro 10.93600 yard 10.000

hectómetro 109.36100 yard 100.000

kilómetro 0.62137 millas 1000.000

pulgada 0.08330 pies 0.0254

pie 12.00000 pulg 0.3048

yarda 3.00000 pies

36.00000 pulg 0.9144

milla 1 760.00000 yard

5 280.00000 pies 1609.3410

vara 0.8380

legua 4019.0000

Plano meridiano. Es el que pasa por un punto cualquiera de la Tierra, y contiene el eje polar; di-vide la esfera celeste en dos partes iguales, descri-biendo un círculo máximo por el cual pasa la línea cenit-nadir (vertical del lugar).

Plano del horizonte. Es un plano perpendicular a la vertical que pasa por un punto cualquiera de la Tierra, describiendo otro círculo máximo, como el que se describe del plano meridiano.

Meridiano. Es la línea que resulta de la in-tersección del plano-meridiano con el plano del horizonte. Se le conoce como línea norte-sur o me-ridiana.

Plano vertical. Es un plano perpendicular a los planos del horizonte y del meridiano y contiene la vertical del lugar.

1.6 ValoresEn este apartado estudiaremos los valores corres-pondientes a los diversos elementos geométricos, en forma aislada o concatenada.

Valores conocidos

Siempre es posible conocer o establecer las coorde-nadas de un punto.

Valores desconocidos

Son las distancias entre los puntos o vértices de una poligonal, sus ángulos, las direcciones de sus lados, el área del terreno o de una poligonal y, en su caso, los volúmenes que se requieran.

Sistema de unidades

En general, se usan las unidades del Sistema Internacional de Unidades, y se incluyen las equi-valencias con el sistema inglés; también se usan unidades de medida usadas en el pasado, pero que se presentan en escrituras y documentos de tipo legal, en relación con terrenos, deslindes, etcétera.

De acuerdo con las consideraciones anteriores, a continuación se da un cuadro de las medidas más usuales en topografía, así como sus equivalencias.

Áreas Sistema inglés Sistema Internacional (m2)

metro cuadrado 1.196 yard cuadr.

10.764 pies cuadr.

1 550.000 pulg cuadr. 1.000

área 119.600 yard cuadr. 1 00.000

hectárea 100.000 áreas

2.471 acres 1 000.000

kilómetro cuadrado

100.000 hectáreas

0.386 mill. cuadr. 1 000 000.000

pulgada cuadrada

0.007 pies cuadr. 0.000542

pie cuadrado 144.000 pulg cuadr. 0.078027

yarda cuadrada 9.000 pies cuadr.

1 296.000 pulg cuadr. 0.836130

acre 4 840.000 yard cuadr.

43 560.000 pies cuadr.

0.405 hectáreas 4 046.870

varas cuadradas 0.7072


Volumen Sistema inglés Sistema Internacional (m3)

metro cúbico 1.308 yarda cúbica

35.315 pies cúbicos

264.189 galones 1.000

pie cúbico 0.037 yarda cúbica

1 728.000 pulg cúbica

7.473 galones 0.0217956

pulgada cúbica 0.000579 pies cúbicos 0.00001261

galón 231.000 pulg cúbica 0.0037853

Otras equivalencias útiles

360º = 400g

0.9° = 1cg = 0.0157097 rad

0.01g = 1c = 0.009º = 00º00’32.4’’

0.0001g = 1cc = 0.00009º = 00º00’00.324’’

en los que:

º ‘ ‘’ = grados, minutos y segundos de arco, sexagesimales

g c cc = grados, minutos y segundos de arco, centesimales

rad = radianes

p = 3.141592654

ºF = (9/5)(ºC + 32)

ºC = (5/9)(ºF - 32)

g = 9.81 m/s2

= 32.16 pies/s2

en las que:

ºF = Grados Fahrenheit

ºC = Grados Centígrados

g = Aceleración de la gravedad a nivel del mar y con una latitud igual a 45º

p = Número pi

1 kg = 2.20462 libras

1 atmósfera = 1.03322 kg/cm2

= 14.695 lb/pulg2

1 kg/cm2 = 0.967831 atmósferas

= 14.223 lb/pulg2

�

PLANIMETRÍA

2TEMA

U na vez que ya se conocen los elementos geométricos para los trabajos de topografía,

en este tema veremos cómo se determinan los va-lores correspondientes, ya sea por medida directa o por cálculo.

2.1 Coordenadas de los puntosEs posible leerlas de manera directa sobre un plano o mediante coordinatógrafos.

2.2 Distancias entre dos puntos de poligonalesPara determinar una distancia entre dos puntos, se hace mediante instrumentos y procedimientos, ya sean elementales o complicados y sofisticados, se-gún los objetivos que se persigan, así las longitudes por medir y los instrumentos de que se disponga.

Las distancias se pueden determinar por refe-rencias, a pasos, con longímetros o cintas de di-versos tipos, con odómetros, con telémetros, por procedimientos indirectos o taquimétricos (véase el tema 4), mediante distanciómetros electrónicos (de fuente luminosa o electromagnética), etcétera.

Así veremos algunos de ellos, y en temas sub-secuentes se verán los otros.

Para levantamientos a pasos es importante co-nocer la distancia promedio de nuestros pasos nor-males, así como el número de ellos al recorrer una distancia dada.

Para conocer la longitud de nuestros pasos, primero localizamos una línea recta de longitud conocida y la recorremos n veces; luego contamos el número de pasos, y los resultados los sumamos y los dividimos entre n. Así obtendremos el promedio.

Existe un dispositivo llamado podómetro para el conteo de pasos, que se coloca en una pierna y al terminar el recorrido, basta con multiplicar el número de pasos por su longitud para conocer la distancia.

Número de pasos SentidoDistancia conocida

(m)*

318 A-B 250

315 B-A 250

317 A-B 250

318 B-A 250

316 A-B 250

317 B-A 250

Nota: El procedimiento es más adecuado en el caso de terrenos planos o sensiblemente planos; si se desea medir una distancia inclinada, se tendrá que determi-nar la longitud del paso en estas condiciones.

Promedio 5 316.833 pasos

Distancia 5 250.000316.833

5 0.789 > 0.80 m/paso

Topografía y sus aplicaciones10

Cubierta de nylon

Alma de acero

Cubierta de PVC

Fibra de vidrio

0.20 m 0.20 m

Medidas de distancias con longímetros y ele-mentos auxiliares. Hay diversos tipos de longíme-tros y se mencionan algunos a continuación:

a) Cadena de agrimensor

b) Cintas de lienzo

c) Cintas de nylon

d) Cintas de dacrón reforzadas con fibras de plástico

e) Cintas de fibra de vidrio

f) Cintas de nylon con alma de acero

g) Cintas de acero cubiertas con polímero

h) Hilos de metal invar

a) Cadenas de agrimensor (figura 2-1). Que en la actualidad no se usan, son varios eslabones de hierro unidos unos a otros, que forman una cadena con empuñaduras en sus dos extre-mos. Cada eslabón está formado por un alam-bre grueso terminado en un anillo por sus dos extremos y se unen cada dos eslabones por otro anillo intermedio. La longitud de cada eslabón es de 20 centímetros, incluyendo las empuñaduras en los extremos de la cadena. En México se fabricaron cadenas de 10 y 20 metros, muy pesadas, razón por la cual ya no se usan.

b) Cintas de lienzo. Se fabrican con base en hilo tejido con refuerzo de hilos metálicos (cobre) o con fibra de vidrio, con un recubrimiento de plástico.

Figura 2-1.

Figura 2-2. Cinta de lienzo.

c) Cintas de nylon. Se fabrican en este material y vienen en cajas circulares o en crucetas, que son de metal o de plástico de alto impacto.

d) Cintas de dacrón reforzadas con fibras de plástico. Son parecidas a las anteriores y su carátula está graduada, tanto en unidades del sistema inglés como del sistema métrico deci-mal.

e) Cintas de fibra de vidrio. Tienen un alma de fibra de vidrio y una cubierta de polivinilo de cloruro (PVC), como se muestra en la figura 2-3.

f) Cintas de nylon con alma de acero. Están en una gran variedad de combinaciones; en las figuras 2-4 y 2-5 se presentan dos tipos.

g) Cintas de acero cubiertas con polímero. Construidas en acero con coeficiente de dila-tación 0.000011 ºC; deben ser resistentes a la oxidación y corrosión. Además, su graduación tiene que ser resistente a la abrasión, pues las marcas van desapareciendo al medir, al extraerlas de la cruceta y al enrollarlas (figura 2-6).

Figura 2-3.

Figura 2-4.

11Planimetría

1.5 mm

Cubierta de fosfato

Cubierta de nylonresistente a la

abrasión

Alma de acero

Fichas

h) Hilos de metal invar. Para medidas de ma-yor precisión (figura 2-8) se utilizan los hilos de ínvar, inventados por el doctor Carlos E. Guillaume en 1907, ganador del Premio Nobel en 1920. Es una aleación de hierro (Fe), ní-quel (Ni) y cobalto (Co), con una proporción de 63.6, 36 y 0.4%, respectivamente.

Figura 2-5.

Figura 2-6.

El níquel tiene un coeficiente de dilatación casi nulo (0.0000009 ºC).

Los hilos se construyen de sección cuadrada o circular, aproximadamente de 1.5 mm, terminados en los extremos por pequeños cilindros con una ra-nura para hacer pasar una plomada, y están unidos a manerales con dinamómetros de resorte (figura 2-7). Con una tensión determinada, la catenaria o curva que forma el hilo extendido equivale a la separa-ción entre las ranuras fijas, ya conocida, de 20, 30 m, etcétera.

Figura 2-7.

Figura 2-8.

Figura 2-10. Diversos tipos de longímetros con cruceta y una ficha de alambrón.

Figura 2-9. Cruceta.

Como las cintas b, c, d y e son muy frágiles, son para trabajos de menor precisión y para mediciones urbanas o de predios construidos, en tanto que las cintas f, g y h son más resistentes para trabajos de campo; además, tienen más precisión por la menor deformación ante los cambios de temperatura.


A a b

c

d

B

Para hacer las mediciones y los trazos con cinta es necesario contar con elementos auxiliares como plomadas, estacas o trompos, fichas, niveles tubu-lares de burbuja, balizas (jalones), etcétera (figuras

2-11 y 2-12).

Figura 2-11. Plomada.

Figura 2-12. Balizas desmontable y rígida.

Algunos problemas que suelen presentarse en mediciones y trazos topográficos se pueden solucio-nar por medio de cintas y elementos auxiliares. Los puntos que se indican en los problemas siguientes se pueden marcar con fichas, estacas, trompos, et-cétera.

Dada una línea AB, levante una perpendicular por el punto a (figura 2.13).

Solución: Marcar el punto c equidistante al punto a. Sobre la prolongación del lado bc, marcar el punto d a una distancia bc a partir del punto c. El punto d es la solución del problema.

Baje una perpendicular a la línea AB desde un punto d (figura 2-14).

Figura 2-13.

Figura 2-14.

Solución: Marcar el punto b sobre la línea AB y luego el punto c a la mitad de db. A partir de c se mide una distancia igual a cb y se marca el punto a sobre la línea AB. El punto a resuelve el problema.

Los problemas anteriores se pueden resolver por medio de los números pitagóricos 3, 4, 5 (figura 2-15).

Figura 2-15.

A B a b

c

d

A B a

12 m

0 m 3 m3

4 5

b

Detalle

13Planimetría

A B a b c

a´

b´

c´

A

B

C

D a b

d e

A B

a b

c

d e

Solución: Colocar la cinta en el punto a, se intro-duce una ficha a 3 m de distancia (punto b) y se marca otro punto c a 8 m. La operación debe hacerse hasta que coincida en el punto a la marca de 12 m de la cinta.

En un punto d trace una paralela a la recta AB (figura 2-16).

Solución: Marcar los puntos a y b sobre AB; luego marcar el punto c a la mitad del segmento db y sobre la línea ac marcar el punto e a partir del punto c, a una distancia a 5 ac. El punto e resuelve el problema.

El problema anterior también se puede resol-ver estableciendo un cuadrilátero que contenga dos puntos de la recta Ab al punto d, para que los puntos abd queden a la mitad de su lado correspon-diente (figura 2-17).

Figura 2-16.

Prolongación de un alineamiento cuando hay un obstáculo.

Solución: Llevar una línea ABa que libre el obs-táculo. Por los puntos a, b y c se levantan, de manera perpendicular, y se definen triángulos semejantes, para hallar las distancias bb’ y cc’ con las que se pueden marcar los puntos b’ y c’ que resuelven el problema (figura 2-18).

Figura 2-17.

Distancias conocidas: Aa, Ab, Ac y aa’; por tanto:

bb’ = aa’AbAa

5 cc’ 5 aa’AcAa

[ aa’ 5 K (constante)

bb’ 5 KAbcc’Abcc’ 5 KAcc

Levantamiento con cinta

Por radiación. El levantamiento se efectúa descom-poniendo el polígono en triángulos (figura 2-19).

Figura 2-18.

Figura 2-19.

Figura 2-20.


Y

X

X = Unidad X

Y Y Y Y Y0 1 2 3 4

X X X X

A 1

1

1

2

2 2

B

C

D

A

B

C

D E d1

d1

d1 d

1

d1

d2

d2

d2

d2

d2

d3

d3

d3

d3

d3

Radiaciones desde un vértice de polígono

Sólo es necesario medir los lados del contorno y las radiaciones del punto 0 a cada vértice del po-lígono.

Por lados de liga. Se miden las distancias del contorno y los ángulos se definen midiendo peque-ñas distancias a partir de cada vértice, como se indica en la figura 2-21. Convienen valores de 5 o 10 m para las distancias en los lados del contorno para facilitar el cálculo.

Por prolongación de alineamientos. Se define un polígono envolvente sobre el cual se miden las distancias entre los puntos que resultan de la pro-longación de los alineamientos del polígono (figura 2-22).

Figura 2-21.

Figura 2-22.

Se miden las distancias A1, A2, B 1, B 2, C 1, D 2, etcétera.

Por coordenadas. Primero se define un sistema de ejes coordenados “x” y “y”, desde cada vértice del polígono se llevan perpendiculares a los ejes de proyección; bastará medir cada x y y de los vértices que forman el polígono. Este método es bueno para medir un terreno sin obstáculos (figura 2-23).

Levantamiento de una curva. Dada una curva, se puede definir una línea que la corte en sus extre-mos y, a partir de uno de ellos, se levantan perpen-diculares cada unidad. El levantamiento se hace midiendo la x y la y correspondiente (figura 2-24).

Figura 2-23.

Figura 2-24. Criterio para la medición lineal en terreno horizontal y en terreno inclinado (x = unidad).

Terreno horizontal

Se requieren dos operadores para medir longitudes con la cadena de agrimensor, quienes definirán la alineación recta que se trata de medir; luego se su-jeta la cadena por cada extremo, y se coloca detrás el operador más experimentado, quien habrá de dirigir la medición.

Como equipo complementario de medición es necesario un juego de fichas o agujas (11 tantos) y dos balizas.

Después el cadenero de atrás sustituirá la ba-liza origen por una ficha y colocará el cero de la cinta, mientras el otro operador que tiene las 10 fichas restantes mantiene la cinta bien tensa a ras del suelo sin tocarlo, y colocará en la alineación, tangente a una nueva ficha bien vertical en la

15Planimetría

Señalamiento

Pintura Estaca Trompo

Plano del horizonteT1

T2

T3

D

lectura previamente establecida; por ejemplo, 10 m, 20 m, etcétera. Luego el primer operador, enfi-lando la visual por las dos fichas, dirigirá la alinea-ción hasta verlas con las balizas.

Después que dejó clavada la ficha delantera, el primer operador arrancará la que sirvió de origen y los dos avanzarán hasta alcanzar la ficha clavada, que utilizará como referencia para la nueva alinea-ción de la cinta.

Así continuará clavando fichas el operador de-lantero, y el operador de atrás irá recogiendo las fichas, hasta que tenga 10 en su mano y una clava-da, que servirá de origen a la medición siguiente. En ese momento entregará las 10 fichas al opera-dor delantero, al mismo tiempo que anotará haber medido un hectómetro si la medida fue de 10 m, o el doble si fue de 20 metros.

En el primer caso, la medición total será tantos hectómetros como el número de veces que haya hecho el cambio de fichas; más tantos decámetros como fichas tenga en la mano el operador de atrás o decímetros, centímetros y milímetros que se ob-servan sobre la cinta.

Es muy importante mantener la alineación co-rrecta y la tensión constante y apropiada.

En la actualidad, básicamente el procedimien-to es el mismo que el empleado con la cadena, so-lamente que, en vez de usarse ésta, se utiliza una cinta de acero o lienzo. En las longitudes de medi-da de precisión conviene clavar estacas a distancias de 20 a 30 m, según lo permita el terreno, y una vez colocados se procede a efectuar la medida de las longitudes parciales. La medida total será la suma de las longitudes parciales.

Terreno inclinado

En el caso de que el terreno esté inclinado, convie-ne clavar estacas o fichas a lo largo de la línea por medir, de manera que permitan poner horizontal la cinta, y que el desnivel permita tomar con seguri-dad la cinta y la plomada en el extremo donde se tiene que elevar la cinta para conseguir la horizon-talidad. Poner el cero en la estaca o ficha de mayor nivel, si el terreno va descendiendo, y en el otro ex-tremo se realiza la lectura extrema de la cinta, sus-pendiendo una plomada sobre el punto preciso de la

estaca que limita la medida. Para mayor precisión, se puede colocar la cinta horizontal por medio de un nivel de mano (figuras 2-25 y 2-26).

Figura 2-25. Proyección horizontal de lados y medidas de tramos.

Si se presentan algunos errores al medir distan-cias, pueden compensarse si se hacen con una cinta corregida o comparada con un metro patrón, si se buscan métodos de levantamiento y registros para hacer comprobaciones en el campo, si se toman en cuenta los factores de temperatura, alineamiento, tensión, catenaria y otros; el error se reducirá, y aumentará la precisión.

El error por catenaria se presenta por efecto del peso de la cinta, que impide extenderla en toda su longitud y en forma horizontal (cuando no está apoyada directamente sobre el terreno). Entonces, describe una curva parecida a la parábola que re-cibe el nombre de catenaria.

Figura 2-26. Tramo medido entre un vértice de poligonal y un punto alineado.


Ficha

Baliza

Donde: T = Tensión aplicada en ambos extremos, controlada mediante balizas y dinamómetros o mediante poleas y pesas A, B = Extremos de la cinta X = Longitud nominal de la cinta, esté o no comparada W = Peso unitario de la cinta en kg/m h = Flecha de la catenaria

Figura 2-27. Alineación de puntos.

En un desarrollo basado en las características de la parábola, y considerando un momento res-pecto al punto B, se tiene que:

5 Th 2 WX2

X41 2 WX 2

8Th 2 5 0

h 5 WX 2

8TEl valor de h se sustituye en la serie de la pa-

rábola desarrollada, despreciando por su pequeñez los términos del tercero en adelante. Entonces, el desarrollo queda:

X 1 11 28h2

3X 21 ...

Como el error por catenaria es de signo nega-tivo, la corrección se aplicaría con signo contrario, así:

Corrección 5 2c 5 desarrollo de la catenaria 2X, finalmente:

c 5 X 2 X1 1 83X 2

(WX 2)2

8T( )( )5 8X 2X 2

(3)(8 2)T 2(X 2)5

W 2X 3

24T 2

Se evita el error por horizontalidad del longí-metro, usando un nivel de burbuja. Si se trata de terreno plano se debe cuidar de que los extremos estén a la misma distancia del piso. Cuando el te-rreno está inclinado, se procurará que la separa-ción de la cinta y el terreno sea semejante al des-nivel entre ambos puntos, haciendo tantos escalo-nes como sea necesario. Este error se presenta con signo negativo, pero con la práctica será mínimo o nulo.

Figura 2-29.

Otro error es cuando parte de la cinta se apoya o se “atora” en alguna rama o piedra. Este error es negativo, pero basta dar una sacudida vertical a la cinta o levantarla más hasta que quede libre de obstáculos (figura 2-29).

Cuando no se alinean correctamente los puntos de los tramos por medir, en una distancia mayor que la longitud de la cinta, puede ocasionar graves errores también de signo negativo. Esto significa

A B

x

x /2

h

x /4Figura 2-28.

17Planimetría

A

B

C

A

A

B

B

C

C

L

L

d

a)

b)

que el alineamiento se hace con poco cuidado, o que se alineó a ojo con ayuda de las balizas, en lugar de utilizar un teodolito.

Si se cuenta con una cinta comparada en caso de requerirse mayor precisión, se deben hacer co-rrecciones por tensión y por temperatura a las me-diciones realizadas, respecto a las utilizadas por la comparación, que están anotadas en el certificado que extiende la Dirección General de Normas de la Secretaría de Industria y Comercio. O también con la tensión y temperatura observadas al contrastar la cinta a su vez con otra ya comparada.

La forma de aplicar esta corrección es: CT 5 K(T 2 To)L, en donde: CT 5 Corrección por temperatura K 5 Coeficiente de dilatación del material con

que esté hecha la cinta T 5 Temperatura de la cinta al momento de ha-

cer la medición To 5 Temperatura de la cinta al hacer la compa-

ración L 5 Longitud medida (puede ser o no la longi-

tud nominal de la cinta)De igual manera:

ct 5 (t 2 to)

E(s) en la que:

ct 5 Corrección por tensión t 5 Tensión en kilogramos sobre la cinta en el

momento de hacer la medición to 5 Tensión en kilogramos aplicada a la cinta

al hacer la comparación con el modelo pa-trón

Figura 2-30a

E 5 Módulo de elasticidad del material de la cinta (el acero tiene un módulo de elastici-dad de 18 a 20 000 kg por mm2)

s = Área de la sección de la cinta, midiendo me-diante micrómetro el ancho y el espesor.

Figura 2-30b.

Debe considerarse el desnivel entre los extre-mos de la cinta. Si se determina el desnivel entre los dos puntos de apoyo, se hará corrección por inclinación. Asimismo, se hará la reducción al ho-rizonte cuando se conozca el ángulo de inclinación (figura 2-30).

BC 2 1 AC 2 5 AB 2

BC 5 d

d 2 1 AC 2 5 AB 2

AC 2 5 AB 2 2 d 2

AC 5 AB 2 2 d 2

Corrección c 5 AC 2 ABc 5 2AB 1 AB 2 2 d 2

En otra forma:Si la corrección c = AC 2 AB, multiplicando y

dividiendo entre (AC + AB) se tiene:

c =

(AC 2 AB)(AC 1 AB )(AC 1 AB)

=(AC 2 2 AB2)(AC 1 AB)

como d 2 = (AC 2 2 AB 2) según el triángulo rectán-gulo ABC, queda entonces:

c =d 2

(AC 1 AB)

considerando que AC 1 AB es aproximadamente el doble del tramo medido, es decir, AC 1 AB = 2L; por último, queda la corrección:

c =d 2

2L


Profundidad Ánguloparaláctico

Ojo derecho

1

2

Ojo izquierdo

Indicador de la distancia

Bastón extensible

Metros

Decímetros

Botón para puestaen ceros

Esta corrección no se hace cuando no es nece-sario hacer la reducción.

Para medir con cinta, hay que evitar las equi-vocaciones; para ello se mide varias veces la dis-tancia en ambas direcciones y se apoya en distintos puntos intermedios.

Más adelante se explicarán más ampliamente los errores sistemáticos por defectos de la cinta, que disminuyen si se tienen en cuenta con mucho cuidado las verificaciones y correcciones ya expli-cadas. Pero los errores accidentales suelen presen-tarse como sigue:

• No colocar de manera vertical una ficha al mar-car los pequeños tramos por medir o al moverla lateralmente con la cinta.

• Que el “cero” de la cinta no coincida con el punto donde se inicia una medición.

• Variaciones de tensión, pues si la medición se hace con dinamómetro se presentan pequeñas variaciones a pesar de que se dé la misma tensión.

• Lectura extrema de la cinta, en toda su lon-gitud (nominal) o un tramo de ella, puede no estar sobre el punto a medir, o que las frac-ciones que se interpretan no coincidan con el lugar exacto del punto.

Figura 2-31. Odómetro y detalle de lectura.

Mediciones con odómetros o ruedas perambula-doras. Estos aparatos se utilizan para mediciones simples en banquetas, paredes, pisos, etc. Aunque también se llegan a usar en levantamientos topo-gráficos expeditos, no tienen gran precisión.

El odómetro es una rueda cuyo diámetro está bien definido y posee un contador de vueltas que indica en forma digital las medidas realizadas (fi-gura 2-31).

En la construcción se emplea para cuantifica-ción de instalaciones, trazo de líneas, etcétera.

Mediciones con telémetro. Este instrumento resulta muy útil en terrenos muy accidentados y de difícil acceso, pues no requieren equipos auxiliares como balizas o estadales, a menos que el telémetro posea un limbo horizontal para medidas angulares y pueda ser colocado sobre un trípode. En este caso será necesario precisar las visuales hacia pun-tos de poligonal o radiados.

El fundamento de este tipo de aparatos es que se presenta a nuestros ojos para distinguir la ter-cera dimensión o profundidad, es decir, la visión estereoscópica, cuando con ambos ojos dirigimos la mirada a un punto en que la imagen de uno y otro ojo se sobreponen fundiéndose en una sola (figura 2-32).

Figura 2-32. Visión estereoscópica.

1�Planimetría

Telémetro láser

TelescopioLentes del ocular

Prismas

Filtro amarillo

Filtro azulEscala

Lentes del objetivo

Figura 2-33. Principios del telémetro óptico.

Este aparato posee una caja, circular o cua-drangular, de unos 60 cm. Unos al centro, y otros en uno de los extremos, posee un telescopio con una escala graduada que, según el recorrido hori-zontal se funden las imágenes para proporcionar las distancias en relación con la base del aparato definida al momento de hacer la medición por la distancia entre los dos prismas pentagonales extre-mos y el ángulo paraláctico (figura 2-33).

• Rango de mediciones del telémetro: De 7.5 a 1 000 m• Longitud de la base: 0.5 m• Longitud total: 0.6 m• Precisión: Hasta 300 m 6 1% De 300 a 500 6 2% De 500 a 1 000 6 5%• Amplificación del telescopio: De 2X a 4X• Ángulo de cobertura: Hasta de 6º30'

Determinación de distancias por medio del distanciómetro electrónico (DE)

Estos instrumentos han tenido gran desarrollo a partir de la Segunda Guerra Mundial por las apli-caciones del RADAR, cuyo principio es el chillido que emiten los murciélagos. Según la intensidad del eco se determinan la dirección y la distancia al objeto que refleja el sonido.

Este principio ha permitido diseñar aparatos de medición de distancias largas, que habían sido siempre muy engorrosas por otros medios.

Los actuales distanciómetros electrónicos, que funcionan con ondas luminosas y electromagnéti-cas, nos remiten a los primeros experimentos para determinar la naturaleza de la luz. En 1666, el fí-sico inglés Isaac Newton (1642-1727) consiguió es-tablecer la descomposición de la luz en sus colores primarios y enunció los postulados de su naturale-za corpuscular.

Más adelante, el físico y geómetra holandés Cristian Huygens (1629-1695) diseñó y construyó el muelle espiral de los relojes e hizo estudios sobre la refracción de la luz y propuso la teoría de que la luz tenía una naturaleza ondulatoria.


Espejo reflector

720 dientes

25 revoluciones/min

Fuente luminosa

Lentes8633 m Lente 2 Lente 1

Observador

Espejo semitransparente

0

1 2

W

Figura 2-34.

Uno de los más notables intentos fue del ma-temático, físico y astrónomo Galileo (1564-1642), quien con métodos rudimentarios intentó medir la velocidad de la luz sin conseguirlo, pero sus traba-jos constituyeron un precedente notable como todo lo que realizó.

Luego el astrónomo danés Olaf Roemer (1644-1710), en 1676 determinó la velocidad de la luz mediante estudios realizados en los eclipses de Júpiter, y encontró un valor de 299 000 km/s.

El astrónomo inglés James Bradley (1693-1762), quien descubrió la aberración de la luz, de-terminó un valor más aproximado de la velocidad de la luz en 1728. Sin embargo, fue en 1849 cuando el físico francés Armand Hippolyte Louis Fizeau (1819-1896) determinó un valor más aproximado de la luz mediante una rueda giratoria dentada, un espejo semitransparente, un reflector y una fuen-te luminosa. Con esos elementos pudo determinar una velocidad de 313 000 km/s después de un gran número de observaciones (figura 2-34).

El físico francés León Foucault (1819-1868) de-mostró el movimiento de rotación de la Tierra me-diante péndulos y, en forma experimental, calculó un valor de 300 000 km/s para la velocidad de la luz.

Sin embargo, los métodos de Fizeau y Foucault fueron mejorados por el físico estadounidense

Albert A. Michelson (1852-1931), quien recibió el Premio Nobel en 1902. En 1926, en sus experimen-tos modificó la trayectoria de la luz y obtuvo un valor de 299 796 km/s para la velocidad de la luz. Luego, midiendo la velocidad de la luz en el vacío, intentó dar un valor más preciso; pero sus expe-rimentos los concluyeron, tres años después de su muerte, sus colaboradores Pease y Pearson. Ellos después de 2 885 medidas diferentes encontraron un valor promedio para la velocidad de la luz de 299 744 km/s, que entonces era el valor más preciso.

Otro estudio fue realizado por el también físico estadounidense Raymond T. Birge (1887), quien concluyó que el valor más probable era 299 790 km/segundo.

La Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG) estableció un patrón en el vacío para la luz visible y las microondas de radio, una velocidad de 299 792.4 6 0.4 km/s, pero se sabe que en el espacio la velocidad adquiere otros valores.

A continuación se dan los antecedentes de las ondas electromagnéticas que tienen la misma velo-cidad de la luz en el vacío y que también se utilizan para hacer mediciones de distancias.

James Clerk Maxwell (1831-1879), físico es-cocés, descubrió que la velocidad de las ondas electromagnéticas es la misma que la velocidad de

21Planimetría

Fuente luminosa

Luz no polarizada

Condensador Polarizador

Luz polarizadacon un ángulo Célula de

Kerr

Polarizador con unángulo de polarizaciónde 90° +

90° +

la luz, puesto que la misma luz es una radiación electromagnética.

Gustavo Hertz (1877-1975), físico alemán, rea-lizó los experimentos para detectar las ondas elec-tromagnéticas y demostró que se reflejaban en los objetos sólidos de la misma manera que los rayos luminosos. Hertz recibió el Premio Nobel en 1925.

Guillermo Marconi (1874-1937), físico italiano, Premio Nobel de 1909, descubrió que las ondas cortas eran útiles para la comunicación.

En 1935, el físico escocés Robert Alexander Watson’Watt (1862) logró realizar las primeras medi-ciones de distancias con microondas, pues logró seguir un avión aprovechando las reflexiones de las micro-ondas que éste le enviaba en lo que posteriormen-te se convirtió en el RADAR (Radio Detection and Ranging). En 1948 surgió un distanciamiento elec-trónico de fuente luminosa, denominada Geodímetro (Geodetic Distance Meter), creado por el geodesta sueco Erick Bergstrand. Con los experimentos de Fizeau y conociendo la velocidad de la luz, sustitu-yó la rueda dentada y el espejo semitransparente por dispositivos ópticos, eléctricos y electrónicos, para de-terminar distancias (figura 2-37), basándose en expre-siones como:

Distancia 5 T (señal recibida) 2 T (señal emitida)2

5 Velocidad de la luz

D 5 TL VL2

, en donde:

D 5 Distancia TL 5 Tiempo empleado por las ondas luminosas en su recorrido de ida y regreso

VL = Velocidad de las ondas luminosas en el vacío 299 792.4 6 0.4 km/s

Así, en la pantalla correspondiente, se leía la lectura de la distancia, a la cual se aplican las co-rrecciones por temperatura y presión y se reduce al horizonte por medio del ángulo vertical lo que contribuía a medir largas distancias con una preci-sión muy aceptable.

Para los primeros geodímetros se utilizaba una radiación monocromática visible, como onda porta-dora. Eran instrumentos electroópticos que usaban una lámpara de tungsteno o de vapor de mercu-rio, cuyo haz luminoso se regulaba por medio de una célula de Kerr y se transmitía mediante un sistema coaxial hasta un prisma reflector, que al recibir los rayos reflejados y transformados en im-pulsos eléctricos se podía determinar por diferen-cias de fases la distancia entre el punto de estación y el prisma reflector. Con un sistema especialmen-te adaptado para el efecto, alcanzaba precisiones de 5 mm 6 1 mm por kilómetro y un error medio cuadrático de 20 mm en 5 km, como el geodímetro AGA 6B. De esa manera, era posible medir distan-cias de 5 km durante el día y 15 km por la noche, sin niebla, vapor de agua o partículas sólidas que impidieran la propagación de los rayos luminosos.

En la actualidad, este sistema se ha superado gracias al uso del rayo láser, con el que se puede medir, de día o de noche, distancias hasta de 60 km en una forma totalmente automatizada. Por ejemplo, los geodímetros AGA 8 y AGA 700, que son los más avanzados, se ilustran mediante foto-grafías y figuras en páginas posteriores.

Figura 2-35. Principio del geodímetro.


Para continuar en el aspecto histórico de los distanciómetros electrónicos (DE), en 1957 el in-glés T.L. Wadley utilizó ondas electromagnéticas en lugar de ondas luminosas. Estas ondas de radio eran emitidas por una estación maestra y las reci-bía y reflejaba una estación remota, ubicada en los extremos de la línea que unía ambos puntos con la característica de poderse intercambiar la maestra en remota, y viceversa, con sólo operar una tecla. Dicha onda de radio, de frecuencia y amplitud mo-dulada, hacía diferencias importantes respecto al geodímetro. Por eso Wadley bautizó este aparato como telurómetro, del latín telluris, tierra y del grie-go metron, medida, para diferenciarlo del anterior.

El telurómetro requiere intervisibilidad entre las estaciones remota y maestra, y salvo en caso de lluvia, las mediciones pueden hacerse tanto de día como de noche sin alteraciones por niebla, va-por de agua, polvo, etc. Debido a que se trata de distancias grandes, es necesario reducirlas al ho-rizonte y, dado el caso, considerar el elipsoide de revolución que describe la Tierra.

Las diferencias importantes del telurómetro son las de poseer intercomunicación, circuitos electrónicos muy compactos que lo hacen ligero, y sus accesorios son tan livianos y manejables como un teodolito.

Se han construido distintos tipos de teluró-metros a partir del Tellurometer MRA 1, MRA2, MRA5 y el CA 1000. También están Wild DI 50 y DI 60, utilizados en topografía de precisión, en el apoyo terrestre para fotogrametría y en geodesia, pues la precisión que arrojan es de 3 millonésimas de la distancia medida más un error adicional del aparato de ±12.5 mm, aunque influyen las condi-ciones meteorológicas.

Otros aparatos, como los de la empresa Hewlett Packard y los Auto Ranger de la compañía Keuffel and Esser, poseen en el aparato una sección emi-sora y una receptora en el mismo distanciómetro electrónico y un prisma reflector (figura 2-36).

La expresión de la distancia es similar a la del geodímetro:

D = TR VR2

en donde:

D = Distancia TR = Tiempo empleado por las ondas de radio en su recorrido de ida y vuelta

Figura 2-36.

VR = Velocidad de propagación de las ondas de radio en el vacío (299 792.4 6 0.4 km/s)

Tanto el geodímetro como el telurómetro son aparatos para medir distancias entre 100 m y 100 km con precisión, ya sea para trabajos de topogra-fía o geodesia. Aunque en el pasado eran aparatos pesados y de manejo complicado, resultaron un gran avance en las mediciones de distancias.

A finales de la década de los sesenta surgieron los DE de fuentes, tanto luminosa como electro-magnética, con grandes avances en sus característi-cas electroópticas, de manejo sencillo, bajo peso y tamaño, así como elevada precisión. Han evolucio-nado en forma vertiginosa, que algunos de los que aquí aparecen quizá pronto estén descontinuados.

El principio de estos instrumentos consiste en determinar el tiempo que tarda una onda lumi-nosa o electromagnética en hacer el recorrido de ida y vuelta. Estos aparatos emplean la técnica de medición de diferencia de fase y utilizan como onda portadora la radiación infrarroja, que se lo-gra por medio de un emisor de arseniuro de galio o por rayo láser (light amplification by stimulated emission of radiation [amplificación de la luz me-diante emisión estimulada por radiaciones]), ya sea de rubí o de gas helio-neón. Así, el rayo emitido llega a un prisma reflector y regresa, de modo que en función del tiempo de recorrido proporciona la distancia inclinada, la que será necesario corregir por temperatura y presión, así como reducirla al horizonte.

Secciónemisora

Prisma

Secciónreceptora

23Planimetría

Figura 2-37. Distanciómetro Mini-Red-II Sokkia, montado sobre teodolito, mide hasta 800 m con rayo infrarrojo y prisma reflector.

La onda luminosa de rayo infrarrojo tiene me-nos alcance que la producida por el láser, mientras que los DE con base en rayo infrarrojo pueden me-dir distancias desde 800 hasta 7 000 m. Con el láser es posible medir desde 12 hasta 60 km. Veamos lo siguiente.

Ranger IV, distanciómetro electrónico de la casa Keuffel and Esser que utiliza el rayo láser de helio-neón modulado en frecuencias múltiples para realizar una medida de fase entre el haz emitido y el reflejado por el prisma, puede medir desde 1 m hasta 12 km. Otros instrumentos de esta casa tie-nen las siguientes características:

Autorranger, de 1 m a 2 kmMicrorranger II, de 1 m a 3 kmRanger IV, de 1 m a 12 kmRanger V, de 1 m a 25 kmRanger Master, hasta 60 kmLos distanciómetros electrónicos (DE) con

rayos infrarrojos se pueden observar en las figuras 2-38 y 2-39.

Figura 2-38. Distanciómetro electrónico sobre teodolito (Leica) equi-valente a una estación total primitiva.

Los prismas reflectores son el factor más im-portante en la precisión y alcance de los distan-ciómetros eléctricos, y se consideran, básicamente, los aspectos de potencia en la emisión, el tamaño y número de prismas y las condiciones atmosféricas.

Son prismas de tipo recto que reflejan los rayos en la misma dirección en que llegan. Sus carac-terísticas de precisión (figura 2-39) se deben a los lados del cristal, cuyas caras deben ser perfecta-mente paralelas, así como por la perpendicularidad precisa de las caras. El tamaño y número de los prismas definen tanto la precisión como las distan-cias máximas, según la potencia de emisión de la fuente de radiación utilizada. La distancia máxima ideal no se alcanza debido a los distintos factores atmosféricos: refracción, absorción y dispersión, partículas de polvo, humos, vapor de agua, lluvia, etcétera.

Figura 2-39. Distanciómetro Sokkia ED2L de luz infrarroja mide hasta 7 000 m en condiciones óptimas.

Figura 2-40. Prisma sencillo abatible.

Las variaciones en la presión atmosférica y la temperatura son elementos importantes en las co-rrecciones por refracción y al introducir las cons-tantes de los aparatos.

La radiación que produce el suelo en longitudes de onda de luz visible, tanto como el infrarrojo,


Graficador

DiscoImpresora

Computadora

CRT monitor

RS-232interfase

Libreta de campo electrónica Nikon DR-1

Teodolito estacióntotal DTM-1 Nikon

Cartucho de datos

causa lecturas diferentes en una misma medición. Esto sucede cuando el distanciómetro electróni-co apunta en dirección del Sol o en una dirección próxima. El efecto puede disminuir o eliminarse fácilmente cuanto se mide en dirección contraria, o haciendo mediciones mientras el Sol cambia su posición para después rectificar la medida.

En los distanciómetros electrónicos de fuente electromagnética, en ocasiones la onda sufre des-viaciones o reflexiones accidentales por: obstácu-los, zonas arboladas, etc. Se puede apreciar que las fuentes del error son múltiples; por tanto, será necesario en cada trabajo hacer las consideracio-nes pertinentes según las características propias de cada aparato.

Figura 2-41. Estación total Sokkia C-4.

El tiempo es muy importante para los trabajos de topografía si se dispone de este tipo de instru-mentos, porque al acelerar los trabajos de campo se abaten los costos, sobre todo los DE de fuente lu-minosa que nos proporcionan: distancia inclinada alimentando el ángulo vertical (algunos aparatos lo hacen en forma automática), la temperatura y pre-sión atmosférica directas o con los valores corres-pondientes de las tabulaciones que los fabricantes proporcionan, así como las respectivas constantes de aparatos. Se puede obtener también la distan-cia reducida al horizonte y corregida por factores meteorológicos, así como el desnivel entre las dos estaciones, para anotarlas en una libreta de campo tradicional, en una libreta de campo electrónica (figura 2-42) o en cinta magnética, para que pasen a una computadora y sean procesados según un itinerario previo (figura 2-43).

Figura 2-42. Libreta electrónica de campo para pasar luego a la computadora los datos de campo en forma directa.

Figura 2-43. Modernos sistemas de procedimiento y representación de terrenos.

Hay varios aparatos para hacer mediciones o levantamientos topográficos, como los taquímetros autorreductores, las planchetas, métodos estadimé-tricos, etc., los que se verán con detalle en el tema 4. Todos ellos sirven para determinar distancias horizontales, o sea planimétricas, tema que se está tratando aquí.

25Planimetría

Exterior

Interior izquierdo Deflexión izquierda

Interior derecho

A

B

C

A´

B´

C´ PH

0° 0´

Desde hace mucho tiempo existen varios ti-pos de goniómetros, pero aquí expondremos sólo la brújula y el teodolito. Las mediciones anulares se pueden realizar con el sentido del giro, a la iz-quierda o a la derecha; es decir, en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario. El valor angular interno o externo en las poligonales puede medirse desde un vértice, por vuelta de horizonte, cuantos ángulos sea necesario. También se puede medir el ángulo de deflexión que resulta de la pro-longación de un lado con el que le sigue, ya sea el anterior o el posterior (figura 2-46).

2.3 Determinación de ángulosEs un elemento geométrico muy importante en la realización de levantamientos topográficos. La pro-yección de dos lados consecutivos sobre el plano del horizonte describe una abertura que define un sector de un círculo. Si coincide el centro del círculo con el vértice, dicho sector o arco se puede medir en forma similar al uso de un transportador en geometría (fi-gura 2-44), mediante un goniómetro (del griego gónia, ángulo y metrón, medida), con las mismas condicio-nes del transportador sobre la hoja de papel, sólo que en el terreno y proyectando sobre el sistema de referencia que da el plano horizontal (figura 2-45).

Figura 2-44. Dibujo de un ángulo con transportador.

Figura 2-45.

1

2

3

4

5

0

Figura 2-46. Levantamiento polar de vuelta de horizonte.

A los ángulos se les pueden asignar valores sexagesimales, centesimales o radianes.

Con los goniómetros se pueden medir ángulos sexagesimales o centesimales, según el caso, para lo cual tienen dispositivos adecuados. Los radianes se utilizan en el cálculo, en especial cuando se dispo-ne de computadoras para las funciones trigonomé-tricas de los ángulos.

En América y sobre todo en México, los gonió-metros están graduados en grados sexagesimales, en tanto que en Europa la gran mayoría de los instru-mentos topográficos modernos tienen graduación centesimal, que representa muchas ventajas.

En el sistema sexagesimal se hace una divi-sión del círculo en 360 partes iguales, denominadas grados (o). A su vez, un grado se subdivide en 60 partes iguales, denominadas minutos(’), y un mi-nuto dividido entre 60 da los segundos (”). Así, el valor angular de un arco de 10 grados, 10 minutos


0°

90°

180°

270°

360°

N = 10 / 9 N°N° = 9 /10 N

g

g

0

100

200

300

400

g

g

g

g

g

y 10 segundos, se escribiría en la siguiente forma: 10º10’10”.

Ante la posibilidad de encontrar un goniómetro de graduación centesimal, en este caso el círculo se subdivide en 400 partes iguales. Así, una lectura de diez grados, diez minutos y diez segundos, se es-cribiría 10g10c10cc, aunque los goniómetros se pre-sentan con lecturas digitales en grados y decimales de grado. Y esto constituye una gran ventaja para fines de cálculo, por ejemplo, 105.8224g.

El círculo sexagesimal se subdivide en cuatro cuadrantes de 90º cada uno, en tanto que para el círculo centesimal, cada cuadrante equivale a 100g. Por ello, las conversiones, de ser necesarias, se ha-rían en la siguiente forma (figura 2-47):

Nº 5 9/10 (75.1633g) 5 67.64697º. Si se desea conocer el valor en grados, minutos y segundos de arco sexagesimal se procede así:

0.64697 3 60’ 5 38.8182’0.8182 3 60” 5 40.09”, por lo que 75.1633g 5

67º38’40.09”Los radianes. Esta medida del arco de círculo

debería estar en el tema correspondiente a valores que se determinan por medio del cálculo; sin em-bargo, debido a la secuencia relativa a las conver-siones, mencionaremos que un radián se define por la relación existente entre un arco de círculo y su correspondiente radio; α = A/R, en donde A es el arco y R el radio expresados en unidades de medi-da longitudinal, por lo que α es un número. Así, en geometría se cumple que:

π/180º 5 α/Nº y como α 5 A/R, entoncesNº 5 180º 3 (α/π) para ángulos sexagesimales

y con un razonamiento análogo:Ng 5 200 3 (α/π) para ángulos centesimales.

Métodos para la medición de ángulos

En topografía el uso de cualquier goniómetro o ins-trumento para medir ángulos, como el teodolito, tiene como fundamento lo siguiente.

Ante todo veremos cómo se mide un ángulo mediante el uso de un transportador, del arco de círculo descrito por dos líneas rectas: primero se apoya el transportador en el plano, de manera que describan tres planos paralelos, que finalmente los consideramos como uno en su proyección.

Luego se pone el centro del círculo en coinci-dencia con el vértice definido por las dos rectas; el cero de la graduación del círculo en coincidencia con una de las líneas y la intersección de la otra línea con el círculo descrito por el transportador, dará el valor correspondiente al ángulo deseado (fi-gura 2-48).

En los trabajos topográficos las mediciones se realizan sobre el terreno, pero tienen la misma con-cepción geométrica, como aparece en la figura 2-48.

El eje de giro 1 debe ser perpendicular al plano del horizonte y pasar precisamente por el vértice del ángulo por medir; por tanto, el círculo graduado deberá estar en un plano perpendicular a dicho eje, es decir, paralelo al plano del horizonte. El eje 2 es perpendicular al eje 1, así como a la línea de

Figura 2-47. Sistemas sexagesimal y centesimal.

En muchos textos se incluyen tablas de con-versión; sin embargo, es sencillo realizar cualquier conversión debida a textos editados en España o en Europa en general, o por proyectos de ingeniería elaborados por ingenieros europeos. A continua-ción se dan algunos ejemplos de conversiones.

Convertir 10º 30’ 36” a grados centesimales.Paso 1. Convertir el ángulo a grados y decima-

les de grado:36”/60” 5 0.6; 30’ + 0.6 5 30.6’; 30.6/60’ 5

0.51; por tanto, 10º 30’ 36” 5 10.51ºPaso 2. Usemos la fórmula correspondiente:Ng 5 10/9 (10.51º) 5 11.6778 que es el valor

centesimal correspondiente.El ejemplo contrario. Si tenemos un ángulo

centesimal de 75.1633g (17g 6c 33cc), aplicaremos la otra fórmula:

27Planimetría

0°

0°

Izquierda

Derecha

puntería, línea de colimación o línea de la visual (colimación es el fenómeno físico que consiste en dirigir la vista en una dirección y a un punto deter-minado). Todo lo anterior tiene por objeto reunir las condiciones geométricas necesarias para reali-zar la medición del ángulo BAC, como se hace con el transportador.

0°

Eje óptico

Eje 1Eje 2

Línea de la visual

A B

C

A´ B´

C´

La mayoría de los instrumentos topográficos tienen dispositivos ópticos y mecánicos que per-miten hacer las mediciones con la garantía de que reúnen todas las condiciones geométricas. Al des-cribir más adelante la brújula y el teodolito, se verá con mayor precisión y claridad lo antes dicho. Primero se mencionarán los métodos que se utili-zan en las mediciones angulares:

Método simple. Este método consiste en colo-car como origen de medición cero grados sobre la línea que une al vértice con cualquier punto de re-ferencia. A partir de allí se puede medir el ángulo interno, externo o de deflexión en sentido positivo (sentido de las manecillas del reloj) o en sentido negativo (contrario a las manecillas del reloj), has-ta el siguiente punto de referencia que defina el ángulo. Luego se lee en el círculo graduado el valor correspondiente al arco descrito entre las dos líneas (figuras 2-49 y 2-50).

Método de reiteración. En este caso el origen se toma de manera arbitraria en una lectura cualquie-ra definida de antemano, para ratificar los valores encontrados, compararlos y promediarlos para lo-grar mejores valores.

Figura 2-48 Proyección al plano horizonte y condición geométrica para la medida de ángulos.

El procedimiento consiste en fijar primero el nú-mero de reiteraciones que desean hacerse, luego se divide la circunferencia (360o) entre las reiteraciones y el cociente dará la diferencia de origen que deberá tener cada ángulo; este procedimiento es para mini-mizar errores de excentricidad y de graduación.

EJEMPLO

Es necesario hacer reiteraciones; por tanto, se di-vide 360/4 5 90. En consecuencia, los orígenes se-rán: 0º, 90º, 180º y 270º.

0°

0°

0°

0°

Exterior

Interior

Figura 2-49.

Figura 2-50.


Rumbo

Acimut

NO

O

SO

S

SE

E

NE

N

N

0°

0°

0°

90° 90°

360°

Orígenes Lectura finalÁngulo

correspondiente

0º00’ 26º02’ 26º02’

90º00’ 116º03’ 26º03’

180º00’ 206º03’ 26º04’

270º00’ 296º04’ 26º04’

Promedio 26º03’

Para eliminar errores de colimación se toman medidas colocando el telescopio en posición directa y luego en posición inversa.

Método de vuelta de horizonte. En general se utiliza en trabajos topográficos en los que desde un vértice se tienen que tomar lecturas o hacer visua-les n puntos. Así, se toma un lado como origen en cero grados y se gira hasta cada punto deseado; se hacen las lecturas correspondientes, se gira 360º y luego en sentido contrario para comprobar valores; la operación se repite cuantas veces sea necesario.

Método de direcciones. En este caso, el origen es arbitrario pero no previamente definido. A dife-rencia del método de reiteración y el valor angular, se resta a la lectura final la lectura inicial. Es un método muy seguro, sobre todo cuando se hace un buen número de series.

Lectura inicial Lectura finalÁngulo

correspondiente

130º42’10’’ 159º58’13’’ 29º16’03’’

293º16’15’’ 322º32’19’’ 29º16’04’’

389º35’06’’ 58º51’11’’ 29º16’05’’

Promedio 29º16’04’’

También se conoce como dirección al ángulo formado por la línea norte-sur o meridiana y una línea cualquiera que la intersecte. Cuando la me-dición se realiza considerando un círculo de 360º, que gira en sentido horario, es decir a la derecha o positivo, se denomina acimut, y cuando dicho círculo se divide en cuatro cuadrantes de 90º cada uno, hace que los ángulos descritos no sean mayores que 90º, se les denomina rumbos y se miden del nor-te al este, del norte al oeste, del sur al este y del sur al oeste (figura 2-51).

El origen de las lecturas en este método de direcciones debe iniciar en cero grados; pero esto no es estrictamente necesario, sobre todo cuando se usa un teodolito provisto de círculo de cristal y

Figura 2-51. Ángulos de dirección (Acimutes y Rumbos).

micrómetro óptico. Lo normal es hacer las lectu-ras iniciales que tengan el instrumento al momento de comenzar las observaciones; lo mejor es buscar que la lectura inicial tenga un valor pequeño, por comodidad de lecturas. Esta operación no requiere más tiempo que el necesario, porque, como en to-das las cosas, la rapidez es importante en tanto se logren todos los objetivos previstos.

Con un teodolito electrónico basta con oprimir un botón, que por impulso magnético coloca auto-máticamente el círculo en cero grados. Ya definida la línea de origen para la medición angular y luego de realizar el giro correspondiente, en una pantalla se puede leer el valor del ángulo en forma digital. Este método puede repetirse tantas veces como sea necesario, para tener mayor seguridad en la lectu-ra o para lograr un promedio de todos los valores observados.

Método de repetición. En este método se toma como origen cualquier línea en cero grados, se gira hasta el lado con el cual se define el ángulo por me-dir y se regresa a la línea de origen, pero no se co-loca en cero grados, sino en la lectura que se haya tenido al medir. Se repite varias veces esta opera-ción y, como los valores se han ido acumulando (en la segunda, el doble; en la tercera, el triple, etc.), el valor angular de la última observación se divide

2�Planimetría

No muy precisa, pero sí muy práctica, la brú-jula cumple perfectamente bien ciertos fines. Se obtienen resultados satisfactorios en menor tiempo en los trabajos realizados en áreas pequeñas, o le-vantamientos de terrenos mayores, cuya represen-tación gráfica se realiza a pequeña escala, y donde se requiere menor precisión de la que se podría obtener con un teodolito. Por ejemplo, si en un le-vantamiento topográfico con brújula se cometiera, por las mediciones angulares, un error de 3 m, si el plano tuviera una escala de 1:25 000 y no se hiciera ajuste alguno o compensación de los errores, 3 m representarían a esa escala 0.12 mm. Si la escala fuese 10 veces mayor, es decir 1:2500, el error re-presentaría 1.2 mm. Como se verá después, si los errores están dentro de la tolerancia prevista, se compensan antes del dibujo.

La principal pieza de la brújula es una aguja imantada que gira libremente alrededor de su cen-tro de gravedad y, dado que los polos magnéticos de la Tierra actúan como grandes imanes, dicha aguja tenderá siempre a estar alineada en esa di-rección, siguiendo las leyes del magnetismo para definir la línea norte-sur o meridiana magnética.

El componente de la brújula tipo Brunton es una caja de latón con un círculo graduado con una escala graduada de 0 a 360º, con la que puede me-dirse un acimut, o un círculo subdividido en cuatro cuadrantes de 90º cada uno, para definir directa-mente los rumbos.

entre el número de veces que se hizo la repetición y el resultado será el valor angular correspondien-te (se hacen tres o cuatro repeticiones, ya que la fricción del limbo puede arrastrar su graduación y perdería precisión).

Repetición Valor acumulado

1 37º 20’

2 74º 42’

3 112º 03’

112º03’/3 = 37º21’ valor promedio

Este método es muy confiable, ya que ofrece la ventaja de detectar errores, equivocaciones y errores acumulados por la apreciación de los valores.

En relación al acimut y el rumbo, pueden ser magnéticos o astronómicos según que la meridiana de referencia sea determinada por medios magnéti-cos (brújula) o por métodos astronómicos, como se verá en el siguiente apartado.

Rumbo magnético, fenómenos físicos que intervienen en su determinación y descripción de la brújula tipo Brunton

Hay muchos tipos de brújulas y gran cantidad de marcas en el mercado para las más diversas aplica-ciones; por su uso más frecuente, sólo describiremos la tipo Brunton y mencionaremos que hay brújulas denominadas de topógrafo y la de reflexión.

La brújula Brunton se llama también miniteo-dolito o teodolito de bolsillo. Es un dispositivo de orientación, que basado en el magnetismo terrestre determina la dirección de las líneas en relación con la meridiana magnética, así como el ángulo que forma con la meridiana. Primero se hará una des-cripción general de esta brújula, antes de entrar en detalles.

Desde la antigüedad, la brújula ha servido al hombre durante mucho tiempo; antes de la apa-rición del teodolito y de otros instrumentos to-pográficos ya se utilizaba para la realización de mediciones angulares y para la orientación en los levantamientos de los terrenos. Aunque su origen y uso fue la navegación, en la actualidad sigue sien-do un magnífico auxiliar en levantamientos y con sus trabajos complementarios se logra mayor pre-cisión, en estudios de arqueología, geología, fores-tales, etcétera. Figura 2-52.

1

14

9

12

5

7

6

13


1) Tapa de la brújula

2) Clisímetro o clinómetro. Índice que en ocasio-nes tiene un nonio

3) Nivel circular

4) Nivel tubular

5) Aguja magnética (punta orientada siempre al norte)

6) Pivote y eje de giro o eje acimutal

7) Pinula o mirilla

8) Círculo graduado

9) Tornillo para ajuste de la brújula y para co-rrección de la declinación magnética

10) Semicírculo graduado para medir ángulos de inclinación respecto a la horizontal definida por el nivel tabular

11) Bastón que sujeta la aguja magnética al ce-rrar la tapa de la caja y que nos sirve también para disminuir su movimiento cuando oscila demasiado

12) Caja de la brújula

13) Contrapeso en la parte de la aguja magnética que apunta al sur a fin de que la aguja perma-nezca horizontal una vez nivelada la caja de la brújula mediante el nivel circular

14) Línea que divide el círculo descrito por el es-pejo reflector de la tapa de la caja y el orificio por medio del cual se puede visar hacia abajo

Al centro del fondo de la caja, precisamente con el centro del círculo graduado, está un pivote alrededor del cual gira la aguja magnética, que por lo general es de acero duro, con punta muy aguda y está fija sobre un ágata o alguna otra roca dura. Alrededor del pivote, en forma independiente gira un dispositivo que tiene los siguientes elementos: un nivel circular de burbuja de aire dentro de un re-cipiente que contiene éter o bencina. Dicha burbuja también tiene los vapores de la sustancia en la cual está inmersa; esto y cierta curvatura del recipiente hacen que la burbuja vaya a la parte superior.

Es visible porque la cubierta es de cristal, y ha-ciendo los movimientos de inclinación necesarios, se puede llevar la burbuja al centro para colocar la brújula en posición horizontal. Además tiene un

semicírculo graduado en dos sentidos, de 0 a 90º. A la izquierda y a la derecha del centro del se-micírculo hay un índice (o un nonio) para hacer lecturas de ángulos de inclinación o verticales, apo-yándose de un nivel tubular de burbuja colocado en posición paralela con el fondo de la caja. Ello tiene por objeto que la directriz de nivel defina la posición horizontal de la caja, pero colocada de manera transversal a la posición del nivel circular antes descrito (figuras 2-52 y 2-53).

Así se coloca la brújula de costado, sobre una tabla o en el terreno. Con la palanca que está fuera de la caja, por la parte trasera, se lleva la burbuja del nivel tubular al centro, de modo que el ángulo de inclinación formado por la directriz del nivel y el terreno pueda ser medido con el semicírculo gra-duado. A este dispositivo se le denomina clisímetro o clinómetro (figura 2-54).

La caja está cubierta con una tapa mediante una bisagra en uno de los extremos. La tapa tiene adentro un espejo circular con una línea que divide al círculo en dos partes iguales, que coinciden con la graduación de 0º del círculo graduado de la brú-jula. El espejo sirve para hacer visuales a través de él cuando no pueden hacerse en forma directa. En la parte más próxima a la caja, también tiene un claro para mirar hacia abajo al punto de estación, cuando se utiliza el espejo y apoyamos la brújula directamente en la mano.

En el lado opuesto a la tapa de la caja hay una pequeña mirilla o pinula, que embona dentro de la tapa de la brújula cuando está cerrada. Y su punto cuando está extendida nos sirve para hacer visuales, en forma similar a cuando hacemos pun-tería con un rifle, ya que dicha punta coincide con la línea del espejo y la línea imaginaria que pasa por 0 y 180º del círculo graduado cuando se trata de una brújula acimutal, y por 0 y 0º cuando la brújula mide rumbos como la que se muestra en la figura 2-53.

En la parte trasera de la caja existe una palan-ca o manivela, mediante la cual se puede operar el índice 2, para colocar el nivel tubular en posición horizontal cuando la burbuja está en el centro. Con dicho índice se puede leer el valor del ángulo de inclinación y el porcentaje de pendiente sobre el semicírculo graduado 10.

31Planimetría

Visual Eje acimutal

Rumbo

Visual

Directriz del nível tubular

Es posible realizar las mediciones con brújula aun sin tener los utensilios anteriores; es necesario sólo sujetar en la mano una plomada y la brújula. La maniobra no es sencilla y con menor precisión. Pero si se requiere rapidez o no se consigue un trí-pode o un bastón, se realizarán los procedimientos adecuados para satisfacer las necesidades geomé-tricas de colocar el centro de la brújula sobre el punto desde el cual se desea medir: rumbos o aci-mutes. El eje imaginario de la vertical del lugar deberá ser perpendicular con el plano horizontal, sobre el cual se proyecta el conjunto de puntos por levantar (figura 2-58).

Figura 2-53. Brújulas tipo Brunton.

Figura 2-54. Uso de la brújula para medir ángulos horizontales.

Brújula de minero con clinómetro exterior [nó-tese las diferencias con la brújula tipo Brunton (fi-gura 2-55)].

Para colocar a la brújula sobre el vértice en que se desea medir los ángulos, se contará con un trípode y una plomada. Si no se tienen estos uten-silios (figura 2-56), se puede fabricar un bastón de madera como el que se describe en la figura 2-57.

Tapa Palanca

Caja

Parte posterior de la brújula

Figura 2-56. Brújula minera.

Figura 2-57. Bastón

Figura 2-55. Brújula usada como clinómetro.


NM

A

A´

B´

B

C

1 2

C´

2-1

Por ejemplo, el ángulo BAC no se mide directa-mente con la brújula, se calcula a partir de rumbos o acimutes, es decir, las direcciones de A a B (figura 2-58) y de A a C (figura 2-58) mediante una simple resta: ángulos B’A’C’ 5 2 2 1.

Para determinar el rumbo o acimut, la aguja magnética apuntará siempre en dirección norte-sur, es decir, la meridiana magnética estará defi-nida cuando esté centrada y nivelada o poniendo la brújula en posición horizontal. En nuestro he-misferio (norte), la punta de la aguja se dirige al norte para evitar que se incline en relación con la posición de la caja, que es tangente a la superficie terrestre; en la parte que se dirige al sur (el otro extremo de la aguja) tiene un contrapeso calibrado para cada caso y con ello la aguja girará libremente sobre el pivote. Luego, al girar la caja en cualquier sentido, la punta de la aguja que apunta al norte indicará el rumbo o acimut sobre el círculo gradua-do (figura 2-59).

En las brújulas acimutales el problema desapa-rece, ya que el círculo está de 0 a 360º y, conocido el acimut, es posible calcular el rumbo, y viceversa.

EJEMPLOs

Un acimut de 293º será un rumbo NO 67º 5 (360 2 293º).

Un rumbo SE 36º corresponde a un acimut de 144º 5 (180 2 36º), etcétera.

Fenómenos físicos que intervienen en la determinación de los rumbos o acimutes magnéticos

La aguja magnética de la brújula suele sufrir des-viaciones o atracciones debidas a objetos relativa-mente cercanos que ejercen una atracción magné-tica llamada atracción local. Esto se debe a alguna acumulación de metales en el terreno o rieles de ferrocarril, torres de transmisión de electricidad, la hebilla de un cinturón, un llavero, etcétera.

Como estas alteraciones pueden ser frecuentes, será necesario buscar métodos de comprobación para que los levantamientos cumplan con los obje-tivos propuestos.

Otros fenómenos que se presentan se deben a tormentas magnéticas y alteraciones periódicas que se producen en el campo magnético de la Tierra, como variaciones diarias (diurnas y nocturnas, anuales, seculares, etc.). No es fácil conocer estas alteraciones para disminuirlas o evitarlas, como las atracciones locales, porque es necesario recurrir a procedimientos y observaciones de la astronomía práctica o de posición, o contar con un giróscopo para definir la meridiana astronómica y comparar con nuestra brújula la meridiana magnética obser-vada. A la diferencia entre la meridiana magnética y la astronómica se le denomina variación o decli-nación magnética. Se le designa con la delta minús-cula (δ), si se da el desplazamiento hacia el este o hacia el oeste. En algunas regiones de la República Mexicana se conoce la declinación magnética cada año, mediante el anuario del observatorio astronó-mico del Instituto de Astronomía de la Universidad Nacional Autónoma de México. A continuación, se anotan algunas, correspondientes a 1983.

E90

N

S

O 90

NNO

S E

O

Figura 2-59.

Figura 2-58. Condición geométrica de un levantamiento topográfico con brújula.

33Planimetría

N

E

S

O

N

E

S

O

1

2

Entidad federativa Declinación (d) noreste

Aguascalientes, Aguascalientes 7º 40.7’

Mexicali, Baja California 4º 56.5’

Campeche, Campeche 8º 01.1’

saltillo, Coahuila 8º 10.7’

Colima, Colima 7º 05.8’

Ciudad de México 7º 16.6’

Chilpancingo, Guerrero 7º 46.7’

Guanajuato, Guanajuato 7º 26.4’

Pachuca, Hidalgo 7º 27.0’

Toluca, Edo. de México 7º 40.5’

Morelia, Michoacán 7º 21.1’

Cuernavaca, Morelos 8º 05.2’

Monterrey, Nuevo León 7º 20.3’

Querétaro, Querétaro 7º 17.5’

Tlaxcala, Tlaxcala 12º 37.8’

Jalapa, Veracruz 6º 37.9’

Figura 2-60. Declinación magnética.

Conocida la declinación magnética, se puede corregir sobre el círculo graduado de la carátula de la brújula con el tornillo de ajuste. Se corrige la cantidad angular en cada caso, para que los re-sultados sean lo más cercano a la orientación abso-luta o astronómica. Este dato tendrá más validez, ya que un rumbo magnético de referencia cambia periódicamente y, si no se hacen las consideracio-nes pertinentes, al paso del tiempo sería difícil ha-cer las aclaraciones justas o precisas, sobre todo

en casos de problemas de tipo legal al restablecer linderos.

Las mediciones angulares de rumbos o direc-ciones de líneas aisladas o concatenadas en forma de poligonal (abierta o cerrada) se realizan con un sistema cartesiano definido por la meridiana y la línea este-oeste.

Entre dos vértices o puntos de una poligonal se pueden definir los rumbos desde ambos vértices y, como son ángulos alternos internos, de acuerdo con la geometría deben ser iguales, cambiando sólo de cuadrante. Esto permite conocer y corregir los errores que se presenten o desechar las observacio-nes y recurrir a métodos alternativos para realizar la medición angular de ese lado (figura 2-61).

En el dibujo, las iniciales de los puntos cardi-nales este y oeste están invertidas, con el objeto de dar los rumbos en forma directa, dados los sentidos en que se miden los rumbos en forma directa, del norte al este de 0 a 90º del norte al oeste, del sur al oeste (NE, NO, SE, SO). Se podrán realizar va-rias observaciones en las dos direcciones cuando R12 ? R21 y se trata de la medida de un lado solo y promediar los valores cuya diferencia no exceda al doble de la aproximación de la brújula.

Figura 2-61. R 12 5 NE x º (noreste 3 grados)R 21 5 NE x º (suroeste 3 grados).


A

B

C

D

E

Figura 2-63.

1

2

3

4

N

N

N

Ángulo 1 = 180° � (R + R )Ángulo 2 = R + RÁngulo 3 = 180° � (R + R )Ángulo 4 = R + R

En donde R , R , R , etc. son los rumbos directosde los lados.

12 14

21 23

32 34

43 41

12 23 nr

Cuando se trata de varios lados, en una poligo-nal abierta se compensará, tomando como base los lados que no presenten diferencias o que las tengan menores en sus valores directos e inversos.

Para una poligonal cerrada se procederá a co-rregir la diferencia acumulada, dividida entre el número de ángulos de la figura 2-62 como se explica, a continuación.

Cálculo de los ángulos interiores

Si se miden los rumbos (en sentido directo) desde cada uno de los vértices de la poligonal, se hace el análisis ayudados de una figura, para realizar las operaciones necesarias y así determinar los valo-res de los ángulos internos de la poligonal para la compensación.

Ya determinados el valor y el signo de C, se ajustan los ángulos y se procede a corregir los rum-bos, tomando como base el lado cuyos rumbos di-recto e inverso sean iguales y sumando o restando en cada vértice los nuevos valores de los ángulos compensados como en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO

Un levantamiento realizado con una brújula tipo Brunton arrojó los siguientes resultados (figura 2-63).

Lado distancia* Rumbo directo Rumbo inverso

A-B sE 89º42’ NO 89º42’

B-C sE 12°00’ NO 15°00’

C-D sO 39°45’ NE 42°30’

D-E NO 72°45’ sE 72°30’

E-A NE 23°45’ sO 24°00’

* Se omite este dato por no ser relevante para el ejemplo. Las diferencias angulares entre rumbo directo e inverso son relativamente grandes según lo expresado en pá-rrafos anteriores; pero el ejemplo es muy útil en cuanto a la ilustración de los errores y su compensación.

Figura 2-62.

Compensación angular

Primero se verifica que la suma de ángulos interio-res sea igual a 180º 3 (n 2 2), donde n 5 número de vértices y, si la diferencia no rebasa la toleran-cia especificada para los objetivos particulares, se procede a la compensación dividiendo la diferencia entre n. Así, C 5 6 d/n.

Cálculo de los ángulos interiores:

Ángulo A = 89º42’ + 24º00’ 113º42’

Ángulo D = 72º45’ + 42º30’ 115º15’

(Ver figura 2-65.)

Ángulo B = 180º00’ – 89º42’ 90º18’ + 12º00’ 102º18’

Ángulo E = 72º30’ + 23º45’ 96º15’ 180º00’ – 96º15’ 83º45’

35Planimetría

A

24° 00´

89° 42´

A

B

89°42´

89°42´

102°15´

11°57´

Ángulo C = 39º45’ + 15º00’ 54º45’ 180º00’ – 54º45’ 125º15’

Condición de cierre angular 180° (n – 2) 5 180° (5 – 2) = 540°

Suma de ángulos interiores

Ángulo A 113º42’Ángulo B 102º18’Ángulo C 125º15’Ángulo D 115º15’Ángulo E 83º45’Suma 540º15’

Por tanto, la diferencia d es de 15’ en demasía, es decir, su signo es +; por eso, a la corrección C se le dará el signo contrario –; así, C = 15’/5 = –3’, (C = d/n), y así los ángulos quedan:

Ángulo A 113º39’Ángulo B 102º15’Ángulo C 125º12’Ángulo D 115º12’Ángulo E 83º42’Suma 540º00’

A partir del lado A-B que presenta el mismo rumbo en posición directa e inversa y analizar de manera gráfica la poligonal, se corrigen los rumbos de los lados para que correspondan con la compen-sación angular y tengan los mismos valores en las dos direcciones (figura 2-65).

Rumbo del lado A-B 5 SE 89º42’Más el ángulo B + 102º15’ 191º57’

Menos el semicírculo – 180º00’Nos resulta el rumbo SE 11º57’ que es elrumbo del lado B-C 11º57’Más el ángulo C + 125º12’restando de 180º 180º00’nos da ahora SO 42º51’rumbo del lado C-D 42º51’

Mediante un análisis gráfico y con los corres-pondientes valores, se obtienen de manera sucesiva los rumbos hasta llegar al rumbo A–B. Después, para verificar resultados si hubiese alguna diferen-cia, serán equivocaciones aritméticas que habrá que corregir.

Rumbo de D-E = NO 72º21’Rumbo de E-A = NE 23º57’Rumbo de A-B = SE 89º42’Ahora se supondrá que los valores de los rum-

bos inversos son idénticos, sólo que en cuadrantes opuestos.

También se debe mencionar que la brújula de telescopio excéntrico proporciona más precisión por su tamaño, círculo mayor, base de sustenta-ción, soporte de un trípode más robusto, telescopio y nivel tubular sobre el tubo del telescopio de gran sensibilidad. Además, mejor posibilidad de centra-do. Sin embargo, estos aparatos son poco usados en México y por ello sólo los mencionaremos en esos términos.

El teodolito

El instrumento para medir ángulos, llamado teo-dolito, de origen desconocido, posiblemente pro-viene del griego theao, mirar y hodos, camino. Al

Figura 2-64. Condición de cierre angular 180º (n 2 2) = 180 (5 2 2 ) 5 540º

Figura 2-65.


parecer la etimología no corresponde al objeto, ya que de hecho es un goniómetro, pero no se conoce la razón para llamarlo teodolito.

El teodolito fue perfeccionado por el óptico in-glés Jesse Ramsden (1735-1800) después de varios intentos. Más adelante, y después de algunos cam-bios, el alemán Reichemback construyó un teodo-lito que prácticamente es igual a los actuales de nonio o vernier.

Este instrumento teodolito constituye el más evolucionado de los goniómetros, ya que con el teodolito es posible realizar desde las más simples mediciones hasta levantamientos y replanteos muy precisos; en la actualidad existe una gran variedad de modelos y marcas.

En estos teodolitos se combinan una brújula, un telescopio central, un círculo graduado en posi-ción horizontal y un círculo graduado en posición vertical. Con estos elementos y su estructura me-cánica se pueden obtener rumbos, ángulos horizon-tales y verticales. Asimismo, mediante cálculo y el apoyo de elementos auxiliares, pueden determinar-se distancias horizontales, verticales e inclinadas.

Una importante variante del teodolito es el taquímetro autorreductor, creado por el italia-no Ignacio Porro (1801-1875). El taquímetro, del griego takhyo, rápido y metron, medida, contiene también un dispositivo óptico que permite conocer distancias y desniveles en forma directa, sin hacer cálculo alguno.

Además, el teodolito se puede utilizar como equialtímetro o nivel (descrito en el tema 3). El teodolito es un instrumento muy flexible y funda-mental para la práctica de la ingeniería.

Tipos de teodolitos

Existen varios tipos de teodolito: de nonio o ver-nier, de micrómetro óptico, teodolito electrónico y taquímetros autorreductores (ver tema 4 y apéndice A).

Teodolito de vernier. En México y en otros países de América a este instrumento se le da el nombre de tránsito, tal vez debido a un anglicismo pues en Europa continental recibe el nombre de teodolito. No se conoce exactamente el origen de esta diferencia. Se ha especulado al respecto y no hay un acuerdo; se dice, por ejemplo, que

gracias a la posibilidad de que el telescopio del tránsito gire sobre su eje 180º lo hace diferente del teodolito. Efectivamente, en el pasado fue así y algunos equipos muy especializados (utilizados en astronomía de posición muy precisa) no realizan un giro completo del telescopio sobre su eje. En la actualidad, y desde hace mucho tiempo, la mayo-ría de este tipo de goniómetros gira sobe su eje a lo que coloquialmente se le denomina “vuelta de campana”.

Aquellos instrumentos mediante los cuales se realizan mediciones angulares se les llama tránsito, cuya aproximación se hace con un vernier sobre un círculo graduado en una superficie metálica. En general, se les denomina teodolito a aquellos goniómetros cuya óptica es más evolucionada con mecanismos más precisos y cuyas lecturas angula-res se realizan en círculos hechos sobre cristal y se aproximan mediante un micrómetro de tipo óptico y un microscopio. También se da ese nombre a los goniómetros de tipo electrónico, instrumentos con los que se obtiene mayor precisión y rapidez de operación.

Estos tipos de instrumentos en varios países han desplazado casi totalmente a los tránsitos de nonio; sin embargo, en otras naciones aún los uti-lizan tanto en la docencia como en los trabajos de ingeniería. Tienen algunas ventajas, como su durabilidad, la facilidad para realizar algunas re-paraciones, etc., y algunas desventajas, como me-nor precisión, mayor lentitud de operación, mayor peso, etcétera.

La diferencia entre tránsito y teodolito es más bien desde el punto de vista tecnológico y de recur-sos económicos, ya que los principios geométricos son los mismos, y el uso de uno o de otro depende de los objetivos que se pretendan. Al respecto los aparatos de micrómetro óptico se han generalizado y su uso es muy frecuente, pero se usan aún los de lectura de vernier.

El denominado tránsito tiene una base de sus-tentación apoyada y atornillada sobre una cabeza metálica con tres patas extensibles, de madera o de aluminio, conocida como trípode o tripié. La base del tránsito se llama base niveladora y tiene cua-tro tornillos niveladores opuestos 2 a 2 en forma perpendicular. También los hay con tres tornillos

37Planimetría

13

17

2 3

4

6

7 8

9

10

11

14

15

16

18

19

20

1

2 5

8 20 5

12

20

21

Figura 2-66. Teodolito de vernier.

niveladores colocados 2 a 1 en forma perpendicu-lar. Con estos tornillos con cuerda estándar, al gi-rar los opuestos en forma simultánea en el mismo sentido (ambos hacia adentro o hacia afuera), uno se acorta y el otro se alarga, esto hace que la base realice un movimiento basculante, para que con los niveles tubulares del limbo o plato horizontal se ponga el aparato en posición horizontal cuando la burbuja de aire atrapada en el nivel se localice en la parte superior, entre las marcas que existen. 1) Lente del objetivo con su respectiva sombra

2) Tornillo de sujeción del movimiento del telesco-pio (movimiento vertical)

3) Tornillo de enfoque de la lente de la retícula

4) Lente del ocular

5) Tornillo de enfoque del objetivo

6) Tornillo de movimiento lento del telescopio o tornillo tangencial del movimiento vertical

7) Soporte del telescopio

8) Brújula

9) Ventana para mirar el limbo o círculo horizon-tal con su correspondiente vernier

10) Tornillo de sujeción del movimiento horizontal del limbo, también llamado del movimiento particular

11) Tornillo de movimiento lento o tangencial del movimiento particular

12) Tornillos niveladores

13) Cabeza metálica de trípode

14) Tornillo de sujección del movimiento general del aparato

15) Tornillo de movimiento lento o tangencial del movimiento general

16) Niveles tubulares del círculo horizontal

17) Trípoide

18) Tornillo de sujeción de la aguja de la brújula

19) Círculo vertical con su respectivo vernier

20) Nivel tubular de burbuja del telescopio

21) Tornillo de la retícula

Hay otros tránsitos que están montados sobre una cabeza en forma de rótula y un solo tornillo que sujeta el movimiento. Sólo con la mano se lleva una burbuja de nivel circular al centro, en forma aproximada, para luego afinar con otro tornillo tangencial. Los hay también con una base bascu-lante, que consta de un semicírculo que mediante un tornillo de cuerda sinfín realiza movimientos de inclinación o basculantes. Estos dos últimos dis-positivos son más frecuentes en los teodolitos de micrómetro óptico.

Luego, sobre el plato que cubre al círculo hori-zontal se apoyan los soportes del telescopio que, al girar sobre dos cojinetes en 180º; describen lo que se denomina vuelta de campana alrededor del eje de alturas, que es perpendicular al eje acimutal, para cumplir con la condición geométrica corres-pondiente.

Junto con la base nivelante se encuentra un tubo o caja de forma cónica con un eje de giro o eje


acimutal, que coincide con el centro del aparato, en particular con el centro del círculo graduado o limbo horizontal. El eje es colineal con la vertical (línea cenit-nadir) que se materializa con la plo-mada, cuyo soporte en forma de gancho coincide también con el eje acimutal.

Los tránsitos modernos sustituyen la plomada tradicional que pende de un hilo por un dispositivo óptico que, gracias a un prisma reflector, permi-te ver a través de un pequeño anteojo, colocado horizontalmente abajo del círculo graduado, una línea perpendicular a la línea del eje óptico de esa lente, hacia cualquier punto sobre el que se desee centrar el aparato, en la actualidad además vienen provistos de un emisor laser que facilita el centrado (figura 2-67).

9) Plomada óptica

10) Lentes del ocular

11) Cubierta de los tornillos de la retícula

12) Telescopio

13) Círculo o limbo vertical

14) Nivel tubular del telescopio

15) Mirilla

16) Lentes del objetivo

17) Tornillo de fijación del movimiento vertical

18) Tornillo de enfoque del objetivo

19) Tornillo de movimiento lento o tangencial del movimiento vertical

20) Nivel tubular

21) Tornillo tangencial de la alidada

22) Tornillo de fijación de la alidada (se le llama también tornillo del movimiento particular)

23) Tangencial del movimiento general

24) Tornillo de fijación del movimiento general (li-bera o sujeta el limbo horizontal)

Figura 2-67. Plomada óptica y detalle del prisma a 45º.

Eje acimutal

Círculo horizontal

Lente

Prisma

Vertical

45°

45°

45° 45°

45°

45°

1) Soporte

2) Tornillos niveladores (tres)

3) Base niveladora

4) Nivel circular de la base niveladora

5) Disco móvil del círculo horizontal o limbo ho-rizontal

6) Telescopio de aumento para lectura de ángulos

7) Ventana de iluminación del limbo horizontal

8) Nivel tubular del limbo horizontalFigura 2-68. Tránsito de lectura de nonio con los círculos cubiertos y plomada óptica.

25

6

3

1

21

8

4

22

23

3�Planimetría

Corredera para la distancia focal

Pieza fija

Retícula

Giro

Enfoque ocularLentes del enfoque

internoLentes del

objetivo (fijas)

Piñón del enfoque Lente móvil del ocular

Tornillo de enfoqueinterno

Línea de colimación

Telescopio

Las partes principales del telescopio son el objeti-vo, la retícula y el ocular (figura 2-69).

De hecho, todos los telescopios modernos po-seen enfoque interno e imagen directa gracias a sus sistemas de lentes que definen un sistema conver-gente.

Por lo general, la retícula o cruz filar está gra-bada sobre cristal, o con hilos delgados de platino definida por dos líneas, una horizontal y una ver-tical (figura 2-71).

En el plano de la retícula se forma la imagen proyectada por las lentes del objetivo: una bicon-vexa al exterior y una planoconvexa al interior. Luego, el ocular proyecta la imagen ampliada al ojo del observador. Con sus lentes planoconvexas, cuya concavidad se encuentra opuesta una a la otra, el ocular hace las veces de un microscopio.

Los telescopios modernos tienen lentes que corrigen e invierten la imagen. Sólo en forma es-porádica se han de utilizar telescopios de imagen invertida.

Círculo horizontal o limbo horizontal

En los tránsitos de nonio se trata de un círculo graduado sobre un disco, de bronce, latón, acero u otros metales, con un borde plateado, donde están grabadas las divisiones que pueden corresponder a espacios de 30 o de 20 minutos.

Las graduaciones se presentan a la izquierda y la derecha numeradas de 0 a 360º con una pequeña inclinación en los números; en el sentido en que au-menta la numeración para evitar confusiones. Las graduaciones correspondientes a 1, 5, 10º, etc., es-tán marcados con líneas de diferente longitud; hay

Corredera del tubo de enfoque

Lentes del objetivo

Tubo del telescopio

Tornillo de enfoque

Ocular

Retícula

Línea de colimación

Lentes del ocular

La línea de la visual o línea de colimación es una recta imaginaria que coincide con el eje óptico de las lentes y que cruza la intersección de los hilos o marcas de la retícula, cuando se dirige una visual hacia cualquier punto.

Para ver perfectamente definidos la retícula y el punto deseado, es necesario realizar el enfoque, tanto del ocular como del objetivo. Hay telescopios de enfoque interno, como el que se muestra en la figura 2-70.

Figura 2-69. Telescopio de enfoque externo.

Figura 2-70. Telescopio de enfoque interno.

Figura 2-71. Diversos tipos de retícula.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1011 12 13 14

1516 17 18 19

20

Vernier

Escala graduada

Lectura 10.4

18

Sentido derecho

B A

Lectura 10°6´

0 10 20

30

Lectura 61°11´ Sentido izquierdo65

60

9 8 7 6 5 4 3 2 1

b a

010

21 20 19 17 16 15 14 13 12 11 10

tránsitos cuya menor división entre cada grado es de 10 a 15 minutos.

Por supuesto que las marcas presentan irregula-ridades, pero sólo con un microscopio se pueden dis-tinguir. Con ayuda de una lupa, parecen regulares, para esto introduce pequeños errores angulares.

Debido a que el limbo gira sobre el eje acimu-tal, puede girar libremente o sujeto al índice de un círculo concéntrico, llamado alidada. Para colocar una visual en un punto, habiendo colocado el ín-dice de la alidada en coincidencia con el cero del limbo, se sujeta el tornillo de movimiento general y se suelta el tornillo de movimiento particular (fi-guras 2-66 y 2-68), se describe un ángulo a partir de una línea con origen en cero grados.

Una vez que el índice está sobre una marca correspondiente a un valor angular exacto, se hace la lectura, pero si está entre dos marcas será difícil estimar una lectura precisa. Es ahí donde intervie-ne el nonio, pues la menor división del limbo tiene que ser subdividida para llegar a una lectura más aproximada al valor real del arco descrito.

Vernier

Inventado en 1631 por el científico francés Pierre Vernier, es un dispositivo que sirve para interpretar con mayor aproximación las fracciones angulares que el índice marca sobre los limbos, debido a sub-divisiones lineales o fracciones de arco (figuras 2-72 y 2-73). Al vernier le llaman también “nonio”, en honor del científico portugués Pedro Nunes (1492-1577), quien inventó un sistema de lecturas con círculos concéntricos divididos en partes iguales, es decir, 89, 88, 87, etc., con las que lograba mayor aproximación en las lecturas de ángulos. Los dos dispositivos, aunque muy diferentes entre sí, cum-plen con el mismo cometido. El nonio, mejorado por Clavius en 1593 y por Tycho Brahe en 1602, es el precursor del vernier, que en la actualidad es el nombre más generalizado para este dispositivo de aproximación, tanto para mediciones lineales, de diámetros, etc., como de valores angulares.

En la figura 2-72 el vernier tiene n divisiones en el espacio que abarcan n 2 l de la escala graduada. Así (n – l)L 5 nL’, en donde:

L 5 longitud de una división del vernier (la más pequeña)

L’ 5 longitud de una división del nonio (la más pequeña)

L’ = (n 2 1)Ln

Si llamamos aa a la aproximación del aparato en el que usamos un vernier, tendremos:aa = L 2 L’ 2 L 2 5

(n 2 1)Ln

nL 2 nL 1 Ln

Ln

5

que expresado en palabras nos quedaría:

aa 5 longitud de la menor división de la escala número de divisiones del vernier

Vernieres circulares

El vernier circular tiene el mismo principio que el vernier lineal y la expresión anterior es igualmente válida (figura 2-77). Así:

aa 5 valor de la división más pequeña del limbo número de divisiones del vernier

En la figura 2-73. Si AB es un arco del limbo y ab es otro arco concéntrico de igual radio, tenemos n divisiones en el vernier y n – l divisiones en el limbo.

Figura 2-72. Ejemplo de un vernier.

Figura 2-73. Círculo horizontal.

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