Tema_9_2

Expresión de un problema de programación lineal

Aplicaciones de la programación lineal

Soluciones de un problema de programación lineal

Resolución gráfica de un problema de programación lineal

BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada

9.2 Introducción a la programación lineal

Método Simplex

http://www.ugr.es/~mjgarcia

http://www.ugr.es/~proman

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/



Definición: Un problema de programación lineal es un programa matemático en el cual la función objetivo es lineal en las variables de decisión y cada restricción es una desigualdad lineal. Además tiene una restricción de signo; es decir, las variables de decisión son no negativas.

x ... x x n21

n21 x ... x x ZMax 1c

11a2c nc

s.a. 12a 1na

0 x.,.. , x n1

1b x ... x x n2121a 22a 2na 2b

x ... x x n21m1a m2a mna mb

x ... x x n21

n21 x ... x x ZMin 1c

11a2c nc

s.a. 12a 1na

0 x.,.. , x n1

1b x ... x x n2121a 22a 2na 2b


Z, función objetivo, es la medida de efectividad global seleccionada donde representan las variables de decisión.

nixi ,,1,

representan los coeficientes de contribución; es decir, incremento que resulta en el objetivo por cada incremento unitario de

njc j ,,1, jx

representan las tasas de uso de la materia prima en la producción de la variable ija mi ,,1 nj ,,1

representan los recursos disponibles; es decir, la cantidad disponible del recurso “i” que consume cada unidad de la actividad “j” jb






x ... x x n21

n21 x ... x x ZMax 1c

11a2c nc

s.a. 12a 1na

0 x.,.. , x n1

1b x ... x x n2121a 22a 2na 2b


x ... x x n21

n21 x ... x x ZMin 1c

11a2c nc

s.a. 12a 1na

0 x.,.. , x n1

1b x ... x x n2121a 22a 2na 2b


Forma canónica de un problema de programación lineal






x ... x x n21

n21 x ... x x Z(Min)Max 1c

11a2c nc

s.a. 12a 1na

0 x.,.. , x n1

1b x ... x x n2121a 22a 2na 2b


Forma estándar de un problema de programación lineal

Todo problema lineal en forma canónica se puede pasar a forma estándar introduciendovariables de holgura o variables excedentes.




Aplicaciones de la programación lineal


1. Una primera aplicación de la P.L. se encuentra en los problemas de “Asignación de Recursos”.Son problemas en los que existen recursos limitados y se busca la utilización máxima. El objetivo es maximizar utilidades.

2. Otra aplicación que responde a un problema de P.L. es el de minimizar pérdidas. La diferenciacon el caso anterior es que se deben satisfacer unos requerimientos mínimos.

3. Problema de la mezcla: la mezcla de ingredientes básicos para fabricar productos. No sólo se se restringe a problemas de mezclas de alimentos, bebidas, etc ., también se aplica en el análisis de inversiones.




Soluciones de un problema de programación lineal


Definición: Una solución factible es aquella que verifica todas las restricciones de un P.P.L.; es decir, 0y ixbAx0y ixbAx

Definición: Se define la región factible como el conjunto de todas las soluciones factibles; es decir,

0y : ó 0y : in

in xbAxRxFxbAxRxF

Definición: Una solución óptima es una solución factible que da el valor más favorable de la función objetivo.

Si , el problema es infactible F

Definición: Considérese el sistema de ecuaciones , en donde A es una matriz de dimensión y b un vector de dimensión m. Supóngase que el rango de A es m. Después de un reordenamiento de A, sea

donde B es una matriz no singular de dimensión y N matriz singular de dimensión . La

solución del sistema de ecuaciones, se denomina solución básica, donde y es elvector nulo.

bAx nm

NBA

mm mnm

N

B

xx

x bBxB1 Nx




Soluciones de un problema lineal


Definición: Si una o más variables básicas de una solución básica son iguales a cero, se dice que es una solución básica degenerada del sistema.

Definición: Si todas las componentes del vector básico de una solución básica son no negativas , entoncesx es una solución básica factible del sistema. Si además alguna componente es cero, entonces se denomina solución básica factible degenerada.

TeoremaDado un P.P.L. en forma estándar factible y acotado, el valor óptimo de la función objetivo se alcanza en un punto extremo de la región factible.

Definición: Si dos o más soluciones dan igual valor para la función objetivo, se dice que el problema tiene óptimos alternativos.

Definición: Si los valores de las variables se incrementan indefinidamente, el espacio solución es no acotado. Si además el valor objetivo aumentará o disminuirá indefinidamente, el problema tiene solución no acotada.

Definición: Un conjunto C de es convexo si nR

CxttxtRtyCxx 2121 )1( punto el ,10 : ,






Definición: Si una o más variables básicas de una solución básica son iguales a cero, se dice que es una solución básica degenerada del sistema.

Definición: Si todas las componentes del vector básico de una solución básica son no negativas , entoncesx es una solución básica factible del sistema. Si además alguna componente es cero, entonces se denomina solución básica factible degenerada.

TeoremaDado un P.P.L. en forma estándar factible y acotado, el valor óptimo de la función objetivo se alcanza en un punto extremo de la región factible.

Definición: Si dos o más soluciones dan igual valor para la función objetivo, se dice que el problema tiene óptimos alternativos.

Definición: Si los valores de las variables se incrementan indefinidamente, el espacio solución es no acotado. Si además el valor objetivo aumentará o disminuirá indefinidamente, el problema tiene solución no acotada.






Definición: Un punto x de C , conjunto convexo de es un punto extremo de C si nR

10 : ,)1( xque tales 2121 ttxttxCxxexistenno




Resolución gráfica de un P.P.L.


SI

NO

SI

NO

SI

Solución acotada

NOSolución acotada

SI

NO




Método Simplex


Algoritmo del simplex:

1. Determinar una solución básica factible inicial (punto extremo).2. Determinar si el paso a una solución básica factible adyacente mejora el valor de la función objetivo. Para ello comprobar: solución óptima. En caso contrario ir al paso 3.3. Determinar la solución básica factible adyacente con mayor mejora para el valor de la función objetivo. La variable que entra en la nueva base es aquella cuyo correspondiente sea más negativo. La variable que deja la base es aquella que verifica

Volver al paso 2 y repetir el proceso hasta alcanzar una solución óptima, obtener una solución no acotada o un problema infactible.

donde , ;01

yczjczm

kkBjjj jk

jj cz jx

0 ;minj

j

kk

k

B yyx

Método Simplex


Variables artificiales.En muchas ocasiones la adición de variables de holgura y excedente para la resolución de un problema lineal no es suficiente para obtener una solución básica factible inicial.

Variables artificiales: son variables auxiliares que se utilizan para identificar una solución factible básica inicial

Método de la M Método de las dos fases

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