Introducción a la Geometría Computacional

Ubicación: http://wwwdi.ujaen.es/asignatuas/gc/tema1.odpCurso:  1º de Ingeniería Informática, Plan 2004Profesor: Lidia Ortega AlvaradoDepartamento: Informática

 Geom

etría  Com

p utac ionalTema 1

ÍndiceIntrod ucció n a la  G

eometría  C

omputac ional

● ¿Cómo nace la Geometría Computacional?● Un poco de historia● Aplicaciones

➔ Informática Gráfica➔ Reconstrucción de modelos 3D➔ Visión Artificial➔ Sistemas de Información Geográfica➔ Robótica➔ Diseño y Fabricación de Productos➔ Biología Molecular➔ Astrofísica

● Soluciones que aporta la G.C.● Estructuras de Datos● Bibliografía

¿Cómo nace la Geometría Computacional?Introd ucció n a la  G

eometría  C

omputac ional

Geometría Clásica

Desarrollo del hardware

Estructuras de datos

Definiciones/Lemas/Teoremas/Corolarios

Máquinas capaces deprocesar miles de instrucciones por segundo

EEDD generales pero también específicas que permiten operaciones eficientes

Clásicas o específicas para conseguir métodos eficientes 

Técnicas algorítmicas

Geometría Computacional

Un poco de historiaIntrod ucció n a la  G

eometría  C

omputac ional

¿Cuando nace? ● Hay quien dice que el primer algoritmo de G.C. nace cuando una serie de pasos correctos, no ambiguos y con un final, resuelven un problema geométrico. El precursor: Euclides● En 1902 aparece el término complejidad de la resolución de un problema (no a nivel computacional pero sí a nivel de realización)● El término “Geometría Computacional” lo introduce M. I. Shamos en 1975, aunque existen trabajos previos enmarcados en esta disciplina

Un nuevo enfoque para la geometría● La potencia computacional de los ordenadores  son aprovechadas por muchas disciplinas a partir de la segunda mitad del siglo XX● Los objetos geométricos pasan a ser estructuras de datos y las metodologías clásicas de resolución de problemas se transforman en algoritmos eficientes 

AplicacionesIntrod ucció n a la  G

eometría  C

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Ámbitos de aplicación de la Geometría Computacional

1.­ Informática Gráfica2.­ Reconstrucción de modelos 3D3.­ Visión artificial4.­ Sistemas de Información Geográfica (SIG)5.­ Robótica6.­ Biología Molecular7.­ Astrofísica8.­ Diseño Asistido por Ordenador9.­ Procesos de fabricación

AplicacionesIntrod ucció n a la  G

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Informática Gráfica

Modelado (descripción de superficies, luz, etc.)● Representación de objetos mediante triángulos

Simulación (predecir el comportamiento de escenarios virtuales)● rendering: descripción de una escena + puntos de luz = simulación realista

Visibilidad y representación de sólidos● ¿qué se ve y qué se oculta?● ¿qué se ilumina? ¿existen colisiones?● estructuras de datos adecuadas

Geometría Computacional

AplicacionesIntrod ucció n a la  G

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Reconstrucción de Modelos 3D(a partir de imágenes 2D procedentes de fotografías, escáner 3D...)

Orientadas a volúmenes (apilando imágenes 2D + interpolando)

Orientado a fronteras (formando triángulos con los puntos adyacentes que forman la frontera; actualmente estos datos suelen venir de escáneres 3D)

Métodos

Estructuras de datos/teselaciones● triangulación de Delaunay● diagrama de Voronoi

Geometría Computacional

AplicacionesIntrod ucció n a la  G

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Visión Artificial

Algoritmos y estructuras de datos geométricas

Geometría Computacional

(que suele utilizar imágenes tipo bitmap )

Reconocimiento de patrones (construir modelos 3D a partir de proyecciones 2D)

Representación de imágenes (transformar imágenes bitmap en líneas de contorno por versatilidad/compresión de imágenes, etc.)

Problemas

Segmentación (distinguir formas del fondo/primer plano: ej: detección automática de movimientos)

AplicacionesIntrod ucció n a la  G

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Sistemas de Información Geográfica

Geometría Computacional

(captura, manejo, análisis, modelado y visualización de Inf. Geogr.)

Tipos de representación:● Vectorial (mejor para fronteras, ríos, 

carreteras,etc)● Raster (simplicidad en algoritmos y hardware, pero 

usa mucho espacio)● Isolíneas (mejores para visualización de mapas)

Problemas

● TIN (Triangulación de Delaunay)● Eliminar elementos sobrantes (puntos,etc)● Representación de curvas complejas● Algoritmos para conversión entre modelos● Intersección de regiones (polígonos)

AplicacionesIntrod ucció n a la  G

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Robótica

● Planificación de movimientos/trayectorias● Detección de colisiones● Aproximación de curvas● Simplificación de objetos (envolvente convexa 

2D/3D)

Geometría Computacional

Industrial (los robots poseen brazos con diferentes grados de libertad definiendo movimientos en forma de costosas curvas)

Robots autónomos (la escena de objetos estáticos, objetos dinámicos y trayectorias se convierten en ) objetos geométricos que intersectan/giran/etc., y simplifican su geometría ) 

 

AplicacionesIntrod ucció n a la  G

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Diseño y fabricación de productos

● Ayuda al diseño en la interfaz de diseño● No maneja curvas sino objetos lineales● Algoritmos para tratamiento de intersecciones ● Minimizar el número de triángulos en el diseño

Geometría Computacional

Modelado de sólidos (representación y manipulaciónde objetos 3D) ● Se ha pasado de cilindros, esferas, etc. a curvas 

complejas usando parches y superficies paramétricas

 

AplicacionesIntrod ucció n a la  G

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Biología Molecular

● Diseño de modelos geométricos (modelos esféricos) para determinar la estructura geométrica de las proteínas

Geometría Computacional

Estructura de las proteínas ( Las cadenas de proteínas tienen propiedades químicas y geométricas)

 

(disciplina creciente con el estudio del genoma humano)

AplicacionesIntrod ucció n a la  G

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Astrofísica

Bases de datos que respondan a cuestiones:● Dado una caja rectangular de d dimensiones, 

encontrar todos los objetos dentro de él● Dado un objeto, encontrar el más cercano o los 

k más cercanos

Geometría Computacional

Manejo de mapas digitales:● mapas digitales con 20 Terabytes● con 5 bandas de longitud de onda● 100 millones de objetos clasificados por tipos● con datos en Rd,, con d=8 (5 colores, declinación, 

ascensión derecha, redshit)  

 

Problemas

Soluciones que aportaIntrod ucció n a la  G

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1.­ El/los vecino/s más cercano/s2.­ Detección de colisiones3.­ Planificación de movimientos y trayectorias4.­ Intersección de polígonos 5.­ Simplificación de curvas y polígonos6.­ Eliminación de datos redundantes7.­ Computación exacta (Exact computation)8.­ Partición de polígonos9.­ Envolvente convexa

Algunos de los problemas que la GC soluciona:

Estructuras de datosIntrod ucció n a la  G

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1.­ Teselaciones del plano/espacio● Diagrama de Voronoi● Triangulaciones

2.­ Estructuras de datos espaciales● segment­trees● k­d trees● quadtrees/octrees● árboles de intervalos● BSP

Algunas estructuras de datos utilizadas

AlgoritmosIntrod ucció n a la  G

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Técnicas algorítmicas utilizadas

1.­ Línea/plano de barrido

2.­ Búsqueda binaria

3.­ Divide y Vencerás

4.­ Dualidad

5.­ Algoritmos basados en aleatoriedad (randomization)

6.­ Paralelismo

BibliografíaIntrod ucció n a la  G

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CHAZELLE B. The Computational Geometry Impact Task Force Report. B. Chazelle + 35 co­authors, Advances in Discrete and Computational Geometry, Contemporary Mathematics, 223, AMS, Providence (1999), 407­463.disponible en: 

http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/compgeom/taskforce.html 

PREPARATA  Franco  P.,  Ian  Shamos  Michael.  Computational Geometry. Springer­Verlag. 1985.

enlaces de interés:GEOMETRY IN ACTION: http://www.ics.uci.edu/~eppstein/geom.html

SITIO WEB DE MÚLTIPLES ENLACES:

http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/cg­web.html