Tema : Probabilidades 2015 curso : Estadística
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NOCIONES BASICAS
DE PROBABILIDAD
OBJETIVOS
1. Aplicar los conceptos de experimento,
espacio muestral y evento.
2. Discutir los principios para asignar
probabilidad.
3. Utilizar las reglas de probabilidad para
plantear y resolver un problema real.
DEFINICION DE ALGUNOS TERMINOS
EXPERIMENTO
ALEATORIO: ES CUALQUIER OPERACIÓN
CUYO RESULTADO NO SE PUEDE PREDECIR CON EXACTIDUD
Ejemplos:
Lanzar una moneda moneda correcta sobre una superficie plana: S ó C
Evaluar el estado nutricional a tres niños menores de 5 años: (NNN), (NNM),(NMN), (MNN), (NMM), (MNM), (MMN), (MMM)
ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A UN EXP.
ALEATORIO: ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS
POSIBLES RESULTADOS DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO
Ejemplos:
1: {C,S}
2:{(NNN), (NNM), (NMN), (MNN), (NMM), (MNM), (MMN), (MMM)}
P R O P I E D A D E S
1.- 0 P(A) 1
P(A) = n(A)
Gran total
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACION
OMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
Ejemplo
¿Probabilidad de una mujer normal?
P(Normal)=469/1000=0,469
P R O P I E D A D E S
2.- INTERSECCION DE EVENTOS
ES LA PROBABILIDAD QUE DOS EVENTOS OCURRAN EN
FORMA SIMULTANEA
P(A∩B) = n(A∩B)
Gran total
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACION
OMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
Ejemplo
¿Probabilidad que sea una mujer normal y tenga menopausia?
P(Normal y Menopausia)= 280/1000=0,28
3.- Si A,B eventos cualesquiera, entonces,
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)
(A B)
B A
EJEMPLO .-
En una comunidad, se evaluó el estado de nutrición de 100 niños menores de 5
años de edad, obteniéndose los siguientes resultados:
*********************************************************
SEXO ESTADO de NUTRICION
Normal Malnutrido TOTAL
*********************************************************
Hombres 40 = n(HN) 15 55 = n(H) Mujeres 20 25 45
********************************************************
TOTAL 60 = n(N) 40 100
********************************************************
Se elige un niño al azar, cuál es la probabilidad de que sea hombre o su estado de
nutrición sea normal ?
SOLUCION
H: Sea hombre
N: Tenga estado nutricional normal
P(HUN) = P(H) + P(N) - P(HN)
P(HUN) = 55/100 + 60/100 - 40/100 = 0.75
4. Si A,B eventos excluyentes (AB=), entonces,
P(AUB) = P(A) + P(B)
A B
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACION
OMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
Ejemplo
¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis?
P(OsteopeniaUOsteoporosis)=P(Osteopenia)+P(Osteoporosis)-P(Osteopenia∩Osteoporosis)=467/1000+64/1000=0,531
Son sucesos disjuntos
Osteopenia ∩ Osteoporosis=Ø
¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia?
P(OsteoporosisUMenopausia)=P(Osteoporosis)+P(Menopausia)-P(Osteoporosis ∩ Menopausia)=64/1000+697/1000-58/1000=0,703
No son sucesos disjuntos
¿Probabilidad de una mujer normal?
P(Normal)=469/1000=0,469
P(Normal)=1-P(Normal’)=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) =1-0,531=0,469
5.- Si A y A’ son complementarios, entonces,
P(A’) = 1 - P(A) ó P(A) = 1 - P(A’)
A’
A
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACION
OMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
Ejemplo
Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a
una mujer de una población muy grande. El resultado está
en la tabla.
¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga osteoporosis?
P(Osteoporosis)=64/1000=0,064=6,4%
Noción frecuentista de probabilidad
¿Cuál es la probabilidad de que una mujer no tenga osteoporosis?
P(No Osteoporosis)=1-P(Osteoporsis)=1-64/1000=0,936=93,6%
6.PROBABILIDAD CONDICIONAL: P(A/B)
Sea un espacio muestral asociado al experimento aleatorio E. Sean los eventos A y B
dados en .
La probabilidad de la ocurrencia del evento B dado que ha ocurrido A se denomina
probabilidad condicional de B dado A.
Fórmula:
n(AB)
P(B/A) = ------------------- ( se aplica cuando los datos están en una tabla)
n(A)
P(AB)
P(B/A) = ------------------- ( se aplica cuando los datos no están en una tabla)
P(A)
donde P(A) > 0
***************************************************************
SEXO OCUPACION
Desempleados Empleados TOTAL
***************************************************************
Hombres 40 460 500
Mujeres 260 140 400
****************************************************************
TOTAL 300 600 900 *****************************************************************
Se elige un adulto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté desempleado dado que es mujer?
SOLUCION
n(DM) 260
P(D/M) = ---------------- = ------------ = 0.65
n(M) 400
Interpretación:
Al elegir un adulto al azar, la probabilidad de que este desempleado dado
que es mujer es de 0.65.
Ejemplo
Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis? P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACION
OMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
Ejemplo (III)
Si tiene osteoporosis… ¿probabilidad de menopausia? P(Menopausia|Osteoporosis)=58/64=0,906
Si tiene no tiene osteoporosis… ¿probabilidad de no menopausia? P(No Menopausia|NoOsteoporosis)=297/936=0,317
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACION
OMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total
7.REGLA DE LA MULTIPLICACION
P(AB)
A partir de : P(B/A) = -------------- , despejando, tenemos:
P(A)
P(AB) = P(A)* P(B/A)
En general :
Dados los eventos A1,A2,...,AN-1,AN, se tiene que:
P(A1A2 ...AN-1 AN)=P(A1)*P(A2/A1)*...*P(AN/A1 ...AN-1)
EJEMPLO
El resultado de la evaluación nutricional de 100 niños, son 60 normales y 40
malnutridos. Si de este grupo seleccionamos dos niños al azar sin reposición, Cuál es
la probabilidad de que el primer niño sea normal y el segundo sea mal nutrido?
SOLUCION
P(AB) = P(A)*P(B/A)
A: El primer niño sea normal
B: El segundo niño sea malnutrido
AB: El primer niño sea normal y el segundo niño sea malnutrido
B/A: El segundo sea malnutrido dado que el primer niño fue normal
Según la regla de multiplicación, tenemos:
P(AB) = P(A)*P(B/A)= (60/100)*(40/99) = 0.2424
Interpretación:
Nos indica que la probabilidad de que el primer niño sea normal y el segundo sea
malnutrido es de 0.2424.
EJEMPLO.-
Se sabe que en un lote de medicamentos de 50 frascos, hay 4 que no están adecuadamente empacados (defectuosos). Si se extraen al azar 2 frascos, uno a continuación del otro, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?.
SOLUCION D1 : El primer medicamento es defectuoso D2 : El segundo medicamento es defectuoso D2/D1: El segundo medicamento es defectuoso dado que el primer medicamento también lo es
49
3
DD
P
50
4)D(P
)(1
2
1
2450
12
49
3
50
4 =
DD
P)D(P)DD(P )(1
2121
Dos sucesos son independientes si el que
ocurra uno, no añade información sobre el
otro.
A es independiente de B
P(A|B) = P(A)
P(A∩B) = P(A) P(B)
8.Independencia de sucesos
Ejemplo
¿Son independientes menopausia y osteoporosis?
Una forma de hacerlo
P(Osteoporosis)=64/1000=0,064
P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098
La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Añade información extra. ¡No son independientes!
¿Otra forma?
P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058
P(Menop) P(Osteoporosis)= (697/1000) x (64/1000) = 0,045
La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No son independientes.
Recuento
189 280 469
108 359 467
6 58 64
303 697 1000
NORMAL
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
CLASIFICACION
OMS
Total
NO SI
MENOPAUSIA
Total