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Instituto de Mecánica Estructural y Riesgo Sísmico

HORMIGÓN I Unidad 3:

COMPORTAMIENTO, RESISTENCIA Y DEFORMACIÓN DE ELEMENTOS DE HORMIGÓN

ARMADO SOMETIDOS A FLEXIÓN. Profesor: CARLOS RICARDO LLOPIZ.

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CONTENIDO. 3.1 INTRODUCCIÓN. 3.2 RELACIÓN MOMENTO vs. CURVATURA. 3.3 SUPOSICIONES BÁSICAS PARA EL COMPORTAMIENTO EN FLEXIÓN. 3.4 BLOQUE DE TENSIONE RECTANGULAR EQUIVALENTE. 3.5 MAXIMA DEFORMACIÓN DEL HORMIGÓN EN COMPRESIÓN. 3.6 ÁREAS COMPRIMIDAS NO RECTANGULARES. 3.7. RESUMEN DE LAS SUPOSICIONES Y RECOMENDACIONES PARA DETERMINAR

LAS RESISTENCIAS DE SECCIONES SOMETIDAS A FLEXIÓN. DIFERENCIAS ENTRE LAS NORMAS.

3.8 RESISTENCIA DE MIEMBROS SOMETIDOS A FLEXIÓN SIMPLE. VIGAS. GENERALIZACIÓN DEL PROBLEMA.

3.9 DISEÑO A FLEXIÓN CON FÓRMULA APROXIMADA. 3.10. RESPUESTA DÚCTIL. CONCEPTO DE FALLA BALANCEADA. 3.11 CUANTÍAS MÁXIMAS Y MÍNIMAS DE FLEXIÓN. REDISTRIBUCIÓN DE

ESFUERZOS. 3.12 REQUISITOS ADICIONALES PARA DISEÑO SISMO RESISTENTE. 3.13 DISTRIBUCIÓN DE LA ARMADURA DE TRACCIÓN EN VIGAS Y LOSAS. 3.14 SECCIONES CON FORMA DE I, L y T.

3.14.1. RESISTENCIA A FLEXIÓN. 3.14.2. ANCHO EFECTIVO EN VIGAS T.

3.14.2.1. ANCHO EFECTIVO EN COMPRESIÓN. 3.14.2.2. ANCHO EFECTIVO EN TRACCIÓN.

3.15 RESPUESTA DE VIGAS A FLEXIÓN CON ARMADURA DISTRIBUIDA VERTICALMENTE. 3.16 LIMITACIONES A LAS DIMENSIONES DE LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES. 3.17 REFERENCIAS. 3.18. Apéndice A: Puntos del Diagrama Momento Curvaturas. Momentos de Fisuración Positivos y Negativos en Vigas T. 3.19. Apéndice C: Ejemplos de Análisis Seccional. Momentos vs. Curvaturas. 3.20 Apéndice D: Tablas con fórmulas útiles para cálculo de áreas y baricentros.

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Revisión 1

Revisión 2

Revisión 3

Revisión 4

Observaciones

T3-vigas.DOC AGO 2001

AGO 2002

ABR 2006

DIC 2008

ABR 2009

Páginas 68 52 62 67 80

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3.1. INTRODUCCIÓN.

En este capítulo se introduce al lector en los conceptos fundamentales que rigen el comportamiento a flexión de los elementos de hormigón armado, las hipótesis de diseño y análisis, y las prescripciones reglamentarias que se deben satisfacer. Salvo otra indicación, nos referiremos a vigas y losas de hormigón armado, para diferenciarlo en esta introducción de los elementos sometidos a flexo-compresión, típicamente columnas y tabiques.

La Fig. 3.1 muestra parte de la armadura de una futura viga de hormigón

armado que pertenece a un edificio construido en la ciudad de Mendoza. En ella también se observa la prolongación desde el nivel inferior de las barras de la columna donde apoya la viga, la viga transversal, el nudo correspondiente y el fondo de encofrados de madera de la futura losa de hormigón armado. Lo importante que se quiere expresar con esta figura es que la viga forma parte de un sistema estructural, y cuando se la diseñe y analice se entienda que NO se trata de un elemento aislado.

Fig. 3.1 Unión de Losa, Vigas y Columnas a la espera del Hormigonado.

La Ref.[1] indica en su sección 10.2.1 que para el diseño de elementos

como los mostrados se deben satisfacer las condiciones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones. Para aplicar las hipótesis y ecuaciones que se necesite resolver, es conveniente antes poder comprender el fenómeno físico que se estudia y además analizar en qué contexto dicho elemento deberá servir sus propósitos: en particular para nuestra zona, la respuesta ante acciones combinadas con el sismo toma preponderancia fundamental.

Sólo al efecto de comprender la respuesta del elemento a flexión y para

facilitar algunas definiciones básicas, se tomará a un elemento viga aislado. Tal cual se muestra en la Fig. 3.2, la misma se encuentra sometida a una acción gravitatoria, y se grafica de algún modo su respuesta desde carga cero hasta el incremento progresivo de la misma que provoca la falla total de la pieza. En la figura se comparan dos tipos posibles de falla, dúctil y frágil. La viga que se

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estudia se supone con una relación elevada luz/altura de sección, con cierta distribución de barras de acero en la parte superior, en la parte media y en la parte inferior. Al respecto se hacen las siguientes observaciones:

Fig. 3.2. Respuesta de un Elemento sometido a Flexión. (i) Se mencionó en el capítulo 1 de la importancia de la respuesta dúctil

en elementos críticos de sistemas sismorresistentes. La respuesta frágil no debe ocurrir. Ante eventos extremos donde la estructura en su conjunto es obligada a sobrellevar grandes deformaciones, ciertos elementos deberían responder de forma tal que, una vez desarrollada su resistencia máxima, sean capaces de soportar grandes desplazamientos sin degradación de la capacidad resistente.

(ii) En el capítulo 1 también se enfatizó sobre las incertidumbres que

hay para obtener las verdaderas demandas cuando la acción que controla es la que proviene del movimiento del suelo que generan los terremotos. Si a esto se suman las aproximaciones que se deben realizar para modelar un edificio con su estructura y materiales, y si además se trata de hormigón armado, es razonable pensar que el diseñador no debería confiar demasiado en los resultados de su análisis estructural elástico, por más sofisticado que haya sido. El mensaje acá es que INDEFECTIBLEMENTE va a ocurrir una desviación con relación a las resistencias requeridas del análisis elástico, por lo que se deberá estimar, predecir y confiar en el comportamiento inelástico. Esto implica una redistribución de esfuerzos entre los elementos estructurales, para lo cual es necesario un aceptable comportamiento más allá del régimen lineal y elástico. Se necesita del comportamiento dúctil, lo cual implica utilizar al máximo posible las capacidades de resistencia y ductilidad de los materiales disponibles. Ciertos códigos como el ACI-318, ref.1

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y el NZS-3101, ref. 4, aceptan ciertos porcentajes de redistribución. Como se verá más adelante, uno de los beneficios directos de aceptar la relocalización de esfuerzos es la de reducir la congestión de armaduras en los soportes o extremos de miembros, al reducir los picos extremos de momentos. Estos conceptos son pilares de lo que se conoce como diseño por capacidad.

(iii) Se debe distinguir siempre entre comportamiento global y local, y

establecer las necesarias relaciones entre ellos. Por ejemplo, en la Fig. 3.2 la curva de respuesta carga-deformación puede interpretarse como representativa de la respuesta global. A su vez, para que sea posible un comportamiento dúctil, dado que es una estructura isostática, en su única sección crítica su comportamiento “local” deberá ser también dúctil. La curva global dice que una vez alcanzada la carga que produce el máximo momento en la mitad de la viga, ésta es capaz de sobrellevar grandes deformaciones y aún más incrementar la capacidad de carga levemente, y sin reducción más allá de una ductilidad global ya superior a 4. Para este concepto, referirse a la ecuación (1.2) del capítulo 1, sección 1.4.2.3. La pregunta clave es cómo debe ser la respuesta local para permitir este muy aceptable comportamiento global. Para esto entonces es necesario que se estudie una curva de respuesta que exprese el comportamiento de la sección crítica, ubicada en la mitad de la viga, y que contenga los tres parámetros de comportamiento: rigidez, resistencia y ductilidad.

3.2. RELACIÓN MOMENTO-CURVATURA.

Ya se ha expresado que para establecer una curva de respuesta, sea ésta local o global, se necesita de condiciones de equilibrio, es decir estática, de condiciones cinemáticas, es decir de compatibilidad de deformaciones y de alguna relación que vincule el equilibrio con la cinemática, es decir de relaciones constitutivas. En resistencia de materiales se ha visto que para una sección de cualquier material en flexión la variable estática es el momento flector, M, y la variable cinemática la curvatura, φφφφ. La relación entre ellos está dada por el factor EI, llamado factor de rigidez a flexión, donde E es el módulo de elasticidad del material e I es el momento de inercia de la sección. Estos conceptos se han visto hasta ahora en materiales homogéneos e isótropos: hay que ver cómo se extienden al hormigón armado.

La Fig. 3.3 muestra una porción de un elemento sometido a flexión, que

bien podría ser el que corresponde a la sección crítica de la viga de la Fig. 3.1. si admitimos que el esfuerzo axial P es insignificante o nulo, y que la porción de viga seleccionada es suficientemente pequeña como para admitir que el momento M es prácticamente igual en ambos extremos del elemento. El radio de curvatura R, la profundidad de eje neutro que en este caso se designa con kd, la deformación de

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compresión del hormigón en la fibra extrema εc y la del acero en tracción εs, varían a lo largo de toda la viga. Para el elemento analizado de longitud dx la rotación θ entre sus extremos, se puede calcular como:

( )kd

d

kd

d

R

d xsxcx

−===

1

εεθ

Por lo que, para un elemento donde dx= 1.0, resulta:

( )kds

kdc

R −==

1

1 εε

Por otro lado, 1/R, o sea la inversa del radio de curvatura, es la curvatura

del elemento φ , es decir la rotación por unidad de longitud dx

θ, que resulta ser:

( )( )

dkds

kdc

Rsc εεεεφ +=

−===

1

1 (3.1)

lo cual demuestra que la curvatura no es otra cosa que el gradiente del

perfil de deformaciones del elemento en la sección considerada (o mejor dicho en el tramo de longitud considerado). Claramente se ve que la ecuación anterior es una relación cinemática, es pura geometría y compatibilidad de deformaciones.

Fig. 3.3. Deformaciones de un Segmento de un Elemento Sometido a Flexión.

dx

θ

θ /2 θ /2

εs dx . 1 (d-kd) 2

εc dx 2

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De resistencia de materiales se conoce además que las relaciones estáticas deben plantearse a partir del equilibrio del elemento analizado. Este equilibrio debe corresponder a las fuerzas exteriores entre sí (acciones y vínculos), acciones interiores entre sí (esfuerzos internos) y de acciones exteriores con esfuerzos internos. Para el equilibrio de estructuras en el plano, la estática impone las siguientes condiciones:

∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑Mxy =0 (3.2)

De estas dos ecuaciones, la primera y la tercera son las de aplicación

cuando se diseñe y analicen secciones de hormigón armado sometidas a flexión. Es importante volver sobre estos principios básicos pues muchas veces el uso de tablas y ábacos para el diseño hacen perder la percepción de los conceptos fundamentales. Según la primera de las ecuaciones 3.2, en una sección determinada, los esfuerzos internos de tracción y compresión inducidos, si no hay acción externa, deberán ser iguales y de sentido contrario,

∫∫∑ ∫ ==

===A

max

Amax

Ax A ydAy

kd

fdA f

kd

ydA f 0F (3.3.a)

Esto significa que el eje neutro debe pasar por el centroide o baricentro geométrico de la sección homogénea.

Sin embargo, por tratarse de flexión, las resultantes de los esfuerzos

axiales por encima y por debajo del eje neutro no tendrán la misma recta de acción: en consecuencia entra a jugar la tercera de las ecuaciones de equilibrio, el equilibrio de momentos, que indica que el momento externo actuante en esta sección debe ser equilibrado por la cupla interna. En definitiva las ecuaciones estáticas serían:

C = T (3.3.b)

es decir esfuerzos de compresión, C, iguales a los de tracción, T, y:

C . jd = T . jd = M (3.3.c)

f

-f

fmax

c

-y

y

dA

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cupla interna igual a momento flector actuante, siendo jd la distancia entre C y T.

La relación constitutiva en flexión se obtiene cuando se introducen las

relaciones constitutivas de los materiales, aparece el módulo de Young, E, por ser esfuerzos axiales los inducidos por flexión y entonces a partir de la ecuación de equilibrio de momentos:

∫∑ ∫ =

==A

2max

Amax dA y

kd

fydA f

kd

y0M (3.4.a)

Por lo tanto:

Ikd

fM max= (3.4.b)

y la tensión máxima está relacionada con la deformación máxima (es lineal en el rango elástico, y proporcional a E por la ley de Hooke), por lo cual se puede escribir:

I E.I Ekd

εM max ϕ== (3.4.c)

de donde entonces la Rigidez a Flexión, o factor de rigidez a flexión, se obtiene como:

ϕM

EI = (3.5)

En definitiva, el problema de obtener una curva representativa del

comportamiento local sería posible si a partir de la ecuación (3.1) se pudiera obtener la curvatura en la sección crítica y de evaluar las cargas que actúan sobre la viga se puede calcular, por simple estática, el momento flector en dicha sección y en cada instante cuando la carga exterior crece desde 0 hasta provocar la falla completa de la viga.

Si las deformaciones específicas, εc y εs, se miden alrededor de la sección

crítica de la viga de la Fig. 3.2 sobre una longitud suficientemente corta, es posible encontrar la variable cinemática asociada a cada paso o incremento de carga. Note que conceptualmente hablando NO es posible encontrar la curvatura en una sección pues ésta se obtiene a partir de medir las deformaciones específicas en una distancia finita. Por ello lo que se obtiene son deformaciones específicas promedio, y por lo tanto, valores promedios de curvaturas asociadas.

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Fig. 3.4 . Respuesta Local: Relaciones Momento vs. Curvaturas para Vigas

Simplemente Armadas.(a) Respuesta Dúctil. (b) Respuesta Frágil. La Fig. 3.4 muestra la relación Momento-curvatura para la sección crítica de

una viga como la de Fig. 3.2. Se pretende que en forma intuitiva el lector pueda justificar los dos tipos de comportamiento local representados por sendas curvas, y que a su vez, para cada tipo de respuesta local se prevea la posible respuesta global. Por ahora basta con aceptar que la viga es de hormigón armado, y que por lo tanto, para hacer frente a las solicitaciones de flexión, que es positiva en este caso, es decir con tracción en la cara inferior, va a movilizar los siguientes mecanismos de resistencia:

(a) En la parte superior la sección está comprimida, por lo cual de estar

armada como en la foto Fig. 3.1, ambos acero y hormigón van a poder trabajar en forma solidaria.

(b) En la parte inferior, dado que existen deformaciones inducidas de

tracción por flexión, sólo a muy bajos valores de tensión ambos materiales trabajarán juntos.

(c) A partir de cierto instante, solamente el acero ubicado bajo el eje neutro

podrá equilibrar al momento actuante.

De las observaciones anteriores, es claro que el primer hito importante en la respuesta de la sección crítica va a ser el agotamiento de la fibra extrema inferior del hormigón en tracción, “first crack” en la Fig 3.4(a) y (b).

Con el aumento de la carga, las fisuras de tracción se propagan hacia

arriba, y van progresivamente dejando “fuera de combate” al hormigón en tracción a cierta distancia del eje neutro. Por obvias razones, conviene entonces ignorar, para este caso, los mecanismos de resistencia a tracción del hormigón.

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Para comprender los subsiguientes posibles estados límites que se producirán con el aumento de la carga externa, convengamos que quedan entonces como mecanismos de resistencia para compresión el hormigón y las barras de acero superiores, y para tracción las barras inferiores. Recordando las leyes constitutivas de los materiales, la falla del hormigón es por compresión (aplastamiento) cuando alcance su deformación máxima, ver Figs. 2.5 y 2.6. Note que alrededor de una deformación del 0.2 % (0.002) se alcanzaría la tensión máxima, y cerca del doble de ésta, 0.4 % (0.004, para hormigón sin confinar) se rompería por compresión. Por inspección de la Fig. 2.28, el acero podría entrar en fluencia cerca de una deformación del 0.2 % (por ejemplo para acero ADN-420 y Es = 200 000 MPa) pero recién fallaría totalmente (rotura por tracción) a una deformación mayor del 10 %, es decir por lo menos 50 veces más allá del límite de fluencia. Por esta razón y porque el hormigón no puede acompañar grandes deformaciones, el próximo estado límite se podría producir o bien por rotura del hormigón por compresión o bien por fluencia del acero en tracción.

Es claro que hay una gran diferencia entre estos dos tipos de “fallas”: si el

hormigón llega antes a la máxima deformación por compresión que el acero al comienzo de fluencia, significa que, a menos que el hormigón en compresión esté confinado por estribos a poca separación entre ellos, acá termina la historia de la viga, pues se produce su falla completa. Su representación M-ϕ sería del tipo de Fig. 3.4(b), como respuesta global, e induciría una respuesta global del tipo “brittle behaviour”, ver Fig. 3.2. Si en cambio, se le da la oportunidad al acero para que entre en fluencia por tracción antes de que el hormigón alcance su límite de deformación de compresión, la sección crítica de la viga habrá alcanzado un estado límite que llamaremos de fluencia del acero en tracción, y que realmente no implica una falla sino más bien “un logro”. Se alcanza el punto “first yielding of steel” en la Fig. 3.4(a) y a partir de este estado, cualquier intento de incremento de cargas se traducirá en deformaciones plásticas importantes Esto puede o no implicar importantes variaciones de la resistencia por encima del valor de fluencia, lo que dependerá fundamentalmente de las características mecánicas del acero en tracción ubicado en el nivel inferior, y de si existen otras capas de acero por encima de aquel. Se ve según Fig. 3.4(a) que la respuesta local es bastante dúctil (del orden de 8 en la gráfica), y esto va a inducir una respuesta global también dúctil, señalada como “ductile behaviour” en la Fig. 3.2. En teoría, para ciertas condiciones del diseño de la sección de la viga de hormigón armado podría ocurrir que en forma simultanea se alcance la deformación máxima del hormigón en compresión y la de fluencia del acero en tracción. Este estado se llama de “falla balanceada”, y correspondería a una ductilidad de curvaturas igual a la unidad, ya que:

y

u

ϕϕµϕ = (3.6)

donde: µϕ = ductilidad de curvaturas. ϕu = curvatura última ϕy = curvatura de fluencia

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y como para el estado de falla balanceado ambas curvaturas son iguales, el factor de ductilidad es unitario (atención, no es cero).

Conceptualmente, es obvio que, para dimensiones y características de los materiales determinadas, el resultado de obtener una falla frágil o dúctil estará asociada a la cantidad de armadura en tracción. Más adelante se verán cuales son las condiciones para un comportamiento dúctil, pero por el momento se acude al hecho físico de que si la viga tiene mucha armadura en tracción, será muy difícil llevarla a la fluencia, por lo que el hormigón fallaría antes por compresión. En la literatura se conoce este fenómeno como “falla primaria por compresión”, implica ductilidad menor que 1.0 (es decir NO tiene ductilidad), y este diseño debe evitarse si se necesita que la viga sea uno de los elementos que debe disipar energía durante un sismo. Por el contrario, si la viga tiene una armadura relativamente pequeña, digamos por ahora entre el 0.2% y 1.5 %, el acero con seguridad podrá fluir y la viga entrará en un comportamiento francamente plástico hasta que ocurra la falla por aplastamiento del hormigón. Este tipo de falla se llama “falla primaria por tracción”, e implica una ductilidad mayor que 1.0. Obviamente, el umbral lo marca la falla balanceada, para lo cual existe una cuantía de acero balanceada, y el objetivo del diseñador debe ser entonces estar bastante por debajo (digamos por ahora menos de la mitad) de la cantidad de armadura que corresponde a ductilidad unitaria. Más adelante, cuando se vea en profundidad el comportamiento en flexión y se deduzcan las ecuaciones que lo gobiernan, se analizarán cuales son los contenidos mínimos, máximos e ideales de armaduras en tracción. Por ahora se trata de llamar la atención sobre el comportamiento físico.

Fig. 3.5. Diferentes Idealizaciones de Relaciones Momento vs. Curvaturas para Secciones con falla primaria por tracción.

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En la práctica, la relación momento-curvatura para una sección con

ductilidad, si bien es una función continua, se puede idealizar por medio de una relación tri-lineal como la indicada en la Fig. 3.5(a). El primer punto corresponde a la fisuración del hormigón por tracción, el segundo a la fluencia del acero en tracción y el tercero a la máxima deformación del hormigón en compresión. En la mayoría de los casos es suficiente con aproximar la curva real a una relación bi-lineal como las indicadas en las Figs. 3.5(b) y (c). El hecho real es que una vez que hayan ocurrido las fisuras, que es el caso más frecuente en las vigas bajo cargas de servicio, la relación M-ϕ es casi lineal desde carga cero hasta el inicio de fluencia. En consecuencia, las Figs. 3.5(b) y (c) representan en forma muy aceptable diagramas M-ϕ para vigas de comportamiento global dúctil pero que ya tenían una fisuración inicial.

En definitiva, como aplicaciones útiles de los diagramas M-ϕ se puede señalar que muestran en forma muy clara los diferentes niveles de resistencia asociados a los estados de comportamiento analizado, y la ductilidad local de la sección. Otra aplicación que no debe dejar de aprovecharse es la que corresponde a la verificación de la rigidez del elemento estructural. La ecuación (3.5) es generalmente aplicada a comportamiento lineal. Sin embargo, se podría ampliar a todo el rango de respuesta de la sección y en consecuencia hablar de tres valores diferentes de módulo de rigidez a flexión: (a) uno que corresponde a la sección sin fisurar, EIcrk:

( )crk

crkcrk

MEI

ϕ= (3.7a)

(b) otro (el de más aplicación tal vez) el que corresponde a valores de fluencia, y

normalmente conocido como módulo de rigidez efectivo:

( )y

yefec

MEI

ϕ= (3.7b)

(c) el tercero, para el comportamiento de post-fluencia o plástico, dado por:

( )yu

yup

MMEI

ϕϕ −−

= (3.7c)

Dado que conviene en todos los casos considerar el módulo de elasticidad

E como el del hormigón, Ec, de las ecuaciones (3.7) se pueden obtener los momentos de inercia para utilizar según los diferentes estados que se analice. Si se toma como referencia el valor de Ig, es decir momento de inercia bruto (gross) de la sección de hormigón armado, para el caso del estado no fisurado, el valor de I será un poco mayor que Ig debido a que resultará de evaluar lo que se llama

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sección transformada homogeneizada (tiene en cuenta la armadura, que se ha transformado en hormigón equivalente). Para el segundo estado, la influencia de la fisuración es determinante, y el I efectivo podría ser de apenas 0.3 o 0.6 del valor de Ig (depende del diseño).

Finalmente, la pendiente de la curva en post-fluencia sería mucho menor

que la inicial, y tal vez el I plástico no sería mayor del 1 % del valor no fisurado. La rigidez es fundamental a la hora de la evaluación de las deformaciones, es decir para verificar condiciones de servicio. Por ello el segundo estado, módulo efectivo, es el de mayor trascendencia a tal efecto.

Se han tratado de introducir los conceptos de flexión de la forma más

cualitativa posible. A continuación se verá la forma de evaluar las resistencias para los distintos niveles mencionados, y sus asociadas curvaturas, lo cual dará la información completa que se requiere para el diseño y/o análisis.

3.3 SUPOSICIONES BÁSICAS PARA EL COMPORTAMIENTO EN FLEXIÓN.

En 1676 Robert Hook expresó la célebre frase “Ut tensio sic vis”, que

traducida significa “como sea la tensión así será la fuerza” y que se transformó en la Ley de Hooke. En este caso tensión significa deformación, y fuerza no es otra cosa que la tensión por el área analizada. En definitiva, la ley de Hooke expresaba la relación directa y proporcional entre las tensiones y deformaciones para materiales elásticos y homogéneos. Sumado esta observación al hecho, observado por Bernoulli, de que durante la flexión una sección vertical gira con respecto a otra suficientemente cercana permaneciendo en un plano (es decir la curvatura o rotación unitaria es única), posibilitó a Navier desarrollar, unos 150 años después, los fundamentos de la teoría para flexión.

En general, son cuatro las suposiciones básicas que se utilizan cuando se

tratan de obtener las características de resistencia y deformación por flexión en hormigón armado:

(i) Secciones planas antes de la flexión permanecen planas después de

ella.

(ii) Se supone conocida la curva tensión-deformación del acero.

(iii) La resistencia del hormigón a tracción puede ignorarse.

(iv) Se supone conocida la curva tensión-deformación del hormigón en compresión.

La primera suposición, implica una extensión de la teoría de Bernoulli a

secciones de hormigón armado para toda la respuesta, incluso cerca de la falla completa. Significa que las deformaciones longitudinales del hormigón y del acero

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en cualquier punto de una sección transversal son proporcionales a su distancia al eje neutro. Existe ya una gran evidencia experimental de que esta suposición es válida para todos los estados de carga en secciones de hormigón armado hasta la falla por flexión, siempre y cuando exista buena adherencia entre el hormigón y el acero. Por cierto entonces esto es bastante exacto en la zona de compresión del hormigón. La aparición de fisuras en la zona de tracción indica que algún deslizamiento ha ocurrido entre las barras de acero y el hormigón que las rodea, por lo cual la suposición enunciada no es de estricta aplicación en la vecindad de una fisura. Sin embargo, si la deformación del hormigón se mide en una longitud que abarque varias fisuras, se encuentra que el principio de Bernoulli es aplicable a la deformación de tracción promedio.

La Fig. 3.6, tomada de ref.[2], muestra las distribuciones de deformaciones

medidas a través de secciones transversales de columnas de hormigón armado cerca de las zonas de fallas y para varios estados de incrementos de carga. Estas secciones de columnas eran o bien cuadradas de 25 cm de lado, o bien circulares de 30 cm de diámetro. Las deformaciones en el acero fueron medidas a través de una longitud de 25 mm, mientras que, por lo dicho antes, en el hormigón la longitud de deformación (gage length) para la medición fue de 150 mm. Por supuesto que se debe esperar cierta desviación de la linealidad o proporcionalidad entre deformación y distancia al eje neutro, producto principalmente de las inexactitudes de las mediciones individuales y ubicación de las líneas de medición.

Es evidente por inspección de la figura que el perfil de las deformaciones obtenidas en forma experimental es razonablemente lineal. Esta suposición no es válida en zonas donde aparecen fisuras diagonales debidas a elevadas tensiones de corte o bien en vigas de gran altura. Así por ejemplo, la norma ACI-318, ref.[1], en su sección 10.2.2. establece que no puede tomarse como aplicable esta hipótesis para vigas de gran altura y en estos casos debe considerarse la no linealidad de las deformaciones, ver sección 10.7 de la norma, o utilizar el modelo de bielas, ver sección 11.8.

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Fig. 3.6. Distribución de deformaciones a través de secciones de columnas de hormigón armado para varios estados de cargas.

La segunda suposición significa que la relación tensión-deformación del

acero está bien definida. En general, ésta se idealiza mediante una relación bi-lineal de forma tal que el material es perfectamente lineal y elástico hasta la fluencia y perfectamente plástico a partir de ella. En otras palabras, el incremento de tensión por endurecimiento de post-fluencia es ignorado. Así está establecido en el ACI-318, sección 10.2.4. Esto es debido a que no sería razonable confiar en un incremento de la resistencia del acero en la fase plástica, sobre todo si la ley constitutiva no es conocida. Por ello los autores de ref.[3] coinciden en que si bien la suposición de rigidez postelástica nula para el acero hasta su rotura no es necesaria si la curva f-ε es conocida, a los efectos de evaluar la resistencia para diseño a flexión es conservativa y conveniente. Sin embargo, cuando es posible

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que ocurra un incremento en las tensiones por endurecimiento que pueda conducir a una situación desfavorable, por ejemplo falla frágil por corte o por adherencia, el diseñador puede y debería tomar en cuenta el posible incremento de resistencia. Esta es una de las causas que se consideran en la sobre-resistencia a la que se refirió en el capítulo 1.

La tercera suposición no merece prácticamente discusión: cualquier tensión

de tracción que exista por debajo del eje neutro es menor, y por otro lado su resultante posee un brazo elástico muy pequeño, por lo que de existir alguna contribución en la resistencia a flexión, no se comete error apreciable al ignorarla.

Fig. 3.7 . Distribución de deformaciones y tensiones en la zona comprimida de una sección a medida que el momento aumenta. (a) Elemento de viga y perfil de

deformaciones; (b) distribución de tensiones de los perfiles según (a). La cuarta de las suposiciones es necesaria para poder establecer el

comportamiento real de la sección ante diferentes niveles de carga. Debido a que las tensiones son proporcionales a la distancia al eje neutro, y suponiendo una relación tensión-deformación para el hormigón como la indicada en la Fig. 2.6 del capítulo 2, la Fig. 3.7 muestra cómo va cambiando la forma del bloque de tensiones comprimido de hormigón a medida que el momento flector actuante se incrementa. La sección alcanza su resistencia a flexión máxima cuando la fuerza total de compresión en el hormigón C multiplicada por el brazo elástico jd es un valor máximo. Tal cual se muestra en la Fig. 3.8(a), las propiedades del bloque de tensiones de compresión del hormigón en la sección de máximo momento pueden quedar definidas por los parámetros k1, k2 y k3. Para una sección rectangular de ancho b y altura efectiva o útil d, la fuerza total de compresión en el hormigón está dada por:

C = k1 k3 f´c b c = b.(k1.c).(k3.f´c) (3.8)

y el brazo elástico es (d–k2.c), donde con c se designa la profundidad del eje neutro. Extensos estudios se han llevado a cabo para determinar la magnitud de estos parámetros, que corresponden a hormigón sin confinar. Los más conocidos son los llevados a cabo por E. Hognestad en el PCA (Portland Cement Association) en la década de 1950-1960, y por H. Rüsh en Berlín también en esa

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época. En la tabla 3.1 se muestran los valores que se encontraron en el PCA, los cuales se encontraron igualando las fuerzas y momentos internos y externos. Fig. 3.7c . Tipo de ensayos que se efectuaron en la Cement Pórtland Association (PCA).

La Fig. 3.7c muestra los especimenes que se ensayaron en la PCA, donde

se sometía a los elementos a compresión excéntrica, y se hacían variar P1 y P2. Se mantenía con deformación nula la cara inferior. Tabla 3.1. Parámetros del bloque de tensiones al momento del desarrollo de la resistencia a flexión de secciones rectangulares encontrados por el PCA a través de ensayos de hormigón no confinado.

Algunas reflexiones que se pueden hacer: (i) Tal cual se ve en la tabla, y quedó manifestado en las curvas de la Fig. 2.5

del capítulo 2, la deformación εc es función de f´c y disminuye a medida que aumenta la resistencia del hormigón.

(ii) Para los hormigones de más resistencia, la máxima tensión que se alcanzó

en los especímenes en el momento de desarrollo de máxima resistencia dado por k3 f´c, resultó levemente menor que la resistencia cilíndrica f´c.

(iii) Los parámetros k variaron en función de f´c (decrecen con la resistencia).

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3.4. BLOQUE DE TENSIONES RECTANGULAR EQUIVALENTE.

Varios investigadores, entre ellos S. C. Whitney, sugirieron el reemplazo de del bloque de tensiones real de compresión del hormigón por uno rectangular equivalente como una simplificación que se muestra en la Fig. 3.8(b). Para obtener la resistencia a flexión, sólo se necesita de la magnitud (k1k3) y de la posición, asociada a k2, de la fuerza de compresión del hormigón. El bloque rectangular equivalente facilita grandemente los cálculos. Esta es la práctica aceptada pel ACI-318, y por otras normas como el NZS:3101, ref.[4], y el código inglés CP110, ref.[5]. El ACI en su sección 10.2.7.1 establece que el rectángulo equivalente tiene una tensión media de compresión igual a 0.85f´c, y una profundidad a, donde la relación a/c = β1 debe tomarse igual a 0.85 para resistencias del hormigón f´c hasta 30 MPa, y para valores superiores responde a esta expresión:

7

)30(05.085.0

'

1

MPafc −−=β (3.9)

pero nunca menor de 0.65 (es decir que a partir de f´c = 58 MPa, β1 debe tomarse igual a 0.65). La reducción en el valor de β1 para hormigones de alta resistencia es debida a la forma menos favorable de la curva tensión-deformación que se vio en Fig. 2.5 del capítulo2.

Fig. 3.8 . Distribución de tensiones de compresión para sección rectangular.

(a) Distribución real. (b) Rectangular equivalente.

Estudios llevados a cabo en la Universidad de Canterbury por R. Park y otros, sugirieron que en vez de tomar un valor de tensión de compresión constante de 0.85f´c, se debería ajustar con un coeficiente α1, de forma que la tensión media debe tomarse como (α1 f´c), y donde:

α1 = 0.85 para f´c ≤ 55MPa (3.10a)

α1=0.85–0.004 (f´c – 55) para f´c> 55MPa (3.10b)

19

De todas maneras impone como límite inferior el valor de α1=0.75.

Para el reemplazo por el bloque simplificado a rectangular se debe cumplir que su resultante debe ser igual a la que corresponde al diagrama real, y además dicha fuerza debe estar ubicada a la misma distancia del eje neutro que cuando se trabaja con el diagrama de compresión real. Por ello se deben cumplir las siguientes condiciones:

C = k1 k3 f´c b c = 0.85 f´c b a

Por lo que entonces:

k1 k3 = 0.85 a / c = 0.85 β1 (3.11) y además:

k2 c = 0.50 a ⇒ k2 = 0.5 a/c = 0.5 β1 (3.12)

En la Fig. 3.9 se comparan los valores de k1k3 y de k2 dados por las ecuaciones 3.11 y 3.12, substituyendo los valores de β1 sugeridos por el ACI, con los que corresponden a los ensayos de especímenes de hormigón sin confinar ensayados en el PCA y por Rüsch. Se observa que existe buena correlación. La dispersión de resultados muestra además que el uso de valores más complicados para los parámetros del bloque rectangular no garantiza mejores resultados, y además, no existe necesidad de mejores aproximaciones que las ya logradas. No se tienen además muchos datos experimentales para hormigones con resistencia superior a los 55 MPa. 3.5. MÁXIMA DEFORMACIÓN DEL HORMIGÓN.

El ACI-318, en su sección 10.2.3 especifica que la máxima deformación utilizable en la fibra extrema del hormigón sometido a compresión debe tomarse igual a 0.003. Los valores de la deformación εc correspondientes a la máxima resistencia a flexión han sido medidos por varios investigadores.

La Fig. 3.10 muestra los valores obtenidos por el PCA y por Rusch en

hormigón no confinado. Esta indica que el valor de 0.003 es razonablemente conservativo. Para este valor de deformación el hormigón en compresión no va a mostrar como visible fisuras ni desintegración (por el efecto de Poisson), aunque ese valor de εc sea bastante mayor al que corresponde a la máxima tensión.

Cilindros de hormigón cargados axialmente se van a fisurar bastante

cuando la deformación excede la que corresponde al máximo valor de f´c pero en los ensayos en flexión las fisuras no son visibles hasta que se alcanzan valores de deformación grandes, lo cual es atribuido a la presencia de material con menores esfuerzos por estar más cercano al eje neutro.

20

Fig. 3.9 Propiedades de la distribución de tensiones de compresión del hormigón al desarrollar la resistencia a flexión de una sección rectangular: comparación de los parámetros que adopta el ACI con los resultados de los ensayos.

Fig. 3.10 Deformación de la fibra extrema del hormigón en compresión al desarrollar la resistencia a flexión. Comparación del valores del ACI con los ensayos.

Lo importante de reconocer es que la resistencia a flexión en una viga de

hormigón armado es bastante insensible al valor que se suponga como deformación máxima del hormigón en compresión.

La Fig. 3.11 muestra esta aseveración en forma muy clara, para una viga

de hormigón simplemente armada (sólo con armadura inferior) y con dos cuantías de acero bien diferenciadas. Se grafica la relación entre el momento resistente evaluado a partir de una relación fc-εc y el momento evaluado de acuerdo a la

21

norma ACI-318 versus la deformación que en cada caso se toma para la deformación del hormigón en la fibra extrema en compresión. La ref. 2 explica la forma de evaluar los momentos. Lo importante de notar es que tomando una deformación máxima de 0.007 para el caso de cuantía ρ=0.005 la disminución de resistencia fue de apenas el 1% y para ρ=0.025 menor del 6%.

Fig. 3.11

Curvas Momento vs. deformación para vigas de hormigón armado simplemente armadas con resistencia obtenidas a partir de ensayos sobre probetas cilíndricas.

En consecuencia, la elección del valor máximo de εc tiene muy poca influencia en la determinación de la resistencia a flexión en vigas dentro de un amplio margen. Sin embargo, para columnas sometidas a flexo-compresión que puedan fallar en compresión, los cambios en los valores de los parámetros del bloque equivalente, que se producen cuando la deformación de la fibra extrema aumenta, causarán variaciones de consideración en la resistencia a flexión.

En contraste, es evidente que la curvatura de una sección depende mucho

del valor que se adopte para la fibra extrema. En definitiva, para calcular la curvatura última se podría tomar un valor un poco mayor, y algunos autores, ver ref. 2, aconsejan tomar como deformación extrema 0.004 para la evaluación de la curvatura última en secciones de hormigón armado no confinado. En el capítulo 5, cuando se trate el tema de columnas, se verá que los valores de la deformación máxima del hormigón pueden ser mucho mayores cuando éste está confinado. 3.6. AREAS COMPRIMIDAS NO RECTANGULARES.

Para miembros en los cuales el área de hormigón comprimido de la sección

no es rectangular, como en el caso de secciones T y L en los cuales el eje neutro esté ubicado en el alma, o para elementos estructurales sometidos a flexión biaxial, no son estrictamente aplicables los parámetros recomendados para el bloque de tensiones equivalentes de hormigón. Esto es debido a que serán diferentes tanto la tensión media como la altura del bloque de tensiones para

22

varias formas que pueda adoptar el área de hormigón comprimida. También será diferente la deformación en la fibra extrema al instante del máximo momento. Sin embargo, y sin entrar en mayores detalles, la ref. 2 concluye que en base a trabajos de investigación de varios autores, y a menos que la sección esté muy sobre armada, la resistencia a flexión de vigas con secciones comprimidas no rectangulares se puede estimar con buena aproximación utilizando los parámetros del bloque de tensiones equivalentes y la deformación extrema del hormigón comprimido que se utilizan para secciones rectangulares, ya que el brazo de la cupla de flexión y las fuerzas internas no son afectadas en forma significativa. Sin embargo, para columnas con sección no rectangular, debido a la influencia del esfuerzo axial y el consecuente incremento de la zona comprimida, el uso de los parámetros del bloque equivalente podría llevar a resultados no aceptables.

Fig. 3.11(b) . Efecto de la forma de la sección en la deformación del hormigón en la fibra extrema al desarrollar el máximo momento.

En la Fig. 3.11(b) se muestra las deformaciones máximas en la fibra en

compresión al alcanzar el máximo momento para varios tipos de formas de secciones. La curva muestra la relación tensión-deformación y la forma del bloque de tensiones comprimido de hormigón en la sección. Dos casos matemáticamente extremos fueron analizados en cuanto a suposición de ubicación del eje neutro. Los círculos sólidos representan el caso de eje neutro en el baricentro del acero en tracción; los círculos abiertos el caso de cero deformación en el extremo de la fibra comprimida. El caso real para la mayoría de los elementos estará entre ellos. La figura muestra el efecto de la forma del área comprimida sobre la deformación máxima cuando se alcanza el máximo momento. Por ejemplo, para zona triangular, que ocurre en columnas bajo momento biaxial, las deformaciones máximas pueden alcanzar casi dos veces el valor del que corresponden a secciones T. Esta diferencia ocurre debido a que para la zona triangular la mayor parte del área comprimida está cerca del eje neutro por lo que el máximo momento ocurre a deformaciones extremas relativamente altas, mientras que en las secciones T el caso es inverso.

23

3.7. RESUMEN DE LAS SUPOSICIONES Y RECOMENDACIONES PARA DETERMINAR LA RESISTENCIA DE SECCIONES SOMETIDAS A FLEXIÓN Y CARGA AXIAL. DIFERENCIAS ENTRE NORMAS.

(i) Las secciones planas antes de la flexión permanecen planas después

de aplicada aquella. (ii) Para la distribución de tensiones de compresión en el hormigón se

pueden aplicar los parámetros del bloque equivalente. (iii) La resistencia a tracción de hormigón puede ignorarse. (iv) la deformación del hormigón en su fibra extrema en compresión puede

tomarse igual a 0.003. (v) La tensión del acero antes de su fluencia se puede tomar como igual a

la deformación multiplicada por el módulo de elasticidad, 2x105 MPa, y para mayor deformación mantener el valor de tensión de fluencia.

(vi) Para vigas con secciones comprimidas no rectangulares podrían aplicarse los parámetros del bloque equivalente; para columnas con secciones comprimidas no rectangulares debería usarse una curva más realista.

(vii) El efecto de duración de carga puede ser ignorado (para más información referirse a ref. 2).

La distribución de tensiones de compresión en el hormigón puede en general

tomarse con cualquier forma siempre y cuando lleve a una predicción de la resistencia a flexión que sea confiable. Así lo indica el ACI-318 en su sección 10.2.6. Por ejemplo, algunas alternativas que se utilizan son las que recomienda el CEB-FIP, o las de las normas DIN-1045 que han sido adoptadas por el CIRSOC 201, 1982, tomo II, sección 17.2.1, ref.10. Las principales diferencias que se pueden mencionar, sólo en el aspecto de hipótesis para evaluar resistencias a flexo-compresión, entre el ACI-318 y las normas Europeas (excepto el CP110 del Reino Unido) son las siguientes:

(i) Se adopta una parábola de segundo grado hasta una deformación de 0.002 y luego una rama horizontal (tensión constante) hasta 0.0035. Esta norma no da opciones para las relaciones Tensión-Deformación del hormigón ni del acero. La Fig. 3.13 muestra la relación citada.

Fig. 3.13. Curva de comportamiento del hormigón en compresión según DIN 1045.

24

(ii) Además el CIRSOC, en su Anexo A.17.2.1 toma un criterio inverso a lo expresado anteriormente: para el caso de secciones comprimidas no rectangulares sugiere el uso de un bloque de tensiones rectangulares equivalentes.

(iii) En cuanto a la tensión máxima del hormigón a tomar para evaluar la

resistencia adopta un coeficiente de reducción por carga de larga duración del orden de 0.85 que se debe aplicar al valor de resistencia característica. Por ejemplo, para un hormigón H-13 toma βR = 10.5 MPa, ver Fig 3.13.

(iv) Considera que no son importantes los fenómenos de fluencia lenta y

contracción del hormigón. El ACI-318 considera la influencia en su sección 9.5.2.5, y estos efectos según esta norma no son nada despreciables.

(v) El CEB-FIP limita la máxima deformación usable del acero a 0.01, es

decir apenas el 1%. La normas DIN-1045 es aún más conservadora y reducen este valor a 0.005, es decir 0.5 %. Este es el criterio adoptado por el CIRSOC, ref.10, ver Fig. 8, sección 17.2.1.[10] de dicho reglamento. El ACI no impone límites en la deformación a tracción del acero. Debe reconocerse que esta restricción produce muy poca diferencia (si no se considera el aumento de tensión por endurecimiento de post-fluencia) en el valor de la resistencia a flexión, pero, y aquí está la gran diferencia, sí tiene una influencia notable en la evaluación de la capacidad de deformación disponible del elemento. Dado que la deformación disponible del acero es mucho mayor que aquellos límites impuestos, la ref. 2 menciona que tal restricción no es necesaria. Además, para el caso de diseño sismorresistente, la evaluación de las capacidades de deformación, y las posibilidades de sobre resistencia son fundamentales a la hora de establecer criterios de diseño y seguridad. En estos casos la imposición de un límite para la deformación del acero en tracción es inaceptable. De hecho, en el criterio de imponer límites o no a la deformación del acero en tracción por flexión cuando se desarrolla la máxima resistencia radica una de las mayores controversias y diferencias entre el ACI-318 y las normas europeas (excepto CP110, como se dijo). Note que el límite superior que impone la DIN, 0.005 para deformación del acero, es justamente el límite inferior que estipula el ACI, sección 10.3.4, para considerar que una sección está controlada por tracción. Es decir cuando el ACI pide deformación más allá de ese límite, la DIN impone valores por debajo del mismo. El ACI en la sección 10.3.3 establece que la sección estará controlada por compresión cuando la deformación neta de tracción en el acero más traccionado, para acero ADN-420, es menor que 0.002. Entre ambos límites fija una zona de transición. Ver Fig. 3.14.

25

Fig. 3.14. Deformaciones del acero en tracción para determinar cuando la sección

está controlada por compresión o por tracción. Variación del factor φ.

Como se ve, las diferencias de criterios entre las normas del CEB-FIP y las DIN, y por ende las actuales CIRSOC 201, 1982, ref.10, con respecto a las del ACI-318, que son las del CIRSOC 201-2005, no son triviales. Existen aún más diferencias en los criterios de adopción de factores de carga para solicitaciones últimas (referir a Capítulos 1 y 2), y en los criterios de armado, en particular cuantías mínimas y máximas de acero, a los que nos referiremos más adelante.

26

3.8. RESISTENCIA DE MIEMBROS SOMETIDOS A FLEXIÓN SI MPLE. VIGAS. 3.8.1 VIGAS O LOSAS SIMPLEMENTE ARMADAS.

La Fig. 3.15 muestra una sección de hormigón armado simplemente armada, es decir con una sola capa de acero ubicada a la distancia d del borde comprimido, altura útil según la norma.

Fig. 3.15 Sección de hormigón armado simplemente armada al momento de alcanzar la máxima resistencia a flexión.

Por condición de equilibrio de fuerzas se debe verificar que:

ysscc fATfabC === ´85.0 (3.13)

de donde se puede despejar la altura de bloque necesario para equilibrar la fuerza de tracción en el acero:

´85.0 c

ys

fb

fAa = (3.14)

El momento resistente nominal es:

)59.0()2

( ´c

ysysysn bf

fAdfA

adfAM −=−= (3.15)

por lo que conociendo las características mecánicas de los materiales y las dimensiones y armadura simple de la sección, por aplicación de las ecuaciones de

27

equilibrio se puede obtener la resistencia nominal a flexión. Se podría decir que se trata de una “estructura isostática” donde sólo el equilibrio basta para resolver el problema (no hizo falta acudir a la compatibilidad de deformaciones) 3.8.2 GENERALIZACIÓN DEL PROBLEMA.

En lo que sigue se va a tratar de guiar al lector para que a partir de los principios básicos ya expuestos sea capaz de diseñar y/o analizar secciones de hormigón armado sometidas a flexión solamente, con múltiple capas de armaduras. Este es el caso típico de las vigas con dos o más capas de acero. Desarrollando este caso, se verá que con un simple paso más, la incorporación de la carga axial, se está en condiciones de diseñar elementos sometidos a flexo-compresión, caso de columnas y tabiques. A los efectos de captar el problema en su forma más conceptual posible, y mantener la generalidad, se tratará de utilizar sólo las ecuaciones en su forma más básica, y de desalentar el uso de tablas y ábacos, por las razones que ya se expondrán.

Fig. 3.16 Equilibrio de una sección de viga en el desarrollo de la resistencia a flexión.

La Fig. 3.16 muestra la sección transversal de una viga doblemente armada con distribución de deformaciones y tensiones cuando alcanza su resistencia a flexión. Para el análisis de la sección se seguirá sistemáticamente este orden:

(i) Dibujo de la sección transversal, en escala y con la ubicación

de todas las armaduras disponibles.

(ii) Diagrama de deformaciones para el estado que se analice: compatibilidad de deformaciones.

(iii) Diagrama resultante de tensiones, utilizando las leyes

constitutivas de los materiales o sus simplificaciones.

(iv) Obtención de Fuerzas de tracción y de compresión, y ubicación de las mismas en los baricentros respectivos.

(v) Verificación de las condiciones de equilibrio.

28

(vi) De satisfacer el paso anterior, evaluación del momento resistente.

En la sección 3.2, cuando se expresó la importancia de reconocer el

comportamiento local de una sección de hormigón armado, se enfatizó el requerimiento de obtener un comportamiento dúctil. Era necesario, se dijo, que el acero en tracción entrara francamente en fluencia antes de que se agote la deformación del hormigón en compresión. Para esto debía limitarse la cantidad de armadura en tracción. Luego volveremos sobre esto para fijar los límites respectivos.

Por ahora convengamos en que el estado último de la sección está controlado

por la falla por compresión del hormigón. El proceso de análisis se supondrá que es iterativo, de prueba y error, iniciándose con la imposición de la máxima deformación εcu en la fibra extrema del hormigón en compresión, y suponiendo una profundidad de eje neutro igual a c. Se adopta el siguiente procedimiento y serie de ecuaciones asociadas:

(i) compatibilidad:

c

dccus

'' −= εε (3.16a)

c

cdcus

−= εε (3.16b)

(ii) Diagrama de tensiones: se obtiene a partir de las leyes constitutivas y/o

simplificaciones. Para el acero, si las deformaciones son mayores que las de fluencia, εy, las tensiones son f’s= fs= fy. De lo contrario, es válida la ley de Hooke, es decir:

f’s = ε’s . E (3.17a) f s = ε s . E (3.17b)

Para el hormigón utilizar el bloque de tensiones rectangulares equivalentes. (iii) Evaluación de fuerzas resultantes:

Cc = 0.85 f’c a b (3.18) Cs = A’s . f’s (3.19a)

T = As . fs (3.19b)

(iv) Verificación de las condiciones de equilibrio:

Cc + Cs + T = 0 (3.20a)

Si esta ecuación se verifica (con un error tolerable) se continúa con el paso siguiente. De lo contrario, en base al signo del error en el equilibrio, se corrige

29

la posición del eje neutro, o sea se cambia c y se repiten los pasos anteriores hasta verificar la ecuación anterior. Para aplicar esta ecuación se debe adoptar una convención de signos, por ejemplo tracción negativa y compresión positiva. (v) Evaluación del momento resistente:

El momento resistente, que en este caso debe tenerse muy en cuenta según lo que se expresó en el capítulo I (sección 1.6) es el momento nominal, se puede tomar con respecto a cualquier punto de la sección. Por ejemplo, si se toma respecto del baricentro de la armadura traccionada resultará:

Mn = Cc (d-a/2) + Cs (d-d’) (3.21a)

Sin embargo, si se ha designado con d1, d2,....di, ....dn a las profundidades de las n capas de armaduras, distancias medidas desde el borde comprimido, lo común es encontrar el momento nominal como:

2/aCdCdTM ccisi

tisin −−= ∑∑ (3.22b)

siendo dt

i las distancias di de las barras traccionadas y dci las distancias de las

barras comprimidas, Ts las fuerzas de tracción de las armaduras y Cs las de compresión, y Cc la resultante de compresión del hormigón. (vi) Si se debe diseñar la sección de hormigón armado contra un

determinado valor de demanda, Momento Requerido Mr o Momento último, Mu, entonces se debe cumplir que:

Md = φ Mn ≥ Mr = Mu (3.23)

Si esta condición no se cumple, se deberá aumentar la resistencia de la sección, por ejemplo, aumentando la cantidad de armadura, o bien la sección de hormigón, o bien ambas.

La importancia de seguir este procedimiento iterativo se resume en que:

(a) Es independiente de la cantidad de capas de acero, sean en compresión o en tracción, que se dispongan en la sección.

(b) Es independiente de la forma de la sección de hormigón: pueden ser secciones rectangulares, en L, en T, o de cualquier forma. Sólo debe verificarse, en función de la profundidad del eje neutro, la forma correcta de evaluar Cc.

(c) Va a ser fácilmente generalizada para flexo-compresión, con el sólo agregado de la fuerza axial actuante P, por lo que la ecuación 3.20 toma esta forma:

Cc + Cs + T = P (3.20b)

30

(d) Permite la evaluación de la curvatura para el estado último por

aplicación de la ecuación (3.1), es decir:

( )d

scuu

εεϕ += (3.24)

(e) Es un procedimiento fácilmente programable, que puede

resolver la casi todos los casos prácticos de flexo-compresión, sin necesidad de usar tablas y ábacos que adolecen de la falta de generalidad acá planteada.

(f) Permite la generalización para cualquier estado de deformación: baste con fijar la deformación de referencia y aplicar los pasos en consecuencia. Por ejemplo, para el estado en que el acero en tracción comienza a fluir, se impone en esa capa que εs =εy y en este caso se deja libre la deformación por compresión del hormigón que resultará de las necesarias iteraciones hasta lograr el equilibrio. Se obtiene en este caso My.

(g) Si se evalúa para el estado de primer fluencia en tracción, también se puede obtener la curvatura de fluencia, ϕy, como la relación entre la deformación del hormigón resultante en su fibra extrema dividida por la profundidad de eje neutro.

(h) En definitiva permite entonces obtener la ductilidad de curvaturas, por aplicación de la ecuación 3.6.

(i) Al incluir diferentes valores de carga axial P se pueden obtener los diagramas de interacción para flexo-compresión.

(j) Permite transformar un procedimiento de diseño rápidamente en uno de análisis, sin necesidad de resolver ecuaciones salvo las de equilibrio básico.

(k) Por último, y no menos importante, permite al diseñador controlar lo que está haciendo sin perder de vista el concepto físico. Las tablas muchas veces tienen coeficientes de seguridad incluidos que a veces no son percibidos por el diseñador. Además, y ocurre en muchos casos en particular en flexo-compresión, la combinación M-N puede no ser contemplada por la tabla disponible.

3.9 DISEÑO A FLEXIÓN CON FÓRMULA APROXIMADA.

Tal cual se expresó anteriormente, la resistencia a flexión cuando no existe esfuerzo axial, para una sección de hormigón armado determinada, depende casi exclusivamente de la cantidad de armadura que está en tracción, es decir de la componente Ts. Por otro lado, cuando la sección alcanza su estado de resistencia nominal, es decir el hormigón estalla por compresión, la profundidad del eje

31

neutro, c, es muy pequeña y entonces a= 0.85 c lo es más aún, y por lo tanto el brazo de palanca de la componente Cc, es decir a/2, es todavía más pequeña. La armadura en compresión, A´s, también está ubicada en la parte superior de la viga, y entonces una aproximación sería suponer que la resultante de la fuerza de compresión del hormigón, Cc, pasa justo por el baricentro de la armadura comprimida, es decir que a/2 = d´, ver Fig. 3.16. Esta es la suposición que se hace en la ref. 3, por lo que para una sección de hormigón armado dada, con armadura inferior, As, y superior, A´s, ubicadas a profundidades d y d´ respectivamente, el momento nominal se puede calcular en forma aproximada mediante esta expresión:

)()( '' ddfAddTM ysn −=−= (3.25)

siendo ésta una ecuación de análisis. Suponiendo que nuestro problema es calcular la armadura de tracción necesaria de una viga de ancho b y altura total h, para soportar un momento requerido o último, Mr= Mu, cuando conocemos la tensión de fluencia del acero a utilizar, fy, y adoptando valores de d y d´ asociados a los recubrimientos mínimos de armaduras, podemos entonces utilizar esta ecuación de diseño aproximada:

)(

/'ddf

MA

y

us −

= φ (3.26)

en la cual ya se ha introducido el factor de reducción de resistencia para cumplir la condición de que la resistencia de diseño, nominal reducida por φ, debe superar la demanda última. Esta es una forma muy rápida y efectiva de prediseñar la armadura de tracción, la cual puede luego ser ajustada aplicando los principios básicos de equilibrio y compatibilidad de deformaciones ya visto. En muchos casos el ajuste es mínimo. Note que es buena aproximación para evaluar el momento, pero el eje neutro supuesto no es buena aproximación para evaluar la curvatura nominal. 3.10 RESPUESTA DÚCTIL. CONCEPTO DE FALLA BALANCEADA .

En la sección 3.2, al referirse a diagramas de momentos vs. curvaturas se analizaron en forma conceptual los distintos estados por los que pasa la sección crítica de una viga sometida a flexión hasta su falla completa. Se explicó que el umbral entre el comportamiento dúctil y el frágil esta básicamente condicionado, para una dimensión dada de hormigón y características de los materiales componentes, por el contenido de armadura en tracción.

Dado que para obtener comportamiento dúctil es necesario contar con

armadura de tracción que esté por debajo del contenido que corresponde a la falla balanceada, se presentará a continuación la forma de calcular el límite de armadura superior para evitar la falla frágil. Para esto nos referiremos al caso más simple, que es el de viga con armadura simple, que como se comprenderá es una

32

situación que en la realidad casi nunca se da pues toda viga tiene al menos dos capas de armaduras, una inferior y otra superior.

La Fig. 3.16 muestra los esquemas necesarios que antes se explicaron

para analizar la viga en el estado límite último, es decir sección transversal con dimensiones y armaduras, distribución de deformaciones, distribución de tensiones y ubicación de fuerzas axiales resultantes.

La condición de falla balanceada se alcanza cuando simultáneamente el

acero fluye en tracción, es decir εs= εy, y en su borde más comprimido el hormigón alcanza su máxima deformación, es decir εc= 0.003. La ecuación de compatibilidad, para el caso de una viga simplemente armada como la de Fig. 3.15, está dada por:

b

bsyy

c

cdEf −==

003.0

/

003.0

ε

donde cb es la profundidad del eje neutro para el estado de falla balanceada, por lo que entonces:

dfE

Ec

ys

sb +

=003.0

003.0 (3.27)

La altura a del bloque de tensiones equivalente es:

dfE

Ea

ys

sb 1003.0

003.0 β+

= (3.28)

donde ab es la profundidad del bloque de tensiones equivalentes para el caso de falla balanceada. La condición de equilibrio indica que C = T, es decir:

0.85 f´c ab b = As . fy = ρb . b . d . fy

ρb= As/bd representa la cuantía de armadura en tracción que provoca la falla balanceada. En consecuencia, para que ocurra este tipo de falla se debe cumplir que:

df

a' f.

y

bcb

850=ρ (3.29a)

Sustituyendo la ecuación 3.28 en 3.29a, resulta:

ys

s

y

bcb fE

E

df

a' f.

+=

003.0

003.0850ρ (3.29b)

33

Substituyendo el valor de Es por el estipulado por el ACI-318 para el acero e igual a 200000MPa, resulta:

yy

cb f f

' f.

+=

600

600850 1βρ (3.30)

Se ve entonces que la cuantía balanceada depende de las características

mecánicas de los materiales hormigón y acero. Para el caso particular de nuestros aceros, ADN-420, con fy = 420 MPa, y para hormigones con f´c ≤ 55MPa, para los cuales β1 = 0.85, y viga simplemente armada, resulta:

ρb = 0.001 f´c (3.31) lo cual implica que, por ejemplo, para un hormigón de f´c= 20 MPa la cuantía balanceada es del orden del 2 %. Así entonces, si la viga fuera de b=20 cm con altura útil de d=50 cm, la cantidad de armadura de tracción para falla balanceada sería de 20 cm2 (aproximadamente cuatro barras de 25 mm de diámetro).

Fig. 3.17

Perfiles de distribución de deformaciones de una sección al desarrollo de la resistencia a flexión en función de la cantidad de armadura en tracción.

En definitiva, el tipo de falla va a depender de si la cuantía está por debajo

o por encima del valor de ρb. La Fig. 3.17 muestra los perfiles de deformación de una sección cuando se alcanza la resistencia a flexión para tres contenidos de acero en tracción. Estos tienen asociados diferentes profundidades de eje neutro. Las tres condiciones son: (i) Si ρ < ρb, entonces es c < cb, es decir εs > εy, por lo que fs = fy y corresponde

a una falla primaria por tracción (fluencia del acero antes que rotura por compresión del hormigón). La ductilidad de curvaturas, ecuación 3.6, es µϕ

> 1.0. (ii) Si ρ > ρb, entonces es c > cb, es decir εs < εy, por lo que fs < fy y la falla es

por compresión (NO fluye el acero antes que rompa por compresión el hormigón). No existe ductilidad de curvaturas.

34

(iii) Si ρ = ρb, entonces es c = cb, es decir εs = εy y εc = 0.003, y la falla es también del tipo frágil, ya que no existe desarrollo de fluencia. La ductilidad de curvaturas es µϕ = 1.0. La Fig. 3.18 muestra cómo ha fallado un modelo físico de una unión viga-

columna de hormigón armado y donde se nota que antes de la rotura por compresión del hormigón ha existido una importante fisuración de tracción por flexión, lo que implica que la armadura de tracción se ha plastificado y se ha producido lo que se llama “falla de tracción primaria”. Tal cual se expresó antes, el término de falla por tracción indica que la armadura se plastificó en tracción y dio la oportunidad de “avisar” que se acercaba a la falla definitiva, no sin antes haber disipado bastante energía por deformación plástica. Es importante reconocer que las vigas en definitiva fallan por compresión, y que el término “falla por tracción” puede llamar a confusión. En realidad, deberían mencionarse “falla con fluencia de acero en tracción” y “falla sin fluencia del acero en tracción” los casos de falla dúctil y frágil respectivamente, porque es la existencia o no de la fluencia por tracción lo que las distingue, y en cambio la falla última por compresión está en ambos casos.

Fig.3.18

Falla dúctil de una viga de hormigón armado con fluencia de armadura en tracción .

La Fig. 3.19 muestra la variación de la resistencia a flexión con el área de

acero para el caso de la sección de hormigón armado que se muestra en la misma figura. Es evidente que en la región de comportamiento que permite la fluencia por tracción el momento no se incrementa en forma lineal con el aumento de armadura. Esto es porque si bien la fuerza suministrada por el acero se incrementa linealmente, existe al mismo tiempo una reducción en el brazo elástico. Sin embargo, y en particular en el primer tramo, hasta cuantías un poco por encima del 2 %, el incremento de Mn prácticamente lineal con As, lo que justifica el uso de la expresión simplificada 3.21. Note que en este caso, y por aplicación de la ecuación 3.26, para f´c=20.7 MPa y fy= 275.8 MPa (no es usado en nuestro medio, sino que es tomado de ref.2), la cuantía balanceada resulta bastante alta, del orden del 4 %.

35

En la región donde la falla primaria es por compresión el incremento del

momento de resistencia al aumentar el área de acero es extremadamente pequeño porque tanto las tensiones en el acero como el brazo elástico disminuyen con el incremento de acero.

Fig. 3.19 Resistencia a la Flexión de la sección de una viga simplemente armada con distintos contenidos de armadura de tracción.

3.11 CUANTÍAS MÁXIMAS Y MÍNIMAS DE FLEXIÓN. REDISTR IBUCIÓN

DE ESFUERZOS.

En base a lo tratado en el punto anterior, es claro que si se desea comportamiento dúctil, lo cual así debería ser aún para cargas verticales, la cantidad máxima de acero en tracción debería ser bastante menor que la que corresponde a la falla balanceada. Es por ello que el ACI-318-95, sección 10.3.3 decía que en elementos sometidos a flexión o a flexión con poco esfuerzo de compresión (se aclarará más adelante este límite de axial) la cuantía de armadura proporcionada no debería exceder el 50 % de la que produciría falla balanceada en la sección sometida a flexión sin axial. La nueva versión ACI-318-2005, especifica que en general la cuantía no debe superar el 75 % de la balanceada, pero si se diseña con redistribución de esfuerzos el límite vuelve a ser el del 50 %. Esto queda expresado en la tabla 3.2 y la Fig. 3.20.

En diseño sísmico es importante tener la posibilidad de redistribuir

esfuerzos. En estos casos el requerimiento de ductilidad es imprescindible y debe asegurarse en forma total. Por ello, la misma norma ACI-318, en su sección 8.4.3 especifica que la redistribución de los momentos negativos debe hacerse sólo cuando la sección en la que se reduce el momento se diseñe de forma tal que ρ o

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(ρ-ρ´) no sean mayor que (0.5ρb). La cuantía balanceada está dada por la expresión 3.28 y siendo ρ´ la cuantía de la armadura en compresión.

Fig. 3.20. Modelo de comportamiento en flexión para el estado de rotura permitido por el ACI-318.

Tabla 3.2 Comparación de criterios de cuantía máxima del ACI-318 versión 1999 vs. 2005.

Versión anterior Versión 2005 cuantía c/d εt

observaciones

ρ = ρb 0.6 0.002 Falla Balanceada

ρ = 0.75 ρb 0.444 0.00375, pero adopta 0.004

Limitación en general

ρ = 0.50 ρb 0.286 0.0075 Limitación para

aceptar redistribución

La Fig. 3.21 muestra congestión de armaduras longitudinales en una unión

viga-columna y deficiencia, a la vez que escasez, en el detalle de los estribos. En este caso la cuantía de armadura longitudinal superior es del orden del 2%.

El requerimiento de imponer un límite máximo a la cuantía de acero en

tracción es necesario además en vigas de pórticos dúctiles, que deben ser diseñadas por capacidad, si tienen niveles excesivos de armaduras de flexión, no solamente pueden llegar a provocar congestiones de armaduras en las uniones con las columnas (ver Fig. 3.21) sino que también los requerimientos de armaduras de corte resultantes impondrán cantidades de armaduras transversal que en la práctica resultarán difíciles de ubicar y de detallar para que trabajen en forma correcta (la deficiente ejecución de los estribos es un típico en obras).

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Fig. 3.21 Congestión de armaduras en

una unión viga-columna de hormigón armado. Note que aún faltan colocar los hierros de la viga transversal que también debe atravesar al nudo. Observar que los extremos de los estribos no están doblados con ganchos a 135º hacia el interior del núcleo de hormigón por lo que no podrán impedir el pandeo de las barras longitudinales si éstas son sometidas a fuertes compresiones.

En definitiva, los límites de cuantía máxima, para acero ADN-420, y en

referencia a la expresión 3.31, son los siguientes: (i) sin redistribución de esfuerzos:

ρ ≤ 0.00075 f´c + ρ´ (3.32) (ii) con redistribución de esfuerzos:

ρ ≤ 0.0005 f´c + ρ´ (3.33)

Similares límites y bajo los mismos fundamentos impone la norma NZS:3101 en su sección 8.4.2 (ver norma y comentarios). Note que de la tabla 3.2 se deduce que sólo es posible redistribución de esfuerzos si la relación c/d es cercana a 0.30 o si la deformación de tracción del acero más lejano supera el valor de 0.75 %. Note las diferencias con las normas DIN.

El ACI-318, en su sección 8.4.1 permite que, excepto cuando los

momentos han sido obtenidos por métodos aproximados (tablas, por ejemplo), los momentos en los apoyos continuos solicitados a flexión obtenidos a partir de la teoría elástica sean incrementados o disminuidos en no más de (1000εt) en (%), para cualquier distribución de cargas, con un valor máximo del 20 %. Por ejemplo, si εt= 0.01 (1%), los momentos no podrán variarse en más del 90 %. Si εt= 0.025 (2.5%), los momentos no podrán variarse en más del 80 %, pero si εt= 0.006 (apenas 0.6%), los momentos no podrán ser redistribuidos en ninguna proporción.

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Los comentarios del ACI-318 señalan que estudios hechos por Cohn y

Mattock demostraron que el agrietamiento y la deformación de las vigas diseñadas por medio de redistribución de momentos no son mucho mayores, bajo cargas de servicio, que las de vigas diseñadas con la distribución de momentos dado por la teoría elástica. Los estudios además indican que queda disponible una adecuada capacidad de rotación para la redistribución de momentos permitida si los elementos satisfacen los requerimientos de cuantía máxima limitada al 50 % de la balanceada.

La norma NZS:3101, ref.[4] en su sección 4.3.3.3, permite una mayor redistribución con límite superior de 30 %, bajo ciertas condiciones. Se refiere al lector a dicha norma y sus comentarios para ampliar estos conceptos.

Note que el criterio de las normas europeas para fijar los límites de cuantías

máximas no es el mismo que el del código ACI-318 y el NZS. En cuanto a cuantías mínimas, el ACI-318 en su sección 10.5.1 aclara que

si la viga tiene muy poca armadura en tracción, entonces el momento nominal de la sección calculado como un elemento de hormigón armado, usando el criterio de sección fisurada, podría resultar ser menor que el que corresponde al de una sección de hormigón simple, calculado a partir de su módulo de ruptura. En diseño sismorresistente esto es particularmente peligroso puesto que el módulo de ruptura para velocidades de deformación elevadas como las que se dan ante sismos es significativamente más alto que el valor estático. El peligro existe si ante muy poca armadura, se forma una sola fisura en la región plástica, con gran concentración de deformación y de demandas de ductilidad, lo cual puede llevar a la fractura del acero en tracción, y a un tipo de falla muy repentino y frágil. Por ello la norma fija estos límites:

y

c

f

f

4

'

≥ρ (3.34a)

yf

4.1≥ρ (3.34b)

que para el caso del acero con fy= 420 MPa, y hormigones por debajo de 31MPa de resistencia característica, la cuantía mínima es del orden de 0.33%. Se entiende por cuantía en vigas la expresión:

db

A

w

s=ρ (3.35)

donde As representa toda la armadura de tracción, es decir toda la que esté debajo del eje neutro, y bw el ancho del nervio. Con esto se quiere asegurar que la resistencia nominal de la viga armada sea siempre mayor que la de la viga sin armar.

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La misma norma especifica en su sección 10.5.3 que, siempre y cuando el

elemento estructural no esté controlado por condición de ductilidad, los requisitos de cuantía mínima no necesitan ser aplicados si en cada sección la armadura suministrada es al menos 1/3 superior a la requerida por análisis.

Para secciones T, en estructuras isostáticas, con ala en tracción el ACI-318,

sección 10.5.2 toma otros límites mínimos que se analizarán a continuación. Para el caso de vigas L y T, estáticamente determinadas dice el CIRSOC201 y el NZS en 8.4.3.2, con el ala en tracción se debe reemplazar a bw por (2bw), lo cual en forma efectiva quiere decir que la cuantía debe ser mayor que:

y

c

f

f 1

2

´

≥ρ (3.36a)

yf

8.2≥ρ (3.36b)

Estos incrementos para vigas con ala en tracción se hacen porque el momento

de fisuración en esos casos será substancialmente mayor que para la sección rectangular o bien la misma sección bajo momento positivo. En estos casos, claro está, el ρ contiene las armaduras de tracción que estén en las alas. Se recomienda al lector que analice esta situación de vigas T para poder comprender el porqué de las ecuaciones (3.36a) y (3.36b). Ver Apéndice A de este apunte.

3.12 REQUISITOS ADICIONALES PARA DISEÑO SISMO RESIS TENTE.

(i) Para el caso de combinación con sismo, el proyecto INPRES CIRSOC-103, ref.11, establece, al igual que el NZS, ref.4, que en zonas potenciales de rótula plástica:

y

c

f

f

6

10´ +≤ρ (3.37a)

025.0≤ρ (3.37b)

En el caso de f´c= 21 MPa= 0.21 ton/cm2 y fy= 420 MPa= 4.20 ton/cm2 la

cuantía máxima no debe superar 0.0123, es decir el 1.23 %. Note que si se aplica el concepto para una viga simplemente armada, es decir sólo con armadura de tracción (irreal pero sirve como referencia), tal cual se vio en la ref.[2] en ecuación (3.27), hubiera resultado:

´001.0 cf≤ρ =0.001x21= 0.021

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y si la armadura se limita al 50 % de la falla balanceada, se hubiera usado 0.0105, es decir no más del 1 %, similar a lo que da la expresión anterior para el ejemplo planteado. La ref.[4] indica que el límite de ρ≤ 0.50 ρb asegura que al menos se logre una ductilidad de curvaturas de 8 cuando la fibra extrema del hormigón alcanza la deformación de 0.004.

(ii) En zona de rótula plástica se exige que A´s≥ 0.50 As, es decir en zona de momento positivo dar al menos 50 % de la resistencia que se da para el momento negativo. Esto es a los efectos de (a) asegurar una adecuada ductilidad en la rótula; (b) asegurar una mínima cantidad de armadura cuando el sismo se revierta; (c) cubrir posibles variaciones en la distribución de los momentos obtenidos por el análisis estructural y (d) posibilita incrementar la cuantía máxima de tracción. Por ejemplo, si ρ´=0.75ρ, el NZS, sección C.8.5.3.2(b) dice que el ρmáx se puede incrementar en hasta un 30 %.

(iii) El IC-103 y el NZS piden que al menos ¼ de la mayor de las armaduras

superiores de los apoyos se prolonguen en toda la luz. Esto es para evitar discontinuidades bruscas de armaduras, y poder compensar ciertas desviaciones en la distribución de momentos. El IC-103-2005 exige que las vigas tengan al menos 2φ12 mm arriba y abajo, mientras que el NZS pide 2φ16mm.

(iv) Además se exige que al menos el 75 % de la armadura de flexión dentro

del alma, en cada cara debe pasar por el núcleo de la columna o anclarse en él. Si la combinación que controla es cargas verticales, sólo el 75 % de la que requeriría por cargas verticales más sismo es la que debe cumplir tal condición.

3.13 DISTRIBUCIÓN DE LA ARMADURA DE TRACCIÓN EN VIG AS Y LOSAS. En la sección 10.6 del C-201-2005 se establecen las siguientes condiciones:

(a) La separación máxima de las armaduras en zonas más cercanas a la cara traccionada deben ser:

cs

cf

s 5.295000−≤ (3.38a)

)/252(300 sfmms ≤ (3.38b)

donde fs es la tensión del acero para cargas de servicio y puede adoptarse como igual a 0.60fy, y cc es el espesor de recubrimiento libre para la armadura de tracción, es decir distancia de la cara traccionada a la superficie de la armadura en

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tracción. Por ejemplo, si fuera cc= 30mm y fy= 420 MPa, por lo que fs= 252 MPa, la primera de las ecuaciones daría que s≤ 302 mm, por lo que se adopta 300 mm. Esta limitación no es válida para ambientes muy agresivos.

(b) Para vigas L y T con ala en tracción, parte de la armadura de tracción por

flexión se debe disponer dentro del ancho efectivo be según se determinó como ancho efectivo en compresión, o en un ancho 1/10 de la luz, el que sea menor. La Fig. 3.22 muestra el requerimiento. Si be>l/10 se debe disponer alguna armadura longitudinal en las zonas externas del ala. El reglamento NZS hace la misma consideración, pero en vez de tomar como segundo ancho de control l/10 toma el que resulta de la Fig. 3.23.

Fig. 3.22 Distribución de Armadura en Alas para Momentos Negativos en Vigas L y T.

Fig. 3.23 Sección efectiva de las vigas: ancho de losa a considerar.

Sin embargo, en forma clara la NZS, en sección C.8.3.2.4, y el IC-103-05, aclararan que el 75 % de As debe pasar por el núcleo de la columna.

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c. Si la altura efectiva de la viga es mayor de 1.0 metro, se debe colocar armadura distribuida en las caras laterales, en la profundidad d/2, por un total de Ab ≤ As/2, y tal que la separación sea la menor de:

sk≤ d/6 (3.39a) sk≤ 300 mm (3.39b) sk≤ 1000 Ab/d-750 (3.39c)

y esta armadura hay que incluirla en la evaluación de la resistencia de la sección. La Fig. 3.24 muestra el requerimiento del CIRSOC.

Fig. 3.24. Armadura Longitudinal en las Caras Laterales de Vigas con altura >1.0m

3.14. SECCIONES CON FORMA DE T, L o I. 3.14.1. RESISTENCIA A FLEXIÓN.

El procedimiento que se delineó en la sección 3.8 es completamente general y se puede aplicar entonces a elementos en flexión con cualquier forma de sección transversal. Por ejemplo, la Fig. 3.25 muestra una sección de una viga T cuando ha alcanzado su máxima resistencia a flexión, para el caso de momento positivo, es decir con el ala en compresión. Lo típico es que la profundidad del eje neutro sea pequeña, y más aún en este caso, debido a la influencia del área disponible de compresión aportada por el ala. En consecuencia lo que generalmente ocurre es una “falla con acero en fluencia”. El procedimiento iterativo lleva los mismos pasos ya descriptos, y puede comenzarse, por ejemplo, suponiendo el eje neutro de valor igual a la altura del ala. Establecidas las condiciones de compatibilidad y equilibrio, se verifica y se calcula el momento nominal según se explicó.

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Fig. 3.25. Sección en T de una viga de hormigón armado al alcanzar

Su resistencia a flexión. Pueden presentarse los dos casos que se ilustran en la Fig. 3.25. En el

primero, el más común, el eje neutro c< hf y el cálculo es idéntico al de la sección rectangular, con el ancho de la zona comprimida igual a b, ancho del ala. En el segundo caso, si c>hf, la resultante de las fuerzas de compresión actúa en el centroide del área comprimida con forma de T. Pero los principios fundamentales no cambian y se sigue usando el bloque de tensiones equivalentes. Para la evaluación de las resultantes de compresión parciales, por ejemplo, se puede dividir el área comprimida en un rectángulo de ancho bw y altura a, y un rectángulo con ancho (b-bw) y altura hf.

Una de las decisiones a tomar tanto en el diseño como en el análisis de

secciones en L y T es el que corresponde al valor del ancho efectivo b. Además se debe tener en cuenta la muy diferente situación de tener a la sección T bajo momento positivo que cuando está con la tracción en el ala por momento negativo.

Se distinguen además los casos en que se quiera evaluar la resistencia o la rigidez del elemento estructural en estudio. Note que casi nunca la distribución de momentos es constante a lo largo del elemento, por lo que las características cambian sección a sección.

A esto se refieren las secciones siguientes.

3.14.2 ANCHO EFECTIVO EN VIGAS T. 3.14.2.1 Ancho efectivo en compresión.

Cuando una losa de hormigón armado y sus vigas soportes son construidas en forma monolítica, lo cual es práctica común y se mostró en la Fig. 3.1, estos elementos van a trabajar en conjunto. La Fig. 3.26 muestra un esquema del sistema losa, viga y columnas, que es lo que el diseñador debe contemplar siempre, es decir, la concepción en 3D del problema a resolver.

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Fig. 3.26

Esquema tri-dimensional de la unión viga-losa-columna en una Construcción monolítica.

Cuando la viga está sometida a momento positivo, tal cual se vio en la

sección anterior, parte de la losa va a trabajar como el ala de la viga para resistir la compresión longitudinal que equilibre las fuerzas de tracción que se generan en las armaduras de tracción ubicadas en el alma de la viga.

La Fig. 3.27 muestra un esquema, ref.[2], de losas y vigas bajo momento

positivo, con cierta cantidad de armadura de tracción en la zona inferior. Si la distancia entre las vigas es grande es evidente que la teoría de flexión simple no es aplicable en forma estricta ya que, tal cual se esquematiza en la figura, las tensiones longitudinales de compresión en el ala cambian con la distancia desde el alma de la viga. Se ve cómo las tensiones son mayores en las zonas cercanas al alma y disminuyen hacia el plano paralelo a los nervios y ubicado entre ellos. Esta reducción es debida a las deformaciones de corte en el ala.

Fig. 3.27 Ancho efectivo de una viga T para momento positivo.

La distribución real de las tensiones de compresión en las alas de la viga en

el rango elástico puede ser evaluada utilizando la teoría de la elasticidad, y ella dependerá de las dimensiones relativas de la sección transversal y la luz y del tipo de carga. Cuando se está por alcanzar la resistencia a flexión, la distribución de tensiones de compresión a través del ala será más uniforme que el que se obtiene

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de la teoría elástica. Esto es debido a que cerca de la tensión máxima de compresión la curva f-ε del hormigón muestra una variación de la tensión con la deformación que es menor que en el rango desde 0 a fcmáx..

La losa generalmente va a estar flexionada transversalmente debido a las

cargas que debe transferir a las vigas. Esto causará fisuración en la cara superior del ala en secciones paralelas y sobre la unión alma con ala. Sin embargo, la armadura transversal en la losa y la fricción por corte a lo largo de las fisuras permitirán la transferencia de esfuerzos desde el nervio hacia las alas.

A los efectos del diseño, para tener en cuenta la variación de las tensiones

de compresión en el ala, es conveniente el uso de lo que se llama un “ancho efectivo” que puede ser menor que el ancho real pero sobre el que se considera que actúa una tensión longitudinal de compresión constante.

El código ACI-318, en su sección 8.10.2, estipula que el ancho efectivo

debe ser el menor entre los siguientes tres valores:

(i) b < l/4 (3.40a) (ii) b < bw + 16hs (3.40b) (iii) b < bw + lny (3.40c)

siendo: l = luz de la viga. bw = ancho del nervio de la viga. hs = altura de la losa. lny = distancia libre al siguiente ala.

Para el caso de que las vigas tengan losa de un solo lado, sección 8.10.3 del ACI, las restricciones son:

(iv) b < bw + l/12 (3.41a) (v) b < bw + 6hs (3.41b) (vi) b < bw + lny/2 (3.41c)

En la Fig. 3.28 se muestra un resumen de los anchos efectivos para ala en

compresión que son sugeridos en la ref. [3] y que son los adoptados por la norma NZS:3101, ref.[4]. Se ve que el criterio es idéntico al del ACI, y además se agregan los anchos efectivos que dichas referencias sugieren tomar para la contribución de las losas en la evaluación de la rigidez de las vigas. Estos últimos son necesarios para llevar a cabo la modelación de la estructura y de allí obtener las demandas de esfuerzos.

Se ve que para la contribución a la rigidez en vigas T y L se toma

prácticamente un 50 % de los valores que se toman para resistencia. Esto es para

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tener en cuenta la reversión de momentos que ocurren en las uniones viga-columna y a la menor contribución de las alas en tracción a la rigidez a flexión.

Por ello se recomienda que para acciones que incluyen el sismo, el ancho

efectivo de contribución de ala para la rigidez sea del 50 % del que normalmente se adopta para diseño por resistencia para cargas gravitatorias.

Fig. 3.28. Resumen de anchos Efectivos de las en compresión (M+) sugeridos por ref.[3] para resistencia y rigidez

3.14.2.2 Ancho efectivo en tracción.

En el diseño para cargas gravitatorias, la contribución para la resistencia en flexión de la armadura de la losa adyacente y paralela a las barras traccionadas ubicadas en la parte superior del nervio de la viga (momento negativo) ha sido tradicionalmente ignorada. Este criterio, para cargas verticales no afecta la seguridad de la estructura. Sin embargo, en diseño sismorresistente la historia puede ser diferente. El hecho es que parte de la armadura que pertenece a una losa construida íntegramente in situ con la viga, va a participar en la resistencia de los momentos negativos en los apoyos. Es importante establecer en forma real la contribución de la armadura efectiva de tracción que debe ser considerada en la resistencia con el objeto de:

(i) Hacer economía sobre la cantidad de acero que se coloca sobre el nervio

de la viga. (ii) Evitar congestiones de acero como las que se mostró en la Fig. 3.21.

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(iii) Estimar de la forma más aproximada posible la verdadera resistencia de las vigas a flexión a los efectos de proteger la misma viga en forma efectiva contra esfuerzos de corte y contra la potencial rotulación de las columnas que aportica.

La participación de las armaduras de las losas en la resistencia a flexión de

las vigas ha sido observada por varios autores a través de muchos experimentos. Sin embargo, es difícil estimar la cantidad efectiva de armadura de losa que puede participar en la resistencia. Son varias las razones que alimentan esta incertidumbre. En primer lugar, la extensión de acero de losa movilizado será función de la magnitud de las deformaciones inelásticas inducidas por el sismo.

Cuanto mayor sea la rotación plástica impuesta en las zonas adyacentes a

las uniones viga-columnas, mayor es el ancho efectivo en tracción movilizado. En segundo lugar, las fuerzas de tracción de las barras de la losa deben ser transferidas a través de las vigas a la unión de éstas con las columnas. Por lo tanto la contribución va a depender de cómo se den las condiciones de anclaje. Por ejemplo, la efectividad de barras cortas colocadas en la cara superior de la losa para resistir momentos negativos debidos a cargas gravitatorias inducidos sobre una viga transversal decrece rápidamente con la distancia desde el nudo. En tercer lugar, la efectividad de las barras de las losas dependen de la presencia o ausencia de vigas transversales.

Para ser consistente con la filosofía de diseño por capacidad, la resistencia

a flexión de las vigas debería evaluarse con dos niveles de participación de las losas. Para evaluar la resistencia nominal, que da origen a la resistencia de diseño o confiable, deliberadamente se debería subestimar la participación del ancho tributario de losa en tracción (esto daría un límite inferior). Por el contrario, para evaluar la sobre resistencia de la sección crítica de una zona potencial plástica, se debería considerar el máximo probable ancho efectivo. Sin embargo, la ref. [3] manifiesta que debido a las incertidumbres involucradas, una sofisticación para diferenciar anchos efectivos en tracción para resistencia confiable y sobre resistencia no garantiza mejor precisión en los resultados.

En consecuencia, sugiere tomar un ancho de compromiso que sea el

mismo para ambos niveles de resistencia. Los factores de reducción de capacidad (φ <1) y de sobre resistencia (φo >1) harán la diferencia para el diseño y/o análisis.

La norma NZS:3101, en su sección 8.5.3.3, y el IC-103-2005, especifican

que el ancho efectivo en tracción será función de: (i) Condiciones de borde de la losa. (ii) Nivel de ductilidad estructural impuesto.

(iii) Condiciones de anclaje de las barras dentro del ancho potencial en

tracción.

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La citada norma además especifica que se “permite” incluir las barras

dentro del ancho efectivo en tracción para evaluar la resistencia de diseño, pero “obliga” a incluirlas cuando se requiere cuantificar la sobre resistencia.

Fig. 3.29 Anchos efectivos de alas traccionadas de vigas con momentos negativos para

sistemas de entrepisos monolíticos. Norma NZS:3101. La Fig. 3.29 ilustra la forma de interpretar los criterios que define la norma

NZS:3101 para determinar el ancho efectivo en tracción, designado como be, que debe ser el menor entre los siguientes casos: (a) Un cuarto de la luz de la viga bajo consideración, extendiéndose donde exista

losa a cada lado del centro de la sección de la viga. (b) Mitad de la luz de una losa, transversal a la viga en consideración,

extendiéndose donde exista losa a cada lado del centro de la sección de la viga.

(c) Cuando la viga es perpendicular al borde de la losa y se aportica a una columna exterior, y en la unión está presente una viga transversal, se toma un cuarto de la luz de la viga transversal hacia cada lado desde el centro de la viga.

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(d) Idem caso anterior pero no existe la viga transversal de borde de losa, un ancho de columna hacia cada lado del centro de la viga.

La citada norma a su vez especifica que tanto las barras de la losa ubicadas en

cara superior e inferior, paralelas al nervio de la viga, pueden ser consideradas como efectivas si están dentro del menor de los límites antes descriptos y a su vez están correctamente ancladas. Para esto exige que las barras tienen que desarrollar su resistencia a tracción, tal cual se ilustra en la Fig. 3.30, dentro de una zona de la losa que se llama de anclaje efectivo. Esta zona se determina a través de una línea que se inicia en el centro de apoyo de la columna y se extiende con ángulos de 45º hacia ambos lados del eje longitudinal de la viga. El extremo de la barra debe quedar dentro de dicha zona, y a su vez la longitud de anclaje se debe contar a partir de la línea a 45º antes descripta.

Fig. 3.30 Determinación del número de barras de las losas dentro del ancho efectivo

en tracción que están efectivamente ancladas y que pueden tomarse como activas en la resistencia a momentos negativos. Norma NZS:3101.

El código ACI-318 no contiene estas especificaciones para ancho efectivo en

tracción. En su sección 10.6.6 solamente establece que cuando las alas de la vigas T estén sometidas a tracción, parte de la armadura de tracción por flexión debe distribuirse sobre un ancho efectivo del ala, determinado según se vio en la sección anterior (ancho efectivo en compresión) o un ancho igual a 1/10 de la luz de la viga, debiendo tomar el menor valor.

Según figura en sus comentarios, el espíritu de esta prescripción no es el

mismo que el de la norma NZS. En el ACI se hace mención al necesario control del agrietamiento que se puede dar si el espaciamiento de las barras en las alas es excesivo. Además, en su sección 8.10.5 el ACI especifica que se debe disponer

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de armadura perpendicular a la longitudinal, que dicha armadura debe resistir la carga mayorada y actuando el ala en voladizo, y que la separación de la armadura transversal no debe exceder 5 veces el espesor de la losa ni 500 mm.

Fig. 3.31 . Estudios de Leonhardt sobre incidencia de la colocación de las armaduras

en las alas en la fisuración para cargas gravitatorias. El texto de F. Leonhardt, ref. [6], tomo III, sección 9.4, muestra claramente, ver

Fig. 3.31, las ventajas de colocar gran parte de la armadura de tracción bien distribuida en las alas. Este texto recomienda incluso colocar entre un 40 a 80 % de la armadura necesaria para momento negativo dentro de las alas de la losa. El texto menciona que las normas DIN 1045 sugiere la distribución en forma uniforme de dicha armadura dentro del 50 % del ancho efectivo, según se ilustra en Fig. 3.32.

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Fig. 3.32 . Consideraciones de la Norma DIN 1045 respecto de la distribución de

armaduras en alas y nervio de la viga para momentos negativos. Sin embargo, esta recomendación procedente de una norma concebida

primariamente para cargas gravitatorias, entra en conflicto con lo que especifica la norma NZS. Esta última, en su sección 8.5.3.2(e), se reitera, estipula que, debido a la importancia del mecanismo de transferencia de fuerzas que se da dentro del núcleo de la unión viga-columna, se exige que al menos el 75 % de la armadura de flexión de la viga requerida para cualquier combinación de cargas con sismo debe pasar por o estar anclada en el núcleo de la columna.

En estructuras de pórticos sometidos a acciones sísmicas es aconsejable

colocar las armaduras superiores e inferiores principales de flexión dentro del ancho del nervio de la viga y hacerlas pasar o anclarlas en el núcleo de la columna. Se entiende por núcleo de la columna al volumen de hormigón contenido dentro de los estribos que cierran la armadura longitudinal de la columna.

3.15 RESPUESTA DE VIGAS A FLEXIÓN CON ARMADURA DISTRIBUIDA VERTICALMENTE. 3.15.1 INTRODUCCIÓN.

La ref.[7] sugiere una muy interesante propuesta, para nada convencional, en relación a la disposición de la armadura longitudinal de flexión en las vigas. Tal cual se expresa en la referencia, la significación de la investigación llevada a cabo por Priestley et. al. está en el hecho de que la armadura longitudinal puede ser distribuida verticalmente en las zonas críticas de vigas que van a estar sometidas a momentos positivos y negativos aproximadamente iguales inducidos por la reversión de las acciones sísmicas.

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Fig. 3.33 Posibles arreglos de la armadura longitudinal en vigas. La idea fue investigar si era posible pasar de la forma tradicional de colocar la

armadura longitudinal como se muestra en la Fig.3.33a, a la que se indica en la Fig. 3.33b, es decir, distribuir toda la armadura longitudinal en dos capa verticales en ambas caras laterales. Tal cual se demuestra más adelante, esto no reduce en forma significativa la resistencia a flexión pero traería una serie de ventajas como las que se enumeran a continuación: (i) más facilidad para acceder desde la cara superior de la viga para colocar y vibrar el hormigón durante la construcción; (ii) mejor distribución y cierre más temprano de las fisuras de flexión de la viga por reversión de momentos cuando se compara con el diseño tradicional, y en consecuencia se reduce la tendencia a la falla de corte por deslizamiento en las secciones críticas; (iii) se incrementa la profundidad de la zona de compresión del hormigón en flexión en las zonas críticas o de rótulas plásticas de la viga, por lo que se mejora el mecanismo de transferencia de corte en la zona de compresión; (iv) también se mejora el mecanismo de transferencia de corte por acción de dovela o taco; (v) se reduce la tendencia al pandeo de la armadura de compresión en las zonas plásticas; y (vi) mejor comportamiento del nudo que resulta de la menor demanda de tensiones de adherencia que se manifestaría en casos de fuerte concentración de armaduras en las partes superior e inferior de un nudo, y por la contribución en cierto grado de esa armadura distribuida verticalmente en la viga a la armadura horizontal necesaria en el nudo para soportar su corte horizontal.

Los estudios llevados a cabo por Park, Priestley y Wong, como la mayoría de

los realizados en la Universidad de Canterbury, Christchurch, Nueva Zelanda, tuvieron un carácter analítico y experimental simultaneo, lo cual fortalece los estudios desarrollados.

3.15.2 ANÁLISIS DE LA RESISTENCIA A FLEXIÓN.

Para el caso de pórticos sismorresistentes cuyas demandas están controladas por carga sísmica, las envolventes de los momentos de diseño para las combinaciones de acción sísmica reversible y cargas gravitatorias requiere que los extremos de las vigas sean diseñados para momentos positivos y negativos

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que son frecuentemente similares o casi iguales. Esto es particularmente cierto si, a los efectos de mejorar la eficiencia del diseño, se ha resuelto llevar a cabo una redistribución de los momentos que fueran derivados de la suposición en el análisis estructural por un comportamiento puramente elástico del pórtico.

Fig. 3.34 . Efecto de la distribución de la armadura longitudinal en la resistencia a

flexión. Cuando la resistencia a momento positivo y negativo es la misma, hay poca

diferencia en la capacidad a flexión dada por secciones de vigas que estén armadas sea por la configuración tradicional o la que acá se propone distribuida verticalmente en las caras laterales. Esto se puede corroborar por inspección de la Fig. 3.34a que muestra una viga con armadura longitudinal total Ast y tensión de fluencia fy. Para casos típicos de contenidos o cuantías de armadura longitudinal de tracción, ρt=Ast/bh, cuando se alcanza la resistencia a flexión, el eje neutro yace muy cerca de la cara superior comprimida del hormigón y por lo tanto casi todo el acero distribuido verticalmente en la Fig. 3.34b tiene la posibilidad de entrar en fluencia por tracción. En consecuencia, y como se muestra en la Fig. 3.31, las fuerzas resultantes para el caso de armadura distribuida, con un brazo de palanca casi mitad, son aproximadamente el doble que en el caso de armado tradicional. Por lo tanto, las resistencias a flexión deberían ser muy similares en ambos casos.

Los estudios analíticos y experimentales que se llevaron a cabo, se pueden consultar con más detalle en la referencia citada. La Fig. 3.35 muestra una representación de la resistencia a flexión expresada adimensionalmente para vigas con armadura concentrada y distribuida en función de los contenidos de armadura y características de los materiales. En este caso se trabajó con f´c ≤27.5MPa, y una deformación última del hormigón de 0.003.

54

Fig. 3.35 . Resistencia a

flexión adimensional para vigas con armadura convencional y verticalmente distribuida.

.

Fig. 3.36 . Modelos de

representación de las vigas y sus armaduras como láminas continuas para los estudios analíticos adimensionales.

55

Fig. 3.37 Curvas Teóricas Momento vs. Curvaturas para carga Monotónica.

La Fig. 3.36 las suposiciones que se hicieron para cada caso. Se ve según

estos estudios que sólo en el caso de valores elevados de la relación ρfy/f´c ocurre que la resistencia a flexión de las vigas con armadura distribuida es menor que para vigas con armadura de tradicional configuración, y con una relación mínima entre ellas del orden de 0.90 para valores de ρfy/f´c cercanos a 0.40. Sin embargo, para los casos de cuantías moderadas o bajas, los resultados de resistencia con casi coincidentes.

Las vigas se armaron con un total de 16 barras de diámetro 16 mm, que da

una cuantía total del 3.07 %, pero que para el caso de armadura con arreglo convencional representa ρs=ρ´s= 0.0175 (1.75 %), la que es bastante elevada para el caso de vigas dominadas por comportamiento sísmico. La figura muestra, entre otras cosas, que:

(i) para deformación extrema del 0.003, la diferencia de resistencia entre ambas disposiciones de armadura es de apenas el 4 %,

(ii) el efecto de endurecimiento de post-fluencia, cuando se tiene en cuenta, hace que el tipo de armadura tradicionalmente dispuesta eleve la capacidad da flexión para elevadas curvaturas. El momento de sobre resistencia en ese caso es del orden de 1.25.

(iii) La ductilidad de curvaturas para ambos diseños es aceptable.

La Fig. 3.37 muestra los resultados analíticos en términos de Momento-Curvaturas de las secciones de hormigón armado que según la misma figura indica. En esta, MACI indica el momento máximo para cuando la tensión de

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compresión extrema es tomada igual a 0.003, y el MSPALL refiere al caso en que dicha deformación es igual a 0.005. A su vez, se incluyen los efectos de posible mejoramiento del hormigón en compresión por confinamiento, según los trabajos desarrollados por Park, Priestley y Mander, ver ref. [8].

Una observación muy importante es que si se va a utilizar el diseño por capacidad para asegurar que modos inelásticos de deformaciones, como fallas de columnas o fallas de corte en vigas y nudos, no ocurran a niveles de respuesta menores que aquellos que se corresponden con el desarrollo de sobre resistencia a flexión en las zonas de rótulas plásticas de vigas, es claro entonces que se pueden lograr importantes economías de diseño cuando se utiliza armadura distribuida. Por ejemplo, para el caso que se investigó en la referencia citada, es justificado hablar de alrededor de un 15 % de reducción de la armadura de corte en las vigas, armadura de corte en el nudo y armadura de flexión en las columnas, cuando se las compara con aquellas que resultarían de la distribución convencional de armaduras, puesto que el máximo momento de sobre resistencia es casi un 15 % mayor en ésta que en la de armadura distribuida.

Se remite al lector a la referencia para que se evalúen otros aspectos como

son las implicaciones de ambos armados con relación al comportamiento de la unión viga-losa-columna.

Se resumen algunas de las conclusiones del citado trabajo: 1. Se encontró que las secciones de vigas con armadura verticalmente

distribuida tuvieron casi la misma resistencia y ductilidad a flexión que las armadas convencionalmente, para la misma cantidad de acero longitudinal total.

2. Los análisis de momento-curvaturas mostraron que la sobre resistencia a flexión de las vigas debido a endurecimiento de post-fluencia a elevados niveles de deformación no es tan significativa en vigas con armadura distribuida. Esto redunda en fuerzas de diseño menores para la columna, el nudo y el corte en las vigas, con respecto a las que se obtendrían para el caso de vigas con capas longitudinales concentradas arriba y abajo.

3. Durante la flexión cíclica las fisuras en la zona de compresión se cerraron a momentos más bajos en la viga con armadura distribuida que en la de armadura concentrada.

4. Es probable que la cantidad de armadura en el nudo resulte también menor en el caso de armadura distribuida.

La ref. [7] extiende este concepto al caso de columnas de hormigón armado

y la Fig.3.38 muestra los dos casos posibles de armado, según los conceptos antes discutidos. La referencia indica que la opción b tiene las ventajas de reducir congestión de armaduras, controlar la fisuración de las caras por retracción del hormigón, mejorar la resistencia al corte del elemento y de su unión. En la práctica, tal vez una solución intermedia entre la opción a y b es recomendada, con algo más de armaduras en las caras superior e inferior a los efectos de

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suministrar una mejor resistencia a la torsión. Como se entenderá además, los conceptos de armado discutidos son aplicables además a las secciones de tabiques de hormigón armado.

Fig. 3.38 Diferentes criterios para el armado de columnas de hormigón armado.

3.16 LIMITACIONES A LAS DIMENSIONES DE LOS ELEMENTO S ESTRUCTURALES.

Además de los requerimientos de resistencia y ductilidad, se ha mencionado que en los elementos estructurales llamados a tener una participación activa durante la respuesta ante sismos severos, se deben considerar los efectos de rigidez. Cuando los elementos son muy esbeltos, pueden presentarse casos de inestabilidad o pandeo lateral del lado en compresión. Por ello, la norma NZS:3101:1995, en la sección 8.5.2 y el INPRES CIRSOC 103-2005, tomo II [11], establecen que: 1. La profundidad, el ancho y la longitud libre entre las caras de los soportes de

los elementos estructurales con sección rectangular, y los cuales puedan estar sometidos a momentos en ambos extremos provenientes de vigas, columnas o ambos, adyacentes, deben ser tales que:

Ln/bw ≤ 25 (3.42a )

y Ln h/bw

2 ≤ 100 (3.42b ) donde Ln es la longitud libre entre apoyos dados por soportes laterales, bw el ancho del nervio y h la altura total de la sección. 2. Para el caso de elementos en voladizo, para Ln medido desde la cara soporte

del voladizo, debe ser:

Ln/bw ≤ 15 (3.43a) y Ln h/bw

2 ≤ 60 ( 3.43.b)

58

3. Para el caso de vigas T y L, en las cuales las alas se construyen íntegramente

con el alma, las limitaciones de las ecuaciones 3.39a y 3.40a se pueden ampliar hasta en un 50 % (o sea hasta 37.5 y 22.5 respectivamente), pero las ecuaciones 3.39b y 3.40b no se modifican. Se tiene en cuenta en este caso la restricción que al pandeo impone el ala. Las limitaciones se ilustran en la Fig.3.39.

Fig. 3.39 . Limitaciones Dimensionales de los Elementos Estructurales s/NZS:3101. 4. El ancho de la cara en compresión de un miembro de sección rectangular, T o

L no debe ser menor de 200 mm. La ref. [3] no está de acuerdo en esta limitación y aclara que es mejor relacionar a los elementos con su comportamiento. Por ejemplo, la división de designación entre columnas y tabiques suele ser tema de conflicto. Tal vez, aclara, lo mejor es establecer limitaciones en función del nivel de tensiones de corte inducidos durante el terremoto.

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5. Para el caso de vigas anchas que se unan a columnas de pórticos el ancho de la viga que se debe considerar como activo para resistir las fuerzas transmitidas por la columna no debe ser mayor del ancho de la columna más una distancia a cada lado de la columna de ¼ de la profundidad total de la columna en la dirección relevante. Este requisito se ilustra en la Fig.3.40 Esto es a los efectos de que el ancho de la viga no sea demasiado grande respecto al de la columna y que se asegure que el acero longitudinal de la viga requerido para resistir el sismo se mantiene razonablemente cercano al núcleo de la columna. Note que ya se mencionó el requisito de que al menos el 75 % de la armadura longitudinal efectiva de la viga debe pasar a través o ser anclada dentro del núcleo de la columna.

Fig. 3.40 . Ancho máximo a considerar para la resistencia de las vigas.

El ACI-318, sección 21.3.1 por su parte exige que, para elementos de pórticos resistentes a sismo y diseñados a flexión,

(i) la luz libre no debe ser menor que 4 veces su altura útil, (ii) la razón ancho/alto no debe ser menor de 0.30, y (iii) el ancho no debe ser menor de 250 mm, ni mayor que el ancho del

elemento de apoyo más una distancia a cada lado del elemento de apoyo que no exceda ¾ de la altura del elemento en flexión.

60

3.17 REFERENCIAS. [1] “ACI-318-2005” American Concrete Institute. [2] “Reinforced Concrete Structures”. Robert Park y Tomas Paulay. John Wiley & Sons. 1975. [3] “Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings”. T. Paulay & M. N. J. Priestley. J. Wiley & Sons. 1992. [4] “Concrete Structures Standard”. NZS 3101:Part 1:1995. Standards New Zealand. [5] “CP110”. Code of Practice for the Structural use of Concrete. Part1. Noviembre 1972. British Standard Institution. Oreste Moretto. [6] “Estructuras de Hormigón Armado: Bases para el armado de estructuras de hormigón armado ”. F. Leonhardt. Tomo III. El Ateneo. 1977. [7] “Seismic Resistant of Frames with Vertically Distributed Longitudinal Reinforcement in Beams”. P.K.C Wong, M.N.J. Priestley & R. Park. ACI Structural Journal- July-August 1990. Vol.87 No. 4 y 1-EIPAC-1992. Octubre 1992. Tomo I. Mendoza. [8] “Theoretical Stress-Strain Model for Confined Concrete”. J. B. Mander, M .N .J. Priestley & R. Park. Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 114, No. 8, Aug. 1988. pp 1804-1826. [9] “Fundamentos y Aplicación de Reglamentos CIRSOC 101, 201 e INPRES CIRSOC 103, II, 2000. Tema Vigas: Flexión“. C. R. Llopiz. FI-UNC, curso Abril 2003. [10] Reglamento CIRSOC 201 y Anexos. Tomos 1 y 2. Proyecto, Cálculo y Ejecución de Estructuras de Hormigón Armado y Pretensado. Julio 1982. INTI. [11] Reglamento CIRSOC 201 y Anexos. Tomos 1 y 2. Proyecto, Cálculo y Ejecución de Estructuras de Hormigón Armado y Pretensado. 2005. INTI. [12] “Reglamento INPRES CIRSOC 103, parte II, 2005, INTI. 2005.

61

3.18 APÉNDICE A. Puntos Diagramas Momento-curvaturas.

φcr= (fr/Ec) / 24.76 = (0.032/215) / 24.76 = 6x10-6 rad/cm

62

63

3.18 APÉNDICE B. Momentos de Fisuración Positivo y Negativo en vigas T.

64

65

66

3.19 APÉNDICE C. EJEMPLOS DE ANÁLISIS SECCIONAL DE VIGAS. MOMENTO vs. CURVATURAS.

Datos de Vigas: (i) Dimensiones:

Ancho de viga: 20 cm Altura total de viga: 40 cm Recubrimiento a estribo: 2 cm.

(ii) Característica de Materiales. Hormigón H27 MPafc 27´ = Resistencia a compresión

MPafr 60.3277.0 == Módulo de ruptura a flexión.

MPaEc 24400274700 == Módulo de Elasticidad. Acero ADN420 Características según Código

MPaf y 420= Tensión de fluencia especificada.

MPaEs 200000= Módulo de Young. Características Reales: Ver Apunte Hormigón I, Unidad 2, Curva de aceros.

MPaf y 500= Tensión de fluencia medida.

0025.0=yε Deformación de Fluencia.

0075.030025.0 == xshε Deformación al inicio de endurecimiento.

MPaEs 200000= Módulo de Young.

MPaEsh 10000= Módulo de Elasticidad al inicio de endurecimiento (5% de Es).

MPafmáx 800= Tensión Máxima.

%1414.0 ==máxε Deformación para la Tensión Máxima.

Resultados del Análisis Seccional. Unidades en ton y cm. 1. Diámetro 12 mm.

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(a) Acero Especificado según Código. concrete

FR FIC B1 E0 ECR EC .0360 .2700 .8500 .0022 .0030 244.00

steel YYS SY SESH ES ESH EUS FU 4.20 .002100 .010 2000.00 100.00 .200 4.20 section dimensions B H 20.00 40.00 steel layers N D A 1 3.5000 2.2600 2 36.5000 2.2600 "UNCRACKED ELASTIC ANALYSIS" EFFECTIVE AREA = 800.00 TRANSFORMED AREA = 832.53 CENTROID CENT = 20.00 MOMENT OF INERTIA = 115522.70 TENSILE CONCRETE STRAIN COMPRESSION CONCRETE STRAIN -.00015 .00015 layer steel STRAINS steel STRESSES 1 .00012 .243 2 -.00012 -.243 CRACKING MOMENT = 207.94 CRACKING CURVATURE = .0000074 " ANALYSIS AT FIRST STEEL YIELDING " MAX. CONC. STRAIN MAX. CONC. STRESS STRESS RATIO .0004537 .099 .37 layer number steel STRAINS steel STRESSES 1 .00021 .418 2 -.00210 -4.200 FIRST YIELDING STAGE RESULTS MOMENT CURVATURE NEUTRAL AXIS -320.88 .0000700 6.48

68

"ULTIMATE STATE ANALYSIS RESULTS" TENSILE STEEL RATIO (%) COMPRESSIVE STEEL RATIO (%) .56 .00 steel LAYER steel STRAINS steel STRESSES 1 -.00049 -.982 2 -.03341 -4.201 NOMINAL STRENGTH DESIGN STRENGTH REDUCTION moment moment factor -339.31 -305.37 0.90 NEUTRAL AXIS DEPTH ULTIMATE CURVATURE 3.01 .000997 "MOMENT - CURVATURE - DUCTILITY ANALYSIS" summary of general results ===================================== limit moment curvature moment state increase --------------------------------------------------------- uncraked 207.94 .000007 - yield 320.88 .000070 1.54 nominal 339.31 .000997 1.06 ====================================== CURVATURE DUCTILITY ===== DUC = 14.26 (b) Acero 12mm con Curva Real.

steel YYS SY SESH ES ESH EUS FU 5.00 .002500 .007 2000.00 100.00 .140 8.00 "UNCRACKED ELASTIC ANALYSIS" EFFECTIVE AREA = 800.00 TRANSFORMED AREA = 832.53 CENTROID CENT = 20.00 MOMENT OF INERTIA = 115522.70 TENSILE CONCRETE STRAIN COMPRESSION CONCRETE STRAIN -.00015 .00015 layer steel STRAINS steel STRESSES 1 .00012 .243 2 -.00012 -.243

69

CRACKING MOMENT = 207.94 CRACKING CURVATURE = .0000074 " ANALYSIS AT FIRST STEEL YIELDING " MAX. CONC. STRAIN MAX. CONC. STRESS STRESS RATIO .0005440 .116 .43 layer number steel STRAINS steel STRESSES 1 .00025 .504 2 -.00250 -5.000 FIRST YIELDING STAGE RESULTS MOMENT CURVATURE NEUTRAL AXIS -382.04 .0000834 6.52 "ULTIMATE STATE ANALYSIS RESULTS" TENSILE STEEL RATIO (%) COMPRESSIVE STEEL RATIO (%) .28 .28 steel LAYER steel STRAINS steel STRESSES 1 .00013 .266 2 -.02690 -6.588 NOMINAL STRENGTH DESIGN STRENGTH REDUCTION moment moment factor -519.08 -467.18 0.90 NEUTRAL AXIS DEPTH ULTIMATE CURVATURE 3.66 .000819 "MOMENT - CURVATURE - DUCTILITY ANALYSIS" summary of general results ===================================== limit moment curvature moment state increase --------------------------------------------------------- uncraked 207.94 .000007 - yield 382.04 .000083 1.84 nominal 519.08 .000819 1.36 ===================================== CURVATURE DUCTILITY ===== DUC = 9.82

70

1. Diámetro 16 mm. (a) Acero Especificado según Código.

steel YYS SY SESH ES ESH EUS FU 4.20 .002100 .010 2000.00 100.00 .200 4.20 steel layers N D A 1 3.5000 4.0000 2 36.5000 4.0000 "UNCRACKED ELASTIC ANALYSIS" EFFECTIVE AREA = 800.00 TRANSFORMED AREA = 857.57 CENTROID CENT = 20.00 MOMENT OF INERTIA = 122341.10 TENSILE CONCRETE STRAIN COMPRESSION CONCRETE STRAIN -.00015 .00015 layer steel STRAINS steel STRESSES 1 .00012 .243 2 -.00012 -.243 CRACKING MOMENT = 220.21 CRACKING CURVATURE = .0000074 " ANALYSIS AT FIRST STEEL YIELDING " MAX. CONC. STRAIN MAX. CONC. STRESS STRESS RATIO .0006088 .128 .47 layer number steel STRAINS steel STRESSES 1 .00035 .698 2 -.00210 -4.200 FIRST YIELDING STAGE RESULTS MOMENT CURVATURE NEUTRAL AXIS -557.45 .0000742 8.20 "ULTIMATE STATE ANALYSIS RESULTS" TENSILE STEEL RATIO (%) COMPRESSIVE STEEL RATIO (%) .50 .50 steel LAYER steel STRAINS steel STRESSES 1 .00024 .486 2 -.02575 -4.201

71

NOMINAL STRENGTH DESIGN STRENGTH REDUCTION moment moment factor -582.49 -524.24 0.90 NEUTRAL AXIS DEPTH ULTIMATE CURVATURE 3.81 .000788 "MOMENT - CURVATURE - DUCTILITY ANALYSIS" =========================================== limit moment curvature moment state increase --------------------------------------------------------- uncraked 220.21 .000007 - yield 557.45 .000074 2.53 nominal 582.49 .000788 1.04 =========================================== CURVATURE DUCTILITY ===== DUC = 10.61

(b) Acero 16 mm con Curva Real. steel

YYS SY SESH ES ESH EUS FU 5.00 .002500 .007 2000.00 100.00 .140 8.00 steel layers N D A 1 3.5000 4.0000 2 36.5000 4.0000 "UNCRACKED ELASTIC ANALYSIS" EFFECTIVE AREA = 800.00 TRANSFORMED AREA = 857.57 CENTROID CENT = 20.00 MOMENT OF INERTIA = 122341.10 TENSILE CONCRETE STRAIN COMPRESSION CONCRETE STRAIN -.00015 .00015 layer steel STRAINS steel STRESSES 1 .00012 .243 2 -.00012 -.243 CRACKING MOMENT = 220.21 CRACKING CURVATURE = .0000074 " ANALYSIS AT FIRST STEEL YIELDING " MAX. CONC. STRAIN MAX. CONC. STRESS STRESS RATIO .0007359 .150 .55

72

layer number steel STRAINS steel STRESSES 1 .00043 .851 2 -.00250 -5.000 FIRST YIELDING STAGE RESULTS MOMENT CURVATURE NEUTRAL AXIS -663.07 .0000887 8.30 "ULTIMATE STATE ANALYSIS RESULTS" TENSILE STEEL RATIO (%) COMPRESSIVE STEEL RATIO (%) .50 .50 steel LAYER steel STRAINS steel STRESSES 1 .00077 1.539 2 -.02026 -6.120 NOMINAL STRENGTH DESIGN STRENGTH REDUCTION moment moment factor -835.30 -751.77 0.90 NEUTRAL AXIS DEPTH ULTIMATE CURVATURE 4.71 .000637 "MOMENT - CURVATURE - DUCTILITY ANALYSIS" ============================================= limit moment curvature moment state increase --------------------------------------------------------- uncraked 220.21 .000007 - yield 663.07 .000089 3.01 nominal 835.30 .000637 1.26 ============================================= CURVATURE DUCTILITY ===== DUC = 7.19

1. Diámetro 20 mm. (a) Acero Especificado según Código.

steel YYS SY SESH ES ESH EUS FU 4.20 .002100 .010 2000.00 100.00 .200 4.20 steel layers N D A 1 4.0000 6.2800 2 36.0000 6.2800

73

"UNCRACKED ELASTIC ANALYSIS" EFFECTIVE AREA = 800.00 TRANSFORMED AREA = 890.39 CENTROID CENT = 20.00 MOMENT OF INERTIA = 129806.70 TENSILE CONCRETE STRAIN COMPRESSION CONCRETE STRAIN -.00015 .00015 layer steel STRAINS steel STRESSES 1 .00012 .236 2 -.00012 -.236 CRACKING MOMENT = 233.65 CRACKING CURVATURE = .0000074 " ANALYSIS AT FIRST STEEL YIELDING " MAX. CONC. STRAIN MAX. CONC. STRESS STRESS RATIO .0007839 .157 .58 layer number steel STRAINS steel STRESSES 1 .00046 .927 2 -.00210 -4.200 FIRST YIELDING STAGE RESULTS MOMENT CURVATURE NEUTRAL AXIS -845.88 .0000801 9.79 "ULTIMATE STATE ANALYSIS RESULTS" TENSILE STEEL RATIO (%) COMPRESSIVE STEEL RATIO (%) .79 .79 steel LAYER steel STRAINS steel STRESSES 1 .00057 1.133 2 -.01890 -4.201 NOMINAL STRENGTH DESIGN STRENGTH REDUCTION moment moment factor -880.96 -792.86 0.90 NEUTRAL AXIS DEPTH ULTIMATE CURVATURE 4.93 .000608 "MOMENT - CURVATURE - DUCTILITY ANALYSIS" ==================================== limit moment curvature moment state increase

74

--------------------------------------------------------- uncraked 233.65 .000007 - yield 845.88 .000080 3.62 nominal 880.96 .000608 1.04 ===================================== CURVATURE DUCTILITY ===== DUC = 7.59

(b) Acero 20mm con Curva Real. steel

YYS SY SESH ES ESH EUS FU 5.00 .002500 .007 2000.00 100.00 .140 8.00 "UNCRACKED ELASTIC ANALYSIS" EFFECTIVE AREA = 800.00 TRANSFORMED AREA = 890.39 CENTROID CENT = 20.00 MOMENT OF INERTIA = 129806.70 TENSILE CONCRETE STRAIN COMPRESSION CONCRETE STRAIN -.00015 .00015 layer steel STRAINS steel STRESSES 1 .00012 .236 2 -.00012 -.236 CRACKING MOMENT = 233.65 CRACKING CURVATURE = .0000074 " ANALYSIS AT FIRST STEEL YIELDING " MAX. CONC. STRAIN MAX. CONC. STRESS STRESS RATIO .0009538 .183 .68 layer number steel STRAINS steel STRESSES 1 .00057 1.140 2 -.00250 -5.000 FIRST YIELDING STAGE RESULTS MOMENT CURVATURE NEUTRAL AXIS -1005.53 .0000959 9.94 "ULTIMATE STATE ANALYSIS RESULTS" TENSILE STEEL RATIO (%) COMPRESSIVE STEEL RATIO (%) .79 .79 steel LAYER steel STRAINS steel STRESSES

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1 .00099 1.984 2 -.01507 -5.701 NOMINAL STRENGTH DESIGN STRENGTH REDUCTION moment moment factor -1179.87 -1061.88 0.90 NEUTRAL AXIS DEPTH ULTIMATE CURVATURE 5.98 .000502 "MOMENT - CURVATURE - DUCTILITY ANALYSIS" ============================================= limit moment curvature moment state increase ------------------------------------------------------------------- uncraked 233.65 .000007 - yield 1005.53 .000096 4.30 nominal 1179.87 .000502 1.17 =========================================== CURVATURE DUCTILITY ===== DUC = 5.23

1. Diámetro 25 mm. (a) Acero Especificado según Código.

steel YYS SY SESH ES ESH EUS FU 4.20 .002100 .010 2000.00 100.00 .200 4.20 steel layers N D A 1 4.0000 9.8200 2 36.0000 9.8200 "UNCRACKED ELASTIC ANALYSIS" EFFECTIVE AREA = 800.00 TRANSFORMED AREA = 941.34 CENTROID CENT = 20.00 MOMENT OF INERTIA = 142850.60 TENSILE CONCRETE STRAIN COMPRESSION CONCRETE STRAIN -.00015 .00015 layer steel STRAINS steel STRESSES 1 .00012 .236 2 -.00012 -.236

76

CRACKING MOMENT = 257.13 CRACKING CURVATURE = .0000074 " ANALYSIS AT FIRST STEEL YIELDING " MAX. CONC. STRAIN MAX. CONC. STRESS STRESS RATIO .0009850 .187 .69 layer number steel STRAINS steel STRESSES 1 .00064 1.284 2 -.00210 -4.200 FIRST YIELDING STAGE RESULTS MOMENT CURVATURE NEUTRAL AXIS -1302.67 .0000857 11.49 "ULTIMATE STATE ANALYSIS RESULTS" TENSILE STEEL RATIO (%) COMPRESSIVE STEEL RATIO (%) 1.23 1.23 steel LAYER steel STRAINS steel STRESSES 1 .00094 1.883 2 -.01552 -4.201 NOMINAL STRENGTH DESIGN STRENGTH REDUCTION moment moment factor -1354.80 -1219.32 0.90 NEUTRAL AXIS DEPTH ULTIMATE CURVATURE 5.83 .000515 "MOMENT - CURVATURE - DUCTILITY ANALYSIS" ============================================ limit moment curvature moment state increase --------------------------------------------------------- uncraked 257.13 .000007 - yield 1302.67 .000086 5.07 nominal 1354.80 .000515 1.04 ============================================= CURVATURE DUCTILITY ===== DUC = 6.00

(b) Acero 25mm con Curva Real. steel

YYS SY SESH ES ESH EUS FU 5.00 .002500 .007 2000.00 100.00 .140 8.00

77

steel layers N D A 1 4.0000 9.8200 2 36.0000 9.8200 "UNCRACKED ELASTIC ANALYSIS" EFFECTIVE AREA = 800.00 TRANSFORMED AREA = 941.34 CENTROID CENT = 20.00 MOMENT OF INERTIA = 142850.60 TENSILE CONCRETE STRAIN COMPRESSION CONCRETE STRAIN -.00015 .00015 layer steel STRAINS steel STRESSES 1 .00012 .236 2 -.00012 -.236 CRACKING MOMENT = 257.13 CRACKING CURVATURE = .0000074 " ANALYSIS AT FIRST STEEL YIELDING " MAX. CONC. STRAIN MAX. CONC. STRESS STRESS RATIO .0012066 .214 .79 layer number steel STRAINS steel STRESSES 1 .00079 1.589 2 -.00250 -5.000 FIRST YIELDING STAGE RESULTS MOMENT CURVATURE NEUTRAL AXIS -1548.32 .0001030 11.72 "ULTIMATE STATE ANALYSIS RESULTS" TENSILE STEEL RATIO (%) COMPRESSIVE STEEL RATIO (%) 1.23 1.23 steel LAYER steel STRAINS steel STRESSES 1 .00131 2.624 2 -.01219 -5.448 NOMINAL STRENGTH DESIGN STRENGTH REDUCTION moment moment factor -1738.92 -1565.03 0.90

78

NEUTRAL AXIS DEPTH ULTIMATE CURVATURE 7.11 .000422 "MOMENT - CURVATURE - DUCTILITY ANALYSIS" ============================================== limit moment curvature moment state increase --------------------------------------------------------- uncraked 257.13 .000007 - yield 1548.32 .000103 6.02 ultimate 1738.92 .000422 1.12 ============================================== CURVATURE DUCTILITY ===== DUC = 4.10 Diagramas Momento vs. Curvaturas para todos los cas os analizados.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 200 400 600 800 1000 1200

curvaturas 1/cm x(10)-6

Mom

ento

s T

cm

D12-420

D12-REAL

D16-420

D16-REAL

D20-420

D20-REAL

D25-420

D25-REAL

79

3.20 APÉNDICE D. Tablas con fórmulas útiles para cálculo de áreas y baricentros.

(fuente: Mechanics of materials. E.P. Popov. Prentice-Hall. 1957)

80

(fuente: Mechanics of materials. E.P. Popov. Prentice-Hall. 1957)