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TEMA IVFUNCIÓN LINEAL

YCUADRÁTICA

TEMA Nº4: FUNCIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA

1.1. PARES ORDENADOS

Definición: Dados dos números reales x e y en un cierto orden se llama par ordenado a toda expresión de la forma (x; y).

Se dice ordenado porque x antecede a y. Por lo tanto (x; y) ¿ (y; x).Los pares ordenados representan puntos en el plano; donde a la primera componente se la representa sobre el eje de las abscisas (horizontal) y la segunda componente sobre el eje de las ordenadas (vertical).Por ejemplo: Se representa en el plano cartesiano los siguientes puntos:

Puntos A=(0;0)

B=(2;3)

C=(5;0)

D=(0;4)

E=(-3;2) F=(-4;-3)

G=(3;-5)

H=(0;-4)

I=(-5;0)

Abscisa 0 2 5 0 -3 -4 3 0 -5

Ordenada

0 3 0 4 2 -3 -5 -4 0

2

1.

2.

3.

4.

4.1.

4.2. RELACIONES Y FUNCIONES

DEMANDA: Cuando se habla de demanda, se refiere uno a la cantidad de bienes o servicios que se solicitan o se desean en un determinado mercado de una economía a un precio específico.La demanda que una persona, una familia, una empresa o un consumidor en general tiene de un determinado producto o servicio puede estar influenciada por un gran número de factores que determinarán la cantidad de producto solicitado o demandado.

En el análisis económico se tiende a simplificar este panorama manteniendo en niveles constantes todos los factores con excepción del precio; de esta forma, se establece una relación entre el precio y la cantidad demandada de un producto o servicio. Esta relación se conoce como la curva de demanda. La forma típica de esta curva se presenta a continuación.

En general, la ley de la demanda indica que existe una relación inversa entre el precio y la cantidad demandada de un bien durante un cierto periodo; es decir, si el precio de un bien aumenta, la demanda por éste disminuye; por el contrario, si el precio del bien disminuye, la

demanda tenderá a subir (existen excepciones a esta ley, dependiendo del bien del que se esté hablando).

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OFERTA: Cuando se habla de oferta se hace referencia a la cantidad de bienes, productos o servicios que se ofrecen en un mercado bajo unas determinadas condiciones. El precio es una de las condiciones fundamentales que determina el nivel de oferta de un determinado bien en un mercado.

La relación entre el precio de un bien y la cantidad ofrecida de éste se puede ver gráficamente a través de la curva de oferta. La forma típica de esta curva se presenta a continuación.

La ley de la oferta establece que, ante un aumento en el precio de un bien, la oferta que exista de ese bien va a ser mayor; es decir, los productores de bienes y servicios tendrán un incentivo mayor para ofrecer sus productos en el mercado durante un periodo, puesto que obtendrán mayores ganancias al

hacerlo.

En los mercados, los compradores reflejan sus deseos en la demanda y los vendedores buscan obtener ganancias al ofrecer productos que los consumidores o compradores estén buscando; es decir, que estén demandando. Esta demanda y oferta de mercancías actúan como fuerzas que permiten determinar los precios con los cuales se intercambian las mercancías.

4.2.1. Relación Por ejemplo: Sea un conjunto A formado por los alumnos de la carrera

Licenciatura en Administración y sea B el conjunto de los números de 0 a 100. Si suponemos que todos los alumnos rinden el examen final de Matemática que califica de 0 a 100 y hacemos corresponder a cada alumno la nota que obtiene en dicho examen.

Diremos que esta relación es una función pues cada alumno tendrá una nota asignada y ningún alumno tendrá asignada más de una nota.

Cuando se establece una correspondencia o asignación entre dos conjuntos tenemos una relación, pero no todas las relaciones son funciones.

El conjunto A se llama Dominio de la función y el conjunto B se llama Codominio de la función, observemos que todos los elementos de A tienen algún correspondiente en B, mientras que algunos elementos de B pueden

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quedar sin ser asignados, es decir, puede ocurrir que ningún alumno se saque cero puntos.

Los distintos puntajes obtenidos por los alumnos formarán un conjunto incluido en B, que llamaremos Imagen de la función.

Otro ejemplo: Sea el conjunto A el formado por las personas y B el conjunto formado por los títulos de los distintos libros editados. Sea la relación que asigna a cada persona el libro que escribió.

La relación dada no es una función puesto que hay personas que no han escrito ningún libro y además hay personas que escribieron más de un libro.

Una función expresa la idea de que una cantidad depende o está determinada por otra. Por ejemplo: El perímetro de un cuadrado depende de la longitud del lado. La longitud

del lado es la variable independiente y el perímetro es la variable dependiente.

El costo semanal de producir un artículo depende del número de artículos producidos.

La edad de una persona depende del año en que nació.

4.2.2. Función

Definición: Una función f definida de A en B, que son conjuntos de números reales, es una regla que asigna a cada elemento de A uno y solo un elemento de B. En

símbolos se escribe: f : A→B/ y=f ( x )

Donde x representa un elemento de A e y un elemento de B. Recuerda que el conjunto A se llama Dominio de f y el conjunto B Codominio de f.

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Las siguientes asignaciones también son funciones: Se asigna a cada persona nacida en argentina un número de

documento nacional de identidad. Sí es una función, el conjunto A estaría formado por los nombres de las personas nacidas en argentina y el conjunto B podría ser el de los números naturales. Observa que no hay persona nacida en argentina que no tenga un número de DNI y que ninguna tiene dos o más números de DNI.

A cada número les asignamos su doble. Sí es una función, el conjunto A y el B más extenso que podemos considerar serían los números reales. Observa que no hay número que no tenga su doble y que este es único.

Las siguientes asignaciones no son funciones, explica por qué. A cada alumno de la universidad se le asigna la carrera elegida. A cada número entero se le asignan sus divisores.

4.2.2.1. Ceros de una función

Definición: Una función tiene un cero en x = a si y solo sí f (a )=0 . En la gráfica los ceros son los valores de las abscisas donde la función corta al eje x.

En esta gráfica tenemos como ceros a: x= -4 porque f(-4) = 0x = -1 porque f(-1) = 0x = 2 porque f(2) = 0

4.2.2.2. Distintas Representaciones de una Función Las distintas formas en que se pueden representar funciones son mediante: Gráficos Fórmula Expresión coloquial Tabla de valoresEs posible en algunos casos pasar de una forma de representación a otra:Por ejemplo: Encontrar la gráfica y la fórmula o ecuación de la siguiente función.“A cada número se asigna su triple aumentado en 2” (expresión coloquial)

La fórmula sería f : R→R / y=f (x )=3 x+2 y la grafica correspondiente es la que se muestra abajo.

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Observa que x=−2

3 es un cero de la función y que los puntos de

intersección con los ejes son (0,2 ) y (−23

,0) Para encontrar las intersecciones con los ejes:

Intersección con el eje y , hacemos x = 0 resulta y=3 .0+2=2por lo tanto el punto de intersección es (0,2 )

.

Intersección con el eje x , hacemos y = 0 resulta 3 x+2=0⇒ x=−2

3 , el

punto de intersección es (−2

3,0)

4.3. FUNCIONES POLINÓMICASAhora solo estudiaremos las funciones polinómicas de primer grado (o funciones lineales) y las de segundo grado (funciones cuadráticas)4.3.1. Funciones Polinómicas de Primer Grado o Lineal

Definición: Se llama función de primer grado (función lineal) a la función real

definida por f : R→R / f ( x )=a . x+b .

Una expresión equivalente a ella es y=a .x+b conocida como ecuación de la recta porque la representación en el plano es una línea recta.

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Ejemplos: f ( x )=x−5 g ( x )=−x+3 h ( x )=2 x−3

y=3 x y=−2x y=5

En las funciones lineales se debe tener en cuenta los conceptos de pendiente, de ordenada al origen y la representación gráfica, que se especifican a continuación:

4.3.1.1. Pendiente : indica la inclinación de la recta y se calcula teniendo como datos dos puntos en el plano. Se define como el cociente a=

y2− y1

x2−x1 siendo los puntos A=(x1 ; y1) y B=( x2 ; y2 )

Si a>0 la recta forma con el eje x un ángulo menor de 90º (ángulo agudo)Si a<0 la recta forma con el eje x un ángulo mayor de 90º (ángulo obtuso)Si a=0 la recta es paralela al eje xEjemplos: la pendiente para cada una de las funciones lineales dadas en los ejemplos anteriores es:f ( x )=x−5 a=1 g ( x )=−x+3 a=−1 h ( x )=2 x−3 a=2

y=3 x a=3 y=−2 x a=−2 y=5 a=0

4.3.1.2. Ordenada al origen : es el valor donde la recta corta al eje y; es decir el punto de intersección con el eje y.Ejemplos: la ordenada al origen para cada uno de los ejemplos anteriores es:f ( x )=x−5b=−5 g ( x )=−x+3 b=3 h ( x )=2 x−3 b=−3

y=3 x b=0 y=−2x b=0 y=5b=5

4.3.1.3. Representación Gráfica de la ecuación de la recta : como indica su nombre la representación gráfica es una línea recta.Por ello para representar gráficamente basta con dar dos puntos en el plano que pertenezcan a la recta (es decir que las coordenadas verifiquen la ecuación dada)

Ejemplos: Si representamos gráficamente las siguientes rectas tendremos f ( x )=x−5 g ( x )=−x+3 h ( x )=2 x−3

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x f ( x )=x−5 x g ( x )=−x+3 x h ( x )=2 x−30 -5 0 3 0 -35 0 -3 0 1 -1

Ahora representaremos las siguientes funciones:j ( x )= y=3x m (x )= y=−2 x n ( x )= y=5

x j ( x )=3 x x m (x )=−2x x n ( x )=5

0 0 0 0 0 51 3 1 -2 1 5

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4.4. DISTINTAS EXPRESIONES DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Ya hemos visto que la expresión f : R→R / f ( x )=a . x+b representa una función cuya gráfica es una línea recta. Esa ecuación, por lo tanto, representa la ecuación de una recta. Como veremos en este apartado, existen otras expresiones equivalentes. La expresión anterior recibe el nombre de forma explícita de la ecuación de la recta.

4.4.1. Ecuación Explícita de una recta viene dada por la ya conocida expresión:

4.4.2. Ecuación General o Implícita de una recta La ecuación de la recta también la podemos expresar con todos los

términos en lado izquierdo de la ecuación, igualados a cero. Es lo que se denomina ecuación general o implícita de la recta:

Ax+By+C=0

Ejemplos

Hallar la ecuación general de la recta y=3 x+ 43 . Para este caso

debemos realizar pasajes de términos y=3 x+ 4

3⟺ y=9 x+4

3⟺3 y=9 x+4⟺−9 x+3 y−4=0 que es la ecuación

general pedida.10

y=ax+b

Hallar la ecuación explícita a partir de la expresión general, siendo la misma 3 x+2 y−5=0

Para este caso debemos despejar la variable y, quedando así: 3 x+2 y−5=0⟺2 y=5−3 x

3 x+2 y−5=0⟺2 y=5−3 x⟺ y=5−3 x2

⟺ y=−32

x+ 52 que es la ecuación

explícita.

4.4.3. Ecuación punto-pendiente de una recta

Una recta queda perfectamente determinada por su inclinación y por un punto perteneciente a ella. Esto nos permite dar el siguiente resultado:

Sea ( x0 ; y0 ) un punto de una recta y a su pendiente, entonces su ecuación vienen

dada por la expresión y− y0=a . ( x−x0 )

Ejemplo: Hallar la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (-2, 4) y tiene pendiente 3. En este caso simplemente debemos reemplazar los datos en la expresión indicada, y obtenemos así: y−4=3. (x+2 )

De esta expresión podemos encontrar la ecuación explícita que es:y−4=3. (x+2 )⟺ y−4=3 x+6⟺ y=3 x+10 y la ecuación implícita o general que es:y−4=3. (x+2 )⟺ y−4=3 x+6⟺−3 x+ y−4−6=0⟺−3 x+ y−10=0

4.4.4. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean los puntos A=(x1 ; y1) y B=( x2 ; y2 )dos puntos de una recta que no sea horizontal*, entonces la ecuación está dada por la expresión:

y− y1=y2− y1

x2−x1( x−x1 )

donde la pendiente a=

y2− y1

x2−x1

(* La recta no puede ser horizontal porque si no el primer denominador se anula)

Ejemplo: Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A= (-1; 2) y B = (3; -2)Reemplazando los valores en la expresión dada, tenemos:

y−2=−2−23+1

( x+1 )⟺ y−2=−x−1⟺ x+ y−2+1=0⟺ x+ y−1=0

4.5. POSICIÓN DE RECTAS EN EL PLANODos rectas en el plano pueden ser paralelas o secantes, ahora definiremos cada una de ellas.

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Definición: dos rectas son paralelas si y solo sí tienen la misma pendiente;

Simbólicamente: Sean r1 : y=a1 x+b1 y r2 : y=a2 x+b2 r1/¿ r2 ⇔a1=a2

4.5.1. Rectas Paralelas : son aquellas que tiene ningún punto en comunes.

Por ejemplo: Las rectas r1 :2x+ y=1 y r2 : y=−1−2x son rectas paralelas porque si determinamos sus pendientes a1=−2 ya2=−2 podemos observar que son las mismas.r1 :2 x+ y=1⟺ y=−2x+1 y r2 : y=−1−2x

Un caso particular de rectas paralelas son las coincidentes. 4.5.2. Rectas Coincidentes : son aquellas que tienen todos sus puntos

en comunes.

Definición: dos rectas son coincidentes si y sólo sí tienen la misma pendiente y la misma ordenada al origen.Simbólicamente: Sean r1 : y=a1 x+b1 y r2 : y=a2 x+b2 r1 escoincidente a r2 ⇔ a1=a2∧b1=b2

Por ejemplo: Las rectas r1 :2 x+ y=1 y r2 : y=1−2 x son rectas coincidentes porque si determinamos sus pendientes a1=−2 ya2=−2 y también sus ordenadas al origenb1=1 yb2=1 podemos observar que son las mismas.

r1 :2 x+ y=1⟺ y=−2x+1 y r2 : y=1−2x

4.5.3. Rectas Secantes : son aquellas que tienen un único punto en común (punto de intersección)

Definición: dos rectas son secantes si y sólo sí tienen distintas sus pendientes.

Simbólicamente: Sean r1 : y=a1 x+b1 y r2 : y=a2 x+b2 r1 es secante a r2⇔a1≠ a2

Por ejemplo: Las rectas r1 :2x+ y=1 y r2 : y=−2−3x son rectas secantes porque si determinamos sus pendientes a1=−2 ya2=−3 podemos observar que son distintas.r1 :2 x+ y=1⟺ y=−2x+1 y r2 : y=−2−3x Un caso particular de rectas secantes son las rectas perpendiculares.Rectas Perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si y sólo sí el producto de las pendientes de ambas rectas es igual a -1.

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Simbólicamente: Sean r1 : y=a1 x+b1 y r2 : y=a2 x+b2 r1 es perpendicular a r2 ⇔a1=

−1a2

4.6. FUNCIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO El director de un teatro estima que si cobra 30 €  por localidad, podría

contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.Observa la tabla:

euros descuento 0 1 2 x

Precio 30 30-1 30-2 30-x

Nº espectadores 500 500+100.1 500+100.2 500+ 100x

Ingresos 30.500

(30-1)·(500+100.1) (30-2)·(500+100.2) (30-x)·(500+100.x)

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números reales cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0.

Los ingresos obtenidos son G ( x )=(30−x ) . (500+100 x )=−100 x2+2500 x+15 .000 siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.

4.6.1. Representación Gráfica de la Función Cuadrática La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:

x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3

f(x) = x2 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9

Esta curva simétrica se llama parábola.

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Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma. Dibujemos la gráfica de f(x) =  x2  -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4

f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la gráfica obtenemos:

4.6.2. Análisis para representar gráficamente una parábola

Dada la expresión f ( x )= y=a x2+bx+c

Determinar los valores de los coeficientes a ,b y c

Ejemplo: sea f(x) = x2 + 4 x + 3, los coeficientes son {a=1b=4c=3

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Encontrar los puntos de intersecciones con los ejes:

Eje y : hacemos x = 0 y reemplazando en la expresión f (0 )=a . 02+b .0+c⟹ y=c

Ejemplo: Para f(x) = x2 + 4 x + 3, la intersección con este eje es y=3

Eje x : hacemos y =0 y para encontrar aplicamos la fórmula resolvente x1 ,2=

−b ±√b2−4.a. c2.a

Ejemplo: Para f(x) = x2 + 4 x + 3, la intersección con este eje es x1 ,2=

−4 ±√16−122

x1 ;2=−4 ± 2

2 ={x1=−1x2=−3

Calcular las coordenadas del vértice V= (h; k )

Ahora daremos la obtención general del vértice

Sea la parábola y = ax2 + bx + c

Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el

sistema .Igualando: a x2 + b x + c = c → a x2  + b x = 0  → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

La primera coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, h = - b/2ª

Ejemplo: Si  f(x) = x2 + 4 x + 3, entoncesh=−b2 a

=−(−4)

2.1=4

2=2 y f(2) = -1. Y

el vértice será V = (2,-1). O también podemos resumir:

h=−b2 a

ó h=x1+x2

2

k=4 ac−b2

4 a ó k=f (h )

Eje de simetría: es la recta que divide a la parábola en la mitad x = h

Ejemplo: Si  f(x) = x2 + 4 x + 3 el eje de simetría es x = 2

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Dominio de la función siempre que trabajemos en los reales, entonces el D = R

Ramas de la parábola: La parábola tendrá sus ramas: Hacia arriba cuando a > 0 y el vértice V= (h; k ) es un punto

mínimo de la parábola Hacia abajo cuando a < 0 y el vértice V= (h; k ) es un punto

máximo de la parábola

Ejemplo: Si  f(x) = x2 + 4 x + 3 y como a =1 > 0, entonces las ramas de esta parábola estarán hacia arriba.

Imagen o Rango de la función dependerá de la ubicación del vértice y de la orientación de las ramas de la parábola

Si a > 0 y el vérticeV= (h; k )entonces la I = [ k ;+∞¿ (ramas hacia arriba)

Si a < 0 y el vérticeV= (h; k )entonces la I = (−∞; k ] (ramas hacia abajo)

Ejemplo: Si  f(x) = x2 + 4 x + 3, como V = (2,-1) y las ramas están hacia arriba, entonces la imagen es I = [−1 ;+∞¿ .

Gráfico: con todo el análisis previo se representará la parábola, usando todos estos datos

Ejemplo: Si  f(x) = x2 + 4 x + 3

Para este caso ubicaremos los siguientes: El vértice de la parábola V= (-2; -1) Los puntos (-3; 0) y (-1; 0) de intersección con eje x El punto A =(o; 3) de intersección con eje y y de allí dibujamos el

simétrico (con respecto al eje de simetría) que es (-4; 3). Tener en cuenta que a > 0 las ramas están hacia arriba

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4.6.3. Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas

Parábolas del tipo y = ax2 (b = 0 , c = 0)

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La forma de una parábola depende única y exclusivamentedel coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo

y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.

Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V=(0,0).

Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.

Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.

Las parábolas y = ax2 + bx + c tienen la misma forma que las parábolas del tipo y = ax2.

Parábolas del tipo y = ax 2 + c (b = 0)La gráfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x2 , desplazándola 3 unidades hacia arriba . El vértice se halla en V(0,3) .

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Parábolas del tipo y = ax 2 + bx (c = 0)

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La gráfica de la parábola y = 2x2 - 4x pasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada del vértice es -b/2a = 1.Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice es V(1,-2). Utilizando la simetría de la parábola podemos obtener el punto (2,0).

Resumiendo: Dada la parábola y = ax2 + bx + c, entonces: Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más cerrada, menos cerrada) depende del

coeficiente a de x2. Si a > 0, la ramas están hacia arriba (el vértice es un punto mínimo de la parábola) y si a<0, las ramas están hacia abajo (el vértice es un punto máximo de la parábola).

 Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (-b, 0)

1.2.3.4.

4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.

4.6.1.4.6.2.4.6.3.

4.6.4. Distintas formas de expresar una función cuadrática Forma Polinómica

Es la expresión de la forma y = ax2 + bx + c, es decir que necesito conocer sus coeficientes

Forma CanónicaEs la expresión de la forma y=a ( x−h )2+k donde h y k son las coordenadas del vértice y a es el coeficiente cuadrático.

Forma FactorizadaEs la expresión de la forma y=a ( x−x1) . ( x−x2 ) donde x1 y x2 son los puntos de intersección de la parábola con el eje x.

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Resumiendo: Dada la parábola y = ax2 + bx + c, entonces: Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más cerrada, menos cerrada) depende del

coeficiente a de x2. Si a > 0, la ramas están hacia arriba (el vértice es un punto mínimo de la parábola) y si a<0, las ramas están hacia abajo (el vértice es un punto máximo de la parábola).

Ejemplo: Determinar las distintas expresiones para la función y = x2  - 4 x + 3Podemos observar que esta expresión corresponde al forma polinómica, donde a = 1; b = -4 y c = 3Para la forma canónica necesitamos calcular las coordenadas del vértice V= (h; k )donde h=−b

2 a=−−4

2.1=2 y k=f (2 )=22−4.2+3=−1, entonces

V= (2;−1 ). La forma canónica es y=1. ( x−2 )2−1

Para la forma factorizada necesitamos los puntos de intersección con el eje x; aplicamos la fórmula resolvente

x1 ,2=−b ±√b2−4.a. c

2.a⇔ x1 ,2=

−(−4 ) ±√ (−4 )2−4.1.32.1

=4± 22

⇔{x1=3x2=1

Entonces la expresión factorizada es: y=1. ( x−3 ) . ( x−1 )

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