Tema n 2

TEMA N 9FACTORIZACINDEFINICIN

Es la operacin que tiene por finalidad transformar una expresin algebraica racional y entera en otra equivalente, que sea igual al producto de sus factores primos racionales y enteros. En general, factorizar significa convertir una suma algebraica en un producto de factores.

MTODOS PARA FACTORIZAR

(A) FACTOR COMN

De dos o ms expresiones algebraicas, es la parte numrica y/o literal que est repetida en dichas expresiones. El factor comn puede ser de tres tipos:

1) Factor comn monomio

2) Factor comn polinomio

3) Factor comn por agrupacin

A.1) FACTOR COMN MONOMIO.

Cuando el factor comn a todos los trminos del polinomio es un monomio.

Ejemplo: Factorizar:

72x2ayb + 48xa+1yb+1 + 24xay2bEl factor comn es 24xayb, de esta manera:

72x2ayb + 48xa+1yb+1 + 24xay2b = 24xayb (3xa + 2xy + yb)

Explicacin.- Para sacar el factor comn monomio:

En primer lugar se saca el coeficiente comn (24), a continuacin, se saca las letras comunes afectadas por los menores exponentes (xayb), luego se divide cada trmino del polinomio entre el factor comn monomio y los resultados se escriben dentro del parntesis.

A.2) FACTOR COMN POLINOMIO.

Cuando el factor comn que aparece es un polinomio.

Ejemplo: Factorizar:

(a + 1)7 (a2 + 1)10 - (a + 1)5 (a2 + 1)11El factor comn es (a + 1)5(a2 + 1)10, as:

(a + 1)7 (a2 + 1)10 - (a + 1)5 (a2 + 1)11= (a + 1)5 (a2 + 1)10 [(a + 1)2 - (a2 + 1)]

Efectuando:

= (a + 1)5 (a2 + 1)10 [a2 + 2a + 1 - a2 - 1]

= (a + 1)5 (a2 + 1)10 (2a)

Luego:

(a + 1)7 (a2 + 1)10 - (a + 1)5 (a2 + 1)11= 2a(a + 1)5 (a2 + 1)10A.3) FACTOR COMN POR AGRUPACIN.

Cuando no hay un factor comn a todos los trminos del polinomio.

Ejemplo: Factorizar

xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)nEfectuando operaciones:

xmxn + ymyn + xmym + xnynNo hay factor monomio ni polinomio, por lo tanto se agrupa trminos de 2 en 2:

(xmxn + xmym) + (ymyn + xnyn)

Sacando factores comunes en cada parntesis:

xm(xn + ym) + yn (ym + xn)

Sacando el factor comn binomio:

(xn + ym) (xm + yn)

(B) MTODO DE IDENTIDADES

B.1) DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Es una diferencia de dos cuadrados perfectos.

Para factorizar, se extrae la raz cuadrada de los cuadrados perfectos y se forma un producto de la suma de las races multiplicada por la diferencia de ellas. En general:

a2m - b2n = (am + bn) (am - bn)

B.2) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Se caracteriza por:

1) Tener 2 trminos que son cuadrados perfectos.

2) El otro trmino es el doble producto de las races cuadradas de los cuadrados perfectos.

3) Los cuadrados perfectos siempre deben tener signo positivo.

El trinomio de estos caracteres se reduce a un binomio al cuadrado as:

a2m 2ambn + b2n = (am bn)2B.3) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.

Se caracterizan por tener 2 cubos perfectos. Para factorizar se recuerda el producto notable, as:

a3m + b3n = (am + bn)(a2m - ambn + b2n)

a3m - b3n = (am - bn)(a2m + ambn + b2n)

(C) MTODO DEL ASPA

C.1) ASPA SIMPLE.

Se utiliza para factores trinomios de la forma:

ax2n bxn c

o de la forma: x2n bxn c

Para factorizar, se descompone en dos factores los trminos ax2n o x2n, segn sea el caso. Se coloca estos factores en las puntas de la izquierda del aspa. El trmino independiente, incluyendo el signo, tambin se descompone en dos factores, los cuales se coloca en las puntas de la derecha del aspa. El trmino central del trinomio debe ser igual a la suma de los productos del aspa. Por ltimo los factores de la nueva expresin son las sumas en forma horizontal de los extremos del aspa.

Ejemplo: Factorizar:

x4n + 7x2n + 12

a) x4n se descompone en dos factores:

x2n . x2nb) 12 tambin se descompone en dos factores:

4 . 3

Se pone estos factores en los extremos izquierdo y derecho del aspa respectivamente:

x2n +4

x2n +3

c) La suma de los productos:

3x2n + 4x2n = 7x2nes igual al trmino central.

Ntese que la expresin factorizada es el producto de la suma, tomada horizontalmente, as:

x4n + 7x2n + 12 = (x2n + 4) (x2n + 3)

x2n +4

x2n +3