Tema iii medidas de centralizacion uts

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 78 ÁLGEBRA LINEAL

TEMA III: MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

NOTACIÓN DE ÍNDICES

Denotemos por iX (léase « X sub i » cualquiera de los N valores

NXXXX ,,,, 321 que toma

una variable X . La letra i en iX , que puede valer N,,3,2,1 se llaman subíndice. Es claro que

podíamos haber empleado cualquier otra letra en vez de i , por ejemplo ,,,,,,,, qponmlkj etc.

NOTACIÓN DE SUMA

El símbolo

N

i

iX1

denotará la suma de todos los iX desde 1i a ;Ni por definición:

N

N

i

i XXXXX

321

1

Cuando no ocasiones confusión, denotaremos esa suma simplemente por i

XX , o i iX .

El símbolo es la letra griega SIGMA mayúscula, que denota suma.

PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Un PROMEDIO es un valor típico o representativo de un conjunto de datos. Como tales

valores suelen situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, los promedios

se conocen como MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

Se definen varios tipos, siendo los más comunes la media aritmética, la mediana, la moda, la

media geométrica y la media armónica. Cada una tiene ventajas y desventajas, según los datos y el

objetivo perseguido.

LA MEDIA ARITMÉTICA

La MEDIA ARITMÉTICA, o simplemente MEDIA, de un conjunto de N números

NXXXX ,,,, 321 se denota por X (léase « X barra») y se define por:

1 1321

N

X

N

X

N

XXXXX

N

i

i

N


PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ESTADÍSTICA GENERAL

EJEMPLO: La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es:

7,65

38

5

1012538

X

Si los números KXXXX ,,,, 321 ocurren

Kffff ,,,, 321 veces, respectivamente (o sea, con

frecuencias Kffff ,,,, 321 ), la media aritmética es:

2

1

1

321

332211

K

Xf

f

Xf

f

Xf

ffff

XfXfXfXfX

K

i

i

K

i

ii

K

KK

Donde Kf es la FRECUENCIA TOTAL (o sea, el número total de casos).

EJEMPLO: Si 5, 8, 6 y 2 ocurren con frecuencias 3, 2, 4, y 1, respectivamente, su media

aritmética es:

7,5

10

57

10

2241615

1423

21648253

X

LA MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

A veces asociamos con los números KXXXX ,,,, 321 ciertos FACTORES PESO (o PESOS)

KWWWW ,,,, 321 dependientes de la relevancia asignada a cada número. En tal caso:

3 321

332211

W

XW

WWWW

XWXWXWXWX

K

KK

Se llama la MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA con pesos KWWWW ,,,, 321 .

EJEMPLO: Si el examen final de un curso cuenta tres veces más que una evaluación parcial,

y un estudiante tiene calificación 85 en el examen final 70 y 90 en los dos parciales, la calificación

media es:

83

5

145

5

2559070

311

853901701

X



PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de número respecto de su media

aritmética es cero.

EJEMPLO: Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 y 10 respecto de su media aritmética 7.6

son: 8 – 7.6=0.4; 3 – 7.6= –4,6; 5 – 7.6= –2,6, 12 – 7.6=4,4 y 10 – 7.6=2,4, con suma algebraica:

0.4 – 4.6 – 2.6 + 4.4 + 2.4 = 0.

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números iX respecto de un

cierto número a es mínima si y sólo si .Xa

3. Si 1f números tiene media ,1m

2f números tiene media Kfm ,,2 números tienen media

,Km entonces la media de todos los números es:

4 321

2211

K

KK

ffff

mfmfmfX

Es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias.

4. Si A es una MEDIA ARITMÉTICA SUPUESTA o CONJETURADA (que puede ser

cualquier número) y si AXd ii son las desviaciones de iX respecto de A , las ecuaciones (1) y

(2) se convierten, respectivamente en:

6

5

1

1

1

K

dfA

f

df

AX

N

dA

N

d

AX

K

i

i

K

i

ii

N

i

i

Donde

.1

ffKK

i

i Nótese que las formulas (5) y (6) se resumen en .dAX

5. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda

aumentada en dicho número.

6. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media

aritmética queda multiplicada por dicho número.



CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS

Cuando los datos se presentan en una distribución de frecuencias, todos los valores que caen

dentro de un intervalo de clase dado se consideran iguales a la marca de clase, o punto medio, del

intervalo. Las fórmulas (2) y (6) son válidas para tales datos agrupados si interpretamos iX como la

marca de clase if como su correspondiente frecuencia de clase, a A como cualquier marca de clase

conjeturada y AXd ii como las desviaciones de iX respecto de A .

Los cálculos con (2) y (6) se llaman MÉTODOS LARGOS y CORTOS, respectivamente.

Si todos los intervalos de clase tienen idéntica anchura c , las desviaciones AXd ii

pueden expresarse como iuc , donde iu pueden tomar valores enteros positivos o negativos o cero

(es decir, 0 + 1, + 2, + 3,…) con lo que la fórmula (6) se convierte en:

7 1 cK

fuA

K

uf

AX

K

i

ii

Que es equivalente a la ecuación .ucAX A esta ecuación se conoce como MÉTODO

CODIFICADO para calcular la media. Es un método muy breve y debe usarse siempre para datos

agrupados con intervalos de clase de anchuras iguales. Nótese que en el método codificado los

valores de la variable X se TRANSFORMAN en valores de la variable u de acuerdo con

.ucAX

LA MEDIANA

La MEDIANA de un conjunto de números acomodados en orden de magnitud (es decir, en

una ordenación) es el valor central o la media de los dos valores centrales.

En tal sentido, “La mediana se define como el valor de la distribución por encima de la cual

está el 50% de los casos y por debajo el otro 50%, es decir, divide la distribución en dos partes

iguales…” (Hamdan- González, 1994, p. 52).

EJEMPLO 1: El conjunto de números 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8 y 10 tiene mediana 6 (pues la serie

tiene un número impar de medidas y por tanto es el valor central).

EJEMPLO 2: EL conjunto de números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15 y 18 tiene mediana:

10

2

119

Ya que la serie tiene un número par de medidas, valores o puntuaciones la mediana es

la media entre las dos puntuaciones centrales.

Un procedimiento práctico para encontrar la posición de la mediana consiste en ordenar La

serie de datos de menor a mayor o viceversa, dividir la serie entre dos y sumar 0,5. Veamos los

siguientes ejemplos:



(a) Para la serie de calificaciones de Castellano: 01, 13, 14, 15 y 16, según con lo discutido al

principio la mitad esta en 14, ahora la posición de la mediana usando el procedimiento

viene dada por: ,35,05,25,02

5 es decir, el valor de la mediana está en la tercera

posición (14 puntos).

(b) Para otra serie de calificaciones de Castellano: 12, 13, 14 y 25, de acuerdo con lo discutido

al principio es ,5,132

27

2

1413

ahora la posición de la mediana de acuerdo con el

procedimiento queda definida por ;5,25,025,02

4 así, el valor de la mediana es

13,5 puntos.

Estos dos ejemplos conducen a las siguientes conclusiones:

1. Para determinar la mediana hay que ordenar en forma ascendente o descendente la serie

de valores.

2. La posición de la mediana viene dada por el número de casos dividido entre dos más 0,5:

5,02

PMe N

Además, para datos agrupados según su rol de frecuencias es dado por:

8 Mediana 2

i

f

pNfL

i

a

Donde:

2L = Límite superior real del valor que toma la variable.

af = Frecuencia acumulada.

N = Número de casos de la distribución en estudio.

p = 50% ó 0,5, posición según definición de la mediana.

if = Frecuencia absoluta correspondiente.

i = Intervalo que corresponda a la posición de la mediana.

Para datos agrupados en intervalos de clase, la mediana obtenida por interpolación viene dada

por:

8

anterior2Mediana 1

c f

fN

Li

a

Donde:



1L = Frontera o límite inferior real de la clase de la mediana (es decir, de la clase que

contiene la mediana).

N = Número de datos (es decir, la frecuencia total).

af = Frecuencia acumulada antes de la fila de la posición aproximada de la mediana.

if = Frecuencia absoluta de la clase de la mediana.

i = Intervalo que corresponda a la posición de la mediana.

Geométricamente la mediana es el valor de X (abscisa) que corresponde a la recta vertical

que divide un histograma en dos partes de igual área. Ese valor de X se suele denotar por .~X

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

iX if af

63,60 5 5

66,63 18 23

69,66 42 65

72,69 27 92

75,72 8 100

100 if

SOLUCIÓN:

Como: 502

100

Clase de la mediana: .69,66 Luego, de acuerdo con la fórmula 8 :

93,67Mediana

93,166Mediana

42

8166Mediana

342

2766Mediana

342

502366Mediana



LA MODA

La MODA de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia; es decir,

el valor más frecuente. La moda puede no existir, e incluso no ser única en caso de existir.

EJEMPLO 1: El conjunto de 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12 y 18 tiene moda 9. En este caso

la distribución con moda única se dice UNIMODAL.

EJEMPLO 2: El conjunto de 3, 5, 8, 10, 12, 15, y 16 no tiene moda.

EJEMPLO 3: El conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7 y 9, tiene dos modas, 4 y 7, y se llama

BIMODAL.

EJEMPLO 4: En el conjunto 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9, no tiene moda, ya que todas

las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

EJEMPLO 5: En el conjunto 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8; la moda es Mo = 4, ya que dos

puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos

puntuaciones adyacentes.

En el caso de datos agrupados donde se haya construido una curva de frecuencias para ajustar

los datos, la moda será el valor (o valores) de X correspondientes al punto (o puntos) máximo (o

máximos) de la curva.

Ese valor de X se denota por .X

En una distribución de frecuencia o en un histograma la moda se puede obtener mediante la

fórmula siguiente:

9 Moda21

11 c L

Donde:

1L = Frontera inferior de la clase modal (es decir, de la clase que contiene la moda).

1 = Exceso de frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase inferior inmediata.

2 = Exceso de frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase superior inmediata.

c = Amplitud del intervalo de la clase modal.

CÁLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS

1) TODOS LOS INTERVALOS TIENEN LA MISMA AMPLITUD.

9 Mo

11

1

affff

ffL i

iiii

iii

Donde:



iL = Es el límite inferior de la clase modal.

if = Es la frecuencia absoluta de la clase modal.

1if = Es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.

1if = Es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ia = Es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

9 Mo11

1

aff

fL i

ii

ii

EJEMPLO: Calcular la moda de una distribución estadística de la siguiente tabla:

iX if

63,60 5

66,63 18

69,66 42

72,69 27

75,72 8

100 if

SOLUCIÓN:

Usando la fórmula 9 :

846,67Mo

846,166Mo

39

7266Mo

339

2466Mo

31524

2466Mo

327421842

184266Mo



Ahora, usando la fórmula 9 :

8,67Mo

8,166Mo

45

8166Mo

345

2766Mo

32718

2766Mo

2) LOS INTERVALOS TIENEN AMPLITUDES DISTINTAS.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas: i

ii

a

fh

La clase modal es la que tiene mayor altura.

9 Mo

11

1

ahhhh

hhL i

iiii

iii

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

iv

i

ii

ii a

hh

hL 9 Mo

11

1

EJEMPLO: En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y

sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.

iX if ih

5,0 15 3

7,5 20 10

9,7 12 6

10,9 3 3

50 if



SOLUCIÓN:

Usando la fórmula 9 :

72,6Mo

72,15Mo

11

145Mo

211

75Mo

247

75Mo

2610310

3105Mo

Ahora, usando la fórmula iv9 :

33,6Mo

33,15Mo

9

125Mo

29

65Mo

263

65Mo

RELACIÓN EMPÍRICA ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA

Para curvas de frecuencias unimodales que sean poco asimétricas tenemos la siguiente

relación empírica.

10 mediana-media3moda-Media



Las Figuras 3.1 y 3.2 muestran las posiciones relativas de la media, la mediana y la moda

para curvas de frecuencia asimétricas a derecha e izquierda, respectivamente. Para curvas simétricas,

los tres valores coinciden.

Figura 3.1: Posiciones relativas de la

media, la mediana y la moda en curvas de

frecuencias sesgadas a la derecha.

Figura 3.2: Posiciones relativas de la media,

la mediana y la moda en curvas de

frecuencias sesgadas a la izquierda.

FORMAS DE DISTRIBUCIÓN

Con los valores que se obtienen de la media, mediana y moda se puede evaluar el

comportamiento central de diferentes aspectos de una distribución de datos estadísticos;

dependiendo de su comportamiento los resultados de estas tres medidas pueden ser iguales o

diferentes:

Si el valor de la media es igual al de la mediana MeX los datos tienen una

DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA.

Si la media es igual al valor de la mediana e igual al valor de la moda MoMe X entonces

es una DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA y UNIMODAL, conocida también como

DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Cuando la media es mayor que la mediana MeX la distribución es ASIMÉTRICA

POSITIVA y cuando el valor de la media es menor que el de la mediana MeX , la

ASIMETRÍA ES NEGATIVA.

LA MEDIA GEOMÉTRICA G

La MEDIA GEOMÉTRICA G de un conjunto de N números positivos NXXXX ,,,, 321 es

la raíz N -ésima del producto de esos números.

11 321N

NXXXXG



EJEMPLO: La media geométrica de 2, 4 y 8 es:

.464842 33 G

Podemos calcular G por logaritmos o con una calculadora. Para la media geométrica de datos

agrupados veamos el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 1: Los números KXXXX ,,,, 321 se presentan con frecuencias

Kffff ,,,, 321

donde Nffff K 321 es la frecuencia total.

(a) Encontrar la media geométrica G de estos números.

(b) Deducir una expresión para log G .

(c) ¿Cómo se pueden emplear los resultados para hallar la media geométrica de datos agrupados

en una distribución de frecuencias?

SOLUCIÓN:

(a)

21

21

21

veces veces

222

veces

111

N f

K

ff

N

f

KKK

ff

K

K

XXXG

XXXXXXXXXG

Donde .fN A esta media suele llamársele MEDIA GEOMÉTRICA PONDERADA.

(b)

N

XfG

XfN

G

XfXfXfN

G

XXXN

G

XXXN

G

XXXG

K

ii

KK

f

K

ff

f

K

ff

N f

K

ff

K

K

K

loglog

log1

log

logloglog1

log

logloglog1

log

log1

log

loglog

1i

2211

21

21

21

21

21

21



Donde se supone que todos los números son positivos; de otra manera, los logaritmos no están

definidos. Obsérvese que el logaritmo de una media geométrica de un conjunto de números

positivos es la media aritmética de los logaritmos de los números.

(c) Al hallar la media geométrica de datos agrupados, este resultado puede emplearse tomando

KXXXX ,,,, 321 como las marcas de clase y Kffff ,,,, 321 como sus frecuencias correspondientes.

LA MEDIA ARMÓNICA H

La MEDIA ARMÓNICA H de un conjunto de números NXXXX ,,,, 321 es el reciproco de

la media aritmética de los recíprocos de esos números:

12 111

1

1

X

N

XN

HN

i i

En la práctica es más fácil recordar que:

13 1

N

11

1

XNX

H

EJEMPLO: La media armónica de los números 2, 4 y 8 es

43,37

24

8

7

3

8

1

4

1

2

1

3

H

Para la media armónica de datos agrupados: Si ,,, 321 XXX son las marcas de clase de una

distribución de frecuencias y ,,,, 321 fff son sus frecuencias correspondientes, demostrar que su

media armónica está dada por:

N

111

3

3

2

2

1

1

X

f

X

f

X

f

X

f

NH

Donde .321 ffffN

RELACIÓN ENTRE LAS MEDIAS ARITMÉTICAS, GEOMÉTRICAS Y ARMÓNICA

La media geométrica de una colección de números positivos NXXXX ,,,, 321 es menor o igual

que su media aritmética, pero mayor o igual que su media armónica. En símbolos,

XGH

La igualdad ocurre si y sólo si todos los números NXXXX ,,,, 321 son idénticos.



EJEMPLO: La media aritmética de los números 2, 4, 8 es 4, 67; su media geométrica 4 y

media armónica 3,43.

LA RAÍZ CUADRADA MEDIA

La RAÍZ CUADRADA MEDIA (RCM) o MEDIA CUADRÁTICA (MQ) de un conjunto

de números NXXXX ,,,, 321 suele denotarse 2X y se define

RCM

2

1

2

2

N

X

N

X

X

N

i

i

Este tipo de promedio suele usarse en aplicaciones físicas.

EJEMPLO: La raíz cuadrada media del conjunto 1, 3, 4, 5, y 7 es:

47,4205

100

5

49251691

5

75431RCM

22222

MEDIDAS DE POSICIÓN

Cuando trabajamos la mediana se hizo con el propósito de encontrar n valor que permitiera

localizar la posición de algún caso con relación a otros que están ordenados de manera ascendente o

descendente. En ese preciso instante se inicio el estudio de las medidas de posición, puesto que se

dividió la distribución en dos partes iguales, pero igualmente puede dividirse en cuatro (cuartiles),

en diez (deciles) o en cien partes iguales (percentiles).

CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES

Si un conjunto de datos está ordenado por magnitud, el valor central (o la media de los dos

centrales) que divide al conjunto en dos mitades iguales, es la mediana. Extendiendo esa idea,

podemos pensar en aquellos valores que dividen al conjunto en cuatro partes iguales y que se

denominan CUARTILES. Esos valores, denotados 21,QQ y ,3Q se llaman primer, segundo y tercer

cuartil, respectivamente, en donde: “El 1Q significa que por debajo de su valor se encuentra el 25%

de los casos en la distribución que se está analizando, el 2Q coincide con la mediana y bajo el 3Q

se encuentra el 75% de los casos”.

CÁLCULO DE LOS CUARTILES

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión: .23,1,4

kNk

Por ejemplo:



(a) Número impar de datos: 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

321

9 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2

QQQ

(b) Número par de datos: 2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

321

6,54,52,5

9 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1

QQQ

CÁLCULO DE LOS CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra ;3,2,1,4

kNk

en la tabla de las

frecuencias acumuladas.

.3,2,1,

anterior4

kaf

fNk

LQ i

i

a

ik

Donde:

iL = Es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.

N = Es la suma de las frecuencias absolutas.

af = Es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.


EJEMPLO: Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:

iX if af

60,50 8 8

70,60 10 18

80,70 16 34

90,80 14 48

100,90 10 58

110,100 5 63

120,110 2 65

65 if



Cálculo del primer cuartil: Como ;25,164

65

4

651

entonces:

25,6825,8601010

825,16601

Q

Cálculo del segundo cuartil: Como ;5,324

130

4

652

entonces:

0625,790625,97016

1457010

16

5,147010

16

185,32702

Q

Cálculo del tercer cuartil: Como ;75,484

95

4

653

entonces:

75,9075,0901010

4875,48903

Q

Análogamente, los valores que dividen a los datos en 10 partes iguales se llaman DECILES, y

se denotan .,,, 921 DDD

Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

5D coincide con la mediana.

CÁLCULO DE LOS DECILES

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra ;9,,23,1,10

kNk

en la tabla de las

frecuencias acumuladas.

.9,,3,2,1,

anterior10

kaf

fNk

LD i

i

a

ik

iL = Es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.

N = Es la suma de las frecuencias absolutas.

af = Es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil.


EJEMPLO: Calcular los deciles de la distribución de la tabla anterior.

SOLUCIÓN:

Cálculo del primer decil: Como ;5,610

65

10

651

entonces:



125,58125,8508

655010

8

5,65010

8

05,6501

D

Cálculo del segundo decil: Como ;1310

130

10

652

entonces:

655601010

813602

D

Cálculo del tercer decil: Como ;5,1910

195

10

653

entonces:

9375,709375,07016

157010

16

5,17010

16

185,19703

D

Cálculo del cuarto decil: Como ;2610

260

10

654

entonces:

7557016

807010

16

87010

16

1826704

D

Cálculo del quinto decil: Como ;5,3210

325

10

655

entonces:

0625,790625,97016

1457010

16

5,147010

16

185,32705

D

Cálculo del sexto decil: Como ;3910

390

10

656

entonces:

57,8357,38014

508010

14

58010

14

3439806

D

Cálculo del séptimo decil: Como ;5,4510

455

10

657

entonces:

21,8821,88014

1158010

14

5,118010

14

345,45807

D

Cálculo del octavo decil: Como ;5210

520

10

658

entonces:

944901010

4852908

D

Cálculo del noveno decil: Como ;5,5810

585

10

659

entonces:

10111005

510010

5

5,010010

5

585,581009

D



Mientras que los valores que los dividen en 100 partes iguales se llaman PERCENTILES,

denotados por ,,,, 9921 PPP . Además, el percentil es el punto por debajo del cual se encuentra un

determinado porcentaje de casos, por ejemplo, el percentil ochenta 80P es el punto por debajo del

cual se encuentra el 80% de los casos en la distribución.

Además, tenemos que: “El percentil veinticinco 25P es igual al cuartil uno ,1Q el percentil

cincuenta 50P es igual a la mediana e igual al cuartil dos 250 Me QP y el percentil setenta y

cinco es igual al cuartil tres 375 QP ”. Para su cálculo con datos agrupados en distribuciones de

frecuencia el cálculo de los percentiles se hace mediante un procedimiento análogo al utilizado para

la mediana:

i

f

fNK

LPi

a

iK

anterior100

Donde:

K = Es el percentil que se desea determinar.

N = Es la suma de las frecuencias absolutas de la distribución Nfi .

Los demás componentes de la fórmula ya fueron estudiadas en la mediana.

EJEMPLO: Calcular los percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla anterior.

SOLUCIÓN:

Percentil 35: Como ;75,22100

2275

100

6535

entonces: 97,7210

16

1875,227035

P

Percentil 60: Como ;39100

3900

100

6560

entonces: 57,8310

14

34398060

P

Colectivamente, cuartiles, deciles y percentiles se denominan CUANTILES.

Veamos otros siguientes ejemplos:

EJEMPLO 1: Dado el conjunto de calificaciones (iX ) recogidas en forma desorganizada en

una evaluación parcial realizada a los estudiantes de Informática en la materia Electrónica Digital en

el Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre” (IUTAJS) fueron las siguientes:

11, 10, 12, 13, 11, 14, 14, 13, 15, 16, 15.

SOLUCIÓN:

Veamos la siguiente tabla en donde tenemos la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa, la

frecuencia relativa porcentual:



Tabla 1

Calificaciones de una evaluación parcial realizada a los estudiantes de

Informática en la materia Electrónica Digital en el IUTAJS

iX if af

rf rf % ii Xf

10

1

1

09,0

11

1 9%

10

11 2

3

18,0

11

2 18% 22

12 1 4 09,0

11

1 9% 12

13 2 6 18,0

11

2 18% 26

14 2 8 18,0

11

2 18% 28

15 2

10 18,0

11

2 18%

30

16 1 11 09,0

11

1 9% 16

11 if 99,0 rf 144 ii Xf

Nota: Tabla elaborado con los datos tomados en el lapso académico 2014-1 en el IUTAJS.

De acá que la media es: Fórmula

i

ii

f

XfX

Luego de acuerdo con los cálculos de la Tabla 1: 09,1311

144X

Para el cálculo de la mediana la columna de las frecuencias acumuladas juega un papel

preponderante ya que una vez preparado el cuadro de frecuencias acumuladas, el paso siguiente

consiste en ubicar la posición de la mediana, la cual viene dada por el producto de .5,55,011 pN

Este valor se ubica en la columna de frecuencias acumuladas y la primera fila que contenga una

cantidad igual o mayor a 5,5 (en este caso es 6) y es donde está localizada la posición de la

mediana1. En esta fila (la cuarta) están además:

2L = Límite superior real del valor que toma la variable (13,5).

af = Frecuencia acumulada (6).

N = Número de casos de la distribución en estudio (11).

p = 50% ó 0,5, posición según definición de la mediana.

if = Frecuencia absoluta correspondiente (2).

i = Intervalo que corresponda a la posición de la mediana (1).

1 Notemos que ordenándolos crecientemente la mitad es: 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16 además, de

acuerdo con la fórmula:

65,05,55,02

11PMe

Lo cual coincide con el 13.



Luego de a la formula 8 : ,Mediana 2 if

pNfL

i

a

tenemos que:

25,13Mediana

25,05,13Mediana

125,05,13Mediana

12

5,05,13Mediana

12

5,565,13Mediana

La moda (o modas) son: 11, 13,14 y 15

CÁLCULOS EN EXCEL2

Media 13,09090909

Mediana 13

Moda 11

GRÁFICAS

Un HISTOGRAMA es una representación gráfica de una variable en forma de barras. Se

utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que

se han agrupado en clases. En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen

por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.

La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Un DIAGRAMA DE SECTORES o DIAGRAMA CIRCULAR se puede utilizar para todo

tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

2 En EXCEL se selecciona la secuencia “Tools ⇒ Data Analysis ⇒ Descriptive Statistics”, se obtienen las

medidas de tendencia central mediana, media y moda.



Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a

la frecuencia absoluta correspondiente.

ifN

0360

De acuerdo con cada frecuencia tenemos que:

Para 10: 00

1 73,32111

360 Para 11: 0

0

2 45,65211

360 Para 12: 0

0

3 73,32111

360

Para 13: 00

4 45,65211

360 Para 14: 0

0

5 45,65211

360 Para 15: 0

0

6 45,65211

360

Para 16: 00

7 73,32111

360

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.

Para construir el POLÍGONO DE FRECUENCIA se toma la marca de clase que coincide

con el punto medio de cada rectángulo.

CÁLCULOS DE LOS CUARTILES


11

4

111

entonces:

875,11875,0112

75,1111

2

175,2111

Q

Cálculo del segundo cuartil: Como ;5,54

22

4

112

entonces:

75,1375,0132

5,1131

2

45,5132

Q


33

4

113

entonces:

125,15125,1142

25,2141

2

625,8143

Q



OTRO ANÁLISIS: Ordenándolo los datos crecientemente: 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15,

15, 16; luego:

Como teníamos que ;75,24

11

4

1111

Q al revisar la posición 2, le corresponde a 11, pero

como hay decimales, debemos interpolar entre la posición 11 y 11 de la siguiente forma:

11025,011111125,0111 = + = + = Q

Así, el valor del Q1 es 11 y bajo de él deja el 25 % de la serie de datos.


22

4

1122

Q al revisar la posición 5, le corresponde a 13, pero

como hay decimales, debemos interpolar entre la posición 13 y 13 de la siguiente forma:

1305,01313135,0132 = + = + = Q

Así, el valor del Q2 es 13 y bajo de él deja el 50 % de la serie de datos.


33

4

1133

Q al revisar la posición 8, le corresponde a 14,

pero como hay decimales, debemos interpolar entre la posición 14 y 15 de la siguiente forma:

75,1475,014175,014141575,0143 = + = + = Q

Así, el valor del Q3 es 14,75 y bajo de él deja el 75 % de la serie de datos.

Notemos que usando EXCEL tenemos que:

PRIMER CUARTIL SEGUNDO CUARTIL TERCER CUARTIL

11,5 13 14,5

Fórmula: =CUARTIL(Matriz; k) k=1,2,3

EJERCICIO: Hallar

(a) Los deciles.

(b) Los percentiles (30, 60,90).

(c) Verificar los cálculos en Excel (=PERCENTIL(Matriz; k) k entre 0 y 1.

EJEMPLO 2: Dado el conjunto de calificaciones, en intervalos de clase, de una evaluación

parcial realizada a los estudiantes que le aplicaron una prueba de conocimiento en el Instituto

Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre” (IUTAJS). Veamos la siguiente tabla en donde

tenemos la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa, la frecuencia relativa porcentual:

SOLUCIÓN:



Tabla 2

Calificaciones de una evaluación parcial realizada a los estudiantes de una prueba de

conocimiento en el IUTAJS

Puntaje en una

prueba de

conocimientos

( iX )

Estudiante

s

if

af

rf

rf %

X

ii Xf

10-14 5 5 12,0

42

5 12% 12 60

15-19 3 8 07,0

42

3 7% 17 51

20-24 6 14 14,0

42

6 14% 22 132

25-29 14 28 33,0

42

14 33% 27 378

30-34 6 34 14,0

42

6 14% 32 192

35-39 3 37 07,0

42

3 7% 37 111

40-44 5 42 12,0

42

5 12% 42 210

42 if 99,0 rf 1134 ii Xf

Nota: Tabla elaborada durante el lapso académico 2014-2 en el IUTAJS.

De acá que la media es:

Fórmula

1

1

K

i

i

K

i

ii

f

Xf

X

Luego de acuerdo con los cálculos de la Tabla 2: 2742

1134X

La posición aproximada de la mediana es ,215,042 equivalente a ;2

N este valor está

contenido en el ,28af el cual corresponde al intervalo de clase 25 a 29, además:

1L = Frontera o límite inferior real de la clase de la mediana (es decir, de la clase que contiene

la mediana) es 24,5.

N = Número de datos (es decir, la frecuencia total) son 42.

af = Frecuencia acumulada antes de la fila de la posición aproximada de la mediana es 14.

if = Frecuencia absoluta de la clase de la mediana es 14.

i = Intervalo que corresponda a la posición de la mediana es 5.



Así, de acuerdo con la fórmula 8 :

27Mediana

5,25,24Mediana

52

15,24Mediana

514

75,24Mediana

514

14215,24Mediana

INTERPRETACIÓN: El 50% de los estudiantes logró en el examen de conocimientos

puntajes superiores a 27.

En este ejemplo la moda es 27 que corresponde al punto medio de la categoría modal:

272

54

2

2925

mX

Esta es la categoría que tiene mayor frecuencia en la distribución (14 estudiantes).

GRÁFICAS



EJEMPLO DE CLASE: Sean las siguientes calificaciones de una evaluación en Matemática

realizada en la Universidad Nacional Experimental del Yaracuy (UNEY) a unos estudiantes de la

Ingeniería en Instrumentación y Control: 2, 5, 6, 4,2 9, 11, 18, 19, 14, 2, 1, 6, 10, 11, 10, 12, 19, 14,

12, 10, 3, 8, 9, 9, 8. Realizar:

1. Una tabla estadística y calcular:

(a) Intervalo de clase (Con 4 categorías).

(b) Frecuencias absoluta

(c) Frecuencia acumulada.

(d) Frecuencia relativa absoluta y porcentual.

(e) Marca de Clase (Punto Medio).

2. Con base a lo anterior hallar:

(a) Media.

(b) Mediana.

(c) Moda.

(d) Cuartiles.

(e) Deciles.

(f) Percentil (30, 60)

3. Hacer los gráficos: Histograma, Polígono de Frecuencia y Diagrama Circular.

SOLUCIÓN: Antes de hacer la tabla debemos buscar los Intervalos de Clase:

Primero ordenamos los datos en forma ascendente (creciente): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9,

9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 14, 14, 18, 19, 19. Ahora, podemos agrupar las calificaciones de los

estudiantes en intervalos de clase en consonancia con los pasos descrito:

1. Se ubica las calificaciones superior e inferior: ( 19sX y 1iX ). Y luego se determina la

amplitud total ( 18119 tA ).

2. Dado que esta fijo el número de intervalos de clases ( 4m categorías), se determina la

amplitud del intervalo en cada categoría

5,4

4

18i . Como el resultado no es un numero

entero (como este caso), por lo general se redondea al inmediato superior más próximo, cuando

la primera cifra decimal es cinco o más; en nuestro caso, la distribución tendrá .5i

3. De los datos originales se toma la menor edad (1) como límite inferior del primer intervalo y se

le suma 1i para obtener el límite superior de la primera categoría de edades .5151 Es

decir, que la primera categoría de edades está conformada por 1-5 (insistimos, es recomendable

que todas las categorías tengan el mismo intervalo para facilitar los cálculos). Así,

sucesivamente se construye el segundo intervalo (6-10) a partir del primero, se coloca en su

límite inferior la calificación que sigue al límite superior de la primera categoría (6) y se le

suma (5-1); de esta forma se procede para las restantes categorías.

Ahora procedamos a extraer la frecuencia absoluta ( if ) en cada Intervalo de Clase: 1, 2, 2, 2,

3, 4, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 14, 14, 18, 19, 19, además agreguemos a la tabla

las frecuencias acumuladas ( af ), frecuencia relativa

N

ff i

r y relativa porcentual

%100%

N

ff i

r , la Marca de Clase .182

2016,13

2

1511,8

2

106,3

2

51

X



Tabla 3

Calificaciones de una evaluación en Matemática realizada en la UNEY a estudiantes

de la Ingeniería en Instrumentación y Control.

Puntaje en una

prueba ( iX )

Estudiantes

if

af

rf

rf %

X

ii Xf

1-5 7 7 27,0

26

7 27% 3 21

6-10 10 17 38,0

26

10 38% 8 80

11-15 6 23 23,0

26

6 23% 13 78

16-20 3 26 12,0

26

3 12% 18 54

26 ifN 1 rf 233 ii Xf

Nota: Tabla elaborada durante el lapso académico 2014-2015 en la UNEY.

De acá que la media es:

Fórmula

1

1

K

i

i

K

i

ii

f

Xf

X

Luego de acuerdo con los cálculos de la Tabla 3:

96,826

233X

La posición aproximada de la mediana es ,135,026 equivalente a ;2

N este valor está

contenido en el ,17af el cual corresponde al intervalo de clase 6 a 10, además:

1L = Frontera o límite inferior real de la clase de la mediana (es decir, de la clase que contiene

la mediana) es 5,5.

N = Número de datos (es decir, la frecuencia total) son 26.

af = Frecuencia acumulada antes de la fila de la posición aproximada de la mediana es 7.

if = Frecuencia absoluta de la clase de la mediana es 10.

i = Intervalo que corresponda a la posición de la mediana es 5.

Así, de acuerdo con la fórmula 8 tenemos que la Mediana (Clase Medianal) es:



5,8Mediana

35,5Mediana

10

305,5Mediana

510

65,5Mediana

510

7135,5Mediana

INTERPRETACIÓN: El 50% de los estudiantes logró en el examen de conocimientos

puntajes superiores a 8,5.

Ahora, encontremos la moda (Clase Modal) usando la fórmula 9 con:

iL = Es el límite inferior de la clase modal es 6.

if = Es la frecuencia absoluta de la clase modal es 10.

1if = Es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal es 7.

1if = Es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal es 6.

ia = Es la amplitud de la clase es 5.

En este caso tenemos que:

14,8Mo

14,26Mo

7

156Mo

57

36Mo

543

36Mo

5610710

7106Mo

Cálculos de los cuartiles:


26

4

261

entonces:

64,564,417

5,3215

7

5,615

7

05,611

Q



Cálculo del segundo cuartil: Como ;134

52

4

262

entonces:

93610

3065

10

665

10

71362

Q


78

4

263

entonces:

08,1108,2116

5,12115

6

5,2115

6

175,19113

Q

Cálculos de los deciles:

Cálculo del primer decil: Como ;6,210

26

10

261

entonces: 85,25

7

06,211

D

Cálculo del segundo decil: Como ;2,510

52

10

262

entonces: 71,45

7

02,512

D

Cálculo del tercer decil: Como ;8,710

78

10

263

entonces: 4,65

10

78,763

D

Cálculo del cuarto decil: Como ;4,1010

104

10

264

entonces: 7,75

10

74,1064

D

Cálculo del quinto decil: Como ;1310

130

10

265

entonces: 95

10

71365

D

Cálculo del sexto decil: Como ;6,1510

156

10

266

entonces: 3,105

10

76,1566

D

Cálculo del séptimo decil: Como ;2,1810

182

10

267

entonces: 125

6

172,18117

D

Cálculo del octavo decil: Como ;8,2010

208

10

268

entonces: 17,145

6

178,20118

D

Cálculo del noveno decil: Como ;4,2310

234

10

269

entonces: 7,165

3

234,23169

D

Ahora hallemos los percentiles:


780

100

2630

entonces: 4,65

10

78,7630

P




1560

100

2660

entonces: 3,105

10

76,15660

P

LA MEDIA GEOMÉTRICA G

18,7

10789101094,1

361181961441211000729643654381

19181412111098654321

26 22

26

26 21222332211131

G

G

G

G

LA MEDIA ARMÓNICA H

3,5

19,01

9,426

11

19

2

18

1

14

2

12

2

11

2

10

3

9

3

6

2

5

1

4

1

3

1

2

3

1

1

26

11

H

H

H

H

EJERCICIO: Hallar LA RAÍZ CUADRADA MEDIA

En EXCEL

Media 9

Error típico 1,0137516

Mediana 9

Moda 2

Rango 18

Mínimo 1

Máximo 19

Suma 234

Cuenta 26

Clase Frecuencia

3 7

8 10

13 6

18 3



En EXCEL

Primer Cuartil Segundo Cuartil Tercer Cuartil

5,25 9 11,75

En EXCEL

Percentil 30 Percentil 60

6 10

ANEXO

OBSERVACIONES SOBRE LA MEDIA ARITMÉTICA

(a) La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

(b) La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

(c) La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los

siguientes pesos: 65 kg, 69kg, 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg. La media es igual a

74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.

(d) La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

iX iX if

63,60 61,5 5

66,63 64,5 18

69,66 67,5 42

72,69 70,5 27

,72 8

100 if

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de

último intervalo.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Haber, Audrey. (1973). Estadística General. Traducción de Ricardo Lazada.

Meyer P. (1998). Probabilidad y Aplicaciones estadísticas. Edición revisada. Addison Wesley

Logman.

Pulido, J. (2006). Estadística aplicada a la educación. Manual Instruccional. UPEL-IMPM. Caracas:

Venezuela.

Ritchey F. (2002). Estadística para las ciencias sociales. Mc Graw Hill.

Spiegel, Murray R. 1996). Teoría y problemas de probabilidad y estadística. Traducción de Jairo

Osuna S. México: McGraw-Hill.

Walpole R., Myers R., Myers S., Ye K. (2007). Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias.

Octava Edición. Pearson, Prentice Hall.

Tema iii medidas de centralizacion uts

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