TEMA DE LOGICA.doc

7/24/2019 TEMA DE LOGICA.doc

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1 LA LGICA

PRESENTACIN Y PLAN DE TRABAJO. ENESTE TEMA VAS A APRENDER LO

SIGUIENTE:

OBJETIVOS CONCEPTOS ACTIVIDADES

1. Conocer qu es la lgica y suscarcatersticas

2. Ejercitarse en la pctica de lalgica proposicionl..

3. Estudiar la lgica informal ylos distintos tipos de falacias.

1. DE!"!C!#" $C%&%C'E&()'!C%) DE *%*#+!C%

2. *% *#+!C% ,&-,)!C!-"%*3. *% *#+!C% !"-&%*

1. *ectura del tema2. %cti/idades en el cuaderno de clase.3. 0ocaulario. Comentario 'etos.4. ,rueas ojeti/as5. Deates ,lan de Discusin.

AUTOEVALUACIN Cmo he rea!"a#o m! $ra%a&o e' e($e $ema)

Baremo: B: Bien , si lo hecho M: Mal, no lo hecho NM : necesito mejorar

6e apro/ec7ado eltiempo en clase

6e re/isado la ortografa8 sintaisy redaccin.

6e uscado la informacin endi/ersas fuentes.

6e entregado lostraajos a tiempo.

6e estado atento en durante laseplicaciones en clase

6e colaorado con miscompa9eros en los traajos

6e presentando lostraajos limpios yordenados8 con uenacaligrafa.

6e mantenido una actitud positi/ay respetuosa en clase

6e reali:ado mi traajo deforma autnoma sin copiarmede mis compa9eros

6e elaorado losesquemas8 res;menes ycomentarios de forma

correcta.

6e anali:ado crticamente el tema Cono:co los contenidos deltema y puedo eplicarlos porescrito y oralmente.

! -,!"!#"

*% -,!"!#" DE*,&-E)-&

1

*. LA LGICA


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2 LA LGICA

*a lgica dee cuidarse de s misma. 'odo lo que es posile en la lgica est tamin permitido. En cierto sentido8 no podemos equi/ocarnos en la lgica. ittgenstein8 'ractatus *ogico ,7ilosop7icus8 ?.253

LA LGICAhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

http://didactalia.net/comunidad/materialeducativo/recurso/prende!"ogica/#0#2d$2%!3&e'!$e%(!)*0e!0%($$*a)%#)c

GUA DE UTI IZACIN PARA E A UMNO

Esta gua tiene estas cuatro partes:

Qu es Aprende Lgica?

Estructura de Aprende Lgica

Navegacin

Contenidos

+,- e( Are'#e L/!0a)

Aprende LgicaAL! es una ap"icacin interactiva escrita en "engua#e $%&L ' (ava)cript *ue permite a "os a"umnos de +i"oso,a de primerode Bac-i""erato estudiar. practicar. eva"uar ' amp"iar "os contenidos re,eridos a "a "gica proposiciona"/

E($r,0$,ra #e Are'#e L/!0a

AL tiene cuatro grandes apartados:

1/ %emas

2/ Actividades

2
http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/http://didactalia.net/comunidad/materialeducativo/recurso/Aprende-Logica/7072d421-3fe6-4e18-b90e-018449ab17bchttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/http://didactalia.net/comunidad/materialeducativo/recurso/Aprende-Logica/7072d421-3fe6-4e18-b90e-018449ab17bc


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0 LA LGICA

0/ Eva"uacin

/ "osario

Adem3s. como recursos au4i"iares para "a ap"icacin de" materia" dispone de:

un sistema de a'uda. una gua para e" a"umno este documento!

una gua de ap"icacin did3ctica para e" pro,esor/

5n generador de ta6"as de verdad escrito en (ava)cript

Na1e/a0!'

7ara acceder a "os contenidos de AL -a' varias opciones:

1/ La primera es acceder desde "a p3gina de presentacin a "os men8s de cada uno de "os cuatro apartados/ En cada uno de e""os -a'

un men8 situado a "a i9*uierda *ue da acceso a "os contenidos/

2/ La segunda es acceder a cada uno de "os cuatro apartados desde "a 6arra superior. *ue siempre est3 accesi6"e en AL/ Esta 6arracontiene 6otones *ue dan acceso directo a cua"*uiera de "as cuatro secciones principa"es de "a ap"icacin. ' adem3s. a "a a'uda ' a"generador de ta6"as de verdad. a" sistema de a'uda. a" g"osario ' a "a p3gina de inicio/7or "o tanto. es 6astante senci""o acceder a cua"*uier contenido de AL pr3cticamente desde cua"*uiera de sus p3ginas/

Co'$e'!#o(

AL tiene cuatro secciones: 2I3 $ema(. 2II3 a0$!1!#a#e(. 2III3 e1a,a0!'' 2IV3 /o(ar!o/ Cada una de estas secciones est3 re"acionadacon "as dem3s. aun*ue tam6in tenga una entidad re"ativamente autnoma/ evismos"as r3pidamente:

I.Los cinco $ema( #e L/!0a roo(!0!o'ao de enunciados *ue pueden estudiarse. practicarse. eva"uarse ' ap"icarse con AL son:

1/ Conceptos 63sicos de Lgica

2/ E" "engua#e de "a Lgica

0/ %a6"as de verdad

/ Las "e'es de "a "gica

;/ E" c3"cu"o deductivo

0


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LA LGICA

Estos cinco temas se -an disederec-a de" navegador/ $a' varias ,ormas de acceder a "as actividades:

1/ La primera es desde e" su6men8 Actividades ordenadas por temas@. *ue da acceso a cinco panta""as con sus correspondientes"istas de actividades c"asi=cadas por orden de di=cu"tad/ )e -an esta6"ecido tres nive"es de di=cu"tad *ue se estima *ue re*uierenun nive" progresivo de dominio de "os temas por parte de "os a"umnos/ Estos tres nive"es son iniciacin@. re,uer9o@ ' avan9ado@/Las actividades de iniciacin suponen un nive" m3s e"ementa" e indispensa6"e de dominio de" contenido. mientras *ue "asactividades de" nive" avan9ado@ con ,recuencia recurren a direcciones e4ternas *ue re*uieren una cone4in a internet! a AL paraamp"iar contenidos o dar una en,o*ue a"go di,erente a" uti"i9ado en AL/ Las actividades *ue re*uieren una cone4in a internet porrecurrir a recursos e4ternos a AL siempre ""evan adosado e" siguiente icono:

2/ La segunda es so"icitando una de estas actividad a" a9ar. accionando e" 6otn

0/ La tercera es desde e" correspondiente apartado de cada tema. para *ue se puedan e#ercitar de manera inmediata "os conceptose4puestos en cada tema/

Los tres #uegos *ue se inc"u'en en esta seccin de Actividadestienen su propia e4p"icacin deta""ada en sus propias p3ginas. ' tam6in seaccede a e""os desde "a 6arra de "a i9*uierda de esta seccin de actividades/

III.La seccin de e1a,a0!o'e(contiene series de e#ercicios interactivos re,eridos a cada uno de "os cinco temas/ Es importante *ue.como estudiante. va'as tomando conciencia de *ue "a autoeva"uacin de" aprendi9a#e ,orma parte de" mismo proceso de aprender/ En


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; LA LGICA

trminos genera"es. sera desea6"e *ue ""egaras tam6in a" convencimiento de "o importante *ue resu"ta tener en "a vida una actitudree4iva ' crtica so6re uno mismo/

A" terminar de -acer estos e#ercicios se o6tiene un in,orme so6re "as preguntas respondidas correcta e incorrectamente. as como e"porcenta#e de aciertos ' un comentario ver6a"/ Lo idea" sera acceder a esta seccin despus de comp"etar "as pr3cticas ' "as actividadesde cada tema/ E" mismo -ec-o de rea"i9ar actividades de eva"uacin puede servir para conso"idar tus aprendi9a#es/ )iempre es 8ti" revisar

"os conceptos en "os *ue m3s se -a ,a""ado en "os temas de AL. ' tam6in en e" g"osario ' en "as actividades comp"ementarias/

IV.7or 8"timo. e" /o(ar!ode AL tiene. por e" momento 2 entradas correspondientes a a"gunos de "os conceptos m3s uti"i9ados en "a"gica proposiciona"/ Este g"osario es una especie de diccionario *ue proporciona de=niciones m3s o menos ,orma"es de "os conceptosc"ave/ Con ,recuencia tam6in se o,recen e#emp"os. ' casi siempre en"aces con otros conceptos re"acionados de" mismo g"osario. de "ostemas con e" 6otn r a" te4to@ o 6ien con recursos de internet donde se puede amp"iar e" tema/ Darse un paseo por e" g"osario es. pors mismo. un e#ercicio mu' estimu"ante *ue puede a'udar a ,or#arse una idea m3s c"ara de "as re"aciones *ue -a' entre "os conceptos/

En caso de *ue sur#a a"guna duda so6re "a ap"icacin. siempre tienes a tu disposicin "a a'uda -aciendo c"ic en e" icono de "a6arra superior/

Adem3s de estos cuatro apartados. AL tiene un Ge'era#or #e $a%a( #e 1er#a#. *ue tienen sus propias instrucciones. ' *ue se a6re en

una nueva ventana a" -acer c"ic en e" 6otn: /

;
http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/ayuda/alumno.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/ayuda/alumno.html


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LA LGICA

1/ Conceptos bsicos de Lgica

1. De qu trata la lgica?

Las personas constantemente tomamos decisiones acerca de lo que creemos que es verdadero en distintos aspectos de nuestras vidas. Aunque todo el mundo est deacuerdo en preferir creer lo que es verdad, con frecuencia discrepamos sobre lo que es verdadero en casos particulares. Si bien muchas de nuestras conviccionesfundamentales sobre el mundo que nos rodea las adquirimos de cualquier manera en lugar de mediante el uso de la razn, todos reconocemos que nuestras creenciassobre el mundo y los hechos que acaecen en el mismo mundo estn de algn modo ligadas.

or e!emplo, si yo creo que todos los perros son mam"feros y que todos los mam"feros son seres racionales, entonces tendr"a sentido para m" suponer que todos losperros son seres racionales. #n este caso, incluso quien $acertadamente% discrepara con mi comprensin de las clasificaciones biolgicas podr"a apreciar la formaconsistente y razonable en que he utilizado mis creencias errneas como base sobre la que establecer nuevas creencias. or otra parte, si llego a la conclusin de queAlonso &ui!ano es espa'ol porque creo que Alonso &ui!ano es un persona!e de (os) *orrilla, y que algunos espa'oles son persona!es de (os) *orrilla, entonces inclusoalguien que est) de acuerdo con mi conclusin me reprochar $de nuevo acertadamente% no haber dado buenas razones para apoyarla.

#n conclusin, podemos estar de acuerdo con el camino que sigue un razonamiento aunque discrepemos de sus puntos de partida y de llegada. #s decir, es posibledistinguir los razonamientos vlidosde los invalidos independientemente de que estemos o no de acuerdo con el contenido que e+presen dichos razonamientos.

icho de forma muy simple, la lgica es la disciplina que estudia esta distincin determinando las condiciones bajo las cuales la verdad de ciertascreencias conduce con certeza a la verdad de alguna otra creencia. La lgica estudia, pues, los principios de los razonamientos correctos.

-ay que apresurarse a se'alar que la lgica no garantiza que siempre lleguemos a conclusiones verdaderas,ya que algunas veces las creencias de las que partimosson errneas $como suponer que todos los mam"feros son seres racionales, en el e!emplo anterior%. Lo que s" garantiza la lgica es que siguiendo los principios de losrazonamientos correctos, no surgan otros errores aparte de los derivados de la posible falsedad de los conocimientos que sustancian nuestros razonamientos.

#n esta primera parte de introduccin a la lgica estudiaremos los siguientes bloques de conceptos que subyacen a la apro+imacin intuitiva que acabamos dee+poner


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F LA LGICA

en qu) consisten las proposiciones

la estructura de los argumentos y nocin de inferencia

la distincin entre lgica formal y lgica material

la diferencia entre verdad, validez y solidez de los argumentos

los tipos de inferencia, distinguiendo entre inferencias deductivas e inductivas

/ontinuemos en la siguiente seccin viendo en qu) consisten las proposiciones.

Los enunciados o proposiciones lgicas

Qu es un enunciado lgico?

0na proposicino enunciadoes el significado de cualquier frase declarativa (o enunciativa) que pueda ser o verdadera$1% o falsa$2%. 3os referimos a 1 o a 2 comolos valores de verdaddel enunciado.

Ejemplo 1: las proposiciones

La frase 45654 es un enunciado, puesto que puede ser verdadero o falso. /omo resulta que es un enunciado verdadero, su valor de verdad es 1.

La frase 45674 tambi)n es un enunciado, pero su valor de verdad es 2.

4Llover ma'ana4 es una proposicin. ara conocer su valor de verdad habr que esperar hasta ma'ana.

#l siguiente enunciado podr"a salir de la boca de un enfermo mental 4Si soy 3apolen, entonces no soy 3apolen4. #ste enunciado, como veremos msadelante, equivale al enunciado 43o soy 3apolen4. /omo el hablante no es 3apolen, es un enunciado verdadero.

4-az los e!ercicios de lgica4 no es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningn valor de verdad $#st en modo imperativo, es una orden, y no unafrase declarativa%

4-az el amor y no la guerra4 tampoco es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningn valor de verdad $8ambi)n est en modo imperativo, es unaorden, y no una frase declarativa%

4#l perro4 no es una proposicin, puesto que no es ni siquiera una frase completa $al menos en este conte+to%.

Los enunciados como resultado de los juicios

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LA LGICA

#l acto mental que tiene como resultado una proposicin o enunciado se denomina !uicio $sustantivo, del verbo en!uiciar%. La expresin verbal de un juicio es unenunciado. Los seres humanos realizamos un !uicio cada vez que pensamos que algo esalguna otra cosa $a lo que llamamos afirmacin%, y tambi)n cuando pensamosque algo no es otra cosa $a lo que llamamos negacin%. #n consonancia con lo que dec"amos al principio, en!uiciar consiste en afirmar o negar.

Si t piensas que este ordenador es complicado, entonces ests e!ecutando un !uicio. Si e+presas verbalmente este !uicio, lo habrs de hacer en forma de unenunciado o proposicin la proposicin 4#ste ordenador es complicado4. #ljuicioes el acto mental que ocurre cuando piensas que este ordenador es complicado, y laproposicines la oracin que construyes para e+presar dicho pensamiento.

Fjate bien en esto...

Los enunciados son diferentes de las oraciones que los contienen. As", "Fulanito ama a Menganita"e+presa e+actamente la misma proposicin que "Menganita esamada por Fulanito". #n los enunciados lo esencial es el significadode la frase enunciativa.

e manera anloga, la proposicin "Hoy llueve aqu"se puede utilizar para transmitir diferentes proposiciones, dependiendo del lugar y del momento en que se

encuentre la persona que profiera dicho enunciado $"l ! de agosto de #$$% llueve en &en", "l %! de octu're de #$!! llueve en Madrid", etc.%. #n este caso, elmomento y el lugar hacen cambiar el significadodel enunciado, de manera que su valor de verdad depende de estas circunstancias.

ero, cada proposicin es o bien verdadera o bien falsa. #n algunas ocasiones, por supuesto, no conocemos cul de estos valores de verdad $verdadero o falso% es elque tiene una determinada proposicin, $por e!. "Hay vida inteligente fuera del planeta ierra"% pero podemos estar seguros de que tiene o uno u otro.

Prctica sobre los enunciados

/ontesta a las siguientes preguntas teniendo presente lo que acabamos de comentar sobre lo que es y no es un enunciado o proposicin.

"El sol no es un astro"

es una proposicin con valor de verdad V

es una proposicin con valor de verdad F

no es una proposicin

"El lago de los cisnes" es una proposicin con valor de verdad V



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G LA LGICA


"2+2=4"

es una proposicin con valor de verdad V



La importancia de los enunciados o proposiciones radica en que son las unidades que utiliza la lgica para formar argumentos. /ontinuemos lasiguiente seccin viendo de qu) elementos se compone un argumentoy el papel que tiene en dicho conte+to el concepto deinferencia.

Prctica sobre las proposiciones

/ontesta a las siguientes preguntas teniendo presente si cumplen los requisitos para ser una proposicin. #n caso afirmativo, especifica si es unaproposicin verdadera o falsa.

"Algunos perros ladran"

es una proposicin convalor de verdad V

es una proposicin convalor de verdad F


"El rey de Francia es calvo" es una proposicin convalor de verdad V


G


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1H LA LGICA


"La vida inteligente abunda en eluniverso"

es una proposicin con

valor de verdad V



"La constitucin inglesa tiene faltas deortografa"



valor de verdad F


"Francia es una repblica! y en Franciano tienen rey"




"En nglaterra no tienen escrita suconstitucin en un nico docu#ento"



1H


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11 LA LGICA


"En un lugar de la $anc%a"

$iguel de &ervantes


valor de verdad V



"'Venid a(u ipso facto)"

*on antuflo ,apatilla a sus %i-os! ,ipi y ,ape



valor de verdad F


".o est/n ustedes0"

1abi! $ilii! Fofito y $iliito




"3ouen es la capital de Francia" es una proposicin convalor de verdad V


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12 LA LGICA


Argumentos e inferencia

La principal tarea de la lgica es la de averiguar cmo la verdad de una determinada proposicin est conectada con la verdad de otra. #n lgica habitualmente se

traba!a con grupos de proposiciones relacionadas.

0n argumentoes un con!unto de dos o ms proposiciones relacionadas unas con las otras de tal manera que las proposiciones llamadas premisassesupone que dan soporte a la proposicin denominada conclusin9.

La transicin o movimiento desde las premisas hasta la conclusin, es decir, la cone*in lgica entre las premisas y la conclusin, es la inferenciasobre la que descansa el argumento.

Los argumentos

1eamos con un e!emplo de argumento que aparece de una u otra manera en todos los libros de introduccin a la lgica

$5% Si Scrates es humano, entonces es mortal

$:% Scrates es humano

$;% or lo tanto, Scrates es mortal

#n este e!emplo las dos primeras proposiciones funcionan como premisas, mientras que la proposicin tercera es la conclusin.

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10 LA LGICA

2"!ate que las palabras 4premisa4 y 4conclusin4 se definen aqu" slo por medio de la relacin que +ay entre ellasdentro de un argumento concreto. 0na mismaproposicin puede aparecer como conclusin de un argumento en una parte de razonamiento, pero tambi)n como una de las premisas en otra parte posterior del mismorazonamiento. #n nuestro e!emplo, nada impide que nuestra conclusin 4Scrates es mortal4 puede utilizarse como premisa para otro argumento.

La in!erencia

-ay un cierto nmero de e+presiones verbales del lengua!e cotidiano que marcan o indican si una determinada proposicin funciona como premisa o como conclusin$por e!emplo, la e+presin "por lo tanto"se suele ir seguida de la conclusin%. Sin embargo, el uso de estos marcadores ling


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1 LA LGICA

ode#os inferir la gran altura #oral de 7ertrand 3ussell! del %ec%o de (ue era un defensor a ultran8a de la pa8 y tuvo #uc%os proble#as con la autoridad por defender sus ideas

Los descubri#ientos cientficos desacreditan constante#ente los #itos religiosos Ade#/s! la ciencia %a de#ostrado ser la %erra#ienta #/s efica8 para pro#over el bienestar %u#anoor consiguiente! la ciencia proporciona un punto de vista #/s preciso (ue la religin sobre la vida %u#ana

Espero un ascenso 9oy #uy efica8 en #i traba-o

Ana $ara tiene un a:o de edad ;odos los ni:os de un a:o de edad saben andar or lo tanto! Ana $ara sabe andar

La educacin pro#ueve el pensa#iento crtico y la asegura la libertad de conciencia La lectura es indispensable para la educacin El pensa#iento crtico y la libertad de conciencia sonfunda#entales para la de#ocracia or lo tanto! la lectura es necesaria para la de#ocracia

!dentificacin de argumentos

#s importante aprender a distinguir a los argumentosde meros grupos de proposiciones que no cumplen con los requisitos necesarios para hablar de argumentos.>ecuerda que los argumentos consisten en grupos de proposiciones en los que hay algunos que actan comopremisasque, en virtud de la inferencialgica, !ustifican

1


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1; LA LGICA

otra proposicin que llamamos conclusin. or el momento aprenderemos a identificar argumentos, sin pronunciarnos sobre si se trata de buenos o malos argumentos$vlidos o invlidos%? esta cuestin la trataremos un poco ms adelante, y constituye el grueso de -prende &gica.

ara decidir si estamos ante un argumento o no, simplemente apelaremos al sentido comn y a un sencillo anlisis del te+to sobre el que hayamos de decidir,centrndonos en los siguientes aspectos

5. #l te+to, @tiene una conclusin. Si es as", @cul es:. #l te+to @ofrece razones que apoyen la conclusin, es decir, @hay premisas Si es as" @cules son

;. #l te+to @presume que hay una relacin inferencial entre premisas y conclusiones

Presuncin de !acticidad " presuncin de in!erencia

&uien presenta un argumento esta formulando $e+pl"cita o impl"citamente% dos presunciones acerca de dicho argumento. 0na es la presuncin de facticidad, esdecir, da por sentado (asume) que las premisas que se proporcionan son, de +ec+o, verdaderas. La segunda presuncin es la presuncin de inferencia, que asumeque las premias est.n conectadas con la conclusin de tal forma que la fundamentan, que le dan apoyo. e hecho esta relacin inferencial entre premisas y conclusines el ncleo de la lgica, y nuestro principal ob!eto de atencin en-prende &gica, y la analizaremos de distintas maneras y desde diferentes ngulos.

Siempre que tratamos de convencer a alguien de algo argumentando ponemos en !uego estas dos presunciones la de facticidadpara reclamar la relevancia real del

asunto tratado en las premisas, y la de inferenciapara mostrar la cone+in entre las premisas y la conclusin. or tanto, para decidir si estamos ante un argumento ono, debemos identificar se estn presentes de manera adecuada tanto la presuncin de facticidad como la de inferencia.

#i no es un argumento$ %u es?

0n buen m)todo para determinar si una porcin de discurso $hablado o escrito% no es un argumento, es identificar qu) es entonces. A continuacin ofrecemos un listade posibles alternativas cuando no encontramos en una porcin de discurso premisas, conclusin o relacin inferencial lgica entre ambas.$-az clic en los enlaces de la columna de la derecha para acceder a e!emplos de cada uno de los tipos descritos%

Advertencias 3o se proporcionan razones $no hay premisas%. redomina la funcin apelativa y conativa.E#emp"o de

advertencia

#nunciacin de una

creencia u opinin

3o se proporciona un fundamento slido, real para tal creencia u opinin. Aunque puede que e+ista la pretensin de que sereconozca tal creencia u opinin como verdadera, no hay un desarrollo sistemtico de premisasBinferenciaBconclusin en

apoyo de lo enunciado.

E#emp"o de creencia

roposiciones

vagamente

relacionadas

Las proposiciones no estn conectadas por relacin inferencial alguna.

E#emp"o de

proposiciones

vagamente

re"acionadas

1;
http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0221conbas.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0221conbas.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0222conbas.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0223conbas.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0223conbas.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0223conbas.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0223conbas.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0221conbas.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0221conbas.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0222conbas.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0223conbas.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0223conbas.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0223conbas.html


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1 LA LGICA

=nformesSon simples enumeraciones de hechos, del tipo que aparecen en las noticias de los peridicos. 3o hay intencin de probar

nada, simplemente, se proporciona informacin sobre los hechos.E#emp"o de in,orme

=lustracin Simplemente se ofrecen e!emplos de algo. E#emp"o de i"ustracin

#nunciados

condicionales

Son enunciados con la estructura "/i000 entonces000"Los enunciados condicionales no son argumentos en s" mismos, pero

los arguementos con frecuencia se componen de varias proposiciones de este tipo. Lo que sigue al "si000" se denomina

"antecedente"$es decir la condicin%, y lo que sigue al "entonces000"es el "consecuente"$es decir lo que sucede cuando se

cumple la condicin%.

E#emp"o de enunciado

condiciona"

#+plicaciones

/onsiste en una aclaracin de por qu) algo es el caso. 0na e+plicacin a veces es dif"cil de distinguir de un argumento

porque tambi)n involucra razones $similares a las premisas%. ero, a diferencia de los argumentos, donde la conclusin es

4nueva4 informacin, en una e+plicacin el enunciado que es e+plicado $el e*planandum, la parte que parece la conclusin%

es normalmente un hecho comnmente aceptado. #l e*planans$los enunciados que sirven para aclarar, que pueden ser

similares a las premisas% es la nueva informacin de una e+plicacin, mientras que las premisas son los hechos aceptados

en los argumentos.

n los argumentos se 'usca fundamentar informacin nueva a partir de informacin ya aceptada, mientras que en las

e*plicaciones se 'usca aclarar informacin ya 'ien esta'lecida0

E#emp"o de e4p"icacin

2. EL LENGUAJE FORMAL Y LA LGCA

"l lengua#e la Lgica

Lenguaje natural$ lenguaje arti!icial

ara los fines comunicativos cotidianos los seres humanos utilizamos los llamados lenguajes naturales, que son cdigos ling


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1F LA LGICA

#s esta necesidad la que ha llevado a los seres humanos a construir lenguajes artificialespara determinados fines. or e!emplo, la matemtica es uno de estos lengua!es, que permite formalizar conuna increible precisin teor"as f"sicas. ara transmitir rdenes a los ordenadores para que e!ecuten ciertas tareas es preciso hacerlo utilizando un lenguaje de programacin, que tambi)n es un lengua!eartificial.

ues bien, la Lgica es uno de estos lengua!es artificiales creados por el hombre, y pretende ser un instrumento de precisin para la correcta ordenacin del pensamiento. #n esta seccinestudiaremos brevemente cmo se pasa del lengua!e natural al artificial de la lgica, as" como la estructura de este lengua!e lgico, sus elementos constitutivos bsicos.

&imensiones del lenguaje

Algunos autores consideran que cualquier lengua!e natural, en tanto que sistema simblico comple!o que sirve a la comunicacin tiene tres aspectos o dimensiones la sintctica, la semntica y lapragmtica. 1emoslas brevemente

La dimensin sintcticase refiere a la relacin que se establece entre los signos de un lengua!e. #n concreto, la sinta*isestudia las diversas combinaciones de signos que dan lugar a combinacionesde ellos con la propiedad de estar bien formadas. or e!emplo, no es lo mismo decir "n esta foto aparece el cielo"que "foto cielo la en aparece". #n los lengua!es artificiales ocurre algo parecido.

La dimensin semnticase refiere a las relaciones de los signos con sus correspondientes significados. #s decir, la semntica trata de investigar las relaciones de los signos con aquello que constituyesu interpretacin $aunque al margen de los conte+tos en que estos signos son usados por sus hablantes%.

or e!emplo, si yo muestro esta parte de una foto de mis vacaciones a un amigo, y le digo que en ella se ve 4el cielo4, estoy utilizando ellengua!e de una manera semnticamente adecuada. Sin embargo, si le digo sin ms que se ve la 4piel del cielo4, me tomar por un dementepor hacer un uso inadecuado de la semntica, del significado de la palabra 4cielo4.

La dimensin pragmticaalude a la relacin entre los signos y los conte+tos y circunstancias en que se desenvuelven los usuarios de dichos signos. or e!emplo, si yo quiero mostrar a mi amiga lossentimientos que me evoca la fotograf"a puedo recordar los versos del poema 1uelo de los +om'resde Ciguel -ernndez "/o're la piel del cielo, so're sus precipicios,2 se remontan los +om'res034ui5n +a impulsado el vuelo6 2 /onoros, derramados en a5reos ejercicios, 2 raptan la piel del cielo". #n este caso el conte+to dota a la e+presin 4piel del cielo4 de un significado ms o menos vago,

metafrico, evocador, abierto a la interpretacin, por aparecer en el conte+to de un poema.

Cuchos de los malentendidos y dificultades de comunicacin que acontecen en nuestra vida cotidiana vienen por no utilizar adecuadamnte el lengua!e, al obviar sus reglas sintcticas, semnticas ypragmticas.

ues bien, una de las funciones bsicas de la Lgica es la de ayudarnos a minimizar el riesgo de los usos inadecuados del lengua!e en el curso de los razonamientos estudiando la estructura de dichosrazonamientos. D para llevar a cabo este estudio, es preciso construir un lengua!e artificial en cuyos secretos empezaremos a iniciarnos en la pgina siguiente.

1F


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1 LA LGICA

"l lengua#e formal de la Lgica

Qu es un lenguaje !ormal?

0n lengua!e formal, en tanto que lengua!e artificial, est formado por los siguientes elementos bsicos

0nos signos primitivosdel lengua!e, esto es su alfabeto.

0nas reglas de combinacin de dichos signos, es decir una gramticaque especifique cmo combinar unos signos primitivos con otros para tener e+presiones bien formadas.

#n nuestro caso, como buscamos aplicar el lengua!e formal a la reconstruccin de la estructura lgica del lengua!e natural, precisaremos de unas reglas que nos ayuden en la formalizacin otraduccin de e+presiones del lengua!e natural al de la lgica formal.

1eamos el primero de ellos a continuacin.

El al!abeto del lenguaje !ormal en la lgica proposicional

#l lengua!e lgico de la lgica proposiconal consta de tres tipos de signos en su tarea de reconstruir la estrucutura lgica del lengua!e natural

$5% 0nos signos para representar las proposiciones simples o atmicas se trata de las letras proposicionales, que por convencin suelen designarse con las letras minsculas p, q, r, etc.

$:% 0nos signos para formar proposiciones comple!as o moleculares conectndolas entre s" se trata de las conectivas$tambi)n llamados conectores, ojuntores%. #n la siguiente tabla presentamos elnombre, el signo y la equivalencia con el lengua!e natural de las cinco conectivas que utilizaremos

3ombre de laconectiva

S"mbolo/orrespondenica en ellengua!e natural

3egador E 4no ...4

/on!untor 4... y ...4

isyuntor 4... o ...4

/ondicional 4si ... entonces...4

Ficondicional 4... si y slo si ...4

$;% 0nos signos au*iliares, que son los parntesis, que pueden ayudar a delimitar dnde comienza una parte de la frmula y dnde acaba para empezar la siguiente. Su equivalencia en el lengua!enatural ser"an los signos de puntuacin en la lengua escrita.

1


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1G LA LGICA

asemos ahora a presentar la gramtica de nuestro lengua!e en la pgina siguiente.

Las reglas de formacin de frmulas

Adems de los signos primitivos que acabamos de conocer, necesitamos unas reglas que nos permitan saber cundo estamos ante una combinacin de s"mbolos que est) bien constru"da en el lengua!eformal.

Qu es una !rmula bien !ormada?

0na frmulaes una secuencia de caracteres, pero es preciso delimitar de la totalidad de combinaciones posibles de caracteres aquellas que sean como 4bien formadas4? para ello, damos la siguientedefinicin de lo que es una frmula bien formada, $o fbf%

5. 0na letra enunciativa es una fbf.:. 8oda fbf a la cual se antepone el s"mbolo 4E4 $negacin% es una fbf.

;. Si A y F son fbfs, entonces las scuencias $A F%, $A F%, $A F%,y $A F%

G. 8oda secuencia de caracteres producida por la aplicacin de los pasos 5, :, ;, en cualquier orden, constituye una fbf. (7l.usula de recursin)

H. 3inguna otra secuencia constituye una fbf. (7l.usula de e*clusin)

Ejemplo:

A continuacin presentamos algunos e!emplos de fbfs y no bien formadas

2rmulas F=#3formadas

2rmulas CALformadas

p E$q r% $pE $q r%%

Ep r p q$

q EE$p$q r%%

E$Er% E E$pq r%%

asemos, a continuacin, a presentar una por una todas las conectivas con las peculiaridades que presentan cada una de ellas y los trucos para formalizarlas en lengua!e natural.

1G


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2H LA LGICA

La negacin de enunciados

La representacin de las proposiciones

0tilizaremos las letras p, q, r, s y as" sucesivamente para representar las proposiciones. As", por e!emplo, si decidimos que p represente la proposicin 4el sol brilla4, lo escribiremos de la siguientemanera

p 4el sol brilla4

que se leep es el enunciado "el sol 'rilla"

'odi!icacin de las proposiciones

odemos formar nuevas proposiciones a partir de otras de muchas maneras diferentes. or e!emplo, a partir de p 4Do soy un leon)s4, podemos formar la negacinde p 43o es el caso de que yo sealeon)s4, o ms sencillamente 43o soy leon)s4. enotamos la negacin de p mediante Ep, que se lee "no p". -ay otras formas de se'alar la negacin de un enunciado, por e!emplo, mediante el s"mboloE. Los s"mbolos E y E son equivalentes, pero aqu" utilizaremos preferentemente E por una mera cuestin de simpat"a Iittgenstein utiliz el s"mbolo E en su ractatus &ogico 8+ilosop+icus.

Lo importante de la negacin es que si p es verdadero, entonces Ep es falso, y viceversa. #sto se puede resumir en la siguiente tabla de verdadde la negacin

p p

V F

F V

#n la columna de la izquierda estn los dos posibles valores de verdad de p, y en la de la derecha aparecen los correspondientes valores de verdad para Ep.

#n la siguiente tabla se recoge una definicin ms formal de la negacin

Negacin

2H


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21 LA LGICA

La negacinde p es la proposicin

1eamos e!emplos de la negacin en la siguiente seccin.

Prctica con la negacin de enunciados

Aqu" tienes varios e!ercicios para practicar la negacin de enunciados

p? "@ay vida en la luna"


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20 LA LGICA

La con#uncin de enunciados

La conjuncin

-ay otras maneras de formar nuevas proposiciones a partir de otras. Si tenemos, por e!emplo, p 4Soy gordo4, y q 48 eres inteligente4, podemos formar el siguiente enunciado 4Soy gordo y t eresinteligente4. #ste nuevo enunciado se puede representar con p q, que se lee 4p y q4.

ara que la e+presin p q sea verdadera, tanto p como q deben ser verdaderas. or e!emplo, si yo soy de verdad gordo, pero t eres tonto de remate, entonces p q es falso.

#l s"mbolo es otro operador lgico. #l enunciado p q es la conjuncin de p y q.

Conjuncin

La conjuncin de de p y ( es el enunciado p (! (ue se lee "p y (" 9u valor de verdad (ueda definido por la siguiente tabla de verdad

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

En las colu#nas p y ( aparecen las cuatro posibles co#binaciones de los valores de verdad para p y (! y en la colu#na p ( aparecen enu#erados los valores de verdad dep ( para cada una de esas co#binaciones or e-e#plo! la segunda fila de la tabla nos dice (ue cuando p es verdadero y ( falso! el enunciado p ( es falso *e %ec%o! deacuerdo con la tabla anterior y con la definicin (ue %e#os dado de la con-uncin! la nica for#a de %acer p ( verdadero es %aciendo (ue tanto p co#o ( sean verdaderosB fila>

El s#bolo de la con-uncin " " es un e-e#plo de operador binario "binario" alude a (ue el operador acta sobre un par de proposiciones>

#n el siguiente apartado veremos algunos e!emplos de la aplicacin de la con!uncin a la formalizacin de enunciados del lengua!e natural.

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2 LA LGICA

Prctica de la formali&acin de con#unciones

#li!e la alternativa que me!or corresponda con los enunciados que figuran en la columna de la izquierda

p? "A(uiles corre velo8#ente"p (?

"A(uiles corre velo8#ente! pero la tortuga no"

"6i A(uiles ni la tortuga corren velo8#ente"

(? "La tortuga no corre velo8#ente""A(uiles y la tortuga corren velo8#ente"

"C A(uiles corre velo8#ente! o la tortuga corre velo8#ente"

p? "El %o#bre es #oral"p


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2; LA LGICA

La propiedad conmutati(a de la conjuncin

La propiedad conmutativa de la con!uncin nos dice, sencillamente, algo que todos ya sabemos intuitivamente, a saber, que es lo mismo p q que q p. Se trata de dos e+presiones equivalentes $ya nose+tenderemos en otro apartado sobre el concepto de equivalencia lgica. Faste aqu" decir que dos enunciados son equivalentes si sus tablas de verdad son iguales, que es lo que sucede con p q y con qp.

Cismos valores

p q p q q p

V V V V

V F F F

F V F F

F F F F

Si nos gustan las cosas sencillas, digamos simplemente que todos sabemos que, en nuestra vida cotidiana, es lo mismo decir 4canto y bailo4, que 4bailo y canto4.

8ambi)n podemos hacer una comparacin entre la Lgica y la Catemtica la suma, lo mismo que la con!uncin, tambi)n tiene la propiedad conmutativa 5J:6;, y :J56; $el orden de los sumandosno altera la suma%. D sucede lo mismo con la multiplicacin ;+H65H, y H+;65H $el orden de los factores...%.

La propiedad asociati(a de la conjuncin

2ormalicemos el siguiente pasa!e de Schopenhauer K8arerga y 8aralipmena, cap.=1, === 4#l principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la mala fe y maldad en los negocios gravesy, al mismo tiempo, en los peque'os un asilo de la insolencia4. Siendo

p 4#l principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la mala fe4

q 4#l principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la maldad en los negocios graves4

r 4#l principio del honor caballeresco es a veces un asilo de la insolencia4

Solucin#ste enunciado de Schopenhauer contiene tres enunciados que se pueden combinar de dos maneras diferentes

#n primer lugar, se puede combinar p y q para formar p q, dando lugar a 4#l principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la mala fe y la maldad en los negocios graves4. D acontinuacin podemos unir mediante una con!uncin este enunciado con r, dando lugar a $p q% r, que se leer"a como el enunciado original del bueno de Schopenhauer.

#n segundo lugar, se puede combinar igualmente q con r, para obtener q r 4#l principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la maldad en los negocios graves y, al mismotiempo, en los peque'os un asilo de la insolencia4. D a continuacin unimos la combinacin precedente con p para obtener p $q r%, que tambi)n se leer"a como el enunciado original delpesimista Schopenhauer.

ronto veremos que tanto $p q% r como p $q r% son lgicamente equivalentes, y a este hecho se le denomina ley asociativa de la con!uncin. or lo tanto, las dos posibilidades analizadas, $p q% r porun lado, y p $q r% por el otro, son igualmente vlidas.

2;


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2 LA LGICA

Mcurre con la con!uncin lo mismo que nos pasa en las matemticas con la suma $5J:%J; es lo mismo que 5J$:J;%. #n lgica, como en las matemticas, tambi)n podemos eliminar los par)ntesis, ypodemos dar por buena una tercera solucin lgicamente equivalente p q r

La formali&acin de enunciados con la con#uncin

Laformalizacines elproceso mediante el cual transformamos un enunciado formulado en lenguaje natural a un enunciado formulado en un lenguaje formal o sim'lico. Da hemos hecho variasformalizaciones hasta este momento, y vamos a practicarla un poco ms antes de introducir nuevos operadores.

Formas de e)presar la conjuncin en lenguaje natural

/omo ya hemos visto, hay varias formas de e+presar la con!uncin en el espa'ol que hablamos habitualmente. 1emoslo con una frase de /icern "&as races del estudio son amargas, dulces son susfrutos"

4Las ra"ces del estudio son amargas4

q 4Los frutos del estudio son dulces4

8odas las e+presiones que aparecen en la siguiente lista son formas de decir p q

4Las ra"ces del estudio son amargas, dulces son sus frutos4 $esta es la formulacin original de /icern%

4Las ra"ces del estudio son amargas, pero sus frutos son dulces4

4Las ra"ces del estudio son amargas, aunque sus frutos son dulces4

4Aunque las ra"ces del estudio son amargas, sus frutos son dulces4

4Cientras que las ra"ces del estudio son amargas, dulces son sus frutos4

A pesar de que las ra"ces del estudio son amargas, dulces son sus frutos4

8odas estas formas de e+presar p q tienen en comn el hecho de que si ambas proposiciones son verdaderas, el total que forma su con!uncin tambi)n es verdadero.

Ejemplos de !ormali*acin a partir del lenguaje lenguaje natural

Primer ejemplo:

2


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2F LA LGICA

Si p es el enunciado "ste mundo es maravilloso" y q es el enunciado "&a guerra es a'omina'le", e+presa en lengua!e formal $formaliza% el siguiente enunciado "ste mundo no es maravilloso, laguerra es a'omina'le".SolucinLa primera clusula es la negacin de p, por lo tanto es Ep. La segunda clusula simplemente afirma que la guerra es abominable, por lo que es q. #l hecho de que ambas clusulas est)nseparadas $o unidas% por la coma, nos indica, en este caso, que hay una con!uncin, por lo que la formalizacin es $Ep% q.

#egundo ejemplo:

2ormaliza 4Los filsofos, como los asnos, son mam"feros4 siendo p 4Los filsofos son mam"feros4, q 4Los asnos son mam"feros4

SolucinSencillamente p q

+ercer ejemplo:

2ormaliza el siguiente enunciado de Nant K&a metafsica de las costum'res, parte segunda, =1 4Los fines que son a la vez deberes son la propia perfeccin y la felicidad a!ena4 siendo p4La propiaperfeccin es un fin que a la vez es deber4, q 4La felicidad a!ena es un fin que a la vez es deber4Solucinp q

,uarto ejemplo:

2ormaliza la siguiente afirmacin de Iittgenstein 4#l mundo es la totalidad de los hechos, no de las cosas4 Kractatus &ogico98+ilosop+icus, 5.5, siendo p 4#l mundo es la totalidad de los hechos4, yq 4#l mundo es la totalidad de las cosas4Solucin#l enunciado de Iittgenstein afirma p y niega q, por lo que la formalizacin del enunciado ser"a p $Eq%

Quinto ejemplo:

2ormaliza la siguiente proposicin 4Aunque la guerra es abominable, hay pol"ticos que la promueven4, siendo p43o hay pol"ticos que promuevan la guerra4, q 4La guerra es abominable4.Solucin#l enunciado a formalizar afirma q y niega p, por lo que su representacin simblica ser q $Ep%

#e)to ejemplo:

Si p 48engo miedo a la muerte4 y q 43o quiero estar presente cuando muera4, formaliza la frase de Ioody Allen 43o es que tenga miedo a morir, slo quiero no estar all" cuando ocurra4SolucinLa primera parte, 4no es que tenga miedo a morir4 es la negacin de p, y la segunda clusula es la afirmacin de q, por lo que la formalizacin quedar"a

#ptimo ejemplo:

2ormaliza el enunciado de Ioody Allen 4Soy suficientemente ba!ito y feo como para triunfar por mi mismo.4, siendo p 4soy suficientemente ba!ito como para triunfar por mi mismo4, y q 43o soysuficientemente feo como para triunfar por mi mismo4SolucinLa primera clusula es la afirmacin de p, y la segunda la negacin de q, por lo que la solucin es p $Eq%

-cta(o ejemplo:

2ormaliza la frase de Oandhi 43o hay un camino hacia la paz, la paz es el camino4, siendo p 4-ay un camino hacia la paz4, y q 4La paz es el camino4.Solucinla primera clusula es la negacin de p, y la segunda la afirmacin de q, por lo que $Ep% q

o(eno ejemplo:

2F


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2 LA LGICA

2ormaliza la conocida sentencia de Nant 43o se puede aprender filosof"a, tan solo se puede aprender a filosofar4, siendo p 4Se puede aprender filosof"a4, q 4slo se puede aprender a filosofar4Solucinla primera clusula es la negacin de p, y la segunda la afirmacin de q, por lo que $Ep% q

&cimo ejemplo:

2ormaliza el dicho de )guy 40na gran filosof"a no es la que instala una verdad definitiva, es la que produce una inquietud4, siendo p 40na gran filosof"a instala una verdad definitiva4, y q 40na granfilosof"a no es la que produce una inquietud4.SolucinLa primera clusula es la negacin de p, y la segunda la negacin de q, por lo que la formalizacin quedar"a $Ep% $Eq%

La disuncin

#n este apartado introducimos un nuevo operador. Si comenzamos con los enunciados p 4Do soy alto4 y q 48 eres inteligente4, podemos formar el enunciado 4M yo soy obeso, o tu eres inteligente4,que se representa simblicamente p q, y que se lee 4p o q4.

/omo sucede que en el lengua!e natural la con!uncin disyuntiva 4o4 puede tener varios significados, los lgicos han acordado que la disyuncin inclusiva o p q significa que p es verdad, o bien q es

verdad, o bien ambos son verdad.

#n el e!emplo con el que comenzamos esta seccin, p q significa 4Do soy alto, o t eres inteligente, o ambas cosas4. #n ocasiones incluiremos la apostilla 4o ambos4 por una mera cuestin de )nfasis,pero si no lo hacemos as", el significado mencionado se mantiene.

or lo tanto, llamamos p q a la disyuncin de p y q

Disyuncin

La disyuncin de p y ( es el enunciado p (! (ue se lee "p o (" 9u valor de verdad viene dado por la siguiente tabla de verdad?

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

2


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2G LA LGICA

&o#o se trata de la disyuncin inclusiva! p ( es verdadera cuando p es verdad! o ( es verdad! o amboslo son

F-ate (ue la nica #anera de (ue un enunciado disyuntivo sea falso consiste en (ue tanto p co#o ( sean falsos or este #otivo! pode#os decir (ue p (ta#bi5n significa "p y ( no son a#bos falsos" rofundi8are#os en esta observacin un poco #/s adelante

El s#bolo de la disyuncin " " es el segundo e-e#plo (ue ve#os de operador binario

Ejemplo de la dis"uncin

Sea p 4#l mayordomo cometi el crimen4, q 4#l pintor cometi el crimen4 y r 4La sirvienta cometi el crimen4

. @&u) dice p q

. @&u) dice $p q% Er

Solucin

a. p q 4M el mayordomo o el pintor cometieron el crimen4

2"!ate que esto no e+cluye la posibiliidad de que tanto el mayordomo y el pintor cometieran el crimen, ni que ambos fueran, de hecho, la misma persona. La nica forma de que p q sea falso es que niel mayordomo ni el pintor cometieran el crimen.

b. $p q% Er 4M el mayordomo o el pintor cometieron el crimen, pero no la sirvienta4.

Prctica de la disuncin

#s hora de practicar lo que hemos aprendido en la seccin anterior

p? "La catedral de Len es gtica"p (?

"6i la catedral de Len es gtica ni la luna esf5rica"

"La catedral de Len es gtica o la luna es esf5rica"

(? "La luna no es esf5rica""La catedral de Len es gtica o la luna no es esf5rca"

"La catedral de Len no es gtica o la luna es esf5rica"

2G


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0H LA LGICA

p? "La luna es #ayor (ue el sol"p


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01 LA LGICA



"El rey de Francia es calvo"




"La vida inteligente abunda en eluniverso"




"La constitucin inglesa tiene faltas deortografa"




"Francia es una repblica! y en Franciano tienen rey"




"En nglaterra no tienen escrita suconstitucin en un nico docu#ento"




"En un lugar de la $anc%a"

$iguel de &ervantes



01


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02 LA LGICA


"'Venid a(u ipso facto)"

*on antuflo ,apatilla a sus %i-os! ,ipi y ,ape




".o est/n ustedes0"

1abi! $ilii! Fofito y $iliito




"3ouen es la capital de Francia"




Propiedades de la disuncin

La propiedad conmutati(a de la dis"uncin

Da hemos comprobado que la con!uncin tiene la propiedad conmutativa. ues lo mismo sucede con la disyuncin es lo mismo la proposicin p q que q p.

#s decir, la alteracin del orden de las proposiciones que conforman una disyuncin no altera su valor de verdad. /on la disyuncin, por tanto, ocurre lo mismo que con la suma o la multiplicacin de laCatemtica el orden de los sumandos no altera la suma, o el orden de los factores no altera el producto. #sto se puede apreciar en la siguiente tabla de verdad

Cismos valores

p q p q q p

02


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00 LA LGICA

V V V V

V F V V

F V V V

F F F F

La propiedad asociati(a de la dis"uncin

Da hemos visto que la con!uncin posee la propiedad asociativa? pues bien, la disyuncin tambi)n la posee. 1emoslo con el e!emplo de la seccin donde defin"amos este operador

Sea p 4#l mayordomo cometi el crimen4, q 4#l pintor cometi el crimen4 y r 4La sirvienta cometi el crimen4

La e+presin el crimen lo cometi o el mayordomo, o el pintor o la sirvienta, se formaliza de cualquiera de las tres formas siguientes, que son equivalentes

p $q r%

$p q% r

p q r

Disuncin inclusi'a e(clusi'a

La formalizacin de enunciados del lengua!e natural no tiene algunas especial dificultad en el caso de la disyuncin. /omo hemos dicho, la disyuncin p q ser verdadera en caso de que p seaverdadera, o q sea verdadera, o tanto p como q sea verdadera se trata de la disyuncin inclusiva. Siempre que utilicemos en el lengua!e natural la con!uncin disyuntiva 4o4 en este sentido,utilizaremos el s"mbolo 4 4.

Los e!emplos que hemos venido viendo hasta este momento se basan en esta interpretacin inclusiva de la disyuncin. or e!emplo, cuando decimos que para optar a un puesto de traba!o hay quesaber ingl)s o franc)s, interpretamos que alguien que sabe ingl)s puede optar a dicho traba!o, alguien que sabe franc)s tambi)n, y, por supuesto, alguien que sepa tanto ingl)s o franc)s tambi)n.

ero tambi)n e+iste la llamada disyuncin exclusiva, que viene a decir que al menos una de las opciones es verdadera, pero slo una. en este sentido e+clusivo, si en p q, p es verdadera y qtambi)n lo es, la disyuncin e+clusiva es falsa.

or e!emplo, en el lengua!e natural empleamos este sentido e+clusivo de la disyuncin cuando decimos que alguien es cristiano o musulmn. Si alguien es cristiano, si es consecuente con ello no podrser musulmn, y viceversa. M cuando decimos que un e+amen se aprueba o se suspende.

00


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0 LA LGICA

#n este caso se utiliza el s"mbolo 4 4 o bien el s"mbolo 4 4. La tabla de verdad de la disyuncin e+clusiva ser"a la siguiente

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

#n este traba!o utilizaremos solamente la disyuncin en sentido inclusivo. -ay que hacer notar que la disyuncin e+clusiva puede definirse utilizando las siguientes combinaciones de negacin,con!uncin y disyuncin

p q equivale a cualquiera de las siguientes e+presiones

$p q% E$p q%

$p Eq% $Ep q%

E$p q% E$Ep Eq%

"l condicional

El condicional /o implicacin0

/onsideremos el enunciado 4Si apruebas 2ilosof"a, te de!ar) ir al via!e de fin de curso4. #ste enunciado est formado por dos atmicas

p 4Apruebas 2ilosof"a4

q 48e de!ar) ir al via!e de fin de curso4

Lo que nuestro enunciado original afirma es esto si p es verdad, entonces q tambi)n es verdad, o, dicho de modo ms sencillo, si p, entonces q. Se trata de un enunciado condicional cuyaformalizacin es p q, y que se puede leer tambi)n como p implica q.

!n el enunciado p q, se dice que p es el antecedente "o #iptesis$ y q el consecuente "o conclusin$.

%na implicacin"o un condicional$ es siempre verdadera excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

0


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0; LA LGICA

Siguiendo con nuestro e!emplo 4Si apruebas 2ilosof"a, te de!ar) ir al via!e de fin de curso4, supongamos que es verdadero. #ste hecho no significa que aprobars 2ilosof"a, todo lo que dice es que si laapruebas, entonces te premitir) ir al via!e de fin de curso. Si consideramos que este enunciado es una promesa, la nica forma de romperla es que t apruebes 2ilosof"a, pero yo no te permita ir al via!ede fin de curso. e forma anloga, la nica forma de hacer un condicional falso $de romper una promesa% es hacer verdadero el antecedente y falso el consecuente.

Condicional

El condicional p ( se lee "p i#plica (" o bien "si p! entonces (" Dn condicional sie#pre es verdadero! ecepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso

or lo tanto! su valor de verdad (ueda definido por la siguiente tabla de verdad

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

En las colu#nas p y ( aparecen las cuatro posibles co#binaciones de los valores de verdad para p y (! y en la colu#na p ( aparecen enu#erados los valores de verdad dep ( para cada una de esas co#binaciones or e-e#plo! la segunda fila de la tabla nos dice (ue cuando p es verdadero y ( falso! el enunciado p ( es falso *e %ec%o! deacuerdo con la tabla anterior y con la definicin (ue %e#os dado de la i#plicacin! la nica for#a de %acer p ( falso es %aciendo (ue p sea verdadero! pero ( falso 2B fila>

Fjate bien en esto:

A la conectiva 4 4 tambi)n se le llama 4implicacin material4

#s destacable que la implicacin puede ser cierta aunque el consecuente sea falso $q en p q%. As", si no apruebas 2ilosof"a, pero yo no te permito ir al via!e de fin de curso, la implicacin 4Si apruebas2ilosof"a, te de!ar) ir al via!e de fin de curso4 es verdadera.

1eamos algunos e!emplos en la siguiente seccin.

"#emplos sobre el condicional

0;


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0 LA LGICA

Primer ejemplo: erdad implica (erdad$ es cierto

/omo hemos visto, si p y q son verdad, entonces p q es verdad. or e!emplo, sea p 4la 8ierra es redonda4, y q 4;+H65H4. La frmula p q dice que 4Si la 8ierra es redonda, entonces ;+H65H4.

2"!ate que los dos enunciados p y q de este e!emplo no tienen nada que ver entre ellos. ero con p q no queremos decir $no decimos% que hay una relacin causalentre ambos enunciados.

#n el caso de p q siendo p 4la 8ierra es redonda4, y q 4;+H65H4 solamentedecimos que el enunciado 4Si la 8ierra es redonda, entonces ;+H65H4 es lgicamente verdadero0

#egundo ejemplo: (erdad no puede implicar !alsedad

Si p es un enunciado verdadero y q falso, entonces p q es falso. or e!emplo

4/uando hace sol, voy al monte4

#n este caso p 4-ace sol4 y q 4voy al monte4. #n otras palabras, podemos reformular nuestra frase como 4Si est haciendo sol, entonces estoy en el monte4. ero hay muchos d"as que hace sol $p eseverdadero% en los que no voy al monte $q es falso%. #n esos d"as el enunciado p q es claramente falso.

2"!ate que hemos interpretado 4/uando p, q4 como 4Si p, entonces q4.

+ercer ejemplo: la !alsedad implica cual%uier cosa

#n las dos ltimas filas de la tabla de verdad del condicional observamos que, siendo falso el antecedente, la implicacin es falsa sea verdadero o falso el consecuente. #s decir, si p es falso, entonces pq es verdadero sea q verdadero o falso. or e!emplo

4Si la 8ierra es plana, entonces yo he ganado el premio 3obel4

#n este caso p 4La 8ierra es plana4, que es un enunciado falso, y q 4-e ganado el premio 3obel4, y el enunciado p q es verdadero haya ganado el hablante el premio 3obel o no.

Lo esencial es que si el antecedente es falso, el condicional ser verdadero diga lo que diga el consecuente.

D ya es hora de practicar en la siguiente seccin lo que hemos aprendido sobre el condicional.

Paradojas de implicacin material.

os consecuencias de la definicin de la implicacin material que violan las intuiciones informales acerca de la implicacin son

$5% que la implicacin material es verdadera siempre que el antecedente es falso, y

$:% que una implicacin material es verdadera siempre que el consecuente es verdadero.

0


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0F LA LGICA

#stas llamadas parado!as son problemticas slo desde el punto de vista intuitivo, pero son perfectamente lgicas $no presentan contradicciones%.

Prctica del concepto de implicacin

>esponde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta la definicin del condicional

"9i el rey de Francia es calvo! entonces $arte es plana"verdadero

falso

"9i llueve %acia arriba! entonces eres un ser %u#ano"verdadero

falso

"9i 2+2=4! entonces las ranas tienen pelo"verdadero

falso

"9i sabes leer! entonces los crculos son cuadrados" verdadero

falso

"9i los burros vuelan! entonces las tortugas saben /lgebra"verdadero

falso

0F


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0 LA LGICA

Prctica del concepto de implicacin

>esponde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta la definicin del condicional y tu informacin acerca del mundo

"9i los %u#anos so#os bpedos i#plu#es! entonces tene#os dos piernas y notene#os plu#as"

verdadero

falso

"9i *r/cula baila break-dance! entonces Franenstein arrasa en Operacin Triunfo"verdadero

falso

"9i estas leyendo esto! entonces tienes encendido el ordenador"verdadero

falso

"9i una #an8ana es una fruta! entonces el Everest no es una #onta:a"verdadero

falso

"9i el Everest no es una fruta! entonces una #an8ana no es una fruta"verdadero

falso

"9i los perros %ablan! entonces 101 dlmatases un docu#ental"verdadero

falso

0


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0G LA LGICA

La formali&acin de enunciados condicionales

Da hemos visto lo variopinto que puede ser el lengua!e natural, en contraposicin con la rigidez del lengua!e formal de la lgica. #n este apartado ilustraremos de forma prctica algunas posibilidadesque se usan en lengua!e natural para formalizar el escueto p q.

/ada una de las siguientes e+presiones equivale al condicional p q.

Si p, entonces q Siempre que p, q

p implica q 3o p sin q

q se sigue de p q es necesario para p

q si p q es una condicin necesaria para p

p slo si q p es suficiente para q

q siempre que p p es condicin suficiente para q

/uando p, entonces q e haber sucedido p, q

q con tal que p q en caso que p

Fjate bien en esto...

#s interesante notar la diferencia entre 4q si p4 y 4p slo si q4. #n el caso de 4q si p4 se sugiere que p q es verdadera slo con que q sea verdadera. #n el caso de 4p slo si q4, est latente quesi p q, y p son verdad, tambi)n q ha de serlo.

#n el caso de &p es una condicin suficiente para q&, se dice que es suficiente conocer p es verdad para concluir que q es verdadero. or e!emplo, es suficiente que apruebes 2ilosof"a paraque te de!e ir al via!e de fin de curso. Mtras cosas podr"an inducirme a permitirte ir al via!e, pero con que apruebes la 2ilosof"a ser suficiente.

#n el caso de &q es una condicin necesaria para p&, se dice que en caso de que se produzca p es necesario que q tambi)n sea verdadera para que la implicacin p q sea verdadera, comose puede ver en la tabla de verdad que define el conector 4 4. #n nuestro e!emplo"si aprue'o Filosofa voy al viaje de fin de curso"el hecho de ir al via!e de fin de curso es una condicinnecesaria para la verdad de la implicacin de marras.

0G


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H LA LGICA

Propiedades de los enunciados condicionales

Da hemos visto que tanto la con!uncin como la disyuncin tienen la propiedad conmutativa, es decir el orden de los enunciados de las con!unciones o de las disyunciones no altera su valor de verdades lo mismo p q que q p, y tambi)n es lo mismo p q que q p.

El recproco del implicador

ero, @ocurre lo mismo con el implicador @#s lo mismo p q que q p La respuesta es que no. 1emoslo con cierto detenimiento.

Se dice que q p es el rec'procode p q. #l implicador, como hemos avanzado, no tiene la propiedad conmutativa, como se aprecia en la comparacin de las tablas de verdad de p q y de surec"proco q p

1alores diferentes

p q p q q p

V V V V

V F F V

F V V F

F F V V

!l rec'proco

#l enunciado q p es el rec'procode p q. 0n enunciado condicional y su rec"proco noson equivalentes lgicamente.

emoslo con un ejemplo:

Sea p el enunciado "&lueve", y q "l suelo est. mojado", siendo, por consiguiente p q "/i llueve, entonces el suelo est. mojado". 1eamos el rec"proco de este enunciado q p "/i el suelo est.mojado, entonces llueve". 1emos que los dos enunciados no son lgicamente equivalentes, pues si p es verdadero, y q falso

p q ("/i llueve, entonces el suelo est. mojado")es necesariamente falso

q p ("/i el suelo est. mojado, entonces llueve")es verdadero, pues una falsedad implica cualquier cosa manteniendo la verdad del condicional.

El contrarrecproco del implicador

Aunque un enunciado condicional y su rec"proco no son equivalentes, s" lo son un enunciado condicional y su contrarrec"proco. #l contrarrec'procodel enunciado p q es Eq Ep $es decir, lanegacin de cada uno de los enunciados del rec"proco%. 1emoslo comparando tablas de verdad

H


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1 LA LGICA

Cismos valores

p q p q q p q p

V V V F F V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

!l contrarrec'proco

#l enunciado Eq Ep es equivalente al condicional p q. 0n enunciado condicional y su contrarrec"proco son equivalentes lgicamente

,omparemos el mismo ejemplo:

#n el e!emplo anterior donde p 4Llueve4, q 4#l suelo est mo!ado4, p q "/i llueve, entonces el suelo est. mojado". #l contrarrec"proco es Eq Ep, que significa que "/i el suelo no est. mojado,entonces no llueve", que es lgicamente equivalente al enunciado primitivo p q.

Da es momento para practicar tu aprendiza!e del rec"proco y contrarrec"proco de los enunciados condicionales en las siguientes secciones.

Prctica del rec)proco contrarrec)proco *1+

8eclea en los recuadros correspondientes el rec"proco o el contrarrec"proco de las siguientes e+presiones.

Escribe el recproco de p


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2 LA LGICA

El recproco de "9i estudias! eres inteligente"?

El contrarrecproco de "9i estudias! eres inteligente" es?

El recproco del contrarrecproco de "9i estudias! eres inteligente" es?

"l bicondicional

El bicondicional /o coimplicacin0

Da hemos comprobado que p q no es lo mismo que q p. uede ocurrir, sin embargo, que tanto p q como q p sean verdaderos. or e!emplo, si p4La 8ierra es cbica4, y q4#l Sol es un planeta4,entonces tanto p q como q p son verdaderos, porque tanto p como q son falsos. #s necesario tener esto en cuenta para entender bien el concepto decoimplicador.

2


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0 LA LGICA

Cediante el coimplicador lo que queremos decir es que un enunciado es a la vez condicin necesariay suficientepara otro. As", si digo que p "aprue'o Filosofa"y q "saco un o m.s en ele*amen de &gica"la frmula p q significa "aprue'o Filosofa si y slo sisaco un o m.s en el e*amen de &gica". /on este &si y slo si&quiero poner de manifiesto tres cosas

5. Al introducir el primer condicional 4si4 $en 4si y slo si4%, introduzco el antecedente, y por tanto afirmo que p q, $es decir aprobar) 2ilosof"a si saco H o ms en el e+amen de Lgica%,:. Al introducir 4slo si4 $en 4si y slo si4%, introduzco el consecuente, buscando comunicar que q p, $es decir, que si saco un H o ms en el e+amen de Lgica, entonces apruebo la 2ilosof"a%, y

;. Al utilizar la part"cula 4y4 $en 4si y slo si4%, quiero comunicar la con!uncin de p q con q p.

As" pues, el enunciado "aprue'o Filosofa si y slo sisaco un o m.s en el e*amen de &gica"se puede formalizar de dos formas equivalentes $p q% $q p%, o bien p q.

#n consecuencia, el enunciado p q queda definido por el enunciado $p q% $q p%. or esta razn, el s"mbolo se llama bicondicional, y la tabla de verdad para p q es la misma que la de $p q%$q p%.

El bicondicional

El bicondicionalo coi#plicador p (! (ue se lee "p si y slo si (" o "p es e(uivalente a ("! se define por la siguiente tabla de verdad?

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

La doble flec%a %ori8ontal es el operador bicondicional

F-ate (ue de la observacin de la tabla de verdad deduci#os (ue para (ue p ( sea verdadera! tanto p co#o ( %an de tener los #is#os valores de verdad! y en casocontrario es falsa

La !ormali*acin del bicondicional

#l coimplicador puede tener varias e+presiones equivalentes en lengua!e natural. As" p q es la formalizacin de las siguientes e+presiones de lengua!e natural

p si y slo si q

p es necesario y suficiente para q

p es equivalente a q

2"!ate que p q y q p tendr"an totalmente los mismos valores de verdad, puesto que ambas son coimplicaciones y por lo tanto si sus valores de verdad son los mismos, son verdaderas, y son falsasen los dems casos. #n consecuencia, podemos reformular los enunciados anteriores intercambiando p y q

0


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LA LGICA

q si y slo si p

q es necesario y suficiente para p

q es equivalente a p

"#emplos del bicondicional

!jemplos de coimplicaciones verdaderas Cotivos por los que p q es verdadera

p q

$a% 4La 8ierra es cbica si y slo si el Sol es un planeta4 p 4La 8ierra es cbica4 2 q 4#l Sol es un planeta4 2

$b% 4La 8ierra es esf)rica si y slo si el Sol es una estrella4 p 4La 8ierra es esf)rica4 1 q 4#l Sol es una estrella4 1

$c% 4Los cocodrilos tienen ruedas si y slo si los sapos bailan flamenco4 p 4Los cocodrilos tienen ruedas4 2 q 4Los sapos bailan flamenco4 2

$d% 4Los cocodrilos no tienen ruedas si y slo si los sapos no bailan flamenco4. p 4Los cocodr ilos no tienen ruedas4 1 q 4Los sapos no bailan flamenco4 1

!jemplos de coimplicaciones falsas Cotivos por los que p q es falsa

p q

$a% 4La 8ierra es cbica si y slo si :J:6G4 p 4La 8ierra es cbica4 2 q 4:J:6G4 1

$b% 4#l Sol es una estrella si y slo si 5J:6G4 p 4#l Sol es una estrella4 1 q 45J:6G4 2

$c% 4Los cocodrilos tienen ruedas si y slo si los sapos no bailan flamenco4 p 4Los cocodrilos tienen ruedas4 2 q 4Los sapos no bailan flamenco4 1

$d% 4#l Fernesga pasa por Len si y slo si 3apolen escribi el &ui!ote4 p 4#l Fernesga pasa por Len4 1 q 43apolen escribi el &ui!ote4 2


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; LA LGICA

Prctica del concepto de coimplicacin

>esponde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta la definicin del coimplicador

"El rey de Francia es calvo s i y slo si $arte es plana"verdadero

falso

"uien lee esto es un ser %u#ano s i y slo si llueve %acia arriba"verdadero

falso

"Las ranas tienen pelo si y slo si 2+2=4"verdadero

falso

"9abes leer si y slo si los crculos son cuadrados"verdadero

falso

"Los burros vuelan si y slo si las tortugas saben /lgebra"verdadero

falso

La notacin del bicondicional

-ay un s"mbolo intercambiable con el del bicondicional 4 4, que es el de la equivalencia lgica4 4 $concepto que e+plicaremos me!or un poco ms adelante%.

#n-prende &gica, cuando haya actividades en las que haya que insertar en un formulario el s"mbolo 4 4, utilizaremos en su lugar el signo 464 Kigual. As",

A F se introducir"a en un formulario de la siguiente manera

;


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LA LGICA

A=7

La formali&acin del bicondicional

#l coimplicador puede tener varias e+presiones equivalentes en lengua!e natural. As" p q es la formalizacin de las siguientes e+presiones de lengua!e natural

p si y slo si q

p es necesario y suficiente para q

p es equivalente a q

2"!ate que p q y q p tendr"an totalmente los mismos valores de verdad, puesto que ambas son coimplicaciones y por lo tanto si sus valores de verdad son los mismos, son verdaderas, y son falsasen los dems casos. #n consecuencia, podemos reformular los enunciados anteriores intercambiando p y q

q si y slo si p

q es necesario y suficiente para p

q es equivalente a p

Prctica del concepto de coimplicacin

>esponde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta la definicin del coimplicador y el contenido semntico de las proposiciones

"*r/cula eiste si y slo si Franenstein participa en Operacin Triunfo"verdadero

falso

"La ;ierra es aproi#ada#ente esf5rica si y slo si $arte es cbico"verdadero

falso

"El agua es l(uida si y slo si el %ielo es slido"verdadero


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F LA LGICA

falso

"Los seres %u#anos so#os bpedos i#plu#es si y slo si tene#os dos piernas y no tene#os plu#as"verdadero

falso

"El 9ol es una estrella si y solo si la Luna gira en torno a la ;ierra"verdadero

falso

!ntroduccin a las tablas de 'erdad

Da hemos sugerido en algunos apartados anteriores que algunos enunciados son equivalentes a otros.

or e!emplo, hemos hablado de la equivalencia del enunciado $p q% r y p $q r%, hecho al que denominbamospropiedad asociativa de la disyuncin.

ues bien, en este apartado referido a las tablas de verdad, estableceremos de una forma ms precisa qu) queremos decir al hablar de equivalencia lgica, y tambi)n estudiaremos cierto tipo deenunciados que pueden ser o bien 4autoBevidentes4 $tautolog'as% o bien 4evidentemente falsos4 $contradicciones%.

Qu es una tabla de (erdad?

Da hemos tenido una apro+imacin intuitiva al concepto de tabla de verdad. igamos ahora, ms e+pl"citamente que una tabla de verdad es el resultado de aplicar un procedimiento queutilizamos para calcular todos los posibles valores de verdad de un enunciado molecular.

>ecordemos un caso conocido la tabla de verdad de la negacin. #n este caso, la tabla de verdad es

p p

V F

F V

2i!)monos en los elementos de la tabla de verdad

Aparecen todos los posibles valores de verdad del enunciado p en la primera columna $verdadero B1B o falsoB2B%

#n la columna segunda aparecen los valores de verdad de la negacin de p en caso de que p sea verdadera$primera fila%, y en caso de que p sea falsa $segunda fila%.

F


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LA LGICA

Iittgenstein denominaba 4estados de cosas4 a cada una de las posibles combinaciones de verdad o falsedad para un enunciado $en este caso atmico%. Mtros autores hablan de 4interpretaciones4 paracada una de estas posibles combinaciones de verdad o falsedad para un enunciado. 1eamos ahora qu) sucede con los enunciados moleculares...

Analicemos ahora el caso de la tabla de verdad de la disyuncin

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Analicemos los elementos de esta tabla de verdad

#n las dos primeras columnas aparecen todas las posibles combinaciones de valores de verdad de losenunciados p y q $p verdadero y q verdadero, p verdadero y q falso, p falso y q verdadero, y, por ltimo, p falso y qfalso%. #stos son todos los posibles 4estados de cosas4 o 4interpretaciones4.

#n la columna tercera aparecen los valores de verdad de la con!uncin de p y q para todas las posiblescombinaciones de valores de verdad de p y de q. As", la primera fila muestra el valor de p q en caso de que p seaverdadero y q sea tambi)n verdadero, la seguna fila muestra el valor de p q en caso de que p sea verdadero y q falso,etc.

or lo tanto, podemos concluir queuna tabla de verdad de un enunciado$molecular%muestra el valor de verdad de dic#o enunciado para todas las posibles combinaciones de losvalores de verdad de las proposiciones que lo componen, o de manera ms breve, una tabla de verdad de un enunciado muestra el valor de verdad de dic#o enunciado para todas susinterpretaciones.

8eniendo en cuenta que los enunciados moleculares se componen de enunciados atmicos, comenzaremos estableciendo el principio de que el valor de verdad de un enunciado "molecular$equivale al valor de verdad de la conectiva dominante.

#n este punto, la pregunta clave es 3cmo podemos sa'er, dado un enunciado molecular, cual es la conectiva dominante6 ues bien, para ello debemos fi!arnos en el orden de prioridad que hay entrelas conectivas de los enunciados moleculares. D esto lo aprenderemos en la siguiente seccin.

! "A#LA$ %E &ER%A%


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G LA LGICA

!ntroduccin a las tablas de 'erdad

Da hemos sugerido en algunos apartados anteriores que algunos enunciados son equivalentes a otros.

or e!emplo, hemos hablado de la equivalencia del enunciado $p q% r y p $q r%, hecho al que denominbamospropiedad asociativa de la disyuncin.

ues bien, en este apartado referido a las tablas de verdad, estableceremos de una forma ms precisa qu) queremos decir al hablar de equivalencia lgica, y tambi)n estudiaremos cierto tipo deenunciados que pueden ser o bien 4autoBevidentes4 $tautolog'as% o bien 4evidentemente falsos4 $contradicciones%.

Qu es una tabla de (erdad?

Da hemos tenido una apro+imacin intuitiva al concepto de tabla de verdad. igamos ahora, ms e+pl"citamente que una tabla de verdad es el resultado de aplicar un procedimiento queutilizamos para calcular todos los posibles valores de verdad de un enunciado molecular.

>ecordemos un caso conocido la tabla de verdad de la negacin. #n este caso, la tabla de verdad es

p p

V F

F V

2i!)monos en los elementos de la tabla de verdad

Aparecen todos los posibles valores de verdad del enunciado p en la primera columna $verdadero B1B o falsoB2B%

#n la columna segunda aparecen los valores de verdad de la negacin de p en caso de que p sea verdadera$primera fila%, y en caso de que p sea falsa $segunda fila%.

Iittgenstein denominaba 4estados de cosas4 a cada una de las posibles combinaciones de verdad o falsedad para un enunciado $en este caso atmico%. Mtros autores hablan de 4interpretaciones4 paracada una de estas posibles combinaciones de verdad o falsedad para un enunciado. 1eamos ahora qu) sucede con los enunciados moleculares...

Analicemos ahora el caso de la tabla de verdad de la disyuncin

p q p q

V V V

V F F

F V F

Analicemos los elementos de esta tabla de verdad

#n las dos primeras columnas aparecen todas las posibles combinaciones de valores de verdad de losenunciados p y q $p verdadero y q verdadero, p verdadero y q falso, p falso y q verdadero, y, por ltimo, p falso y qfalso%. #stos son todos los posibles 4estados de cosas4 o 4interpretaciones4.

#n la columna tercera aparecen los valores de verdad de la con!uncin de p y q para todas las posiblescombinaciones de valores de verdad de p y de q. As", la primera fila muestra el valor de p q en caso de que p sea

G


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;H LA LGICA

F F F verdadero y q sea tambi)n verdadero, la seguna fila muestra el valor de p q en caso de que p sea verdadero y q falso,etc.

or lo tanto, podemos concluir queuna tabla de verdad de un enunciado$molecular%muestra el valor de verdad de dic#o enunciado para todas las posibles combinaciones de losvalores de verdad de las proposiciones que lo componen, o de manera ms breve, una tabla de verdad de un enunciado muestra el valor de verdad de dic#o enunciado para todas susinterpretaciones.

8eniendo en cuenta que los enunciados moleculares se componen de enunciados atmicos, comenzaremos estableciendo el principio de que el valor de verdad de un enunciado "molecular$equivale al valor de verdad de la conectiva dominante.

#n este punto, la pregunta clave es 3cmo podemos sa'er, dado un enunciado molecular, cual es la conectiva dominante6 ues bien, para ello debemos fi!arnos en el orden de prioridad que hay entrelas conectivas de los enunciados moleculares. D esto lo aprenderemos en la siguiente seccin.

ida " obra de Lud2ig 3ittgenstein

Seguramente te preguntars qui)n fue ese se'or, y por qu) lo mencionamos en la introduccin a las tablas de verdad. ues bien, Iittgenstein introdu!o las tablas de verdad en su ractatus &ogico8+ilosop+icus.Adems de ser un filsofo e+cepcional, tuvo una vida apasionante.

#n este enlace podrs conocer datos biogrficos httpRRusuarios.iponet.esRddtRvida.htm #n este otro podrs leer fragmentos de su obrahttpRRusuarios.iponet.esRddtRobra.htm

onecti'as dominantes el orden de prioridad en los enunciados moleculares

ara saber cul debe ser el orden de prioridad entre las conectivas que ya conocemos $negacin, con!uncin y disyuncin%, hay que fi!arse en los par)ntesis. La regla bsica a seguir es la siguiente espreciso calcular primero el valor de verdad de las expresiones que estn entre los parntesis $y que son ms concretas%, y posteriormente, las relaciones que #ay entre las conectivasque unen dic#as expresiones. /uando un par)ntesis contiene otros par)ntesis, entonces se calculan primero los par)ntesis ms concretos $ms 4interiores4%.

1eamos algunos casos prcticos para ilustrar la determinacin de la conectiva dominante en los enunciados moleculares

Ejemplo primero:

>espondamos a dos cuestiones "a$@&u) orden hay que seguir para calcular el valor de verdad del siguiente enunciado E$p q%, y "b$@cul es la conectiva dominante

#s un caso sencillo. "a$#l orden que hay que seguir para calcular el valor de verdad de la proposicin molecular E$p q% es el siguiente

;H

LA LGICA
http://usuarios.iponet.es/ddt/wvida.htmhttp://usuarios.iponet.es/ddt/wvida.htmhttp://usuarios.iponet.es/ddt/wobra.htmhttp://usuarios.iponet.es/ddt/wobra.htmhttp://usuarios.iponet.es/ddt/wvida.htmhttp://usuarios.iponet.es/ddt/wobra.htm


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;1 LA LGICA

primero se calcula el valor de verdad de la disyuncin $p q%

en segundo lugar se aplica la definicin de la negacin a dicha disyuncin $es decir, se invierte el valor de verdad de la disyuncin% E$p q%.

#n la siguiente tabla aparece esquematizado el orden que hay que seguir para calcular el orden de verdad de la e+presin $los nmeros en ro!o indican el orden a seguir%

< p (>

: 5

"b$La conectiva dominante es la negacin $el nmero ms alto% $>ecuerda que es til saber esto porque el valor de verdad de un enunciado viene determinado por el valor de verdad de la conectivadominante en dicho enunciado.%

Ejemplo segundo:

Averig


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;2 LA LGICA

G H G

H Gp ( r>H

HJ

H H Gp (> p r>H

G( ( r>H r Gp H HJ r

espu)s de esta prctica, veamos en la siguiente seccin cmo aplicar estos conocimientos a la construccin de tablas de verdad para enunciados con un cierto grado de comple!idad.

Practica la dominancia de conecti'as.

=dentifica cul es la conectiva principal y determina qu) tipo de enunciado es cada uno de los siguientes

( r t>H r t>

;2


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LA LGICA


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; LA LGICA

/omo paso previo, observa bien el anunciado

#n este enunciado hay dos conectores la negacin E y la disyuncin de las que hay que tener presentes sus respectivas tablas de verdad.

#n el enunciado hay tambi)n dos enunciados atmicos, que son las proposiciones p y q.

Mbserva las relaciones de prioridad que hay entre los conectores el conector dominante es la negacin, que afecta a todo lo que hay entre par)ntesis. or lo tanto, hay que calcular primero elvalor de verdad del contenido del par)ntesis $p q% y posteriormente, calcular el valor de verdad de E$p q%.

#l primer paso consiste en poner los enunciados atmicos presentes en el enunciado del que queremos calcular su tabla de verdad en tantas columnas como enunciados atmicos tengamos. /omodebe haber tantas columnas como enunciados atmicos tengamos, en este caso tenemos : columnas $una para el enunciado p y otra para el enunciado q%

p q

V V

V F

F V

F F

#n las celdillas de dicha tabla hay que ubicar todas las combinaciones posibles de verdad o falsedad para los enunciados que contenga el enunciado ob!eto de estudio.

p q

V F

V F

-ay un algorimo que permite enumerar fcilmente todas las combinaciones de verdad o falsedad de dos o ms enunciados

a. #n la primera columna se pone, de arriba hacia aba!o, la mitad de celdillas con 1s y la otra mitad con 2s.b. #n la columna siguiente, siempre de arriba hacia aba!o, se pone la cuarta parte de celdillas con 1, la siguiente cuarta parte con 2s, la

siguiente con 1s y la ltima con 2s.

c. #n la columna siguiente, si la hubiere, se pondr"a la octava parte de celdillas con 1s, la siguiente octava parte con 2s, y as" sucesivamentecon todas las celdillas y con todas las dems columnas si las hay.

Ejemplo de todas las combinaciones posibles de verdad o falsedad para tres enunciados

;

LA LGICA
http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/tablvdadvf3pr.htmlhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/tablvdadvf3pr.html


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;; LA LGICA

F V

F F

Fjate en esto...

Llamamos atribuciones veritativasa todas la combinaciones de verdad y falsedad de las proposiciones atmicas de una frmula.

#l nmero de estas atribuciones veritativas aumenta rpidamente a medida que se incrementa el nmero de proposiciones de la frmula. ara n proposiciones, la frmula :nnos dael nmero de estas atribuciones veritativas. As"

ara dos proposiciones :n6::6:T:6G

ara tres proposicones :n6:;6:T:T:6U

ara tres proposiciones :n6:G6:T:T:T:65Q

etc.

A continuacin hay que poner tantas columnas como conectores que unan enunciados atmicos. K#n nuestro e!emplo tenemos dos conectores $E y %, por lo que a'adimos dos nuevas columnas.

p q

V F

V F

F V

F F

;;

LA LGICA


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; LA LGICA

#n cuarto lugar, se pone, encabezando cada columna, los enunciados atmicos, siguiendo el orden de dominancia de las conectivas. rimero se ponen los enunciados ms concretos $los par)ntesis%, y

por ltimo las ms generales

p q (p q)


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;F LA LGICA

-ay una forma equivalente muy similar de representar el mismo proceso que hemos e+plicado, y consiste en a'adir una sola columna con el enunciado E$p q% completo. A continuacin se vaponiendo deba!o de cada conectiva el valor de verdad que le corresponda, respetando el orden de prioridad que marquen los par)ntesis.1eamos

p q

(p q)

F V

F V

F V

V F

V F

V F

F V

F F

Los valores de verdad del enunciado E$p q% son los de su conectiva dominante, que en este caso es la negacin, y

que aparecen en la columna con las 1s y 2s ro!as.

>ecomendamos este segundo m)todo slo cuando ya se haya cogido soltura con el e+plicado en primer lugar.

La construccin de tablas de 'erdad *-+

1eamos un e!emplo un poco ms comple!o. /alculemos la tabla de verdad del siguiente enunciado $p q% p. eterminamos la conectiva dominante, que en este caso es la con!uncin, ya que secomenzar"a con el enunciado de dentro del par)ntesis $una disyuncin%. Aqu" tenemos la tabla de dominancia de las conectivas

p (> p

5 :

Sigamos los pasos propuestos

ibu!amos la tabla con tantas columnas como enunciados atmicos tegamos

;F

;LA LGICA


58/107

; LA LGICA

p q

V V

V F

F V

F F

A continuacin ponemos todas las posibles combinaciones de verdad y falsedad para p y q

p q

V F

V F

F V

F F

Seguimos a'adiendo tantas columnas como enunciados atmicos tenga el enunciado ob!eto de estudio $en este caso, dos uno para $p q% y otro para $p q% p.

p q

V F

V F

F V

F F

Seguimos a'adiendo los enunciados siguiendo el orden de dominancia de las conectivas se'alado al principio de esta pgina

p q (p q) (p q) p

V F

V FF V

F F

#l orden de las conectivas, en este caso es el siguiente

p (> p 5 :

or ltimo, procedemos a averiguar el valor de verdad de cada una de las celdillas de la tabla que hemos construido, teniendo en cuenta las definiciones, ya conocidas, de los conectores involucrados.

p q (p q) (p q) pLa tercera columna es e+actamente igual a la tabla de verdad de la

definicin del disyuntor.

;

;GLA LGICA

7/24/2019 TEMA DE LOGICA.d

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