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TEMA 9 – DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN 9.1 – DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función, y = f(x) en un intervalo [a,b] al cociente: T.V.M.[a,b] = a b ) a ( f ) b ( f x de Variación f(x) de Variación - - = y es la pendiente del segmento que une los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) Con frecuencia, el intervalo se le designa mediante la expresión [a,a+h], nombrando, así, a un extremo del intervalo “a”, y a su longitud, “h”. En tal caso, la tasa de variación media se obtiene : T.V.M. [a,a+h] = h ) a ( f ) h a ( f - Si una función es creciente en [a,b], su tasa de variación media es positiva; y si es decreciente, negativa. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA O DERIVADA Definición: Se llama tasa de variación instantánea (T.V.I) de una función, y = f(x) en un punto x = a o derivada de una función en un punto x = a, y se denota f ´(a) T.V.I.(a) = f ´(a) = h ) a ( f ) h a ( f lim a x ) a ( f ) x ( f lim 0 h a x - = - - Significado: Si es positiva La función es creciente en el punto x = a Si es negativa La función es decreciente en el punto x = a

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TEMA 9 – DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

9.1 – DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición Se llama tasa de var iación media (T.V.M.) de una función, y = f(x) en un intervalo

[a,b] al cociente: T.V.M.[a,b] = ab

)a(f)b(f

xde Variación

f(x) deVariación

−−=

y es la pendiente del segmento que une los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) Con frecuencia, el intervalo se le designa mediante la expresión [a,a+h], nombrando, así, a un extremo del intervalo “a” , y a su longitud, “h” . En tal caso, la tasa de variación

media se obtiene : T.V.M. [a,a+h] = h

)a(f)ha(f −+

Si una función es creciente en [a,b], su tasa de variación media es positiva; y si es decreciente, negativa.

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA O DERIVADA Definición: Se llama tasa de var iación instantánea (T.V.I ) de una función, y = f(x) en un punto x = a o der ivada de una función en un punto x = a, y se denota f ´(a)

T.V.I.(a) = f ´(a) = h

)a(f)ha(flim

ax

)a(f)x(flim

0hax

−+=−−

→→

Significado: Si es positiva ⇒ La función es creciente en el punto x = a Si es negativa ⇒ La función es decreciente en el punto x = a

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DERIVADAS LATERALES Se llama der ivada por la izquierda de f en x = a, f ´(a-) a:

f ´(a-) = h

)a(f)ha(flim

ax

)a(f)x(flim

0hax

−+=−−

−− →→

Se llama der ivada por la derecha de f en x = a, f ´(a+) a:

f ´(a+) = h

)a(f)ha(flim

ax

)a(f)x(flim

0hax

−+=−−

++ →→

A ambas se las llama der ivadas laterales. Nota: Si en un punto las derivadas laterales son distintas, el punto es anguloso. Si las derivadas laterales coinciden, la curva es “suave” o “ lisa” , es decir, es derivable. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si una función es continua en un punto puede ser der ivable o no der ivable en ese punto. Ejemplos: a) f(x) = 2x2 + 3 Continua en x = 0 y Derivable en x = 0 b) f(x) = |x| Continua en x = 0 y No derivable en x = 0 Pero si una función es der ivable en un punto, necesar iamente es continua en él.

Dem: f(x) es derivable en x = a, es decir, ax

)a(f)x(flim

ax −−

Vemos si f es continua en x = a, para ello debemos probar que )a(f)x(flimax

=→

ó lo que es lo mismo,

0)a(f)x(flimax

=−→

00).a´(f)ax(limax

)a(f)x(flim)ax(

ax

)a(f)x(flim)a(f)x(flim

axaxaxax==−

−−=−

−−=−

→→→→

Nota: Por el resultado anterior, cuando tengamos que estudiar la derivabilidad de una función estudiaremos primero su continuidad. - Si es continua ⇒ Estudiaremos su derivabilidad (f ´(a-) = f ´(a+)) - Si no es continua ⇒ No es derivable.

9.2 – FUNCIÓN DERIVADA Si una función, f, es derivable en todos los puntos de un intervalo, I, la función f ´: x → f ´(x) definida en I, se llama función der ivada de f. Si f ´es derivable, su derivada se llama f ´´ (se lee derivada segunda o f segunda). Así sucesivamente, se definen f ´´´, f iv, …, f n) (f tercera, f cuarta,… f n-ésima). Otra forma de nombrar las derivadas es Df, D2f, D3f, …, Dnf. Habitualmente se obtienen las derivadas de las funciones a partir de las llamadas “ reglas de derivación” que permiten obtener con comodidad y rapidez la derivada de cualquier función.

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9. 3 – REGLAS DE DERIVACIÓN OPERACIONES CON DERIVADAS - Multiplicación por un número :(k.f(x))’ = k.f ‘ (x) - Suma y resta: [f(x) ± g(x)]’ = f ’ (x) ± g’ (x) - Producto : [f(x).g(x)]’=f ‘ (x).g(x) + f(x).g’ (x)

- Cociente : )x(g

)x('g)x(f)x(g).x('f

)x(g

)x(f2

'−=

- Composición (Regla de la Cadena) : [f(g(x))]’=f ’ (g(x)).g’ (x) [f(g(h(x)))]´= f ´(g(h(x))).g´(h(x)).h´(x)

REGLAS DE DERIVACIÓN

FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA

y = k y’ = 0

y = x y’ = 1

y = xn y’ = n.xn-1 y = f n(x) y’ = n.f(x)n-1.f ’ (x)

y = x y’ = x2

1 y = )x(f y’ =

)x(f2

)x('f

y = n x y’ = n 1nxn

1

− y = n )x(f y’ =

n 1n )x(fn

)x('f

y = ax y’ = ax. Ln a y = af(x) y’ = af(x).Ln a.f ’ (x)

y = ex y’ = ex y = ef(x) y’ = ef(x).f ‘ (x)

y = log a x y’ = Lna.x

1 y = log a f(x) y’ =

Lna).x(f

)x('f

y = Ln x y’ = x

1 y = Ln f(x) y’ =

)x(f

)x('f

y = sen x y’ = cos x y = sen f(x) y’ = cos f(x).f ‘ (x)

y = cos x y’ = - sen x y = cos f(x) y’ = - sen f(x).f ‘ (x)

y = tag x y’ = 1 + tag2x = xcos

12

y = tag f(x) y’ =

)x(fcos

)x('f2

=

[1 + tag2f(x)].f ‘ (x)

y = arcsen x y’ = 2x1

1

y = arcsen f(x) y’ =

)x(f1

)x('f

2−

y = arccos x y’ = 2x1

1

− y = arccos f(x) y’ =

)x(f1

)x('f

2−

y = arctag x y’ = 2x1

1

+ y = arctag f(x) y’ =

)x(f1

)x('f2+

ISA E ILLO
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9.5 – DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA DE OTRA Si conocemos la derivada de una función f y, a partir de ella, queremos obtener la derivada de su función recíproca, f-1, procederemos del siguiente modo:

f(f -1(x)) = x →→ Derivando f ´(f -1(x)).(f -1)´(x) = 1 ⇒ ( ))x(f´f

1)x)´(f(

11

−− =

9.6 – NUEVAS TÉCNICAS DE DERIVACIÓN DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA Hay funciones que vienen dadas mediante expresiones φ(x,y) = 0, en las cuales es difícil o imposible despejar la y. Por ejemplo: y3 – 7x2 + 5y2x + 17 = 0 En ellas, los valores de y quedan implícitamente dados por la expresión, pero no es posible obtener explícitamente una expresión del tipo y = f(x). La derivada, y´, de la función, no es, sin embargo, difícil de obtener (sólo hay que tener en cuenta que la derivada de x es uno, y la derivada de y es y´). En el ejemplo: 3y2y´- 14x + 5(2yy´x + y2) + 0 = 0 ⇒ 3y2y´+ 10yy´x = 14x – 5y2 ⇒

xy10y3

y5x14´y

2

2

+−=

Observamos que y´ viene dada en función de x y de y. Por tanto, para hallar el valor de la derivada en un punto, hemos de conocer su abscisa y su ordenada. Por ejemplo, sabiendo que la curva pasa por (2,1), obtenemos la derivada en ese punto:

y´(2,1) = 123

23

1.2.101.3

5.12.142

2

==+−

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Función potencial: y = f(x)n ⇒ y´= n.f(x)n-1 Función exponencial: y = af(x) ⇒ y´= af(x).Lna.f´(x) Función exponencial-potencial: y = f(x)g(x) ⇒ Derivación logarítmica: 1 – Tomar logaritmos: Ln y = Ln f(x)g(x) ⇒ Ln y = g(x).Ln f(x) 2 – Derivamos los dos miembros de la igualdad:

)x(f

)x´(f).x(g)x(Lnf).x´(g

y

´y +=

3 – Despejamos y´: y´=

+

)x(f

)x´(f).x(g)x(Lnf).x´(g.y

4 – Sustituimos la y: y´=

+

)x(f

)x´(f).x(g)x(Lnf).x´(g.)x(f )x(g

Ejemplo: f(x) = xx

Ln f(x) = Ln xx ⇒ Ln f(x) = x.Ln x ⇒ x

1.xLnx.1

)x(f

)x´(f += ⇒

f´(x) = f(x) [Ln x + 1] ⇒ f´(x) = xx [Ln x + 1]

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TEMA 10 – APLICACIONES DE LA DERIVADA

10.1 – RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UNO DE SUS PUNTOS Si f(x) es derivable en x0, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en x0

es: y – f(x0) = f ´(x0).(x – x0) Práctica : [1] Si nos dan el punto de tangencia x = x0: Hallamos f(x0), f ´(x) ⇒ f ´(x0) y aplicamos la fórmula: y – f(x0) = f ´(x0).(x – x0) [2] Si nos dan la pendiente de la recta tangente m: m = f ´(x) ⇒ Resolvemos la ecuación y obtenemos x0 y procedemos como en [1]

10.2 – INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA 10.2.1 – CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE FUNCIONES f creciente en x0 ⇔ Existe un entorno del punto x0 (x0 – a, x0 + a) tal que: Si x0 – a < x < x0, entonces f(x) < f(x0) Si x0 < x < x0 + a, entonces f(x) > f(x0) f decreciente en x0 ⇔ Existe un entorno del punto x0 (x0 – a, x0 + a) tal que: Si x0 – a < x < x0, entonces f(x) > f(x0) Si x0 < x < x0 + a, entonces f(x) < f(x0) 10.2.2 – RELACIÓN DEL CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN CON EL VALOR DE SU DERIVADA f(x) derivable y creciente en x0 ⇒ f ´(x0) ≥ 0 f(x) derivable y decreciente en x0 ⇒ f ´(x0) ≤ 0 10.2.3 – CRITERIO PARA IDENTIFICAR TRAMOS CRECIENTES O DECRECIENTES A PARTIR DEL SIGNO DE LA DERIVADA Si f ´(x0) > 0 ⇒ f es creciente en x0 Si f ´(x0) < 0 ⇒ f es decreciente en x0 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS. DEFINICIÓN f tiene un máximo relativo en el punto de abscisa x0 ⇔⇔⇔⇔ Existe un número a tal que si x ∈ (x0 – a , x0 + a) entonces f(x) < f(x0) f tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x0 ⇔⇔⇔⇔ Existe un número a tal que si x ∈ (x0 – a , x0 + a) entonces f(x) > f(x0)

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CONDICIÓN NECESARIO DE MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO EN FUNCIONES DERIVABLES Si f(x) es derivable en x0 y tiene un máximo o mínimo en él, entonces f ´(x0) = 0. Es decir: f(x) máximo o mínimo en x0 ⇒ f ´(x0) = 0 REGLA PARA IDENTIFICAR EXTREMOS RELATIVOS Para saber si un punto singular (f ´(x0) = 0) es máximo relativo, mínimo relativo o punto de inflexión, estudiaremos el signo de la derivada en las proximidades del punto, a su izquierda y a su derecha. Máximo: f ´> 0 a su izquierda f ´(x) < 0 a su derecha Mínimo: f ´< 0 a su izquierda f ´(x) > 0 a su derecha Inflexión: f ´ tiene el mismo signo a ambos lados del punto.

10.3 – INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA DEFINICIÓN DE CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN Tenemos una curva y = f(x). Trazamos la recta tangente a ella en un punto P, cuya ecuación es y = t(x). Entonces:

- Si en las cercanías de P es f(x) > t(x), la curva es convexa en P. - Si en las cercanías de P es f(x) < t(x), la curva es cóncava en P. - Si la tangente atraviesa la curva en P, es decir, si a la izquierda de P es f(x) < t(x)

y a la derecha f(x) > t(x), o viceversa, P es un punto de inflexión.

RELACIÓN DE LA CURVATURA CON LA SEGUNDA DERIVADA Si f tiene segunda derivada en x0, se cumple que:

- f convexa en x0 ⇒ f ‘ es creciente en x0 ⇒ f ´´(x0) ≥ 0 - f cóncava en x0 ⇒ f ‘ es decreciente en x0 ⇒ f ´´(x0) ≤ 0 - f tiene un punto de inflexión en x0 ⇒ f ´´(x0) = 0

CRITERIO PARA DETECTAR EL TIPO DE CURVATURA f ´´(x0) > 0 ⇒ f es convexa en x0

f ´´(x0) < 0 ⇒ f es cóncava en x0 f ´´(x0) = 0 y f ´´´(x0) ≠ 0 ⇒ f tiene un punto de inflexión en x0 APLICACIÓN A LA IDENTIFICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si f ´(x0) = 0 y existe f ‘ ’ (x0), entonces:

- Si f´´(x0) > 0 ⇒ Es un mínimo relativo en x0 - Si f´´(x0) < 0 ⇒ Es un máximo relativo en x0 - Si f´´(x0) = 0 ⇒ ????

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10.4 – OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Con mucha frecuencia aparecen problemas físicos, geométricos, económicos, biológicos,… en los que se trata de optimizar una función (hacer máximo un volumen, unos beneficios, una población; hacer mínimos unos costes o un área,…).

- Calculamos la función a optimizar (normalmente dependerá de dos variables) f(x,y)

- Buscamos una relación entre las variables: Ecuación g(x,y) = 0 - Despejamos una incógnita de la ecuación (g(x,y) = 0) y la sustituimos en la

función f(x,y) con lo cual la función ya sólo dependerá de una variable f(x) - Optimizamos la función f(x): f ´(x) = 0 y comprobamos si son máximos o

mínimos. EXTREMOS ABSOLUTOS: CÁLCULO DE LOS EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN f(x) EN UN INTERVALO [a,b] a) Si f es der ivable en [a,b], los máximos y mínimos absolutos están entre los puntos

singulares (f ´(x) = 0) y los correspondientes extremos del intervalo: - Resolvemos la ecuación f ´(x) = 0 - Seleccionamos la raíces x1, x2, … que están entre a y b - Se calcula: f(a), f(x1), f(x2),…., f(b) - El valor máximo será el máximo y el valor mínimo será el mínimo.

b) Si hay algún punto en [a,b] en el que la función no sea der ivable, aunque si continua, calcularemos, además, el valor de f en ese punto, pues podría ser un extremo.

c) Si f no es continua en algún punto x0 de [a,b], estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de x0.

10.5 – LA DERIVACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES. REGLA DE L´HÔPITAL Sean f y g funciones derivables en un entorno (a – r, a + r) del punto a y el

∞∞=

→ó

0

0

)x(g

)x(flim

ax, entonces la regla de L´Hôpital me dice que

)x´(g

)x´(flim

)x(g

)x(flim

axax →→=

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10.6 – TEOREMAS DE DERIVABILIDAD TEOREMA DE ROLLE Enunciado:

0 ´(c) f que talb)(a, c puntoalgún Existe

f(b) f(a)

b)(a,en derivable f

b][a,en continua f

=∈⇒

=

Interpretación geométr ica: Existe algún punto entre a y b donde la recta tangente en dicho punto es paralela al eje de abscisas.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO Enunciado:

ab

f(a)-f(b) ´(c) f que talb)(a, c puntoalgún Existe

b)(a,en derivable f

b][a,en continua f

−=∈⇒

Interpretación geométr ica: Existe algún punto entre a y b donde la recta tangente en dicho punto es paralela a la recta que pasa por los puntos A(a,f(a)), B(b,f(b))

10.7 – APLICACIONES TEÓRICAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO FUNCIÓN CONSTANTE f es continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f ´(x) = 0 en todos los puntos de (a,b), entonces f es constante en [a,b] FUNCIÓN CRECIENTE f es continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f ´(x) > 0 en todos los puntos de (a,b), entonces f es creciente en [a,b]. MÍNIMO RELATIVO Si f ´(x0) = 0 y f ´´(x0) > 0, entonces f presenta un mínimo en x0.

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DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Derivadas aplicando la definición EJERCICIO 1 Calcular, aplicando la definición, las derivadas de las funciones que se citan a continuación en los puntos indicados:

a) f(x) = 1x3x

en x = -1 b) f(x) =

x2x

en x = 1

c) f(x) = x2 + x en x = 0 d) f(x) = x2 - 3x en x = 1

e) f(x) = x3 - x2 + x en x = 0 f) f(x) = x2 1

2

en x = 3

g) f(x) = 2x2 - x + 2 en x = 1 EJERCICIO 2 : a) Calcular la derivada de la función f(x) = x3 - 3 en el punto x = -1 b) Ecuación de la recta tangente a esa función en el punto x = -1 EJERCICIO 3 : a) Calcular la derivada de la función f(x) = 2x2 + 3x + 1 aplicando la definición de derivada. b) ¿ Cuándo vale f ‘(1) ? EJERCICIO 4 : Sea f(x) = x3 + 3x2 + 1 . a) Obtener su derivada en x = 2 utilizando la definición de derivada de una función en un punto. b) Calcular su derivada directamente (sin utilizar la definición) y comprueba que se obtiene el mismo resultado que en el apartado a). EJERCICIO 5 : a) Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 3x aplicando la definición de derivada. b) ¿ Cuándo vale f ‘(1) ? EJERCICIO 6 Calcular la función derivada, aplicando la definición, de :

a) f(x) = x2 - 2 b) f(x) = x3 - 3x c) f(x) = 1x2

1

d) f(x) = 9 - x2 e) f(x) = 2x

x2

Cálculo de derivadas EJERCICIO 7 Calcular las siguientes derivadas: 1) y = 5 2) y = x 3) y = 3x 4) y = x5 5) y = 3.x6

6) y = 35

.x10

7) y = 4x3 2

8) y = 2x4-3x3+x2-7

9) y = 1

4x

10) y = 5.

2

3 xx1

11) y = 6x3 + 5x2 - 1

12) y = x8x32x

51 35

13) y = 2x1 + x-3 + 2.x-1

14) y = 2.

42 x

1x1

15) y = 35 x

1

x

1

16) y = x1x

3x3

17) y = (x2 - 1).(x3 + 3x) 18) y = (x2 -1).(x3 + 3x)

19) y = 4x1x2

20) y = x1

21) y = 5

3xx2

22) y=x2-x

x4x1

x3x1

3

23) y = (x3 + 1).(x + 2) 24) y = (x3 + 2).x-2

25) y = 2x

23

26) y = 5

3x3

27) y = 1x322

28) y = 3x311

29) y = 23

2

x3x2x

30) y = 3x

x3

31) y = (3x3 - 2x + 7)7 32) y = 3.(x2 - x + 1)3 33) y = (2x4 - 4x2 - 3)5 34) y = (2x3 + x)4 35) y = 5.(x3 - 3x)4

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36) y = ( )( )x xx x

4 2

3 5

53

37) y = (x3 - 2x)3.(2x4 - x2)2

38) y = 224

33

)xx2()x2x(

39) y = x3

40) y = 2x1

x1

41) y = x1x1

42) y = 3

2x

43) y = 3 2 1x

44) y = 5 3 x7x

45) y = 1x3x

46) y = 5x3 + x3 1

47) y = x2. x3

48) y = (x - 2x1 )2

49) y = x

x

3

50) y = 1

23 x

51) y = 5.(x3 - 2x2 + x)4

52) y = 64 )3x2(x64

53) y = e x

54) y = 12e x

55) y = x2.e3x

56) y = xe x

57) y = 2ee xx

58) y = x

2

exx

59) y = log3 x 60) y = log2 x3 61) y = log x 62) y = Ln (x2 - 1)

63) y = log 2 1x1x 2

64) y = Ln x

e x3

65) y = log 2x1x

66) y = 5xLnx

67) y = Ln [x3.(x + 2)

68) y = Ln 3 2x1

69) y = Ln x1x1

70) y = Ln 1x23x2

71) y = (log x + 1). 1x2 72) y = tag 2x 73) y = sen 2x 74) y = sen x2 75) y = sen2 x 76) y = sen2 2x 77) y = sen2 x2 78) y = sen5 2x3 79) y = 5. sen3 2x4 80) y = ecos x 81) y = sen2 x + cos2 x

82) y = xsen1xsen1

83) y = tag (x + 3)2 84) y = tag2 (x + 3)

85) y = Ln

2xcos

2

86) y = tag ( 1 - 2x)

87) y = tag

x1x

88) y = xsec

ecxcos

89) y = sen x 90) y = sen ( x + ex ) 91) y = Ln 1x1x

92) y = (log x + 1). x2 1 93) y = cos x. (1 - cos x)

94) y = xcosxsenxcosxsen

95) y = Ln (x2.sen2x)

96) y = 1exsen.x

x

2

97) y = xcos1xcos1

98) y = 2

x2cos

99) y = Ln (tag 2x) 100) y = Ln (sen x)

101) y = sen3(x+1) 102) y = sec2 x

103) y = x sen x +cos x 104) y = sen [cos(tag x)

105) y = Lnxsenxcos

106) y = Ln xcos1xcos1

107) y = Ln (tag2 x )

108) y = Ln x1x1

109) y = Ln 3x2)1x( 2

110) y = Ln (sen2 x) 111) y = ecos 2x 112) y = Ln (sen2x.cos3x) 113) y = sen2x - cos2x 114) y = sen(x+1)3

115) y = Ln)2/xtg(1)2/xtg(1

116) y = arcsen 2

2

x1x

117) y = x cos(x)

118)xtg1xtg1y

119)x

1earctgyx

120) y = x2sen1x2sen1Ln

121) y = (arcsen x)tgx 122) y = Ln [(x+1)/x-1)2 123) y = [tg (2x)sen x 124) y = (arcsen 2x)tgx

125) y = Ln

1x1x

3

3

126) y = arctag 2x1x2

127) y = Ln 3

1x31x2

128) y = xsen

Lnx

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Continuidad y derivabilidad EJERCICIO 8 : a) Estudiar la continuidad de la siguiente función, indicando los tipos de discontinuidad que presenta en los puntos donde no sea continua. 1/x si -1 x <1 f(x) = 1x si 1 x < 3 2 si 3 < x < 5 x - 3 si 5 x b) Estudiar su derivabilidad c) Representarla gráficamente. EJERCICIO 9 : a) Determinar los valores de a y b y el valor de f(0) para que la función f(x), que se define a continuación, pueda ser continua:

2

2

axxsen si x < 0

f(x) = bex si 0 < x 1

1xxx 2

si 1 < x

b) ¿ Es derivable en x = 1 ? EJERCICIO 10 : a) Estudiar la continuidad de la siguiente función, indicando los tipos de discontinuidad que presenta en los puntos donde no sea continua.

2

2x si -3 x <0

sen ( )2

23

9x

x si 0 <x < /6

f(x) = 1 - sen x si /6 x < /2

1e2

xx

si /2 x < 3

b) Estudiar su derivabilidad EJERCICIO 11 : Hallar “a” y “b” de modo que la siguiente función sea continua:

f(x) =

xsi x

<x<0 si )xbsen(0 xsi )1x.(a 2

EJERCICIO 12 : Estudiar la derivabilidad de la función f(x) =

x 3 si 7x7x-

3 x 2 si 2 x2x 0 si x

2

y calcular una expresión de su derivada en los puntos donde sea derivable.

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TEMA 10 – APLICACIONES DE LA DERIVADA

RECTA TANGENTE

EJERCICIO 1 : .2 en x)2(xx

5x y:a a la curva tangentede la rect ecuación Escribe la 0

2

=++=

EJERCICIO 2 : Halla en qué punto (o puntos) la recta tangente a la curva y = x3 − 3x + 1 es paralela al eje de abscisas, y encuentra la ecuación de esa (o esas) recta (rectas).

EJERCICIO 3 : Escribe las ecuaciones de la rectas tangentes a la curva 3x2 − y2 − 2x + 9 = 0 en x0 = -1

EJERCICIO 4 : Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de 3 2f (x) 2x 6x 4= − + en su punto de inflexión.

EJERCICIO 5 : ( )

.2 en x2x

1x2x y la curva tangente a la recta cuación deHalla la e 0 =

++=

EJERCICIO 6 : Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva x2 + y2 + 2x - 4y = 0 en el punto (0, 4).

EJERCICIO 7 : Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva: 1 en x)1x(x

2x4y 02

=+

−=

EJERCICIO 8 : Halla las rectas tangentes a la circunferencia: x2 + y2 + 2x + 2y - 6 = 0 en x0 = 1

EJERCICIO 9 : ( ) punto dente en el ecta tangeón de su r la ecuaci, escribeexxnción fDada la fu 1x2 2 −= abscisa x0 = -1.

ESTUDIO DE FUNCIONES EJERCICIO 10 : Estudia la monotonía de la función xf (x) (x 1)e= −

EJERCICIO 11 : Estudia la monotonía de la función x 2f (x) e (x 3x 3)= − + y determina los máximos y mínimos relativos.

EJERCICIO 12 : Dada la función 2x

f (x)x 1

=−

, halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.

EJERCICIO 13 : Halla los máximos y mínimos de la función x

yLx

=

EJERCICIO 14 : Estudia la curvatura de la función 4 2f (x) x 2x= − y determina los puntos de inflexión.

PROBLEMAS CON FUNCIONES EJERCICIO 15 : Un agricultor estima que si vende el kilogramo de cebollas a x céntimos de euro, entonces su beneficio

por kilogramo sería igual a b (x) = 100x − x2 − 2 475. a) ¿Qué niveles de precios suponen beneficios para el agricultor? b) ¿Cuál es el precio que maximiza el beneficio del agricultor? c) Si dispone de 50 000 kg de cebollas, ¿cuál es el beneficio total máximo?

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PROBLEMAS CON PARÁMETROS

EJERCICIO 16 : Dada la función: f (x) = x3 + ax2 + bx + c, calcula los valores de a, b y c para que la función tenga un mínimo en x = 1 y un punto de inflexión en el origen de coordenadas. EJERCICIO 17 : Halla los valores de b y c para que la curva 3 2y x bx cx 1= + + + tenga en el punto (0, 1) una inflexión y la

pendiente de la recta tangente en dicho punto valga 1.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIO 18 : Con un alambre de 4 metros se quiere construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo? EJERCICIO 19 : Se desea construir un marco rectangular para una ventana de 6 m2 de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 20 € y el tramo vertical es a 30 € el metro. Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste de marco sea mínimo. EJERCICIO 20 : Considérese un prisma recto de base rectangular, con dos de los lados de ese rectángulo de longitud doble que los otros dos, tal como se indica en la figura. Halla las dimensiones que ha de tener este prisma para que el área total sea de 12 metros cuadrados y que con estas condiciones tenga volumen máximo. EJERCICIO 21 : El lado de un cuadrado tiene una longitud de 4 metros. Entre todos los rectángulos inscritos en el cuadrado dado, halla el de área mínima: EJERCICIO 22 : Un transportista va de una ciudad A a otra B a una velocidad constante de x km/h por una carretera en

la que debe cumplirse que 35 < x < 55. El precio del carburante es de 0,6 euros el litro y el consumo es de 10 + x2/120 litros por hora. El conductor cobra 8 euros por hora y la distancia entre A y B es de 300 km. Halla la velocidad a la que debe ir para que el viaje resulte lo más económico posible. EJERCICIO 23 : La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 dm. Hacemos girar el triángulo alrededor de uno de sus catetos. Determina la longitud de los catetos de forma que el cono engendrado de esta forma tenga volumen máximo. EJERCICIO 24 : Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción? EJERCICIO 25 : Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? EJERCICIO 26 : Demuestra que, entre todos los rectángulos de área dada, el cuadrado es el de perímetro mínimo. (Llama k al área del rectángulo y ten en cuenta que es constante). EJERCICIO 27 : Demuestra que, entre todos los rectángulos que pueden inscribirse en un círculo de radio R, el cuadrado tiene el área máxima.

REGLA DE L´HOPITAL EJERCICIO 28 : Calcular los siguientes límites:

+−++∞→ 3

1x2

3x2

xlíma)

2

x

+−

→ xsenx2

1elímb)

x2

0x

x2sen

xcoselímc)

x

0x

−→

1xe

xcos33límd)

x0x −+

−→

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xsenxcosx

xlíme)

3

0x +→

2

2x 0

cos x 1f) lim

x→

− ( )

23

x

x 0g) lim cos2x

→ h)

3x 0

x senxlím

x→

i) x 0

2arctgx xlím

2x arcsenx→

−−

j) 2

x

1límx 1 cos

x→∞

k) 1

1 x

x 1límx −

→; l) x

xlím x

→∞

APLICACIÓN DE TEOREMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

EJERCICIO 29 : Demuestra que la ecuación: 01x2x3x 27 =+−+ tiene, al menos, una solución real. Determina un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz.

EJERCICIO 30 : ( ) ( ) en Rolle de teoremadel hipótesis las cumple 2xxffunción la si Comprueba 3 2−=

el intervalo [0, 4]. En caso afirmativo, averigua dónde cumple la tesis.

EJERCICIO 31 : Comprueba que y = x + x3 cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-2, 1]. ¿Dónde cumple la tesis?

EJERCICIO 32 : Dada la función: ( )

>

≤−

=

1xsix

1

1xsi2

x3

xf

2

Comprueba que satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 2]. ¿Dónde cumple la tesis?

EJERCICIO 33 : Calcula a, b y c para que la función: ( )

≥+<−=

2xsicbx

2xsiaxx2xf

2

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, 4]. ¿Qué asegura el teorema en este caso?

EJERCICIO 34 : Demuestra que la ecuación: ex + x - 1 = 0 solo tiene la raíz x = 0. Para ello, supón que tuviera otra raíz

(digamos x = a), aplica el teorema de Rolle a la función f (x) = ex + x - 1 en [0, a] (o en [a, 0] si a < 0) y llegarás a una contradicción.

EJERCICIO 35 : Calcula m y n para que la función: ( )

>++−

≤+=

1xsinx3x2

1xsi1mxxf

2

cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 3]. ¿Dónde cumple la tesis?

EJERCICIO 36 :¿Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función 2x 4x

f (x)x 2

−=−

en el intervalo [0, 4]?. Razona la

contestación. EJERCICIO 37 : Comprueba si se verifica el teorema de Rolle para la función 2f (x) x 4x 11= − + , en el intervalo [1, 3].

EJERCICIO 38 : Aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función 2f (x) x 3x 2= − + en el intervalo [-2, -1].

EJERCICIO 39 : Calcula a y b para que 2

ax 3 si x 4f (x)

x 10x b si x 4

− <=

− + − ≥ cumpla las hipótesis del teorema del valor medio

en el intervalo [2, 6]. ¿Dónde cumple la tesis?

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EJERCICIO 40 : Se considera la función 2

3

x nx si x 2f (x)

x m si x 2

+ < −= + ≥ −

a. Determina m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4, 2] b. Halla los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema.

EJERCICIO 41 : Justifica los pasos de la siguiente demostración: Vamos a probar que "si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b); y f' (x) = 0 en todos los puntos de (a, b), entonces f es constante en [a, b]".

1) Tomamos dos puntos cualesquiera x1 < x2 de [a, b]; entonces se cumple que: ( ) 0c'fxx

)x(f)x(f

12

12 ==−−

2) Por tanto, f (x2) - f (x1) = 0.

3) Y así deducimos que f es constante.

EJERCICIO 42 : Demuestra que la función: ( ) 3x 4 si x 1f x

2x 1 si x 1

− + ≤= − >

no cumple la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, b], cualquiera que sea el valor de b > 1.

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TEMA 9 – DERIVADAS DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO, APLICANDO LA DEFINICIÓN EJERCICIO 1 : Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada: 12 xxf

Solución: 2)1x(lim

1x)1x).(1x(lim

1x1xlim

1x2)1x(lim

1x1fxf

lim1'f1x1x

2

1x

2

1x1x

EJERCICIO 2 : .3

1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,

xxff´

Solución: 31

31lim

1x

03

1x

lim1x

1fxflim1'f

1x1x1x

EJERCICIO 3 : Halla la derivada de la función f(x)=(x – 1)2 en x=2, aplicando la definición de derivada

Solución: 2xlim2x2xxlim

2xx2xlim

2x11x2xlim

2x11xlim

2x2fxflim2'f

2x2x

2

2x

2

2x

2

2x2x

EJERCICIO 4 : .x

xf,f' 2siendo 1calcula derivada, de definición la Aplicando

Solución: 2

x2lim

x)1x()x1(2lim

x1xx22lim

1xx

x22

lim1x

2x2

lim1x

1fxflim1'f

1x1x1x1x1x1x

FUNCIÓN DERIVADA, APLICANDO LA DEFINICIÓN EJERCICIO 5 : :derivadadedefinición laaplicandoHalla f´(x),

a) 12 x(x)f b) 3

1

xxf c) 22xxf d) x

xf 1 e)

32xxf

Solución:

a)

h1x1xh2hxlim

h1x1hxlim

hxfhxflimx'f

222

0h

22

0h0h

x2x2hlimh

x2hhlimh

xh2hlim0h0h

2

0h

b)

31

h3hlim

h3h

limh3

1x1hxlim

h3

1x3

1hxlim

hxfhxflimx'f

0h0h0h0h0h

c)

hx2xh4h2x2lim

hx2xh2hx2lim

hx2hx2lim

hxfhxflimx'f

222

0h

222

0h

22

0h0h

x4x4h2limh

x4h2hlimh

xh4h2lim0h0h

2

0h

d)

hxhx

hlimh

hxxh

limh

hxxhxx

limh

hxxhxx

limh

x1

hx1

limh

xfhxflimx'f0h0h0h0h0h0h

20h x

1hxx

1lim

e)

32

h3h2lim

h3h2

limh3

x2h2x2lim

h3x2

3hx2

limh

xfhxflimx'f0h0h0h0h0h

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CÁLCULO DE DERIVADAS INMEDIATAS EJERCICIO 6 : Halla la función derivada de:

523a) 4 xxxf xexf b) 12c) 23 xxxf xlnxf d)

3

2e) 5 xxxf xsenxf f) 513g) 23 xxxf xcosxf h)

234i) 23 xxxf xtgxf j) 122k)

2

x

xxf xxexf l)

213m)

2

x

xxf xsenxxf 2n) 3

1ñ)2

x

xxf xlnxxf o)

x

xxf 2p) xe

xxf 13q)

323r)

2

xxxf xsenxxf 3s)

Solución:

a) 2x21x'f 3 b) xex'f x2x6x'f)c 2 x1x'f)d

31x10x'f 4 e) xcosx'f)f x6x3x'f)g 2 senxx'f)h

x6x12x'fi) 2 xcos

1x1x'fj)2

2 tg

2

2

2

22

2

2

1x2

4x2x2

1x2

4x2x2x4

1x2

22x1x2x2x'fk)

xxx ex1xeex'fl)

22

2

22

22

22

2

2x

6x2x3

2x

x2x66x3

2x

x21x32x3x'fm)

xcosxsenxx2x'fn) 2

2

2

2

22

2

2

3x

1x6x

3x

x1x6x2

3x

x13xx2x'fñ)

1xln

x1xxlnx'fo)

2x

2x2

1x'fp)

x2x

x

2x

xx

e

x32

e

1x33e

e

e1x3e3x'fq)

2

2 2

2 2 2

2

3 2 18 6

3 2 6 18 12

3 2 2 3 3 2 6

x

x x x

x x x x

x x x x ' f ) r

s) xcosxxsenx

xcosxxsenxxf 3

3 2

3132

3

131'

CÁLCULO DE DERIVADAS EJERCICIO 7 : Halla la función derivada de: a) 423 xxxf b) 14 3 xxf c) xxexf 24 3 d) xxlnxf 23 4

e)

321

xxsenxf

393f)

24 xxxf

123g) 2

2

x

xxf xxexf h)

3128i) 35 xxxf xexxxf 3j) 4

1k)

2xxsenxf

56

23l)

34 xxxf

12

3m) 3

2

x

xxf xxlnxf 2n) 4 5

32ñ)24 xxxf

xx

xxf343o)

2

32p) 3 xxf 7453

21q) xxxf senxxf x er)

23s)2x

xcosxf

3

24t) 5 xxxf xexxxf 3u) 2

11v)

2xxsenxf

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143w) 7 xxxf

134x) 2

3

x

xxf 37 4y) xexf

3139z) 42 xxxf 2

3

431)

x

xxf

)xxlnxf 322) 5

7

233)5 xxxf

cosxxxf 44) 112

5)

xx

exf

523

46)6

xxxf 1

27)2

x

xxf 4328) xxxf

Solución:

a) 1634'32 xxxxf

b) 14

6

142

1212142

1'3

2

3

22

3

x

x

x

xxx

xf

c) 212' 224 3 xexf xx

d) xx

xxxx

xf23212212

231'

4

33

4

e)

3x2

1x

3x2

53x2

1x

3x2

2x23x2

3x2

21x3x23x2

1xx'f222

coscoscos

3x18x12x'ff) 3

2222

33

22

22

1x

x2

1x

x4x6x6x6

1x

x22x31xx6x'fg)

x1exeex'fh) xxx 24 x6x40x'fi)

x34x43x4x3 e3x3x4xex3x3x4ex3xe3x4x'fj)

22

2

21x

x2x1x

1x

xcosx'fk)

1x

xcos

1x

1x

1x

x21x

1x

xcos222

2

22

22

2

5x18x6

5x18

2x12x'fl)

23

23

23

244

23

223

1x2

x18x6x2x4

1x2

x63x1x2x2x'fm)

23

24

1x2

x2x18x2

x2x

2x42x4x2x

1x'fn)4

33

4

5

x6x8x'fñ)3

22

22

22

2

x3x

12x8x9x6x9x3

x3x

3x24x3x3x3x'fo)

22

2

3

1283

xx

xx

3x2

x3

3x22

x6x63x22

1x'fp)3

2

3

22

3

63 x521x2x'fq)

xxx ecosxsenxcosxesenxex'fr)

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2x

x3sen2x

x66x3

2x

x2x32x3

2x

x3senx'fs)222

22

22

2

2

2x

x3sen

2x

6x3

2x

x3sen

2x

6x3222

2

222

2

32x20x'f 4 t)

3xxex3x3x2eex3xe3x2x'f 2x2xx2x u)

22

2

222

22

222

2

21x

1x2x

1x

1x

1x

x2x21x

1x

1x

1x

x21x1x

1x

1xx'f coscoscosv)

11

1

12222

2

xxcos

x

xx

43x7x'f 6 w)

22

24

22

424

22

322

1x

x6x12x4

1x

x6x8x12x12

1x

x23x41xx12x'f

x)

3x7333x7 44

ex28x28ex'f y)

3x12x18x'f z)

22

42

22

442

22

322

x4

x3x36

x4

x6x9x36

x4

x2x3x4x9x'f

1)

x3x2

3x103x10x3x2

1x'f5

44

5

2)

7

2x15x'f4

3)

senxxxx4senxxxx4x'f 4343 coscos4)

2

21x1x

2

221x1x

2

21x1x

1x

1x2xe1x

1xx2x2e1x

1x1xx2ex'f

222

5)

2x823x24x'f 5

56)

22

2

22

22

22

2

1x

2x2

1x

x42x2

1x

x2x21x2x'f

7)

4

3

4

3

4

33

4 x3x2

x61

x3x22

x612

x3x22

x122x122x3x22

1x'f

8)

EJERCICIO 8 : Halla la derivada de estas funciones:

35x xexfa) 2)2x(

x2xfb)

xln·xxxfc) 2

2x1xlnxf)d

xsen·eye) 1x2

1x23xlny)f

2)1x(

1x3yg)

2xcosy)h 42

x2 e·2xxfi) 2x41x3xf)j

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Solución: a) f ‘(x) 3 (ex x5)2 · (ex 5x4)

3344

2

)2x(

4x2

)2x(

x44x2

)2x(

]x4)2x(2[)2x(

)2x(

)2x(2·x2)2x(2x'fb)

xxxxln

x21x2

x1·xxxln·

x21x2x'fc) 2

2xx

3)2x()1x(

3

)2x(

)1x2x(·)1x()2x(

)2x(

)1x(2x·

2x1x

1x'fd)222

e) y’ e2x1 · 2 · sen x e2x1 · cos x 2 e2x1 · sen x e2x1 · cos x e2x1 (2sen x cos x)

)1x2()3x(

5

)1x2(

)6x21x2(·)3x()1x2(

)1x2(

2·)3x(1x2·

1x23x

1'yf)22 372

52

xx

344

2

)1x(

2x63x3

)1x(

])1x3(2)1x(3[)1x(

)1x(

)1x(2·)1x3()1x(3'yg) 3)1(

53

x

x

h) y ‘ 2cos (x4 2) · [sen (x4 2)] · 4x3 8x3 cos (x4 2) · sen (x4 2)

i) f ‘(x) 2x · ex (x2 2) · ex (2x x2 2) ex (x2 2x 2) ex

2/1

2x41x3xfj)

2

2/1

2

2/1

)24(412612·

1324

21

)24(4·)13()24(3·

2413

21'

xxx

xx

xxx

xxxf

32/32/122/1

2/1

)24()13(

5)24(·)13(

5)24(

10·)13()24(

21

xxxxxx

x

EJERCICIO 9 : Halla la derivada de estas funciones: a) f (x) tg2 (2x4 1) b) f (x) (sen x)x1 c) 5x2 5y2 4xy

2x1xlnxfd) 2xxxfe) 1xyy2x3f) 34

g) y e2x1 · sen (x 1) h) y (3x2 1)2x i) x2 y2 xy 5 j) y cos2 (x4 2) k) y (cos x)2x l) 2x2y2 3x2 y2 2

32

2x3x4xfm)

x1x2xfn) 0yxy3xñ) 22

Solución: a) f ' (x) 2tg (2x4 1) · (1 tg2 (2x4 1)) · 8x3 16x3 tg (2x4 1) 16x3 tg3 (2x4 1)

b) y (sen x)x1 ln y ln (sen x)x1 ln y (x 1) · ln (sen x)

xsenxcos·1xxsenln

y'y

xcotg1xxsenlnxsen'y 1x

c) 10x 10y · y ' 4y 4x · y ' 10y · y ' 4x · y ' 4y 10x y ' (10y 4x) 4y 10x

xyxyy

xyxyy

2552'

410104'

d) f (x) ln (x 1) ln (x 2) 2xx

3)2x()1x(

1x2x2x

11x

1x'f2

e) y x x2 ln y ln x x2 ln y (x 2) ln x x1·2xxln

y'y

x

2xxln·x'y 2x

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f) 12x3 6y2 · y ' y x · y ' 0 y ' (x 6y2) 12x3 y 2

3

y6xyx12

'y

g) y' e2x1 · 2 · sen (x 1) e2x1 · cos (x 1) e2x1 [2 sen (x 1) cos (x 1)] h) y (3x2 1)2x ln y ln (3x2 1)2x ln y 2x ln (3x2 1)

1x3

x6·x21x3xln2y'y

22

1x3

x121x3ln2·1x3'y2

22x22

i) 2x 2y · y ' y x · y ' 0 2y · y ' x · y ' 2x y y ' (x 2y) 2x y

yxyxy

22'

j) y ' 2cos (x4 2) · (sen (x4 2)) · 4x3 8x3 cos (x4 2) · sen (x4 2)

k) y (cos x)2x ln y ln (cos x)2x ln y 2x ln (cos x)

xcosxsen·x2xcosln2

y'y

y ' (cos x)2x · [2 ln (cos x) 2x tg x] l) 4xy2 2x2 · 2y · y ' 6x 2y · y ' 0 4x2yy' 2yy' 6x 4xy2 y' (4x2y 2y) 6x 4xy2

y2yx4

xy4x6'y2

2

3

12

2x3x4xfm)

2

223

2

22

232

2

)2x3(

x12x16x24·x4

2x331

)2x3(

3·x42x3x8·2x3

x431x'f

2

23

2

2 )2x3(

x16x12·x4

2x331

n) y (2x 1)x ln y ln (2x 1)x ln y x ln (2x 1) 1x2

2·x1x2lny'y

1x2x21x2ln·1x2'y x

ñ) 2x 3y 3x · y' 2y · y' 0 3x · y' 2y · y' 2x 3y y' (3x 2y) 2x 3y y2x3y3x2'y

ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD EJERCICIO 10 : Estudia la derivabilidad de esta función, según los valores de a y b:

1xsi10si

0si1323

2

xlnbxxaxx

xxxf

Solución: Continuidad: - En x 0 y x 1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

- En x 0:

.0xen continua es no xf

00f

0axxlímxflím

11x3límxflím

230x0x

20x0x

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- En x 1:

b1f

bxlnbxlímxflím

a1axxlímxflím

1x1x

31x1x

Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser b 1 a. Derivabilidad:

- Si x 0 y x 1: f (x) es derivable, y su derivada es:

1xsix1b

1x0siax2x3

0xsix6

x'f 2

- En x 0: f (x) no es derivable, pues no es continua en x 0. - En x 1: Para que f (x) sea derivable en x 1, han de ser iguales las derivadas laterales:

12311'

231'

babf

af

- Por tanto, f (x) será derivable en R {0} cuando y solo cuando:0b

1a

1ba23

a1b

- En x 0 no es derivable, cualesquiera que sean a y b.

EJERCICIO 11 : Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo R:

1si2

1si

2

2

xxbx

xxax

xf

Solución: Continuidad: - En x 1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos en los que están definidas.

- En x 1:

2b1f

2bx2bxlímxflím

a1xaxlímxflím

21x1x

21x1x

Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser 1 a b 2. Derivabilidad:

- Si x 1: f (x) es derivable, y su derivada es:

1xsi2bx2

1xsix

ax2x'f

2

- En x 1: Como f '(1) 2 a y f '(1) 2b 2, para que f (x) sea derivable en x 1, ha de ser 2 a 2b 2. Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será derivable en todo R cuando:

37b

32a

4b2a

3ba

2b2a2

2ba1

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EJERCICIO 12 : Estudia la derivabilidad de la función:

2xsi4x4x2x1six2

1xsix3xxf

2

224

Solución: Continuidad: - En x 1 y x 2: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

- En x 1:

.1xen continua es xf

21f

2x2límxflím

2x3xlímxflím

21x1x

241x1x

- En x 2:

.2xen continua es xf

82f

84x4xlímxflím

8x2límxflím

22x2x

22x2x

Derivabilidad:

- Si x 1 y x 0: f (x) es derivable, y su derivada es:

2xsi4x22x1six4

1xsix6x4x'f

3

- En x 1: Como f '(1) 2 f '(1) 4, f (x) no es derivable en x 1. - En x 2: Como f '(2) 8 f '(2), f (x) es derivable en x 2, y su derivada es f '(2) 8.

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EJERCICIO 13 : Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable:

1xsi2bxax

1xsibaxx3xf

3

2

Solución: Continuidad: - Si x 1: f (x) es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.

- En x 1:

2ba1f

2ba2bxaxlímxflím

ba3baxx3límxflím

31x1x

21x1x

Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser 3 a b a b 2; es decir, 2a 2b 1. Derivabilidad:

- Si x 1: f (x) es derivable, y su derivada es:

1xsibax3

1xsiax6x'f

2

- En x 1: Para que sea derivable en x 1, las derivadas laterales han de ser iguales:

ba3a6ba31'f

a61'f

Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será derivable si:34b;

611a

ba3a6

1b2a2

EJERCICIO 14 : Estudia la derivabilidad de la siguiente función:

0xsi3x20x1si4x

1xsix2x3xf

x

22

Solución: Continuidad: - Si x 1 y x 0 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

- En x 1

1xen continua es xf

51f

54xlímxflím

5x2x3límxflím

21x1x

21x1x

- En x 0:

0xen continua es xf

40f

43x2límxflím

44xlímxflím

x0x0x

20x0x

Derivabilidad:

- Si x 1 y x 0 f (x) es derivable, y su derivada es:

0xsi12ln20x1six2

1xsi2x6x'f

x

- En x 1: Como f '(1) 8 f '(1) 2; f (x) no es derivable en x 1. - En x 0: Como f '(0) 0 f '(0) (ln 2) 1; f (x) tampoco es derivable en x 0.

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APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE

EJERCICIO 1 : (((( )))) .0x en e

1xxf curva la a tangente recta la de ecuación la Escr ibe 0x

2====

++++====

Solución: • Ordenada del punto: f (0) = 1

• Pendiente de la recta: ( ) ( ) ( )x

2

2x

2x

2x

x2x

e

1xx2

)e(

1xx2e

)e(

e·1xxe2x'f

−−=−−=+−= ⇒f ' (0) = −1

• Ecuación de la recta tangente: y -1 = − 1 (x − 0) → y = −x + 1

EJERCICIO 2 : Escr ibe las ecuaciones de la rectas tangentes a la curva x2 −−−− 3y2 ++++ 2x ++++ 9 ==== 0 en x0 ==== 1.

Solución:

• Ordenadas de los puntos:

=

−=→=→=→=++−

2y

2yy4y312092y31 222

Hay dos puntos: (1, −2) y (1, 2)

• Pendientes de las rectas: 2x − 6y · y ' + 2 = 0 ⇒ y3

x1'y

y6

x22'y

+=→−

−−=

( )3

1

6

2

6

112,1'y

−=−

=−+=− ( )

3

1

6

2

6

112,1'y ==+=

• Ecuaciones de las rectas tangentes:

( ) ( )3

5x

3

1y1x

3

12y2,1En - −−=→−−−=→−

( ) ( )3

5x

3

1y1x

3

12y2,1En - +=→−+=→

EJERCICIO 3 : (((( ))))

.3x en 1x

1xxy curva la a tangente recta la de ecuación la Halla 0

2====

++++−−−−====

Solución:

• Ordenada en el punto: y (3) = 9

• Pendiente de la recta: ( )

1x

xx

1x

1xxy

232

+−=

+−= ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

=+

−−+−=+

+−−+−

=3

232232

1x2

xx1xx2x32

)1x(

1x2

1·xx1xx2x3

'y

( )3

23

1x2

x4x3x5

+

−+= ⇒ ( )8

753'y =

• Ecuación de la recta tangente: ( )8

153x

8

75y3x

8

759y −=→−+=

ESTUDIO DE FUNCIONES

EJERCICIO 4 : Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función: (((( ))))1x3

3x9x3xf

2

−−−−++++−−−−====

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )=

−+−+−−=−

+−−−−=

2

22

2

2

)1x3(

9x27x99x27x6x18

)1x3(

33x9x31x39x6x'f

2

2

)1x3(

x6x9

−=

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( ) ( )

=→=−

=→=→=−→=−→=

3

2x02x3

0x0x302x3x30x6x90x'f 2

Signo de f ' (x):

( ) ( ) máximoun Tiene .3

2,0en edecrecient es ;,

3

20,en creciente es xf

∞+∪∞−

( ) .3

5,

3

2en mínimoun y 3,0en

−−

EJERCICIO 5 : Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la curva: f (x) ==== 5x2 (x −−−− 1)2 Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa. Solución:

• Primera derivada: f ' (x) = 10x (x − 1)2 + 5x2 · 2 (x − 1) = 10x (x − 1) 2 + 10x2 (x − 1) =

= 10x (x − 1) (x − 1 + x) = 10x (x − 1) (2x − 1) ⇒ ( )

=

=

=

=

2

1x

1x

0x

0x'f

Signo de f ' (x):

( ) ( ) ( ) un Tiene .,12

1,0en creciente es ;1,

2

10,en edecrecient es xf ∞+∪

∪∞−

( ) ( ).01,y 0,0 :mínimos dosy 16

5,

2

1en máximo

• Segunda derivada:

f ' (x) = 10x (x − 1) (2x − 1) = 20x3 − 30x2 + 10x

f '' (x) = 60x2 − 60x + 10 = 10 (6x2 − 6x + 1)

( )

≈→±=−±=→=+−→=

79,0x

21,0x

12

126

12

24366x01x6x60x''f 2

Signo de f'' (x):

f (x) es cóncava en (−∞; 0,21) ∪ (0,79; +∞); es convexa en (0,21; 0,79). Tiene dos puntos de inflexión: (0,21; 0,14) y (0,79; 0,14). CÁLCULO DE PARÁMETROS EJERCICIO 6 : Halla los valores de a y b en la función f(x) = x2 + ax + b sabiendo que pasa por el punto P(-2,1) y tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3

Solución:

Si pasa por el punto (-2, 1)⇒ f(-2) = 1 ⇒ 1)2()2( 2 =−−+− ba ⇒ 3−=−− ba

Como tiene un extremo para x = -3 ⇒ f’ (-3) = 0 ⇒ axxf +=′ 2)( ⇒ 0)3(2 =+− a ⇒ a = 6 Resolviendo el sistema: Como a = 6 , b = -3

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EJERCICIO 7 : Halla a, b y c en la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d sabiendo que el punto P(0,4) es un máximo y el punto Q(2,0) es un mínimo.

Solución:

Máximo en P(0,4) ⇒

3 2

2

2

Pasa por el punto (0,4) f (0) 4 a.0 b.0 c.0 d 4 d 4

f (́0) = 0Máximo en x = 0 3a.0 2b.0 c 0 c 0

f'(x)=3ax +2bx+c

⇒ = ⇒ + + + = ⇒ =

⇒ ⇒ + + = ⇒ =

Mínimo en Q(2,0) ⇒

3 2

2

2

Pasa por el punto (2,0) f (2) 0 a.2 b.2 c.2 d 0 8a 4b 2c d 0

f (́2) = 0Mínimo en x = 2 3a.2 2b.2 c 0 12a 4b c 0

f'(x)=3ax +2bx+c

⇒ = ⇒ + + + = ⇒ + + + =

⇒ ⇒ + + = ⇒ + + =

Formando un sistema con las 4 ecuaciones obtenidas resulta:

d 4

8a 4b 2c d 0

c 0

12a 4b c 0

= + + + = = + + =

⇒ 8a 4b 4

12a 4b 0

+ = − + =

⇒ 2a b 1

3a b 0

+ = − + =

⇒2a b 1

3a b 0

− − = + =

⇒ a = 1; b = -3

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIO 8 : La suma de tres números positivos es 60. El pr imero más el doble del segundo más el tr iple del tercero suman 120. Halla los números que ver ifican estas condiciones y cuyo producto es máximo. Solución: Llamamos x al primer número, y al segundo y z al tercero. Así, tenemos que:

( )z260y

zx

z3120y2x

z60yx

120z3y2x

0z,y,x60zyx

−=

=

−=+

−=+

=++

>=++

El producto de los tres números es: P = x · y · z = z · (60 − 2z) · z = z2 (60 − 2z) = f (z), z > 0 Buscamos z para que f (z) sea máximo:

f '(z) = 2z (60 − 2z) + z2 · (−2) = 2z (60 − 2z − z) = 2z (60 − 3z) = 120z − 6z2

( )

=

>=→=

20z

0).zser de ha pues vale,(no 0z0z'f

Veamos que en z = 20 hay un máximo:f ''(z) = 120 − 12z ; f ''(20) = −120 < 0 → hay un máximo Por tanto, el producto es máximo para x = 20, y = 20, z = 20. EJERCICIO 9 : Entre todos los tr iángulos rectángulos de hipotenusa 5 metros, determina razonadamente el que tiene área máxima. Solución:

( ) 5x0,xf2

x25x Área

2<<=

−=

Buscamos x para que el área sea máxima: ( )2

xx25xf

42 −=

( ) ( )2

2

2

2

42

3

42

3

x252

x225

x25x2

x225x

xx252

x2x25

xx254

x4x50x'f

−=−

−=

−=−

−=

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( )

=

−=

→=→=−→=

2

25x

) vale(no 2

25x

2

25x0x2250x'f 22

( ) ( ) en derecha,su a 0x'fy 2

25x de izquierda la a 0x'f (Como <=> máximo).un hay

2

25x =

metros. 2

25xmiden catetos dos los cuando máxima es área el Por tanto, =

EJERCICIO 10 : Un móvil se desplaza según la función: e (t) ==== 600t ++++ 150t 3 −−−− 115t 4 ++++ 27t 5 −−−− 2t 6, que nos da el espacio en metros recorr ido por el móvil en t minutos. Determina a cuántos metros de la salida está el punto en el que alcanza la máxima velocidad. Solución: La función que nos da la velocidad es la derivada de e (t):

e' (t) = 600 + 450t 2 − 460t 3 + 135t 4 − 12t 5 = v (t) Para obtener el máximo de la velocidad, derivamos v (t):

v' (t) = 900t − 1 380t 2 + 540t 3 − 60t 4 = 60t (15 − 23t + 9t 2 − t 3) == −60t (t − 1) (t − 3) (t − 5) v' (t) = 0 → t = 0, t = 1, t = 3, t = 5

Obtenemos el valor de v (t) en estos puntos:v (0) = 600, v (1) = 713, v (3) = 249, v (5) = 1 225 Por tanto, la máxima velocidad se alcanza en el minuto t = 5 y el espacio recorrido es e (5) = 3 000 m. EJERCICIO 11 : Un granjero desea vallar un ter reno rectangular de pasto adyacente a un r ío. El pastizal debe

tener 180 000 m2 para producir suficiente for raje para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el ter reno rectangular de forma que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al r ío no necesita ser vallado? Solución:

x

000180ym000180xyÁrea 2 =→==

Cantidad de valla necesaria: ( ) 0x,x

000180x2yx2xf >+=+=

Buscamos x > 0 que haga f (x) mínima:

( )2x

0001802x'f −=

( )

=

−=→=→=−→=

300x

vale)(no 300x00090x0000180x20x'f 22

Veamos que en x = 300 hay un mínimo: ( ) ( ) mínimoun hay 0300''f;x

000360x''f

3→>=

Por tanto, han de ser: x = 300 m, y = 600 m

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EJERCICIO 12 : Entre todos los tr iángulos rectángulos de área 5 cm2, determina las longitudes de los lados del que tiene la hipotenusa mínima. Solución:

0x,x

10y10y·xÁrea >=→==

2222

x

100xyxHipotenusa +=+=

Buscamos el valor de x > 0 que hace mínima la función: ( )2

2

x

100xxf +=

Derivamos:

( )

+=

3

22 x

200x2·

x

100x2

1x'f

( ) →=→=−→=−→= 100x0200x20x

200x20x'f 44

310y10100x 4 =→==→

( ) ( ) unhay 10xen derecha,su a 0x'fy 10 de izquiera la a 0x'f (Como =>< mínimo).

cm. 20 medirá hipotenusa lay uno; cada cm 10miden catetos los ,Por tanto

CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 13 : Calcular los siguientes límites:

x

x 0

e 1a) lím

x sen x→→→→

−−−−++++ 3 2x 0

xsen xb) lím

x 3x→→→→ ++++

x 0

2x 2sen xc) lím

x sen x→→→→

−−−−++++

2x 0

4 4cosxd) lím

x→→→→

−−−− 3

x 0

xe) lím

xcosx sen x→→→→ ++++

f) x x

x 0

a blím

x→→→→

−−−− g)

x 0lím (xLx)

++++→→→→ h)

2x 0

x senxlím

sen x→→→→

−−−− i)

x 0

xsenxlím

1 cosx→→→→ −−−− j ) x

x 0lím x

++++→→→→ k)

x x

x 0

e e 2xlím

x senx

−−−−

→→→→

− −− −− −− −−−−−

Solución:

x xL´H

x 0 x 0

e 1 0 e 1a) lím lím

x sen x 0 1 cosx 2→ →

− = = = + + .

L´H L´H

3 2 2x 0 x 0 x 0

x senx 0 senx x cosx 0 cosx cosx xsen x 2 1b) lím lím lím

0 0 6x 6 6 3x 3x 3x 6x→ → →

+ + − = = = = = = ++ +

L´H

x 0 x 0

2x 2sen x 0 2 2cosx 2 2c) lím lím 0

x senx 0 1 cosx 1 1→ →

− − − = = = = + + + .

L´H L´H

2x 0 x 0 x 0 x 0

4 4cosx 0 4senx 2senx 0 2cosxd) lím lím lím lím 2

0 2x x 0 1x→ → → →

− = = = = = =

3 2L´H

x 0 x 0

x 0 3x 0e) lím lím 0

x cosx senx 0 cosx xsenx cosx 2→ →

= = = = + − +

f) x x 0 0 x x

x x

x 0 x 0 x 0

a b a b 1 1 0 a .La b .Lblím lím lím(a La b Lb)

x 0 0 0 1→ → →

− − − −= = = = = − =

0 0a La b Lb La Lb− = −

g)2

x 0 x 0 x 0 x 0 x 02

1Lx xxlím(xLx) (0. ) lím lím lím lím( x) 01 1 xx x

+ + + + +→ → → → →

∞ = ∞ = = = = = − = −∞ −

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h) 2x 0 x 0 x 0 x 0

x senx 0 1 cosx 1 cosx 0 senx 0lím lím lím lím 0

0 2senx.cosx sen2x 0 cos2x.2 2sen x→ → → →

− − − = = = = = = =

i)x 0 x 0 x 0

xsenx 0 1.senx x cosx 0 cosx 1.cosx ( senx).x 2lím lím lím 2

1 cosx 0 senx 0 cosx 1→ → →

+ + + − = = = = = = −

j) x 2

x 0 x 0 x 0

Lnx 1/ xLnx L´Hlím lím lím xx Lnx x.Lnx 01/ x 1/ x1/ x

x 0 x 0 x 0 x 0lím x lím e lím e lím e e e e e 1+ + +→ → →

+ + + +

−−

→ → → →= = = = = = = =

k) x x x x x x x x

x 0 x 0 x 0x 0

e e 2x 0 e e 2 0 e e 0 e elím lím lím lím 2

x senx 0 1 cosx 0 senx 0 cosx

− − − −

→ → →→

− − + − − + = = = = = = = − −

TEOREMAS DE DERIVABILIDAD

EJERCICIO 14 : Comprueba que la función f (x) ==== x2 ++++ 2x −−−− 1 cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−−−−3, 1]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución:

• La función f (x) = x2 + 2x − 1 es continua y derivable en todo R; por tanto, será continua en [−3, 1] y derivable en (−3, 1).

( )( )

=

=−• iguales.son

21f

23f :Además

• Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle. Así, sabemos que existe c ∈ (−3, 1) tal que f '(c) = 0. • Veamos dónde se cumple la tesis:f '(x) = 2x + 2 → f '(c) = 2x + 2 → c = −1 ∈ (−3, 1)

EJERCICIO 15 : Calcula m y n para que la función: (((( ))))

>>>>−−−−≤≤≤≤++++−−−−====

1xsi2nx

1xsimx2x3xf2

cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 2]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución: • Continuidad en [0, 2]: - Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.

- En x = 1:

( ) ( )( ) ( )

( )

+=

−=−=

+=+−=

++

−−

→→

→→

m11f

2n2nxlímxflím

m1mx2x3límxflím

1x1x

2

1x1x

⇒ Para que sea continua en, ha de ser 1 + m = n − 2

• Derivabilidad en (0, 2):

- Si x ≠ 1, la función es derivable, y su derivada es: ( )

><−

=1xsin

1xsi2x6x'f

- Para que sea derivable en x = 1, han de coincidir las derivadas laterales:( )( )

4n

n1'f

41'f=

=

=

+

• Por tanto, f (x) cumplirá las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 2] si:

=

=

=

−=+

4n

1m

4n

2nm1

Este caso quedaría: ( ) ( )

>≤−

=

>−≤+−=

1xsi4

1xsi2x6x'f

1xsi2x4

1xsi1x2x3xf2

Veamos dónde cumple la tesis:

( )2

5

2

16

02

)0(f)2(fc'f =−=

−−= ⇒ ( ) ( ) ( )1 si2,0

43

25

26' >∈=→=−= ccccf

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EJERCICIO 16 : Comprueba que la función: (((( ))))

>>>>++++−−−−≤≤≤≤++++−−−−====

2xsi5x4

2xsi1xxf2

satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 3]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución: • Continuidad en [0, 3]: - Si x ≠ 2, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.

- En x = 2:

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) .2xen continua es xf

2fxflím

32f

35x4límxflím

31xlímxflím

2x

2x2x

2

2x2x

=

=

−=

−=+−=

−=+−=

→→→

→→

++

−−

Por tanto, f (x) es continua en [0, 3]. • Derivabilidad en (0, 3):

- Si x ≠ 2, la función es derivable, y su derivada es: ( )

>−<−

=2xsi4

2xsix2x'f

- En x = 2, como f '(2−) = f '(2+) = −4, también es derivable; y f '(2) = −4. Por tanto, f (x) es derivable en (0, 3). • Se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 3]; por tanto, existe c ∈ (0, 3) tal

que: ( )3

8

03

17

03

)0(f)3(fc'f

−=−−−=

−−=

Veamos dónde se cumple la tesis: ( )3,03

4c

3

4x

3

8x2 ∈=→=→−=−

EJERCICIO 17 : Calcula los valores de a, b y c para que la función: (((( ))))

≤≤≤≤≤≤≤≤++++<<<<≤≤≤≤−−−−++++====

2x1sicbx

1x2siaxxxf2

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−2, 2]. ¿Qué asegura el teorema en este caso? Solución: • Continuidad en [−2, 2]: - Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.

- En x = 1:

( ) ( )( ) ( )

( )

+=

+=+=

+=+=

++

−−

→→

→→

cb1f

cbcbxlímxflím

a1axxlímxflím

1x1x

2

1x1x

⇒ Para que sea continua en x = 1, ha de ser 1 + a = b + c.

• Derivabilidad en (−2, 2):

- Si x ≠ 1, la función es derivable, y su derivada es: ( )

<<<<−+

=2x1sib

1x2siax2x'f

- En x = 1, han de ser iguales las derivadas laterales:( )( )

ba2

b1'f

a21'f=+

=

+=

+

• Además, debe ser f (−2) = f (2); es decir:4 − 2a = 2b + c

• Uniendo las condiciones anteriores, tenemos que:

1c4

9b

4

1a

cb2a24

ba2

cba1

−=

=

=

+=−

=+

+=+

• En este caso, el teorema de Rolle asegura que existe c ∈ (−2, 2) tal que f '(c) = 0.

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EJERCICIO 18 : Comprueba que la función f (x) ==== 3x2 −−−− 6x ++++ 7 cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [−−−−1, 2]. ¿Dónde cumple la tesis? Solución:

• La función f (x) = 3x2 − 6x + 7 es continua y derivable en R; por tanto, será continua en [−1, 2] y derivable en (−2, 1). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio.

• Entonces, existe c ∈ (−1, 2) tal que: ( ) 33

9

12

167

)1(2

)1(f)2(fc'f −=−=

+−=

−−−=

Veamos cuál es el valor de c en el que se cumple la tesis:f '(x) = 6x − 6 → f '(c) = 6c − 6 = −3 → 6c = 3 ⇒

( )2,12

1cen cumple se tesisLa .

2

1

6

3c −∈===

EJERCICIO 19 : La función f: [-1,1] →→→→ R definida por f(x) = 3 2x toma el valor en los extremos del intervalo, f(-1) = 1; f(1) = 1. Encontrar su der ivada y comprobar que no se anula nunca. ¿Contradice esto el teorema de

Rolle? Solución: 1) ¿ f continua en [-1,1]?: Cierto porque f es continua en todo R

2) ¿f derivable en (-1,1)? : 3

2 1f (x) .

3 x′ = ⇒ Falsa porque f no se derivable en x = 0 ⇒ No es cierta

Esto no contradice el teorema de Rolle porque la segunda hipótesis no se verifica. EJERCICIO 20 : Calcula b para que la función f(x) = x3 – 4x + 3 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,b]. ¿Dónde se cumple la tesis? Solución:

1) ¿f continua en [0,b]?: Cierto porque f es continua en todo R.

2) ¿f derivable en (0,b)?: f ´(x) = 3x2 – 4 cierto porque f es derivable en todo R

3) ¿f(0) = f(b)?:

f(0) = 3; f(b) = b3 – 4b +3 = 3 ⇒ b3 –4b = 0 ⇒ b(b2 – 4) =0

Cuyas soluciones son b = 0; b = 2; b = -2 : La única solución válida es b = 2.

¿Dónde se cumple la tesis?: f´(x) = 3x2 – 4; f´(c ) = 3c2 – 4 = 0 ⇒ 2c3

=

EJERCICIO 21 : Comprueba que la función f(x) = 2

2x 2 si -1/2 x<1

5-(x-2) si 1 x 4

+ ≤

≤ ≤ cumple las hipótesis del Teorema de

Rolle. Si las cumple, aver iguar dónde cumple la tesis

Solución: 1) ¿f continua en [-1/2,4]? f continua en [-1/2,4] – { 1} por composición de funciones continuas En x = 1

f(1) = 5 - (1 – 2)2 = 4 Por tanto f continua en x = 1. Por tanto f continua en [-1/2,4] y se cumple la primera hipótesis

x 1 x 1

2x 1

x 1 x 1

lím f (x) lím(2x 2) 4limf (x)

lím f (x) lím 5 (x 2) 4

− −

+ +

→ →

→ →

= + ==

= − − =

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2) ¿f derivable en (-1/2,4)? 12 si x 12f (x)

2x 4 si 1 x 4

− ≤ <′ = − + ≤ ≤

f derivable en (-1/2,4) – { 1} por composición de funciones derivables. En x = 1:

f (1 ) 2−′ =

f (1 ) 2.1 4 2+′ = − + =

Las derivadas laterales son iguales, luego es derivable en x = 1 Por tanto es derivable en (-1/2,4) y se cumple la 2ª hipótesis. 3) ¿f (-1/2) = f(4)?

11f ( ) 2( ) 2 12 2− = − + =

2f (4) 4 4.4 1 1= − + + =

Como toma el mismo valor en los extremos del intervalo, se cumple la 3ª hipótesis. Por tanto cumple las hipótesis del Teorema de Rolle. Veamos dónde se verifica la tesis: c ∈ (-1/2,4) tal que f ´(c) = 0

12 si c 12f (c)2c 4 si 1 c 4

− ≤ <′ = − + ≤ ≤

Haciendo 0)( =′ cf , resulta:

0 = 2 que es absurdo.

0 = –2c + 4, es decir, c = 2, porque pertenece a (-1/2,4)

La tesis se verifica en c = 2

EJERCICIO 22 : Siendo f(x) = (x – 2)2(x + 1), hallar un número c, en el intervalo (0,4) de modo que se ver ifique

el teorema del valor medio.

Solución: Como es una función polinómica, es continua y derivable en todo R, luego podemos aplicar el teorema:

f (b) f (a)f (c)

b a

− ′=−

⇒ f (4) f (0)

f (c)4 0

− ′=−

f(4) = (4 – 2 )2(4 + 1) = 20

f(0) = (0 – 2 )2(0 + 1) = 4

f´(x) = 2(x – 2 )(x + 1 ) + 1. (x – 2 )2 = (x – 2 )[2(x + 1 ) + (x – 2 )] = (x – 2 )3x ⇒ f´(c) = (c – 2)3c

cc 3)2(04

420 −=−−

⇒ 3c2 – 6c = 4 ⇒ 3c2 – 6c – 4 = 0

2116 36 48 6 84 6 2 21 3c6 6 6 211 3

+± + ± ± = = = = −

La solución válida es la 1ª porque tiene que estar entre 0 y 4

EJERCICIO 23 : Prueba que la función

− <= ≥

23 x si x 1

2f (x)1

si x 1x

satisface las hipótesis del teorema del valor

medio en el intervalo [0,2] y calcula el o los valores vaticinados por el teorema. Solución: 1) ¿f continua en [0,2]?

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f continua en [0,2] – { 1} En x = 1

2 2

x 1x 1

x 1

x 1x 1

3 x 3 1lim f (x) lim 1

2 2limf (x)1 1

lim f (x) lim 1x 1

f (1) 1/1 1

+

→→

→→

− −= = == = = =

= =

⇒ Por tanto f continua en x = 1

f continua en [0,2] y se cumple la primera hipótesis

2) ¿f derivable en (0,2)?2

-x si x 1f (x) 1

si x 1x

<′ = − ≥

f derivable en (0,2) – { 1} por composición de funciones derivables. En x = 1

f´(1-) = -1 f´(1+)= -1 f derivable en x = 1 Por tanto derivable en (0,2) y se cumplen la segunda hipótesis Satisface las dos hipótesis del teorema del valor medio

Tesis: Existe un c ∈ (0,2) tal que : f (2) f (0)

f (c)2 0

− ′=−

f(2) = 1/2 ; f(0) = 3/2 , 2

c si c 1f (c) 1 si c 1

c

− <′ = − ≥

luego 2

31 c si c 12 2

1 si c 12 0 c

− <− = − ≥−

De la primera ecuación se obtiene: –1/2 = -c ⇒ c = ½ ∈ (0,2) ⇒ Una solución válida c = 1/2

Y de la segunda ecuación: -1/2 = - 1/c2 ⇒ c2 = 2 ⇒ c 2= ∈ (0,2) ⇒ Otra solución válida c 2=

EJERCICIO 24 : Aplica el teorema de Cauchy a las funciones f(x) = x2 – 2; g(x) = 3x2 + x – 1 en el intervalo [0,4]

Solución: Las funciones son continuas y derivables por tratarse de funciones polinómica, por tanto,

xxf 2)( =′ ; ccf 2)( =′

16)( +=′ xxg ; 16)( +=′ ccg

Valores de las funciones en los extremos de los intervalos: 2)0( −=f ; 14)4( =f

1)0( −=g ; 51)4( =g

Entonces, 16

2

)1(51

)2(14

+=

−−−−

c

c ⇒

16

2

52

16

+=

c

c ⇒

16

2

13

4

+=

c

c

es decir, 24c + 4 = 26c ⇒ 2c = 4⇒ c = 2 ∈ (0,4)

La tesis se verifica en c = 2