166

1. CLCUL DE LA LONGITUD DUN SEGMENT MITJANANT EL TEOREMA DE TALESCalcula la longitud del segment AC'.

PRIMER. Comprovem que es compleixen les condicions del teorema de Tales.

BB' i CC' sn parallels i tallen AC i AC'.

SEGON. Hi apliquem la proporcionalitat entre segments del teorema de Tales.

ABAB

ACAC AC

AC AC' ' '

' '= = = =

= 35

43 5 4

5 43

6 67, cm

FES-HO AIX

AB

5 cm3 cm

B'

4 cm

C

C'

2. DETERMINACI DE SI DOSTRIANGLES SN SEMBLANTS

Determina si aquests triangles snsemblants a un altre triangle amb A$ = 37, B$ = 53 i costats d1,5 cm, 2 cm i 2,5 cm:

a) b) c)

PRIMER. Mirem si els angles sn iguals.a) B$ B$'. Els triangles no sn semblants.b) A$ = A$' i B$ = B$'. Els triangles sn semblants

(segon criteri).

SEGON. Comprovem la proporcionalitat entre els seus costats.

c) . Els triangles sn

semblants (primer criteri).

3 42

52

1,5 2,5= = =

3. DETERMINACI DE SI DOS POLGONSSN SEMBLANTS

Determina si aquests polgons snsemblants:

PRIMER. Estudiem la igualtat dels angles dels polgons.

A$ = A$' B$ = B$' C$ = C$' D$ = D$'Els angles dels dos trapezis sn iguals.

SEGON. Comprovem la proporcionalitat entre els seus costats.

. Els costats no sn proporcionals.

Els polgons no sn semblants.

88

1014

A B

C

5080

A B

C

37 53A

AB

B

C

C D

4 cm

8 cm

3 cm

5 cm10 cm A' B'

C' D'8 cm

14 cm

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Pgina 166

Lessencial

PROPORCIONALITAT GEOMTRICA8NOM: CURS: DATA:

Clcul de la longitud dun segment mitjanant el teorema de Tales

1. La longitud de x s:a) 3 cm c) 4 cmb) 3,5 cm d) 1 cm

Determinaci de si dos triangles sn semblants

2. Si els triangles sn semblants, x fa:

a) 5 cm b) 5,3 cm c) 5,9 cm d) 6 cm

Determinaci de si dos polgons sn semblants

3. Dos quadrats de costats 7 cm i 5 cm, sn semblants?a) S b) No

4. Perqu un rectangle de 12 cm dalada siguisemblant a un altre de 8 cm dalada i 3 cmdamplada, la seva amplada ha de fer:a) 4 cm b) 4,5 cm c) 5 cm d) 5,5 cm

Determinaci de lescala a la qual estdibuixat un plnol

5. Si representem una distncia de 30 km com a 2,5 cm, lescala s:a) 1 : 1.200.000 b) 1 : 1.200 c) 1 : 12

Determinaci duna longitud en un mapa si en coneixem lescala

6. La distncia real entre dues ciutats que, en un mapa a escala 1 : 5.000.000, disten 7 cm s:a) 35.000 km b) 350 km c) 3.500 km

I ARA PRACTICA

167

4. CLCUL DE LA LONGITUD DUN COSTAT EN DOS POLGONS SEMBLANTSCalcula la longitud del costat desconegut, si saps que els dos polgons sn semblants.

PRIMER. Escollim dos costats que es corresponguin i de longitud coneguda.

SEGON. Formem una proporci amb aquests dos costats, el costat desconegut i el que hi correspon.

5. DETERMINACI DE LESCALA A LAQUAL EST DIBUIXAT UN PLNOL

A quina escala est dibuixat un plnol que representa una distncia de 30 m amb una longitud de 2,5 m?

PRIMER. Mesurem sobre el plnol la longitudque coneixem a la realitat.En aquest cas, la longitud s 2,5 cm.

SEGON. Expressem totes dues longituds en la mateixa unitat i ho dividim.

TERCER. Escrivim lescala com a 1 : a, en qu a s el nombre que resulta de la divisi.

Escala 1 : 1.200

30 m 3.000 cm2,5 cm

3.000=

=2 5

1 200,

.

6. DETERMINACI DUNA LONGITUD ENUN MAPA SI EN CONEIXEM LESCALA

Quina distncia real representa una longitudde 2,5 cm en un mapa que est dibuixat a una escala d1 : 1.200?

PRIMER. Mesurem sobre el plnol la longitudque volem calcular.

En aquest cas, la longitud s 2,5 cm.

SEGON. Com que lobjecte real i la sevarepresentaci sn figures semblants, hi apliquem la proporci.

Escala 1 : 1.200

AB = 1.200 2,5 = 3.000 cm = 30 m

La distncia que representa s 30 m.

11 200

2 5.

,=

AB

3050 10

30 1050

6= =

=x

x cm

30 cm

10 cm

50 cm

x

6 cm4 cm

2 cmx

8 cm2,5 cm 3,75 cm 4 cm 6 cm

x

830863 _ 0155-0174.qxd 26/12/07 12:03 Pgina 167

168

ActivitatsSEGMENTS PROPORCIONALS

36. Calcula la ra daquests segments:

a) AB = 6 cm CD = 8 cmb) AB = 64 cm CD = 1 mc) AB = 15 dm CD = 9 md) AB = 20 m CD = 4 m

37. Si la ra , calcula:

a) AB, si CD = 76 cmb) CD, si AB = 3 cm

38. Si la ra ; calcula:

a) AB, si CD = 9 dmb) CD, si AB = 13,6 cm

39. Sn proporcionals els segments AB, CD, EFi GH en les sries segents?

a) AB = 2 cm CD = 5 cm EF = 6 cm GH = 16 cmb) AB = 2 dm CD = 1 m EF = 5 cm GH = 25 cmc) AB = 6 cm CD = 8 cm EF = 4 m GH = 3 md) AB = 3 m CD = 4 m EF = 12 dm GH = 16 dm

AB

CD= 1,6

AB

CD= 1

4

41. Calcula la longitud que ha de tenir el quart segment proporcional als segments AB, CD i EF.

a) AB = 3 cm CD = 6 cm EF = 9 cm

b) AB = 2 m CD = 7 m EF = 8,2 m

c) AB = 3 dm CD = 5 dm EF = 21 dm

d) AB = 10 cm CD = 15 cm EF = 25 cm

42. La ra de dos segments s i la suma

de les seves longituds s de 8 cm. Troba la longitud de cada segment.

43. La ra de dos segments s 4 i la diferncia de les seves longituds s de 7 cm. Calcula la longitud de cada segment.

TEOREMA DE TALES

44. Calcula les longituds desconegudes:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

3

5

COM CALCULEM UN SEGMENT PROPORCIONAL A TRES SEGMENTS MS?

40. Donats tres segments: AB = 4 cm, CD = 3 cmi EF = 2 cm, calcula la longitud dun quartsegment, GH, que sigui hi proporcional.

El segment que volem trobar lanomenemsegment quart proporcional.

PRIMER. Hi apliquem la definici de segmentsproporcionals.

SEGON. Resolem lequaci.

TERCER. Comprovem la soluci.

ABCD

EFGH

= = = = 43

24 3 2 6 6

1,51,5

43

24 3 2

64

= = = =GH

GH GH 1,5 cm

ABCD

EFGH GH

= =43

2

FES-HO AIX

2 cm

3 cm

2,5 cm10 cm

5 cm8 cmx

x

2 cm

4 cm

3 cm x

4,8 cm

2 cm

3 cmx

4 cm

8 cm

6 cmx

7 cm

2 cm

3 cm 5 cmx

y

5,2 cm

0,8 cm

8 cm

4 cm

1 cm

x

yz

8,1 cm

5 cm

1,5 cm

6 cm

2 cm

xy z

F

F

F

F

F

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Pgina 168

169

45. Considera aquesta figura:

a) Si OA = 2 cm OB = 5 cm

OA' = 2,6 cm OC' = 11,7 cm

calcula: A'B', B'C', OB' i BC.

b) Si OA' = 4 cm OB = 9 cm

OB' = 12 cm OC' = 18 cm

calcula: OA, AB, A'B', B'C', OC i BC.

c) Si OA = 5 cm OC = 22,5 cm

OC' = 36 cm OB' = 24 cm

calcula: OA', OB, AB, BC, A'B' i B'C'.

46. A la figura segent, la ra .Calcula OA', AB i BC.

47. Determina les longituds desconegudes:

48. Divideix grficament un segment AB, amb AB = 10 cm, en:

a) 4 parts iguals. b) 6 parts iguals.

49. Divideix grficament un segment AB, amb AB = 18 cm, en parts proporcionals a tres segments daquestes mides:

a) 3 cm, 5 cm i 6 cm c) 3 cm, 4 cm i 5 cm b) 2 cm, 4 cm i 6 cm d) 2 cm, 6 cm i 9 cm

Calcula les longituds dels segments i compara el resultat amb la soluci grfica.

OB

OB'= 0 8,

50. Observa la figura segent, en la qual elsegment AB, de 12 cm de longitud, es divideix en parts proporcionals als segments a, b i c.Calcula AP, PQ i QB, amb aquestes dades:

a) a = 6 cm, b = 8 cm i c = 4 cmb) a = 5 cm, b = 10 cm i c = 3 cmc) a = 8 cm, b = 10 cm i c = 4 cmd) a = 2 cm, b = 5 cm i c = 1 cm

51. Divideix un segment de 14 cm en tres parts,cadascuna el triple de lanterior.

52. Divideix un segment de 20 cm en tres parts,cadascuna la meitat de lanterior.

SEMBLANA DE TRIANGLES

53. Calcula la longitud dels costats desconegutsen els parells de triangles semblants segents:

a)

b)

c)

d)

AO B C

C

A'

B'

C'

PA Q B

a

b

c

12 cm

2,8 cm

3 cmz

y

8 cm

5 cmx

2 cm4 cm

t

4,5 cm

2,3 cmOA B

A'

B'

C'

F

3 cm 5 cm

12 cm

4 cm

8 cm

7 cm

10 cm 6 cm

6 cm5 cm3 cm

4 cm

5 cm 5 cm

3,2 cm 2 cm

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Pgina 169

170

54. Dos triangles, ABC i A'B'C', sn semblants.

Els costats de ABC sn:

AB = 4 cm BC = 5 cm CA = 6 cm

Calcula els costats de A'B'C' i la rade semblana, si A'B' = 7,2 cm.

55. La ra de semblana de dos triangles, ABC

i A'B'C', s .

Calcula els costats desconeguts dels dos triangles, si saps que:

a) AB = 5 cm, BC = 8 cm i CA = 10 cm

b) A'B' = 20 cm, B'C' = 24 cm i C'A' = 26 cm

c) AB = 4 cm, BC = 5 cm i C'A' = 16 cm

r = 14

57. Identifica en les figures segents tots elstriangles que estiguin en posici de Tales:

a) c)

b) d)

58. Els costats dun triangle ABC fan AB = 12 mm, BC = 15 mm i CA = 21 mm,

i els del triangle A'B'C' fan A'B' = 35 mm, B'C' = 25 mm i C'A' = 20 mm. Sn semblants els dos triangles?

59. Determina si aquests parells de triangles sn semblants i explica quin criteri apliques en cada cas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

COM RECONEIXEM ELS TRIANGLES EN POSICI DE TALES?

56. Indica quins triangles de la figura segentestan en posici de Tales:

PRIMER. Identifiquem tots els triangles possibles.

ABC ABE ABG ADE AEG

EBF GBC DBE DBF

SEGON. Prenem els que tenen un angle com.

ABC i DBF tenen langle B$ en com.

ABE, ABG i DBE tenen langle B$ en com.

EBF i GBC tenen langle B$ en com.

TERCER. De cada grup de triangles amb un angleen com, considerem els que tenen parallels els costats oposats a aquest angle.

ABC i DBF tenen AC i DF parallels.

ABG i DBE tenen AG i DE parallels.

EBF i GBC tenen EF i GC parallels.

Per tant, aquests parells de triangles estan en posici de Tales.

FES-HO AIX

B

D

A G C

FE

B

D

A

G

C

FE

B

E

A

H

C D

G

F

B

EA

C

D

G

I

H

JF

B

FL

A

G

C D

H

I J K E

54

80

5

6

80

11

9,165

9

765

5 7

7

12,8

11,2

8

3

513

10

50

40

5050

70 60

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Pgina 170

171

60. Els costats dun triangle ABC fan AB = 4 cm, BC = 5 cm i CA = 6 cm. Troba la longitud dels costats dun triangle

semblant A'B'C', si saps que:

a) La ra de semblana s r = 2,5.

b) El permetre de A'B'C' s de 30 cm.

POLGONS SEMBLANTS

61. Dibuixa dos quadrats semblants que tinguinles raons de semblana segents:

a) r = 2 b) c) r = 2,5 d)

62. Dibuixa triangles semblants que tinguin aquestesraons de semblana respecte del que est dibuixat:

a) c) r = 3

b) d)

63. Dibuixa figures semblants a les segents quetinguin com a ra de semblana r = 2 i r = 0,5:

a) b)

64. Dos triangles ABC i A'B'C' sn semblants

i la seva ra de semblana s . Les mides

dels costats del triangle ABC sn AB = 8 cm, BC = 10 cm i AC = 14 cm. Troba les longitudsdels costats de laltre triangle.

65. Dos triangles ABC i A'B'C' sn semblants i la seva ra de semblana s 3. Les mides

dels costats del triangle ABC sn AB = 6 cm, BC = 7 cm i AC = 3,5 cm. Troba les longitudsdels costats de laltre triangle.

66. Raona si les afirmacions segents sn certes:

a) Tots els quadrats sn semblants.b) Tots els rectangles sn semblants.c) Tots els pentgons sn semblants.d) Tots els pentgons regulars sn

semblants.e) Tots els triangles rectangles sn

semblants.

1

4

r =54

r =14

r =12

r =13

r =12

67. Troba el permetre dun rectangle que s semblant a un altre rectangle de costats 8 cm i 5 cm, amb aquestes raons de semblana:

a) r = 2 b) r = 0,5 c) d)

Quina relaci hi ha entre els permetres del rectangle original i els dels trianglessemblants?

69. Troba el permetre i lrea daquests polgonssemblants:

a) Un triangle semblant a un triangle rectangle de costats 3 cm, 4 cm i 5 cm, i ra 3.

b) Un quadrat semblant a un quadrat de costat 3 cm i ra 4.

c) Un rectangle semblant a un rectangle de costats 4 cm i 6 cm, i ra 2.

r =52

r =34

6 cm 8 cm

12 cm

QUINA RELACI HI HA ENTRE EL PERMETRE I LREA DE DUES FIGURES SEMBLANTS?

68. Calcula el permetre i lrea daquests dostrapezis semblants:

Si dos polgons sn semblants, es compleix que: Els permetres sn proporcionals amb ra r. Les rees sn proporcionals amb ra r2.

PRIMER. Calculem la ra de semblana del primer polgon respecte del segon.

Ra de semblana

SEGON. Obtenim el permetre i lrea del segon polgon.

P = 3 + 4 + 2 + 3,6 = 12,6 cm

TERCER. Multipliquem aquests resultats per la ra i pel quadrat de la ra, i obtenim el permetre i lrea del primer polgon,respectivament.

P = 12,6 r = 12,6 2 = 25,2 cmA = 9 r2 = 9 22 = 36 cm2

AB b h

=+

=+

=( ) ( )

24 2 3

29 2cm

63

84

42

2= = =

FES-HO AIX

4 cm

6 cm

8 cm

3 cm 3,6 cm

2 cm

4 cm

830863 _ 0155-0174.qxd 26/12/07 12:04 Pgina 171

ESCALES

70. Expressa mitjanant una escala numrica:

a) 25 cm dun plnol representen 25 km reals.b) 0,8 dm dun plnol representen 160 km reals.

71. Expressa mitjanant una escala numrica i una escala grfica:

a) 1 cm al plnol equival a 2 km a la realitat.b) 1 cm al plnol equival a 50 km a la realitat.

72. Calcula lalada real dels objectes:

73. Troba la distncia real entre dos poblesseparats 4 cm en un mapa amb aquesta escala:

74. La distncia real entre dues ciutats s de 450 km. Troba la distncia que les separa en un mapa dibuixat a escala 1: 1.500.000.

75. La carretera que uneix dos pobles estrepresentada en un mapa a escala 1: 500.000 i fa 6 cm de longitud. Quina seria la longitud de la carretera si la representem en un mapa a escala 1: 60.000?

76. El plnol duna casa est dibuixat a escala 1: 60.

a) Quines dimensions reals t la cuina si al plnolfa 4 cm damplada i 7 cm de llargada?

b) El passads fa 7,5 m a la realitat. Quant fa de llargada al plnol?

172

PROBLEMES DE SEMBLANA

77. Un arbre fa 5 m dalada i, a una determinadahora del dia, projecta una ombra de 6 m. Quina alada tindr ledifici de la figura si a la mateixa hora projecta una ombra de 10 m?

78. Si un pal fa 1 m, i lombra que projecta a una determinada hora del dia s d1,5 m, quant fa un edifici que projecta una ombra de 6 m a la mateixa hora?

79. Un jugador de bsquet d1,9 m llana una pilota a la cistella, que est situada a 6,25 m.Calcula lalada a qu est la pilota quan va per la meitat del recorregut.

80. Lombra que projecta un pare que fa 1,8 m dalada, a les 3 de la tarda, s de 2,1 m.Quina alada t el fill si lombra que projecta s d1,5 m?

81. Lombra que projecta la Jlia, que fa 1,34 m, a la 1 de la tarda s d1,2 m. Quant fa la seva mare si en el mateix moment projecta una ombra d1,4 m?

82. Al costat dun semfor, lombra den Joan fa1,5 m i lombra del semfor s 60 cm ms llargaque la den Joan. Quina s la longitud delsemfor si en Joan fa 1,75 m dalada?

Objecte Escala

1 : 20

1 : 10

quilmetres

0 40 80 120

1 : 25

10 m

6 m

5 m

1 m

1,5 mG F

6 m

6,25 m

1,9

mx3,05 m

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Pgina 172

173

84. LAnna est situada a 5 m de la riba dun riui veu reflectida una muntanya a laigua. Si lAnnafa 1,70 m i el riu est a 3 km de la muntanya, quinaalada t la muntanya?

85. Mesurem lombra dun edifici en dosmoments del dia.

Calcula lalada de ledifici.

86. LEnric est a 2 m dun penya-segat i veu alineat un poble amb el caire del penya-segat. A quina distncia est el poble del penya-segat?

INVESTIGA

87. Raona les qestions segents:

a) Dos polgons amb tots els seus angles iguals,sn semblants? En quina mena de polgons s verdadera aquesta afirmaci?

b) Dos polgons amb tots els seus costatsproporcionals, sn semblants? En quina menade polgons s verdadera aquesta afirmaci?

88. Troba lrea de la zona acolorida, si saps que:

El quadrat fa 2 cm de costat.

El punt E s el punt mitj del costat DC.

Langle F$ s recte.

89. El triangle ABC s issceles, drea 8 cm2. Si D i E sn els punts mitjans dels costats iguals, calcula lrea del trapezi ABDE.

90. El primer mesurament raonable de lextenside la Terra s degut a Eratstenes, que vivia a la ciutat de Siena (ara sanomena Assuan).

Suposava que la Terra era esfrica i que els raigs solars queien parallels al planeta. Hi havia un dia a lany que els raigssolars queienperpendiculars sobre la seva ciutat, per aix no passava a Alexandria, ciutat que es trobava a 5.000 estadis, i aix significava que la Terra no era plana.Llavors va fer un mesurament el mateix diadaquest angle , i era proximadament de 7 12.Si la mida dun estadi era duns 150 metres,esbrina, mitjanant una regla de tres, quina era la mida dun meridi terrestre segonsEratstenes.

91. Demostra que laltura sobre la hipotenusadun triangle rectangle en genera dos ms de semblants.

COM CALCULEM LALADA MITJANANT EL REFLEX EN UN MIRALL?

83. Per determinar lalada dun objecteinaccessible, colloquem un mirall al terra i ens allunyem la distncia necessria per observar el punt ms alt de lobjecte.Quina alada t ledifici?

PRIMER. Comprovem que els triangles ABC

i AB'C' sn semblants. En aquest cas, snsemblants perqu sn triangles rectanglesi perqu els angles de refracci sn iguals.

SEGON. Apliquem la proporcionalitat entre els seus costats.

Lalada de ledifici s de 7 m.

B CBC

ACAC

B CB C

' ' ' ' '' '= = = =

1,751,75 m

82

4 7

FES-HO AIX

ED

BA

C

ED

BA

C

6,67 m

20 m

60 30

8 m 2 m

F

DB

A

C

1,75 mC'

B'

C

B

A

1,6 m

2 m

450

m

x

Alexandria

Siena

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Pgina 173

A la vida quotidiana92. En Ramon sen va a viure a un pis nou.

Segons el plnol, aquesta ser la seva habitaci:

El plnol est dibuixat a escala i lnic que en Ramon sap de la seva nova habitaci s que a la realitat fa 4,56 m de llargada.

En aquesta habitaci haur de distribuir elsmobles que t. Per fer-se una idea de com els collocar, nha pres les mides.

Desprs, els dibuixar a escala i els retallar.Aquests retalls els collocar sobre el plnol de lhabitaci, i far proves per decidir quina serla ubicaci dels mobles.

Copia el plnol a la teva llibreta i determina com es poden distribuir els mobles.

Podr muntar a la nova habitaci la maquetacompleta del seu tren elctric, que fa 2,51,5 m?

93. Aquesta s la pea que sha de fabricar per a lenganxall de vagons de tren.

Per programar la mquina que la fabricar calconstruir la mateixa pea a una escala ms petita.Quan es colloqui aquesta pea sobre un escneri shi indiqui lescala, la mquina fabricar totesles peces que sencarreguin.

Si disposem duna barreta de 6,5 cm de llargada i volem fer la pea tan gran com puguem, quinaescala farem servir?

94. A la cantonada de la casa den Ricard hanposat un fanal molt alt. En Ricard pensa quelaltura del fanal incompleix la normativa sobrecontaminaci lumnica i vol esbrinar quina aladat exactament.Al principi va pensar fer-ho mesurant-ne lombra,per com que el fanal est envoltat de plantes noel pot mesurar amb exactitud. Aix doncs, hadecidit utilitzar les mides de dos senyals

de trnsit que hi ha al costat dels fanals.Per fer-ho, ha pres les mides

de les ombres dels dos senyals,que estan alineats amb

el fanal, lalada i la separaci entre tots

dos. Quina s lalada del fanal?

174

2 cm

5 cm13 c

m 6,25 cm

G F

G

F

G

F

G

F

G

F

G

F

1,5 m

0,9

m

90 cm

1,5

m

1,5

m

120 cm

110 cm

0,6 m

0,3 m 0,8 m

2 m

G F

830863 _ 0155-0174.qxd 17/12/07 09:56 Pgina 174

830863016683086301678308630168830863016983086301708308630171830863017283086301738308630174