1. Vectores= 5 3 =5,832 2 p cmMdulo: 5 ,8 3P(5,3)p=5,3 Recta3cmdireccin Sentido:5cm de O a P 2. Que un vector?Un vector fixo un segmento orientado Segmento: porcin de recta comprendidaque une dous puntos do espazo ou doentre dous puntosplanoOrientado: porque se d un sentido preferente de percorrido do vectorDenotaremos ABB(5,3)Ao vector que une ospuntos A e B no plano ABA(-2,1) Aos vectores dos que se coece o seu punto de inicio (orixe) e o seu punto final (extremo) chmaselles vectoresQ (1,-2) fixosCando escribimos dicimos: AB Vector que une A con B no sentido de A (orixe) a B (extremo) 3. Propiedades que os definenOs vectores teen tres propiedades bsicasMdulo:que os diferencian entre si:A lonxitude do segmento que une aorixe e o extremo do vectorDireccin:A da recta que une ambos puntos, quepode especificarse mediante o ngulocunha direccin determinada.= 5 3 =5,83 2 2 p" Sentido: Mdulo:2.3 P(5,3) Que se define cando escribimos AB : estamos dicindo : A = Orixe, p =5,3 Recta B = Extremo1.18" direccin O(0,0)Sentido: de O a P1.97" 4. Caracterizacin das propiedadesCoordenadas dun punto Coordenadas dun vector fixoDefnense como os desprazamentosDefnense como os desprazamentoshorizontal e vertical desde un punto fixo O horizontal e vertical desde a orixe ata oque tomamos como referencia ao punto en extremocuestin.AB=x AB , y AB xA AB=B A= x B , y B x A , y A = x B x A , y B y A A(xA, yA)yAyA B(5,3) xA AB y AB= y B y AO yAB A(1,1)yB yA xA xAB xBx AB=x B x AAB=5,31,1=51,31=4,2 5. Coordenadas e propiedadesMdulo: Direccin:A lonxitude do segmento que une a A da recta que une ambos puntos, queorixe e o extremo do vector pode especificarse mediante o ngulocunha direccin determinada.: d u loM D i r eB(5,3)AB c AB yAB cyAB A(1,1) iA(1,1) yA xA xAB n xABxBRepresntase e calclase:O ngulo que forma o vector co eixe das x 2 y 2AB= AB abscisas calclase:yABAB =tan1 x ABSentido: dse cando escribimos AB ; estamos dicindo :A = Orixe, B = Extremo, imos de A a B, como indica a frecha 6. Vectores de posicinChmase vector de posicin dun punto PNa figura vense mais exemplosao vector que une ese punto coa orixe dascoordenadas. G(-2,6) = =2,6OG g P(5,3) OP= p =5,3 OP= p yP=3 xP=5T(-1,-3)Q (1,-2) = =1,3OT t =1,2OQ= q =P O= x p 0, y P 0= x P , y P =5,3OP= p E evidentemente os vectores de costume abreviar a notacin OP polaposicin teen as tres propiedades dosletra minscula, p, para simplificar a vectores: mdulo, direccin e sentido, enotacin neste caso especialmente facil atribuirlles sentido aos nmeros das coordendas: 7. = 5 3 =5,83 2 2 p EXEMPLO 1 " Mdulo: 2.3 P(5,3) =tan 135=59,03 p=5,3 Recta 1.18"direccinSentido:de O a P 1.97" G(-2,6)Mdulo:EXEMPLO 2g= 22 62 =6,32 OG= g Recta direccin =tan 1 62 =108,4Sentido:de O a G 8. Vectores libres Dado un vector fixo que une dous puntos, existen infinidade de pares unidos por vectores coa mesma direccin, o mesmo mdulo e o mesmo sentido.P(5,3) Vectores equipolentes Chmase vectores equipolentes aos vectores que O(0,0)teen o mesmo mdulo, a mesma direccin e o mesmo sentido B(-2,6)Como pode aprezarse na figura, os vectoresequipolentes teen as mesmas coordenadas. A(5,3)Ao par de nmeros (vx,vy) que representa opar de coordenadas comn a todos osvectores equipolentes chmaselle vectorO(0,0)libre. D (3,-1) 9. Operacins con vectoresSUMAProcedementos grficosc) Regra do paralelogramoO vector suma de dous vectores aO vector suma o resultante de trasladar a diagonal do paralelogramo que definenorixe dun deles ao extremo do outro e unir aambos vectores.orixe e o extremo libres a a a b b b a b b a) a b b a Vese Para efectuar acraramente que b)busuma:a suma unhau v 1.- trasladamosoperacinambos a unha orixeconmutativa: a ba comn 2.- debuxamos o vector paralelo con b v orixe no extremo do a b=baoutro 3.-trazamos a diagonal desde a orixe comn 10. Procedemento analticoPara sumar vectores dados polas sascoordenadas, o vector suma ser o 3.15"resultante de sumar as coordenadas 1.97" 1.18"correspondentes de cada vector: A(5,3)u v =u x ,u y v x , v y =u x v x , u y v y d 1cm d a 1.18"a 0.79" a dO(0,0) a d a d =5,33,1=53,31=8,2 d D (3,-1) a d =5,33,1=53,31=8,2 A(5,3)Como se pode Regra doaprezar nasparalelogramofiguras, osa 0.79"resultados dosprocedementosa a d O(0,0)a dgrfico e 1cmD (3,-1)analtico son didnticos1.18" d 1.97" 3.15" 11. DIFERENZAProcedementos grficosc) Regra do paralelogramo O vector suma de dous vectores aO vector diferenza o resultante de invertir odiagonal do paralelogramo que une ossubstraendo e efectuar a suma: extremos de ambos vectores a a b a bO vector diferenza a b bobtense de unir o b extremo doa) sustraendo coextremo do a bb minuendo bVesecraramente queb) O vector diferenzaa resta non b au obtense de unir ounha operacin extremo doconmutativa: sustraendo co u v a extremo dobminuendo a bba v a a b b a 12. K-produto. Produto por un escalarO produto dun vector por un escalar udefnese como o resultado de multiplicar 3u ucada unha das sas coordenadas por ese 2nmero u 2 6 k , , 2 , k =k v x , v y =k v x , k v y u v v 2Propiedade 1444O produto escalar distributivo respecto 12da suma: k , , 2, k =k k u v u v uv u 3u3u k =k u x , u y = k u x , k u y uu3 4,2=3 4, 3 2=12,6 uPropiedade 2 3(u+v) Con respecto ao produto escalar que sedefine a seguir cumprir: 3u+3v(u+v) k , , 2, k = k =k u v u v uv u v v v3vv 13. Vector unitarioChmase vector unitario dun vector v a un EXEMPLO:Calcula ovector coa mesma direccin e sentidounitario dopero mdulo unidade.vector0.39" v=(4,3)35 uO vector vunitariovcalclase dividindo o 2.76" vector polo seu mdulo. 4 =4 , 3v =v x , v y v= v 2 v 2 = 42 32 =10 vxy 1 u = v x , v y v 11 vu = v x , v y = 4 ,3vv 10 vx v yu = , vvx v y 4 3 v v u = , = , vv v 10 10Circo de raio 1 14. A base cannicaDefnese a base cannica do plano como oOs vectores da basecannica:par de vectores: =1,0 i- son unitarios (teen mdulo j=0,1 a unidade)- son ortogonais ( sonCalquera vector pode expresarse comoperpendicluares entre si:combinacin destes vectores: dirase que jforman un ngulo de 90)se expresa en funcin da base cannica, iou como combinacin da base cannica,ou simplemente, na base cannica =u x , u y =u x u y u ij = x p x q , y p y q =v x , v y =v x v y QP= vij Exemplo: =3 ,5=3 5 u ijP(5,3)5 3 ij QP= v 1.18j O(0,0)vyji1.97 i Q (1,-2)vx 15. Produto escalar de dous vectoresO produto escalar de dous vectores unha v Sentido danova operacin que se define como o resultadomedida dode efectuar as operacins: ngulo entre u ev = cos u v u vuSendo o ngulo definido por ambos e medidode u a v. v v-u= vu A relacin entre ou ngulo formado polos uy 1 vectores e as u =tanux coordendas destes a seguinte: 1 v y v =tanvx = v u u v u v = cos 16. Produto escalar e coordenadasPropiedades do produto escalar k , , 2, k = k =k u v u v uv u vO produto escalar pdese expresar en funcindas coordendas dos vectores como:Exemplo: u v =u x v x u y v y [5(2,3)](1,-3)=(10,15)(1,3)=10-45= -35Esta expresin e a anterior son equivalentes:(2,3)[5(1,-3)]=(2,3)(5,-15)=10-45= -35 u =ucos v v 5[(2,3)(1,-3)]=5[2-9]= -35 =u x v xu y v y u v O produto escalar distributivo respecto 5,31,6=518=23 da suma v , , w 2 w = wu v u v u v u v-u=v Exemplo: [(5,2)+(2,3)](1,-3)=(7,5)(1,-3)= -8 u (5,2)(1,-3)+ (2,3)(1,-3)=5-6+2-9= -8Se dous vectores son perpendiculares ou seu produto escalar nulo e viceversa.u v u v =0p(5,3) 90 13 u =tan =30,96 g=(-3,5) 5 = v u =80,53 30,96 =49,57 1 6 v =tan =80,53 1 Q (1,-2) = 32 52 12 62 cos 49,57 u vu v = 34 37 cos 49,57 =23,14 g p =3,55,3=1515=0