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TEMA 7.- LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.


7.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

2° BACH(CN)

A) Límites laterales.

Hay que diferenciar entre el valor de una función en un punto fea) = b y el valor que

toma la función cuando nos acercamos infinitamente a ese punto lim f(x) = b . En ocasionesx~a

la función no existe en un punto concreto, o cambia de valor justo en ese punto; en estos

casos es interesa Ate calcular el límite cuando x tiende a ese punto y ver como se comporta la

función. Para ello será necesario distinguir si nos acercamos al punto por la derecha o por la

izquierda.

El límite lateral por la izquierda de una función en el punto a se escribe:

lim f(x)x~a

y el límite lateral por la derecha de una función en el punto a se escribe:

lim f(x)x~a+

Observación: En la práctica se sustituye el valor de a en la función y si sale un número

real, ése es el resultado.

B) Límite de una función en un Dunto.

Cuando los límites laterales existen y no valen 00 y además son iguales, entonces se

dice que existe el límite de la función en el Dunto y vale el valor de los límites laterales:

lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) =Lx~a- x~a+ x~a

De manera formal, la definición de límite en un punto es la siguiente:

limf(x) = L ~ V& > 0,::30 > O tal que si O < lx-al < o=> If(x)-LI < &x~a

Podemos también escribir los límites laterales de manera formal:

li~f(x) = L ~ V& > 0,::30 > O tal que si a-o < x < a=> If(x)-LI < &x~a

lim f(x) =L ~ V& > 0,::30 > O tal que si a < x< a+o => If(x)-LI <&x~a+

1/14DAVID RIVIER SANZ

TEMA 7.- LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. 2° BACH(CN)

ProDiedades:

1) La condición necesaria y suficiente para que una función f tenga límite en un punto

a es que tenga límite lateral por la derecha, tenga límite lateral por la izquierda y ambos

sean iguales.

2) Si una función tiene límite en un punto, éste es único.

3) Una funcion que tiene límite en un punto está acotada en un entorno de ese punto.

4) Cuando el límite en un punto es infinito o menos infinito, (lim f(x) = ±oo)x~a

gráficamente estamos hablando de una asíntota vertical en el puntox = a.

5) Sean f y g dos funciones tales que limf(x) = 1 Y limg(x) = M entonces sex~a x~a

cumplen las siguientes propiedades:

a. lim[f + gKx) = 1+Mx~a

b. lim[t. fKx) = t·l, \lt E iRx~a

c. lim [¡.g Xx) = 1 .Mx~a

d. lim[f](x)=~, siemprequeMt:-Ox~a g M

e. lim ~ f(x) = Ji, siempre que 1 > Ox~a

f. lim[f(x)]g(x) = ML, cuando 1 > Ox~a

o

o

Ejemplo: Calcular el límite de la función f(x) = {x,2,

Ejemplo: Calcular lim f(x), siendo f(x) = _5_.x~2 x-2

si

si

x ~ 1, cuandox ~ 1.

x> 1

a) f(x)=.Jx-6 cuando x~6

.:. Ejercicio: Estudiar los límites de las siguientes funciones en los puntos que se

indican en cada caso, calculando previamente los límites laterales.

2+Eb) f(x) = ~ cuandox ~ 1-vx-1



{X -1 si X < 1

c) f(x) = x2 si -1 < X ~ 1- X si x> 1

3X -1

d) f(x) = -- cuando X ~ 1X -1

cuando X ~ -1 Y cuando X ~ 1

1e) f(x) = - cuando X ~ O

x

2° BACH(CN)

7.2. LÍMITES EN EL INFINITO

A) Límites finitos.

También podemos calcular qué pasa cuando x ~ +00 o X ~ -00, si el resultado es un

número real entonces tendremos una asíntota horizontal.

De manera formal se define así:

lim f(x) = L <=> 'íIE: > O, ::Jk E iR tal que 'ílx > k setienequelf(x) - LI < E:X-»+CO

Observación: Se define igual para lim f(x) = L .x-»-c()

o Ejemplo: Estudia si2

f(x) = -- tiene alguna asíntota horizontal:x-1

lim f(x) = lim _2_ = O. Para calcular este valor habría que ir calculando valores de laX~CO X~CO x -1

función para números muy grandes y deducir el valor al que tiende la función. En la

práctica se dice que cualquier número dividido por 00 es cero.

B) Límites infinitos.

En los casos en que los límites en el infinito sean infinitos no habrá asíntota horizontal.

En estos casos sabemos que la función "viene del infinito" o "se va hacia infinito". Sin

embargo puede "venir" o "irse" acercándose a una recta, en ese caso estaremos hablando de

una asíntota oblicua.

Para calcular una asíntota oblicua se busca una recta y = mx + n a la que la función se

aproxime. Para ello se procede como sigue:

1er Paso: Calcular lim f(x) = ±oox~±co

20 Paso: m = lim f(x)x~±co x

si m existe y es un número real (no es infinito):

3er Paso: n = lim [f(x)-mx] si n existe y es un número real, entonces ya tendremos lax~±co

asíntota oblicua.


TEMA 7,- LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD. 2° BACH(CN)

D

2

, , f() X -1Ejemplo: Calcula las aSlntotas de la funcion x =--x-2

a) Asíntotas verticales: Como es una función racional, sus asíntotas

verticales son los ceros del denominador: x - 2 = O=> x = 2

, x2 -111m --=-00

x~T x-2, x2 -1

11m ---=+00x~2+ x-2

b) Asíntotas horizontales:

, x2 -111m --=-00

X-¿-OCl x - 2

2, x-111m --=+00

X~+OCl x-2

1, x2 -1 11m ---=X~±OCl x2 - 2x

Luego no hay asíntotas horizontales, por tanto podemos buscar asíntotas

oblicuas (aunque podría no tener).

c) Asíntotas oblicuas:2x -1

m = lim f(x) = lim x-2X~±OCl X X~±OCl X

[X -1 ] x -1- x + 2xn = lim [f(x)-mx]= lim _2__ 1'x = lim _2 2

X~±OCl X~±OCl X - 2 X~±OCl x - 2lim 2x-1 = 2

X~±OCl x-2

Luego hay una asíntota oblicua, tanto en 00,como en - 00y es y = x +2.



ProDiedades de los límites (finitos e infinitos):

2° BACH(CN)

lím[r(x) + g(x)]lím[r(x)- g(x)]lím[r(x)'g(x)]llm[f(X)]g(x)L/Osi L;;f:.O

lím f(x) = Llím g(x) = M

L+ML-ML·ML/ Msi M;;f:.O

O/Osi L = M = Olím f(x) = +00

+00 si M> O+00 si M> O. +00 +00lím g(x) = M

-00 si M < O-00 si M <O

lím f(x) =-00

-00 si M> O-00 si M> O

lím g(x) = M

-00-00+00 si M < O+00 si M <O

lím f(x) = L

+00 si L> O

lím g(x) = +00

+00-00 O-00 si L < O

lím f(x) = L

-00 si L> O

lím g(x) =-00

-00+00 O+00 si L < O

lím f(x) = ±oo

[± 00}0

±oo

±oo±oo

-lím g(x) = O O

lím f(x) = O

O·[±00]Olím g(x) = ±oo

±oo::¡:oo

lím f(x)= +00

[+ 00]- [+ 00]

+00+00

+00-lím g(x) = +00 +00

lím f(x) =-00[- 00l~[-00]

-00-00

+00-lím g(x) =-00

-00

lím f(x) = +00[+ 00]+[- 00]

+00+00

-00-lím g(x) =-00 -00

lím f(x) =-00[- 00]+ [+ 00]

-00-00

-00-lím g(x) = +00 +00

I INDETERMINACIÓN I



-

-

lím[r (X) ]g( x)

lím f(x) = O

Osi M> O

lím g(x) = M

+ 00si M < O

0° .

slM -O

lím f(x) = +00

+oosi M> O

lím g(x) = M

Osi M < O

[+oor si M = Olím f(x) = i

+ 00si L> 1

lím g(x) = +00

Osi 0< L < 1

1[+00] . L

SI -1

lím f(x) = L

Osi L > 1

lím g(x) =-00

+ 00si 0< L < 1

1[-oo]si L

1"

I

¡INDETERMINACIÓN I

7.3. CÁLCULO DE LÍMITES. IN DETERMINACIONES

En muchos casos el cálculo de límites nos lleva a un valor que en principio no es

calculable (Indeterminación), para poder calcularlo hay que hacer algunas operaciones

dependiendo del tipo de indeterminación. Además hay que tener en cuenta que existen

infinitos del mismo orden e infinitos de distinto orden, esto quiere decir que en algunos casos

será suficiente con comparar el orden de los infinitos.

Por ejemplo, la función exponencial 2x crece mucho más rápidamente que la función

potencial x2, por lo que si calculamos sus límites respectivos en el infinito, el primero será de

mayor orden que el segundo.

o Ejemplos; casos concretos:

1) Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de

orden superior:

x4lim -- = +00

x-HOO 7x3

. V . x~hm -- = 11m -- = +00

x~+oo 5x x~+oo 5x

2) Dadas dos funciones exponenciales de bases mayores que 1, la de

mayor base es un infinito de orden superior:

2xlim ---- = +00

x~+ool 00 ·1,5x



3) Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de

orden superior a cualquier potencia

2xlim ---- = +00

x-HOO 100. x50

4) Tanto las funciones exponenciales de base mayor que 1 como las

potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.

5) Dos polinomios del mismo grado o dos potencias de la misma base son

infinitos del mismo orden

6) Si en una suma hay varios sumandos infinitos, el orden de la suma es el

del orden del sumando de mayor orden.

7) En una resta "ganará" el infinito de mayor orden .

•:. Ejercicio: Calcula los límites cuando x ~ el) en las siguientes funciones:

a) 3x5 --f; +1 b) 0,5xc) -1,5xd) log2 x

1f) -f;g) 4xh) 4-xe) --

x3 + 1

i) _4x

. log2 xk) 3x51) -f;

J) -f;x21,5x

INDETERMINACIONES

A) CÁLCULODE LÍMITES EN UN PUNTO (lim)x~a

fklo Por ejemplo, lim _5_ = ~ Pero esto no es del todo cierto, el denominador es unlQJ x~2x-2 O

número que se aproxima mucho a cero sin llegar a serio, por lo tanto dependiendo de si nos

acercamos por la derecha o por la izquierda será positivo o negativo, respectivamente.

lim _5 _ 5

x~T x-2 o=- =-00lim _5 _ 5

x~2+ x - 2 - 0+ = +00

lim (x + 2)2 = lim x + 2 = ~ = Ox~-2(x+2).(x-4) x~-2x-4 -6

~ Cuando llegamos a esta expresión hay que retomar el límite desde el principio y:

a) Si es una función racional, factorizar el numerador y el denominador para simplificar

2. x +4x+4 O

factores: 11m 2 = - =INDx~-2 x -2x-8 O

2

l. x + 4x +41m 2x~-2 x -2x-8


TEMA 7.- LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD, 2° BACH(CN)

b) Si la indeterminación procede de una función irracional (con raíces cuadradas), lo

que se hace es multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de la expresión

que tiene la raíz. lim ~ - 2 Ox~5 x-5 =O=IND

x~5 x-5 x~5

100 - 001 Esta indeterminación viene de la resta de dos funciones racionales, para

resolverla hay que efectuar la operación y estudiar la expresión resultante:

lim[ x(2 - 6) _1_] = 00 _ 00 = INDx~3 x x -3 x-3

~~[-:-(:-=-~-)- -X-~-3] ~ ~~[-~-:-=-~)

lim[(X - 3Xx+ 2): = lim x + 2 = ~x~3 x(x-3) x~3 x 3

x ] ,[x -6-X]-- -11m-x(x-3) - x->3 :(X-3) -

la Se hace igual que el en caso de límites en el infinito que luego veremos .

•:. Ejercicios: Calcular los siguientes límites de funciones:

1, (x2 -5x+2 x3 +2X+1Jr) 1m ----------

x~O x2 +2x x3 +x

x3b) lim(x + 5)

a) lim-- x~l x + 1x~l

x3r xe)

lim -- f) 1m--x~-l x + 1

x~3 x-3

2

2x +x-6 j) lim

x -x-6

i) lim 2 x-3x~2x -4x+4 x~3

m) lim

-.E-1

) r x-3n 1mx~l x-1 x~2.¡;+1-2

r x+8

4xp) 1m-- q) lim 2x~3 x-3

x~2x -4

x+l

. (X2-7X+4JX-7

s) 11mx~7 x-3 c) lim(5x+10)x~l

1, 5g) 1m--x~-8x+ 8

x+8k) lim ---

x~-8 x 2 + 7x - 8

ñ) lim -.E - 2x~2 2

h) lim~x~2x-2

x2 -41) lim--

x~2 (x - 2). (x + 3)2

o) lim x - 2x + 1x~l x-1



B) CALCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO ( lim )x--+±oo

2° BACH(CN)

~ Cuando aparece esta indeterminación, hay que dividir cada uno de los términos del

numerador y del denominador por el término de mayor grado:

;~(-2-:-:-:-~-:-:-:-6J ~ : ~INO

l· ( x3 - 3x + 4 J l'

1m ' =lmx--+oo 2x3 + 4x2 + 6 x--+oo

= limx--+oo

3 41--+-x2 x3

4 62+-+-

x x3

1-0+02+0+0

1

2

Este ejemplo también se podría tratar teniendo en cuenta tan sólo los términos de

mayor grado:

( 3 J 3

lim x - 3x + 4 = lim ~ = lim ~ = !x--+oo 2x3 + 4x2 + 6 x--+oo 2x3 x--+oo 2 2

En estos casos hay un "truco" para hacer más rápido el cálculo:

Cuando el grado del numerador es mayor el resultado es oo.

Cuando el grado del denominador es mayor el resultado es O.

Cuando los dos grados son iguales, el resultado es la división de los

coeficientes de mayor grado (como en el ejemplo anterior).

También puede ser en funciones irracionales:

" ( -J x + 2 + x 2 J = lim11m 2 1 x--+oox--+oo 2x-JO+O +1

2-0

1

2

100 - 001: Si aparece en una función polinómica, "gana" el término de mayor grado:

1" 3 51mx -x =-00.x--+oo

Si aparece en una función con varias fracciones, habrá que "juntar" las fracciones, con

00el común denominador, para transformarla en una indeterminación del tipo ,que se

00

resolverá como hemos dicho anteriormente.


TEMA 7,- LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.

1, (X2 +31m -------

x-fOO X + 1

1, (_x4 +2x3 +5x2 +lOX+ll) l'

1m ---------- = 1mX-foo 2x3+7x2+9x+4 x-fOO

2° BACH(CN)

-00+2+0+0+0------=-002+0+0+0

Si aparece en una función con radicales, habrá que multiplicar y dividir por el

conjugado de la expresión:

lim (-J x ~ 1- vI~--='1)= limX-fOO X-fOO

.:. Ejercicios: Calcula los siguientes límites:

d) lim 1-.[;X-foo 1- x

1, 8b) 1m--X-fOOX - 2

e) lim(~--J2x-l)X-fOO

3

c) lim x -8x+2x-fOO 2x 4 - 7x

f) lim .[; - .¡;=TX-fOO X

g) lim x (X-foo ..C2 ~ h) lim.[; - J;+l)x - \l x~ -1 X-fOO

2x+1

i) lim rX-fOO-J x - 1 - -v x

l!:l En estos casos tenemos una fórmula. Supongamos que lim f(x)g(x) = 100,X-foo

¡im g(x}(¡(x)-l)entonces aplicamos la siguiente fórmula: lim f(x)g(x) = eHOO •

X-fOO

( 1)7Xo Ejemplo: lim 1+- =1OO=IND

X-foo x

( 1)7X ¡im 7X(1+.!.-1) lim 7X'(.!.) lim 7lim 1 + - = eX-+fO x = eX""'oo x = ex""'OO = e 7x-fOO X

.:. Ejercicios: Calcula los siguientes límites:

( )2X-3a) lim 1-~

x-fOO x

DAVID RIVIER SANZ

( 5 )3X+lb) lim 1--

X-fro X c) lim(2X+5)-3XX-fOO 2x d) lim(3X-2)X2X-fOO 3x + 5

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7.4. CONTINUIDAD. TIPOS DE DISCONTINUIDADES.

2° BACH(CN)

A) CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

Se dice que una función f es continua en un Dunto x=a, si existe el límite de f en

x=a y su valor coincide con el valor de la función en ese mismo punto a:

lim f(x) = fea)x~a

Tiene que quedar claro que la propiedad de la continuidad es puntual, se estudia en

cada punto. Luego a la hora de estudiar la continuidad en un punto hay que:

1) Ca!cular los límites laterales y ver que existen

2) Comprobar que los límites laterales son iguales y por lo tanto existe el límite.

3) Comprobar que ese límite coincide con el valor de la función en el punto.

o

J(X)={~+l

1) lim f (x) = lim (x + 1)= 1x~O- x~O-

2) Luego lim f(x) = 1x~O

lim f(x) = lim 1= 1x~O+ x~O-

3) f(O)=1. Luego la función es continua en el O

B) TIPOS DE DISCONTINUIDAD.

Cuando se estudia la continuidad en un punto y falla alguno de los 3 pasos, estamos

ante una discontinuidad, que habrá que decir de qué tipo es, y esto dependerá de cuál de los

tres pasos falle:

a) Si alguno de los límites laterales no existe (porque no se puede calcular) estaremos

ante una discontinuidad esencial.

b) Si los dos límites laterales existen pero alguno de ellos vale infinito estaremos ante

una discontinuidad inevitable de salto infinito (y por tanto hay una asíntota vertical).

c) Si los dos límites laterales existen y son finitos pero no son iguales tendremos una

discontinuidad inevitable de salto finito.

d) Si los dos límites laterales existen y son iguales (es decir existe el límite) pero este

valor no coincide con el valor de la función en el punto o no existe el valor de la función en el

punto, entonces será una discontinuidad evitable.



.:. Ejercicios: Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que

se indican:

al !(Xl~{-X

si x < 1

si x> 1

en el punto x= 1

x-2

tI si x,; O

b) f(x) = .en el punto x=O

1 . SI x> O

el !(Xl={;

SI

x:;t:Oen el punto x=O

si

x=O

C) FUNCIONES CONTINUAS.

Cuando se dice que una función es continua, sin especificar en qué punto, se entiende

que es continua en todos los puntos de su dominio. De hecho, la mayoría de las funciones

estudiadas en temas anteriores son continuas:

- Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.

- Las funciones radicales son continuas en todo su dominio.

- Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en todo su dominio,

no así el resto: tangente, cotangente, cosecante y secante.

- Las funciones logarítmicas y exponenciales son continuas en todo su dominio.

- Además si sumamos, restamos o multiplicamos funciones continuas, la función

resultante también es continua. Ej: f(x) = x + senx f(x) = cosx ·logx.

- Si componemos dos funciones continuas, la función resultante será continua

allá donde exista.

- Sin embargo en la división de funciones la cosa cambia:

f(x) = g(x)h(x) , siendo g y h continuas será continua en todos los puntos excepto en

aquellos donde la función h se anule, ya que es esos puntos la función f deja de existir, y

habrá que estudiarlos de forma particular averiguando si hay algún tipo de discontinuidad

(que la habrá porque en esos puntos f no existe)

o2X

Ejemplo: f(x) = x-3

Ejercicios: Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

{X si

a) f(x) = 2 si2 .x SI

DAVID RIVIER SANZ

x <-2-2::;x<1

x> 1

si

si

x<O

X20

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D) CONTINUIDAD EN UN INTERVALO. TEOREMAS.

Una función es condnua en un intervalo (finito o infinito) de la recta real si es continua

en cada punto de dicho intervalo.

TEOREMA DE BOLZANO:

Si f es continua en [a,b] y signo(f(a));j:. signo (f(b )) entonces :le E (a,b) tal

quef(e)=O.

Nota: Es decir, que si la función es continua y cambia de signo en un intervalo,

entonces, necesariamente ha de cortar al eje X,

por ejemplo:

f(x)=x2-4

f(l) = -3;f(5) = 21

Luego en el intervalo (1,5) existe un número

c tal que f(c)=O. En este caso sabemos que es el

2, pero no siempre lo sabremos.

TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS:

Si f es continua en [a,b], entonces f alcanza su máximo y su mínimo en algún punto

de dicho intervalo, es decir:

:la,fJE [a,b] tales que f(a)sf(x)sf(fJ) VXE [a,b].

TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS DE DARBOUX:

Si f es continua en [a,b], entonces f alcanza en ese intervalo todos los valores

comprendidos entre f(a) y f(b), es decir:

Vk tal que fea) < k < f(b) o f(b) < k < fea) :lx E [a,b] tal que f(x) = k .



.:. Ejercicios:

2° BACH(CN)

1) Encuentra cuatro intervalos distintos en cada uno de los cuales la ecuación:

x4 - 2x3 - 2X2 + 3x + 1= O tenga una raíz.

2) Comprueba que las funciones f(x) = eX + e-x -1 y g(x) = eX - e-x se cortan

en algún punto.

3) Justifica cuáles de las siguientes funciones tienen máximo y mínimo absoluto

en el intervalo correspondiente:

a) f(x)=x2 -1 en [-1,1]

1d) f(x)=- en [0,2]x-1

DAVID RIVIER SANZ

b) f(x) = x2 en [- 3,4]

1e) f(X)=--2 en [-5,10]l+x

1c)f(x)=- en [2,5]x-1

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EJERCICIOS RESUELTOS (TEMA 7)

Á •. Tipos de discontinuidades

y=

Hallamos las raíces del denominador. Son x = -1 Y x = 2. En estos

puntos no está definida la función. Estudiemos el límite de la función enesos puntos:

Clasifica las discontinuidadesde la función siguiente:

x3 -2x2 + x -2x2 -x-2 lím

.'( -'> -1

x3-2x2+x-2

x2-x-2 < Si x~-l- 11 ~_oo= ±oo ' l'

Si x ~ -1 +, y ~ +00

lím.'(-,>2

x3 - 2x2 + x- 2x2 -x- 2

- -º- = lím- O x-,>2

(x2 + 1) (x - 2) = 2(x + 1) (x - 2) 3

La función es discontinua en x = -1 yen x = 2 porque no está defini

da en esos puntos.

En x = -1 tiene una discontinuidad

inevitable de salto infinito y, portanto, una asíntota veltical.

En x = 2 tiene una discontinuidad

evitable porque existe límite finitoen ese punto.

1,-,,,

2

b) Halla;

lím f(x) y lím f(x)x -7 +00 X ---7 _00

t;- Continuidad en un punto

a) Calcula a y b para quesea continua la siguientefunción:

a) ¡ es continua en x #: -1 Y x#:3 cualesquiera que sean a y b, porestar definida por funciones continuas. Estudiemos los límites enx = -1 yen x = 3.

• Cálculo del lím ¡ex):x -,>-1

¡x2+ax,f(x) = b,

2x+4,

x:S;-l

-1 < x <3x;:::: 3

lím f(x) = lím (x2 + ax) = 1- a}

.'( -'> -1- x -'> -1

lím ¡(x) = lím b = b.'(-'> -1+ x-,>-l

• Cálculo del lím ¡(x):.'(-'>3

Para que sea c~ntinua enx = -1, debe ser 1 - a = b.

lím fex) = lím b = bx -'> 3- .'( -'> 3

lím f(x) = lím (2x + 4) = 10.'(-,>y .'(-'>3 } Para que sea continua en x = 3,

debe ser h = 10.

Llevando el valor b = 10 a la igualdad anterior: 1 - a = 10 ~ a =-9

Si a = -9 y b = 10, ¡ es continua en x = -1 Y en x = 3 porque

líl11 f(x) =f(-1) = 10 Y lím f(x) = /(3) = 10 ..'( -'> -1 x -'> 3

b) lím f(x) = lím (2x + 4) = +00X----7+OO X----7+OO

lím f(x) = lím (x2 + ax) = +00x -7 _00 .Y ----7 _00

3",-Teorema de Bolzano

a) Prueba que lafunción:

y = x4 -2x3-5

corta al eje ox en el intervalo (-2, -1).

b) Busca otro intervalo en elque exista una'solución dela ecuación x4 -2x3 -5 = OY aproxima su valor hastalas décimas.

.4;- Teorema de Bolzano

Prueba que las gráficas de lasfunciones:

1f(x) = sen x y g(x) =-x

se cortan en algún punto del

intervalo (2n, ~) .

.5.- Valor intermedio

Dada lafunción:

f (x) = x3 + x - 5

prueba que existe un valor ctal que f(c) = 20.

a) La función fex) = x4 - 2x3 - 5 es continua en IR por ser polinómica; por tanto, es continua en el intervalo [-2, -1].

Además, fe-2) = 16 + 16 - 5 > O } --7 signo de fe-2) :;t: signo de fe-1)fe-1) = 1 + 2 - 5 < O

Así, hemos probado que f verifica las hipótesis del teorema de Bolzano y podemos asegurar que existe un punto e E e-2, -1) tal que

f(e) = e4 - 2e3 - 5 = O.

En ese punto e, la función corta al eje Ox.

b) Tanteando: feO) = -5; jCl) = -6; f(2) = -5; f(3) = 22

Como f es cominua en [2, 3] Y signo de f(2) :;t: signo de f(3), el teorema de Bolzano nos asegura que existe un valor e E e2, 3) tal quef(e) = O.

Para aproximar su valor, tanteamos con valores del intervalo e2, 3):

fe2,3) = -1,3499; fe2,4) = 0,5296

Por tanto, 2,4 es un valor que se aproxima en menos de una décima auna solución de la ecuación dada .

1 1Si f y g se cortan --7 fex) = gex) --7 sen x = - --7 - - sen x = Ox x

Construimos la función h (x) = g (x) - fex):

ti h es una función continua en [2n, 5;] porque g y f lo son.

1 1•• he27I) = ge27I) - f(2n) = - - sen 27I = - > O2n 27I

••h(57I) = o(57I) _ f(57I) = ~ _ sen 57I = ~ _ 1 < O2 <5 2 2 57I 2 57I

Según esto, h cumple las hipótesis del teorema de Bolzano que nos ase

gura que existe un e E (27I, 5;) tal que h(e) = O; esto es, g(e) = f(e).

Por tanto, f y g se cortan en algún punto del intervalo (211:, 5;) .

f, por ser una función polinómica, es continua en todo IR.

Tanteando, observamos que f(2) = 5 Y f(3) = 25: 5 < 20 < 25

Según el teorema de los valores intermedios, f toma todos los valoresentre 5 y 25. Como 20 está comprendido entre f(2) y f(3), existirá unnúmero e E (2, 3) tal que f(e) = 20.

x -7 +00b) lím (x2 --Vx4 + 2x)

10 IHalla lím f(x) y lím f(x) en los siguientesx -7 +00 X --7 _00

c) lím (1,2X -~)x --? +00 X + 1

si x < 1

si x < 1

si x;;:: 1

Calcula el valor de k para que cada una de lassiguientes funciones sea continua:

¡x' - 1

a)f(x) = ~

si x f::.1

k

si x = 1

r~-lb)f(x) = kX - 1

si x f::.1

si x = 1

{x + 1

si .\'::; 2a)/(x) = si .'X' > 2k-x

{ x + /<i . si x::; O

h) j'(x) = . x2 - 1 si x> O

{ eh

si x::; Oc) ¡ú,) = '. x + 2ksi x> O

15 ! Calcula:

(Xl + 1)2-a) ,lím ---.\'X-7() 2x+1

( 2x2 - X _ 1)_1_b) lím ----- x - 2

X-72 7-x

517 Estudia la continuidad de estas funciones:

a)f(x) = {exInx

{l/xb)f(x) =

2x - 1 si x;;:: 1

520 ! Calcula el valor que dehe tener k para que lasI siguientes funciones sean continuas:' ,;

521

(~-~]el) líl77 2.\"-7 O .¡x

11 Sabiendo que:

lím p(x) = +00 lím q(x) = ~oo.\" ---).2 .\"-7 :2

lím r(x) = 3 lím s(x) = Ox--?2 .\'-72

,di, en los casos en que sea posible, el valor e1e

¡los siguientes límites: "I s(x)ia) lím -¡ x --? 2 P (x)!

lb) lím [s (x)]P<x)í .>: --? 2ile) lím [s(x)· q(x)]1 X-721

[el) lím (P(X)-2q(x)]i x--?2.,

12 ¡Calcula:

I (X2 + 3 1)la) lím --~---! x -7 O X· xi

I [2 1]!b) lím -( _ 1)2 - ( __ 1)r '"~ 1 X X x

f .' ~ ,

13 t Calcula los siguientes límites:',

¡ x2 -7x + 6la) lím ----~ .\:'-71 1-xi¡ , (x -1)3lb) lím)I .\'--? 1 1 - x-l

¡ :>;:3 + 4x2 + 5x + 2re) lím _2 _ ?¡. X -7 -1 X - X - _

¡ (x + b)2 _ .\,2

¡ el) lím 1! b-70 J

14 Calcula:

a)/íI7I[ 3 /,\" 2 __ 4• -7 2 X -)X + (. --].v ~) x-2

b) /ím (1 - -V3 - x ).\"-72 X - 2

c) líl11 (-Vx -:-9 - .3 ).\' -7 O x2

d) lím (3X - 4) x + 1x --? +00 3x _ 2 3

f) lím (X - 3 )x2 - 5x --? _00 -Xi + 2

casos:

{ eX

si x::; Oa)f(x) = 1-In x

si x> O

{ 1-x'

b)f(x) = ~

si x #- O

si x = O

d) lím (3X + 4 )X - 1x --? +00 2x + 5

e) lím (1_~)3X-2x --? _00 x2

Calcula los siguientes,límites:

( x2 + 1)x2 (X + 1)2X- 1a) lím -2-- b) lím --x --? +00 X - 1 x --? +00 X - 2

c) lím (X - 1)X + 2x --? +00 X + 3

,t./~ I TE s. b~ 1='O~ctoMP;..

COlJi/AJUlbAb .-

TE'" 1. i

8 ICalcula los siguientes límites:

) l' (X2 - 5x 3X)a tm ------

x --? +00 X + 1 2

~ . S_o

9f;11',,-,w

531 1 Sea la función ¡ex) = x2 + l.

¿Podemos asegurar que dicha función toma todos los valores del intervalo [1, 5]? En caso afir

mativo, enuncia el teorema que lo justifica.

532 ¡ Da una interpretación geométrica del teoremade Bolzano y utilízalo para clemostrar que las

gráficas de f(x) = x3 + x2 y g (x) = 3 + eas xse cortan en algún punto.

,•.. jJlJira el ejercicio resuelto 11.

528 j Se define la función f del modo siguiente:

{In x - 1 si x > 1(x' =f / 2x2 + ax + b si x s: 1

Encuentra los valores de a y b para que lafunción sea continua y su gráfica pase por el

origen de coordenadas.

En el laboratorio de Biología de la universidad,han determinado que el tamaño T de los ejem

plares de una cierta bacteria (medido en micras)varía con el tiempo t, siguiendo la ley:

g(x) = f(x) + 3

¡Si el término independiente de un polinomio en

Ix es igual a -5 y el valor que toma el polinomioI para x = 3 es 7, razona que hay algún punto

I en el intervalo (O, 3) en el que el polinomio ta

I ma el valor -2.¡¡i La función y = tg x toma valores de distinto

I [re 3re]¡signo en los extremos del intervalo 4' 4 y,I! sin embargo, no se anula en él. ¿Contradice esto

iel teorema de Bolzano?¡i x

IConsidera la función f(x) =~. Determina su

i dominio. Dibuja su gráfica y razona si se puede! asignar un valor a feO) para que la función sea

Icontinua en todo IR ..i¡Si existe el límite de una función f(x) cuando

Ix -1 a, y si f(x) es positivo cuando x < a,I ¿podemos asegurar que tal límite es positivo? ¿Y,!que no es negativo? Justifica razonadamente lasIrespuestas.¡í a) Comprueba que lím [l11.(x+ 1) -111.(x)] = o.t x ---7 +00

¡¡b)Calcula lím x[ln(x+ 1)-ln(x)].¡ x ---')+00¡

546 i De dos funciones f(x) y g (x) se sabe que son

i continuas en el intervalo [a, b 1, que fea) > g (a)

¡y que f(b) < g (b).

I¿Puede demostrarse que existe algún punto e¡de dicho intervalo en el que se corten las gráfi¡cas de las dos funciones?¡¡

547 ISi f(x) es continua en [1, 91, fO) = -5 Yif(9) > O, ¿podemos asegurar que la función¡!

!

! tiene al menos un cero en el intervalo [1, 9]?

544

545

543

542

541

1si O s: x:<:;

21

si - < x < 12 -¡X -4f(x) = e-x:

El segundo miembro de la igualdad carece de

sentido cuando x = 2. ¿Cómo elegir ~l valor def(2) para que la función f sea continua en esepunto?

533 1 Considera la función:

1 x2 - 4f(x) =-x-2

535 ¡Dada la función:1

¡

¡¡1

1

!!¡observamos que f está definida en [O, 1] Y queiverifica feO) = -1 < O Y f(1) = e-1 > O, pero no

11existe ningún e E (O, 1) tal que f(e) = o. ¿Contradice el teorema de Bolzano? Razona la res

!puesta.,I .536 ¡Se sabe que f(x) es continua en [a, b] Y que

If(a) = 3 y f(b) = 5. ¿Es posible asegurar (me

!para algún e del intervalo [a, b] cumple que¡f(e) = 7? Razona la respuesta y pon ejemplos.

537 1, Halla razonadamente dos funciones que nosean continuas en un punto Xo de su dominio

',y tales que la función suma sea continua en diI cho punto.

538 I¿Tiene alguna raíz real la siguiente ecuación?:¡ se11.x + 2x + 1 = O¡

¡Si la respuesta es afirmativa, determina un inter1 valo de amplitud menor que 2 en el que se en! cuentre la raíz.

539¡ ¡Demuestra que la ecuación x5 + x + 1 = O tieene, al menos, una solución real. .

I

540 !Una ecuación polinómica de grado 3 es seguroí que tiene alguna raíz real. Demuestra que es así,1 y di si ocurre lo mismo con las de grado 4.

si t> 8 horas

si t < 8 horas

\1t+aTen = -3 +~

t- 8

El parámetro a es una variable biológica cuyainterpretación trae de cabeza a los científicos, pero piensan que puede haber un valor para el cualel crecimiento se mantenga continuo en t = 8.

a) Decide la cuestión.

b) Investiga cuál llegará a ser el tamaño de unabacteria si se la cultiva indefinidamente.

524

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