Tema 6 ud3

Probabilidades y Estadística I

TEMA 6

Variables aleatorias discretas


Esquema inicial

1. Proceso de Bernoulli 2. Distribución Binomial 3. Distribución Geométrica 4. Distribución Binomial Negativa. 5. Distribución de Poisson


1. Proceso de Bernoulli

DEFINICIÓN

El experimento aleatorio más sencillo (binario). Sólo tiene dos resultados:

A A

1 si ocurre 0 si ocurre

AX

A

=

[ ] [ ]1 0 1P X p P X q p= = = = = −

Variable aleatoria asociada Función de probabilidad


Esquema inicial



2. Distribución Binomial (1/6)

• Proceso generador (experimento aleatorio)

Realizar n pruebas de Bernoulli independientes.

GÉNESIS

• Variable aleatoria

X ≡ “nº de veces que aparece A en las n pruebas” Rango de X ={0,1,2….,n}.



GÉNESIS

• Espacio probabilístico asociado

1 1 2 1 1 1

1 2 1 1 1 1 2

1 1

[ ] [( ) ( ) ][ ] [ ]

..

x x x n x x x n

k x n x x x x n

x n x x n x x n x

x n xx n x

P X x P A A A A A A A A A AP A A A A A P A A A A A A

npp p qq q p p qp q q p q p q p qx

+ + − +

+ − + +

− − −

− − −−

= = =

= + + =

= ⋅ + + = + + =



FICHA TÉCNICA ( , )X n pβ

0,1,2, ,( )

0 en el resto

x n xnp q x n

p x x−

= =

a) Función de probabilidad

b) Función de distribución 0

0 0

( ) 1 ( 0,..., 1)

1

ki n i

i

xn

F x p q k x k k ni

x n

−

=

<

= ≤ < + = −

≥

∑

c) Esperanza [ ]E X n p= × d) Varianza [ ]Var X n p q= × ×



X

p(x) p(x)

X

n=50 p=0.1

p(x)

X

p(x)

X n=50 p=0.5

n=10 p=0.1 n=10 p=0.5

GRÁFICAS



TABLA



EJEMPLO

Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el número de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada 20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan 25 llamadas de forma independiente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se una ese día dos personas al club? b) Determinar el número de persona que se espera que se sumen al club un día cualquiera.


Esquema inicial



3. Distribución Geométrica (1/4)

GÉNESIS


Realizar pruebas de Bernoulli independientes hasta que aparezca A


X ≡ “nº de pruebas hasta que aparezca A” Rango de X ={1,2,3….}. • Espacio probabilístico asociado

11 2 1[ ] [ ] x

xP X x P A A A A q p−−= = =



FICHA TÉCNICA ( )X Ge p


b) Función de distribución

c) Esperanza d) Varianza

1 1, 2,( )

0 en el resto

xpq xp x

− ==

0 1( )

1 1 ( 1,2,....)j

si xF x

q si j x j j<

= − ≤ < + =

[ ] 1E Xp

= [ ] 2

qVar Xp

=



GRÁFICAS

p(x) p(x)

X X p=0.1 p=0.5



EJEMPLO

Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el número de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada 20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan 25 llamadas de forma independiente. c) ¿Cuántas llamadas hay que realizar hasta captar el primer socio?


Esquema inicial

1. Proceso de Bernoulli 2. Distribución Binomial 3. Distribución Geométrica 4. Distribución Binomial Negativa 5. Distribución de Poisson


4. Distribución Binomial Negativa (1/4)

GÉNESIS


Realizar pruebas de Bernoulli independientes hasta que aparezca n veces A


X ≡ “nº de veces que aparece A hasta que aparezca n veces A” RgX = {0, 1, 2,….}.

X’ ≡ “nº de pruebas hasta que aparezca n veces A” Rg X’ = {n, n+1, n+2,…}



GÉNESIS


[ ] ( ) , 11 2 1 2 1... .. .............

1 11

x n n xx x x x n n x

reordenaciones

n x n x

P X x P A A A A A A PR p q

n x n xp q p q

x n

−+ + + + −

= = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∪ = =

+ − + −

= −

[ ] ( ) , 11 2 1 1 1 1' ... .. .............

11

x n n n x nn n n x x x

reordenaciones

n x n

P X x P A A A A A A A PR p q

xp q

n

− − −− + − −

−

= = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∪ = =

−

−



FICHA TÉCNICA




10,1,2,

( )0 en el resto

n xn xp q x

p x x + −

= =

0

0 0( ) 1

1 ( 0,1,...)k

n i

i

xF x n i

p q k x k ki=

<= + − ≤ < + =

∑

[ ] nqE Xp

= [ ] 2

nqVar Xp

=

( , )X N n pβ



EJEMPLO

Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el número de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada 20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan 25 llamadas de forma independiente. d) ¿Cuántas personas se van a negar hasta recibir la primera respuesta afirmativa? e) ¿Cuántas llamadas se deben realizar para captar cuatro socios?


Esquema inicial

1. Proceso de Bernoulli 2. Distribución Binomial 3. Distribución Geométrica 4. Distribución Binomial Negativa 5. Distribución de Poisson


5. Distribución de Poisson (1/5)

GÉNESIS


Comportamiento asintótico de una Binomial: n→∞, p→0


X ≡ “nº de veces que aparece A en la unidad u” RgX = {0, 1, 2,….}.



GÉNESIS


[ ]1

! ( 1)....( 1)1!( )! !

1

1! !

n

x n x xx n x

xxn n np 0 p 0 p 0

nx x

np 0

n n n n n x nP X x lim p q lim limx x n x n n x n

n

lim ex n x

λ

λλ λ λ

λ

λ λ λ

−−

→∞ →∞ →∞→ → →

−

→∞→

− − − + = = = − = = − −

− =



FICHA TÉCNICA ( )X P λ




0,1,2,( ) !0 en el resto

x

e xp x xλ λ−

==

0

0 0( )

1 ( 0,1,...)!

ik

i

xF x

e k x k ki

λ λ−

=

<= ≤ < + =∑

[ ]E X λ= [ ]Var X λ=



TABLA



EJEMPLO

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