Tema 6 - Oscilaciones - Física 1 - Grado Ing. Diseño Ind. y Desarrollo de Productos - ULPGC

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1 1. Definición movimiento armónico simple (MAS) 2. Cinemática del MAS 3. Movimiento circular uniforme y MAS 4. Dinámica del MAS 5. Varios ejemplos de MAS 6. Oscilador amortiguado 7. Oscilador forzado Oscilaciones © Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar

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1.  Definición movimiento armónico simple (MAS)

2.  Cinemática del MAS

3.  Movimiento circular uniforme y MAS

4.  Dinámica del MAS

5.  Varios ejemplos de MAS

6.  Oscilador amortiguado

7.  Oscilador forzado

Oscilaciones

© Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar

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Movimiento Armónico Simple

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http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/shm/Q.shm.html

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La partícula se mueve de arriba para abajo pero su desplazamiento con el tiempo, x(t) es una función armónica

Movimiento oscilatorio alrededor de su posición de equilibrio de manera períodica

Se va dibujando la position de la masa, a la que se ha unido una pluma, a medida que pasa el tiempo. El papel se tiene que mover hacia la izquierda con velocidad constante.

Ejemplos: Masa unido muelle, Péndulo

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Axx == max

Axx −== max

0=x0=t

Τ=t

2/Τ=t

4/Τ=t

4/3Τ=t

elF

elF

0=v

maxaa −=

0=v

maxaa =

0=a

v = vmax = ±Aω0

Posición de equilibrio

Punto de máximo desplazamiento (Punto de retorno)

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Sistema muelle-masa

elF

0=x

Punto de máximo desplazamiento (Punto de retorno)

Posición de equilibrio

Punto de máximo desplazamiento (Punto de retorno)

Axx == max0=v

maxaa −=

0=a

0=xv = vmax = ±Aω0

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La fuerza es proporcional y opuesta al desplazamiento

k= constante elástica del muelle

Ejemplo: Masa unida a un muelle sobre una mesa sin rozamiento

F =ma = −mω02x

Es una fuerza que varía de forma armónica con el tiempo F = −mω02Acos ω0t +α( )

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Dinámica MAS

kxmaF −==

d2xdt2

+ω02

ctex = 0Ecuación diferencial del MAS

0=xelF

mω02 x = −kx→ω0 =

km

En este caso, F también vale –Kx!

Cuidado: no todos los MAS provienen de un muelle ideal!

x(t) =ACos(ω0t)+BSen(ω0t)

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Desplazamiento en un MAS

x t( ) =Acos(ω0 t +α)A = Amplitud = Desplazamiento máximo α = Fase inicial ω = Frecuencia angular

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0 1 2

t

A

2Τ Τ 45Τ 23Τ 27Τ Τ243Τ

A

0=x

maxxA−

maxx

A−

Ax max ±=

Desplazamiento inicial

Desplazamiento máximo (Amplitud)

( ) αcos 0 Axtx o ===

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Fase inicial

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α = Fase inicial: ángulo del movimiento cuando se empieza a contar el tiempo (t=0)

( )AxAxtx o

o =→=== αα coscos0

1. caso: Desplazamiento inicial es la amplitud

0=→= αAxo

πα =→−= Axo

amplitud positiva

amplitud negativa

20 π

α =→=ox

2. caso: Desplazamiento inicial es nulo

x =A senω0t

x =A cosω0tEcuación del desplazamiento

Ecuación del desplazamiento

Período

Τ =2πω0

Tiempo que tarda en volver a su posición inicial

f = 1Τ→ f = ω0

Frecuencia

Número de ciclos que se realizan en un segundo

PROPIEDAD: La frecuencia y el período son independientes de la amplitud

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Velocidad en función del desplazamiento

vmax = ± Aω0

velo

cida

d

Aω−

0 1 2

t

2Τ 45Τ 23Τ 27Τ Τ243Τ

ωA

maxv

0=v

v = ±ω0 A2 − x2

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Velocidad en un MAS

v t( ) = dx(t)dt

= −Aω 0 sen ω0t +α( )

v(t = 0) = vo = −Aω0 sinαVelocidad inicial

Velocidad máxima

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8 PROPIEDAD: La aceleración es proporcional y de sentido contrario al desplazamiento

a t( ) = dv(t)dt

=d2x(t)

dt2 = −Aω02 cos(ω0 t +α)

acel

erac

ión

0 1 2

t

2Τ Τ 45Τ 23Τ 27Τ Τ243Τ

2ωA

0=a

maxa

A2ω−

A2ω

amax = ±Aω02

a t = 0( ) = ao = −Aω02 cosα

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Aceleración inicial

Aceleración en un MAS

Aceleración máxima

Aceleración en función del desplazamiento a = −ω02x

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Desplazamiento angular inicial del MCU es igual a la fase inicial del MAS

Proyección de la posición de la partícula con MCU sobre eje X

αθ =o

θcosRx =

( )αω += tAx cos

Desplazamiento de una partícula con MAS

Radio circunferencia es igual a la amplitud del MAS AR =

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RELACIÓN MATEMÁTICA ENTRE MUC y MAS

R

xX

Y

θ

P

Proyección de la posición de una partícula que tiene un MUC sobre un eje es igual al desplazamiento de una partícula con MAS

Período del MCU es igual al período del MAS MASMCU Τ=Τ

tMCUo ωθθ +=Desplazamiento angular de una partícula con MCU

Otras relaciones importantes

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En función de la Posición

)(21

21 2222 xAmmvEc −== ω

22

21 xmdxFEp x ω∫ ==

En función de la Posición

( )αωω += tAmEc 222 sin21

( )αωω += tAmEp 222 cos21 22

max 21 AmEp ω=

22max 2

1 AmEc ω=

( ) ( ) maxmax222222

21cos

21

21 EpEcAmtAmtsenAmEEE pc ===+++=+= ωαωωαωω

En función del Tiempo

En función del Tiempo

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Energía Cinética

Energía cinética máxima

Energía Potencial

Energía Total

Energía potencial máxima

maxmax EpEcE ==

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Energía Cinética en función del tiempo

( )αωω += tAmEc 222 sin21

( )αωω += tAmEp 222 cos21

EEcEc21

21

max ==

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Energías en función del tiempo

maxEc

t

tEp

Ec

maxEp

E

Ep

E

Ec

Energía Cinética media Energía Cinética máxima

EAmEc == 22max 2

Energía Potencial en función del tiempo Energía Potencial media Energía Potencial máxima

EAmEp == 22max 2

1ωEEpEp

21

21

max ==

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22

21 xmEp ω= ( )222

21 xAmEc −= ω

22

21 AmEpEcE ω=+=

Ec

Ep

o AA− x

Máxima en el centro (x=0) y nula en los extremos de la oscilación (x=A, x=-A)

Nula en el centro (x=0) y máxima en los extremos de la oscilación (x=A, x=-A)

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Energías en función de la posición

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La masa oscila alrededor de la posición de equilibrio con un desplazamiento oyyy −='

Posición de equilibrio una vez se ha colgado la masa. El muelle se deforma una cantidad kmgyo /=

Posición de equilibrio sin masa colgando

© Figuras procedentes del libro Física por Paul Tipler

y' =Acos ω0t +α( )

2'21 KyEpEpEp gel =+=

Ecuación del movimiento

Energía potencial

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MAS vertical: masa colgando de un muelle

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toeAA γ−=

x =Acos ωat +α( )

m2λ

γ = Constante de amortiguamiento

ωa = ωo2 − γ2

Frecuencia natural oω

γτ

1=

Tiempo de relajación

© Figuras procedentes del libro Física por Paul Tipler © Diana Grisolía Santos y Luis C. Cana Cascallar

MAS amortiguado

( ) to

to eEeAmAmE γγωω 22222

21

21 −− ===

22

21

oo AmE ω=

Energía en un MAS amortiguado

A =A0e−γt

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MAS subamortiguado

MAS crítico y MAS sobreamortiguamiento x

t

MAS crítico

MAS sobreamortiguado

Crítico

Sobreamortiguado

oca mωλω 20 =→=

Coeficiente de amortiguamiento crítico ca λλω >→< 0

No hay oscilación

No hay oscilación

ca λλω <→> 0

Sí hay oscilación

x

toeA 1γ−

toeA 2γ−

oA

t

MAS

Clasificación MAS amortiguado

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Pico de Resonancia: La amplitud es máxima cuando las dos frecuencias son iguales

o

f

ω

ω

A

omωλ 2=

omωλ =

2/omωλ =

0=λ

1

A medida que el amortiguamiento disminuye las amplitudes resonantes son mayores: línea azul cuando el oscilador tiene un amortiguamiento muy grande y línea marrón cuando no está amortiguado.

( )ff tAx αω −= cos

oscilador forzado : aparece cuando se aplica una fuerza oscilante a un oscilador amortiguado

tFF fo ωcos=

( ) 22222 4

/

fof

o mFAωγωω +−

=

22

2tan

fo

ff ωω

γωα

−=

of ωω =

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Oscilación forzada y resonancia

Amplitud

Fuerza oscilante

Fase inicial

Ecuación desplazamiento