Tema 6 - Electrónica Digital y Álgebra de Boole

Departamento de Tecnologa Electrnica

Fundamentos de Electrnica Industrial

Tema 6

Electrnica Digital y lgebra de Boole

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ndi

ce

Electrnica Digital y lgebra de Boole Electrnica analgica y electrnica digital Sistemas de numeracin lgebra de Boole.

Fundamentos Puertas lgicas Axiomas y teoremas

Formas cannicas Minimizacin algebraica y mapas de

Karnaugh Homogeneizacin Automatismos cableados

electromecnicos

2

Sistemas analgicos: aquellos cuyas variables toman valores continuos en el tiempo

Las magnitudes fsicas son en su mayora analgicas

Sistemas digitales: aquellos cuyas variables toman valores discretos en el tiempo Seal continua Seal discreta

Electrnica analgica y electrnica digital

3


Electrnica analgica y electrnica digital Seal digital ideal Seal digital real

Emplean dos estados: 1 y 0 Un dgito (0 1) se denomina bit La informacin que manejan los sistemas

digitales son secuencias de bits. Las seales digitales consisten en niveles

de tensin que varan entre los estados o niveles 1 y 0 : VH, H: Voltaje alto; VL, L: Voltaje bajo

Voltajes tpicos TTL CMOS

VHmax 5 V 5 V

VHmin 2 V 3,5 V

Zona incertidumbre

VLmax 0,8 V 1 V

VLmin 0 V 0 V

4


Micrfono

Ondas sonoras

Amplificador lineal

Altavoz

Ejemplo de sistema analgico

5

Electrnica analgica y electrnica digital Electrnica Digital y lgebra de Boole

Micrfono

Ondas sonoras

Altavoz


Ejemplo de sistema analgico con procesamiento digital

A/D Procesamiento digital D/A Acond.

6


Electrnica analgica y electrnica digital Conversin analgico digital

7


Audio Video Comunicaciones: telefona, TV, radio, Automviles, Instrumentacin Control industrial

Electrnica analgica y electrnica digital La revolucin digital

8


Facilidad para transmitir, procesar y almacenar informacin. Se pueden incluir sistemas de deteccin y correccin de errores Facilidad de diseo Mayor exactitud y precisin Mayor estabilidad, mayor inmunidad al ruido Flexibilidad

Por qu el xito de los sistemas digitales


En algunas ocasiones hay que incluir A/D y D/A Inconveniente

9


Sistemas de numeracin Cdigos Permiten representar los nmeros mediante dgitos

El sistema que utilizamos habitualmente es el sistema decimal (b=10)

Los sistemas que se utilizan en los sistemas digitales son: Binarios (b=2) Octal (b=8) (poco usado)

Hexadecimal (b=16)

Cdigos alfanumricos

10


Sistemas de numeracin Cdigos binarios

11


Sistemas de numeracin binario natural

Base 2

Dos estados (0, 1)

A los dgitos binarios se les llama bits (binary digit). A los nmeros binarios se les llama palabras binarias

Con n bits hay 2n elementos desde 0000 hasta 1111 El conjunto de 8 bits se denomina byte El mayor nmero representado con n bits es 2n-1

Binario natural (sin signo)

MSB Most Significant Bit

LSB Least Significant Bit

12


Tabla de verdad La Abstraccin Digital

1 cerrado 0 abierto

L S

S L ABIERTO APAGADA

CERRADA ENCENDIDA

S (entrada)

L (salida)

0 0

1 1

Funcin lgica

L = S

Esquema (buffer)

13

Tabla de verdad: representa las salidas para todos los posibles

valores de las entradas

Funcin booleana: expresin matemtica que emplea el lgebra de

Boole. F = AB + C

Grfico: esquema electrnico

M

m

I

A

B

Un circuito digital puede expresarse mediante:


La Abstraccin Digital

La abstraccin digital nos permite de un modo muy sencillo: - Modelar algunos sistemas fsicos. - Analizar circuitos digitales. - Sintetizar circuitos electrnicos (digitales).

A partir de la tabla de verdad y utilizando el lgebra de Boole podemos disear circuitos digitales de una manera muy simple.

La obtencin la tabla verdad constituye un mtodo muy sencillo para especificar algunos sistemas (por ejemplo, combinacionales).

14


George Boole, desarrolla su lgebra en 1854 para poder expresar las leyes fundamentales del razonamiento en el lenguaje simblico del clculo

Shanon, en 1938 lo adapta para escribir y analizar el comportamiento de los circuitos elctricos

El lgebra de Boole parte de un conjunto de axiomas o postulados (conjunto mnimo de definiciones que consideramos verdaderas) a partir de los cuales se construye el sistema matemtico

La sntesis y anlisis de los circuitos digitales se va a realizar en base al lgebra de Boole

El lgebra de Boole se utiliz inicialmente (y se sigue utilizando) para la implantacin de los automatismos cableados con diferentes tecnologas: lgica cableada basada en componentes electromecnicos (rels y contactores), lgica cableada basada en componentes electrnicos y PLCs

Se ha modelado la realidad como 0s y 1s

lgebra de Boole

15


George Boole, desarrolla su lgebra en 1854 para poder expresar las leyes fundamentales del razonamiento en el lenguaje simblico del clculo

Shanon, en 1938 lo adapta para escribir y analizar el comportamiento de los circuitos elctricos

El lgebra de Boole parte de un conjunto de axiomas o postulados (conjunto mnimo de definiciones que consideramos verdaderas) a partir de los cuales se construye el sistema matemtico

La sntesis y anlisis de los circuitos digitales se va a realizar en base al lgebra de Boole

El lgebra de Boole se utiliz inicialmente (y se sigue utilizando) para la implantacin de los automatismos cableados con diferentes tecnologas: lgica cableada basada en componentes electromecnicos (rels y contactores), lgica cableada basada en componentes electrnicos y PLCs

Se ha modelado la realidad como 0s y 1s

lgebra de Boole

Zuse Z3. 1941. 2300 rels, f = 5 Hz

16


lgebra de Boole

Suma lgica S=A+B

Producto lgico S=AB

Complementacin S=A (tambin ser representa como A)

Operadores booleanos

Se representan mediante caracteres alfabticos A, B, X...

Pueden tomar dos valores (0 1).

Se corresponden con seales de entrada, de salida o intermedias.

Variables Booleanas.

Constantes booleanas: 0 (estado FALSO) y 1 (estado VERDADERO)

17


Son los dispositivos que implementan los operadores del lgebra de Boole

Una puerta lgica es un elemento que toma una o ms seales de entrada y produce una salida binaria apropiada, dependiendo exclusivamente del estado de las entradas

lgebra de Boole Puertas lgicas

18



Realiza la operacin lgica de INVERSIN o COMPLEMENTACIN: cambia de un nivel lgico al opuesto. Expresin lgica

Tabla de verdad

S A

S A

1

1

ANSI/IEEE 91-1984

A S

0 1

1 0

CIRCUITO COMERCIAL: 74X04

lgebra de Boole Puertas lgicas: inversor

AS =

19 19

Realiza la operacin lgica de MULTIPLICACIN LGICA

Expresin lgica

Tabla de verdad

A B S

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1


ANSI/IEEE 91-1984

S A

B

&

S A B

1 cerrado 0 abierto

lgebra de Boole Puertas lgicas: AND

20 20


BAS =


Realiza la operacin lgica de SUMA LGICA

Expresin lgica

Tabla de verdad

A B S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1


ANSI/IEEE 91-1984 1

S A B

1 cerrado 0 abierto

S

A

B

lgebra de Boole Puertas lgicas: OR

BAS +=

21

Realiza la operacin lgica NOT-AND: una funcin AND con salida complementada Expresin lgica

Tabla de verdad

ANSI/IEEE 91-1984

S A

B

&

A B S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Puerta universal: la puerta NAND puede originar cualquier puerta bsica: NOT, AND, OR.

lgebra de Boole Puertas lgicas: NAND

22 22


BAS =

Puerta universal: la puerta NOR puede originar cualquier puerta bsica: NOT, AND, OR.

Realiza la operacin lgica de NOT-OR: una funcin OR con la salida complementada Expresin lgica

Tabla de verdad

A B S 0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

CIRCUITO COMERCIAL: 74x02

ANSI/IEEE 91-1984 1

S A B

lgebra de Boole Puertas lgicas: NOR

23


BAS +=

Aplicaciones: comparador, detectores de paridad, sumador.

La salida de una puerta XOR se pone a nivel alto slo cuando hay un nmero impar de entradas a nivel alto. Expresin lgica

Tabla de verdad

A B S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

CIRCUITO COMERCIAL:74x86

ANSI/IEEE 91-1984 =1

S A B BAS

BA BAS=

+=

=

lgebra de Boole Puertas lgicas: XOR

24



Aplicaciones: comparador, detectores de paridad, sumador.

Funcin OR-exclusiva con la salida complementada. Expresin lgica

Tabla de verdad A B S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

CIRCUITO COMERCIAL:MC10EL07

ANSI/IEEE 91-1984 =1

S A B BAS

BA BAS

=

+=

lgebra de Boole Puertas lgicas: XNOR

25


lgebra de Boole Puertas lgicas: resumen

26

A B S 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

A S 0 1 1 0

A S 0 0 1 1

A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

AND OR NOT

BUFFER

NAND NOR XOR

XNOR

Puertas bsicas

Puertas compuestas

Ejemplo

Extraccin de la funcin Booleana a partir

de un diagrama lgico

A

B

A.B

A+B

S=A.B + (A+B)

lgebra de Boole Ejemplos

27


Obtencin del diagrama lgico a partir de su expresin Booleana.

A

B

A.B

A+B

A.B

S

Ejemplo

lgebra de Boole Ejemplos

B)(A )BA(BAS ++++=

28


lgebra de Boole Axiomas y teoremas

Propiedad asociativa A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C A(BC) = (AB)C = ABC

Propiedad conmutativa A+B = B+A AB = BA

Propiedad distributiva A+(BC) = (A+B)(A+C) A(B+C) = AB + AC

Elemento neutro 0+A = A 1A = A

1+A = 1 0A = 0

Teorema de identidad A+A = 1 AA = 0

Teoremas de idempotencia A+A = A AA = A

Teorema de involucin (A) = A

Teoremas de absorcin A+AB = A A(A+B) = A

A+AB = A+B A(A+B) = AB

Teoremas de consenso AB+AC = AB+AC+BC (A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)(B+C)

Leyes de De Morgan (A+B) = AB (AB) = A+B 29

29


lgebra de Boole Axiomas y teoremas Aplicacin de teoremas de De MORGAN a puertas lgicas:

BA =+ BA

BA +=BA

30 30


Extraccin de la funcin Booleana a partir de la tabla de verdad. Formas estandarizadas

lgebra de Boole Formas cannicas

Circuito para la apertura de dos puertas mediante un lector ptico de tarjetas perforadas (sensores A, B, C orificio=1):

A B C Tarjeta perforada 0 0 1

Tarjetas que abren la puerta (S):

S

A B C A B C A B C

31


Ejemplo

Extraccin de la funcin Booleana a partir de la tabla de verdad. Formas estandarizadas

A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

A.B.C

A.B.C

A.B.C

Minterm Minitrmino

S=A.B.C+A.B.C+A.B.C 1 Forma cannica

A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

A+B+C

A+B+C

Maxterm Maxitrmino

A+B+C

A+B+C A+B+C

S=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) 2 Forma cannica

A B C

A B C

A B C

S S

A +B +C

A +B+C

A+B +C

A+B+C

lgebra de Boole Formas cannicas

32


El propsito de la minimizacin lgica es reducir una expresin lgica algebraica de tal modo que sea ms fcil de implementar. Vamos a ver dos mtodos:

Simplificacin lgica algebraica. Mapas de Karnaugh.

Minimizacin lgica Concepto

33


SON EQUIVALENTES LAS SIGUIENTES EXPRESIONES?

CBACBACBCBAS +++=BCAS +=

A partir de una expresin Booleana en su forma de suma de productos se combinan los trminos, reduciendo la complejidad, mediante los teoremas del lgebra de Boole

A

B

C

S

A C

B S

Minimizacin lgica Simplificacin algebrica

34


=+++= CBACBACBCBAS

=+++= A)A(CBCBCBA

=++= CBCBCBA

=++= C)C(BCBA

=+= BCBA

Teorema absorcin

YXY +=+ XXCAY

BX

=

=

BCAS +=

A B S

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 0

B

0 1

A 0 1 1

1 0 0

A B C S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

BC 00 01 11 10

A 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0

A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

CD 00 01 11 10

AB 00 0 1 0 0 01 1 0 1 0 11 0 1 1 0 10 0 0 0 0

El mapa de Karnaugh es un mtodo grfico de representacin de la informacin que se encuentra en una tabla de verdad.

Mapas de Karnaugh

Minimizacin lgica Simplificacin Karnaugh


35

A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0

BC

00 01 11 10

A 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0

Fundamento del mtodo (I)

.CA.CAB).B(.B.CAC.B.A =+=+

A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0

BC

00 01 11 10

A 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0

CBCBAA.CB.AC.BA ..).(. =+=+


36


A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

BC

00 01 11 10

A 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0

=+++=+++ CBAACBAACBACBA.B.CAC.BA .).(.).(.....

CCBBCBCB =+=+= ).(..

En general se buscarn agrupaciones que sean potencias de 2.1,2,4,8,16..


37


Fundamento del mtodo (II)

Agrupamientos permitidos (I)

Ejemplos:


38


Agrupamientos permitidos (II)

Ejemplos:


39


Agrupamientos no permitidos

Ejemplos:


40


Agrupamientos alternativos

Ejemplos:


41


Utilizacin de los mapas

Los mapas de Karnaugh se van a utilizar para simplificar expresiones algebraicas.

Para ello se har lo siguiente: 1) Representar en un mapa de Karnaugh la funcin algebraica o

tabla de verdad que se dese simplificar. 2) Se agruparan los 1 siguiendo las reglas que a continuacin se

citan:

Los grupos de celdas ms grandes posibles debern construirse primero; cada uno deber contener 2n elementos.

Debern agregarse grupos cada vez ms pequeos, hasta que

cada celda que contenga un 1 se haya incluido por lo menos una vez.

Debern eliminarse los grupos redundantes (aun cuando se

trate de grupos grandes) para evitar la duplicacin.


42


Ejemplo (I)

CBACBACBACBACBACBAD ............ +++++=

CACABD .. ++=

DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAD

.................................

+++++++++++=

Ejemplo (II)


43


Ejemplo (III). Redundancias

DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAD ........................ +++++++=

En este caso para evitar redundancias hemos eliminado el grupo interior grande.


44


Condiciones indiferentes

45



Disear un circuito que tome un nmero de 4 bits ABCD y produzca una sola salida que est activa si la entrada representa un nmero primo (0 y 1 no son primos).

Ejemplo 1

46


Ejemplos - combinacionales

Decimal A B C D S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 0 10 1 0 1 0 0 11 1 0 1 1 1 12 1 1 0 0 0 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 0 15 1 1 1 1 0

S CD 00 01 11 10

AB 00 0 0 1 1 01 0 1 1 0 11 0 1 0 0 10 0 0 1 0

DCDCBDBCS +++= BABA

Disear un circuito para controlar la bomba de llenado de un pantano aprovechando la tarifa nocturna (ms econmica). El depsito dispone de dos sensores, uno de mnimo y otro de mximo,

que se ponen a 1 lgico en presencia de agua. El sensor crepuscular se pone a 0 de noche y a 1 cuando es de da. Durante el da el pantano tendr el nivel por encima del mnimo. De noche se aprovechar hasta llenar el mximo. Se dispone de un interruptor general (1 = encendido).

Ejemplo 2

47



Homogeneizar a puertas NAND y NAND 2 entradas

1er Teorema

(A.B) = A+B

(A . B) A+B

A

B

A

B

2 Teorema

(A+B) = A.B

(A + B) A. B

A

B

A

B

Homogeneizacin (T. de De Morgan)

48


Ejemplo de aplicacin

A partir de la siguiente expresin Booleana obtener su diagrama lgico equivalente utilizando exclusivamente puertas NAND.

ABC

ABC

ABC

D


49


CBACBACBAD ++=


50


ABC

ABC

ABC

D



CBACBACBAD ++=

ABC

ABC

ABC

D


51




CBACBACBAD ++=


52


ABC

ABC

ABC

D



CBACBACBAD ++=

CBACBACBACBACBACBAD :Morgan De =++=

Homogeneizar a NAND de 2 entradas

Disear un circuito que permita a personas ciegas leer un dgito BCD (e3e2e1e0) mediante un dispositivo que consta de cuatro puntos que se muestran (1) u ocultan (0) gracias a las seales binarias a, b, c y d (similar al Braille). La disposicin de los puntos para cada dgito BCD es la siguiente:

Ejemplo 3

53



a b c d

a b c d

0 a b c d

1 a b c d

2 a b c d

3 a b c d

4

a b c d

5 a b c d

6 a b c d

7 a b c d

8 a b c d

9

54


Ejemplos - combinacionales Ejemplo 4: Display 7 segmentos (decodificador BCD 7 segmentos)

Disear el circuito que encienda los nmeros del 0 al 9 en un display de ctodo comn)

55


Ejemplos - combinacionales Ejemplo 4: decodificador BCD 7 segmentos. Ctodo comn

Datos de Contacto

Concepcin Jimnez Carvajal Universidad Politcnica de Cartagena Divisin de Sistemas e Ingeniera Electrnica (DSIE) ETSI. Industriales Campus Muralla del Mar, s/n 30202 Cartagena Tel. +34 968 32 64 47 Fax. +34 968 32 53 45 E-mail [email protected]
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